146 es continua en todo R. Una consecuencia directa de las propiedades de los l´ımites, es que si f y g son funciones continuas en x, entonces cf ± g, f · g tambi´en son continuas en x, donde c ∈ R. M´as a´ un, si g es continua en x = a y f es continua en g(a), entonces f ◦ g es continua en a. En t´erminos de l´ımites, esto u ´ltimo se traduce as´ı: l´ım f (g(x)) = f l´ım g(x) = f (g(a)). x→a
x→a
3.1.17. Ejemplo. Sean g(x) = l´ım
x→1
r
1 x+1
1 = x+1
y f (x) = s
l´ım x→
√
x. Comprueba que
1 x+1
1 =√ . 2
Soluci´ on: La funci´ on g(x) es continua en x = 1 y f (x) es continua en g(1) = 21 . De esta forma, se tiene que, l´ım f (g(x)) = f l´ım g(x) = f (g(1)). x→1
Pero f (g(x)) =
q
1 x+1
x→1
y f (g(1)) =
l´ım
x→1
r
√1 . 2
1 = x+1
s
Por lo tanto,
l´ım x→
1 x+1
1 =√ . 2
Para finalizar con esta secci´ on, se enuncian algunos resultados importantes de continuidad llamados teoremas fuertes de continuidad, para intervalos cerrados de R.
3.1.18. Teorema. Si f es una funci´ on continua en [a, b] y f (a) < 0 < f (b), entonces existe x ∈ [a, b], tal que f (x) = 0. y
f (b)
a b
f (a)
x