Issuu on Google+

CONJUNTO GENERADO Y GENERADOR

Luis Diego Alburez » Nathalie Barrios » Christopher Boehm » Raul Rodríguez » Andrés Salazar

1era. Edición

Linealmente dependiente y linealmente independiente

TESTS Y JUEGOS MENTALES


ÍNDICE AUTOBIOGRAFÍA DE LOS AUTORES ........................................................................................ 5

VECTORES: INFORMACIÓN GENERAL DEL VECTOR.................................................................................. 7 DEFINICIÓN.................................................................................................................................. 7 1.

Notación de un vector ...................................................................................................... 7

2.

Componentes de un vector ............................................................................................. 7

PROPIEDADES ............................................................................................................................ 8 TIPOS DE VECTORES ................................................................................................................... 8 1.

Vectores equivalentes...................................................................................................... 8

2.

Vectores paralelos ............................................................................................................ 9

3.

Vectores ortogonales ....................................................................................................... 9

4.

Vectores unitarios ............................................................................................................. 9

5.

Vectores unitarios estándar ............................................................................................ 9

6.

Vector en posición estándar ......................................................................................... 10

7.

Vector renglón ................................................................................................................. 10

8.

Vector Columna .............................................................................................................. 10

9.

Vector Nulo ...................................................................................................................... 10

10. Vectores en Rn ................................................................................................................. 10 PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE VECTORES ................................................................... 11 OPERACIONES ............................................................................................................................. 11 1.

Suma ................................................................................................................................ 11

2.

Resta ................................................................................................................................ 12

3.

Multiplicación de un vector por un escalar ................................................................. 12

4.

Producto punto o escalar .............................................................................................. 12

5.

Producto cruz o vectorial ............................................................................................... 13

6.

Normalización de un vector .......................................................................................... 13

7.

Distancia entre dos vectores ........................................................................................ 13


8.

Proyección de un vector sobre otro ............................................................................. 14

9.

Ángulo entre dos vectores ............................................................................................ 14

TEOREMA DE PITÁGORAS ........................................................................................................ 14 DESIGUALDADES ......................................................................................................................... 15 1.

Desigualdad de Cauchy- Schwarz ............................................................................... 15

2.

Desigualdad del triángulo .............................................................................................. 15

ECUACIONES DE RECTAS ........................................................................................................ 15 1.

Rectas en R2................................................................................................................... 15

2.

Rectas en R3................................................................................................................... 16

ECUACIONES DE UN PLANO EN R3 ....................................................................................... 16 TIPOS DE PLANOS ....................................................................................................................... 17 1.

Planos paralelos ............................................................................................................. 17

2.

Planos ortogonales......................................................................................................... 17

DISTANCIAS CON RECTAS Y PLANOS................................................................................... 18 1.

Distancia desde un punto hasta una recta ................................................................. 18

2.

Distancia desde un punto hasta una plano ................................................................ 19

3.

Distancia entre rectas paralelas …………………………………………………… 19

4.

Distancia entre planos paralelos .................................................................................. 19

ÁNGULOS DE INTERSECCIÓN CON RECTAS Y PLANOS ................................................. 19 1.

Ángulo de intersección entre rectas ............................................................................ 19

2.

Ángulo de intersección entre dos planos .................................................................... 20

3.

Ángulo de intersección entre una recta y un plano ................................................... 20

ARITMÉTICA MODULAR: INFORMACIÓN GENERAL DE ARITMÉTICA MODULAR ..................................................... 21 1.

Definición de aritmética modular y ejemplos .............................................................. 21

2.

Inversos aditivos ............................................................................................................. 21

3.

Adición en aritmética modular: ..................................................................................... 22

4.

Inversos múltiplos ........................................................................................................... 22

5.

Multiplicación en aritmética modular: .......................................................................... 22

6.

Vectores de verificación (tanto para UPC como para ISBN) ................................... 22

7.

Resolución de ecuaciones sobre Zp y sistemas lineales: ........................................ 23


CONJUNTO GENERADO Y CONJUNTO GENERADOR: 1.

Espacio generado........................................................................................................... 24

2.

Linealmente independiente (l. i.): ................................................................................. 24

3.

Linealmente dependiente (l. d.) ................................................................................ 24

ENTRETENIMIENTO: TESTS Y JUEGOS MENTALES .................................................................................................. 25 1.

