296 Estas dos condiciones hacen de la veracidad de P (n) para todo n ∈ N. Principio de inducci´ on matem´ atica.
Sea P (n) una proposici´ on.
1. Si P (1) es verdadera, y 2. Si se supone que P (k) es verdadera para cualquier k ∈ N, k > 1 y entonces P (k + 1) tambi´en es verdadera, entonces se concluye que P (n) es verdadera para todo n ∈ N. Demostraci´ on: Para la comprobaci´on de este principio, se hace uso del principio del buen orden, que dice que todo subconjunto A no vac´ıo de N contiene un elemento m´ınimo. Sea P (n) una proposici´ on con las condiciones (1) y (2). Se considera S = {n ∈ N|P (n) es falso} Se debe probar que S = ∅. Supongamos que S 6= ∅, entonces por el principio del buen orden, S tiene un elemento m´ınimo, digamos m. Luego, como P (1) es verdadera, m 6= 1. Por lo que m > 1. Se tiene entonces que m − 1 6∈ S porque m es el m´ınimo de S. Por lo tanto, P (m − 1) es verdadera, y por (2), P (m) tambi´en es verdadera. As´ı, m 6∈ S, lo que contradice que m ∈ S. Esta contradicci´ on surge del hecho de haber supuesto que S 6= ∅. Por lo tanto, S debe ser el conjunto vac´ıo y P (n) es verdadera para todo n ∈ N. Nota: Se puede comprobar que el principio de inducci´on matem´ atica y del buen orden, son proposiciones equivalentes. Algunas proposiciones P (n) se cumplen para todo n ≥ n0 y n0 > 1. Para este tipo de proposiciones tambi´en se aplica el principio de inducci´on matem´ atica para su prueba, s´ olo que en lugar de comenzar comprobando que P (1) es verdadera, se comienza verificando que se cumple P (n0 ). A.0.20. Ejemplo. Comprueba usando inducci´on matem´ atica que 1 + 2 + 3 + ··· + n = Soluci´ on:
n(n + 1) , 2
para todo n ∈ N.