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Analysis Aplicaciones de las Derivadas

OpenUepc.com 1.1.4.6.2

Ver 01:08/02/2010


NOTA La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.6.2 correspondiente a 1

SCIENCE

1.1

MATHEMATICS

1.1.4

ANALYSIS

1.1.4.6.2

APLICACIONES DERIVADA

COPYRIGHT Este material así como los applets, powerpoints, videos y archivos de sonido asociados, puede ser distribuido bajo los términos y condiciones definidos en Open Publication License versión 1.0 o posterior (La versión más reciente está disponible en http://www.opencontent.org/openpub/). El contenido está sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fin es didáctico y solo pretende la universalización de la cultura. Está escrito en base a la colaboración de las miles de personas que componen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autores que referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto. Cualquier distribución del mismo debe mencionar a OpenUepc como fuente. Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla 26/01/2010


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TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 2 Aplicaciones ...................................................................................................................... 2 Objetivos Mínimos ............................................................................................................ 2 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN .............................................. 4 Definición: Función creciente ............................................................................................ 4 Definición: Función decreciente ........................................................................................ 4 Máximos y mínimos de una función .................................................................................. 6 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD ..................................................................................... 8 Teorema de Rolle ............................................................................................................ 11 Teorema del Valor Medio ................................................................................................ 12 Teorema del valor medio generalizado............................................................................. 12 Regla de L'Hopital ........................................................................................................... 13 Resolución de indeterminaciones ................................................................................. 16 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ............................................................................. 21 OPTIMIZACION ................................................................................................................ 21 APROXIMACIÓN LINEAL Y NOTACIÓN DIFERENCIAL ............................................ 26

| 1


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INTRODUCCIÓN

Aplicaciones

Objetivos Mínimos

| INTRODUCCIÓN 2


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| INTRODUCCIÓN 3


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CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Definición: Función creciente

   lim f ( x

Acabamos de estudiar el concepto de derivada f ' x0

h 0

0

 h)  f ( x0 ) h

Por otro lado, cuando estudiamos el concepto de función real y sus características definimos funciones monótonas, tanto crecientes como decrecientes y tanto en forma local como global. Recordamos aquí ambas definiciones. Una función f :  a, b     / y  f ( x ) es monótona creciente en un intervalo (a,b) si y solo si para cualquier par de valores x1 y x2 se tiene que x1  x2   a, b   f ( x1 )  f ( x2 ) Una función f :  a, b     / y  f ( x ) es creciente en un punto x0 si y solo si existe un intervalo centrado en x0 de la forma (x0 + h, x0 + h) para el que la función es creciente lo que equivale a decir que f creciente en x0 ⇔ x0  h  x0  x0  h  f  x0  h   f  x0   f  x0  h  ⇔

h  0  f  x0  h   f  x0   0 

f  x0  h   f  x0  h

 0 , tanto por la izquierda como por la

derecha.

Definición: Función decreciente Una función f :  a, b     / y  f ( x ) es decreciente en un punto x0 si y solo si existe un intervalo centrado en x0 de la forma (x0 + h, x0 + h) para el que la función es creciente lo que equivale a decir que f decreciente en x0 ⇔ x0  h  x0  x0  h  f  x0  h   f  x0   f  x0  h  ⇔

h  0  f  x0  h   f  x0   0 

f  x0  h   f  x0  h

 0 , tanto por la izquierda como por la

derecha. Otra definición rápida de definir rigurosamente una función f decreciente, sin haber repetido todo el razonamiento, sería haber dicho simplemente: f decreciente en x0 ⇔ -f es creciente en x0

| CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN 4


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Vamos a concluir con una proposición que resuma lo expuesto Proposición 1: Monotonía Sea f :  a, b     / y  f ( x ) una función derivable y sea x0(a, b), entonces : f '(x0) > 0 ⇒ f es creciente en x0. f '(x0) < 0 ⇒ es decreciente en x0.

Crecimiento Convexo f(x) = x2

Crecimiento Cóncavo

f ‘ (x) > 0 f ‘‘ (x) > 0

f ‘ (x) > 0 f ‘‘ (x) < 0

f ( x)   x

Decrecimiento convexo

f ( x)   x

f ‘ (x) < 0 f ‘‘ (x) > 0

Decrecimiento Cóncavo f(x) = - x2

f ‘ (x) < 0 f ‘‘ (x) < 0

Proposición 2 Sea

f :  a, b     / y  f ( x ) una función derivable en x0(a,b) y creciente (decreciente).

Entonces f '(x0) 0 ( f'(x0)  0 ). Los resultados anteriores llevan el signo ⇒ no el de equivalencia ⇔; lo que equivale a decir que la condición no es suficiente, es decir puede ocurrir que una derivada valga 0 y la función f no sea creciente o decreciente. Ejemplo La derivada de la función f(x) = x3 es f ‘(x) = 3x2 y en el punto x0 = 0 vale 0, y sin embargo la función f es creciente en 0. Si en las anteriores fórmulas cambiamos el signo ≥ (ó ≤ ) por el signo > (ó < ) obtenemos la definición de estríctamente creciente y decreciente. f estrictamente creciente en x0 ⇔ f’(x0) > 0 f estrictamente decreciente en x0 ⇔ f’(x0) < 0 En este caso sí se verifica la suficiencia, es decir, si la derivada es positiva ( o negativa) seguro que f es estríctamente creciente (decreciente). | CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN 5


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En resumen : f creciente en x0 f decreciente en x0 f’’(x0) > 0 f’’(x0) < 0 f’’(x0) = 0

⇒ f’’(x0) ≥ 0 ⇒ f’’(x0) ≤ 0 ⇔ f estríctamente creciente ⇔ f estríctamente decreciente No se sabe

En el caso que la derivada sea cero el proceso que seguiremos será dar valores próximos al punto x0 y observar el comportamiento de la función.