Juego de lógica ............................................................................................................... 25

2.

Juego de colores ............................................................................................................ 25

3.

Juego de palabras .......................................................................................................... 25

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................... 26


AUTOBIOGRAFÍA DE LOS AUTORES Luis Alburez

Nací el 27 de junio del año 1992 (20 años). Me gradué del Colegio Alemán de Guatemala. Mis pasatiempos favoritos son: hacer deporte, escuchar música, jugar videojuegos, estar en la computadora y jugar con mis mascotas. Mis deportes favoritos son el volleyball, el basketball y el futbol. Me gusta pasar tiempo con mis amigos y me considero una persona bastante social. Hablo 4 idiomas. Actualmente estoy en segundo año de ingeniería mecatrónica.

Nathalie Barrios

Nací el 8 de enero de 1994 en Guatemala. Estudié en el Colegio Alemán de Guatemala durante toda mi niñez y parte de mi juventud. Me gusta viajar, especialmente a lugares como Disney porque me encanta pasar tiempo divertido con mi familia. Me encanta ir a lugares con mucha naturaleza, ver paisajes impresionantes como montañas, catarratas y bosques. Disfruto bastante cuando voy a la nieve. Mi Hobbie es jugar fútbol, actualmente con el equipo de la UVG, en donde curso segundo año de Ingeniería Industrial. Mis principales preocupaciones a nivel social son la pobreza y desnutrición por las que atraviesan varias familias de Guatemala. Espero que como profesional pueda dar a mi Guatemala lo que se merece.

Christopher Boehm

Nací el 26 de octubre de 1993. Soy un joven extrovertido, amable con todas las personas y que le encanta hacer amigos nuevos. Mis hobbies son wakeboard, motocross y volar aviones de R/C. Tengo 19 años, estudio Ingeniería en Ciencias de Administración en la Universidad del Valle de Guatemala, curso 2do año y trabajo en mi tiempo libre en Perfumerias Fetiche. Graduado del colegio Metropolitano.

Raúl

Rodríguez Nací el 18 de agosto de 1992. Actualmente me


encuentro estudiando ingeniería electrónica en la Universidad del Valle de Guatemala. Algunos de mis cosas preferidas son el dibujo y el viajar. Me gusta escuchar música reggae y jugar ajedrez.

Andrés Salazar

Nací el 7 de junio de 1993. Soy estudiante de Ingeniería Industrial de la Universidad del Valle de Guatemala. Le gustan los deportes, especialmente el baloncesto y el fútbol americano. Sus equipos favoritos son todos los de Louisiana. Su deporte favorito es el baloncesto y lo práctica de forma recreacional.


INFORMACIÓN GENERAL DEL VECTOR DEFINICIÓN Es un segmento de recta dirigido del punto inicial hasta el punto final, localizados en el espacio. Pueden escribirse en 3 diferentes formas : . Mientras un punto está compuesto por coordenadas, el vector se compone por componentes. Figura 1. Partes generales del vector

El vector se aplica como una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física. Figura 2. Ejemplos de aplicación del vector en la física

1. Notación de un vector Un vector se representa de forma escrita por una letra minúscula con una flechita en la parte superior en sentido a la derecha. Si el vector va de un punto a otro el vector se escribe con la letra del punto de salida hacia el punto final. 2. Componentes de un vector Son los números reales que corresponden a la medida de los vectores X y Y que tiene el vector, en caso de R2. X, y, z son los componentes de los vectores en R3.


PROPIEDADES Todos los vectores se caracterizan por tener:

TIPOS DE VECTORES 1. Vectores equivalentes También se les conoce como vectores equipolentes. Son vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, diferenciándose únicamente en el origen o punto de aplicación. De esta forma, se dice que dos vectores son equivalentes cuando son paralelos entre sí. Todos los vectores equipolentes entre sí representan el mismo vector, llamado vector libre. Por ejemplo, en la figura no. 2, el vector

y

son equipolentes. Figura 3. Representación de vectores equivalentes


2. Vectores paralelos Cuando los vectores son múltiplos escalares entre sí, se dice que los vectores son paralelos entre sí. Al observar dos vectores se establece que son paralelos, cuando estos tienen la misma dirección. Figura 4. Representación de vectores paralelos

3. Vectores ortogonales Cuando el ángulo entre los dos vectores es recto (90°), los vectores son ortogonales entre sí. La condición para que dos vectores cualesquiera sean perpendiculares es que la suma de los cuadrados de sus módulos sea igual al cuadrado del módulo de su diferencia. . En general, dado un vector , un vector perpendicular a es . Figura 5. Representación de vectores ortogonales

4. Vectores unitarios Son aquellos vectores que tienen magnitud o longitud igual a 1,

5. Vectores unitarios estándar Se denotan por Figura 6. Representación de vectores unitarios estándar

.

