дробнее
-
что
такие
утверждения
найдутся
даже
среди
утвер
ждений о натуральных числах. Но эта формулировка заключает в себе некое противоречие. истинное
утверждение,
В самом деле,
которое
если мы обнаружили
невозможно
доказать,
то
откуда,
спрашивается, мы знаем, что оно истинное? Ведь чтобы убеждённо заявлять
о
его
истинности,
мы
должны
эту
истинность
доказать.
Но тогда как же можно говорить о его недоказуемости? Разгадка в том, что в грубых,
подобно приведённым, форму
лировках теоремы Гёделя смешиваются два понятия доказа тель ства
-
содержательное
(неформальное,
психологическое)
и
фор
мальное. Теорему Гёделя надлежит понимать в следующем смысле: существуют
не
имеющие
формального
доказательства
утвержде
ния, являющиеся тем не менее истинными, причём истинность их подтверждается содержательными доказательствами. Иными сло вами,
эти
утверждения
доказуемы
содержательно
инедоказуемы
формально. Отметим, что в применении к какому бы то ни было утверждению более
корректно было
доказательствах
самого
не
этого
бы
говорить о формальных
утверждения,
а
предложения,
служащего записью этого утверждения в виде слова, составленного
из букв подходящего алфавита. Однако мы этого делать не будем, чтобы не утяжелять изложения.
Указанный смысл
нуждается
в дальнейшем уточнении.
Ведь
понятие формального доказательства осмысленно лишь тогда, ко
гда предъявлены
аксиомы и
правила вывода.
Достаточно взять
любое утверждение и включить его в число аксиом
-
и оно тут
же сделается доказуемым формально. Точная, хотя и требующая разъяснений,
формулировка
теоремы
Гёделя
такова:
если
язык
достаточно богат, то какой бы список аксиом и какой бы список правил вывода ни предъявить, в этом языке найдётся истинное утверждение о
натуральных числах,
не
имеющее формального
доказательства. Жанр данного очерка не позволяет дать предложенной «точной» формулировке исчерпывающих объяснений. Но некоторые намётки
всё же сделаем. Под утверждениями о натуральных числах понимаются такие утверждения, как
«и»,
которые
«если
... ,
помимо
то»,
общелогических
«существует»,
«равно»
понятий и
тому
(таких подоб
ных) используют в своих формулировках лишь натуральные числа и операции сложения и умножения.
Под достаточным богатством языка понимается его способ ность
выражать
некоторые
утверждения
о
натуральных
числах.
Чтобы было понятно, что имеется в виду, заметим, что тот язык,
52