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Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

INTRODUCCIÓN

El ingrediente básico en la nueva concepción del control de calidad es la utilización masiva del método científico y, en concreto, de la estadística, en la planificación de recogida y análisis de los datos necesarios para la toma de decisiones tendentes a mejorar todos los procesos. Un control de calidad del que no se deriven actuaciones constantes para el perfeccionamiento de los sistemas no es un control de calidad verdadero. El control de la calidad es el proceso por el cual medimos las variables del proceso o producto como por ejemplo el tamaño de un producto, su forma, componentes, color y otras características físicas y químicas, pero también puede medir el volumen de producción y los costos, o sea el proceso en sí. El control estadístico de la calidad es la recopilación, análisis e interpretación de datos para su uso en el control de calidad, mediante el Control Estadístico de la Calidad se determina las variaciones que se dan en el proceso de producción a través de sus diferentes etapas generalmente se utilizan dos métodos estadísticos: El control del proceso y muestreo por aceptación. La calidad es responsabilidad de todas las personas de la empresa y no sólo del departamento de Control de Calidad, Para que este concepto no se quede en una simple exhortación, es necesario suministrar herramientas a todo el personal para que pueda integrarse en las tareas del control integral de la calidad. Ello requiere incrementar los esfuerzos en la capacitación de todo el personal y, sobre todo, la educación a partir del propio trabajo cotidiano. Esta educación, debe comenzar con los futuros ingenieros de la empresa y, con esta texto, se pretende el inicio de este proceso

básico en la formación de cualquier Ingeniero en especial el Ingeniero

Industrial, el cual tiene como función la optimización de los proceso en una empresa.

Ing. Martha Tesén Arroyo

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Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

INDICE Página INTRODUCCIÓN………………………………………………………………….

8

I. CALIDAD_ COMPETITIVIDAD…………………………………………………

8

1.1 Calidad………………………………………………………………………

8

1.2 Competitividad …………….………………………………………..……….

9

1.3 Productividad …………….………………………………………..………..

12

II. DEFINICIONES BÁSICAS …………….……………………………………..

16

2.1 Definiciones Básicas …………….………………………………………..

16

2.2 Control de Calidad ………….…………………………………………….

20

2.3 Control Estadístico ………….……………………………………………

21

2.4 Variabilidad ………….…………………………………………………..

21

III. CAPITULO ………………..…………………………………………………..

26

3.1 Medidas de Tendencia Central ………………..…………………...……

28

3.2 Medidas de Dispersión ó Variabilidad ………………..…………………

33

3.3 Medidas de Forma ……………..………………………………………..

44

3.4 Medidas de Localización ……………..………………………………….

47

3.5 Estudio Real de Capacidad ……………..………………………………

50

IV. SPSS……………..……………………………………………………………. 4.1 Ejecución del SPSS ……………..………………………………………….

54

4.2 Ventana para la definición de Variable…………………………………….

56

4.3 Ventana de Ingreso de Datos ……..…..……………………………………

60

4.4 Guardar datos y resultados ……….…..……………………………………

62

4.5 Abrir archivo de datos o resultados ……….…..……………………………

64

4.6 Análisis de resultados ……….…..…………………………………………..

65

V. HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS…………………………………………...

90

5.1 Hojas de control……………………………………..……………………...

92

5.2. Histograma……………………………………..……………………........

94

5.3 Diagrama de Pareto……………………………………..………………...

106

5.4 Diagrama de Dispersión……………………………………..…………...

117

5.5 Graficas de control……………………………………..…………………

126

VI. BIBLIOGRAFÍA……………………………………..…………………….....

183

ANEXOS……………………………………………………………………………

184

Ing. Martha Tesén Arroyo

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ÍNDICE DE TABLAS Página Tabla 2.1 Tiempo de espera para ser atendidos en caja de pago (min)…....

22

Tabla 2.2 Causa comunes y causas especiales que origina la variabilidad....

23

Tabla 3.1. Datos del peso de conservas de esparrago (g)……………………

28

Tabla 3.2 Tabla de simetría _valor del sesgo.…………………………………

4

Tabla 3.3 Tabla de apuntamiento _valor de la curtosis ……………………….

46

Tabla. 3.4. Análisis de la capacidad del proceso………………………………

51

Tabla 3.5. Características de los egresados universitarios………………….

52

Tabla 4.1 Data de la investigación……………………………………………….

66

Tabla 4.2. Datos del peso de conservas de esparrago (g)………………….

76

Tabla 5.1 diámetro de 100 tubos…………………………………………………

95

Tabla 5.2: Tabla de frecuencia……………………………………………………

97

Tabla 5.3 Peso de embutidos (g)…………………………………………………

105

Tabla 5.4 Frecuencias de los defectos encontrados en la pintura……………

108

Tabla 5.5 Tabla para el Diagrama de Pareto…………………………………...

108

Tabla 5.6. Datos de publicidad versus artículos vendidos …………………..

122

Tabla 5.7 . Sumatorias de las “x” “y”…………………………………………….

123

Tabla 5.8.Datos para el proceso del empaquetado de jamonadas…………

132

Tabla 5.9 Datos de fracciones defectuosas del proceso del empaquetado de jamonadas…………………………………………………………

133

Tabla 5.10 Datos de inspecciones y pruebas finales de una producto textil

141

Tabla 5.11 muestra de inspecciones y pruebas finales de una producto textil…………………………………………………………………. Tabla 5.12 Datos del inspección de acabado de mesas…………………….

141

Tabla 5.13 Número promedio de defectos por unidad………………………

149

Tabla 5.14 Defectos en mototaxis………………………………………………

155

Tabla 5.15 Número promedio de defectos por mototaxi ui…………………

156

Tabla 5.16. Pesos de llenado de bolsas de fresas congeladas……………

167

Tabla 5.17. Peso del llenado de envases de Yogurt………………………….

168

Tabla 5.18. Peso promedio y rango del llenado de envases de Yogurt……..

169

Ing. Martha Tesén Arroyo

148

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ÍNDICE DE FIGURAS Página Figura 1.1. Factores de la competividad…………………………………………

12

Figura 1.2. La Productividad y sus Componentes……………………………..

12

Figura 2.1. Clasificación de las variables………………………………………..

18

Fig. 3.1 Histograma del peso de conservas (g)………………………………..

38

Figura 3.2 Interpretación de los histogramas …………………………………..

43

Figura 4.1.Inicio de Ejecución SPSS ……………………………………………

54

Figura 4.2.Inicio del SPSS………………………………………………………...

55

Figura 4.3.Vista de datos y vista de variables………………………………….

55

Figura 4.4.Vista de variables……………………………………………………...

56

Figura 4.5. Ingreso de variables…………………………………………………..

56

Figura 4.6. Tipo de variables……………………………………………………...

57

Figura 4.7. Tipo de variables: anchura…………………………………………..

57

Figura 4.8. Etiqueta de valor………………………………………………………

58

Figura 4.9. Etiqueta………………………………………………………………...

58

Figura 4.10. Etiquetado de variables…………………………………………….

58

Figura 4.11. Etiquetado de valor………………………………………………….

59

Figura 4.12. Medida ..……………………………………………………………...

59

Figura 4.13. Vista de datos ……………………………………………………….

60

Figura 4.14. Ingreso de datos…………………………………………………….

60

Figura 4.15. Etiquetas de valor……………………………………………………

61

Figura 4.16. Vista de datos final………………………………………………….

61

Figura 4.17. Guardar archivos……………………………………………………

62

Figura 4.18. Guardar archivos en carpetas ……………………………………..

62

Figura 4.19. Archivo guardado 1…………………………………………………

63

Figura 4.20. Archivo guardado 2………………………………………………….

63

Figura 4.21. Guardar resultados………………………………………………….

64

Figura 4.22 Abrir archivos………………………………………………………...

64

Figura 4.23.Abrir archivos de datos……………………………………………..

64

Figura 4.24 Análisis de resultados………………………………………………

65

Figura 4.25 Generación de vista de variables…………………………………..

67

Figura 4.26. Ingreso de datos……………………………………………………

67

Figura 4.27. Etiqueta de valor de la base de datos……………………………

68

Figura 4.28. Base de datos……………………………………………………….

68

Figura 4.29. Guardar archivo …………………………………………………….

69

Ing. Martha Tesén Arroyo

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Figura 4.30. Análisis _Estadísticas_frecuencias………………………………

69

Figura 4.31. Análisis_Estadísticas_frecuencias………………………………

70

Figura 4.32. Frecuencias_ estadísticas………………………………………….

70

Figura 4.33. Frecuencias: Gráficos………………………………………………

71

Figura 4.34. Análisis descriptivo opción explorar………………………………

71

Figura 4.35. Análisis descriptivo opción explorar: variables………………….

72

Figura 4.36. Análisis descriptivo opción explorar : Estadísticos……………

72

Figura 4.37. Análisis descriptivo opción explorar : gráficos…………………

73

Figura 4.38. Generación del análisis descriptivo……………………………..

73

Figura 4.39. Generación de resultados del análisis descriptivo …………….

74

Figura 4.40. Presentación de resultados del análisis descriptivo………….

74

Figura 4.41. Pegado de los resultados del análisis descriptivo ………………

75

Figura 4.42. Resultados del análisis descriptivo pegados en Word………..

75

Figura 4.43. Base de datos……………………………………………………..

76

Figura 4.44. Análisis estadístico descriptivo………………………………….

76

Figura 4.45. Análisis estadístico descriptivo frecuencias: Estadísticos…..

77

Figura 4.46. Análisis estadístico descriptivo frecuencias: Gráficos………..

77

Figura 4.47. Histograma de peso de conservas (g)………………………….

78

Figura 4.48. Generación del diagrama de cajas………………………………..

78

Figura 4.49. Diagrama de cajas:………………………………………………….

79

Figura 4.50. Diagrama de cajas: definición del diagrama…………………….

79

Figura 4.51. Diagrama de cajas: resultados…………………………………….

82

Figura 4.52. Diagrama de cajas de los pesos de las conservas (g)………..

82

Figura 4.53. Edición del Diagrama de cajas: Paso 1………………………….

83

Figura 4.54. Edición del Diagrama de cajas: trasponer……………………….

83

Figura 4.55. Edición del Diagrama de cajas: trasponer………………………

84

Figura 4.56. Edición del Diagrama de cajas: cambio de color……………..

84

Figura 4.57. Edición del diagrama de cajas: cambio de color……………….

85

Figura 4.58. Edición del diagrama de cajas: tamaño de letra, números……

85

Figura 4.59. Edición del diagrama de cajas: estilos de texto………………

86

Figura 4.60. Edición del diagrama de cajas: escala…………………………..

86

Figura 4.61. Diagrama de cajas editado……………………………………….

87

Figura 4.62. Histograma a editar…………………………………………………

87

Figura 5.1 . Hoja de Control de Calidad de Materia Prima…………………….

93

Figura 5.2. Figura 5.2 Histograma de diámetro en mm………………………

99

Figura 5.3 Diagrama de Pareto…………………………………………………..

109

Ing. Martha Tesén Arroyo

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Figura 5.4 Gráfica de Control por atributos…………………………………….

130

Figura 5.5 .Gráfica de Control p para el proceso de envasado de jamonada

136

Figura 5.6. Gráfica de control u para mototaxis defectuosos………………...

160

Figura 5.7. Gráfica de control de media:peso

182

Figura 5.8. Gráfica de control de desviación: peso……………………………

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Ing. Martha Tesén Arroyo

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CAPÍTULO I CALIDAD

1.1 Calidad Definir calidad no es tan fácil, este concepto con el transcurrir del tiempo ha evolucionado pues tenemos a varios autores denominados filósofos de calidad, quienes han aportado en su definición, entre ellos tenemos: Walter Shewart (1891-1967). Define la calidad como un problema de variación, el cual puede ser controlado y prevenido mediante la eliminación a tiempo de las causas que lo provocan (gráficos de control). Introduce el concepto de control estadístico de calidad. Fue el primero en reconocer que en toda producción industrial se da variación en el proceso. William Edwards Deming (1900-1993).

Calidad es un grado predecible de

uniformidad y confiabilidad a bajo costo, y adecuado al mercado. Es lo que el cliente desea y necesita. Calidad es la reducción de la variabilidad “productividad mejora cuando la variabilidad disminuye” Feingenbaum (1992-2000).Calidad es la resultante total de las características de Marketing, Ingeniería, Producción y Mantenimiento de un producto o servicio, a través de las cuales el mismo producto o servicio, en uso, atenderá las expectativas del cliente. Kaoru Ishikawa (1915-1989). La Calidad tiene que ser construida en cada diseño y cada proceso. Calidad es lo que realmente trae satisfacción a los consumidores. Joseph Moses Juran (1904-2008). Calidad es el nivel de satisfacción alcanzado por un determinado producto en el cumplimiento de los objetivos de un usuario, durante su utilización, llamado adecuación de uso Philip B. Crosby (1926-2001). Calidad es el cumplimiento de los requerimientos, es decir la conformidad con las exigencias de consumidor. Además menciona que se puede producir con Cero Defectos, un error que ha sido prevenido no necesita reparación. Para Crosby prevención significa perfección. La calidad es gratis, lo que cuesta dinero son las cosas sin calidad todas las acciones que involucran no hacer las cosas bien a la primera. Ing. Martha Tesén Arroyo

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Genichi Taguchi (1924).La calidad se debe definir en forma monetaria por medio de la función de pérdida, en donde a mayor variación de una especificación con respecto al valor nominal, mayor (exponencialmente) es la pérdida monetaria transferida al consumidor. Thomas Peters (1942).La calidad definida por los clientes y/o consumidores, en función a sus necesidades y deseos, procediendo a fijar las especificaciones de los productos y servicios en función de aquellos. Los personajes descritos anteriormente de una manera u otra han contribuido al concepto de término calidad. Al realizar la pregunta a mis estudiantes ¿Qué es Calidad? las respuestas es variada pero todos coinciden en estas palabras “satisfacción del cliente”

es decir la

percepción del cliente acerca del grado con el cual sus necesidades o expectativas han sido cumplidas. Por lo tanto podemos decir que la calidad es un juicio que el cliente tiene sobre un servicio o producto, resultado del grado con el cual un conjunto de características inherentes al producto cumple con sus requerimientos. Según ISO 9000:2005 define calidad como: Grado en el que un conjunto de características requisito a

inherentes cumple con los requisitos. Entendiéndose como necesidad o expectativa establecida, generalmente implícita u

obligatoria.[1] Para los clientes siempre se les deben brindar productos y servicios que satisfagan sus necesidades. Debemos recordar que un producto o servicio es el resultado de un proceso mediante el cual un conjunto de actividades mutuamente relacionadas o que interactúan, las cuales transforman elementos de entrada en resultados. La norma ISO 9000:2005 utiliza la expresión producto para designar el resultado de un proceso. Considera cuatro categorías genéricas de productos: 1. Servicios (transporte,…), 2. Software (aplicaciones informáticas, información,…), 3. Hardware (partes mecánicas, elementos tangibles,…) y 4. Materiales procesados (lubricantes,…).

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La mayoría de los productos contienen elementos que pertenecen a diferentes categorías genéricas de producto. Además menciona que la denominación del producto en cada caso como servicio, software, hardware o material procesado depende del elemento dominante. Por ejemplo, el producto ofrecido "automóvil" está compuesto por hardware (por ejemplo, las ruedas), materiales procesados (por ejemplo, combustible, líquido refrigerante), software (por ejemplo, los programas informáticos de control del motor, el manual del conductor), y servicios (por ejemplo, las explicaciones relativas a su funcionamiento proporcionadas por el vendedor). [1]. Un servicio es el resultado de llevar a cabo necesariamente al menos una actividad en la interfaz entre el proveedor y el cliente y generalmente es intangible. La prestación de un servicio puede implicar, por ejemplo: -

Una actividad realizada sobre un producto tangible suministrado por el cliente (por ejemplo, reparación de un automóvil);

-

Una actividad realizada sobre un producto intangible suministrado por el cliente (por ejemplo, la declaración de ingresos necesaria para preparar la devolución de los impuestos);

-

La entrega de un producto intangible (por ejemplo, la entrega de información en el contexto de la transmisión de conocimiento);

-

La creación de una ambientación para el cliente (por ejemplo, en hoteles y restaurantes).

Definir la calidad de un servicio resulta más subjetivo e impreciso que definir la calidad de un producto. El producto tangible existe antes de entregarlo al cliente y se puede inspeccionar y medir sus variables, mientras que el servicio se produce y entrega en el mismo acto, por lo que debe prestarse con la calidad requerida sin posibilidad de sustitución. Como la belleza, la calidad de un servicio “depende del color del cristal con el que se mira”. El software se compone de información, generalmente es intangible y puede presentarse bajo la forma de propuestas, transacciones o procedimientos. El hardware es generalmente tangible y su magnitud es una característica contable. Los materiales procesados generalmente son tangibles y su magnitud es una característica continua. El hardware y los materiales procesados frecuentemente son denominados como bienes.

Ing. Martha Tesén Arroyo

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Los clientes necesitan productos o servicios con características que satisfagan sus necesidades y expectativas. Estas necesidades y expectativas se expresan en la especificación del

producto o servicio y son generalmente denominadas como

requisitos del cliente con un valor añadido. Los requisitos son las necesidades o expectativas establecidas por las partes interesadas, las obligatorias o las que se consideran implícitas por hábito o práctica común para la organización, sus clientes o partes interesadas. Debemos entender a las necesidades implícitas son los requerimientos no especificados de forma explícita por el cliente ni por el proveedor (pero que el cliente espera ver satisfechas), se refiere a los requerimientos no regulados en un contrato. No es significativo del valor o estima que genera en el cliente la necesidad de adquirir un bien. ( y es precisamente ese valor es lo que distingue la calidad de un bien por encima de los demás). Como se mencionó anteriormente la satisfacción del cliente depende de la percepción de éste sobre el grado en que se han cumplido sus requisitos. Los requisitos para los productos o servicios y, en algunos casos, los procesos asociados pueden estar contenidos en las especificaciones técnicas, normas de producto o servicio, normas de proceso, acuerdos contractuales y requisitos reglamentarios. En cualquier caso, es finalmente el cliente quien determina la aceptabilidad del producto servicio. La globalización exige ahora aún más a las empresas brindar productos de calidad, la calidad como se mencionó es la satisfacción del cliente, se dice que hay satisfacción cuando el cliente recibe del producto o servicio al menos lo que esperaba. La importancia del control de calidad va desde la planeación de las actividades para que los requisitos de la calidad del producto o servicios se cumplan además es necesario implementar estrategias de mejora, con la finalidad de reducir costos e incrementar la productividad. La calidad siempre va de la mano con dos términos : La competitividad y Productividad. 1.2. Competitividad. Se define a la competitividad como la capacidad que tiene una empresa para generar valor para el cliente y sus proveedores de mejor manera que sus competidores. [2] Esta capacidad se manifiesta por medio de niveles adecuados para diferentes componentes de los factores de la competitividad tales como la calidad de producto, el precio y la calidad del servicio. Una empresa en más competitivo cuando ofrece Ing. Martha Tesén Arroyo

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calidad a bajo precio y mediante un buen servicio. En la figura 1.1 se visualiza los factores de la competitividad. Esta capacidad

se manifiesta por medio de niveles

adecuados

para diferentes

componentes de los factores de la competitividad tales como la calidad de producto, el precio y la calidad del servicio. Una empresa en más competitivo cuando ofrece calidad a bajo precio y mediante un buen servicio. En la figura 1.1 se visualiza los factores de la competitividad.

Figura 1.1. Factores de la competividad Fuente: Adaptado. [2]

1.3 La Productividad. Se entiende como la relación entre lo producido y los medios empleados, por lo tanto se mide mediante el cociente: resultados logrados entre recursos empleados.

Los resultados logrados pueden medirse

en unidades producidas, piezas vendidas,

clientes atendidos etc.

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Los recursos empleados se cuantifican por medio de número de trabajadores, tiempo total empleado, horas máquina, materia prima utilizada Nos preguntamos ¿De qué manera podemos mejorar la productividad de una empresa?. Se puede mejorar la productividad de una empresa maximizando los resultados y optimizando los recursos empleados. Es así que la productividad suele dividirse en dos componentes la eficacia y la eficiencia. La eficiencia es la relación entre los resultados logrados y los recursos empleados, se mejorar optimizando el uso de recursos empleados, lo cual implica reducir tiempos desperdiciados, paros de equipos, falta de material, retrasos, etc. [2] La Eficacia. Es el grado de con el cual las actividades previstas son realizadas y los resultados planeados son logrados. Es decir ser eficaz es cumplir con objetivos y se atiende maximizando los resultados [2]. Para un mejor entendimiento

suponemos que

en una industria de conservas la

productividad se mide a través de las latas de conservas producidas entre el tiempo total empleado.

Entonces la eficiencia será la relación entre el tiempo útil y el tiempo total mientras

La eficacia será el cociente entre las latas de conservas producidas y el tiempo útil.

Gutiérrez y de la Vara (2009) sugiere dos programas para mejorar la productividad mejorar la eficiencia y la eficacia. Al mejorar la eficiencia se busca reducir tiempos Ing. Martha Tesén Arroyo

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desperdiciados, paros de equipos, falta de material, retrasos, falta de balances en las capacidades, retraso en los suministros y en las órdenes de compra, así como el mantenimientos y reparaciones no programadas etc. Ahora si hablamos de la mejora de la eficacia en la cual se busca la disminución de los productos con defectos, las fallas en los arranques y en la operación de los procesos, es decir se busca disminuir las deficiencias en los materiales, diseños y equipos, además de incrementar y mejorar las habilidades del personal y generar programas que ayuden a las personas a realizar mejor su trabajo. Por ejemplo en la empresa de conservas se determinó que la eficiencia es 50%, es decir que en esta empresa se desperdicia la mitad del tiempo en promedio por aspectos de logística y organización, etc. Además se determinó que la eficacia promedio fue de un 80% , lo cual significa que si se planean materiales y actividades para producir 100 latas de conservas al final solo 80 latas en promedio están libres de defectos y las otras 20 se quedaron a lo largo del proceso por algún tipo de defecto, de estas 20 algunas podrán recuperarse y otras se convertirán en desperdicio. De esta manera la multiplicar la eficiencia con la eficacia se obtendrá el una productividad promedio del 40%. Productividad: Mejoramiento Continuo del Sistema Más que producir rápido, producir mejor Productividad= Eficacia x Eficiencia

Eficiencia = 50% El 50% del tiempo se desperdicia en - Programación - Paros no programados - Desbalance de capacidades - Mantenimiento y reparaciones

Eficacia = 80% De 100 unidades , 80 están libres de defectos, 20 tuvieron algún defecto

Figura 1.2. La Productividad y sus Componentes

Fuente: Adoptado de [2]

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En la figura 1.2 se ejemplifica lo mencionado anteriormente. El reto de los ingenieros es mejorar esta productividad y se puede realizar mediante la mejora continua ya sea mediante acciones preventivas y correctivas. Las acciones preventivas sirven para eliminar la causa de una inconformidad potencial u otra situaciĂłn indeseable, con esto se enfoca a prevenir ocurrencias. Las acciones correctivas son aquellas que eliminan la causa de la inconformidad detectada y se emplea para prevenir la recurrencia.