.


6. Vector en posición estándar Decimos que un vector está en posición estándar cuando su punto de origen está en el origen (0,0) 7. Vector renglón Un vector fila o vector renglón es una matriz de dimensiones 1 x N, esto es, una matriz formada por una sola fila de N elementos. 8. Vector Columna El un vector columna es una matriz de dimensiones M una matriz formada por una sola columna de M elementos.

x

1,

esto

es,

9. Vector Nulo Es un vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (o extensión) nulo. Se representa como un cero con una flechita en la parte de arriba apuntando a la derecha.

10. Vectores en Rn En general, Rn se define como el conjunto de todas las n-adas coordenadas de números reales escritos como vectores. Por ejemplo: En Rn ya NO se

pueden representar gráficamente los vectores. PROPIEDADES ALGEBRAICAS VECTORES EN Rn:

Conmutividad: Asociatividad: Distributividad:

Otras propiedades:

DE

LOS


c

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE VECTORES a) b) c) d) e) f) g) h)

U+V = V+U Commutatividad (U+V)+W = U+(V+W) Asociatividad U+0 = U U+(-U)= 0 C(U+V) = C V+ C U Distributividad (C +D)U = CV+DU Distributividad C (D U) = (CD)U 1U = U

OPERACIONES Sean

y

.

1. Suma Se hace una adición de todos los componentes de cada vector, es decir se suman los componentes “x” de los dos vectores y las dos componentes “y”.

Para graficar la suma la cola del último vector (

se dibujan ambos vectores. Se traza una línea desde en la adición hasta la cabeza del primero

También se puede obtener la suma, trazando un paralelogramo con diagonal del paralelogramo es el vector resultante. Figura 7. Representación gráfica de la suma vectorial

. . La


2. Resta Se restan los componentes “x” de los vectores y las componentes “y”.

La gráfica de esta resta se hace sumándole a

el opuesto de , que es

3. Multiplicación de un vector por un escalar El producto de un número por un vector es otro vector de la misma dirección y sentido de magnitud si es positivo. Encaso contrario, el sentido del vector es opuesto, por ejemplo cuando la magnitud de es positiva pero se obtiene un vector, cuyos componentes son iguales que los de , solo que cada uno con signos cambiados: . Si la magnitud de es 0 y su dirección no se puede determinar. 4. Producto punto o escalar a. Definición El producto escalar de dos vectores es un escalar que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman ambos vectores. Expresión analítica del producto punto: Otra forma más sencilla de expresar este producto es al multiplicar las componentes “x”, “y” (y “z”) del vector 1 con los del vector 2 y sumar estos números. b. Propiedades Comutatividad:

Distributividad:

Asociatividad respecto al producto por un escalar :


5. Producto cruz o vectorial El producto cruz es una operación binaria entre 2 vectores de un espacio tridimensional, que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Se puede utilizar de Ɍ^3 para arriba. Se denota así: O

de

una

manera

más

completa:

Sus propiedades son: 1. 2.

, (anti conmutatividad) , cancelación por ortogonalidad.

3. Si con y , => ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones. 4. 5.

, conocida como regla de la expulsión.

6. 7.

, en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo ,el ángulo menor entre los vectores ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.

8. El vector unitario

es normal al plano que contiene a los vectores

.

6. Normalización de un vector Es el proceso de encontrar un vector unitario en la misma dirección de un vector v dado. Figura 8. Representación gráfica de la normal

7. Distancia entre dos vectores La distancia entre dos vectores ecuación:

en

se define por la siguiente


8. Proyección de un vector sobre otro La proyección del vector

sobre el vector

se define así:

está

marcada de color rojo. De tal forma que se observa que la proyección de sobre se encuentra sobre y es el cateto del triángulo recto formado por v y la línea punteada. Figura 9. Representación gráfica de una proyección entre dos vectores

9. Ángulo entre dos vectores El ángulo entre dos vectores en Rn se puede calcular de la siguiente manera:

TEOREMA DE PITÁGORAS El Teorema de Pitágoras dice que la suma de los cuadrados de los lados de un triángulo rectángulo, es igual al cuadrado de la hipotenusa.