Máximos y mínimos de una función Definición: Máximo relativo Se dice que una función f :  a, b     / y  f ( x ) tiene un máximo relativo en un punto x0 cuando existe un entorno de x0, que denotamos por E(x0, h), tal que se verifíca que todos los puntos x de ese entorno verifican que f(x)  f(x0). Dicho en lenguaje matemático: f tiene un máximo en x0 ⇔ [ ∃h>0/xE(x0, h) ⇒ f(x)  f(x0) ] Definición: Mínimo relativo Análogamente, se dice que una función f :  a, b     / y  f ( x ) tiene un mínimo relativo en un punto x0 cuando existe un entorno de x0, que denotamos por E(x0, h), tal que se verifíca que todos los puntos x de ese entorno verifican que f(x) ≥ f(x0). Dicho en lenguaje matemático: f tiene un mínimo en x0 ⇔ [ ∃h>0/xE(x0, h) ⇒ f(x) ≥ f(x0) ] Proposición 1

f :  a, b     / y  f ( x ) una función continua y sea x0(a,b) de forma que f es

Sea

derivable en un entorno de x0 (x0-,x0+) contenido en I salvo quizás x0 Si f presenta un máximo (o un mínimo) en x0 entonces f '(x0) = 0. Demostración Es inmediata, pues si f ’(x0) ≠ 0 entonces la función sería estrictamente creciente o decreciente en ese punto. Proposición 2 Sea

f :  a, b     / y  f ( x ) una función continua y sea x0(a,b) de forma que f es

derivable en un entorno de x0 tal que f ' (x0)=0 y f '' (x0)  0. Entonce si:  

f ''(x0)>0 ⇒ x0 es mínimo relativo. f ''(x0)<0 ⇒ x0 es máximo relativo. | CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN 6


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Proposición 3 Supongamos que f admite derivadas sucesivas (finitas) en un intervalo centrado en x0 y supongamos que la primera derivada que no se anula en x0 es f n)(x0). En estas condiciones : "La condición necesaria y suficiente para que f presente en x0 un máximo o mínimo relativo es que "n" sea par. Además si f n) (x0) < 0 ( > 0 ) será un máximo (mínimo) relativo." Además si "n" es impar existe un punto de inflexión de tangente horizontal.

En el caso del máximo si a la izquierda es creciente ( derivada primera positiva ) y a la derecha decreciente ( derivada primera negativa ) entonces :

f ''( x0 )  lim h0

f '( x0  h)  f '( x0 ) f '( x0  h)  0 f '( x0  h)  lim  lim h  0 h  0 h h h

Por la izquierda h<0 y f '(x0-h) >0 luego f ''(x0)<0 Por la derecha h>0 y f '(x0+h) <0 luego f ''(x0)<0 Por lo tanto cuando hay un máximo f ''(x0)<0 Si hacemos lo mismo para el mínimo obtendremos que la f ''(x0)>0 En resumen : f extremo en x0 f ’’(x0) > 0 f ’’(x0) < 0 f ’’(x0) = 0

⇒ f’’(x0) = 0 ⇔ f mínimo en x0 ⇔ f máximo en x0 No se sabe

Si f ''(x0) = 0 entonces puede que sea máximo , mínimo o ninguno de las dos. Debemos de dar valores a la derecha y a la izquierda del punto y ver el comportamiento de la función y su derivada.

| CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN 7


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CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Definición: Concavidad Primera forma Una función se dice cóncava hacia arriba si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica. Segunda forma Una función f es cóncava en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por debajo de la gráfica de la función. Tercera forma Se dice que una función ese cóncava en un punto cuando la función derivada en un entorno de ese punto es creciente es decir : f cóncava en x0 ⇔ [ x0-h < x0 < x0+h  f '(x0-h) ≤ f '(x0) ≤ f '(x0+h) ] Definición: Convexidad Primera forma Una función se dice cóncava hacia abajo si la recta que une dos puntos de la gráfica queda por debajo de la gráfica. Segunda forma Una función f es convexa en el punto x0 cuando la tangente a la gráfica de f en el punto (x0, f(x0)) queda por encima de la gráfica de la función. Tercera forma Se dice que una función es convexa en un punto cuando la función derivada en un entorno de ese punto es creciente es decir : f convexa en x0 ⇔ [ x0-h < x0 < x0+h  f '(x0-h) ≥ f '(x0) ≥ f '(x0+h) ]

Proposición 1 a) Si una función f es tal que  x (a,b) f''(x) >0 entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b) b) Si una función f es tal que  x (a,b) f''(x) <0 entonces f es cóncava hacia abajo en (a,b) Demostración a) | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 8


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f cóncava en x0 ⇔ [ x0-h < x0 < x0+h  f '(x0-h) ≤ f '(x0) ≤ f '(x0+h) ] Si sustituimos en la definición de derivada segunda obtenemos para la derecha e izquierda f '( x0  h)  f '( x0 ) 0 que h Por lo tanto si la función es cóncava la derivada segunda es mayor o igual que cero . Lo contrario no tiene por qué ser cierto . b) f convexa en x0 ⇔ [ x0-h < x0 < x0+h  f '(x0-h) ≥ f '(x0) ≥ f '(x0+h) ] Si sustituimos en la definición de derivada segunda obtenemos para la derecha e izquierda f '( x0  h)  f '( x0 ) 0 que h Por lo tanto si la función es convexa la derivada segunda es menor o igual que cero Lo contrario no tiene por qué ser cierto .

En resumen: f ’’(x0) > 0 ⇔ f cóncava en x0 f ’’(x0) < 0 ⇔ f convexa en x0 f ’’(x0) = 0 No se sabe

Si la derivada segunda es 0 debemos de estudiar en los alrededores del punto a ver que es lo que hace la derivada primera .