Ing. Martha TesĂŠn Arroyo

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CAPÍTULO II DEFINICIONES BÁSICAS

2.1 Definiciones Estadísticas Antes de iniciar con los la definición del control estadístico de la calidad es necesario tener en claro algunas definiciones estadísticas.

 Estadística. Es la Ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos científicos para recolectar, organizar, resumir y analizar datos, para obtener conclusiones válidas para la toma de decisiones razonables basadas con tal análisis. La estadística se divide en: Descriptiva y Inferencial. [3]

Estadística Descriptiva. La estadística descriptiva, es la estadística que sólo se ocupa de describir y analizar un grupo de datos, sin sacar conclusiones sobre un grupo mayor. [3]

Estadística

Inferencial.

La

estadística

inferencial,

es

un

conjunto

de

procedimientos que nos permiten efectuar generalizaciones de la muestra a la población. Se utiliza para probar hipótesis y estimar parámetros, se basa en el concepto de distribución muestral. [3]

 Unidad de Análisis o Unidad de Observación. Es la unidad indivisible a quien se estudia, del cual se obtiene el dato estadístico. También se define como el objeto de estudio. Puede ser una paciente, una planta, un pescado, una lata de conserva, etc.  Población. Es el conjunto de unidades de observación o elementos de la misma especie que se pretende estudiar en una investigación científica y de la cual se obtiene una muestra.

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 Muestra. Es un subconjunto de la población sobre quienes se va estudiar, la cual debe haberse elegido al azar (aleatorio) y debe ser representativa de la población a la cual pertenece, esto quiere decir sin sesgos. En general la muestra es toda parte representativa y adecuada de la población. A partir del análisis de la muestra obtenida correctamente y al azar, se puede hallar conclusiones que sean extrapolables a la población de origen. Para elegir la muestra debe apelarse a un determinado método de muestreo.  Estadístico. Es una medida de resumen que nos describe algunas características de interés y cuyo valor es calculado usando sólo los valores de los elementos o unidades de una muestra. Algunos estadísticos conocidos y más usados son: La media muestral

denotado por

La varianza muestral

denotado por

S2

La proporción muestral

denotado por

p

El total muestral

denotado por

x

El coeficiente de correlación muestral

denotado por

r

 Dato. Es el valor de la variable asociada a un elemento de la población o muestra. Este valor puede ser un número o una palabra.  Variable. Es una característica o propiedad determinada de las unidades de análisis, sea medible o no. Esta propiedad hace que las unidades de análisis de un grupo pueden diferir de las de otro grupo en la muestra o población de estudio. Clasificación de Variables. En la Figura 2.1 se muestran la clasificación de las variables.

a. Por Su Naturaleza. Se clasifican en -

Variable Cuantitativa: Es la que se puede medir. Habitualmente es llamada variable numérica o métrica, estas se clasifican en: discretas y continuas Variables Cuantitativas Discretas: Tienen un recorrido finito o a lo más numerable. Ejemplos: Número de latas de conserva que ingresan a una

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autoclave, número de alumnos matriculados en el curso de control de calidad, número de plantas Agroindustriales del departamento de Lambayeque, número de dientes con caries, número de hijos por familia. etc.

-

Variables Cuantitativas Continuas: Tienen un recorrido infinito no numerable, la variable puede tomar, teóricamente, cualquier valor en un cierto intervalo. Ejemplos: Densidad, humedad, acidez, temperatura, dureza del agua, ºBrix, Presión sanguínea, nivel de colesterol en la sangre, estatura, peso, ingreso económico, edad, longitud, etc.

Variable Cualitativa: Son variables que representan cualidades o atributos de la muestra, como por ejemplo: El sabor, color, tipos de conservantes, tipos de licores, género (masculino, femenino), VIH (presente, ausente), grupo sanguíneo (A, B, AB, O), grado de instrucción, desnutrición, etc.

Discreta Cuantitativa Continua Por su naturaleza

Cualitativa Variables Dependiente

Por su Relación

Independiente

Interviniente

Figura 2.1. Clasificación de las variables

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b. Por su Relación.- Se clasifican en: Variables dependientes: Es la variable motivo del estudio, cuyos valores dependen de otras variables que pueden influir en ella. También se le llama variable respuesta. Ejemplo: respuesta a un tratamiento, rendimiento escolar, ventas, etc. Variable Independiente: Es la que modifica de una u otra manera a la variable dependiente, llamándose también según el caso factor de riesgo, factor predictivo, Ejemplo: Horas de estudio, minutos de publicidad, etc. Variable Interviniente: Son aquellas que coparticipan con la variable independiente condicionando a la variable dependiente. Ejemplo: Material de trabajo, medios de publicidad, etc.

 Escalas de Medición Variables categóricas nominales: Son variables cualitativas que no permiten establecer un orden. Ejemplo: raza (negra, blanca, trigueño, etc.), grupos sanguíneos (A,B,AB,O). También son excluyentes entre si, o sea que cada individuo pertenece a una u otra categoría pero no a las dos al mismo tiempo. Variables categóricas ordinales: Estas si permiten establecer un orden determinado, por Ejemplo: grado de instrucción de un paciente (inicial, primaria, secundaria, superior), nivel socioeconómico (bajo, medio, alto). etc. También son excluyentes entre si. Escala Interválica. Es una escala ordinal, que se usa en mediciones de variables continuas que además de tener un orden tienen mantienen una equidistancia entre sí y para lo cual pueden iniciar con un cero relativo o arbitrario y mantener un intervalo de separación.

Ejemplo 1: temperatura, presión de vapor, grados brix, acidez, grado alchólico, las calificaciones de un test o de un examen de conocimientos. Estas tienen un cero elegido arbitrariamente, por ejemplo si un alumno obtuvo un calificativo de “cero” en un examen de matemáticas I, esto significa que no sabe nada de la materia pues con otra prueba más fácil podría tener otra calificación. Ing. Martha Tesén Arroyo

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Ejemplo 2.- Si tres alumnos A, B,C han obtenido los puntajes 2, 4, 16 respectivamente, no solo se verifica las relaciones 2 y 2<4<16, sino que 16-4 = 6 (4-2) donde se puede inferir que C y B es igual a seis veces la diferencia entre los puntajes de B y A.

Escala de Razón o Cociente. la escala de razón es una escala de intervalo en donde además podemos comprobar cuantas veces un valor de la escala es mayor o menor que otro valor de la escala. La escala de razón tiene cero absoluto.

Ejemplo 1: Peso, talla, número de alumnos; en las que el cero representa la nulidad o ausencia de lo que se estudia. Se dice que un peso de 50 libras es el doble que uno de 25 libras, o que uno de 100 libras es 4 veces mayor que uno de 25 libras. Ejemplo 2: si tres objetos A, B y C miden 2, 4 y 16 metros, se pueden establecer las relaciones: 2, 2 < 4 < 16, 16 - 4 = 6(4-2), y además = 2 ; y , es decir que la longitud de 8 es el doble de A, el de C es 8 veces que el de A y el de C es 4 veces que el de B.

2.2 Control de Calidad El Control de Calidad se introduce en Estados Unidos a principios del siglo XX y puede definirse como: El conjunto de técnicas y actividades de carácter operativo utilizadas para verificar los requisitos relativos a la calidad del producto. Es la actividad técnica y administrativa mediante la cual: se mide las características de calidad de un producto o servicio en uno o más puntos de la cadena productiva, se comparan las características de un producto con especificaciones o requisitos y se toman acciones correctivas apropiadas cuando existe una discrepancia entre el funcionamiento real y el estándar. [4] Lo importante del Control de Calidad es que constituye una herramienta muy eficaz para incrementar la productividad, permitiendo elevar el nivel técnico de la empresa, incrementando la producción y reduciendo los costos de operación. De esta forma, el propósito del control de la calidad es fijar la calidad normal, mantener y mejorar el nivel, la uniformidad y la confiabilidad de la calidad garantizando ésta y

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reduciendo los costos de fabricación, suministrar productos a

la satisfacción del

cliente aumentando los beneficios.

2.3 Control Estadístico de la Calidad (C.E.C) La estadística está formada por un conjunto de técnicas y conceptos orientados a la recolección y análisis de los datos tomando en cuenta la variación de los mismos. Por su lado el Control estadístico de la calidad es la aplicación de técnicas estadísticas a procesos industriales (mano de obra,

materias primas,

mediciones, máquinas y medio ambiente) procesos administrativos y /o servicios con el objetivo de verificar

si todas o cada una de las partes del

proceso o servicio cumplen con las exigencias de calidad. Control Estadístico de la Calidad es la recopilación, análisis e interpretación de datos para su uso en el control de calidad. Los elementos importantes del Control estadístico de la calidad son el Control Estadístico de Procesos y el Muestreo de Aceptación El objetivo del Control estadístico es detectar de manera rápida la ocurrencia de la variabilidad debido a causas asignables, investigando las causas que la han producido y de esa manera poder eliminarlas, así mismo informar sobre las causas encontradas para la toma de decisiones oportunas, pues de lo contrario se producirían unidades de calidad no aceptable, así mismo tiene como objetivo eliminar si es posible o al menos reducir la variabilidad del proceso La aplicación de técnicas estadísticas al control de la calidad está basada en el estudio y evaluación de la variabilidad existente en cualquier tipo de proceso.

2.4 La Variabilidad La Variabilidad forma parte de nuestra vida por ejemplo el tiempo que tardamos en llegar a nuestra casa cuando salimos de las clases de la universidad, la temperatura del ambiente es variable de un día a otro, esta variación también ocurre en los procesos de las empresas.

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Por ejemplo en un supermercado de Chiclayo se registra el tiempo que los clientes esperan para ser atendidos en caja de pago, al azar se eligen

50 clientes obteniéndose los

siguientes resultados mostrados en la tabla 2.1

Tabla 2.1 Tiempo de espera para ser atendidos en caja de pago (min) 12,1

7,3

15,9

13,2

10,5

9,4

5,4

13,2

5,6

8,9

17,3

6,8

12,4

11,4

15,6

6,6

4,7

11,2

12,8

13.6

15,9

12,8

5,1

7,5

13,4

12,4

12,1

6,2

9,4

14,6

17,8

11,9

13,2

6,9

7,7

13,2

13,5

13,6

7,4

7,7

7,5

6,3

8,2

11,2

2.3

12,2

5,2

11,7

9,2

12,1

En este ejemplo se muestra que el promedio de espera fue de 10,4min. Pero existe variación ya que un cliente espero menos de 2,3 minutos y otro fue atendido después de 17,8 minutos de espera. De aquí que una de las tareas del Control Estadístico de un proceso no solo será conocer su tendencia central sino también su variabilidad.

En una empresa aún cuando los operarios trabajen cuidadosamente, aunque tanto el producto como el proceso hayan sido juiciosamente concebidos, aunque el mantenimiento funcione perfectamente, dos piezas de un mismo producto fabricado bajo las mismas condiciones no son idénticas, es decir, que existirá siempre un cierto grado de variabilidad llamada variabilidad natural del proceso.

La variabilidad natural del proceso es el efecto conjunto de numerosas y pequeñas causas difícilmente (o al menos, costosamente) eliminables (heterogeneidad en la materia prima, cansancio en algún operario, desgastes de la maquinaria, iluminación irregular, variaciones en la temperatura y la humedad ambiental, imprecisiones de los

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aparatos de medida y del operario que mide, etc) que hacen que los resultados de la producción no sean totalmente idénticos en todas sus unidades. Estas causas que originan la variabilidad natural del proceso se conocen como causas comunes. Existen otro tipo de causas que originan aumento del sesgo y/o la variabilidad y que, en contraposición a las causas comunes, se presentan de forma accidental son, en general, fácilmente eliminables. Ejemplo de estas causas son errores de los operarios, defectos en la materia prima, desajuste de máquinas, etc. A estas causas se les denomina causas asignables, accidentales o especiales.

Por definición, se dice que un proceso está bajo control estadístico cuando no hay causas asignables presentes. El Control Estadístico de Procesos se basa en analizar la información aportada por el proceso para detectar la

presencia de causas

asignables y habitualmente se realiza mediante una construcción gráfica denominada Gráfico de Control. Si el proceso se encuentra bajo control estadístico es posible realizar una predicción del intervalo en el que se encontrarán las características de la pieza fabricada. A continuación se presenta una tabla comparativa de las causas comunes y especiales Tabla 2.2 Causa comunes y causas especiales que origina la variabilidad Causas Comunes

Causas Especiales

- Originadas por muchas fuentes de poca - Originadas importancia. - Tienen carácter permanente.

- Son las únicas presentes cuando el proceso está bajo control. - Su corrección exige actuaciones a nivel de dirección.

pocas

fuentes

individualmente importantes. - Tienen carácter puntual e irregular.

- Dan lugar a una distribución estable y, - Modifican por tanto, previsible.

por

producción.

la

distribución El

proceso

de

la es

imprevisible. - Determinan que el proceso esté fuera de control. - Se corrigen mediante actuaciones locales.

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EJERCICIOS 1. Clasifica las siguientes variables como cualitativas o cuantitativas, y a estas últimas como continuas o discretas: a) Carreras que se estudian en la U.S.A.T b) Nº de cartas que se escriben en un mes c) Número de calzado d) Precio de un producto. e) Marcas de gaseosa f) Nº de empleados de una empresa g) Altura h) Temperatura de un enfermo

2. Establecer cuáles de estos datos son discretos y cuáles continuos: a. Temperaturas medidas en un laboratorio cada media hora. b. Ingresos anuales de los profesores de educación media. c. Longitudes de 100 tornillos producidos en una empresa. d. Número de estudiantes en un aula

3. Clasificar cada una de las siguientes variables: a. Distancia diaria recorrida por cada estudiante para ir de su casa a la universidad. b. Tiempo que requiere un estudiante para responder a un examen. c. Llamadas que llegan a la central telefónica de USAT en un día d. Preferencia por cierta marca de refresco. e. Color del cabello de las estudiantes que toman el curso de estadística en el trimestre f. Número de acciones vendidas en un día en la Bolsa de Valores. g. Vida media de los tubos producidos por una fábrica

4. Se ha hecho un estudio para determinar la preferencia de una marca especial de detergente por parte de las amas de casa. Entre las 50 amas de casa entrevistadas, 30 dijeron que preferían esta marca. a. ¿Qué constituye la muestra?. b. ¿Qué constituye la población?. c. ¿Cuál es la proporción, dentro de la muestra, de las amas de casa que prefieren la marca del detergente?.

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5. En una fiesta, el 50% de los invitados son hombres. De todos los hombres de la fiesta, el 40% son calvos y de ellos el 50% habla inglés. Si 4 calvos hablan inglés. ¿Cuántas mujeres hay en la fiesta?.

6. Para comparar la precisión de 2 instrumentos de medición, un técnico de laboratorio estudia mediciones hechas con ambos instrumentos. El primero se usó recientemente para medir el diámetro de un rodamiento y las mediciones tuvieron una media de 4,92 mm. con una desviación estándar de 0,018 mm. El segundo se empleó hace poco para medir la longitud sin extender de un resorte y las mediciones tuvieron una media de 2,54 pulgadas con una desviación estándar de 0,012 pulgadas. ¿Cuál de los 2 instrumentos es relativamente más exacto?.

7. Diego utiliza 2 máquinas diferentes para fabricar productos de salida de papel destinadas a copiadoras. Los conductos de una muestra de la primera máquina medían 12,2; 11,9 ; 11,8 ; 12,1 ; 11,9 ; 12,4 ; 11,3 y 12,3 pulgadas. Los conductos hechos con la segunda máquina medían 12,2 ; 11,9 ; 11,5 ; 12,1 ; 12,2 ; 11,9 y 11,8 pulgadas. Diego tiene que utilizar la máquina que produzca conductos de tamaños más uniformes. ¿Qué máquina deberá utilizar?

8. Instrucción: Identificar la unidad de estudio, tipo de variable, la población y la muestra en los siguientes casos que se presentan. La empresa MILK S.A. está realizando un estudio de mercado a nivel del distrito de Chiclayo. En especial está considerando las familias residentes en las Urbanizaciones cercanas al perímetro de la plaza de armas de esta ciudad. Su interés es conocer cuánto gastan semanalmente en el consumo de leche de tarro color azul. Si Ud. fuera el encargado de realizar esta investigación identifique: Unidad de estudio Variable de estudio

Tipo:

Población Muestra

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CAPÍTULO III ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

El presente capítulo tiene por finalidad que el estudiante analice las principales técnicas para realizar un análisis descriptivo de un conjunto de datos

donde se

determine la tendencia central la variabilidad así como la distribución de los datos así mismo interpretar de manera adecuada el histograma y los percentiles y un diagrama de cajas. Así mismo aplicar los conceptos para realizar una valoración amplia de la capacidad de un proceso. Las variables de salida o de o de respuesta de un proceso deben de cumplir con ciertas metas y/o especificaciones a fin de que sea posible considerar que el proceso funciona de manera satisfactoria. Por ello, una tarea primordial del control de calidad es conocer

la capacidad o habilidad de un proceso, que consiste en

determinar la amplitud de la variación natural del proceso para una característica de calidad dada. Esto permitirá saber en qué medida tal característica de calidad es satisfactoria. En este capítulo se estudiaran las principales técnicas de la estadística descriptiva para el análisis de una variable de tipo continuo. Estas técnicas son de gran utilidad para entender mejor la capacidad de proceso.

Capacidad de Proceso. La capacidad de proceso consiste en conocer la amplitud de la variación natural del proceso para una característica de calidad dada; esto permitirá saber en qué medida tal característica de calidad es satisfactoria (cumple con las especificaciones). [2] Por lo general para realizar un estudio de capacidad se toman datos del proceso durante un periodo considerable para que se refleje bien el desempeño del proceso. El periodo de referencia depende de la velocidad del proceso, ya que si se trata de un proceso masivo que produce muchas piezas por día, entonces un periodo de cuatro a diez días, y de ahí, cada determinado tiempo se toma una pequeña cantidad de productos hasta completar una muestra de 120 a 150. Pero cuando se trate de un proceso lento, que produce poco productos por día, es necesario

incrementar el

periodo de estudio para completar una muestra de por lo menos 50 a 60 productos. Ing. Martha Tesén Arroyo

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En ambos casos, en la medida que se tengan más datos y un periodo más amplio será posible conocer mejor el estado real del proceso En resumen podemos decir que la capacidad de proceso Es el grado de aptitud que tiene un proceso para cumplir con las especificaciones técnicas deseadas. - Cuando la capacidad de un proceso es alta, se dice que es capaz. - Cuando se mantiene estable a lo largo del tiempo se dice que está bajo control. - Un proceso va a estudiarse con respecto a una variable aleatoria que es el indicador de calidad.

Para determinar si un proceso es o no capaz se pueden utilizar las siguientes herramientas: Histogramas, Gráficos de Control, Gráficos de Probabilidad, Estudios de índices de Capacidad.

A Continuación tenemos el siguiente ejemplo. 3.1. En un proceso

de

envasado

de

conservas

de

esparrago,

una

característica de calidad del producto es el peso neto siendo este de 205 g con una tolerancia de ± 5 g. Así para considerar que el proceso de envasado

fue satisfactorio, debe estar

entre la

especificación inferior, EI= 200 y la superior, ES= 210 g. En un estudio de capacidad para este proceso es necesario contestar las siguientes interrogantes: a. ¿Qué tipo de conserva se está produciendo en cuanto al peso? b. ¿El peso medio es el adecuado? c. ¿La variabilidad del peso es mucha o poca?

Para contestar estas preguntas, durante una semana se obtuvieron de una línea de producción

los 125 datos

de tabla

3.1. El muestreo

fue sistemático: cada

determinado tiempo se tomaban cinco productos y se pesaba. A Continuación se analizarán estos datos por medio de diferentes estadísticos. (Ejemplo adaptado de Gutiérrez y De La Vara, 2009)

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Tabla 3.1. Datos del peso de conservas de esparrago. (g) 215

210

207

206

206

205

207

210

206

209

207

203

210

207

207

210

204

209

203

209

206

208

206

207

207

207

203

206

206

207

210

208

205

203

210

207

207

207

207

208

214

206

208

206

212

213

212

209

208

209

207

206

207

208

209

213

209

206

209

210

210

209

207

209

212

209

208

201

209

209

207

209

210

207

215

206

206

210

210

206

208

211

210

212

206

205

210

202

201

208

205

205

209

203

207

207

209

210

211

213

205

203

210

204

208

205

210

205

212

206

209

207

210

214

212

209

209

207

206

208

207

209

211

210

210

Para contestar estas preguntas haremos uso de la estadística descriptiva.

3.1. Medidas de Tendencia Central La estadística busca entre otras cosas, describir las características típicas de conjuntos de datos y, como hay varias formas de hacerlo, existen y se utilizan varios tipos de promedios. Se les llama medidas de tendencia central porque generalmente la acumulación más alta de datos se encuentra en los valores intermedios. [2] Con las mediciones de una característica de la calidad como las del ejemplo anterior el primer objetivo es conocer la tendencia central de los datos, identificar un valor en torno al cual los datos tienden a aglomerarse o concentrarse. esto permitirá saber si el proceso está centrado ; es decir si la tendencia central de la variable de salida es igual o está muy próxima a un valor nominal deseado (En el ejemplo es 205 g) Tendencia central es el valor en torno al cual los datos o mediciones de una variable tienden a aglomerarse

o concentrarse. Las

medidas de tendencia central son

estadígrafos de posición que son interpretados como valores que permiten resumir a un conjunto de datos dispersos, podría asumirse que estas medidas equivalen a un centro de gravedad que adoptan un valor representativo para todo un conjunto de datos predeterminados.

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Estas medidas son: 1. Promedio Aritmético (Media o simplemente promedio) 2. Mediana 3. Moda 4. Promedio Geométrico 5. Promedio Ponderado 6. Promedio Total 7. Media Armónica

Media muestral ó Promedio aritmético Es la medida de tendencia central que es igual al promedio aritmético de un conjunto de datos, que se obtiene al sumarlos y el resultado se divide entre el número de datos. Sea x1, x2, x3,… xn, son las observaciones numéricas de una muestra ̅

Para calcular la media de los 125 datos que se muestran en la tabla 2.1 tendremos ̅

Con lo cual, el peso promedio de los conservas de la muestra es 207,9g. Esto no significa que todos o la mayoría tengan un peso de 207,9 g, es más en el ejemplo, ningún disco tiene tal peso. En este caso, dado que la media muestral procede de una muestra significativamente grande que abarca el periodo de una semana, entonces hay evidencia de que el proceso esta descentrado de forma a la derecha o hacia un valor superior, ya que el valor objetivo para el peso es 205 g.

