Issuu on Google+

Analysis Sucesiones y Límites. El número e

OpenUepc.com 1.1.4.1

Ver 01:05/02/2010


NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.3.1 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.4

ANALYSIS

1.1.4.1

SUCESIONES

COPYLEFT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 22/11/2009


+

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 3 Historia.............................................................................................................................. 7 Aplicaciones ...................................................................................................................... 7 Objetivos ........................................................................................................................... 7 SUCESIONES ...................................................................................................................... 8 Formas Indeterminadas .................................................................................................... 11 OPERACIONES CON SUCESIONES................................................................................ 12 Suma ó adición de sucesiones .......................................................................................... 12 Propiedades de la suma ................................................................................................ 12 Producto o multiplicación de sucesiones .......................................................................... 12 Propiedades del producto de sucesiones ....................................................................... 13 Multiplicación de una sucesión por un número real o escalar ........................................... 14 Propiedades de la multiplicación por números reales .................................................... 14 MONOTONIA .................................................................................................................... 15 Sucesión creciente ........................................................................................................... 15 Sucesión decreciente........................................................................................................ 15 Definición: Sucesiones monótonas................................................................................... 16 SUCESIONES ACOTADAS .............................................................................................. 17 Acotación superior........................................................................................................... 17 Acotación inferior ............................................................................................................ 17 Sucesión acotada ............................................................................................................. 17 Propiedades.................................................................................................................. 18 SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES.................................................................... 19 Límite de una sucesión .................................................................................................... 19 Sucesión convergente ...................................................................................................... 19 Propiedades de los límites ................................................................................................ 19 Operaciones con sucesiones ............................................................................................. 20 Sucesiones divergentes .................................................................................................... 21 Límites infinitos .............................................................................................................. 21 Regla del bocadillo .......................................................................................................... 22 Criterio de Stolz............................................................................................................... 23 EL NUMERO e .................................................................................................................. 25 n  1   Estudio de la sucesión  1    ................................................................................. 25  n  

| INTRODUCCIÓN 1


+

Cálculo aproximado de e ................................................................................................. 28 Límites de sucesiones relacionadas con el número e ........................................................ 28 INDETERMINACIONES ................................................................................................... 38  Caso 1:  ....................................................................................................................... 38

Caso 2:  .................................................................................................................. 39 Caso 3: 1 ....................................................................................................................... 39 Otros casos ...................................................................................................................... 40 CALCULO DE LIMITES ................................................................................................... 33 RESUMEN DE CALCULO DE LIMITES................................................................... 36

| INTRODUCCIÓN 2


+

INTRODUCCIÓN Término general de una sucesión Para introducir a los alumnos en esta materia vamos a pedirles que nos digan los siguientes términos de estas series elementales y que intenten dar una expresión general o fórmula generatriz. 1, 2, 3, 4, 5.... 2, 4, 6, 8, 10,.... 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..... 5, 10, 15, 20, 25, 30, ..... 4, 7, 10, 13, 16, .....

6,7,8.....{n} números naturales 12, 14, 16,... {2n} números pares 13, 15, 17,... {2n-1} números impares 35, 40, 45, .... {5n} números múltiplos de 5

2, 4, 8, 16, 32, ....

64, 128, ....

1, 2, 4, 8, 16, 32, .... 1,4,9,16,.... 1,8,27,64,... 2, 5, 10, 17, 26, ..... 2, 6, 12, 20, 30, 42, .... -15, -10, -5, ....

1 1 3 , , ,... 2 2 2 1, -1, 1, -1, .... -1, 1, -1, 1, ....

2 4 6 8 10 , , , , ,... 1 3 5 7 9

19, 22, 25,....

3n  1 múltiplos de 3 más 1.

2  potencias de 2 64, 128, .... 2  potencias de 2 25,36,49,... n  125,216,.. n  37, 50, 65, ... n  1 56, 72, 90, 110, ... n  n  1 0, 5, 10, 15, ... 5  n  4  n

n1 2

3

2

5 7 9  2n  3  , , ,....   2 2 2  2 

 1  -1, 1,-1, 1, ....  1  1, -1, 1, -1, ....

n

n1

12 14 16  2n  , , ,...   pares divididos por impares 11 13 15  2n  1 

Y para que no se crean que esto es jauja, les vamos a proponer ahora otras menos sencillas y algunas divertidas 81, 27, 9, 3,.... 100, 20, 4,....

1 1 1  1  ...   3 9 27  3n5  4 4 4  100  , , ...   5 25 125  5n1 

1, , ,

1, 0, 1, 0, 1, ...

1 si n impar 1   1 0, 1, 0, ... an    2 0 si n par

81 27 9 3 , , , ,... 16 8 4 2

n 5 2 4 8  2   1, , , ...    3 9 16  3  

n 1

| INTRODUCCIÓN 3


+

2, -4, 6, -8, 12, ...

0, 2, 2 2,...

1 2 , , 2,... 4 2 1 ,1, 2, 2,... 2 1 3 , 2, , 2 2,... 2 2

8, 4 2, 4, 2 2,...

-14, 16, -18, ...

 1

n 1

2n

  2 2   2,...

3 2, 4 2,...  n  1 2 4 2,16,32



2 2, 4,...

  

2

n 2

4

n1

    

5 6 2 4  n  , ,.....   pero racionalizando  2 y 2 2 2 2 2 2  2   1  8  2, 2,1, ,.....  donde racionalizamos algunos términos. n1  2  2   

 

1, 1 2 3 5 8 ...

13, 21, 34, 55,.... Fibonacci an  an 1  an2 

2 3 5 7 11 13.... 0, 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12,... 4, 10, 18, 28, 40, ....

17, 19, 23, 29, .... números primos. No tiene fórmula generatriz. 14, 15, 16, 18, ... números no primos

a, b, d, g, k, ... L, M, M, J, ... E, F, M, A.... M, V, T, M, .... U, D, T, C, C, ..... P, S, T, C, Q, .... 3, 3, 5, 4, 4, 3,....

p, v,... siguiendo la secuencia 1,2,4,7,11,16,22,... S, D (Lunes, Martes, ...., Sábado, Domingo) M, J, J (Enero Febrero, ..., Mayo, Junio..) J, S (Mercurio, Venus,.... Júpiter Saturno) S, S, O, ... (Uno, Dos, .....Seis, Siete,...) S, S, O, ... (Primero, Segundo,... Sexto, Séptimo..) 5, 5, 4, 3,... (nº letras en inglés de one, two, three, four, five, six, seven...) Número de días de los meses de un año no bisiesto:

31, 28, 31, 30, 31, 30, 31,...

54, 70, 88, 108 ....

n  n  3

2, 2, 4, 4, 2, 6, 6, 2, 8, 8,...