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Definición: Punto de inflexión Se dice que una función f :  a, b     / y  f ( x ) tiene un punto de inflexión en un punto x0 cuando la función pasa de ser cóncava hasta ese punto a ser convexa a partir de él o al revés. Si (x0, f(x0)) es un punto de inflexión entonces la recta tangente en ese punto atraviesa la gráfica. Proposición 1 Si x0 es punto de inflexión entonces f''(x0)=0 Demostración Es inmediato, porque en otro caso la función sería cóncava o convexa Proposición 2 Sea x0 / f ''(x0) = 0, entonces si además f '''(x0)  0  x0 es punto de inflexión. Demostración Supongamos que por la izquierda es cóncava y por la derecha es convexa , entonces :

f '''( x0 )  lim h 0

 

f ''( x0  h)  f ''( x0 ) f ''( x0  h)  0 f ''( x0  h)  lim  lim h  0 h  0 h h h

Por la izquierda h < 0 y f ''(x0-h) > 0 luego f '''(x0) < 0 Por la derecha h > 0 y f ''(x0+h) < 0 luego f '''(x0) < 0

Por lo tanto f '''(x0) < 0 Si por la izquierda es convexa y por la derecha cóncava :  

Por la izquierda h < 0 y f ''(x0-h) <0 luego f '''(x0)>0 Por la derecha h > 0 y f ''(x0+h) >0 luego f '''(x0)>0

Por lo tanto f '''(x0) > 0 En consecuencia si f '''(x0)  0 hay un punto de inflexión ya que pasará de cóncava a convexa o al revés . En resumen : f ’’’(x0)  0 ⇔ f tiene punto de inflexión en x0 f ’’’(x0) = 0 No se sabe

Si f '''(x0) = 0 para averiguarlo debemos ver como varía la derivada segunda en los alrededores del punto.

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También pudiera ocurrir que se anulasen las n primeras derivadas en un punto y nosotros quisiesemos saber si se trata de un mínimo, un máximo ó un punto de inflexión. Ene ste caso tenemos que seguir derivando hasta encontrar la primera derivada f n)no nula y, si el orden n resultase impar sería punto de inflexión y en caso n par un máximo o un mínimo según la siguiente tabla resumen: f ’(x0) = 0, f ’’’(x0) = 0, f ’’’(x0) = 0.... No se sabe f n) (x0)  0 , n par f n) (x0) < 0  x0 Máximo f n) (x0) > 0  x0 Mínimo n) f (x0)  0 , n impar  x0 Punto de Inflexión

Teorema de Rolle Sea la función continua f :  a, b     / y  f ( x ) y derivable en (a,b), con f(a) = f(b). Entonces ∃ c∊(a,b) / f ’(c) = 0. Demostración Si f es continua en [a,b] por el teorema de Weirerstrass alcanza su máximo y su mínimo en el intervalo [a,b] Se pueden distinguir tres casos Caso 1 El máximo y el mínimo se alcanzan en los extremos del intervalo f(a) y f(b)  f es constante en [a,b]  f ’(c) = 0 ∀c∊[a,b] Caso 2 La función alcanza un máximo en un punto c distinto de a y b. En este caso, como la función es derivable entonces f ’(c) = 0 Caso 3 La función alcanza un mínimo en un punto c distinto de a y b. En este caso, como la función es derivable entonces f ’(c) = 0

Caso 1

Caso 2

Caso 3

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Teorema del Valor Medio Sea la función continua f :  a, b     / y  f ( x ) y derivable en (a,b). Entonces ∃ c∊(a,b) / f '(c ) 

f (b)  f (a ) ba

Demostración Consideramos los puntos de la función que pasan por los extremos del intervalo (a,f(a)) y (b,f(b)). La ecuación punto-pendiente de la recta que une estos dos puntos es

r : y  f (a ) 

f (b)  f (a ) f (b)  f (a )  x  a  y   x  a   f (a ) ba ba

 f (b)  f (a)   / g ( x)  f ( x)   Consideramos la función g :  a, b    x  a   f (a)  que  ba  mide la distancia entre la gráfica de la función f y la recta r que acabamos de definir. Esta función g resulta continua en [a,b] y derivable en (a,b) verificándose, además, que g(a) = g(b) = 0 por lo que, aplicando el teorema de Rolle , obtenemos que ∃ c∊(a,b) / g ’(c) = 0

f (b )  f ( a )  f (b)  f (a)   0  f '(c)  Pero la derivada de g(x) es g '( x)  f '( x)   c.q.d.  ba  ba 

Teorema del valor medio generalizado (Teorema de Cauchy) Vamos a generalizar el resultado anterior de forma que podríamos considerarlo un corolario de éste que vamos a demostrar ahora en el caso que g sea la función identidad g(x) = x. Sean dos funciones continuas f , g :  a, b     verificando que: i. ii.

f, g son derivables en (a,b) g(a)  g(b) | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 12


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Entonces existe algún punto c(a,b) /

c   a, b  /

f '(c) f (b)  f (a)  g '(c) g (b)  g (a)

Demostración Definimos la función

h :  a, b    x   h( x)  f ( x)  g (b)  g (a )  g ( x)  f (b)  f (a )  Veamos que esta función verifica las condiciones del teorema de Rolle

Agustín Cauchy 1789-1857

 h es una función continua en [a,b] ya que lo son f y g.  h es una función derivable en (a,b) ya que lo son f y g.  h(a) = h(b) pues:  h(a) = f(a)[g(b) - g(a)] – g(a)[f(b) - f(a)] = f(a)g(b) – f(b)g(a)  h(b) = f(b)[g(b) - g(a)] – g(b)[f(b) - f(a)] = - f(b)g(a) + f(a)g(b) Por tanto, aplicando el Teorema de Rolle, ∃ c∊(a,b) / h ’(c) = 0.

h '( x)  f '( x)  g (b)  g (a )  g '( x)  f (b)  f (a )  ... Pero ...  h '(c)  f '(c)  g (b)  g (a)   g '(c)  f (b)  f (a )  0 

f '(c) f (b)  f ( a)  c.q.d. g '(c) g (b)  g (a)

Regla de L'Hopital Sean dos funciones f , g :  a, b     verificando que: i. ii. iii. iv.

f, g son derivables en (x0-h, x0+h) lim f ( x)  lim g ( x)  0 x  x0

x  x0

g'(x)  0 ∀x(a,b) f '( x) Existe lim x  x0 g '( x )

Entonces existe lim x  x0

f ( x) f '( x)  lim g ( x) x x0 g '( x)