Media Poblacional o del proceso, µ Si para calcular la media se utilizan todos los elementos de la población (todos los posibles individuos, especímenes, objetos o medidas de interés sobre los que se hace

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un estudio), por ejemplo el grosor

de todos los discos producidos en la última

semana o mes, entonces el promedio calculado es la media del proceso (o media poblacional) y se denota con la letra griega µ (mu).

Es importante destacar que la media del proceso µ es igual a cierto valor, aun no siempre se conoce; mientras que el valor de ̅ se obtiene para cada muestra y es diferente de una muestra a otra, ya que su valor depende de las piezas que se seleccionan. Por lo anterior, el valor que se observa de la media muestral general

̅ , por lo

es diferente a la media del proceso, µ. Luego es preciso tener cuidado con

las afirmaciones basadas en ̅ sobre la media del proceso o población.

En general, lo que se observa

en los estadísticos

muestrales acerca del

comportamiento de los datos es válido para la muestra, y en qué medida que esta sea representativa y grande también tendrá cierto grado de aproximación para todo el proceso; sin embargo es necesario utilizar técnicas estadísticas para evaluar lo que significan en todo el proceso. (Gutierrez y De La Vara, 2009). Mediana o Percentil 50 Otra medida de tendencia central de un conjunto de datos es la mediana ̃ , que es igual al valor que divide a la mitad a los datos cuando son ordenados de menor o mayor. Así para calcular la mediana cuando el número de datos es impar, éstos se ordenan de manera creciente y el que quede en medio de dicho ordenamiento será la mediana, pero si el número es par, entonces la mediana se calcula dividiendo entre dos la suma de los números que están en el centro de ordenamiento. Podríamos decir también que la mediana es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones ordenadas. El 50% de las observaciones son mayores que este valor y el otro 50% son menores.

La ubicación de la mediana de n datos ordenados se determina por :

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Por ejemplo si tenemos 7 datos ordenados: {5, 5, 5, 6, 7, 8, 8 }. La ubicación de la mediana es . Luego el valor de la mediana es: Me=6 Si tenemos 8 datos ordenados: {2, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8}, la mediana se ubica en el lugar . Luego el valor de la mediana es

Para el ejemplo 2.1 tendremos la ubicación de la mediana

, por lo tanto la

mediana es 208 g, lo cual significa que el 50% del peso de la conservas de la muestra son menores o iguales a 208 g y que el otro 50% son mayores o iguales a 208 g.

Moda Otra forma de medir la tendencia central de un conjunto de datos es mediante la moda,

que es igual al dato que se repite más veces. Si varios datos tienen la

frecuencia más grande, entonces cada uno de ellos es una moda, y se dice que el conjunto de datos es multimodal.

Por ejemplo se tienen, durante los últimos 30 días que el valor de las compras en un producto fue: { 10,2; 7,0; 7,1; 10,2; 8,3; 9,4, 9,2; 6,5, 7;1; 6,6; 7,8; 6,8; 7,1; 8,4; 9,6; 8,5; 5,7; 6,4; 10,1; 8,2; 9,0; 7,8; 8,2; 5,3; 6,2; 9,1; 8,6; 7,0; 7,7; 8,3} la moda ( Mo) es igual a 7.1; es el valor más frecuente, ocurre 3 veces.

En el ejemplo 3.1 de los pesos hay una sola moda y es de 207 g. Esta medición fue la más fue la más frecuente, se repitió 23 veces. De esta forma, en el ejemplo tenemos que la media es 207,9, la mediana 208 y la moda 207. Debido a que la media es la medida de tendencia central más usual, en ocasiones se comete el error de creer que Ing. Martha Tesén Arroyo

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ésta divide los datos a la mitad o que es el dato más frecuente, es decir, se confunde el concepto de media con el de mediana y moda, respectivamente. Un aspecto relevante es tomar en cuenta cuando se utiliza la media, es que ésta resulta afectada por datos extremos o atípicos, por ejemplo la media y la mediana para los siguientes datos. 1 100; 1 300; 1 000 1 500, 800, 1 600, 1 100 Son promedio ̅ =1 200 y mediana ̃ = 1 100, pero si a la lista anterior agregamos un dato atípico (7 600) entonces : ̅ =2 000 y ̃ = 1 200 son muy diferentes entre sí, debido a que 7 600 ha jalado a la media, y ahora que ya no es una buena medida de tendencia central porque solo un dato está por arriba de la media. En este tipo de casos, la mediana no es afectada por el dato atípico, lo cual tampoco ocurre cuando la distribución de los datos es sesgada. Por lo tanto, bajo estas condiciones, la mediana es mejor medida de tendencia central. Cuando la población tiene una distribución sesgada, con frecuencia la mediana resulta ser la mejor medida de posición, debido a que está siempre entre la media y la moda. La mediana no se ve altamente influida por la frecuencia de aparición de un solo valor como es el caso de la moda, ni se distorsiona con la presencia de valores extremos como la media. De lo anterior se deriva que, para describir la tendencia central de los datos, es imprescindible apoyarse tanto en la media como en la mediana y la moda. Cuando la media es muy diferente a la mediana es señal de que existen datos atípicos o existe un sesgo importante, por lo que será mejor reportar como medida de tendencia central a la mediana e investigar a que se deben los datos atípicos , ya que en ocasiones reflejan un aspecto importante del proceso

Las medidas de tendencia central son insuficientes como criterio de calidad. Suponga que la longitud de una pieza debe estar entre 800 ± 5. Para ver si se cumple con las especificaciones se toma una muestra aleatoria grande y se obtiene que ̅ =801 y ̃ = 800 y moda = 800 Debido a que estos estadísticos están dentro de las especificaciones se podría creer que proceso cumple con estás. Sin embargo, esto no necesariamente es cierto ya que en la muestra podría haber datos desde 750 y 850 y la media de todos ellos ser 801. Ing. Martha Tesén Arroyo

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Pero también podría ocurrir que el rango de variación de los datos vaya de 797 a 803, con lo que sí se cumpliría con las especificaciones. En otras palabras, las medidas de tendencia central son insuficiente como criterio de calidad, ya que no toman en cuenta qué tan dispersos están los datos, un hecho vital para la calidad.

3.2 Medida de Dispersión ó Variabilidad. Los estadísticos de tendencia central o posición nos indican donde se sitúa un grupo de puntuaciones. Los de variabilidad o dispersión nos indican si esas puntuaciones o valores están próximas entre sí o si por el contrario están

muy

dispersas. Además de conocer la tendencia central de un conjunto de datos es necesario saber qué tan diferentes son entre sí, es decir, es preciso determinar la variabilidad o dispersión. Esto es un elemento vital en el estudio de capacidad de un proceso. Las medidas de dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los valores de la distribución respecto al valor central. Distinguimos entre medidas de dispersión absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las relativas que nos permitirán comparar varias muestras.

En seguida veremos 4 formas de medir la variabilidad Desviación estándar muestral. Es la medida más usual de la variabilidad e indica qué tan esparcidos están los datos con respecto a la media; se denota con la letra S y se calcula, mediante

la

siguiente expresión ( √

Donde

̅)

(

̅)

(

̅)

son las observaciones numéricas de la muestra, n tamaño de la

muestra y ̅ es la media muestral (promedio). Como se puede apreciar, S mide la distancia que en promedio hay entre los datos y la media; por ello, entre más grande sea el valor S habrá mayor variabilidad en los datos. La Desviación estándar es

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expresada en las mismas unidades de medición que los datos (gramos, milímetros, etc). Además, S no muestra la magnitud de los datos, solo refleja lo retirado que están, los datos de la media y, al igual que ésta, es afectada por datos atípicos.

Desviación Estándar Poblacional o del proceso,σ Refleja la variabilidad de un proceso. Para su cálculo se debe utilizar un número grande de datos que hayan sido obtenidos en el transcurso de un lapso de tiempo amplio, se denota por la letra griega sigma σ. Para calcular la desviación estándar se emplean todos los elementos de la población o proceso. Por otra parte el cuadrado de la desviación estándar, S2, conocido como varianza muestral, es muy importante para propósitos de inferencia estadística. Y en forma equivalente σ2 es la varianza poblacional. Otra medida de dispersión es el rango o recorrido R, que es el resultado de la diferencia entre el dato mayor y el dato menor de la muestra. El rango mide la amplitud de la variación de un grupo de datos, y también es independiente de la magnitud de los datos; ejemplo sean los dos conjuntos de datos: A= {10, 12, 14} y B = {159, 161, 163} Entonces se observa que la magnitud de los datos es diferente, y eso es reflejado por la media, que es de 12 y 161, respectivamente. Pero en cuanto a la variabilidad, los datos de ambos conjuntos están dispersos de la misma manera, como lo indica la desviación estándar que es igual a 2 en ambos casos, el rango que es de 4 para los dos conjuntos.

El coeficiente de Variación, CV, es una medida de variabilidad que indica la magnitud relativa de la desviación estándar en comparación con la media. Es útil para contrastar la variación de dos o más variables que están medidas en diversas escalas.

̅

(

)

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El CV es útil para comparar la variación de dos o más variables que están medidas en diferentes escalas o unidades de medición (por ejemplo, metro frente a centímetro o metro frente a kilogramo). Este coeficiente suele interpretarse como una medición en términos porcentuales de la variación. Por ejemplo en el caso de los conjuntos de datos Ay B que se acaban de presentar en la definición de rango, se tiene que sus correspondientes CV son:

y

Respectivamente, por lo que la variabilidad en los términos relativos del CV para el conjunto A es del 16,66%, mientras que para el conjunto B es solo de 1,242%

En caso del peso de las conservas

tenemos

que S=2,757 y S2=7,6010 R=215-

201=14 y el CV= 1,33 %. La interpretación del rango es muy directa, ya que indica la amplitud máxima de la dispersión; así, 14g es la discrepancia máxima que existió entre los pesos de las conservas de la muestra. Por lo general la interpretación de la desviación estándar se hace en combinación con la media

como lo veremos en

seguida, y su interpretación en forma individual se realiza en forma comparativa con respecto a la desviación estándar de otras líneas de producción o lotes. Es necesario tomar en cuenta, en caso de hacer estas comparaciones, que lo que se observa en una muestra es

variable, y por lo general

pequeñas

diferencias muestrales no

implican diferencias entre procesos o lotes. Por último, CV = 1,33% indica que la variación del peso es de 1,33, lo cual puede considerarse relativamente bajo

Relación entre

̅ y S (Interpretación de la desviación estándar)

Una forma de apreciar claramente el significado de la desviación estándar como medida de dispersión en torno a la media, es a través de la relación entre la media y la desviación estándar, la cual está dada por la desigualdad de Chebyshew y la regla empírica. Dos hechos particulares que afirman la desigualdad de la muestra, y que entre ̅ - 2S y ̅ + 2S están por lo menos 75% de los datos de la muestra, y que entre ̅

3S están por lo menos 89% de éstos.

En cuanto a la regla empírica se afirma que en muchos de los datos que surgen en la práctica se ha observado por la experiencia que: Ing. Martha Tesén Arroyo

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Entre ̅ - S

y

̅ + S está 68% de los datos de la muestra

Entre ̅ - 2S y

̅ + 2S está 95%

Entre ̅ - 3S y

̅ + 3S está 99,7%

Todos los intervalos anteriores son validos solo para los datos muestrales y no necesariamente para toda la población o proceso. Sin embargo, si los intervalos se calculan con la media y la desviación estándar del proceso población, entonces serán validos para toda la población. Por lo tanto, en la medida que se tengan muestras aleatorias grandes y representativas, los intervalos anteriores podrán dar una idea aproximada de lo que pasa en el proceso. Lo que afirma el teorema de Chebyshev se aplica para cualquier tipo de datos, independientemente de su comportamiento o distribución. Mientras que la regla empírica, como su nombre lo dice, se obtuvo por medio de observación empírica y es válida para muchos de los casos que se dan en la práctica, sobre todo si los datos tienen un comportamiento con cierto grado de similitud

a una campana o a la

distribución normal. De cualquier manera, ambos casos ilustran muy bien como la desviación estándar mide la viabilidad en torno a la media. Al aplicar la regla empírica a los datos del grosor de los discos, se tiene que una alto porcentaje (cercano a 99%) de las mediciones del grosor del disco varía entre 199,67 y 216,22 g, se derivará del siguiente cálculo: ̅ - 3S 207,94 - 3(2,757) = 199,67

y y

̅ + 3S 207,94 + 3(2,757) = 216,22 g

Al comparar estos límites de variación con las especificaciones (EI=200 y Es = 210), se aprecia que 199,67 está por abajo de la especificación inferior, lo cual refleja la baja capacidad del proceso de envasado para cumplir con especificaciones.

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Límites reales o naturales Los límites reales o naturales de un proceso indican los puntos entre los cuales varía la salida de un proceso y, por lo general, se obtienen de la siguiente manera Limite real Inferior (LRI) = µ - 3σ y Limite real superior (LRS) = µ + 3σ , Los límites indican de dónde a donde varía la salida de un proceso. El cálculo de estos límites está inspirado en la regla empírica, que a su vez coincide con la propiedad de la distribución normal. En un estudio de capacidad, estos límites reales se comparan con las especificaciones para la característica de calidad. Por ejemplo si las especificaciones para una característica de calidad son que ésta debe tener dimensiones de 800±5; luego, la especificación inferior es EI = 795, y la superior es ES = 805. Si además se sabe que la media y la desviación estándar de tal característica de calidad son µ = 800,6 y σ =1,2, respectivamente entonces los límites reales son: LRI = 800,6 - 3(1,2) =797,0

y LRS = 800,6 + 3(1,2) = 804,2

Por lo tanto, se espera que esta característica de calidad varíe de 797,0 a 804,2, con una media de 800,6. Al comparar esto con las especificaciones se aprecia que los límites reales caen dentro de las mismas, entonces se concluye que el proceso es capaz de cumplir con tales especificaciones.

Histogramas Para el análisis de un conjunto de datos la clave es conocer su tendencia central y su dispersión, siendo el Histograma y la tabla de frecuencias mediante los cuales se permiten visualizar estos dos aspectos de un conjunto de datos, además muestran la forma en que los datos se distribuyen dentro de su rango de variación. [2] De manera específica, el histograma es una representación gráfica de la distribución de un conjunto de datos o de una variable, donde los datos se clasifican por su magnitud en cierto número de clases. Permite visualizar la

tendencia central, la

dispersión y la forma de la distribución.

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Comúnmente el histograma se obtiene a partir de la tabla de frecuencia. En la figura 3.1 se muestra el histograma del peso de la conservas, en la que se aprecia que la tendencia central de los datos se ubica alrededor de 207,94 g , no se observan datos raros o atípicos y la distribución de los datos tiene una forma similar a una campana.

Fig. 3.1 Histograma del peso de conservas (g)

Si en el histograma se insertan las especificaciones (200 y 210) para el peso de la conserva se observa que la variación de los datos (amplitud del histograma) es mayor que las especificaciones. Pero, con respecto a 205 que es el peso óptimo, el proceso está descentrado a la derecha, como ya se había visto cuando se calculó la media. Además, el peso de las conservas no es satisfactorio, ya que la orilla derecha del histograma debería estar alejada de la especificación superior (ES=210), lo cual no ocurre, cabe comentar que aunque no hay ningún dato por debajo de EI, no se debe perder de vista que el estudio se hace a partir de una muestra, por lo tanto si se continua tomando datos es casi seguro que se encontrarán mediciones fuera, como lo sugiere la prolongación de la cola derecha de la curva imaginaria que suaviza al histograma.

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Con base en lo anterior, la primera acción que se habría de ejecutar para mejorar la capacidad del proceso de envasado de conservas es mejorar su proceso. A través del ejemplo anterior queda claro que el histograma ayuda a ver la tendencia central de los datos, facilita el entendimiento de la variabilidad y favorece el pensamiento estadístico, ya que de un solo vistazo se logra tener una idea acerca de la capacidad de un proceso, se evitan tomar decisiones solo apoyándose en la media y se detectan datos raros y formas especiales de la distribución de los datos.

Interpretación del Histograma Cuando un histograma se construye de manera correcta, es resultado de un número suficiente de datos (de preferencia más de 100), y estos son representativos del estado del proceso durante el período

de interés; entonces, se recomienda

considerar los siguientes puntos en la interpretación del histograma. 1. Observar la tendencia central de los datos. Localizar en el eje horizontal o escala de medición las barras con mayores frecuencias. En el histograma de la figura 3.1, una parte sustancial de las medición es se localizan entre 205 y 214 g. 2. Estudiar el centrado del proceso. Para ello, es necesario apoyarse en el punto anterior y observar la posición central del cuerpo del histograma con respecto a la calidad óptima y a las especificaciones. Por ejemplo en la figura 3.2 incisos a) y c) se muestran procesos centrados, el primero presenta poca variabilidad, pero el segundo ocurre lo contrario. Mientras que en los incisos b) y d) se observan procesos descentrados, el primero con poca variabilidad y el segundo con mucha. Aun cuando se cumplan las especificaciones, si el proceso no está centrado, la calidad que se produce no es adecuada, ya que entre más se aleje del óptimo más mala calidad se tendrá. Por ello, en caso de tener un proceso descentrado se procede a realizar los ajustes o cambios necesarios para centrar el proceso.

3. Examinar el proceso. Consiste en comparar la amplitud de las especificación es con el ancho del histograma. Para considerar que la dispersión no es demasiada, el ancho del histograma debe caber de forma holgada en las especificaciones. En la figura 3.2 incisos a) y b) hay poca variación, mientras que en los incisos c) y d) ocurre lo contrario. Ing. Martha Tesén Arroyo

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4.

Analizar la forma del histograma. Al observar un histograma considerar que la forma de distribución de campana es la que más se da en salidas de proceso y tiene características similares a la distribución normal fig 3,2 a), b), c) y d). Es frecuente que cuando la distribución no es de este tipo sea la señal de un hecho importante que está ocurriendo en el proceso y que tiene un efecto negativo en la calidad. Por ello, es necesario revisar si la forma del histograma es muy diferente a la de campana. Algunas de las formas

típicas que no coinciden

con una

distribución de campana, son las siguientes.

Distribución sesgada. Es una forma asimétrica de la distribución de unos datos o una variable, donde la cola de un lado de la distribución es más larga que la del otro lado. En la figura 3,2 e) se aprecia un histograma con una distribución sesgada a la derecha, ya que la cola derecha es más grande que la izquierda. En términos generales, un sesgo es una variable de salida refleja el desplazamiento paulatino de un proceso debido a desgastes

o desajustes; así mismo, puede indicar

procedimientos viciados en la forma de obtener las mediciones o un desempeño especial del proceso, en el sentido que aparecen algunos valores inusualmente altos de un solo lado de la distribución (izquierdo o derecho). Cabe aclarar que existen características de calidad que, por su naturaleza, tiene sesgo, como son tiempos de vida y resistencia a la fatiga. Una forma de decidir si una distribución sesgada indica una situación especial a corregir, consiste en comparar ésta con la distribución de la misma característica o de variables similares para datos obtenidos en otro periodo de tiempo. La recomendación general es que ante la sospecha de que hay algo especial atrás de una distribución con sesgo se debe investigar si efectivamente es así Distribución multimodal. Es una forma de la distribución de unos datos en la que sea aprecia claramente dos o más modas (picos). Por lo general, cada moda refleja

una condición

o realidad diferente. En la figura 3,2 f) se aprecia un

histograma en el que claramente se notan dos modas o picos que muestran dos tendencias centrales diferentes. Este tipo de distribuciones con dos o más modas reflejan la presencia de dos o más realidades o condiciones diferentes. Algunas situaciones que originan una distribución multimodal son:

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a. Diferencias importantes de lote en la materia prima que utiliza el proceso, debido a que proceden de diferentes proveedores o al exceso de variación de un mismo proveedor. b. Cuando en el proceso intervienen varios operadores, con criterios o métodos de trabajos diferentes. c. Las mediciones de la variable

de salida que están

representadas en el

histograma fueron realizadas por personas o instrumentos diferentes, por lo tanto, se utilizaron distintos criterios o instrumentos mal calibrados d. El proceso, cuando generó los resultados de la distribución multimodal, fue operando en condiciones diferentes (una condición para cada moda) e. En general, una distribución multimodal se debe a la presencia de fuentes de variación bien definidas que deben ser identificadas y corregidas, a fin de mejorar la capacidad del proceso correspondiente. Una forma de identificarlas es analizar por separado los datos en función de diferentes lotes de materia prima, operadores instrumentos de medición, turnos o días de producción etc, para así comparar los resultados y ver si hay diferencias significativas.

Distribución muy plana. En la figura 3.2 g) se aprecia

un histograma que

muestra una distribución muy chata o plana y que está lejos de tener forma de campana. Las situaciones que pueden causar esto son las mismas que las de la distribución multimodal, pero con la particularidad de que las diferencias

son

menos fuertes; sin embargo, afectan de manera seria la capacidad de un proceso. Por lo tanto también deben ser identificadas y corregidas mediante la estrategia recomendada antes. Distribución con acantilados. En el histograma de la figura 2.2h) se observa un acantilado derecho, que es una suspensión o corte muy brusco en la caída de la distribución. Alguna de las posibles causas que motivan la presencia de un acantilado son : un lote de artículos previamente inspeccionados al 100% donde se excluyo a los artículos que no cumplen con alguna medida mínima o que exceden una medida máxima (como en la figura ), problemas con el equipo de medición , errores en la medición

o inspección (cuando el inspector está

predispuesto a no rechazar un artículo y observa que esté casi cumplía con los

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requisitos, registra la medida mínima aceptable). En general, un acantilado es anormal y, por lo tanto, se debe buscar la causa del mismo. 5. Datos raros o atípicos. Medición cuya magnitud es muy diferente a la generalidad de las mediciones del conjunto de datos correspondientes. Una pequeña cantidad de m ediciones muy extremas o atípicas son identificadas con facilidad mediante un histograma, debido a que aparecen una o más barras pequeñas bastante separadas o aisladas del resto. Un dato raro refleja una situación especial que se debe investigar, y entre las posibles causas están las siguientes: -

El dato es incorrecto, ya sea por error de medición, de registro de dedo cuando fue introducido a la computadora.

- La medición fue realizada sobre un artículo o individuo que no forma parte del proceso o población a la que pertenece al resto. - Si han sido descartadas las dos situaciones anteriores, entonces la medición se debe a un evento raro o especial. Es decir, cuando se hizo la medición, en el proceso estaba ocurriendo una situación especial o fuera de lo común. 6. Estratificar. Consiste en clasificar y analizar datos de acuerdo a las distintas fuentes de donde proceden, como por ejemplo por máquinas, lotes, proveedores, turnos, etc. En ocasiones en el histograma no se observa ninguna forma particular pero existe mucha variación y, en consecuencia, la capacidad del progreso es baja. Cuando los datos proceden de distintas máquinas, proveedores, lotes, turnos u operadores, puede encontrarse información valiosa si se hace un histograma por cada fuente (estratificar), con lo que se podrá determinar cuál es la máquina o el proveedor más problemático De acuerdo a los puntos anteriores, es recomendable que siempre que se realice un estudio de la salida de un proceso se utilice el histograma y éste se interprete a detalle. De esa manera será posible detectar situaciones problemáticas y posibles soluciones para las mismas. Además será una forma concreta de que los datos y mediciones

sobre los procesos, que

información útil

en ocasiones

para la toma de decisiones

abundan, se conviertan en

y acciones. Será necesario tener la

precaución de que el histograma se haya obtenido de manera correcta, sobre todo el número de clases y la cantidad de datos.

