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1.8 Aplicaciones de modelado Esta es una ecuaci´ on homog´enea. Al resolverla por la t´ecnica estudiada anteriormente se obtiene la soluci´on ln
p y x2 + y 2 = arc tg + k. x
La ecuaci´ on anterior define una familia de espirales logar´ıtmicas, cuya gr´afica se da en la figura 1.2.
y
x
Figura 1.2: Trayectorias isogonales
Ejercicios Encontrar las trayectorias ortogonales a las familias de curvas dadas a continuaci´on 1.
y = cx3
2.
y 2 = 4(x − c)
3.
x2 − y 2 = c
4.
x2 + y 2 = 2cx
5.
y2 =
6.
(x2 + y 2 )2 = c2 (x2 − y 2 )
7.
y 2 + 2cx = c2
8.
y = cx3
x3 2c−x
R: x2 + 3y 2 = k R: y = ke
−x 2
R: y =
k x
R: y = k(x2 + y 2 ) R: (x2 + y 2 )2 = k(y 2 + 2x2 ) R: (x2 + y 2 )2 = kxy R: y 2 − 2kx = k 2 R: x2 + 3y 2 = k