Demostración Primera demostración

L'Hopital 1661-1704

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El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes. Dado que lim f ( x)  lim g ( x)  0  f ( x0 )  g ( x0 )  0 entonces para a < x < b se puede x  x0

x  x0

f ( x)  f ( x0 ) f ( x ) f ( x)  f ( x0 ) x  x0   escribir: . Y como f y g son derivables en el entorno de g ( x )  g ( x0 ) g ( x ) g ( x)  g ( x0 ) x  x0 x0 se tiene que f ( x )  f ( x0 ) f ( x) x  x0 x  x0 f '( x0 ) f '( x ) lim    lim x  x0 g ( x) g ( x )  g ( x0 ) g '( x0 ) x  x0 g '( x) lim x  x0 x  x0 lim

Segunda demostración Por hipótesis existe f '(x) y g '(x) en un E(x0,h) A f(x0) y g(x0) les adjudicamos el valor 0 en x0 porque si fuesen discontinuas en x0 sería una discontinuidad evitable, luego f(x0) = g(x0) = 0 Supongo lim

x  x0

f '( x)  b  E (b,  ) g '( x)

E ( x0 ,  ) / x  E ( x0 ,  ) 

f '( x)  E (b,  ) g '( x)

Sea x  E ( x0 ,  ) f y g son continuas en [x,x0] y derivables en (x,x0) => por el teorema del valor medio f ( x0 )  f ( x) f '(c) generalizado existe c(x,x0) /  g ( x0 )  g ( x) g '(c)

c  E ( x0 ,  ) 

f '(c) f (c ) f ( x) f '( x )  E  b,     E  b,    lim  b  lim c.q.d x  x x  x 0 g ( x) 0 g '( x ) g '(c) g (c )

Demostración Rigurosa (REVISARLA. No está bien. Fuente : Funciones de variable real. USC Pag 120. Problemas con las notaciones) Consideremos los números reales m,n,p,q∊ℝ y sea L  lim

x  x0

c  ( x0 , x0  h) /

f '( x) p g '( x)

f '( x) entonces..... g '( x)

x ( x0 , c )

Si x < y < c, aplicando el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial | CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 14


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x '  ( x, y ) /

f ( x )  f ( y ) f '( x ')   p (1) g ( x )  g ( y ) g '( x ')

Como además

lim f ( x )  lim g ( x)  0 

x  x0

x  x0

f ( y)  pq g ( y)

y  ( x0 , c) (2)

Por un razonamiento análogo obtenemos que

f ( y) nm g ( y)

y  ( x0 , c1 ) (3)

De (2) y (3) se tiene que

m

f ( x) q g ( x)

Con lo cual lim x  x0

p, q  

pLq

x  ( x0 , x0  h)

f ( x) L g ( x)

Consideremos ahora el caso cuando lim f ( x)  lim g ( x)   x  x0

Tomamos y tal que

f ( y) nm g ( y)

c '  (a, y ) / 0  g ( x)

Calculando en (1) lim

x  x0

g ( x)  g ( y )

x  x0

y  ( x0 , c1 ) entonces f ( x) f ( y) g ( y)   p p si x  (a, c ') g ( x ) g ( x) g ( x)

f ( x) f ( x)  c ''  (a, c ') / x  (a, c '')  q g ( x) g ( x)

De modo análogo demostramos que m 

lim

x  x0

f ( x) g ( x)

x  (a, c2 ) y de ambas deducimos que

f '( x ) L g '( x )

Corolario La regla de L’Hopital es válida para x0 un número real pero también para x0 = + y para x0 = -.

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Resolución de indeterminaciones Con el Regla de L’Hopital se resuelven los siete casos de inderteminación del calculo de limites: 0/0 , / ,  -  , 0 *  , 1 , 0 y 00. El proceso consiste en transformar cualquier indeterminación a una de la forma 0/0. Veamos un ejemplo de cada caso: Ejemplo 1 sin x x 0 x

0   0

lim

Solución Este límite ya ha sido comentado en límites de funciones y allí se resolvió citando la regla de L’Hopital, sin haberla demostrado. Ahora el resultado es inmediato: sin x  0  cos x 1 lim  1    lim x 0 x  0 x 0 1 1    L ' Hopital

Ejemplo 2

x2  2x  1  0  lim   x 1 x3  1 0 Solución Hasta ahora, este límite lo resolvimos mediante la descomposición factorial de ambos polinomios y simplificando después de la siguiente forma 2

 x  1  x  1  1  1  0  0 x2  2x 1 lim  lim  lim x 1 x 1 x  1 x 2  x  1 x3  1    x1  x 2  x  1 12  1  1 3 Mediante la Regla de L’Hopital podemos hacerlo más cómodamente: '

x 2  2 x  1  x2  2 x  1  0  2 x  2 2 1  2 0 lim  lim   0    lim ' 3 x 1 x  1 x  1 3 x 1  0  3x 2 3 12 3 x  1      L ' Hopital

Ejemplo 3

 e x  e x  2 x   0  lim     x0  x  sin x   0  Solución La regla de l´’hopital la podemos aplicar sucesivamente mientras las funciones sean continuas y derivables, así

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 e x  e x  2 x   0  e x  e x  2  0  e x  e x  0  e x  e x 2 lim    lim  lim  lim  2        x 0 x0 1  cos x x0 sin x x0 cos x 0 0 0 x  sin x 1               L ' Hopital

L ' Hopital

L ' Hopital

Ejemplo 4 lim x 

ln x x3  x

   

Solución

ln x    1/ x 1  lim 3 0     lim x  x 3  x  x  3x 2  1 x  3 x  x    

lim

L ' Hopital

Ejemplo 5 lim  x  1 ln  x  1  x 1

0  

Solución

1 ln  x  1    x  1  lim  x  1  0 lim  x  1 ln  x  1  lim     lim x1 x1 x1 x1 1 1     2 x  1 L ' Hopital  x  1 Ejemplo 6 1  1 lim   x 0 x sin x  

   

Solución

1  cos x  1  0   sin x 0 1  sin x  x   0  lim    lim  lim  lim  0     x 0 x x  0 sin x  x cos x 0 x  0 2 cos x  x sin x sin x  x 0  x sin x   0  2          L ' Hopital

L ' Hopital

Ejemplo 7

lim x  x 2  x x 

   

Solución

| CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 17


+

2

lim x  x  x x 

x   lim x 

x2  x

 x 

x2  x

x

x2  x

  lim  x x

2

 x2  x

x  x2  x

  ...