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a. centrado con poca variabilidad

c. Centrado con mucha variabilidad

b. Descentrado con poca variabilidad

d. Descentrado con mucha variabilidad

e. con sesgo a la derecha

f. bimodal

40

40

30

30

20

20

10

10 4

6

8

10

12

14

16

g. achata

4

6

8

10

12

14

16

h. acantilado derecho

Figura 3.2 Interpretación de los histogramas [2] Fuente. Gutiérrez y De La Vara (2009)

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Limitaciones del Histograma Aunque el histograma es una herramienta fundamental para analizar el desempeño de un proceso, tiene algunas limitaciones 1. No considera

el tiempo en el que obtuvieron los datos; por lo tanto con el

histograma es difícil detectar tendencias que ocurren a través del tiempo. Por lo tal razón , no ayuda a estudiar la estabilidad del proceso en el tiempo, lo cual se analiza por medio de cartas de control.

2. No es la técnica más apropiada para comparar de manera práctica varios procesos o grupo de datos, en esos casos, el diagrama de caja o las gráficas de medias son más apropiados.

3. La cantidad de clase o barras influye en la forma del histograma, por lo que una buena práctica es que a partir de la cantidad de clase que de manera inicial sugiere un software, se analice el histograma con un numero de clases, a fin de verificar si se observa algo diferente.

3.3 Medidas de Forma Como se mencionó en la sección anterior, un aspecto relevante en el análisis de un conjunto de datos o una variable es estudiar la forma de su distribución. Entre ellos tenemos el sesgo y la curtosis. Sesgo o asimetría Es una medida numérica de la asimetría en la distribución de un conjunto de datos. Evalúa el grado de distorsión o inclinación que adopta la distribución de los datos respecto a su valor promedio tomado como centro de gravedad. ∑ (

( )(

̅) )

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Donde n es el tamaño de la muestra, S la desviación estándar y ̅ es la media muestral. El signo del sesgo indica el lado para el que la cola de la distribución es más larga, ya sea hacia la izquierda (signo -) o hacia la derecha ( signo +) . Para los datos que siguen una distribución normal, el valor del sesgo estandarizado debe caer dentro de (2, +2), por lo que si n es grande ( n > 100) y es el sesgo estandarizado esta fuera de tal intervalo, será una evidencia de que la distribución de los datos

tiene un sesgo

significativamente diferente al de la distribución normal o, en otras palabras, que la distribución de los datos no es normal.

En los datos del ejemplo 3.1 del peso de conservas, el sesgo= 0,052 y el sesgo estandarizado =0,237, indican una distribución bastante simétrica. Además, dado el tamaño de la muestra y como el sesgo estandarizado esta dentro del intervalo [-2, +2], entonces es una evidencia a favor de que los datos provienen de una distribución normal. Tabla 3.2 Tabla de simetría _valor del sesgo

Una medida para determinar que tan elevada o plana (achatada o pícuda) es la distribución

de ciertos datos, tomando como referencia la distribución normal, se

obtiene a través

del estadístico Curtosis

y del coeficiente de curtosis

estandarizado.

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Curtosis Estadístico que mide qué tan elevada o plana es la curva de la distribución de unos datos respecto a la distribución normal. (Evalúa el grado de apuntamiento de la distribución). )∑

( (

)(

( )(

̅) )

( (

) )(

)

Tabla 3.3 Tabla de apuntamiento _valor de la curtosis

Ku =0,262

Ku> 0,263

Ku> 0,263

Mesocurtica

Leptocúrtica

Platicúrtica

Donde: n = tamaño de la muestra S = desviación estándar y ̅ = la media muestral

Si el signo es de la curtosis es positivo indica que la curva de distribución de los datos es más empinada o alta (picuda) en el centro y con colas relativamente largas; ambos aspectos se refieren a la distribución normal. Pero si es signo es negativo, se tendrá una curva más aplanada y con colas más cortas con respecto a la normalidad. Para

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los datos que siguen una distribución normal el valor de la curtosis estandarizada debe estar dentro de (-2, +2), por lo que si n es grande (n>100) y el estadístico cae fuera de este intervalo, será una evidencia de que la distribución de los datos no es normal.

En los datos del ejemplo 3.1 del peso de las conservas, curtosis = 0,249 y curtosis estandarizado= 0,568, lo cual indica una distribución muy similar a la distribución normal. Así tanto para la curtosis como para el sesgo, hay evidencia a favor de que los datos provienen de una distribución normal.

3.4 Medidas de Localización Cuantiles (percentiles) Los cuantiles

son medidas

de localización que dividen un conjunto de datos

ordenados en cierto número de grupos o partes que contienen la misma cantidad de datos. Por ejemplo

si los datos ordenados

se dividen en 3 partes, entonces a los

correspondientes cuantiles se les conoce como terciles, pero si se divide en 4 partes se le denomina cuartiles, en cinco quintiles, si la división es en 10 partes tendremos los deciles. De esta manera, los cuantiles de una distribución o de un conjunto de datos son medidas de localización relativa que ayudan a complementar la descripción de la distribución de una característica de calidad. De esta manera más formal, sea x1, x2,x3…xn un conjunto de n mediciones ordenadas en forma creciente, se define su percentil p como el valor x tal que p% de las mediciones es menor o igual a x, y el (100 – p)% mayor o igual. [2] A manera de ejemplos, a continuación se muestran varios percentiles para los datos del peso de las conservas 1.0% = 201 5,0% = 203 10,0% = 205 25,0% = 206 50,0% = 208 75,0% = 210

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90,0% = 212 95,0% = 213 99,0% = 215

Se observa que el primer decil o percentil 10 es igual a 205 eso quiere decir que 10% de las mediciones de la tabla 3.1 son menores o iguales a 205. El decil cinco o percentil 50 que corresponde a la mediana es igual a 208. Mientras que el percentil 95 es igual a 213, lo cual que 95% de las mediciones son menores o iguales que 213

Cuartiles Los cuartiles son iguales a los percentiles 25, 50, 75 y sirven para separar por magnitud la distribución de unos datos en cuatro grupos, donde cada uno contiene 25% de los datos. Al percentil 25 se le conoce como primer cuartil o cuartil inferior Ci, mientras que la mediana es el percentil 50 corresponde al cuartil medio Cm, y el percentil 75 es el cuartil superior Cs o tercer cuartil. El cálculo de estos estadísticos se realiza mediante cualquier software

moderno

estadístico. En el caso de los datos del ejemplo 3.1 del peso de las conservas Ci=206, Cm=208 y Cs =210. De aquí que el 25% de los datos sea menor o igual a 206.

Diagrama de Cajas El diagrama de caja es otra herramienta que sirve para describir el comportamiento de los datos y es de suma utilidad para comparar procesos, tratamientos y, en general, para hacer análisis por estratos (lotes, proveedores, turnos, etc). [2] El diagrama de cajas es una grafica de la distribución de un conjunto de datos que se basa en los cuartiles. Es de gran utilidad para hacer análisis comparativos. Este diagrama divide los datos en 4 grupos que contienen cada uno 25% de las mediciones. De esta forma es posible visualizar dónde termina de acumularse 25% de los datos menores , y a partir de donde se localiza 25 % de los datos mayores en entre estos dos cuartiles se ubica el 50% de los datos que están al centro . Pero además de los cuartiles están involucrados los siguientes conceptos.

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Rango Intercuartilítico Rc = Cs - Ci Barrera interior izquierda = Ci – 1.5 Rc e interior derecha Cs + 1.5 Rc Barrera exterior Izquierda = Ci – 3 Rc y exterior Cs + 3 Rc

En la figura 3.3 se muestra el diagrama de caja para los datos del peso de las conservas.

Fig. 3.3 diagrama de cajas para pesos de conservas

Interpretación del diagrama de caja -

El largo del diagrama (que incluye el rectángulo más ambos brazo), ya que esto indica una medida de la variación de los datos y resulta de gran utilidad sobre todo para comparar

la variación entre procesos, lotes o turnos

de

trabajo o producción, en general entre más largo sea este diagrama indicará una mayor variación de los datos correspondientes.

-

La parte central del diagrama indica la tendencia central de los datos, por lo que también ayudará

a comparar dos o más procesos, maquinas, lotes o

turnos en cuanto a su tendencia central.

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-

Comprar de manera visual la longitud de los brazos, si uno es notoriamente más largo que el otro, entonces la distribución de los datos quizás este sesgada en dirección del brazo más largo. También es preciso observar la ubicación de la línea mediana que parte la caja , ya que si está más cerca de uno de los extremos , será señal de un probable sesgo en los datos.

-

En caso de que el diagrama esté basado en una cantidad suficiente de datos (ejemplo 10 como mínimo), es necesario ver si hay datos fuera de las barreras interiores , marcados con un punto, ya que entre más alejado este un dato del final del brazo, será señal de que probablemente sea un dato atípico. Si los datos caen mas allá de las barreras exteriores, prácticamente es un hecho que tales datos son atípicos.

3.5 Estudio Real de Capacidad. Tomando el ejemplo de los pesos de la conserva se determinará la capacidad de proceso. (Tabla 3.1)

Figura. 3.4 Histograma del peso de conservas En la tabla se muestran los aspectos más relevantes para evaluar la capacidad del proceso para cumplir con las especificaciones del peso de conservas.

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Tabla. 3.4. Análisis de la capacidad del proceso Estadístico Medidas

Análisis y comentario

de - Las medidas de tendencia central Proceso descentrado con

tendencia central ̅

Conclusiones

=207,94

son relativamente cercanos - 50%

Mediana= 208

de las 125

µ=207,94 g

mediciones fue

mayor o igual a 208 g.

Moda =207

- El peso más frecuente fue de 207g.

Desviación

La

estándar

- En forma aproximada

S=2,757

variación

se espera proceso

que el peso de las conservas varíe por

lo

es

real

del

demasiado,

que

se

está

entre 207,94 ± 8,27 (199,67 a 216,2 fabricando producto fuera Límites reales

g). La amplitud de esto límites es de las especificaciones

aproximados

mayor a la variación

̅ ±3S

g).

LR inf = 199,67 -

Ambos límites están fuera de las

LR Sup= 216,22

especificaciones, por lo que se

tolerada (±5

están pesando conservas que no cumplen con las especificaciones. Gráfica

de

la

- La distribución se ajusta de forma

capacidad

razonable

(histograma)

observa

a la normal ningún

y no se Hay mucha variación en el

comportamiento proceso

especial. - La

tendencia

central

se

ubica

alrededor de 207 y el cuerpo del histograma está descentrado con respecto a las especificaciones.. Conclusiones Finales: - Para reducir la variabilidad se debe encontrar que aspectos de las 6M están distribuyendo más al exceso de variación. Esto se realiza estratificando (separando) los datos por turno, por lote, por condiciones del proceso. Etc.; al hacer el análisis es preciso ver si hay diferencias importantes de un estrato a otro. De ser así, se deben tomar las medidas necesarias para hacer más homogéneos los estratos. - Otra posibilidad es analizar a detalle los patrones de comportamiento del proceso apoyándose en la carta X-R, y ver si hay patrones en función de turnos, operadores, lotes, etc.

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En la tabla se muestras los aspectos más relevantes para evaluar la capacidad del proceso, de acuerdo con el análisis realizado, se concluye

que el proceso está

descentrado y que la variación es grande, por lo que la capacidad real del proceso es mala. Se deben seguir las recomendaciones dadas al final de la tabla para reducir la variabilidad y de esa forma mejorar la calidad del peso.

Ejercicios

1. Si una característica de calidad debe estar entre 30 ± 2, y se sabe que su media es µ =29,9; entonces ¿Se tiene buena calidad, se cumple con las especificaciones? 2. De qué manera afectan los afectan los datos raros atípicos a la media?. Explique su respuesta. 3. En empresa se llevan los registros del número de fallas de equipos por mes; la media es de 4 y la mediana de 6. a. Si usted tiene que reportar la tendencia central

de fallas ¿qué número

reportaría?¿por qué? b. ¿La discrepancia entre la media y la mediana se debió a que durante varios meses ocurrieron muchas fallas?.

2. Una gran compañía llevó a cabo un estudio para ubicar las variables que pudieran determinar el sueldo de un egresado universitario dos años después de haberse graduado como ingeniería industrial. Los datos recogidos se presentan en la siguiente tabla. Tabla 3.5. Características de los egresados universitarios

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Edad

Sexo

24 25 26 27 27 27 27 25 23 24 26 29 25 31 26

F M M F M F M F M M F F M F M

E. Civil C C S C D C S C S S C D C D S

Inglés A M B B A M A B B B M M A A B

Sueldo 2750 2900 2900 2800 2100 2050 2500 2300 1800 2080 2200 2000 2150 2550 2020

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16 17 18 19 20

24 26 28 25 29

F F F M M

D C S C C

M B M B M

2400 2700 2900 2050 2100

a) Utilice la técnica de estadística descriptiva más apropiada para analizar cada variable individualmente. Interprete lo obtenido. b) Realice diagramas de cajas que le ayuden a visualizar como influye cada una de las variables en el sueldo que gana el individuo. c) Como futuro Ingeniero industrial, ¿cuál sería la(s) características que usted debería tomar en consideración para obtener el sueldo al que usted aspiraría al egresar? 4. Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras de hule, cuya longitud ideal es de 200mm, con una tolerancia de ±3 mm. Al final del turno

un inspector toma una muestra e inspecciona que la longitud cumpla

especificaciones. A continuación

se muestran las 110 mediciones para ambas

máquinas. 199,2

199,7

201,8

202,0

201,0

201,5

200,0

199,8

200,7

201,4

200,4

201,7

201,4

201,4

200,8

202,1

200,7

200,9

201,0

201,5

201,2

201,3

200,9

200,7

200,5

201,2

201,7

201,2

201,2

200,5

200,1

201,4

200,2

201,0

201,4

201,4

201,1

201,2

201,0

200,6

202,0

201,0

201,5

201,6

200,6

200,1

201,3

200,6

200,7

201,8

200,5

200,5

200,8

200,3

200,7

199,5

198,6

200,3

198,5

198,2

199,6

198,2

198,4

199,0

199,7

199,7

199,0

198,4

199,1

198,8

198,3

198,9

199,6

199,0

198,7

200,5

198,4

199,2

198,8

198,5

198,9

198,8

198,7

199,2

199,3

199,7

197,8

199,9

199,0

199,0

198,7

199,1

200,3

200,5

198,1

198,3

199,6

199,0

199,7

198,9

199,2

197,9

200,3

199,6

199,4

198,7

198,5

198,7

198,6

198,5

a. Obtenga las medidas de tendencia central y con base en ellas señale si la tendencia central del proceso es adecuada. b. Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales, y a partir de éstos decida si la variabilidad de los datos es aceptable. c. Con todos los datos, realice el análisis de capacidad del proceso y de sus conclusiones. Ing. Martha Tesén Arroyo

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CAPÍTULO IV SPSS Actualmente para analizar los datos obtenidos de control de calidad contamos con innumerables software entre ellos tenemos el Minitab, Stat Graphic, SPSS, entre otros. Statistical Package for the Social Sciences (SPSS) es un programa estadístico informático muy usado en las empresas de investigación de mercado. En la actualidad, la sigla se usa tanto para designar el programa estadístico como la empresa que lo produce. Respecto a sus versiones el SPSS hay ido mejorando siendo actualmente la más usada la versión diecinueve, aunque la versión veinte ya está a disposición. Este software permite utilizar algunas herramientas para el control estadística de calidad. A continuación explicaremos el uso de este software usando la versión19. Luego en cada capítulo se utilizará de acuerdo a la herramienta usada.

4.1 Ejecución del SPSS. Para ejecutar el SPSS primero se debe ubicar el programa en el icono de Windows

Figura 4.1.Inicio de Ejecución SPSS

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Hacer click con el ícono correspondiente al programa, luego aparecerá la siguiente pantalla, dar clip en cancelar para poder acceder a la hoja de conjunto de datos.

Figura 4.2.Inicio del SPSS

En figura 4.3 se muestra la ventana y en la parte inferior se muestran la pestaña de vista de datos y vista de variables.

Figura 4.3.Vista de datos y vista de variables

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4.2. Ventana Para la Definición de Variable Para ingresar a esta ventana damos clip en la pestaña de vista de variables de donde se obtiene la siguiente ventana.

Figura 4.4.Vista de variables

En esta ventana (figura 4.4) se define las variables a analizar, encontramos el nombre de la variable, tipo, anchura, decimales, etiqueta, valores, perdidos etc.

A manera de ejemplificar el nombre de la variable es el peso de conserva en item de nombre no acepta espacio por lo que se puede abreviar y en etiqueta se puede ingresar el nombre completo de la variable. Por lo que el nombre será pesocons.

Figura 4.5. Ingreso de variables

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Para poder observar los tipos de variables damos clip en los puntos suspensivos y tenemos la pantalla en la cual muestra los tipos de variables, aquí se debe escoger el tipo de variable, puede numérica, si se inserta un valor numérico pero si se inserta una letra o palabra se puede escoger de cadena además se puede escoger otro tipo de variable.

Figura 4.6. Tipo de variables

En esta ventana (figura 4,7) se puede incluir el ancho los dígitos que tendrá variable En nuestro ejemplo como las variables es peso la variable es numérica y tendrá tres dígitos con cero decimales.

Figura 4.7. Tipo de variables: anchura

Ing. Martha Tesén Arroyo

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En etiqueta de valor se coloca el nombre completo de la variable (peso de conserva)

Figura 4.8. Etiqueta de valor

Para el uso de este ítem, esta es utilizada cuando se desea colocarle un valor a la variable, para la variable peso no se tendrán valores pero por ejemplo para la variable sexo que siendo una variable cualitativa se codificará como numérica colocando valores de ( 1 Femenino y 2 Masculino), para realizarlo se da un clip en los tres puntos

Figura 4.9. Etiqueta Al dar clip obtenemos la siguiente ventana en valor se coloca el número asignado a la variable ejemplo 1 y en etiqueta el nombre femenino y luego dar clip en agregar.

Figura 4.10. Etiquetado de variables

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Luego 2 en valor y en etiqueta masculino y luego dar clip en aceptar.

Figura 4.11. Etiquetado de valor Además existen otros ítems como alineación, medida, en alineación se puede escoger de acuerdo a la preferencia; en medida se puede escoger si esta de escala, ordinal o nominal.

Figura 4.12. Medida

Así sucesivamente se pueden ingresar las variables a analizar. Una vez que se tiene completo las variables se pueden ingresar los datos de estas variables

Ing. Martha Tesén Arroyo

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4.3 Ventana de Ingreso de Datos Para ingresar a la siguiente ventana, dar clip en la pestaĂąa de vista de datos

Figura 4.13. Vista de datos

Como se puede ver en la parte superior se observan las variables a analizar, es en esta ventana donde se pueden introducir los datos. En la variable peso se introduce los valores de los peso respectivo, y en la variable sexo se colocara 1 o 2 dependiendo del sexo del trabajador. Ver Figura 4.12

Figura 4.14. Ingreso de datos.

Ing. Martha TesĂŠn Arroyo

60


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Si se desea observar el nombre del sexo se debe de seguir el siguiente procedimiento Ir a ítem de ver y dar clip luego colocar el Check( ) en etiqueta de valor.

Figura 4.15. Etiquetas de valor

Luego de esto se observan los datos de la siguiente manera

Figura 4.16. Vista de datos final

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61


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4. 4 Guardar Datos y Resultados Para guardar el archivo de datos ir a Archivo y dar clip en guardar

Al dar en guardar se obtiene la siguiente ventana, se puede ubicar la carpeta donde se desea guardar el archivo, luego en nombre de archivo colocar el nombre respectivo del archivo en este caso el nombre será práctica luego dar clip en guardar.

Figura 4.18. Guardar archivos en carpetas

Ing. Martha Tesén Arroyo

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Al dar clip se guardarĂĄ el archivo con el nombre respectivo luego se genera la siguiente pantalla, se generara una ventana de resultados

Figura 4.19. Archivo guardado 1

Figura 4.20. Archivo guardado 2

Ing. Martha TesĂŠn Arroyo

63


Herramientas y Control EstadĂ­stico de la Calidad

La ventana de resultados puede guardarse de la misma manera que los datos.

Figura 4.21.Guardar resultados En este archivo se guardaran los resultados obtenidos del anĂĄlisis.

4.5. Abrir Archivo de Datos o Resultados Para abrir archivos de datos o de resultados debemos ir a archivo y dar clip luego escoger si se desea abrir archivos de datos o de resultados.

Figura 4.22 Abrir archivos Si deseamos abrir un archivo de datos se da clip en datos y se obtiene la siguiente ventana, se busca el archivo que se desea abrir y se da clip en abrir

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Figura 4.23.Abrir archivos de datos

4.6. Análisis de Resultados Una vez realizada la base de datos se debe realizar el análisis respectivo. Para el análisis respectivo ir a Archivo y luego escoger lo que se desea analizar

Figura 4.24 Análisis de resultados

Ing. Martha Tesén Arroyo

65


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Ejemplo 4.1 A continuación se muestra un cuadro con

variables y datos

realizados en una

investigación. Se les solicita realizar el análisis respectivo con el SPSS. Además se le dan las siguientes indicaciones. Variables: id, sexo, estado civil, edad, peso, altura. Sexo: (1= Masculino; 2=Femenino) Lugar de procedencia: ( 1= Chiclayo; 2= Ferreñafe; 3= Lambayeque) Estado Civil: (1=Soltero; 2 = Casado; 3 = viudo).

Tabla 4.1 Data de la investigación nº de casos

lugar de id

Sexo

procedencia

estado

edad

peso

altura

civil 1

exped09

1

1

1

45

72

168

2

exped10

1

2

1

28

78

171

3

exped11

1

3

2

35

68

174

4

exped12

1

2

2

60

64

166

5

exped13

2

1

1

26

71

164

6

exped14

2

1

1

30

63

156

7

exped15

2

1

2

28

53

158

8

exped16

2

3

2

33

57

155

9

exped17

2

3

3

45

72

170

10

exped18

1

2

1

25

61

162

Solución 1. Generar la base de datos iniciando la vista de variables teniendo en cuenta las indicaciones tanto en nombre de las variables así como la codificación respectiva de sexo, lugar de procedencia, para esto se deben seguir los pasos indicados anteriormente.