C A B El Teor ema de Pitág

2

2

2

C =A +B


DESIGUALDADES 1. Desigualdad de Cauchy- Schwarz Para todos los vectores y en se puede aplicar esta relación entre la magnitud del producto punto de los vectores y el producto de la magnitud de los vectores:

2. Desigualdad del triángulo Para todos los vectores y en se puede aplicar esta relación entre la magnitud de la suma de los vectores y la suma de la magnitud de los vectores:

ECUACIONES DE RECTAS 1. Rectas en R2 a) Forma general:

Las rectas en R2 se dan por la ecuación general: ax+by=c, cuando b≠0. Esta forma una recta con el origen en c=0. A▪X=0 B▪Y=0 b) Forma normal La forma normal de la ecuación es: n▪(x-p)=0, en donde p es un punto específico sobre “l” y n≠0 es un vector normal para “l”. c) Forma vectorial Su forma vectorial es la misma para R2 y para R3: x=p+td, en donde p es un punto específico sobre “l” y d≠0 es un vector director para”l”. d) Ecuaciones paramétricas De la forma vectorial se derivan sus ecuaciones paramétricas. X=p1+Td1 Y=p2+Td2


2. Rectas en R3 a) Forma general Las rectas en R3 se dan por las ecuaciones generales: a1x+b1y+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2 b) Forma normal La forma normal de la ecuación es: n▪x=n▪p, en donde p es un punto desconocido, y n es la normal. A▪X=A▪P1 B▪Y=B▪P2 C▪Z=C▪P3 c) Forma vectorial Su forma vectorial es la misma para R2 y para R3: x=p+td, en donde p es un punto específico sobre “l” y d≠0 es un vector director para ”l”. d) Ecuaciones paramétricas De la forma vectorial derivan sus ecuaciones paramétricas, las cuales son: a) X=p1+Td1 b) Y=p2+Td2 c) Z=p3+Td3 1. Forma simétrica Su forma simétrica es

ECUACIONES DE UN PLANO EN R3 Un plano en R3 se ve de la siguiente manera:

* u y v son los vectores dirección.

NOTACIÓN: Rectas: Planos:


Todo plano en R3 se puede escribir utilizando ecuaciones, como las siguientes: 1. Forma Vectorial: En donde:

y

2. Forma Normal: En donde: í

3. Forma General: La forma general proviene de expandir la forma normal. En donde:

TIPOS DE PLANOS 1. Planos paralelos Este plano establece que las coordenadas del plano Q, son paralelas al plano P (Q║P). Los vectores n de los dos planos deben ser paralelos.

Figura 10. Representación de planos paralelos Q y P

2. Planos ortogonales Este plano tiene como característica que un plano se intersecta con el otro en un ángulo recto, lo que hace que los vectores n de los mismos, se intercepten formando un ángulo de 90`. cosθ=


Figura 11. Dos planos ortogonales

DISTANCIAS CON RECTAS Y PLANOS

1. Distancia desde un punto hasta una recta La siguiente es una forma de calcuar la distancia desde un punto desconocido, llamem贸sle punto F, hasta una recta L. Para poder aplicar este m茅todo, el punto F debe de estar fuera de la recta L. La siguiente imagen sirve para visualizar mejor la idea: Figura 12. Distancia entre el punto F y la recta PD

F

= DISTANCIA ENTRE F Y LA RECTA P

Si despejamos para la obtenemos:

distancia en la ecuaci贸n anterior

Para encontrar el valor que deseamos solo necesitamos sacar la norma del vector distancia. Por lo tanto, la distancia de F a la recta est谩 dada por:


2. Distancia desde un punto hasta una plano Para encontrar la distancia entre un punto F y un plano se aplica un procedimiento similar al mencionado en el inciso anterior. De igual manera, este procedimiento solo se puede aplicar si el punto está fuera del plano.

F

La distancia de F al plano esta dada por:

P

3. Distancia entre rectas paralelas La distancia de una recta a otra paralela es la distancia desde un punto cualquiera. Donde U es un vector y AB es la resta de dos puntos en las dos rectas.