Canta conmigo: "Dos y dos son cuatro, cuatro y dos son seies, seis y dos son ocho y ocho dieciséis." 0, 6, 21, 81, 42, 03,... 63, 24, .... Se trata de la tabla del 6 que es: 6∙1 = 6 que puesto al revés es 6 6∙2 = 12 que puesto al revés es 21 6∙3 = 18 que puesto al revés es 81 6∙4 = 24 que puesto al revés es 42 6∙5 = 30 que puesto al revés es 03 6∙6 = 36 que puesto al revés es 63 .... 5, 4, 2, 9, 8, 6, .... 7, 3, 1. (ordenados alfabético) 291, 482, 864, 628, 246,... 482, 864,... son todos números de tres cifras. Cada cifra del número siguiente se obtiene multiplicándo cada fifra del anterior de su misma posición por y quedándonos sólo con la cifra de las unidades. Por tanto después de 246 viene: 2∙2 = 4, 4∙2 = 8, 6∙2 = 12 el 482 2, 10, 12, 16, 201, 202, .... números que empiezan por la letra d 17,18,19,200,... 2, 3, 6, 16, 22, 23, 26, 32, 36, 42, 43, 46, ... números que acaban en la letra s 33,..

| INTRODUCCIÓN 4


+

Y otras endemoniadas B, C, D, F, H, 1, 11, 21, 1211, 111221 3, 3, 4, 6, 5, 4, ...

L, N, .... Lugar primo del abecedario +1 312211, 13112221 ... (un 1, dos 1, un 2 un 1,...., un 1 un 2 dos 1,...) 5, 4, 5, 4,... (nº letras en español de uno, dos, tres,.. )

  1 ={ 4, 3, 3, 4, 6, 5, 4,  4 7 8 9   1  x 1  x 1  x 1  x   5, 4, 5, 4, 4, 4, ...} { 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 2, 2, 4, 3, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 7, 6, 6, 7, .....} 1, 6, 1, 8, 0, 3, 3, 9, 8,... Decimales

 31, 41, 59, 26, 53, 58,... 97,

del

número

áureo:

1 5  1.6180339887498948482... 2 93,

....

Cifras

de

agrupadas

de

dos

en

dos:

1, 8, 11, 80, 81,...

82, 83, 84,.... Números que empiezan por vocal en español: uno, ocho, once, ochenta, ochenta y uno, ochenta y dos 0, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 3, = Número de divisores propios de . 1,... (porque tiene divisores propios) 1, 2, 3, 6, 9, 54, 63,...

3402, 3465, ... Dado que 1+2 = 3∙2 = 6+3 = 9∙6 = 54+9 = 63∙54 = 3402+63 = 3465 .... 1, 2, 3, 6, 9, 54, 63, En la posición impar sumamos los dos anteriores en la par las 3402,... multiplicamos.

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6,...

1, 1, 2, 8,16,23,28,38,49,...

2, 6, ..... Diferencia entre primos consecutivos: 3 – 2 = 1, 5 - 3 = 2, 7 – 5 = 2, 11 – 7 = 4, 13 – 11 = 2, 17 – 13 = 4 19 – 17 = 2, 23 – 19 = 4, 29 – 23 = 6, 31 – 29 = 2, 37 – 31 = 6, ... 4, Cada término es suma de las cifras de los anteriores. Equivalentemete a partir del segundo cada uno el anterior más la suma de sus cifras.

0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, Número de unos de la expresión en base 2 de los números enteros: 2, 3,.. de donde la serie es: 1476, 168, 48, 32, 6,...

1 2 3 4 5 6 7 , , , , , , ,... 1 3 4 7 6 12 8

141, 421, 309,...

6, 6, 6, 6, .... Porque cada término es igual al producto de los dígitos del término anterior: 1∙4∙7∙6 = 168; 1∙6∙8 = 48; 4∙8 = 32; 3∙2= 6; 6 = 6; 6 = 6 ... n an  suma divisores de n

356,

237, Cifras de 2  1.41421356237309504.... agrupadas de tres en tres: 141, 421, 356, 23 7, 309, 50 4 .... 0, 1, 8, 11, 69, 88, 96, Números simétricos respecto a la línea sobre los cuales están escritos 101,... (con cierta grafía de los mismos):

| INTRODUCCIÓN 5


+

6180, 3392, ???? (pista π = 3.1416)

3106, 5556, 9988, 5484 pues la cadena de números (6180-3392-38843106-5556-9988-5484) aparece en la expansión decimal de π a partir de la posición 1,706,802 después del punto decimal.

Puedes buscar cualquier secuencia http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html

que

desees

en

Es importante hacerle entender al estudante que hay que dar un número suficiente de datos de la sucesión para que la solución no sea ambigua. Por ejemplo, para la sucesión { 2, 4, .....} el siguiente término parece que va a ser 6 por tratarse de la sucesión 2n pero ... ¿y si se tratase de la sucesión 2 n  ? Entonces sería el 8, no el 6. Lo grandioso de este asunto es que Lagrange determinó que, dada una sucesión an  se puede encontrar siempre una función, que él llamó polinomio de interpolación, que verifica que f (1)  a1 f (2)  a2 ....... f ( n )  an Es decir, no importa como continues la secuencia, siempre vas a encontrar un termino general que lo satisfaga. Más concretamente la expresión general: 3a   a  an  a  6   11   n    3  n 2 2   2 

Satisface siempre la serie 2, 4, a, .... 3a  3a a 2 a  3a  a  a  a1  a  6   11   1    3  12  a  6  11    3  2  2 2  2 2 2  2  3a  6a 4a 2a  6a  4a  a  a2  a  6  11    2    3   22  a  6  22    12  4  4 2  2 2 2  2  3a  9a 9a  a  a3  a  6  11    3    3   32  a  6  33    27  a  0  a 2  2 2  2 

Luego, para cualquier valor de a, este término general provoca la sucesión 2,4,a,....

| INTRODUCCIÓN 6


+

Historia Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871. En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass, por mencionar sólo a los más sobresalientes http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

Aplicaciones

Objetivos

| INTRODUCCIÓN 7


+

SUCESIONES Definición:Sucesión de números reales Una sucesión de números reales viene definida por cualquier aplicación de  en  f   

1   f (1) 2   f (2) ..... n   f ( n) .... Las sucesiones son las imágenes ordenadas de esta aplicación y se denotan más simplificadamente como  f (n)n A f(n) se le denomina término n-ésimo de la sucesión o término general. Al conjunto de todas las sucesiones posibles lo llamaremos S. Ejemplo Supongamos la aplicación f ( n)  n2 , se tiene la aplicación f   

1   f (1)  12  1 2   f (2)  22  4 ..... n   f ( n)  n 2 .... La sucesión se puede escribir entonces como

n  2

n

o describiéndola

1, 4,9,16,...., n ,.... 2

n

Definición: Sucesión Constante Es una sucesión con todos sus términos constantes, por ejemplo { 2, 2, 2, 2, ......, 2, ....} =

