298 Luego, 12 + 22 + 32 + · · · + k2 + (k + 1)2 = | {z }
= = = = =
k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2 | {z } 6 k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2 6 (k + 1)(k(2k + 1) + 6(k + 1)) 6 (k + 1)(2k2 + 7k + 6) 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6 (k + 1)(k + 2)(2(k + 1) + 1) . 6
Por lo tanto, aplicando el principio de inducci´on matem´ atica, se tiene que para todo n ∈ N, n(n + 1)(2n + 1) . 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = 6
Actividad 53. Comprueba que la suma de los cubos de los primeros n n´ umeros h i n(n+1) 2 naturales es , para todo n ∈ N. Es decir, 2
n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ··· + n = 2 3
3
3
3
2
para todo n ∈ N.
A.0.22. Ejemplo. Demuestra la desigualdad de Bernoulli: Para todo n ∈ N y α ≥ −1, (1 + α)n ≥ 1 + nα. Soluci´ on: (i) La desigualdad se cumple para n = 1, puesto que 1 + α ≥ 1 + α. (ii) Supongamos que la desigualdad se cumple para alg´ un n´ umero natural n = k, es decir: (1 + α)k ≥ 1 + kα. Se debe mostrar ahora que la desigualdad se sigue cumpliendo para n = k + 1, es decir: (1 + α)k+1 ≥ 1 + (k + 1)α.