Ing. Martha Tesén Arroyo

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Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Iniciamos abriendo el programa luego en la ventana vista de variables, colocar las variables que se analizarán. En la siguiente pantalla se muestra la

vista de

variables.

Figura 4.25 Generación de vista de variables 2. Una vez definida las variables ingresamos a la ventana de ingreso de datos que se muestran en la tabla anterior 4.1.

Figura 4.26. Ingreso de datos

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Si deseamos ver el nombre de los valores debemor ir a ver y dar Check (ď Ą) en etiqueta de valor.

Figura 4.27. Etiqueta de valor de la base de datos

Figura 4.28. Base de datos Como se observa en la pantalla (figura 4.28) ahora se muestra el tipo de sexo, el lugar de procedencia y el estado civil. Ing. Martha TesĂŠn Arroyo

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3. Grabar el archivo dándole un nombre adecuado según características o investigación que se está realizando, buscando una carpeta donde crea Ud. Conveniente guardarlos ya que el SPSS por defecto lo guarda en su archivo de programa. Para este caso se llamará ejemplo1.

Figura 4.29. Guardar archivo 4. Estando lista la base de datos, se procede a encontrar los diferentes estadísticos necesarios. 5 . Pasos a Seguir Para el Análisis. Una vez ingresado los datos al SPSS, se procede a realizar los análisis estadísticos. Se realizará un análisis Estadísticos descriptivo (frecuencias)

Figura 4.30. Análisis _Estadísticas_frecuencias

Ing. Martha Tesén Arroyo

69


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Al dar clip en frecuencia se obtienen la siguiente pantalla.

Figura 4.31. Análisis_Estadísticas_frecuencias Si se pasan las variables a la ventana de dialogo y si se desea encontrar estadísticas y gráficos, dar clip .

Figura 4.32. Frecuencias_ estadísticas Como se puede observar en esta pantalla [(Figura 4.31) podemos elegir medidas de tendencia central, de dispersión, distribución o valores percentiles.

Ing. Martha Tesén Arroyo

70


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Ahora si damos clip en gráficos obtenemos la siguiente pantalla en esta ventana se puede escoger el tipo de gráfico que se desea obtener tales como gráfico de barras, gráfico de sectores, histogramas.

Figura 4.33. Frecuencias: Gráficos También se puede realizar el análisis estadístico descriptivo : opción explorar : Dar clip en explorar

Figura 4.34. Análisis descriptivo opción explorar

Ing. Martha Tesén Arroyo

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En lista de dependiente tenemos el peso y en lista de factores sexo

Figura 4.35. Análisis descriptivo opción explorar: variables

Dar clip en estadístico o gráficos según lo que se desea, hacer click en Descriptivos y luego dar clip en continuar. Ver figura 4.36

Figura 4.36. Análisis descriptivo opción explorar : Estadísticos

Ing. Martha Tesén Arroyo

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En gráficos se obtiene las siguiente pantalla, en este se puede escoger diagrama de de tallo , histograma etc, luego de escoger lo deseado dar clip en continuar.

Figura 4.37. Análisis descriptivo opción explorar : gráficos

Finalmente dar clip en aceptar y esperar los resultados ver figura 4.38

Figura 4.38. Generación del análisis descriptivo

Ing. Martha Tesén Arroyo

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Al aceptar se obtienen la ventana de los resultados como se muestra en la siguiente pantalla.

Figura 4.39. Generación de resultados del análisis descriptivo

Si de desea extraer los datos y copiar en word lo que puede realizar es el siguiente paso: seleccionar, dar anticlip y en la pantalla obtenida clip en copiar.

Figura 4.40. Presentación de resultados del análisis descriptivo

Ing. Martha Tesén Arroyo

74


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Luego se puede abrir el Word, se pueden copian y pegar los resultados, finalmente se muestran los resultados obtenidos y copiados en word

Figura 4.41. Pegado de los resultados del análisis descriptivo

Figura 4.42. Resultados del análisis descriptivo pegados en Word.

Ing. Martha Tesén Arroyo

75


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Ejemplo 2. Tomando el ejercicio 3.1 del capítulo anterior, se obtendrán los resultados mediante el uso del SPSS. En un proceso de envasado de conservas de esparrago, una característica de calidad del producto es el peso neto siendo este de 205 g con una tolerancia de ± 5 g. Así para considerar que el proceso de envasado fue satisfactorio, debe estar entre la especificación inferior, EI= 200 y la superior, ES= 210 g. Tabla 4.2. Datos del peso de conservas de esparrago (g) 215

210

207

206

206

205

207

210

206

209

207

203

210

207

207

210

204

209

203

209

206

208

206

207

207

207

203

206

206

207

210

208

205

203

210

207

207

207

207

208

214

206

208

206

212

213

212

209

208

209

207

206

207

208

209

213

209

206

209

210

210

209

207

209

212

209

208

201

209

209

207

209

210

207

215

206

206

210

210

206

208

211

210

212

206

205

210

202

201

208

205

205

209

203

207

207

209

210

211

213

205

203

210

204

208

205

210

205

212

206

209

207

210

214

212

209

209

207

206

208

207

209

211

210

210

Solución Primero se debe de identificar la variable a analizar en este caso sería el peso de la conserva, luego escribirla en vista de variables.

Ing. Martha Tesén Arroyo

76


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Luego ir a vista de datos para ingresar los datos de peso de conserva al final obtendremos la siguiente pantalla.

Figura 4.43. Base de datos.

Luego realizar el análisis estadístico descriptivas dar clip en frecuencias

Figura 4.44. Análisis estadístico descriptivo Luego traspasar la variable como es en este caso el peso de la conserva (g), luego dar clip en estadísticos, y finalmente

escoger las medidas de tendencia central,

dispersión, distribución y valores de percentiles. Finalmente dar clip en continuar

Ing. Martha Tesén Arroyo

77


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Figura 4.45. Análisis estadístico descriptivo frecuencias: Estadísticos Lo mismo se puede realizar con los gráficos, escoger en tipo de gráficos histograma , dar check en mostrar curva normal en el histograma.

Figura 4.46. Análisis estadístico descriptivo frecuencias: Gráficos Finalmente se obtendrán los siguientes resultados

Ing. Martha Tesén Arroyo

78


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Frecuencias : Tabla N 4.4: Resultados obtenidos con el SPSS Estadísticos peso de la conserva (g) N

Válidos Perdidos

Media

125 3 207,94

Error típ. de la media Mediana

,247 208,00

Moda

207

Desv. típ.

2,757

Varianza

7,602

Asimetría

,052

Error típ. de asimetría

,217

Curtosis

,249

Error típ. de curtosis

,430

Rango

14

Mínimo

201

Máximo

215

Suma Percentiles

25993 10

205,00

20

206,00

25

206,00

30

207,00

40

207,00

50

208,00

60

209,00

70

209,00

75

210,00

80

210,00

90

212,00

Ing. Martha Tesén Arroyo

79


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Histograma

Figura 4.47. Histograma de peso de conservas (g) También se puede obtener el gráfico de cajas siguiendo la siguiente pantalla

Figura 4.48. Generación del diagrama de cajas

Ing. Martha Tesén Arroyo

80


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Figura 4.49. Diagrama de cajas:

Luego dar clip en definir pasar la variable al recuadro de “Cajas de representan” y dar clip en aceptar .Observar la siguiente pantallas y esperar el resultados

Figura 4.50. Diagrama de cajas: definición del diagrama

Ing. Martha Tesén Arroyo

81


Herramientas y Control EstadĂ­stico de la Calidad

Figura 4.51. Diagrama de cajas: resultados

El grĂĄfico obtenido es

Figura 4.52. Diagrama de cajas de los pesos de las conservas (g)

Ing. Martha TesĂŠn Arroyo

82


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Si deseamos girar el gráfico se pueden seguir los siguientes pasos Paso 1. dar doble clip sobre el gráfico al realizar esta acción obtendremos la siguiente pantalla, en esta pantalla dar clip en trasponer sistema de coordenadas.

Figura 4.53. Edición del Diagrama de cajas: Paso 1 Al trasponer el sistema de coordenadas tendremos el siguiente resultado

Figura 4.54. Edición del Diagrama de cajas: trasponer

Ing. Martha Tesén Arroyo

83


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Paso 2: Si se desea modificar el gráfico ya sean en tamaño de letra, color, etc , se realiza la misma acción dar doble clip e ir a la pantalla siguiente y en ella realizar los cambios requeridos ejm en este caso se cambiara de color y tamaño de letra. En esta misma pantalla da doble clip y obtener la siguiente ventana en esta tendremos las propiedades del gráfico tales como Tamaño del grafico, relleno y borde, categorías opción de las barras y variables , aquí cambiaremos el color de grafico.

Figura 4.55. Edición del Diagrama de cajas: trasponer

Para este ejemplo se cambio el color, escogiendo el color blanco para realizar esto se debió escoger el color y luego dar clip en aplicar.

Figura 4.56. Edición del Diagrama de cajas: cambio de color

Ing. Martha Tesén Arroyo

84


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Finalmente se no se desea realizar más cambios dar clip en cerrar.

Figura 4.57. Edición del diagrama de cajas: cambio de color.

Ahora para cambiar el tipo, tamaño de los números se da clip en estos.

Figura 4.58. Edición del diagrama de cajas: tamaño de letra, números

Ing. Martha Tesén Arroyo

85


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Al Dar clip se obtiene la siguiente pantalla

Figura 4.59. Edición del diagrama de cajas: estilos de texto

En esta ventana se puede realizar los cambios que se requiera ya sea estilo de texto, escala, etc. Para ingresar a escala solo debemos darle clip a la pestaña, en ella se puede

modificar el máximo, mínimo, incremento etc. Luego de escoger dar clip en

aplicar y finalmente en cerrar. En esta ventana se modifico el incremento de 3 a 1.

Figura 4.60. Edición del diagrama de cajas: escala

Ing. Martha Tesén Arroyo

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Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Figura 4.61. Diagrama de cajas editado

De la misma manera se pueden realizar las modificaciones necesarias a los gráficos. Por ejemplo en el histograma anteriormente obtenido del ejemplo 3.1 se puede colocar los límites dado en las especificaciones.

Figura 4.62. Histograma a editar Los pasos son los mismos anteriormente descritos. Ing. Martha Tesén Arroyo

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Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

a. Dar doble clip sobre el grafico se obtiene la siguiente ventana

Figura 4.63. Histograma : editor de gráficos b. Dar clip en Añadir una línea de referencia en el eje x

Figura 4.64. Histograma: línea de referencia en el eje x c. Al dar clip se obtiene la siguiente ventana luego en esta ventana de propiedades en recuadro “Posición” colocar el valor en este caso el primer valor es 205 , adicional se puede ver el detalle de la línea es decir cambiar color, tamaño. Etc.

Ing. Martha Tesén Arroyo

88


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Figura 4.65. Histograma: línea de referencia en el eje x, posición

Luego dar clip en aplicar y luego en cerrar para incluir los siguientes valores de 200 y 210 proceder de la misma forma descrita anteriormente. Finalmente se obtiene el siguiente gráfico

Figura 4.66. Histograma final

Como se podrá observa se ha obtenido el histograma mediante el SPSS, este Software será de gran ayuda para aplicarlos en las demás herramientas básicas de calidad.

Ing. Martha Tesén Arroyo

89


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

CAPITULO V

HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS DE CALIDAD

En la década de los 50 se comenzaron a aplicar en Japón las herramientas estadísticas de Control de Calidad, desarrolladas anteriormente por Shewhart y Deming. Los progresos, en materia de mejora continua de la calidad, se debieron en gran medida, al uso de estas técnicas.

Fue el profesor Kaoru Ishikawa quien extendió su utilización en las industrias manufactureras de su país, en los años 60, acuñando la expresión de 7 herramientas para el control de la calidad. Estas herramientas pueden ser descritas genéricamente como "métodos para la mejora continua y la solución de problemas".

Las herramientas estadísticas consisten en técnicas gráficas que ayudan a comprender los procesos de trabajo de las organizaciones para promover su mejoramiento. Son de creación occidental, excepto el diagrama causa- efecto que fue ideado por Ishikawa.

El éxito de estas técnicas radica en la capacidad que han demostrado para ser aplicadas en un amplio conjunto de problemas, desde el control de calidad hasta las áreas de producción, marketing y administración. ¿Cuáles son las Herramientas Estadísticas Básicas de Control de Calidad? Las herramientas estadísticas básicas de control de calidad son: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Hojas de control (hoja de recojo de datos) Estratificación Diagrama de Pareto Diagrama causa-efecto Diagrama de dispersión Histograma Gráficas de control

Ing. Martha Tesén Arroyo

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Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

En la década de los 50 se comenzaron a aplicar en Japón las herramientas estadísticas de Control de Calidad, desarrolladas anteriormente por Shewhart y Deming. Los progresos, en materia de mejora continua de la calidad, se debieron en gran medida, al uso de estas técnicas. [3] Fue el profesor Kaoru Ishikawa quien extendió su utilización en las industrias manufactureras de su país, en los años 60, acuñando la expresión de 7 herramientas para el control de la calidad. Estas herramientas pueden ser descritas genéricamente como "métodos para la mejora continua y la solución de problemas". El éxito de estas técnicas radica en la capacidad que han demostrado para ser aplicadas en un amplio conjunto de problemas, desde el control de calidad hasta las áreas de producción, marketing y administración. Las organizaciones de servicios también son susceptibles de aplicarlas, aunque su uso comenzó en el ámbito industrial.”

¿Cuáles son las Herramientas Estadísticas Básicas de Control de Calidad? Las herramientas estadísticas básicas de control de calidad son: 1.

Hojas de control (hoja de recojo de datos)

2.

Estratificación

3.

Diagrama de Pareto

4.

Diagrama causa-efecto

5.

Diagrama de dispersión

6.

Histograma

7.

Gráficas de control

A continuación empezaremos a describir la primera herramienta estadística:

Ing. Martha Tesén Arroyo

91


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

5.1HOJA DE CONTROL

La información es una guía para nuestras acciones, a partir de la información conocemos hechos y tomamos decisiones en una empresa. Antes de recoger la información se debe conocer que se a realizar con ella. [3] En el control de calidad los objetivos de la recolección de información son: - El control y el monitoreo del proceso de producción. - El análisis de que no se ajusta a las normas, especificaciones.

El recojo de la información es esencial por lo cual se debe tener en claro para que se desea. Los datos se deben recoger de manera clara, precisa y fácil de usar. Una hoja de registro es un formato preimpreso en el cual aparecen las variables que se van a a registrar, de tal manera que los datos puedan recogerse fácil y concisamente. Una Hoja de registro ó control también llamada hoja de verificación u hoja de recogida de datos, es un formato de tabla o diagrama, destinado a registrar y compilar datos mediante un método sencillo y sistemático, como la anotación de marcas asociadas a la ocurrencia de determinados sucesos. Esta técnica de recogida de datos se prepara de manera que su uso sea fácil e interfiera lo menos posible con la actividad de quien realiza el registro. Ventajas Supone un método que proporciona datos fáciles de comprender y que son obtenidos mediante un proceso simple y eficiente que puede ser aplicado a cualquier área de la organización. Las Hojas de control reflejan rápidamente las tendencias y patrones subyacentes en los datos. Se utilizan tanto en el estudio de los síntomas de un problema, como en la investigación de las causas o en la recogida y análisis de datos para probar alguna hipótesis. También se usa como punto de partida para la elaboración de otras herramientas, como por ejemplo los gráficos de Control. La recolección de los datos debe efectuarse de manera cuidadosa y exacta y para ello se deben utilizar plantillas especialmente diseñadas para cada caso. Los objetivos que se pretenden con el uso de la hoja de recojo de datos son: -

Facilitar las tareas de recogida de datos de la información. Ing. Martha Tesén Arroyo

92


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

-

Evitar en lo posible errores o malos entendidos

-

Permitir el análisis rápido de los datos

Los formatos para la recogida de datos pueden tener distintas finalidades: -

Controlar una variable de un proceso

-

Llevar un control de productos defectuosos

-

Estudiar la localización de defectos en un producto

-

Estudiar las causas que originan los defectos o

-

Realizar la revisión global de un producto

Se debe de tener en cuenta ciertos para la elaboración de las hojas de control: Esta debe tener un título el cual exprese el contenido de la información de cogida Debe estar bien claro la variable (s) a medir, debe incluir la fecha quien llena la hoja y firma del responsable. Se debe tener en cuenta que se debe optimizar el recojo de la información, no es factible que se diseñe una hoja para cada variable. Al momento del diseño de la hoja debe conocer con qué objetivo se desea recoger la información, esto permitirá construir la hoja incluyendo las variables necesarias A continuación se detallan ejemplos de hoja de recojo de datos. Control de Calidad de Materia prima Empresa S.A

Fecha

Hora

Materia Prima:……………..………

Cantidad de ingreso (kg)

% punta florido

% Tacón

Responsable

% diámetro >10 mm

% diámetro <10 mm

Jefe de Calidad

Figura 5.1 . Hoja de Control de Calidad de Materia Prima

Ing. Martha Tesén Arroyo

93


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

5.2 HISTOGRAMA Un histograma es un gráfico de barras verticales que representa la distribución de un conjunto de datos. Una representación gráfica de datos numéricos que permite ver tres propiedades de los mismos: -

Forma en la que se distribuyen las observaciones

-

Tendencia central

-

Dispersión

Ventajas Su construcción ayudará a comprender la tendencia central, dispersión y frecuencias relativas de los distintos valores. Muestra grandes cantidades de datos dando una visión clara y sencilla de su distribución. Utilidades -

El Histograma es especialmente útil cuando se tiene un amplio número de datos que es preciso organizar, para analizar más detalladamente o tomar decisiones sobre la base de ellos.

-

Es un medio eficaz para transmitir a otras personas información sobre un proceso de forma precisa.

-

Permite la comparación de los resultados de un proceso con las especificaciones previamente establecidas para el mismo. En este caso, mediante el Histograma puede determinarse en qué grado el proceso está produciendo buenos resultados y hasta qué punto existen desviaciones respecto a los límites fijados en las especificaciones.

-

Proporciona, mediante el estudio de la distribución de los datos, un excelente punto de partida para generar hipótesis acerca de un funcionamiento insatisfactorio.

ELABORACIÓN DE HISTOGRAMA Para elaborar un histograma se siguen los siguientes pasos

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94


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1. Calcule el rango (R): R se obtiene a partir de los valores máximos y mínimos observados. 2.

Determinar el número de intervalos de clase K, mediante la fórmula de Sturges: K= 1 + 3.322·log(n)

K n 3. Obtener la amplitud de los intervalos de clase, C, mediante:

C

R k

4. Construir los intervalos 5. Construcción de la tabla de frecuencia 6. Elaboración del gráfico Ejemplo 5.1. En la tabla .5.1 se recogen las medidas del diámetro de 100 tubos fabricados consecutivamente cuyas especificaciones son 32.21 ± 0.05 mm. Construir el histograma. [4] Tabla 5.1 diámetro de 100 tubos 32,2

32,23 32,2

32,22 32,18 32,23 32,17 32,19 32,21 32,19

32,23 32,21 32,21 32,24 32,21 32,23 32,2 32,22 32,25 32,2

32,21 32,19 32,2

32,24 32,19 32,18 32,21 32,17 32,22 32,23

32,18 32,21 32,22 32,24 32,23 32,2

32,19 32,18 32,17 32,2

32,22 32,22 32,22 32,2

32,22 32,23 32,18 32,25

32,21 32,22 32,2

32,17 32,2

32,25 32,17 32,21 32,22 32,2

32,19 32,19

32,18 32,25 32,22 32,21 32,24 32,22 32,19 32,25 32,23 32,2 32,25 32,18 32,23 32,21 32,21 32,24 32,22 32,16 32,22 32,21 32,19 32,19 32,2 32,21 32,2

32,19 32,2

32,22 32,23 32,24 32,19 32,2

32,21 32,23 32,21 32,19 32,26 32,23 32,21 32,21

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95


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Solución 1 Calculo del rango (R): Valor max = 32,26 Valor min = 32,16 R = 32,26 – 32,16= 0,1 2. Determinar el número de intervalos de clase K, mediante la fórmula de Sturges: K= 1 + 3,322 * log(n)

K  1  3.322. log(100)  7.644  8

3. Obtener la amplitud de los intervalos de clase, C, mediante:

C

R 0.1   0.0125  0.013 k 8

4. Construir los intervalos 32.16+ 0.013= 32.173 ……. …… = 32.264 Al realizar los intervalos obtenemos el valor final de 32,264. Si observamos, este valor es mayor al valor máximo 32.26 por lo cual hay que realizar una recodificación. Calculo del exceso Exceso = 32.264 -32.26 = 0,004 Este exceso lo dividimos entre 2 teniendo el valor de 0,002 El 0,002 se resta al valor mínimo y se suma el valor máximo valor mínimo

Valor máximo

Xmin  32,16  0,002  32,158

Xmáx  32,26  0,002  32,262

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96


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Los nuevos rangos serán : V max = 32,158

V min = 32,262

Con estos nuevos valores se vuelven a calcular los nuevos intervalos Vmax = 32,158

V min = 32,262

Amplitud de intervalo de clase C= 0.013 Los nuevos intervalos serán

Intervalos 32,158 + 0.013 = 32,171 32,171 + 0,013 = 32,184 32,184 + 0,013 = 32,197 + 0,013 = 32,210 + 0,013 = 32,223 + 0,013 = 32,236 + 0,013 = 32,249 + 0,013 = 32.262

Luego se determina la marca de clase, esta se obtiene promediando los límites de cada intervalo. Una fórmula para calcular la marca de clase de un intervalo es: Tabla 5.2: Tabla de frecuencia Intervalo de clase

Marca de clase Y  Yi Yi  i 1 2

32,158 - 32,171

32,1645

32,171 - 32,184

32,1775

32,184 - 32,197

32,1905

32.197 - 32.210

32,2035

32.210 - 32,223

32,2165

32.223 - 32,236

32,2295

32.236 - 32,249

32,2425

32.249 - 32,262

32,2555

Conteo

Frecuencia ni

A continuación debemos realizar la clasificación y conteo de los datos, es decir, colocar cada uno de ellos dentro de su clase, todos representados por un mismo signo:

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97


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Tabla 5.2: Tabla de frecuencia Intervalo

Promedio

Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

Frecuencia acumulada

Frecuencia Relativa acumulada

(Conteo)

32.158 - 32.171

32.1645

6

32.171 - 32.184

32.1775

7

32.184 - 32.197

32.1905

13

32.197 - 32.210

32.2035

34

32.210 - 32.223

32.2165

15

32.223 - 32.236

32.2295

12

32.236 - 32.249

32.2425

6

32.249 - 32.262

32.2555

7

Total

100

5. Construcción de la tabla de frecuencia. Luego se determinar las frecuencias:

Intervalo

32.158 - 32.171

Promedio Frecuencia Frecuencia Absoluta Relativa (Conteo) 32.1045 6 0.06

32.171 - 32.184

32.1775

7

0.07

13

0.13

32.184 - 32.197

32.1905

13

0.13

26

0.26

32.197 - 32.210

32.2035

34

0.34

60

0.60

32.210 - 32.223

32.2165

15

0.15

75

0.75

32.223 - 32.236

32.2295

12

0.12

87

0.87

32.236 - 32.249

32.2425

6

0.06

93

0.93

32.249 - 32.262

2.2555

7

0.07

100

1.00

100

1.00

Total

Frecuencia Frecuencia Acumulada Relativa cumulada 6 0.06

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Elaboración del gráfico. Finalmente se realiza la grafica del histograma

Figura 5.2 Histograma de diámetro en mm Ejercicio Solución con SPSS 1. Abrir un nuevo archivo en el SPSS y realizar la base de datos, es este caso la variable será diámetro de los tubos (mm).