4. Distancia entre planos paralelos Se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.

ÁNGULOS DE INTERSECCIÓN CON RECTAS Y PLANOS 1. Ángulo de intersección entre rectas Cuando dos rectas se intersectan y forman 4 ángulos para calcular los estos deben cumplir con lo siguiente: 

Si las dos pendientes son positivas, M2 es la mayor y m1 la menor.

Cuando una pendiente es positiva y la otra negativa, m2 es la pendiente negativa y M1 la positiva.


Cuando las dos pendientes son negativas, m2 tiene mayor valor absoluto

2. Ángulo de intersección entre dos planos El ángulo entre dos planos es el ángulo entre los vectores normales. Siempre se da el ángulo agudo entre los dos vectores normales.

3. Ángulo de intersección entre una recta y un plano Primero se determina la intersección entre el plano y la recta. Luego se traza, por un punto cualquiera de la recta, una recta perpendicular al plano y se determina la Intersección. El último paso es El ángulo que forman las rectas es igual al ángulo que forma la recta con el plano. La ecuación es:

Donde u y v son los vectores dirección.


INFORMACIÓN GENERAL DE ARITMÉTICA MODULAR 1. Definición de aritmética modular y ejemplos Creada por Carl F. Gauss en 1801, la aritmética modular es un sistema aritmética para clases de equivalencia de números enteros llamadas clases de congruencia. También se le conoce como aritmética del reloj, ya que en el rango válido de números enteros los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado módulo. El tiempo llevado por este reloj usa aritmética en modulo 12.

Para un determinado módulo n, ésta se define de la siguiente manera: a y b se encuentran en la misma "clase de congruencia" módulo n, si ambos dejan el mismo resto si los dividimos por n, o, equivalentemente, si a − b es un múltiplo de n.

Esta relación se puede expresar cómodamente utilizando la notación de Gauss: y así se halla por ejemplo: Ejemplo: Resolver esta operación en Z6:

2. Inversos aditivos El inverso aditivo de un número es el opuesto de ese número, es decir el mismo número con el signo contrario. Esto es, el inverso aditivo de un número x es - x. La suma de un número y su inverso aditivo siempre es cero, eso es, x + (-x) = 0. que es el elemento neutro para suma.


3. Adición en aritmética modular: La suma en aritmética modular es la más simple. Es una suma simple de números, y se hacen sumas en cada módulo, al cual se le puede llamar n, o Zx, y al llegar la suma al número x, este número pasa a ser cero, y empieza la cuenta de nuevo.

4. Inversos múltiplos El inverso multiplicativo de r es un número tales que r = 1. El número 1 se utiliza aquí porque es el elemento neutro de la multiplicación. Ejemplos: 5 · 1/5 = 1 8 · 0.125 = 1 a/b · b/a = 1

5. Multiplicación en aritmética modular: La multiplicación en aritmética modular es similar a la suma, igualmente al llegar al número n, o Z, este automáticamente se vuelve cero. Los Z par no tienen inverso multiplicativo, mientras que los impares, si lo tienen. Este es el que hace que multiplicado el número por su inverso, la respuesta sea 1.

6. Vectores de verificación (tanto para UPC como para ISBN) UPC Es el código de barras tradicional que trae la mayoría de productos, el cual identifica los productos según su origen, empresa y producto. Las barras son llamadas GTIN-12, que representan cada número. Este código ayuda a la organización de los inventarios en cualquier empresa. Ejemplo, el libro de Cálculo de Dennis G. Zill tiene el código v[7,7,0,2,1,1,1,8,0,3,7,0,D] y el vector de verificación de los UPC es el vector c[..3,1,3,1,3,1,3,1……,1]. Se multiplica v▪c v▪c=[7,1,0,6,1,3,1,4,0,9,7,0,D] y al eliminar estos números en Z10, el resultado es el código verificador D=1 ISBN


El Numero Estándar Internacional de Libros, es un código verificador diseñado para detectar errores alternos al Código Universal de Producto. Este código es un vector en Z10 y Z13, que se encuentra en libros únicamente. Las primeras 0 componentes representan el país, editor y el libro, la décima o ultima, es el digito verificador. Por ejemplo, el código del libro de Cálculo de James Stewart es 0-534-34450-X Se representa como vector b=[0.5.3.4.3.4.4.5.0.x] x= digito verificador El vector de verificación es c=[10,9,8,7,6,5,4,3,2,1]