2n Definición: Igualdad de sucesiones

| SUCESIONES 8


+

Dos

sucesiones

an n

an n  bn n  an  bn

y

bnn en

S

se

definen

iguales

si

n  

Es decir, que coincidan todos sus elementos y en el mismo orden. Por ejemplo, la sucesión { 2, 4, 6, 8, ... } no es igual a la sucesión {0, 2, 4, 6, 8, ....} pues sus elementos no están en el mismo orden y además la primera no incluye al 0. Definición: Término generald e una sucesión Una sucesión an n quedará determinada cuando conozcamos su término general, que es lo mismo que afirmar que podemos calcular cualquiera de sus elementos. Si no hay una ley matemática conocida tendremos que expresar un número suficiente de términos que hagan inequívoca su construción o también una ley de recurrencia Ejemplos La sucesión de números pares 2, 4, 6,8,10,...... siguen la ley 2nn La sucesión de números impares 1,3,5,7,9,...... siguen la ley 2n  1n La sucesión 0,3,8,15, 24,...... siguen la ley n 2  1 n La sucesión 1,8, 27,64,125,...... siguen la ley n 3  n La sucesión de números primos 1, 2,3,5,7,11,13,......n no se ha descubierto hasta ahora ninguna ley que la defina, pese a los intentos de grandes matemáticos a lo largo de siglos. Una sucesión conocidísima es la denominada de Fibonacci y su formación 1,1, 2,3,5,8,13, 21,34,......n se expresa de la siguiente manera

1 si n=1   an   1 si n=2 a  a  n 2 n1 si n>2 que viene a ser lo que llamamos ley de recurrencia

Una sucesión no queda unívocamente determinada si solo se expresa un número finito de términos. Por ejemplo la sucesión 2, 4,6,......n puede ser la serie 2nn en cuyo caso le

2, 4,6,8,10,......n pero primos menos 1 a partir del 3n en cuyo

seguirían

también

podría

ser

la

serie

caso serían 2,4,6,10,12......n . De hecho, en matemática superior se estudia el polinomio interpolador de Lagrange que busca expresiones polinómicas para represantar una serie dada. | SUCESIONES 9


+

En la introducción ya vimos que podemos construir cualquier serie {2,4,a, ....} con el término  3a   a    general dado por an   a  6   11   n    3  n 2  2  2    

Desde el punto de vista conjuntista, como las sucesiones son aplicaciones, se pueden utilizar ahora todos los resultados y métodos estudiados para éstas. Por ejemplo, la sucesión  1   n1  se podría representar mediante el diagrama:  2 n

O mediante simplemente:

| 10


+

Formas Indeterminadas Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma  no da, en general, como resultado cero, tampoco un límite de la forma 1 da siempre como resultado uno. Por esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.



0

0 0

 

0  0 0 1

| 11


+

OPERACIONES CON SUCESIONES Sea S el conjunto de todas las posibles sucesiones de núemros reales. Definimos las siguientes operaciones:

Suma ó adición de sucesiones Dadas an n y bn n en S , se define su suma de la siguiente forma an   bn   an  bn  Ejemplo Si

an n  2n  2,4,6,8,10,....

y

bn n

 n 2   1, 4, 9,16, 25,.... su suma será

an   bn   2 n  n 2   2  1, 4  4, 6  9, 8  16,10  25,....  3,8,15, 24, 35,....  2n  n 2  Propiedades de la suma Comunativa:

an   bn   an  bn   bn  an ;

por ser conmutativa la suma

an  bn de números reales. Asociativa: an   bn    cn   an  bn  cn   an   bn   cn   por ser asociativa la suma de números reales. Elemento

neutro:

Es

la

sucesión

de

ceros

0  0,0,0,..... ,

pues

an  0  an  0  an  an  su opuesta es la an   an   an  an  0 nos da el elemento nulo.

Elemento opuesto: Dada

sucesión an   an  pues

Con esta definición, el par (S,+) tiene una estructura conjuntista de Grupo abeliano. Por ello, se puede definir una nueva operación denominada sustracción, que es la opuesta a la adición, de la siguiente forma

an   bn   an  bn   an  bn Producto o multiplicación de sucesiones

an n y bnn en an  bn   an  bn

Dadas

S , se define su producto de la siguiente forma

Ejemplo

| OPERACIONES CON SUCESIONES 12


+

Si an n  2n  2,4,6,8,10,.... y bn n  n 2   1, 4, 9,16, 25,.... su suma será

an   bn   2n  n 2   2  1, 4  4, 6  9, 8  16,10  25,....  2,16, 54,128, 250,....  2 n  n 2   2 n 3  Propiedades del producto de sucesiones Comunativa: an   bn   an  bn   bn   an  ; por ser conmutativa la suma an  bn de números reales. Asociativa: an   bn    cn   an  bn  cn   an   bn   cn   por ser asociativa la suma de números reales. Elemento

neutro:

Es

la

sucesión

de

ceros

1  1,1,1,.....

pues

an  1  an 1  an Distributiva respecto a la suma: an   bn   cn   an   bn   an   cn  lo cual se verifica porque también la verifican los números reales an   bn  cn   an  bn  an  cn Con esta definición, el par (S,+,∙) tiene una estructura conjuntista de Anillo conmutativo y unitario. Sin embargo, dada una sucesión an n no siempre existe otra bn n tal que an  bn   1 pues bn  1 y esta igualdad no tiene sentido en matemáticas si an  0 . Por an ello no podemos definir el cociente de dos sucesiones de forma general. Sí podríamos para los casso en lso que no surgieran dificultades, es decir, que la sucesión que hay que invertir 1  a  1  a  no contenga ningún cero. Ene se caso n  an      an   n  bn   bn   bn  bn  Ejemplos La sucesión an n  1,0,1,0,1,0,.... no tiene inversa dado que en matemáticas

1 no 0

existe. Pero si podría una sucesión tener inversa, lo normal es que la tenga excepto cuando contenga al 0. Por ejemplo la inversa de la sucesión 1, 2,3, 4,..., n,... es la sucesión 1  1 1 1 1 1   , , , ,..., ,... pues n     1 n  1 2 3 4 n 

| OPERACIONES CON SUCESIONES 13


+

También

podríamos

dividir

las

sucesiones

1, 2,3, 4,..., n,...

