LIBRO DIGITAL DE MATEMATICAS NUMEROS RACIONALES
AUTOR: CHADAN SILLAGANA NANCY CONSUELO
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MATEMATICAS Y LOS NUMEROS RACIONALES
VAMOS A APRENDER QUE SON LOS NUMEROS RACIONALES Y COMO TENEMOS QUE RESOLVERLO
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DEDICATORIA Dedico a mis padres Manuel Cristóbal Chadan y a María Concepción Sillagana por sus esfuerzos amor y entrega a la formación de sus hija Chadan Sillagana Nancy Consuelo
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INDICE Que son los racionales……………………………………………………………...5 Los números racionales limitados………………………………………………..5 Los números racionales periódicos………………………………………………5 Propiedades de números racionales……………………………………………..5 Propiedades interna ………………………………………………………………...6 Propiedades conmutativas…………………………………………………………6 Elemento neutro…………………………………………………………………...…6 Inverso aditivo elemento opuesto………………………………………………...7 Propiedad distributiva……………………………………………………………….7 Ejemplo de números racionales ………………………………………………….8 Limitados ……………………………………………………………………………...9 Puros………………………………………………………………………………….10 Mixtos…………………………………………………………………………………11 Ejercicios …………………………………………………………………………….12
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NUMEROS RACIONALES Para decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción. Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador. Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra ℚ, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números ℚ. Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe una clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión decimal, estos son: Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125. Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los números irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas. A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363… PROPIEDADES DE NUMEROS RACIONALES Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son: Entre las propiedades de la suma y resta están:
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Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser
Reducido a su mínima expresión si el caso lo necesita ab+cd=ef Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos: (ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)} Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera: ab+cd=cd+ab Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional. ab+0=ab Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero. ab−ab=0 Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son: Propiedad interna.- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional. ab×cd=ef Esta además aplica con la división ab÷cd=ef Propiedad asociativa.- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto. (ab×cd)×ef=ab× (cd×ef) Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona.
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ab×cd=cd×ab Propiedad distributiva.- al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo: ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef
Elemento neutro.- en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número. ab×1=ab ab÷1=ab
Ejemplos de números racionales
Los números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional, aquí un ejemplo 57 Aunque también podría ser expresado de esta manera:
5/7 Sin embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de los números Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este modo: 7
3=31 Aunque también podríamos expresar el número entero 3, en forma de fracción, en el caso de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al simplificarlo obtenemos la misma respuesta:
155=3 También encontramos números racionales enteros negativos, por ejemplo: −6=−61 0,2424242424… también puede ser tomado como un número racional, pues sus decimales son periódicos, y podemos expresarlo en forma de fracción, así: 2499 Los números racionales son los que se pueden representar por medio de fracciones. Representan partes de algo que se ha dividido en partes iguales. Por ejemplo, si cortamos una naranja en 4 trozos iguales y tomamos tres trozos de esta, nos hemos comido 3/4 de la naranja. Un número racional es también, todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero una fracción común. Son ejemplos de números racionales: ,
,
También son números racionales los números enteros:
Entre otros.
Un mismo número racional se puede expresar con varias fracciones. Por ejemplo:
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Se puede expresar como:
De todas estas formas, la primera se llama fracción irreducible y las demás fracciones equivalentes. Los números racionales son infinitos. Aunque parezca increíble podemos asociar un número natural a cada número racional. Muchas veces los números racionales se expresan como números decimales. Por ejemplo:
Se pueden clasificar en dos grupos: Limitados y periódicos. Estos últimos se pueden clasificar a su vez, en periódicos puros y periódicos mixtos.
Limitados: son los que en su representación decimal tienen un número fijo de números. Por ejemplo:
Periódicos: son los que en su representación decimal tienen un número ilimitado de números. Hay dos tipos de números periódicos
o
Los puros: cuando un número, o grupo de números, se repite ilimitadamente, desde el primer decimal. (Por ejemplo: 3.838383...).
o
Los mixtos: un número o grupo de números se repite ilimitadamente a partir del segundo o posterior decimal (por ejemplo 3.27838383...).
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A veces, nos dan el número decimal y nos piden que calculemos el número fraccionario. Si quieres saber cómo se calcula dicha fracción entra al sitio que te recomendamos a continuación: Tipos de decimales. EJERCIOS A REAL IZ AR 1.- Realiza las siguie ntes operaciones con potencias:
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2.-Opera:
3.- Efectúa
4.-Calcula qué f racción de la unidad represe nta:
1 La mitad de la mitad. 2 La mitad de la tercera parte. 3 La tercera parte de la mitad. 4 La mitad de la cuarta parte. 5 Elena va de co mpras con 180 €. Se g asta 3/5 de esa cantidad. ¿Cuánto le queda? 7 Dos auto móviles A y B ha cen un mismo trayecto de 572 km. El auto móvil A lleva recorridos los 5/11 del trayecto 11
cuando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kiló metros lleva recorridos cada uno? 8 Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?
9 En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15 400. Calcular:
1 El nú mero de votos obtenidos por cada partido. 2 El nú mero de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo e lectoral. 10 Un padre reparte entre sus hijos 1 800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?
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