 1 2 x2  x 2 1 ...  lim  lim      lim 2 2 x  x  x    2x 1  x  x  x  2 x  x  2x  1 2  2 2   1   2 L ' Hopital  2 x x Ejemplo 8 x

lim x sin x x 0

0  

Solución

1 2    ln x x  lim sin x  0   ... ln lim xsin x  lim sin x ln x  lim  lim   x0 x0 x 0 x 0 cos x x 0 x cos x 0 1           sin x L ' Hopital sin 2 x L ' Hopital 2sin x cos x 0 ...  lim  0 x 0 cos x  x sin x 1 0 Y ahora, por las propiedades de los logaritmos, calculamos el límite inicial:

ln lim x sin x  0  lim x sin x  e0  1 x 0

x 0

Ejemplo 9 lim x cos x x0

1  

Solución En lugar de calcular el límite pedido calculamos el logaritmo neperiano de ese límite

 sin x 0 ln cos x      sin x 0 ln lim x cos x  lim     lim cos x  lim  0 x0 x0 x 0 x0 cos x 0 x 1 1   

L ' Hopital

Y ahora, aplicando las propiedades de los logaritmos, calculamos el límite inicial: ln lim x cos x   0  lim x cos x  e 0  1 x 0  x 0  Ejemplo 10

lim x x 2  1 x 

  0

Solución En lugar de calcular el límite pedido calculamos el logaritmo neperiano de ese límite

| CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 18


+

x

2

ln  x 2  1

ln lim x  1  lim x 

x

x 

 2x     lim 2 0 x  x  1     L ' Hopital

Y aplicando las propiedades de los logaritmos calculamos el límite inicial: ln  lim x x 2  1  0  lim x x 2  1  e0  1 x 0  x 0  Ejemplo 11

sin 2 3x x 0 3x 2

0   0

lim

Solución También se puede aplicar sucesivamente la regla de L’Hopital si se vuelven a dar las hipótesis sin 2 3x 2  sin 3x  cos3x  3 3cos2 3 x  3sin 2 3x 3  0 lim   lim  lim  3  x0 x 0 x 0 3x 2 L 1 1 6x ' Hopital L ' Hopital Ejemplo 12

1  

lim x sin x  cos x x0

Solución En lugar de calcular el límite pedido calculamos el logaritmo neperiano de ese límite

cos x  sin x ln  sin x  cos x   0  cos x  sin x 1 ln lim x sin x  cos x  lim     lim sin x  cos x  lim  1 x0 x0 x 0 x0 sin x  cos x 0 x 1 1   

L ' Hopital

Y ahora, aplicando las propiedades de los logaritmos, calculamos el límite inicial: ln  lim x sin x  cos x   0  lim x sin x  cos x  e1  e x 0  x 0  Ejemplo 13  3 lim 1   x   x

2 x 1

1  

Solución Este límite hemos aprendido a hacerlo sin L’Hopital cuando estudiamos el número e mediante una laboriosa serie de artificios. Veamos ahora otra forma de hacerlo aplicando la regla de L’Hopital. Calculamos el neperiano del límite pedido:

| CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 19


+

  x  3   ln  x    0     3   3   ln  lim 1     lim  2 x  1 ln 1    lim    0   ...  x   x   x  x  1 x             2 x  1  L ' Hopital x x  ( x  3) 2  2 3  2 x  1 12 x 2  12 x  3 x  3 x ...  lim  lim  lim  12 x  x x  x  3 x  1 x2  3x 2  2 x 1 2 x 1

Y calculamos ahora el límite original: 2 x 1 2 x 1   3   3 ln  lim  1     12  lim  1    e12 x  x  x x      

| CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD 20


+

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Con los resultados en esta unidad temática, obtenemos un conjunto de herramientas de grandísima utilidad para representar funciones y obtener puntos y comportamientos de los que no disponíamos cuando contemplamos la misma materia al estudiar funciones elementales. Ramas infinitas y Asíntotas En el caso de que la función se comporte de forma indeterminada algunos puntos, podemos aplicar la regla de L’Hopital para resolver las indeterminaciones Monotonía: f creciente en x0 f decreciente en x0 f’’(x0) > 0 f’’(x0) < 0 f’’(x0) = 0

⇒ f’’(x0) ≥ 0 ⇒ f’’(x0) ≤ 0 ⇔ f estríctamente creciente ⇔ f estríctamente decreciente No se sabe. Hacer estudio local

Extremos relativos f extremo en x0 f ’’(x0) > 0 f ’’(x0) < 0 f ’’(x0) = 0

⇒ f’’(x0) = 0 ⇔ f mínimo en x0 ⇔ f máximo en x0 No se sabe. Hacer estudio local

Curvatura: Concavidad y convexidad f ’’(x0) > 0 ⇔ f cóncava en x0 f ’’(x0) < 0 ⇔ f convexa en x0 f ’’(x0) = 0 No se sabe. Hacer estudio local

Puntos de inflexión f ’’’(x0)  0 ⇔ f tiene punto de inflexión en x0 f ’’’(x0) = 0 No se sabe. Hacer estudio local