1  1 1 1 1  , , , ,..., ,... n  1 2 3 4

entre

la

resultando

  n      n 2   1, 4,9,16,..., n 2 ,... 1 1  1  1 1 1 1  , , , ,..., ,...     n  n   n  1 2 3 4

1, 2,3, 4,..., n,...

n

Multiplicación de una sucesión por un número real o escalar Dadas an n en S y    , se define producto escalar de ambos como la operación externa dada por:   S  S   a     a     a ,   a ,   a ,.....,   a    , a   n

n

n

1

2

3

n

Propiedades de la multiplicación por números reales 1) Distributiva respecto a los escalares       an     an     an  2) Distributiva respecto a las sucesiones:   an   bn      an     bn  3) Asociativa:       an       an  4) Elemento unidad: 1an   an  Todas ellas triviales de demostrar por tratarse de números reales que ya sabemos que las cumplen. La terna  S , ,   tiene una estructura conjuntista de espacio vectorial real, llamado espacio vectorial de las sucesiones reales.

| OPERACIONES CON SUCESIONES 14


+

MONOTONIA Sucesión creciente Dadas an   S se dice que es creciente cuando cada término es menor o igual que el que le sigue: an  an 1 n   Si an  an 1 n   se dice que la sucesión es estrictamente creciente Ejemplo La sucesión de pares

an   2, 4,6,8,.... es

monótona creciente, pero la sucesión

bn   1,0,1,0,1,0,.... no lo es. Ejercicio  2n   4 3 8  Comprobar si es creciente la sucesión an      1, , , ,....  n  1  3 2 5 

Para ello hay que probar que an  an1 n    an1  an  0 n   . Entonces 2  n  1

2n 2n  2 2n 2n 2  4n  2  2n2  4n 2      0 pues es  n  1  1 n  1 n  2 n  1  n  2  n  1  n  2  n  1 un expresión siempre positiva ya que n es un número entero y nunca da un denominador negativo 

Sucesión decreciente Dadas an   S se dice que es creciente cuando cada término es mayor o igual que el que le sigue: an  an 1 n   Si an  an1 n   se dice que la sucesión es estrictamente decreciente Ejemplo La

sucesión

1 1 1 1  , , ,..., ,... es n   2 3 4

an   1,

decreciente

estricta

ya

que

an  an1 n   pues

1 1 n 1 n 1     0 pues es un expresión siempre positiva ya que n es n n  1 n  n  1 n  n  1 un número entero y nunca da un denominador negativo

| MONOTONIA 15


+

Proposición Toda sucesión estractamente creciente es creciente pero el recíproco no es cierto. 1 1   1 1 1 1 La sucesión 1,1, , , , ,..., , ... es creciente pero no estrictamente creciente n n   2 2 3 3

Definición: Sucesiones monótonas Son monótonas todas las sucesiones  

Crecientes y estrictamente crecientes y Decrecientes y estrictamente decrecientes

| MONOTONIA 16


+

SUCESIONES ACOTADAS Acotación superior Dada an   S se dice que está acotada superiormente si existe un número real k tal que

an  k para todo n natural:

an  S

acotada superiormente  k   / an  k n  

Ejemplo 1 La sucesión   es acotada porque todos sus términos son menores que dos: n 1  2 n n

La sucesión

2n no está acotada

Acotación inferior Dada an   S se dice que está acotada inferiormente si existe un número real k tal que

an  k para todo n natural:

an  S

acotada inferiormente  k   / an  k n  

Ejemplo La sucesión

2n está

1 acotada inferiormente por cero y la sucesión   también: n

1  1 n n

Sin embargo, la sucesión

n  1   1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.... n

no está acotada ni

superior ni inferiormente

Sucesión acotada Dada an   S se dice que está acotada si lo está superiormente e inferiormente.

an  S

acotada  k , k '   / k  an  k ' n    k   / an  k n  

Ejemplo

| SUCESIONES ACOTADAS 17


+

  1 n   1 1 1 1 1 1  La sucesión    1, , , , , , ,.... está acotada superiormente por 1   n   2 3 4 5 6 7 e inferiormente por -1 luego es acotada Sin embargo, la sucesión 2n está acotada inferiormente por cero pero no lo está superiormente, luego no es acotada. Llamemos SA al conjunto de todas las sucesiones acotadas existentes. Propiedades 1 La sema de sucesiones acotadas es una sucesión acotada 2 El producto de sucesiones acotadas es una sucesión acotada 3 El producto de una sucesion acotada por un número real es una sucesión acotada 4 La terna (SA, +, ∙) es un anillo conmutativo unitario 5 La terna (SA, +, ∙  ) es un espacio vectorial sobre el cuerpo 

Ver Santillana 2 Bachillerato 1976

| SUCESIONES ACOTADAS 18


+

SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES Límite de una sucesión Diremos que a   el es límite de la sucesión an   S a  lim an    0   , n0   / an  a   n 

 n  n0

Sucesión convergente Diremos que una sucesión an   S si tiene algún límite, es decir

an 

convergente  a   / a  lim an n 

Ejemplos

Ya intuitivamente, sin necesidad de más conocimientos en Análisis Matemático, se entiende perfectamente que las sucesiones 

0.3, 0.33, 0.333,...

..., 0.33..( n..33,...

 tiene límite pues converge a 0.3  13

0.9, 0.99, 0.999,...

..., 0.99..( n..99,...

 tiene límite pues converge a 0.9  1

k  k , k , k ,..., k... , sucesión llamada constante, tiene límite pues converge a k Sin embargo, las sucesión siguiente no converge

 1   1,1, 1,1, 1,..... n

Pero sí lo hace la sucesión:

  1 n1   1 1 1 1 1     1, , , , , ..... que converge hacia 0. n     2 3 4 5 6

Propiedades de los límites 1. El límite de una sucesión convergente es único 2. Toda sucesión convergente está acotada 3. Si a  lim an y a ≠ 0 entonces n0   / n  n0 n 

sig (an )  sig (a)

| SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES 19


+

4. Si una sucesión tiene infinitos términos positivos e infinitos términos negativos entonces lim an  0 n 

Ejemplo La sucesión considerada en el ejemplo anterior n 1   1   1 1 1 1 1     1, , , , , ..... tiene infinitos términos positivos e   n   2 3 4 5 6 infinitos términos negativos por lo que, según esta propiedad, si tiene límite éste tendrá que ser 0. Si n embargo, la sucesión

 1 n  1, 2,3, 4,5, 6,..... n 1

aunque tiene

también infinitos términos positivos e infinitos términos negativos, carece de límite, dado que no es acotada. a  lim an n  5. Si an  , bn   S son tales que  y an  bn n , entonces a < b b  lim b n  n  bn  l lim an  lim n 6. Si an  , bn  ,cn   S son tales que n entonces lim cn  l n  an  cn  bn

Operaciones con sucesiones Dadas an  , bn   S y sea ,    tales que a  lim an y b  lim bn entonces se tiene que n 

n 

1) lim ���an  bn   lim an  lim bn  a  b n 

n 

n 

Demostración Si a  lim an entonces   0   , n0   / an  a  n 

Si b  lim bn entonces   0  , n0   / bn  b  n 

 2

 2

 n  n0  n  n0

Y de ambas expresiones se tiene que   0   , n0   / an  bn  ( a  b )   an  a    bn  b   an  a  bn  b 

    2 2

Y esto prueba que lim an  bn   a  b n 

2) lim an  bn   lim an  lim bn  a  b n 

n 

n 

3) lim   an     a n 

| SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES 20

 n  n0


+

4) Si lim an   a entonces la sucesión opuesta tiene lim  an    a n 

n 

5) lim an  bn   lim an  lim bn  a  b n 

n 

n 

1 1 6) Si lim an   a entonces la sucesión inversa tiene lim    n  a n   n a  a  lim an a 7) lim  n   n  siempre que b  0 n  b bn b  n  lim n 

