таблица, в которой члены аm,m, лежащие в основе наших рассуж дений, будут расположены на диагонали. Поэтому применённый метод
доказательства называется
диагонаЛЫ-lЫМ методом.
гональный метод был изобретён в
XIX
Диа
веке основателем теории
D
множеств великим математиком Георгом Кантором.
Н есчётность множества всех действительных чисел. Сперва доказывается, что всякое подмножество счётного множества непре менно конечно или счётно (предоставляем это читателю). Далее рассматривается множество таких действительных чисел, которые
представимы как бесконечная десятичная дробь вида О, Уl У2УЗУ4 ... , В которой каждый десятичный знак
Yk
равен О или
таких чисел несчётно, что вытекает из примера
12.
1.
Множество
Но это множе
ство образует подмножество множества всех действительных чисел,
D
каковое, следовательно, несчётно. Чаще всего способ
«от противного» используется для доказа
тельства того, что объекта с заданными свойствами не существует.
В самом деле, если требуется доказать, что что-то существует, то можно просто предъявить соответствующий объект (конечно, надо
ещё доказать, что предъявлено именно то, что надо, то есть что предъявленный объект обладает требуемыми свойствами). А как
доказать, что чего-то нет? Хорошо, если это «что-то» надо искать среди конечного количества элементов
-
тогда можно попробовать
метод перебора. А если среди бесконечного? Один из методов, при меняемых в этом случае есть так называемый метод бесконечного
спуска,
речь о котором пойдёт В следующем разделе и который
можно рассматривать как частный случай метода «от противного».
принципы НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЧИСЛА
И МЕТОД БЕСКОНЕЧНОГО СПУСКА Принциn стом
наибольшего числа утверждает,
конечном множестве
что
натуральных чисел
в любом найдётся
неnу наи
большее число. Принциn наименьшего числа формулируется так: в любом неnу
стом (а не только в конечном!) множестве натуральных чисел существует наименьшее число.
Вторая формулировка принципа наименьшего числа: не суще ствует бесконечной убывающей (то есть такой, в которой каждый последующий член меньше предыдущего) последовательности на туральных чисел.
Эти
две
формулировки
сильны. В самом деле,
принципа наименьшего
числа равно
если бы существовала бесконечная убы-
19