Casos dudosos de primeras derivadas nulas f ’(x0) = 0, f ’’’(x0) = 0, f ’’’(x0) = 0.... No se sabe f n) (x0)  0 , n par f n) (x0) < 0  x0 Máximo f n) (x0) > 0  x0 Mínimo f n) (x0)  0 , n impar  x0 Punto de Inflexión

| REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 21


+

OPTIMIZACION Optimizar una función equivale a conseguir que una de las magnitudes que están involucradas en ella se haga lo más grande o lo más pequeña posible sujeta a unas determinadas condiciones prefijadas. Según sea un problema de optimizar la cantidad más grande será un problema de encontrar el máximo de la función y si se trata de optimizar mediante la cantidad más pequeña será un problema de encontrar el mínimo de la función. Vamos a exponer una colección de problemas de optimización que nos den una visión general. Ejemplo 1 Se han adquirido 1200 metros de valla compuesta de alambre de espino para cercar un terreno rectangular donde queremos que paste el ganado. Si por uno de sus lados el terreno tiene un rio que no es necesario vallar, ¿qué dimensiones debe tener el rectángulo para que el área de pasto sea máxima? Solución Se trata de encontrar un máximo para la función área del rectángulo en función de su base x y su altura y. Dicha función área es f (x,y)= xy , pero sabemos que el perímetro, sin uno de sus lados, 2x + y, totalizará 1200 metros que es el total de valla que disponemos. Sustituyendo en la función área resulta f(x) = x (1200 - 2x). Calculamos la derivada y comprobamos donde se anula: f ( x )  1200 x  2 x 2  f '( x)  1200  4 x  1200  4 x  0 cuando x 

1200  300 4

Como la derivada segunda es f ’’(x) = -4 < 0 el valor x = 300 es un máximo Entonces las dimensiones del rectángulo de área máxima resultan las de un cuadrado de 300 metros de la lado. Ejemplo 2 Supongamos que el consumo de cafés en la cafetería de un museo viene dado, en 300 x función del tiempo x transcurrido desde la apertura, por la función f ( x)  3 x 2 ¿Podrías calcular la hora de mayor consumo? Solución Se trata de encontrar un máximo para la función f(x), por lo que calculamos la primera derivada e igualamos a 0:

| OPTIMIZACION 22


+

f '( x) 

300  x 3  2   300 x  3 x 2 

x

3

 2

2

 0  300  x 3  2   300 x  3x 2   0  x 3  2  3x 3  ...

...  x 3  1  x  1 Por otra parte, la segunda derivada es '

'

 300  x3  2   300 x  3 x 2     600  600 x3     f ''( x)    ... 2 3     x 3  2 2  x  2       2

... 

1800 x 2  x 3  2   2  x 3  2  3 x 2  600  600 x 3 

x

3

 2

4

Y para el punto x = 1 se tiene que 2

f ''(1) 

1800  3  2  3 3  600  600 

 3

4

1800  3

 3

4

2

0

Es decir, x = 1 es un máximo por lo que al cabo de una hora de su apertura. Ejemplo 3 El consumo de gasóleo en litros de un barco que navega a una velocidad de x nudos x 2 400  viene dado por la función f ( x)  . Calcula la velocidad idónea para 40 x minimizar el consumo. Solución Se trata ahora de encontrar el mínimo de la función f(x), por lo que: '

 x 2 400  x 400 x 400 f '( x)     2 0  2  x 3  8000  x  3 8000  20   x  20 x 20 x  40 Veamos si x = 20 corresponde a un mínimo, para ello calculamos la 2ª derivada y miramos si su valor en x = 20 es mayor que 0. '

1 400 1 400  x 400  f ''( x)    2    3  f ''(20)   0 20 203  20 x  20 x Por lo que podemos concluir que a una velocidad de 20 nudos el consumo del barco se hará mínimo y valdrá concretamente f(20) = 30 litros Ejemplo 4 Se desean fabricar latas de tomate frito en conserva de forma cilíndricas con una capacidad de 300 cm3 de manera que el coste de la chapa empleada sea mínimo. Calcula las dimensiones de la chapa. Solución La superficie lateral de un cilindro de radio de base x y altura y viene dada por: S ( x, y )  2 x 2  2 xy | OPTIMIZACION 23


+

Como puedes ver se trata de una función con dos variables, pero tenemos un dato adicional que es que la capacidad de la lata debe ser de 300 cm3. El volumen del cilindro viene dado por la función 300 V ( x, y)   x 2 y  300  y  2 x Sustituimos en la ecuación de la superficie y ya tenemos una sola variable: 300 600 S ( x)  2 x 2  2 x 2  2 x 2  x x Derivamos esta función y buscamos cuando es cero la derivada primera: 600 600 150 150 S '( x )  4 x  2  0  4 x  2  x 3  x 3  3.6278 x x   Calculamos la 2ª derivada en 3.6278 para comprobar si corresponde o no a un mínimo: '

600  600  S ''( x )   4 x  2   4  3  S ''(3.6278)  0 x  x  Luego es un mínimo y por tanto este x = 3.6278 es el radio de la base necesario para minimizar la superficie de lata y con ello el coste de fabricación de la misma. Ejemplo 5 Como sabes, la relación 3,4,5 en los lados de un triángulo rectángulo es conocida desde tiempos egipcios muchísimo antes que Pitágoras dedujese su famoso teorema. ¿Podrías calcular si éste triángulo es o no es el de área máxima entre todos los que tienen hipotenusa 5? Solución El área de un triángulo en función de su base x y su altura y es xy S ( x, y)  2 Pero aunque los egipcios no conociesen el teorema de Pitágoras, nosotros sí lo conocemos y gracias a él podemos relacionar x con y de la manera siguiente:

x 2  y 2  5  y  25  x 2 , y sustituyendo, derivando e igualando a 0: x 25  x 2 25 x 2  x 4 25 x  2 x 3 5 5 2   S '( x)   0  25 x  2 x 3  0  x   2 2 2 2 2 25  x 2 tenemos dos soluciones, aunque la negativa no tiene sentido en nuestro problema, pues una longitud no puede ser negativa. Vamos a comprobar si la solución positiva corresponde a máximo o a mínimo con la segunda derivada: S ( x) 

  2 x  25  6 x 2  25  x 2   25 x  2 x3  '   3  25 x  2 x  1  2 25  x 2 S ''( x)     2 25  x 2  2 25  x  2   

     

'

| OPTIMIZACION 24


+

5 2  5 2 la función S ''    0 por lo que no 2 2   podríamos decidir si es mínimo o máximo su valor. Vamos a estudiar, entonces, el comportamiento de la función S(x) en un entorno del 5 2 punto x  =3.5355, por ejemplo, tomamos los puntos 3 y 4 resultando que: 2 S ’(3) = 2.625 y S’(4) = -4.667 lo que nos confirma que en 3 la función es creciente y en 4 decreciente por lo que cabe concluir que en nuestro punto x = 3.5355 la función hace un máximo. Así pues, el triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y área máxima tiene base x = 3.5355 y altura y = 3.5255.