2. Una vez realizada la vista de variables, introducir los datos en la ventana vista de datos.

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3. Una vez realizada la base de datos se procede a realizar el gráfico, para esto se debe dar clip en el item gráfico y buscar histograma.

4. Escoger la variable (diámetro del tubo) y dar clip en aceptar para general el gráfico

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100


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Finalmente se generará el siguiente gráfico

Como se puede observar en el gráfico generado, se tienen más intervalos de clase que los obtenidos en el cálculo manual, pero es posible en el SPSS modificar estos intervalos , por lo cual se deben seguir los siguientes pasos. a. Dar doble clip en el gráfico y en la nueva ventana generada Editor de gráficos dar clip en las barras del histograma luego se generará una ventana (propiedades), en clase de punto modificar dar check () y colocar el número de intervalos de clase.

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101


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b. En eje x dar clip en personalizado y colocar el número de intervalos, siendo este igual a 8 y el ancho del intervalo igual a 0,013

Al colocar los valores tanto en número como ancho de intervalo, se da clip en aplicar y se obtiene la siguiente pantalla.

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102


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c. De igual manera se puede modificar la amplitud del intervalo, mínimo, máximo en el eje x, para poder cambiar se debe clip al gráfico luego en la ventana de Editor de gráficos dar clip en los números del eje x, generando una ventana de propiedades, luego modificamos la escala, en este caso se modificará el incremento de 0,02 a 0,013 de igual manera el mínimo igual a 32,158 y máximo igual a 32,262.

d. Finalmente se generará el siguiente histograma con las modificaciones realizadas.

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103


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Ejercicios 1. Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras de hule, cuya longitud ideal es de 200mm, con una tolerancia de +/-3 mm. Al final del turno un inspector toma una muestra e inspecciona que la longitud cumpla especificaciones. A continuación se muestran las 110 mediciones es ara ambas máquinas. 199,2

199,7

201,8

202,0

201,0

201,5

200,0 199,8

200,7

201,4

200,4

201,7

201,4

201,4

200,8 202,1

200,7

200,9

201,0

201,5

201,2

201,3

200,9 200,7

200,5

201,2

201,7

201,2

201,2

200,5

200,1 201,4

200,2

201,0

201,4

201,4

201,1

201,2

201,0 200,6

202,0

201,0

201,5

201,6

200,6

200,1

201,3 200,6

200,7

201,8

200,5

200,5

200,8

200,3

200,7 199,5

198,6

200,3

198,5

198,2

199,6

198,2

198,4 199,0

199,7

199,7

199,0

198,4

199,1

198,8

198,3 198,9

199,6

199,0

198,7

200,5

198,4

199,2

198,8 198,5

198,9

198,8

198,7

199,2

199,3

199,7

197,8 199,9

199,0

199,0

198,7

199,1

200,3

200,5

198,1 198,3

199,6

199,0

199,7

198,9

199,2

197,9

200,3 199,6

199,4

198,7

198,5

198,7

198,6

198,5

a) Obtenga las medidas de tendencia central y con base en ellas señale si la tendencia central del proceso es adecuada. b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales, y a partir de estos decida si la variabilidad de los datos es aceptable. c) Realizar el gráfico del histograma e interprételo

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104


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2. Una empresa de embutidos ha detectado que tiene problemas en el envasado de su producto. La especificación del peso del embutido es de 220 ± 10 g. Para investigar este problema se toma una muestra, aleatoriamente durante 20 días, del peso en gramos del embutido tomado de dos maquinas de producción, que su vez son atendidas indistintamente por dos operarios ( A y B). - Determine el histograma de los datos globales - Determine el histograma de las maquinas 1 y 2 - Determine el histograma de los operarios A y B ¿Cuál es el diagnóstico de la situación y cuál es la propuesta de medidas a tomar a la vista de estos datos?

Tabla 5.3 Peso de embutidos (g) Día

Operador

Maquina 1 215.5 219.1

1

A

220.3

2

B

215.8

222

3

B

220.4

4

B

5

Maquina 2 214.4 208

219.2

220.3

218.9

213.6

216.9

213.4

217.7

219.2 221.6

218.7

218.6

219.6

222.9

219.7

209.4

221.6

221.5

226.8

219.5

222.5

223.1

215.3

220.4

215.6

A

215.7

225.3

223

218

216

210.6

221.4

210.9

6

A

222.7

215.1

219.6

217.3

212.1

213

218

216.5

7

A

216

218.8

217.3

213

216.9

216

213.5

219.2

8

B

219.4

218.3

216.7

224.1

216.2

218.4

216.6

214.9

9

B

219.8

222.6

219.1

217.7

216.2

212.3

216.9

214.9

10

A

220.2

219.5

222.4

219.9

222.9

214.3

219.1

216.7

11

B

218

223.9

219.6

221.9

214.9

212.6

219.4

212.3

12

B

219.3

219.6

218.8

219.9

219

216.7

216.4

213.5

13

B

220

214.1

224.3

217.4

218

219.5

219.5

222.3

14

A

223.9

220.6

219.5

219.6

211.8

218.2

218.3

217.4

15

A

218.1

218.8

218.4

217.9

214.6

215.7

218

216.4

16

B

216.9

221.6

220.6

222.6

215.6

220.4

217.3

216.2

17

B

217.9

225.7

222.2

216.1

212.5

214.6

209.7

211.3

18

A

224.2

216.2

219.9

220.4

215.8

219.9

216.5

211.9

19

A

214.1

219.7

222.4

224.5

213.7

209.7

216.9

213.1

20

A

221.1

225

222.7

222.2

212.5

217.5

217.4

215.7

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105


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5.3 PARETO Los problemas de calidad se presentan como pérdidas (productos defectuosos y su costo). Es muy importante aclarar el patrón de la distribución de la perdida. La mayoría de las pérdidas se deberán a unos pocos tipos de defectos, y estos defectos pueden atribuirse a un número muy pequeño de causas. Si se identifican las causas de estos pocos defectos vitales, podremos eliminar casi todas las perdidas, concentrándonos en esas causas particulares y dejando de lado por el momento otros muchos defectos triviales. El Diagrama de Pareto es un gráfico de barras similar al histograma que se conjuga con una ojiva o curva de tipo creciente y que representa en forma decreciente el grado de importancia o peso que tienen los diferentes factores que afectan a un proceso, operación o resultado. El nombre de Pareto fue dado por el Dr. Joseph Juran en honor del economista italiano Wilfredo Pareto (Paris 1848 – Turín 1923). Pareto realiza un estudio sobre la distribución de la riqueza, en el cual descubrió que la minoría de la población poseía la mayor parte de la riqueza y la minoría de la población poseía la menor parte de la riqueza. Juran aplicó este concepto de calidad, obteniéndose lo que hoy se conoce como la regla 80/20. Según este concepto, si se tiene un problema con muchas causas, podemos decir que el 20% de las causas resuelven el 80% del problema y el 80% de las causas solo resuelven el 20% del problema. La gráfica de Pareto es utilizada para separar gráficamente los aspectos significativos de un problema desde los triviales, de manera que un equipo sepa dónde dirigir sus esfuerzos para mejorar.

5.3.1 Principio del Diagrama de Pareto El Diagrama de Pareto fue creado sobre la base del principio de Pareto, según el cual, el 80% de los problemas son provenientes de apenas el 20% de las causas.

5.3.3 Para qué se usa el Diagrama de Pareto? El diagrama de Pareto se usa para: - Identificar un producto o servicio para el análisis para mejorar la calidad.

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- Identificar oportunidades para mejorar. - Analizar las diferentes agrupaciones de datos (ej: por producto, por segmento del mercado, área geográfica, etc.) - Buscar las causas principales de los problemas y establecer la prioridad de las soluciones. - Evaluar los resultados de los cambios efectuados a un proceso (antes y después). - Cuando el rango de cada categoría es importante. - Identificar y dar prioridad a los problemas más significativos de un proceso. - Evaluar el comportamiento de un problema, comparando los datos entre el "antes" y el "después“. - Analizar los problemas de calidad pero también de los problemas de la más diversas naturaleza. - Detectar las causas de defectos y los reclamos de clientes corresponden al área de la calidad, pero las causas de las paradas de las maquinas, las causas del ausencia laboral, la desigual distribución de los costos, la desigual distribución del consumo de energía, la desigual distribución de los trabajos de mantenimiento, las causas de accidentes, etc. son también problemas que podrán ser abordados desde la perspectiva del Principio de Pareto.

5.3.4 Cómo se Construye el Diagrama de Pareto El diagrama de Pareto, trata de poner de manifiesto gráficamente la importancia real de cada causa en el problema que, siguiendo el principio de Pareto, en muchas ocasiones, unas pocas causas generan la mayor parte del problema. De esta forma, centrando esfuerzos en unas pocas causas resolveremos la mayor parte del problema. Para elaborar un diagrama de Pareto debemos seguir los siguientes pasos: 1. Definir el tipo de problemas que se va a investigar. Por ejemplo, tipos de defectos, causas que producen interrupciones en el proceso de fabricación, causas de ausencia laboral, quejas de clientes, mantenimiento, control de tiempos, costos, etc. 2. Definir el método y el período de recolección de los datos. Por ejemplo, se tomará una muestra al azar de las fichas de bajas laborales durante el año anterior al del estudio, o se toman 100 piezas consecutivas y se analizan los diferentes tipos de defectos de cada una de ellas.

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107


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3. Construir una tabla para conteo de datos. Por ejemplo la tabla 5.4. Contiene las razones del despegue retrasado en el aeropuerto defectos encontrados en la pintura de unas piezas metálicas fabricadas a lo largo de una semana.

Tabla 5.4 Frecuencias de los defectos encontrados en la pintura

4. Elaborar una tabla para el Diagrama de Pareto. Calculando las frecuencias, las frecuencias acumuladas, los porcentajes y los porcentajes acumulados a partir de los datos de la tabla de conteo. Todo ello ordenando las clases de mayor a menor frecuencia. Así se ha procedido en la tabla 5.5. Tabla 5.5 Tabla para el Diagrama de Pareto

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5. Construir el Diagrama de Pareto. Como se observa en la figura consiste de un histogramas de barras (frecuencias y porcentajes) y una curva acumulada (frecuencias y porcentajes).

5.3 Diagrama de Pareto

Para la construcción del Diagrama de Pareto realice los siguientes pasos -

Trace dos ejes verticales de la misma longitud, en un eje horizontal.

-

En el eje vertical izquierdo, haga una escala de 0 hasta el número correspondiente al total de la Lista de verificación.

-

En el eje vertical derecho haga una escala de 0 a 100%. El 100% corresponderá al total de la Lista de Verificación.

-

Divida el eje horizontal en intervalos iguales, de acuerdo con la cantidad de categorías de la Lista de Verificación.

-

Construya y denomine las barras, colocando las categorías en orden decreciente de frecuencia, de izquierda a derecha.

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109


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

-

Trace una línea punteada que conecte el origen con la esquina superior derecha de la primera barra, así:

-

Sume, a la altura de la primera barra, la altura de la segunda. Marque con un punto el valor obtenido en la prolongación del lado derecho de la segunda barra

-

Sume a esta nueva altura la altura de la tercera barra. Marque con un punto el valor obtenido en la prolongación del lado derecho de la tercera barra.

-

Haga eso sucesivamente, hasta la última barra.

-

Enlace todos los puntos marcados con una línea, dando continuidad a la línea punteada iniciada en el origen, para formar la curva de Pareto.

-

El último punto representa el 100 % de los eventos.

-

Complete el gráfico con informaciones tales como: nombre del gráfico, período, responsable, etc.

5.3.5 Ejemplos de Tales Minorías Vitales Serían: - La minoría de devoluciones que representa la mayoría de quejas de la clientela. - La minoría de compradores que representen la mayoría de las ventas. - La minoría de productos, procesos, o características de la calidad causantes del grueso de desperdicio o de los costos de reproceso. - La minoría de vendedores que está vinculada a la mayoría de partes impugnadas. Ing. Martha Tesén Arroyo

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- La minoría de productos ó servicios que representan la mayoría de las ganancias obtenidas. - La minoría de elementos que representan al grueso del costo de un inventario.

Solución Con SPSS En la tabla 5.4. se muestran los defectos encontrados en la pintura de unas piezas metálicas fabricadas a lo largo de una semana. Tabla 5.4 Frecuencias de los defectos encontrados en la pintura

Solución A continuación se desarrollará el ejercicio con el SPSS 1. Se debe elaborar la base de datos en este caso se tendrán los defectos como tipo de variable (cadena) y luego la frecuencia es tipo de variable numérica.

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111


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Lista la base de datos se realizará el diagrama, para esto debe dar clip en la hoja de vista de datos, luego deben ir al ítem analizar y luego desplegar hasta encontrar control de calidad y ubicar gráfico de pareto.

Al dar clip en Gráficos de Pareto se obtendrá la siguiente pantalla

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112


Herramientas y Control EstadĂ­stico de la Calidad

. En el Ă­tem de detalles del grafico escoger valores individuales de los casos luego dar clip en definir.

Al dar clip en definir obtendremos la siguiente pantalla, en esta se debe en valores incluir la frecuencia y la variable (defectos)

Ing. Martha TesĂŠn Arroyo

113


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

En esta pantalla se debe dar clip en aceptar para finalmente obtener el diagrama de pareto.

Al obtener el diagrama de pareto se puede observar que no muestran las lineas , por lo cual se debe dar clip sobre el gráfico para poder acceder al editor de gráficos

Ing. Martha Tesén Arroyo

114


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En el editor de gráficos dar clip en mostrar líneas de cuadriculas.

En la ventana que se muestra escoger tanto marcar mayores como menores, dar clip en aplicar y luego cerrar.

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Al final se obtiene el gráfico, luego cerrar la ventana de editor de gráficos

Luego se obtendrá el gráfico de pareto

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Como se observa en el gráfico si solucionamos el 20% de las causas (impurezas, cráteres, aspersión) se arreglarían el 80 % de los problemas (otros, goteos,rasguños, opacidad.

5.4 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN Es muy común escuchar por ejemplo en la industria alimentaria cuando se desea desarrollar un nuevo producto, hasta que punto afectará en el sabor, color

la

concentración del aditivo a usar, o cual sería la relación entre tipo de conservante y el tiempo de vida útil de un alimento, para determinar esta relación entre estas dos variables se utiliza el diagrama de dispersión. Este diagrama es una herramienta gráfica que permite demostrar la relación existente entre dos clases de variables y cuantificar la intensidad de dicha relación. Se utiliza para conocer si efectivamente existe una correlación entre dos magnitudes o parámetros de un problema y, en caso positivo, de qué tipo es la correlación. Las dos variables pueden enmarcarse en:

a. Una característica de calidad y un factor que la afecta b. Dos características de calidad relacionadas, o c. Dos Factores relacionados con una sola característica de calidad.

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COMO SE ELABORA EL DIAGRAMA DE DISPERSIÓN? Paso 1: realizar la tabla de pares de datos (x,y) valores de la variables cuya relación se quiere investigar. Se requiere como mínimo 30 pares de datos Paso 2. Encontrar los valores mínimos y máximos para x y y. Decidir las escalas que se van a utilizar en el eje horizontal y vertical de manera que ambas longitudes sean aproximadamente iguales. Paso 3. Situar la causa sospechada en el eje horizontal, dibujar y rotular los ejes horizontales y verticales. Paso 4. Registrar los datos en el gráfico. Cuando se tenga los mismos valores en diferentes observaciones, muestre estos puntos haciendo círculos concéntricos. Paso 5. Colocar el título al gráfico y rotular. Paso 6. Identificar y clasificar el modelo de correlación. Paso 7. Comprobar los posibles fallos en el análisis. Cómo se interpreta el diagrama de dispersión? El análisis de un diagrama de dispersión consta de un proceso de cuatro pasos. 1. Se elabora una teoría razonable, 2. Se obtienen los pares de valores y 3. Se dibuja el diagrama, 4. Se identifica la pauta de correlación y se estudian las posibles explicaciones.

Las pautas de correlación más comunes son: - Correlación fuerte positiva (Y aumenta claramente con X), - Correlación fuerte negativa (Y disminuye claramente con X), - Correlación débil positiva (Y aumenta algo con X), - Correlación débil negativa (Y disminuye algo con X), - Correlación compleja (Y parece relacionarse con X pero no de un modo lineal) y - correlación nula (no hay relación entre X e Y).

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Errores comunes son no saber limitar el rango de los datos y el campo de operación del proceso, perder la visión gráfica al sintetizarlo todo en resúmenes numéricos, etc.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.

El coeficiente de correlación sirve para cuantificar en términos numéricos el grado de relación lineal entre dos variables. Para poder determinar la relación que existe entre x y y es importante primero realizar el diagrama de dispersión; sin embargo para determinarlo de manera cuantitativa se debe calcular el coeficiente de correlación (r) :

∑ √ ∑

(∑ )(∑ )

(∑ ) √ ∑

(∑ )

n= número de pares de datos El coeficiente de correlación r se encuentra en el rango de -1≤ r ≤1 Si el valor absoluto de r es mayor a 1, se debe revisar los cálculos pues debió existir un error en estos. Si el valor de r es cercano a +1 existe una correlación fuerte positiva Si el valor de r es cercano a -1 existe una correlación fuerte negativa Cuando r =1, los datos aparecerán en línea recta

Interpretación Clásica a) -0,3 ó 0,3

< r correlación lineal inexistente

b) -0,5 ó 0,5

< r correlación lineal de moderada a débil.

c) -0,85 ó 0,85 < r Existe es una correlación fuerte. d) 0.85 < r  1.00

Existe alta correlación.

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ANÁLISIS DE REGRESIÓN El término “regresión” surgió de estudios de la herencia biológica realizados por Galton durante el siglo pasado. En su conocida experiencia, Galton notó que los padres altos tenían hijos cuya altura era mayor a la altura promedio, pero no eran más altos que sus padres. También, padres bajos tenían hijos con altura menor a la altura promedio pero eran más altos que sus padres. Esta tendencia de las características de los grupos de moverse, en la siguiente generación, hacia el promedio de la población o de regresión hacia la media fue descubierta por Galton. El término no tiene hoy el mismo significado que le dio Galton, pero se usa extensamente para referirse al estudio de relaciones funcionales entre variables cuando hay una componente aleatoria involucrada.

Al estudiar la relación entre dos o más variables surge la idea de encontrar una expresión matemática que la describa. Para el caso de dos variables, si se denota como :

Y a la variable que se supone dependiente y como X a la variable que se postula como independiente,

Resulta familiar utilizar el concepto de función y decir “Y es función de X”, para indicar que de acuerdo a los valores asignados a X se pueden predecir los valores que tomará Y. Dicho de otra manera, se puede conocer el comportamiento de Y a través de un modelo que relaciona la variación en Y con la variación de X.

El análisis de regresión tiene por objetivo identificar un modelo funcional que describa cómo varía la esperanza de la variable dependiente, E(Y), frente a cambios en X. Al igual que en el análisis de varianza el modelo para Y también presenta constantes desconocidas que se llaman parámetros, por lo que otro objetivo del análisis es la estimación de los parámetros a partir de una muestra aleatoria de observaciones en Y y en X.

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El análisis de regresión se ocupa también de la validación del modelo propuesto y de las pruebas de hipótesis sobre los parámetros del modelo; por último, la modelación por regresión también tiene como objetivo la predicción, es decir el uso del modelo para dar el valor esperado de Y cuando X toma un valor particular.

La complejidad matemática del modelo de regresión y la adecuación de éste dependerá de cuánto se conoce acerca del proceso o fenómeno que se está estudiando.

En la práctica es posible adoptar modelos de regresión que se pueden agrupar o clasificar en lineales y no lineales. Los primeros hacen referencia a aquellos modelos en que la función adopta la forma de una suma de términos, cada uno conformado por el producto de un parámetro y una variable independiente. Los modelos no lineales son aquellos donde los parámetros no se encuentran multiplicando a las variables independientes como en el modelo lineal de tal forma que no pueden ser estimados resolviendo un sistema de ecuaciones lineales.

Por ejemplo, los parámetros pueden encontrarse como exponentes de las variables independientes. La estimación de los parámetros en modelos no lineales se realiza usando herramientas diferentes a las presentadas en este capítulo. Aquí se abordan solamente los modelos lineales, no sólo por ser más simples, sino porque permiten dar respuesta a un gran número de problemas en las Ciencias, Ingenierías Además, algunos de los modelos no lineales pueden, mediante adecuadas transformaciones, ser expresados de la forma lineal (en estos casos los modelos se dicen intrínsecamente lineales). El modelo de regresión lineal más sencillo es el que se presenta a continuación Modelo de regresión lineal simple. Es una técnica estadística que analiza si los valores de una variable dependiente e independiente pueden predecirse mediante un modelo lineal. Las variables implicadas en el modelo deben ser cuantitativas y continuas. Para ajustar una línea recta de Regresión, se considera la ecuación de la recta:

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b0

̂

Donde : b0= Distancia que existe entre el origen de coordenadas y el punto de intersección de la recta con el eje Y b1 = Coeficiente de Regresión (pendiente, proporción de cambio) X = Variable independiente. ( estimulo, de influencia, causa,) Y = variable dependiente (respuesta, criterio, efecto)

Estimación de la Regresión Lineal Simple

mediante el Método de mínimos

cuadrados

Una tarea principal en el análisis de regresión lineal, es estimar los parámetros “b0” y “b1”, cuyos valores se determinan a partir de los datos bidimensionales.