  

8) lim an bn  lim an n 

n

lim bn

n

 ab

Sucesiones divergentes Una sucesión an   S es divergente si su límite es +∞ ó -∞.

an 

divergente  lim an   n 

Límites infinitos Dada

an   S

,

se

dice

lim an     k  , n0   / an  k n 

Dada

an   S

,

se

dice

lim an     k  , n0   / an  k n 

que

tiene

por

límite

+∞,

si

tiene

por

límite

-∞,

si

 n  n0

que  n  n0

Ejemplos La sucesión n  1, 2,3,..., n,... tiene por límite +∞ dado que elegido cualquier k   , por grande que sea, siempre lograremos encontrar un número natural n0 tal que a partir de él n > k La sucesión de impares negativos 2n  1  1, 3, 5,..., 2n  1,... tiene por límite -∞, pues dado cualquier k, por pequeño que sea, siempre existirá un número natural n tal que el impar (-2n + 1) será lo suficientemente enorme, con signo negativo, de forma que (-2n + 1) < k. A menudo la resolución de un límite requiere darse cuenta que la sucesión diverge, oscila o tiende a una valor determinado sin efectuar un cálculo explícito del límite. Este último caso corresponde a la situación que vamos a exponer seguidamente que se resuelve aplicando la regla del bocadillo. | SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES 21


+

Veamos en que consiste.

Regla del bocadillo

an ,cn   S son

dos sucesiones convergentes al mismo punto

lim an  a  lim cn  c . Si an  bn  cn

n  n0 entonces bn  es convergente y su límite

Supongamos que n 

n 

lim bn  lim an  lim cn n 

n 

n 

Ejemplo Calcular el límite de la sucesión

cos1  cos 2  ...  cos n   n2  

an   

Solución Vamos a construir dos sucesiones, un amenor y otra mayor que an  de la siguiente manera: cos n  cos1 cos 2 cos n cos n   cos1 cos 2  cos1 cos 2 n  min  2 , 2 ,..., 2   2  2  ...  2  n  max  2 , 2 ,..., 2  n n  n n n n n   n  n cos n  1  cos1 cos 2  1  n   2   2  2  ...  2  n   2  n n n  n n   1 cos1 cos 2 cos n 1  2  2  ...  2  donde ambas sucesiones convergen a 0, luego an  n n n n n converge también a 0.

Corolario Si

an   S es

una sucesión convergente tal que lim an  0 y n 

bn   S

es una sucesión

acotada (no necesariamente convergente), entonces an  bn  es convergente y lim  an  bn   0 n 

Ejemplo sin n  0. n  n

Demostar que lim Solución

 sin n  1 Consideramos    sin n   como el producto de dos sucesiones.  n  n

| SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES 22


+

1 Como lim    0 y la sucesión sin n está acotada por 1, entonces por el corolario n  n   sin n anterior podemos asegurar que lim 0 n  n

El siguiente criterio, que recibe el nombre de criterio de Stolz, resulta especialmente útil para determinar el límite de sucesiones en las que aparecen sumas de términos que se incrementan con n.

Criterio de Stolz Si

an ,bn   S

dos sucesiones donde

bn

es una sucesión monótona creciente y

bn  0 n   tales que o bien lim  an   lim  bn   0 ó lim  bn    . En estas condiciones n 

n 

n 

se tiene que Si existe   lim

n 

an 1  an a entonces lim n   n  bn 1  bn bn

Ejemplo 12  2 2  ...  n 2 1  . n  n3 3

Demostar que lim Solución

 

La sucesión n 3  es creciente y lim n3   por lo que podemos aplicar el criterio de n

Stolz

12  22  ...  n 2   n  12  12  22  ...  n 2   an 1  an   ... lim  lim  3 3 n  b n    n  1  n   n 1  bn   2   1 n  1  ...  lim  3  2 3 n   n  3n  3n  1 n  3

Por lo tanto, este número coincide con el límite buscado

12  2 2  ...  n 2 1  n  n3 3 lim

Otra solución (mia). La sucesión n 2   12 , 2 2 , 32 ,..., n 2 ,.. es una progresión aritmética de orden 2, por lo que la suma de los n primeros términos viene dada por la expresión

| SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES 23


+

n  n  1 n  n  1 n  2   n  n  n 3n 2  3n n3  3n 2  2n S n   1    3    2  n  3   2  n   ... 2 2 3 3 2 1  2  3 2n3  3n 2  n ...  6 12  22  ...  n 2 2 n3  3n 2  n 1 Con lo que nuestro límite es lim  lim  n  n  n3 6n3 3

SO Sucesiones nulas SA Sucesiones acotadas SL Sucesiones convergentes S Susesiones de números reales SO SA SL S son todos anillos conmutativos y espacios vectoriales respecto a R Limite se sucesiones monótonas y acotadas Sucesión nula Sucesiones monótonas contíguas Ver Santillana 2 Bachillerato 1976. EXCELENTE e increible desarrollo para aquella época

S0  S A  SL  S

| SUCESIONES CONVERGENTES. LIMITES 24


+

EL NUMERO e  1  n  Estudio de la sucesión  1     n  

El límite de esta sucesión es el número irracional e = 2,71828182845904... , llamado así en n  1 honor al gran matemático Leonhard Euler: lim  1    e n   n Vemos a probar que esta sucesión es, efectivamente, convergente y después vamos a ir calculandole cifras al número e. Los pasos de esta prueba son pues: 

Comprobar que la sucesión es creciente

 1  n  Comprobar que la sucesión es acotada 2  1     3  n  

 1 Por tanto existe límite, que se llama número e  lim 1   n   n

n

Calculo aproximado de e

 1  n  La sucesión  1    es creciente  n  

El término n-ésimo de esta sucesión se puede desarrollar por el binomiod e Newton: n 0 1 2 n 1 n  n  11  n 0  1   1   n  n  1   n  n 1  1   n  n  2  1  an  1     1     1     1    ......   1     n  1    ...  n  0  n  1  n  2 n  n  1  n    n n  n  1  ..  3  2 1 n  n  1  ..  3  2 1 1 1 n  n  1 1 n  n  1 n  2  1 ...  1 1  n    2  3  ......   n 1   n  ... n 2! n 3! n n n! n  n  1!