Se da la circunstancia que para x 

| OPTIMIZACION 25


+

APROXIMACIÓN LINEAL Y NOTACIÓN DIFERENCIAL Consiste en aproximar una función en un entorno de un punto x0, mediante la recta tangente a la función en ese punto. Es decir, que en vez de sustituir las coordenadas de dichos puntos en la fórmula de la función las sustituimos en la ecuación de la recta tangente, obteniendo una aproximación del buscado. f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 )

    f ( x0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )  x df tan   f '( x0 )   df  f '( x0 )  x  x 

O también f ( x)  f ( x0 )  f '( x0 )  x

Teorema de aproximación lineal Si una función f es derivable en el punto x0, entonces la diferencial es una buena aproximación del incremento. Es decir ∆f ≈ df Demostración f  df f  f '( x )x  f   lim  lim   f '( x)   f '( x)  f '( x )  0 c.q.d.  x 0  x  0  x  0 x x  x  lim

A partir de ahora, podemos denotar por dx en lugar de ∆x, de ahí que en la definición de dy derivada se use y  f ( x)  y '  f '( x)  dx Ejemplo Calcular 3 1.02 Solución

| APROXIMACIÓN LINEAL Y NOTACIÓN DIFERENCIAL 26


+

Dada f ( x)  3 x , su derivada es f '( x) 

1

. 3 x2 Como f ( x)  f ( x0 )  f '( x0 )  x , si tomamos como punto de aproximación x0 = 1, resulta 1 1 f (1.02)  f (1)  f '(1)  x  3 1  0.02  1  0.02  1.0066 3 2 3 3 1 3

Ejemplo 2 Calcular arctan(1.1) Solución 1 y como 1  x2 f ( x )  f ( x0 )  f '( x0 )  dx , si tomamos como punto de aproximación x0 = 1, resulta 1  1 f (1.1)  f (1)  f '(1)  dx  arctan1  0.1   0.1  0.78  0.05  0.83 2 11 4 2

Dada la función f(x) = arctan x, su derivada es f '( x) 

| APROXIMACIÓN LINEAL Y NOTACIÓN DIFERENCIAL 27


+

INFINITESIMOS EQUIVALENTES Definición: Infinitésimo Una función f se dice que es un infinitésimo en un punto x0 si su límite en dicho punto es cero f infinitésimo en x0 ⇔ lim f ( x)  0 x  x0

Definición: Infinitésimos equivalentes Dos infinitésimos f y g en un mismo punto x0 se dicen equivalentes, y lo denotaremos por f ∼ g, cuando el límite de su cociente en ese punto es la unidad f ∼ g en x0 ⇔ lim

x  x0

f ( x) 1 g ( x)

f ( x) 0 f ( x) xlim  x0 Hay que observar que, en principio, si f y g son dos infinitésimos, lim   , x  x0 g ( x ) lim g ( x) 0 x  x0

luego tendremos que resolver esta indeterminación de alguna manera para concluir que el límite es 1. Teorema Cuando en una operación de límites encontramos un infinitésimo multiplicando o dividiendo, se puede sustituir por otro equivalente. Demostración

f ( x)  1 . Ahora supongamos una expresión de límites con la función f x  x0 g ( x ) multiplicada a otra función h. Tendríamos Si f ∼ g ⇔ lim

 f ( x)  f ( x) lim  f ( x )  h( x)  lim   g ( x)  h( x)   lim  lim  g ( x)  h( x)   1  lim  g ( x )  h( x )  x  x0 x  x0 g ( x ) x  x0   x x0 g ( x ) x  x0 Proposición Cuando en una operación de límites encontramos un infinitésimo sumando o restando, en general no se puede sustituir por otro equivalente. Demostración Buscar contraejemplo Proposición

| INFINITESIMOS EQUIVALENTES 28


+

La suma de infinitésimos de distinto orden puede reducirse a otro infinitésimo del menor orden de los infinitésimos dados. Por ejemplo: lim  x 2  x3  x5  x 7   lim x 2 x 0

x0

Tabla de infinitésimos más frecuentes Se tienen los siguientes infinitésimos en x0 = 0 (hay que aplicar la regla de L’Hopital en todas las indeterminaciones marcadas): sin x ∼ x

lim x 0

tan x ∼ x

sin x  0  cos x    lim 1 x  0 x 1 0

tan x sin x cos x 1 0  lim    lim  1 x  0 x  0 x x cos x  0  cos x  x sin x 1  0 arcsin x  0  1 1 lim    lim  1 2 x0 x 1 0  0  x 0 1  x lim x 0

arcsin x ∼ x

arctan x∼ x

1  cos x 

arctan x  0  1 1    lim  1 2 x 0 x 1 0  0  x 0 1  x

lim

x2 2

ln  x  1  x ex 1  x

ex 1  0  ex 1    lim   1 x 0 x  0  x 0 1 1

lim

a x  1  x ln a

1  x 

r

1  cos x  0  sin x    lim 1 2 x0 x  0  x0 x 2 ln  x  1  0  1 lim    lim 1 x 0 x  0  x 0 x  1 lim

 1  rx

a x 1  0  a x ln a    lim  lim a x  a 0  1 x  0 x ln a x  0 x0 ln a 0

lim

1  x  lim rx

x0

n

1 x 1 

x n

r

1

r 1  x  0    lim r  0  x 0 1

r 1

n n 1  x  1 x 1  0  lim    lim x0 x 1  0  x 0 n n n

 lim 1  x 

r 1

x 0

n 1

 lim

x0 n

1

1

1  x 

n 1

1

| INFINITESIMOS EQUIVALENTES 29


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PROBLEMAS PROPUESTOS Problemas de optimización Fuente IES príncipe de Asturias. depmatematicas@iesprincipe.com b 1. Sean a y b números positivos, y f(x) = ax  . x a) Demostrar que el mínimo valor de f en (0,  ) es 2 ab . b) Deducir que

ab 

ab . 2

c) Dibujar la gráfica de f en el caso a = 2, b = 8, y sus asíntotas. 2. Calculad la generatriz y el radio que debe tener un bote cilíndrico de leche condensada La Llet cuya área total (incluyendo dos tapas) es de 150 cm2, para que su volumen sea máximo.

  r2  g

A T  2  r 2  2    r  g ). Sol: r 

5 

, g

10

(V=

.

