11. Si sumamos a una línea de una matriz un múltiplo de otra línea paralela el determinante no varia Ejemplo Supongamos que a la fila F2 de la matriz A le sumamos + 2F1, obteniendo de esta manera una matriz B , que vemos su determinante no varia 1 2 −1 A=0 1 1 1
0 = 3; 2
1 2 −1 B = 2 5 −2 = 10 − 4 − 2 − ( −5 − 2 + 8) = 4 − 1 = 3 ⇒ A = B 1 1
2
Demostración Supongamos que dada una matriz A obtenemos una matriz B sumándole a la fila Fi de A, el producto de un escalar α por la fila Fj, obteniendo |A| = det(F1, F2, F3,..,Fi, ...Fj,..,Fn ) |B| = det(F1, F2, F3,.., Fi + α Fj, ..., Fj,..,Fn ) = = det(F1, F2, F3,.., Fi + α Fj, ..., Fj,..,Fn ) = = det(F1, F2, F3,..,Fi, ...Fj,..,Fn ) + det(F1, F2, F3,.., α Fj, ...Fj,..,Fn ) = = |A| + α det(F1, F2, F3,.., Fj, ...Fj,..,Fn ) = = |A| + α 0 = = |A| Ya que det(F1, F2, F3,.., Fj, ...Fj,..,Fn ) = 0 por tener dos filas iguales. |B|
12. Generalización: Si a los elementos de una línea de una matriz cuadrada se les suma una combinación líneal de las líneas restantes, su determinante no varia. Ejemplo Supongamos que a F1 de la matriz A le sumamos + 2F2 – 3F3, obteniendo de esta manera una matriz B 1 2 −1 A=0 1 1 1
0 = 3; 2
−2 1 −7 B= 0
1
0 = −4 − ( −7) = 3 ⇒ A = B . Vemos que su determinante
1
1
2
no varía Demostración
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