...  1  1  ...  2 

n  n  1  ..  3  2 1 n  n  1  ..  3  2 1 1 n  n  1 1 n  n  1 n  2  1     ......      ... 2! 3! n n n nn  n  1! n  n  ..( n1..  n n! n  n  ..( n..  n

1  1  1  1  2  1  1  2   n  1    1      1   1    ......    1   1   .....  1   2!  n  3!  n  n  n !  n  n   n 

(1)

Esta expresión (1) anterior consta de n sumandos. De la misma manera podemos probar que el siguiente término de esta sucesión es:

| EL NUMERO e 25


+

n 1

1  1  1  1  1  2  1  1  2   n 1  an 1  1    2   1     1  1    ......   1   1   ..... 1  2!  n  1  3!  n  1  n  1  n !  n  1  n  1   n  1  n 1  1 1  2   n     1  (2)  1   ..... 1   n  1!  n  1  n  1   n  1  Que consta de n + 1 sumandos y donde todos los sumandos an+1 son mayores que cada uno de los correspondientes del desarrollo de an. pues, por ejemplo, para el segundo sumando para

el

segundo 1 1 1   1 1  1  1  1  n 1  n    1    1      1     1   n 1 n 2!  n  1  2!  n   n 1  n 

sumando

para

sumando

el

tercer 2 2 2   2 1  2  1  2  n 1  n    1    1      1     1   n 1 n 2!  n  1  2!  n   n 1  n 

Y en general para todos los sumandos. Además el último sumando de an+1 es positivo pues 1 1  2   n    1  1 .....  1  están formado por un producto de (n + 1)    n  1 !  n  1  n  1   n  1  términos positivos. Entonces concluímos que cada término de esta sucesión es menor que el siguiente 1

2

3

n

1   1  1   1   1   1    1     1    .....   1     1    1  2   3   n   n 1 

n 1

 ...

Por lo que an  an 1 n   por lo tanto la sucesión es creciente

 1  n  La sucesión  1    es acotada  n  

Consideramos la sucesión bn  definida por bn  2 

1 1 1   ...  2! 3! n!

(3)

Y por otro lado consideramos nuestra término general expresado en (1) n

1  1  1  1  2  1  1   2   n 1   1 an   1    2   1      1   1    ......    1    1   ..... 1   2!  n  3!  n   n  n!  n   n   n   n

| EL NUMERO e 26


+

 k Como todos los términos de la forma  1   son menores de la unidad se tiene que cada  n sumando correspondiente de (3) es mayor que el correspondiente de (1), es decir 1 1 k  1   k ! k ! n 

Por tanto an  bn

n  

Por

otra parte, si 1 1 1 1 cn  2   2  3  ...  n 1 2 2 2 2

condideramos

la

sucesión

por

(4)

Se observa que, comparándo cada sumando de (4) con los de (3),

bn  cn

cn definida

1 1  n por lo que k! k

n  

Ahora bien, los términos de (4) , a partor del 2º, son una PG de razón ½, por lo que su suma es  1 1 1 1 1 1 1     n 1  an r  a1  2  2 2 2n 2 2 2 n Sn      1 1 1 1 r 1 1  2 2 2

Por lo que cn  2  1 

1 2

n 1

 3

1 2 n 1

3

1 2n  1  2  1  1 1 2n 2n 1 2

n

Podemos concluir entonces que 2  an  bn  cn  3 n   y an  es, pues, una sucesión acotada donde todos sus términos se encuentran comprendidos en el intervalo real (2, 3).

 1  n  La sucesión  1    es convergente  n  

n  1   Si la sucesión  1    es creciente y acotada, por el teorema ya explicado, es convergente,  n   o lo que es lo mismo, tiene límite. n

 1 A ese límite le llamamos e y escribimos lim  1    e n   n

| EL NUMERO e 27


+

Cálculo aproximado de e Con una calculadora u ordenador es una práctica muy instructiva realizar los siguientes cálculos para obervar la construcción de e en forma aproximada

n

 1 1    n

1

 1 1    2  1

2

 1 2 1    1.5  2.25 2   3 3  1 1    1.3  2.3703  3

n

1

2

3 4

 1 4  1    1.25  2.4414 4  

5

 1 5 1    1.2  2.4883  5

10

1   10  1    1.1  2.5937  10 

4

5

10

100

100

1   1    100 

10º00

 1.01100  2.7084

1000

1   1    1000 

 1.0011000  2.7169 2.718280

Límites de sucesiones relacionadas con el número e  1 lim  1   n   n

 1 lim  1   n   n

n k

pues

e n k

n k  1  n  1  k   1  1  lim 1    1     lim  1    lim  1    e 1k  e n n   n  n   n   n   n   nk

1   1 n n k  k n     1  1  1     nk   e e pues lim 1   lim 1   lim lim 1   e        k n  n  1k  nk   n  k  n   n  k  1   n   1    nk 

| EL NUMERO e 28


+

k

k

nk n kn   1 n   k  1  1   1 lim  1    e k pues lim  1    lim  1      lim  1      e   e k   n  n   n  n  n    n  n  n     k

k

n n     k k n n         k 1 1 k         lim  1      e k  e k lim  1    e k pues lim  1    lim  1  n  n   n  n  n    n    n   n   k   k        hk

hn

 k lim  1    e hk n   n n

hk

n n     k k         1 1  k     lim  1      e  hk  e hk pues lim  1    lim  1  n  n   n   n    n   n k    k       hn

1

1   lim 1    e k  k e n   kn 

pues 1

1

n

nk nk 1  1  1  k  1  k   lim  1    lim   1      lim  1     e k  k e n   kn  n   kn    n   kn  

k

k

nk n n 1   1 n   k 1   1  1   k k lim 1    e  e pues lim  1    lim  1      lim  1      e   e k   n  n   n  n  n    kn   n  n     n

n

n

1  1  n 1   1 lim 1    pues lim  1    lim    n  n  n  e  n  n  n 

1  n  lim   n  n  1  

n

1  1 lim  1   n   n

n

1 e

Ejercicio 1  2n  8  Calcular lim   n   2n ���

5n 3

Solución Aplicando las propiedades de los límites se tendría 5n3

lim 5 n  3

 2n  8   2 n  8  n lim   lim    n  2 n  5 n  2n  5     indeterminadas.

2     1 que es una de las siete formas  2

Para resolver la indeterminación realizamos las siguientes estrategias

| EL NUMERO e 29


+

15

15

5 n 3

 2n  8  lim   n  2 n  5  

3    lim 1   n   2n  5 

5 n 3

 5 n  32  2  15     1     lim  1    n  2n  5     3     

10 n  25  15       lim 1  1  n  2n  5     3    19   15     lim  1  1  2n  5  n     3   

15 2 n 5  3       lim 1  1  n   2n  5     3   ...   19  3  15    1  lim     n   2n  5     

2      e   19   15 1  0        

15 15 2 2 e    e15  1 

| EL NUMERO e 30

2       ...      


+

Ejercicio 2 1   Calcular lim  1   n   2n  3 

3n  2

Solución Aplicando las propiedades de los límites se tendría lim 3n 2

3n 2

1     1   n lim 1   1  lim    n   2n  3   n  2n  3   formas indeterminadas.