3. Estudiar el crecimiento de f ( x)  e x  cos x  sen x y determinar los máximos y mínimos para x

 3   3    0,2 . Sol: f crece en [0, )  ( ,2  y decrece en  ,  . Máximo en  , e  2  y mínimo en 2 2  2  2 2  3  , e 3  2  .   2  4. Considérese la función f(x)= ae2x + bx2. Determine el valor de las constantes a y b sabiendo que f(x) tiene un punto de inflexión en x = 0, que la tangente a la gráfica de f(x) en ese punto de inflexión tiene pendiente positiva y que el ángulo entre esta tangente y el eje de las x es de 45 grados. Sol: a = 1/2, b = -1. 5. Diga cuál es el área máxima que puede tener un sector circular de 8 m. de perímetro (recuerde que el sector circular es la porción de círculo comprendida entre un arco de circunferencia y los radios que pasan por los extremos de dicho arco). Sol: 4 m2. 6. Determine los máximos y mínimos relativos de la función f(x) =

  2 sen x    x en el intervalo [0, 2  4

 . Busque los puntos de inflexión de f(x) en este intervalo. ¿Hay algún punto entre 0 y 2  en el que la gráfica de f(x) corte al eje de las X?. Dibuje la gráfica de f(x) en el intervalo [0, 2  . Sol: Máximo

    3 3   7 7  , ,  , .  ,  1 , mínimo  ,   1 , puntos de inflexión  2 2   4 4   4 4 7. Calcular el punto de la curva y = (1 + x2)-1 en que la pendiente de la recta tangente es máxima. Sol: x1 =-

3 . 3

8. Dada la funcón y = ax4 +3bx3 -3x2 - ax, calcular los valores de a y b sabiendo que la función presenta dos puntos de inflexión, uno en x = 1 y otro en x = 1/2. Sol: a = -1, b = 1. 9. Dentro del triángulo limitado por los ejes OX, OY y la recta 2x + y = 8, se inscribe un rectángulo de vértices (0, 0), (a, 0), (a, b) y (0, b). Determina el punto (a, b) al que corresponde un rectángulo de área

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máxima. Halla los puntos (a, b) para lo que corresponde un rectángulo de área mínima. Sol: Para área máxima (a, b) = (2, 4). Para área mínima (a, b) = (0, 8) ó (a, b) = (4, 0). 10. De la función f(x) = ax3 + bx sabemos que tiene una gráfica que pasa por (1, 1) y en este punto tiene tangente paralela a 3x + y = 0. Se pide:

a) Hallar a y b. Sol: a = -2 y b = 3. b) Hallar sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento y puntos de inflexión. Sol: 

f decrece en  ,

 2  2    , . f crece en 2   2 

 2 2    . Máximo en ,  2 2 

 2   , 2  . Mínimo en  2 

  2   , 2  . Punto de inflexión en (0, 3).  2  11. Se sabe que la gráfica de una función f pasa por el punto (1, 1) y que f ‘ (1) = 2. Se conoce también que su derivada segunda es la función g(x) = 2. Calcular razonadamente la función f. Sol: f(x) = x2. 12. Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) =

1 x 1 x

. Sol: Crece en (0, 1)

1, . Decrece en  ,1   10 , . 13. Estudiar el crecimiento de f(x) = (3x - 2x2)e-x. Obtener los máximos y mínimos relativos. Sol: Crece en

, 12  3, . Decrece en (1/2, 3). Máximo en x = 1/2, mínimo en x =3. 1

2

14. Sea f(x) = x3 + ax2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x = 1 una inflexión cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45º con el eje OX. Sol: a = -3 y b = 4. 15. Sea f la función definida por f(x) = x4 - 7x3 + 13x2 + x + 1. Calcular razonadamente los puntos de su gráfica en los que la recta tangente forma un ángulo de 

4

con el eje de abscisas. Sol: (0, 1), (2, 15),

(13/4, 3285/256). 16. Determinar el polinomio P(x) de grado menor posible que tiene en (-1, 15) un máximo relativo y en (2, 12) un mínimo relativo. Sol: P(x) = 2x3 -3x2 - 12x + 8. 17. Calcular las constantes a y b para que las gráficas de las funciones f(x) =

ln x y x

g(x) = alnx + b

se corten en el punto (e2, 2/e2) y tengan en él la misma recta tangente. Sol: a = -1/e2, b = 4/e2. 18. Siendo f(x) = e-x(x2 + 4x + 3) calcula los intervalos en los que f es cóncava y los intervalos en los que f

 

es convexa. Sol: Cóncava en , 3 

3 , . Convexa en  3 , 3 .

19. La curva y = x3 +ax2 +bx +c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c. Sol: a = -2, b = -262/63 y c = 73/21. 20. Halla dos números que sumen 24 y que el producto de uno por el cuadrado del otro se máximo. Sol: 8, 16. 21. Entre todos los rectángulos de perímetro 36 m, halla el que tenga área máxima. Sol: Cuadrado de lado 9 m.

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22. Tenemos un cart贸n de 16 dm. de lado. Halla el lado del cuadrado que hay que cortar en sus cuatro esquinas para poder formar una caja abierta de volumen m谩ximo. Sol: 8/3 dm.

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U⌀ℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎⇝≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∊∃ A⨯Bεαβηθλμξσφφδεε ·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂i26∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅ ♫♯⨁⨂✘✔×

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Derivadas. Aplicaciones