El método de los mínimos cuadrados consiste en hacer mínima la suma de los cuadrados de la diferencia entre los valores observados (yi), y los valores estimados ( Yˆ ) es decir:

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SCD   (YI  Y ) 2  Sea mínima

El cálculo de los estimadores de los coeficientes de regresión a partir de los datos muestrales, viene dado por la siguiente expresión.

b1 

n XY  ( Xi)( Yi) n( X i2 )  ( Xi) 2

b0  Y  b1 ( X ) Ejemplo de aplicación Una empres desea realizar un estudio de la relación entre la publicidad por radio y las ventas de un producto, para esto durante 30 semanas se han recopilado los tiempos de duración en minutos de la publicidad por semana (X) y el número de artículos vendidos (Y), resultando. Tabla 5.6. Datos de publicidad versus artículos vendidos Semana

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Publicidad min (X)

20

30

30

40

50

60

60

60

70

80

n° de artículos vendidos (Y)

50

73

69

87

108 128 135 132 148 170

Semana

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Publicidad min (X)

25

35

40

50

55

60

60

65

70

80

n° de artículos vendidos (Y)

60

80

88

112 116 130 136 140 149 172

Semana

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Publicidad min (X)

85

25

35

35

50

60

65

65

75

85

n° de artículos vendidos (Y)

178 55

83

84

110 132 136 139 160 181

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a. Trazar el diagrama de dispersión, e indicar la tendencia b. Calcular el coeficiente de correlación c. Calcular la ecuación de la recta de regresión de mínimos cuadrados con el fin de predecir las ventas. d. Si en la novena semana se incrementara la publicidad en 5 minutos determine en cuanto se estima se incrementen las ventas.

Solución. a. Al trazar el diagrama de dispersión, se observa que existe una relación lineal positiva entre el número de artículos vendidos y el tiempo de publicidad semanal por radio.

Diagrama de dispersión de minutos de publicidad y número de artículos vendidos. Si observamos a simple vista el diagrama en este caso podemos decir que si existe relación entre las variables de minutos de publicidad versus el número de artículos vendidos. Pero ahora es necesario conocer de manera cuantitativa esta correlación por lo cual debemos de calcular el coeficiente de correlación. b. Para calcular el coeficiente de correlación podremos calcular de manera manual Se recomienda realizar el siguiente tabla.

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Tabla 5.7 . Sumatorias de las “x” “y” x

y

Xy

x2

Y2

20

50

1000

400

2500

30

73

2190

900

5329

30

69

2070

900

4761

40

87

3480

1600

7569

50

108

5400

2500

11664

60

128

7680

3600

16384

60

135

8100

3600

18225

60

132

7920

3600

17424

70

148

10360

4900

21904

80

170

13600

6400

28900

25

60

1500

625

3600

35

80

2800

1225

6400

40

88

3520

1600

7744

50

112

5600

2500

12544

55

116

6380

3025

13456

60

130

7800

3600

16900

60

136

8160

3600

18496

65

140

9100

4225

19600

70

149

10430

4900

22201

80

172

13760

6400

29584

85

178

15130

7225

31684

25

55

1375

625

3025

35

83

2905

1225

6889

35

84

2940

1225

7056

50

110

5500

2500

12100

60

132

7920

3600

17424

65

136

8840

4225

18496

65

139

9035

4225

19321

75

160

12000

5625

25600

85

181

15385

7225

32761

1620

3541

211880

97800

459541

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Luego realizar el cálculo teniendo en cuenta la formula

n=30 ∑

(∑ )(∑ )

√ ∑

(∑ ) √ ∑

(∑ )

Reemplazando tenemos ( (

)

) (

(

) √

)( (

) )

(

)

Con este valor podemos corroborar lo mencionado anteriormente, demostrando que existe una alta correlación positiva lineal entre el tiempo de publicidad y el número de artículos vendidos

c. Cálculo la ecuación de la recta de regresión de mínimos cuadrados con el fin de predecir las ventas

Para determinar la recta de regresión por el método de mínimos cuadrados a partir de los datos, es decir para calcular b0 y b1 se requiere realizar los siguientes cálculos que se tienen a continuación.

̂

b0

Estimando el Parámetro b1:

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Estimando el Parámetro b0: bo= ̅

( ̅)

(

)(

)

La Ecuación de Regresión Estimada: ̂ Como ya se tiene la ecuación se puede predecir las ventas e. Si en la novena semana se incrementara la publicidad en 5 minutos determine en cuanto se estima se incrementen las ventas.

c. Incremento de las Ventas. El valor estimado de las ventas en la novena semana es : Si en la novena semana se invirtió x = 70 minutos se espera vender. Y9 = 9,9 + 2 ( 70 ) = 150 artículos

En la novena semana se espera vender 150 artículos.

Si en la novena semana se incrementa el tiempo de la propaganda en 5 minutos, entonces, el tiempo invertido con el incremento será de X = 75 minutos, entonces la venta estimada será de.

Y = 9,9 + 2( 75 ) = 160 artículos,

Entonces el incremento de las ventas después de aumentar los 5 minutos es de 160– 150= 10 artículos.

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5.5 GRÁFICAS DE CONTROL Walter Shewhart, de los laboratorios de la Bell telephone, fue el primero en proponer, en 1924, una gráfica de control con el fin de eliminar una variación anormal, distinguiendo las variaciones debidas a causas al azar. Sí todos los valores ocurren dentro de los límites de control, sin ninguna tendencia especial, se dice que el proceso está en estado controlado. Sin embargo, si ocurren por fuera de los límites de control o muestran una forma peculiar, se dice que el proceso está fuera de control.

¿QUÉ ES UN GRÁFICO DE CONTROL? Los gráficos de control se definen

como un método gráfico para conocer si un

proceso está o no en un estado de control Estadístico. Es una comparación gráfica tecnológica (hora a hora, día a día) de las características

de calidad reales del

producto, parte u otra unidad, con límites que reflejan la capacidad de producir, de acuerdo con la experiencia Los objetivos fundamentales de los Gráficos de Control se pueden concretar en: a. Vigilancia y control del proceso con el fin de conseguir que este sea estable, evitando la producción de defectos. Este objetivo corresponde a la filosofía "hágalo bien a la primera“ b. Aumento de la homogeneidad de la producción mediante la disminución de la variabilidad del proceso y, de está forma, conseguir una mejora continuada de la calidad.

c. Los Gráficos de Control son una norma clara de actuación sobre el proceso, por lo que se evitan ajustes innecesarios que tanto daño pueden causar a la homogeneidad del proceso.

d.

Los Gráficos de Control suministran la información necesaria para la determinación, mediante la correspondiente estimación estadística, de los parámetros del proceso, lo que permitirá conocer mejor nuestra actividad

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productiva. De esta manera, podremos comparar la producción realmente obtenida con las especificaciones de calidad, determinando, así mismo, la capacidad para obtener el producto diseñado.

El objetivo fundamental de los Gráficos de Control consiste, precisamente, en la detección de las causas especiales. Cuando los puntos se ubican por fuera de los límites de control o muestran una tendencia particular, decimos que el proceso está fuera de control, y esto equivale a decir, "Existe variación por causas asignables y el proceso está en un estado de descontrol".

LIMITES DE CONTROL Se debe tener en cuenta que los límites de una gráfica de control

no son las

especificaciones, tolerancias o deseos para el proceso, por el contrario se calculan a partir de la variación de los datos que se representan en la gráfica. De esta forma la clave está en establecer los límites para cubrir cierto porcentaje de la variación natural del proceso, pero se debe tener cuidado

de que tal porcentaje sea el

adecuado, ya que si es demasiado alto ( 99,999999%) lo límites serán muy amplios y será más difícil detectar los cambios en el proceso; mientras que si el porcentaje es pequeño , los límites serán demasiados estrechos y con ello se incrementará el error tipo 1 ( decir que se presento un cambio cuando en realidad no lo hubo).

Una manera sencilla y usual se obtiene a partir de la relación entre la media y la desviación estándar.

PROPOSITOS Y BENEFICIOS Los gráficos de control se usan para vigilar la estabilidad de un proceso. Se agregan los límites de control a la gráfica como ayuda para decidir cuándo se debe ajustar el proceso. Estos límites se basan en la variabilidad inherente al proceso.

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TIPOS DE GRÁFICOS DE CONTROL En función al tipo de característica de calidad (característica ó parámetro) los gráficos de control pueden ser: para variables y atributos En Control de Calidad se denomina. Variable. a cualquier característica de calidad "medible" Ejm : longitud, peso,

resistencia a la rotura, el volumen de gas de una bebida

gaseosa, el pH de un producto agroindustrial, etc.,

Atributo a las características de calidad que no son medibles y que presentan diferentes estados (normalmente dos) tales como conforme y disconforme o defectuoso y no defectuoso.

5.5.1 GRÁFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Un gráfico de control para atributos es un trazo de una estadística que por lo general se calcula a partir de subgrupos que muestran la conducta de una característica de proceso con el transcurso del tiempo.

Las gráficas de control para atributos muestran la conducta de una característica de: -

Fracciones defectuosas (p: sub grupo de tamaño variable y np: sub grupo de tamaño constante)

-

Número de defectuosos (c: sub grupo de tamaño variable y u: sub grupo de tamaño constante.

CONSTRUCCIÓN DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS Los Pasos básicos para desarrollar un gráfico de control de atributos son: 1. Determinar el proceso a vigilar. Gráfico p.

(Fracción de unidades defectuosas)

Gráfico np.

(Número de unidades defectuosas)

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Gráfico c.

(Número de defectos).

Gráfico u.

(Número de defectos por unidad).

2. Determinar el tamaño de sub grupo y la frecuencia. El tamaño del subgrupo y la frecuencia de muestreo dependen de la cantidad de factores tales como el costo de muestreo, otros costos, facilidades de adquisición y nivel de cambio en el proceso. 3. Recabar y registrar los datos. 4. Calcular la fracción defectuosa para cada sub grupo. 5. Trazar las fracciones defectuosas. Dejar espacio en la gráfica para el valor

o

fracción defectuosa más elevados que se esperan ver. Por lo general el valor menor es cero. 6. Obtener la fracción defectuosa global 7. Calcular los límites de control para cada sub grupo 8. Trazar la línea de centro y los límites de control. Usar estas líneas para vigilar el proceso

En la figura 5.6 podemos observar la clasificación de las gráficas de control por Atributos.

Figura 5.4 Gráfica de control por atributos

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131


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Existen muchas características de calidad del tipo pasa o no pasa y, de acuerdo con éstas, un producto es juzgado como defectuoso o no defectuoso (conforme o no conforme) dependiendo de si cumple o no las especificaciones criterios de calidad. En estos, si el producto no tiene la calidad

deseada

no se permite que pase a la

siguiente etapa del proceso; además es separado y se le llama producto defectuoso

GRÁFICO P (FRACCIÓN DE UNIDADES DEFECTUOSAS) Esta gráfica permite mostrar las variaciones en la fracción o proporción de artículos defectuosos por muestra o sub grupo Se gráfica la proporción p de unidades defectuosas en la muestra. Muestras no necesariamente del mismo tamaño. La gráfica P es ampliamente usada para evaluar el desempeño de u8na parte de o de todo un proceso, tomando en cuenta su variabilidad, con el propósito de detectar causas o cambios especiales. Por ejemplo de cada lote o de cada cierta parte de la producción

se toma una

muestra o subgrupo de ni artículos, que puede ser la totalidad o una parte de las piezas bajo análisis. Las ni piezas de cada subgrupo son inspeccionadas y cada una es catalogada como defectuosa o no. La característica o atributo de calidad por los que una pieza es evaluada como defectuosa, pueden ser más de uno Si de las ni piezas del subgrupo i se encuentra que di son defectuosas ( no pasan), entonces en la carta p se grafica y se analiza la variación de la proporción pi de unidades defectuosas por subgrupo.

- Cuando se dispone de un número k suficiente (20 ó más) de muestras, calcular el p medio:

p

total de defectuosos total inspeccionado

- y el n medio (en caso de que no sea constante).

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n

ni  n2  ...  nk k

Los límites de control para el gráfico p, se obtienen a partir de:

Límites Superior

LCS  p  3 p(1  p) / n

Límites Central LC  p

Límites Inferior

LCI  p  3 p(1  p) / n

Cuando el tamaño de subgrupo

n no se mantiene constante a lo largo de las

muestras se tienen dos alternativas. 1. Es posible usar el tamaño promedio de subgrupo ̅, en lugar de n. 2. La segunda es construir una gráfica de control con límites variables Si es proceso medido

a través de

̅

es desconocido, entonces será necesario

estimarlo por medio de un estudio inicial. Ejemplo.(Adapatado de Gutiérrez y De la Vara 2009). En una empresa de alimentos se empaquetan jamonadas. En el proceso se ha detectado un problema pues el empacado al vacio no se está realizando de forma correcta. El problema se detecta mediante inspección visual; los empaques con aire son separados y después se abren para recuperar la salchicha y volverlas a envasar. Se debe tener el cuenta que se debe envasar el embutido en optimas condiciones pues si ingresa aire al envase produce deterioro en el alimento, inicialmente empieza a cambiar el color y perder su frescura. Esto ocasiona que los clientes se quejen y se genere una insatisfacción

en los clientes generando

una mala imagen de la

compañía. Por lo anterior, a los operadores de las diferentes máquinas continuamente se les recordaba la importancia de no dejar pasar paquetes con aire. Sin embargo, como no se llevaba un registro de la magnitud del problema, no existían bases tangibles para

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detectar cambios en el desempeño de las máquinas, ni había forma de saber si las medidas tomadas para reducir el problema habían dado resultado. De ahí surgió la necesidad de registrar los resultados y analizarlos mediante una gráfica de control. Cada hora se registra el número de paquetes detectados con aire di y del contador de la máquina se obtiene el total de paquetes ni durante esa hora. Los datos obtenidos durante tres días en una máquina se muestra en la tabla 5.7 Tabla 5.8.Datos para el proceso del empaquetado de jamonadas. Subgrupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Paquetes ni 595 593 607 596 602 599 600 590 599 601 598 600 597 594 595 597 599 596 607

Paquetes di 15 5 8 10 6 5 5 7 2 4 9 17 4 5 3 10 7 5 4

Subgrupo 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Paquetes ni 594 606 601 598 599 590 588 597 604 605 597 603 596 597 607 596 598 600 608

Paquetes di 7 5 7 4 2 3 5 3 6 5 7 9 5 3 8 15 4 6 8

20

601

9

40

592

5

Solución. Es claro que este problema es del tipo pasa no pasa por lo tanto para analizar la variación de las proporciones de tabla 9.1 se debe aplicar la gráfica p. Para calcular los límites de control se necesita calcular la fracción promedio ̅ tamaño del subgrupo

promedio ̅

y el

que corresponde al número promedio de

jamonadas empaquetadas por hora .

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134


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5.9 Datos de fracciones defectuosas del proceso del empaquetado de jamonadas.

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135


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Subgrupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Total

Paquetes ni 595 593 607 596 602 599 600 590 599 601 598 600 597 594 595 597 599 596 607 601 594 606 601 598 599 590 588 597 604 605 597 603 596 597 607 596 598 600 608 592 23942

Paquetes di 15 5 8 10 6 5 5 7 2 4 9 17 4 5 3 10 7 5 4 9 7 5 7 4 2 3 5 3 6 5 7 9 5 3 8 15 4 6 8 5 257

Fracción Pi

0.025 0.008 0.013 0.017 0.010 0.008 0.008 0.012 0.003 0.007 0.015 0.028 0.007 0.008 0.005 0.017 0.012 0.008 0.007 0.015 0.012 0.008 0.012 0.007 0.003 0.005 0.009 0.005 0.010 0.008 0.012 0.015 0.008 0.005 0.013 0.025 0.007 0.010 0.013 0.008

Ing. Martha Tesén Arroyo

136


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De la tabla anterior se obtiene que el número total de paquetes inspeccionados fueron 23942 y de estos 257 tuvieron el problema de falta de vacío, por lo que la fracción promedio de paquetes defectuosos esta dado por

̅ Como ̅

Por lo tanto los límites de control serán

LCI  p  3

Límites Superior

p(1  p) n

LCI  0,0107  3

Límites Central

Límites Inferior

0,0107 (1  0,0107 )  0,023 599

LC  p  0,0107

LCI  p  3

p(1  p) n

LCI  0,0107  3

0,0107 (1  0,0107 )  0,0019 599

Como el límite inferior no puede ser negativo

debido a que las proporciones o

fracciones siempre son mayores a cero, entonces el LCI=0 Una vez que se tienen los límites se realizará el gráfico de control. En el eje x se encontraran los subgrupos y el eje de la Y la fracción de defectuosos,

Ing. Martha Tesén Arroyo

137


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Luego de ubica en el eje de la Y los valores de los limites de control y se trata un línea horizontal Después se ubican en la gráfica de control se ubican los valores de la fracción pi. Después de realizar los pasos se obtiene la siguiente gráfica de control

Figura 5.5 .Gráfica de Control p para el proceso de envasado de jamonada Según lo observado en la gráfica el proceso de envasado al vacío no fue estable ya que proporciones de los sub grupos 1,12,36 rebasan el LCS. De aquí se desprende que durante el envasado al vacío

de esos sub grupos el proceso funcionó en

presencia de causas o situaciones especiales que por lo general no están presentes en el proceso y que causaron que la proporción de defectuosos fuera anormalmente grande. Se recomienda buscar las causas podría ser el cambio de rollo del envase, operario, etc. Ing. Martha Tesén Arroyo

138


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

A continuación se desarrollará el mismo ejercicio con el spss Paso 1. Generar la base de datos

Luego se debe llenar la base de datos

Ing. Martha Tesén Arroyo

139


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Paso 2. Generar el gráfico de debe realizar lo siguiente, ir a ítem de analizar bajar hasta control de calidad y buscar el grafico de control

Al dar clip en gráfico de control obtendremos la siguiente ventana en esta podemos escoger el tipo de gráfico.

Es este caso escogeremos el gráfico p y en organización de los datos dar clip en los casos son sub grupo.

Ing. Martha Tesén Arroyo

140


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Luego de haber escogido el tipo de grafico dar clip en definir.

Al dar clip en definir se obtiene la siguiente pantalla en la cual se debe colocar en número de disconformes los paquetes de jamonada y en subgrupo se colocar la variable subgrup0, además incluir el tamaño de la muestra en este caso daremos chek en constante con el valor de 599

Ing. Martha Tesén Arroyo

141


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Una vez definido las variables y el valor de la muestra dar clip en aceptar.

Finalmente se generará el gráfico de control p, es este gráfico se obtienen los limites de control junto a la gráfica.

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142


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GRÁFICO nP (NÚMERO DE UNIDADES DEFECTUOSAS)

Cuando el tamaño de subgrupo o muestras en las gráficas p es constante, es más conveniente usar la carta np. Se gráfica el número total de unidades defectuosas en la muestra. Las muestras deben ser del mismo tamaño. En esta gráfica se grafica el número de defectuosos por subgrupo di en lugar de la proporción. Los límites de control se obtienen estimado la media y la desviación estándar de d i , que bajo el supuesto de la distribución binomial esta dado por:

̅

Donde en es el tamaño del subgrupo

y ̅

̅(

̅)

es la proporción promedio de artículos

defectuosos. De aquí que los límites de control de la gráfica np están dados por las expresiones:

Límites Superior

LCS  np  3 np(1  p)

Límites Central

LC  np

Límites Inferior

LCI  np  3 np(1  p)

Ejemplo Del análisis de los datos de inspecciones y pruebas finales de una producto textil se detecto a través de una estratificación y un análisis de pareto que la causa principal por lo que las prendas salen defectuosas está relacionada por el tipo de hilo (A) usado en la prendas. Por lo tanto se decide analizar

más de cerca el proceso. Para

ello, de cada lote de hilo (A) se decide inspeccionar una muestra de 120 prendas (n=120). Los datos obtenidos en los 20 lotes consecutivo se muestran en la tabla. 5.10

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143


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Tabla 5.10 Datos de inspecciones y pruebas finales de una producto textil Prendas Defectuosas 9 6 10 8 5 5 14 12 9 8

Lote 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lote 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Prendas Defectuosas 10 20 12 10 10 0 13 5 6 11

Solución -

Como n es contante

la cantidad

de defectuosos por muestra se puede

analizar con una carta np. -

Para determinar los limites de control primero debemos calcular ̅

Tabla 5.11. muestra de inspecciones y pruebas finales de un producto textil Prendas Lote Muestra Defectuosas

Prendas Lote

Muestra Defectuosas

1

120

9

11

120

10

2

120

6

12

120

20

3

120

10

13

120

12

4

120

8

14

120

10

5

120

5

15

120

10

6

120

5

16

120

0

7

120

14

17

120

13

8

120

12

18

120

5

9

120

9

19

120

6

10

120

8

20

120

11

suma total

2400

183

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144


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̅

Los límites de control será Límite Superior

LCS  np  3 np(1  p)

(

Límite Central

Límite Inferior

)

(

LC  np

(

)

)

LCI  np  3 np(1  p) (

)

(

)

Obtenidos los límites se genera la gráfica de control

En la gráfica se puede observar que el proceso no funcionó de manera estable ya que el número de prendas defectuosas en la muestra del lote 12 es mayor que el límite superior, mientras que en la muestra del lote 16 el número de defectuosos es menor

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145


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que el límite inferior. De aquí que se tenga una evidencia objetiva en la fabricación del lote 12

para afirmar que

se presento una causa o situación especial que

normalmente no está presente en el proceso y que lo empeoró de forma seria; mientras que en el lote 16 ocurrió una causa especial que mejoró el desempeño del proceso de fabricación. Es necesario localizar ambas causas, ya que así se estará en posibilidades de prevenir la primera y en caso de no haber un error en el registro de los datos fomentar la segunda.

Solución del Problema con el SPSS Paso 1. Generar la base de datos

Luego se debe llenar la base de datos

Ing. Martha Tesén Arroyo

146


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Paso 2. Para generar el gráfico de control debe realizar lo siguiente, ir a ítem de analizar bajar hasta control de calidad y buscar el grafico de control

Al dar clip en gráfico de control obtendremos la siguiente ventana en esta podemos escoger el tipo de gráfico.

Ing. Martha Tesén Arroyo

147


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Es este caso escogeremos el gráfico np y en organización de los datos dar clip en los casos son sub grupo. Luego de haber escogido el tipo de grafico dar clip en definir.

Al dar clip en definir se obtiene la siguiente pantalla en la cual se debe colocar en número de disconformes prendas defectuosas y en subgrupo se colocar la variable lote, además incluir el tamaño de la muestra en este caso daremos check en constante con el valor de 120

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148


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Una vez definido las variables y el valor de la muestra dar clip en aceptar.

Finalmente se generará el gráfico de control np, es este gráfico se obtienen los limites de control junto a la gráfica.

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149


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GRÁFICA DE CONTROL P FRENTE A GRÁFICA NP Si el tamaño del subgrupo es variable se tendrá que optar por la gráfica p, pero si el tamaño del subgrupo es constante estas gráficas son la misma, salvo un cambio de escala. Por ejemplo para convertir la gráfica np de la gráfica 10.2 en una carta p, basta con dividir la escala entre el tamaño de la muestra (120). De aquí que cuando se quieren analizar las variables del tipo pasa no pasa en un proceso

y se toman

muestras de tamaño constante, el criterio para elegir entre la carta p y la np es según se prefiera entre proporción de defectuosos o numero de defectuosos : en ocasiones se considera que el número de defectuosos ofrece una cuantificación más directa de la perdida de dinero que se está teniendo en el proceso, lo cual lleva a preferir la gráfica np en la que no es necesario calcular en proporción por cada subgrupo. Por otra parte con la gráfica p es más fácil evaluar en términos porcentuales el nivel de defectuosos en el proceso, pero es necesario recordar el tamaño del lote para tener una idea más precisa de la pérdida en que se está incurriendo.

