grafos
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numa ponte ainda não atravessada. Traduzindo este pensamento na figura abstracta, podemos dizer que as linhas que se encontram num ponto devem ocorrer aos pares. Para lá dos dois pontos representando o início e o fim do passeio, as pontes podem ser atravessadas se, e só se, cada ponto tiver um número par de linhas incidindo sobre ele. O número de linhas que se encontram num ponto é o chamado «grau» do ponto.
Grau = 5
O teorema de Euler afirma que A
As pontes de uma vila ou cidade podem ser atravessadas exactamente uma vez se, excepto no máximo dois, todos os pontos tiverem grau par. Olhando para o grafo que representa Königsberg, todos os I pontos têm grau ímpar. Isto significa que o passeio atravessando cada ponte uma só vez não é possível em Königsberg. Se a instalação das pontes fosse alterada, o passeio tornar-se-ia possível. Se fosse construída outra ponte entre a ilha I e C, os graus de I e de C seriam ambos pares. Isto B significa que poderíamos começar o passeio em A e terminá-lo em B tendo passado por cada ponte exactamente uma vez. Ainda se outra ponte fosse construída, desta vez entre A e B (mostrado à direita), podíamos começar em qualquer lado e acabar no mesmo sítio porque todos os pontos teriam grau par nesse caso.
C
O teorema do aperto de mão Se nos pedissem para desenhar um grafo que contivesse três pontos de grau ímpar, teríamos um problema. Experimente. É impossível, porque Em qualquer grafo, o número de pontos com grau ímpar deve ser par.
1930
1935
1999
Kuratowski prova o seu teorema sobre grafos planares
Georg Pólya desenvolve técnicas de contagem para grafos como álgebra
Eric Rains e Neil Sloane ampliam a contagem de árvores