 1  0   1 que es una de las siete

Para resolver la indeterminación realizamos las siguientes estrategias

1   lim 1   n   2n  3 

3n 2

 1    lim  1   n    2n  3   6 n 9 3

  lim 1  1   n  2n  3  ...   13 1   3 lim 1   n  2n  3    

3 2

2 3n  2 3

3 2

    lim  1  1    n     2n  3   

    lim  1  1    n  2n  3    19 1    3 lim 1    n  2n  3     

2 n 3

3 2

     e    19  1  0   3  

6 n  9 13 3

3 2

n

Solución n

   ...  

3  2   e  e3  1 

Ejercicio 3 1  Calcular lim  1   n  n 

3 2

n

1   1 lim  1     lim 1    e n  n  n   n

| EL NUMERO e 31


+

| 32


+

CALCULO DE LIMITES 1) la sucesión constante k  k , k , k , k ,....., k ,.... converge a k Demostración Para porbar que lim k   k hay que demostrar que n 

  0  , n0   / k  k   n  n0  0   ; lo cual es una trivialidad porque 0 siemrpe es menor que un ε>0. 1 1   1 1 1  2) La sucesión    1, , , ,....., ,.... converge a 0 n n  2 3 4 

Demostración Para

probar

que

  0  , n0   /

1 lim    0 , n  n  

1 0  n

n  n0 

se

tiene

que

demostrar

que

1 1 1     n n n 

Y resulta evidente que para cualquier ε que elijamos por pequeño que sea, siempre 1 habrá un número natural n suficientemente grande de forma que n  , por tanto  1   lim    0 n  n   k k   k k k  3) La sucesión     k , , , ,....., ,.... converge a 0 n n  2 3 4 

Demostración k   1 1 En efecto, lim    lim  k    k  lim    k  0  0 n  n n  n   n   n    k  k  k k k  4) La sucesión       ,  ,  ,.....,  ,....    converge a 0 n  n  1 2 3 

Demostración En

efecto,

1 k    1  1 1  lim     lim  k   k  lim    lim    ..( ..  lim    k  0  0  (  n  n n  n n  n   n  n  n  n... ...  n    n   n   

| CALCULO DE LIMITES 33


+

 n 1  2 3 4 5 6  5) La sucesión     , , , , ,......... converge a 1  n  1 2 3 4 5 

Demostración  n  1 Vamos a probar que lim    1 , para ello se tiene que demostrar que n   n  n 1 n  1 n 1 1   0  , n0   /  1   n  n0      n  n n n 

Y nuevamente vemos que para cualquier ε que elijamos por pequeño que sea, siempre 1 habrá un número natural n suficientemente grande de forma que n  , por tanto   n  1 lim   1 n   n 

 P(n)   a n  a 1n 1  ...  a1n1  a0  6) La sucesión    , cociente de dos polinomios del   1 1  Q(n)   b n  b 1n  ...  b1n  b0  a mismo grado α, converge a  b Demostración  a n  a 1n 1  ...  a1n1  a0   a n  a n 1  ...  a1n1  a0  n lim     1  1  lim     1 1 1 n   b n  b 1n  ...  b1n  b0  n   b n  b 1n  ...  b1n  b0 n   a n a 1n 1 a1n1 a0   ...     n n n ...  lim  n   1 1 n   b n  b 1n  ...  b1n  b0  n n n n 

    

 1 1 1    a  a 1 n  ...  a1 n 1  a0 n   lim  n  1 1 1   b  b 1  ...  b1  1  b0   n n n 

    ...  

 1  1   1  a  a 1 lim    ...  a1 lim   1   a0 lim      lim n  n  n n  n n  n         a  a 1  0  ...  a1  0  a0  0  a ...     lim b  b 1 lim  1   ...  b1 lim  1   b0 lim  1   b  b 1  0  ...  b1  0  b0  0 b n  n n  n 1 n  n  n        

Es decir, solo nos interesan los coeficientes principales de los polinomios dados, el restod e los términos acabarán convergiendo a 0, sean cuales sean sus coeficientes.  P(n)  7) Gereralizando, la sucesión   cociente de dos polinomios de grados α y α’ converge  Q (n )  a

| CALCULO DE LIMITES 34


+

P ( n) 0 Q (n) P ( n ) a  Si grado P(n) = α = grado de Q(n) = α‘ => lim  n  Q ( n ) b P (n)  Y si grado P(n) = α > grado Q(n) = α’ => lim   , es decir, la sucesión no n  Q ( n ) converge Demostración

Si grado P(n) = α < grado de Q(n) = α’ => lim

n 

a demostración está hecha en el apartado anterior para grados coincidentes. En el caso que el grado del denominador Q(x) sea más grande que el grado del numerador P(x) la demostración es la misma, por lo que, en lugar de repetirla, utilizaremos un ejemplo para ilustrarlo:

 2n2 2n 1   2 2 1   lim  lim  lim 2   3 3 3 2  2n  2n  1   n n n    n n n n n n3   0  0  0  0 lim  3  lim      3 2 n  3n  3n 2  1   n  3n  3n  1   lim 3  lim 3  lim 1  3  0  0 3 n3 n3   n n n n n   n3 Finalmente, en el caso en que el grado del polinomio P(x) del numerador sea más grande que el del denominador Q(x) el límite siempre se va al ±∞. Veamos un ejemplo:

 5n 4 2n2 1   1 1     5lim n  2 lim  lim 4 2   3 3 3  5n  2n  1   n n  n n  n 3  n n    n lim  3  lim       ... 3 2 2 n   2n  3n  1  n  2n  3n  1   lim 2  3lim 1  lim 1  n n 3  n  n2 n3 n3   n  n3 5lim n  0  0 5 ...  n  lim n   200 2 n 8) La sucesión

n  1  n converge a 0

Demostración En primera impresión el límite, lim n 

n  1  n  lim n  1  lim n     que n 

n 

es una de las siete formas indeterminadas. Para resolver la indeterminación, utilizamos el artificio de multiplicar y dividir por el conjugado de esta expresión, resultando:

lim n 

n 1  n

...  lim

n 

  lim n 

n  1 n

n 1  n

n 1  n

 lim

n 



n 1  n

n 1  n

  lim  n 

2

  n  n 1  n 

2

n 1 

 ...

1 0 n 1  n

| CALCULO DE LIMITES 35


+

RESUMEN DE CALCULO DE LIMITES Sucesión

0.3, 0.33, 0.333,...

..., 0.33.. ..33,...

0.9, 0.99, 0.999,...

..., 0.99..( n..99,...

(n

k  k , k , k ,..., k...