GRÁFICO c (NÚMERO TOTAL DE DEFECTOS) Es frecuente que al inspeccionar una unidad ( unidad representa un artículo , un lote de artículos) se cuente el número de defectos que tiene en lugar de limitarse de concluir que es o no defectuosa. Ejemplo en un zapato, en una prenda de vestir, cada uno de estas unidades pueden tener más de un defecto y no necesariamente se considera al producto o unidad como defectuosa. En términos generales , las variables mencionadas se pueden ver como el número de eventos

que ocurren por unidad

y tienden a comportarse de acuerdo con la

distribucción de Poisson. Las variables que se ajusten de emanera moderada a esta distribución se pueden examinar a través de las gráfica c y u que analizan el número de defectos pos usb grupo o muestra (grafica c) o el número promedio de defectos por unidad (gráfica u) El objetivo de la gráfica c es analizar la variabilidad del número de defectos por subgrupo, cuando el tamaño de este se mantiene constante. En esta gráfica ci que es igual al número de defectos en el i-esimo subgrupo (muestra).

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150


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Los límites de control se obtiene suponiendo

que el estadístico ci sigue una

distribución de Poisson; por lo tanto , las estimaciones de la media y la desviación estnadar :

Los límites de control son obtenidos a partir de: ̅

̅

LCS  c  3 c Límite superior. Límite central

LC  c

Límite Inferior

LCI  c  3 c

Ejemplo. En una carpintería

se inspecciona al detalle el acabado de las mesas,

cuando salen del área de pintado. La cantidad de defectos que son encontrados en cada silla son registrados con el fin de conocer y mejorar el proceso. En la tabla se muestran los defectos encontrados en las últimas 30 sillas. Tabla 5.12 Datos del inspección de acabado de mesas

Mesas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Defectos ci 7 5 10 2 6 5 4 9 7 8 6 7 8 4 5

Mesas 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Defectos ci 12 8 10 4 7 3 10 6 6 7 4 5 6 8 5

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151


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Solución

De la tabla 5.13 se obtiene que el número promedio de defectos por unidad

Tabla 5.13 Número promedio de defectos por unidad

mesa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Defectos ci 7 5 10 2 6 5 4 9 7 8 6 7 8 4 5 Total

silla 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

mesa 12 8 10 4 7 3 10 6 6 7 4 5 6 8 5 191

̅

LCS  c  3 c Límite superior.

Límite central

LC  c  6,4

Límite Inferior

LCI  c  3 c √

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152


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Como se puede observar el LCI es negativo, pero como no puede haber cantidades negativas de defectos, entonces el límite inferior se iguala a cero. Luego de haber obtenido los límites se dibuja la gráfica c

Figura 6.1. Grafico de Control c Como se observa en la grafica el proceso estuvo funcionando de manera estable , ya que no hay puntos fuera de los límites de control.

El mismo ejercicio será desarrollado por el SPSS Paso 1. Generar la base de datos

Ing. Martha Tesén Arroyo

153


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Luego se debe llenar la base de datos

Paso 2. Para generar el gráfico de control debe realizar lo siguiente, ir a ítem de analizar bajar hasta control de calidad y buscar el grafico de control

Ing. Martha Tesén Arroyo

154


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Al dar clip en gráfico de control obtendremos la siguiente ventana en esta podemos escoger el tipo de gráfico.

Es este caso escogeremos el gráfico c y en organización de los datos dar clip en los casos son unidades Luego de haber escogido el tipo de grafico dar clip en definir.

Al dar clip en definir se obtiene la siguiente pantalla en la cual se debe colocar en características (defectos) y en sub grupo (mesa). Ing. Martha Tesén Arroyo

155


Herramientas y Control Estadístico de la Calidad

Una vez definido las variables y el valor de la muestra dar clip en aceptar.

Finalmente se generará el gráfico de control c, es este gráfico se obtienen los limites de control junto a la gráfica.

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156


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GRÁFICO u (NÚMERO DE DEFECTOS POR UNIDAD) La gráfica u analiza la variación del número promedio de defectos por artículo o por unidad de referencia. Se usa cuando el tamaño del subgrupo no es constante. En esta gráfica un subgrupo lo forman varias unidades. De manera que para cada subgrupo se grafica.

Donde ci es la cantidad de defectos en el subgrupo i y ni es el tamaño del subgrupo i. Para calcular los límites es necesario estimar la media y la desviación estándar del estadístico ui, que bajo supuesto de que ci sigue una distribución de Poisson resultando: ̅

̅

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157


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Donde n es el tamaño de subgrupo. De esta manera, los límites de control en la carta u están dados por :

LCS  u  3 u / n Límite superior.

Límite central

LC  u

LCI  u  3 u / n Límite Inferior

Ejercicios. 1. En la Casa de Motos S.A, ensamblan mototaxis y al final del proceso se realiza una inspección por muestreo para detectar defectos. en la tabla 9.4 se presentan el número de defectos

en muestreos realizados en 25 lotes consecutivos

de

motototaxis. El número de mototaxis inspeccionados en cada lotes es variable. Tabla 5.14 Defectos en mototaxis Tamaño de la muestra 20 22 21 21 15 18 16 18 23 23 23 28 28 30 26

defectos encontrados 16 24 17 27 16 18 16 20 26 11 26 32 23 48 30

Lote 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Tamaño de defectos la muestra encontrados 32 34 32 32 32 36 32 31 30 32 30 34 16 12 18 15 16 31 15 18 17 19 17 18 17 22 17 26 17 28

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158


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Solución Como el número de mototaxis inspeccionados por lote es variable, por lo que no es apropiado aplicar la carta c. Es mejor analizar el número promedio de defectos por mototaxi ui. Para calcular los límites de control a partir de la tabla 5. 15se tiene : Tabla 5.15 Número promedio de defectos por mototaxi ui. Tamaño

defectos

de la

encontrad

Lote muestra

Tamaño de

defectos

os

ui=ci/ni

Lote

la muestra

encontrados

ui=ci/ni

1

20

16

0.80

16

32

34

1.06

2

22

24

1.09

17

32

32

1.00

3

21

17

0.81

18

32

36

1.13

4

21

27

1.29

19

32

31

0.97

5

15

16

1.07

20

30

32

1.07

6

18

18

1.00

21

30

34

1.13

7

16

16

1.00

22

16

12

0.75

8

18

20

1.11

23

18

15

0.83

9

23

26

1.13

24

16

31

1.94

10

23

11

0.48

25

15

18

1.20

11

23

26

1.13

26

17

19

1.12

12

28

32

1.14

27

17

18

1.06

13

28

23

0.82

28

17

22

1.29

14

30

48

1.60

29

17

26

1.53

15

26

30

1.15

30

17

28

1.65

670

738

Suma total

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159


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̅

Como el tamaño del subgrupo o muestra es variable, se tiene dos alternativas: usar el tamaño de subgrupo promedio o construir una gráfica de control con límites variables. Se realizarán ambas. El tamaño del subgrupo promedio se obtiene dividiendo el total de unidades inspeccionadas (670) entre el número de subgrupo (30); de esta manera; ̅

Límite superior.

,

LCS  u  3 u / n √

Límite central LC  u

Límite Inferior

LCI  u  3 u / n √

Después de obtener los límites obtendremos la gráfica

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160


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Figura 5.6. Gráfica de control u para mototaxis defectuosos

El ejercicio será desarrollado por el SPSS

Paso 1. Generar la base de datos

Ing. Martha Tesén Arroyo

161


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Luego se debe llenar la base de datos

Paso 2. Para generar el gráfico de control u debe realizar lo siguiente, ir a ítem de analizar bajar hasta control de calidad y buscar el grafico de control

Al dar clip en gráfico de control obtendremos la siguiente ventana en esta podemos escoger el tipo de gráfico c,u, en organización de datos dar clip en los casos son subgrupos, luego dar clip en definir. Ing. Martha Tesén Arroyo

162


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Es este caso escogeremos el gráfico u

En esta ventana en organización de los datos dar clip en los casos son subunidades, luego en número de disconformidades colocar (defectos encontrados) y en subgrupo

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163


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colocar lotes, en tamaño de la muestra a pesar de que en este ejercicio es variable aquí debemos colocar el promedio que es de 22.

Luego de haber escogido el tipo de grafico

dar clip en aceptar. Finalmente se

generará el gráfico de control u, es este gráfico se obtienen los limites de control junto a la gráfica.

Si observamos los datos del ejercicio, podemos ver que el tamaño de muestra es variable. En el software podemos obtener esta gráfica

Ing. Martha Tesén Arroyo

164


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Lo primero es que en lote se debe colocar el tamaño de la muestra de la tabla.

1. En este caso se generará una nueva base de datos.

2. Al llenar la base de datos se debe colocar el tamaño de la muestra.

Ing. Martha Tesén Arroyo

165


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Luego ir a Analizar y ubicar control de calidad y luego gráficos de control

Al dar clip en gráficos de control se obtendrá la siguiente pantalla.

Ing. Martha Tesén Arroyo

166


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Se escogerá la grafica c,u , luego dar clip en definir, así obtendremos la siguiente pantalla.

Aquí en número de disconformidades colocar defectos encontrados y en tamaño de muestra colocar variable

y colocar tamaño de la muestra finalmente dar clip en

aceptar.

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167


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Finalmente obtendremos la siguiente gráfica

GRÁFICA DE CONTROL PARA VARIABLES

La gráfica de control para variables se aplican a características de calidad de tipo continuo, aquellas que requieren

un instrumento

de medición

(peso, volumen,

voltaje, longitud, humedad, actividad de agua, resistencia, temperatura, etc).

Una gráfica de control para variables es un trazo estadístico que por lo general se calcula a partir de los sub grupos que muestran la conducta de una característica de proceso con el transcurso del tiempo. Las gráficas para variables más usuales son : ̅(

)

R (rangos) S( desviación estándar) X ( medias individuales)

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168


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GRÁFICO DE LA MEDIA El gráfico de control de Shewhart

es el dispositivo estadístico más popular para

supervisar la media de un proceso industrial. Su popularidad se debe a su simplicidad y efectividad en general.

Límite Superior: LCS  X  A 2 ·R

Límite central : LC  X

Límite Inferior :

LCI  X  A 2 ·R

A2 se encuentran en la tabla A1 (anexo 1)

GRÁFICA DEL RANGO Con esta gráfica se detectaran los cambios o magnitud de la variación del proceso. Los límites de control para la gráfica de control del rango tenemos:

Limite Superior: LCS  D4 R

Limite central : LC  R

Límite Inferior:

LCI  D3 R

A2 se Hallan en la tabla A1

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169


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Ejercicio. Se desea conocer la variabilidad del proceso de llenado de fresas congeladas a fin de determinar qué porcentaje de los pesos se encuentran arriba del peso nominal de 100 gramos. Para tal efecto se colectan 5 bolsas y se registran los pesos considerando la variabilidad en decimas de gramos. Los datos son registrados en la siguiente tabla Tabla 5.16. Pesos de llenado de bolsas de fresas congeladas

GRÁFICA DE DESVIACIÓN ESTANDAR S

Limite Superior: Limite central :

LCS  B4 S LC  S

Limite Inferior : LCI  B S 3 B3 y B4 se Hallan en la tabla A1 Si tenemos el tamaño de cada subgrupo es de n. La desviación estándar de cada muestra se calcula de la forma usual:

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170


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GRÁFICA DE MEDIA Y DESVIACIÓN ESTANDAR

Ejercicio. Se desea establecer un gráfico de control para el peso de llenado de envases de Yogurt. El peso nominal es 115 grs y la especificación ± 5 grs. A lo largo de 25 días se ha tomado cada 2 horas (4 muestras por día) muestras constituidas por 4 envases consecutivos. Los pesos obtenidos, que para comodidad de cálculo se expresan en exceso sobre 100 g. Se recogen a continuación: Tabla 5.17 : Peso del llenado de envases de Yogurt. Muestra

peso1

peso2

peso3

peso4

1

15,8

16

17,4

17,8

2

17

16,4

13,4

12,4

3

12,8

14,7

15,1

14,2

4

14,5

15,6

13,3

17,8

5

15,1

16,2

15,3

12,5

6

15,1

16,3

14,8

16,1

7

16,7

16

15

15,7

8

15,1

14,9

13,9

13,5

9

14,2

15,6

15,5

14,9

10

14,1

13,2

13,9

14,1

11

13,8

15,3

13,6

13,9

12

15,2

14,5

14,7

13,6

13

16,1

14,9

14

14

14

14,4

13,2

15,9

13,1

15

14,3

18,3

14,7

13,3

16

19,4

16,9

14,9

14,7

17

12,9

17,1

14,7

13,8

18

14,5

12,8

11,9

13,9

19

16,6

13,4

14,3

16,9

20

17,3

14,8

17,5

15

21

19,5

17,1

15

14,5

22

12,5

14,7

14,8

14,2

23

15,1

16

15,4

13,2

24

14,2

15,3

15,5

14,7

25

19,2

16,8

15,2

14,9

Ing. Martha Tesén Arroyo

171


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- Generar una gráfica de control media - rango - Utilizando la misma información realizar un gráfico media- desviación estándar. -

Interprete los resultados

Solución. 1) Calcular la media y el rango de cada muestra o subgrupo. Tabla 5.18. Peso promedio y rango del llenado de envases de Yogurt Desviación muestra

peso 1 peso 2 peso 3 peso 4

Promedio

Rango

estándar

1

15.8

16

17.4

17.8

16.75

2

1.00

2

17

16.4

13.4

12.4

14.8

4.6

2.24

3

12.8

14.7

15.1

14.2

14.2

2.3

1.00

4

14.5

15.6

13.3

17.8

15.3

4.5

1.91

5

15.1

16.2

15.3

12.5

14.775

3.7

1.59

6

15.1

16.3

14.8

16.1

15.575

1.5

0.74

7

16.7

16

15

15.7

15.85

1.7

0.70

8

15.1

14.9

13.9

13.5

14.35

1.6

0.77

9

14.2

15.6

15.5

14.9

15.05

1.4

0.65

10

14.1

13.2

13.9

14.1

13.825

0.9

0.43

11

13.8

15.3

13.6

13.9

14.15

1.7

0.78

12

15.2

14.5

14.7

13.6

14.5

1.6

0.67

13

16.1

14.9

14

14

14.75

2.1

0.99

14

14.4

13.2

15.9

13.1

14.15

2.8

1.31

15

14.3

18.3

14.7

13.3

15.15

5

2.18

16

19.4

16.9

14.9

14.7

16.475

4.7

2.19

17

12.9

17.1

14.7

13.8

14.625

4.2

1.81

18

14.5

12.8

11.9

13.9

13.275

2.6

1.16

19

16.6

13.4

14.3

16.9

15.3

3.5

1.72

20

17.3

14.8

17.5

15

16.15

2.7

1.45

21

19.5

17.1

15

14.5

16.525

5

2.28

22

12.5

14.7

14.8

14.2

14.05

2.3

1.07

23

15.1

16

15.4

13.2

14.925

2.8

1.21

24

14.2

15.3

15.5

14.7

14.925

1.3

0.59

25

19.2

16.8

15.2

14.9

16.525

4.3

1.97

15.04

2.83

1.30

promedios

Ing. Martha Tesén Arroyo

172


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4

X 1. 

X j 1

4

15,8  16,0  17,4  17,8  16,75 4

ij

R1= X1,max - X1, min =17,8 – 15,8 = 2.0

Asi sucesivamente se calculará para los demás 2) Calcular la media y rango promedio:

25

X

X i 1

i

25

375,95  15,04 25

25

R

R i 1

25

i

70,8  2,83 25

3) Calcular los límites de control del gráfico de medias.

LCS X  X  A2 R  15,038  0,729  2,832  17,025 LCS X  X  A2 R  15,038  0,729  2,832  12,9735

4) Calcular los límites de control del gráfico de rangos. Utilice los factores según el tamaño de muestra.

LCS R  D4 ·R  2,282  2,832  6,4626

LCI R  D3 ·R  0.000  2.832  0.00

5) Graficar los promedios y rangos separadamente. Los gráficos de control que incluyen los límites calculados se muestran en la siguiente gráfica.

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173


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Grafico de control de medias. 18 LCS=17.10

X- barra

17 16

LC=15.038

15 14 13

LCI=12.97

12 0

5

10

15

20

25

Nº de muestra

Grafico de control R. 8 LCS=6.46

Rango, R

6 4

LC= 2.83

2 0

LCI=0.00 0

5

10

15

20

25

Nª de muestra

6) En el gráfico de medias, se verifica que no hay ningún valor que salga de los límites. En caso contrario, elimine el o los valores y recalcule los límites. En el rango de rangos, no hay ningún punto fuera de los límites de control en caso contrario, elimine el o los valores y recalcule los límites. 7) Interprete los gráficos de control. Gráfico X :

Variación aleatoria.

Gráfico R:

Patrón no aleatorio y ciclos. Existe una racha de 8 puntos consecutivos

debajo de la línea central. Decisión: No, instalar los gráficos e investigar las causas para eliminarlas, luego repetir el estudio.

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174


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Utilizando la misma información del ejemplo anterior, calcular un gráfico mediadesviación estándar.

1) Calcular la media y el rango de cada muestra o subgrupo. Por ejemplo:

4

X 1. 

X j 1

ij

4

15.8  16.0  17.4  17.8  16.75 4

4

S1 

(X j 1

 X1)2

1j

n 1

2.99  0.9983 3

2) Calcular la media y la desviación estándar promedio: 25

X

X i 1

i

25

375,95  15.038 25

25

S

S i 1

25

i

32,94  1,3 25

3) Calcular los límites de control del gráfico de medias.

LCS X  X  A3 S  15.038  1.628  1.2958  17.1475

LCS X  X  A3 S  15.038  1.628  1.2958  12.9284

4) Calcular los límites de control del gráfico de desviaciones. Utilice los factores según el tamaño de muestra.

LCS S  B4 ·S  2.266  1.2958  2.9363 LCI S  B3 ·S  0.000  1.2958  0.00 Ing. Martha Tesén Arroyo

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5) Graficar los promedios y desviaciones estándar separadamente. Los gráficos de control que incluyen los límites calculados se muestran enseguida.

Grafico de control de medias. 18 LCS=17.15

X barra

17 16

LC = 15.04

15 14 13

LCI=12.93

12 0

5

10

15

20

25

Nº de muestra :

Gráfico de control S

Desviación estándar, S

3

LCS = 2.94

2,5 2 1,5

LC = 1.30

1 0,5 0

LCI = 0.00

0

5

10

15

20

25

Nº de muestra

6) Tanto en el gráfico de la media como el de la desviación, se verifica que no hay ningún valor que salga de los límites de control. 7) Interprete los gráficos de control. Gráfico X :

Variación aleatoria.

Gráfico R:

Patrón no aleatorio y ciclos. Existe una racha de 8 puntos consecutivos

debajo de la línea central.

Ing. Martha Tesén Arroyo

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Decisión: No, instalar los gráficos e investigar las causas que afectan a la variabilidad para eliminarlas, luego repetir el estudio.

A Continuación se realizará el ejercicio con el SPSS Paso 1. Generar la base de datos

Luego se debe llenar la base de datos

Ing. Martha Tesén Arroyo

177


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Paso 2. Para generar el gráfico de control por variable debe realizar lo siguiente, ir a ítem de analizar bajar hasta control de calidad y buscar el grafico de control

Al dar clip en gráfico de control obtendremos la siguiente ventana en esta podemos escoger el tipo de gráfico por variable, en organización de datos dar clip en los casos son unidades, luego dar clip en definir.

Ing. Martha Tesén Arroyo

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Al dar clip a gráfico en definir escogeremos el gráfico por variables

En esta ventana en medida del proceso colocar peso y en subgrupos definidos por días, en gráficos dar clip en x- barra con rango.

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Luego de haber escogido el tipo de grafico

dar clip en aceptar. Finalmente se

generará los gráficos de control de media, rango, es estos gráficos se obtienen los límites de control junto a la gráfica.

Los gráficos obtenidos tenemos

Ing. Martha Tesén Arroyo

180


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Utilizando la misma información del ejemplo anterior, calcular un gráfico mediadesviación estándar. Como la base de datos ya está generada solo debemos ir a Analizar, bajar hasta control de calidad y buscar el gráfico de control.

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Al dar clip en gráfico de control obtendremos la siguiente ventana en esta podemos escoger el tipo de gráfico por variable, en organización de datos dar clip en los casos son unidades, luego dar clip en definir.

Luego al dar clip en definir se obtiene la siguiente ventana. Aquí se escoge el tipo de gráfico x-barra con desviación típica.

Al dar clip en aceptar se tiene la siguiente gráfica de medias y desviación típica.

Ing. Martha Tesén Arroyo

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Figura 5.7. Gráfica de control de media:peso

Ing. Martha Tesén Arroyo

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Figura 5.8. Gráfica de control de desviación: peso

SEÑALES DE FALTA DE CONTROL

Para que una gráfica de control sea correctamente interpretada debe estar conformada por lo menos por 20 puntos. Una vez que ya se ha instalado una gráfica de control, es decir, una vez que ya se han determinado los límites de superior y e inferior, se puede afirmar que el proceso está fuera de control en las siguientes situaciones: • Al menos un punto más allá de los límites de control. • Racha: si hay 7 puntos consecutivos a un lado de la línea central, ó si 10 de 11 puntos consecutivos están a un lado de la línea central, ó 12 de 14, ó 16 de 20. • Tendencia: si forman una curva continúa ascendente o descendente. • Acercamiento de los límites de control: si 2 de 3 puntos consecutivos está comprendidos entre 2σ y 3σ.

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• Acercamiento de la línea central: si la mayoría de los puntos están entre -1.5σ y +1.5σ. Esto se debe a que las muestras se han tomado en forma inapropiada. •

Periodicidad: si hay tendencia ascendente y descendente para casi el mismo intervalo.

Ing. Martha Tesén Arroyo

185


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BIBLIOGRAFIA. [1]. Norma ISO 9000:2005. Sistemas de Gestión

la Calidad _ Fundamentos y

Vocabularios. [2]. H. Gutiérrez, Control Estadístico de la Calidad y Seis Sigma. Ed. Mc Graw Hill. México 2007. [3]. O Tinoco, S.Crispin. Estadística Básica. Fondo Editorial UCH. 2007. [4]

D. Montgomery. "Control Estadístico de la Calidad" ED. Iberoamérica. México 1995

[5] Kume Hitoshi: "Herramientas Estadísticas Básicas para el mejoramiento de la calidad" ED. Norma, Colombia 1992

Ing. Martha Tesén Arroyo

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ANEXO FACTORES PARA EL CÁLCULO DE LOS LÍMITES DE CONTROL DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES. [4] (CRITERIO 3σ)

Ing. Martha Tesén Arroyo

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