Se opera c▪b

0+45+24+28+18+20+16+15+0+x en Z10 =0+1+2+6+7+9+5+4+0+d 1+d

por 10 d=10 Se escribe como X

Código ISBN

7. Resolución de ecuaciones sobre Zp y sistemas lineales: Se puede utilizar el método de Gauss, o Gauss Jordan para resolver ecuaciones lineales en Zp (A|B),, obteniéndose un equivalente en forma triangular fácil de resolver


CONJUNTO GENERADO Y GENERADOR 1. Espacio generado Este es el conjunto generado por todas las posibles combinaciones lineales entre los vectores v1,v2,…,vk. Se representa por Este conjunto se representa por Gen {v1, v2,… vk} Si V = Gen fv1; v2; : : : ; vkg diremos que fv1; v2; : : : ; vkg genera a V y que fv1; v2; : : : ; vkg es un conjunto generador de V . Conjunto generador Este es el que operando todos sus miembros, puede crear todos los elementos de su espacio. Un conjunto generador de un grupo X, es un subconjunto Y de X, tal que todo elemento de X puede ser expresado como el producto de un número finito de elementos de Y y sus inversos.

2. Linealmente dependiente (l. d.) Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si existe un vector que es una combinación lineal de otros. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) es linealmente dependiente, ya que el tercero es la suma de los dos primeros. Es decir si existen escalares c1, c2, … ck y al menos uno de ellos no es 0, tales que: c1v1, c2v2, ckvk=0. Además, cualquier conjunto que contenga al vector cero es l.d.

3. Linealmente independiente (l. i.): Un conjunto de vectores es independiete si ninguno puede ser escrito como combinación lineal de los otros. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (5, 0, 5), (0, 0, 0) y (4, 3, 2) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros. Es decir es el conjunto de vectores que NO es linealmente dependiente y esto ocurre cuando todos los escalares son 0.


TESTS Y JUEGOS MENTALES 1. Juego de lógica Piensa en lo siguiente: Un mudo quería comprar un cepillo de dientes. Al imitar la acción de cepillarse los dientes, logró expresarse con señas de manera que el dependiente le entendió y pudo realizar la compra. Ahora, si un ciego quisiera comprar un par de gafas oscuras, ¿cómo debería hacerlo? Piensa en ello antes de leer la respuesta más abajo… Ya lo pensaste?? Repite su acción en tu mente una vez más… El ciego abre la boca y dice: ¿Me puede dar un par de gafas oscuras por favor? Si tu respuesta fue cualquier otra, piensas por inercia y no por lógica

2. Juego de colores Mira la siguiente imagen y di en voz alta el color, no la palabra.

¿Complicado no es así? Esto ocurre porque la parte derecha de tu cerebro intenta decir el color pero la parte izquierda insiste en la palabra. Ambas partes están en conflicto. Te será más fácil ignorar el color y leer la palabra. Compruébalo!

3. Juego de palabras Piensa en la respuesta de esta pregunta: ¿Cuál es una palabra de cuatro letras que se escribe con tres aunque tiene seis mientras se escribe con ocho, raramente consta de nueve y nunca se escribe con cinco? Escribe aquí tu respuesta: _________________________________________________ La respuesta correcta son las palabras: ‘cual’ ‘que’ ‘aunque’ ‘mientras’ ‘raramente’ y ‘nunca’ .


BIBLIOGRAFĂ?A Figura 2 : http://www.google.com.gt/imgres?um=1&hl=es&client=firefoxa&hs=Xrw&sa=X&tbo=d&rls=org.mozilla:esES:official&biw=1138&bih=553&tbm=isch&tbnid=TOWpaO30_YD0M:&imgrefurl=http://html.rincondelvago.com/vectores_11.html&docid=blaLZdabo8MpM&imgurl=http://html.rincondelvago.com/000467453.jpg&w=922&h=600&ei= brP0UImIoKK9QSLkYCQAg&zoom=1&iact=rc&dur=470&sig=106869855288854470839&page=1 &tbnh=136&tbnw=209&start=0&ndsp=18&ved=1t:429,r:16,s:0,i:124&tx=79&ty=38 Figuras 4 y 5: http://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?anchor=klpmatgeo&tipo=imprimir&titu lo=Imprimir%20Art%C3%ADculo&xref=20070926klpmatgeo_208.Kes


Introducción al Álgebra Lineal