 0.9  1

lim k  k n 

1 1   1 1 1     1, , , ,....., ,.... n n  2 3 4  k  k  k k k        ,  ,  ,.....,  ,....    n  n  1 2 3  1  1  1 1 1   n    , 2 , 3 ,....., n ,.... 2 2  2 2 2 

lim

n 

1 0 n

k 0 n  n  lim

lim

n 

1 0 2n

1 0 n

1  1  1 1 1 1  , , ,......, ,...   , n   n  1 2 3 4

lim

n  1, 2,3,4,...., n,....

lim n  

n   1 , 2 

n 

n 

, 3 ,......, n ,.... ;    

Límite

 1 0.3  3

lim n  

 P(n)    Q (n ) 

Si grado P(n) = α > grado Q(n) = α’ =>

Cociente polinomios en n 

P ( n)  a n  a 1n 1  ...  a1n1  a0 Q( n)  b ' n '  b '1n ' 1  ...  b1n1  b0  , '  

n 

lim

n 

P ( n)  Q (n)

Si grado P(n) = α < grado de Q(n) = α’ =>

P ( n) 0 n  Q ( n ) lim

Si grado P(n) = α = grado de Q(n) = α‘ =>

P ( n ) a  n  Q ( n ) b lim

n 1  n

lim n 

n 1  n  0

| CALCULO DE LIMITES 36


+

Ejercicios Propuestos 2n 4  3n  1 2 por ser iguales los grados, se dividen los coeficientes principales.  n  5n 4  3n 3 5

lim

2n3  3n  1  0 por ser más grande el grado del polinomio del denominador n  5n 4  3n 3

lim

2n 4  3n  1   por ser más grande el grado del polinomio del numerador n  5n 3  3n 2

lim

3

lim

n  3

lim

n 

8n3  3n  1 27n3  3n2

2 ; a pesar de las raíces, los grados coinciden y el límite es 3

3

8 2  3 27 3

n 6 3 1   3 ; pues vuelven a coincidir los grados 1 n 3 3

| CALCULO DE LIMITES 37


+

INDETERMINACIONES 0  , , 0  ,   ,1 ,  0 , 0 0 , a los que hay que añadir 0  las variaciones que se pueden producir con el ±∞ de cada caso

Existen siete casos de indeterminación

Cuando se nos presente uno de estos casos, o bien empleamos una estrategia que resuelva la indeterminación, o bien daremos el resultado final por indeterminado. Para aprender algunas de las estrategias necesarias, nada mejor que verlo con casos prácticos:

Caso 1:

 

Esta indeterminación nos surge frecuentemente cuando dividimos dos polinomios o cualquier P ( x) expresión algebraica de la forma . Veamos algunos ejemplos Q( x) Ejemplo 1 2n3 lim 2 3 2n    2 n  lim 2    lim 2n     n  2 n  1 n  2 1 2n 1 00   lim  lim  3 n 3 n 3 n  n n  n 3

Ejemplo 2 3n 3 lim 3 3 3n    3 3 n  lim 3     lim 3n    n  2 n  1    n  2 n  1 lim 2  lim 1 2  0 2 n  n 3 n 3 n3 n  3

Ejemplo 3

lim

n 

2n 2

      lim 3 4 n  n    n 

2n 2 n2  4n 3  n n2

lim 2 n 

3

4n n  lim 4 n  n 4 n  n

2 4 1  lim 3 n  n n  n

lim

lim

2  0

Ejemplo 4

lim

n 

2

      lim 4 4 n  n    n  2n

2n 2 n2  4n 4 1  n4 n4

lim 2 n 

lim 4  lim n 

n

1 n4

2 2  1 40 2

| INDETERMINACIONES 38


+

Caso 2:  Veamos ejemplos de este tipo de indeterminación, que vamos a resolverla o bien haciendo las operaciones algebraicas que se presentan o bien por la estrategia de multiplicar y dividir la expresión dada por su expresión conjugada. Ejemplo 1  2n 2  n 2  1  2n3  2n  1   2n2 2n3  lim   2         lim    ... 2 n  2 n  1 n  n  1 n  1 2 n  1         2 n 4  2 n  4 n 4  2n 3   2n 4  2n3  2n  ...  lim    lim  3  3 2 2 n   2n  n  2n  1  n  2n  n  2n  1 

Ejemplo 2



 n2  1  n2 1 n2  1  n2 1  lim n  1  n  1        lim  n  n  n2  1  n2 1   2 2  2 2  2 2    n  1  n 1      n2  1  n 2  1   ...  lim    lim  0 n  n  2 2 2 2 n  1  n  1 n  1  n  1        

2

2

 

   ...  

Caso 3: 1  1  n  Este tipo de indeterminaciones está asociado a la sucesión  1    del número e, la cual  n   ya hemos estudiado en todos sus casos.

Caso 4:

0 0

Supongamos sólo el caso en que tenemos dos expresiones algebráicas P(x)·Q(x) de forma que 0 nos provoquen la indeterminación . En este caso, tendremos que realizar las operaciones 0 algebráicas que permitan, o bien simplificarlas, o bien cambiar el tipod e indeterminación a  otra del tipo  Ejemplo 1  1     ( n  3) ( n  1)   n 2  2n  3     n 3  0  lim    lim    lim     1    n   n   0  n  n ( n  3)     n   n ( n  3)   2   n  2n  3 

| INDETERMINACIONES 39


+

Caso 5: 0 Supongamos sólo el caso en que tenemos dos expresiones algebráicas P(x)·Q(x) de forma que nos provoquen la indeterminación 0 . En este caso, utilizando la igualdad Q ( x)  P( x)  Q( x)  , la reduciremos a otra indeterminación, pero ahora del tipo 1  P ( x) Ejemplo 1     2 2   n  1   n  1  1  lim   n 2  1    0     lim   lim    1 n  n n  n    n   1   1   n 

Otros casos El resto de las indeterminaciones 0 ,00 no se estudian en este nivel.

| INDETERMINACIONES 40


+

Propiedad Si una sucesión an   S es creciente y decreciente simultáneamente, entonces solo puede tratarse de la sucesión constante k  S

Si llamamos Sk al conjunto de todas las sucesiones constantes se tienen en Sk las siguientes:

Propiedades La suma de dos sucesiones constantes es una sucesión constante El producto de sucesiones constantes es una sucesión constante

De donde deducimos que (Sk,+,∙) es un cuerpo y  Sk , ,   es también un espacio vectorial.

Isomorfismo entre Sk y  La aplicación

f :    Sk a   f (a )  a

que hace corresponder a cada número real a, la sucesión

constante a verifica las propiedades siguientes: a) f(a + b ) = f(a) + f(b) b) f(ab) = f(a) f(b) Es, por tanto, un isomorfismo de  en Sk con el que podemos identificar cada número real con la sucesión constante formada por ese número. Ello no otorga la posibilidad de usar indistintamente una cosa u otra según sean nuestros requerimientos

| INDETERMINACIONES 41


+

En sucesiones 2 otro buen documento

| INDETERMINACIONES 42


+

Véase también

Números

Naturales

Primos Compuestos

Enteros Cero

Racionales

Negativos Reales Complejo s

Fracción propia Fraccionarios Fracción impropia Algebraicos Irracionales Trascendentes Imaginarios

| INDETERMINACIONES 43


+

| INDETERMINACIONES 44


+

| INDETERMINACIONES 45


+

U⌀ℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯Bεδδεε ·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♫♯ ⨁⨂✘✔×

| INDETERMINACIONES 46


Sucesiones numeros reales