Função Afim
FUNÇÃO AFIM Uma
função f: IR em IR recebe o nome de função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x)=ax+b,para cada x € IR associa o elemento (ax + b) € IR em que a ≠ 0 e b são números reais dados. f(x) = ax + b onde a ≠ 0 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante. Veja alguns exemplos de funções afim: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 http://matematicalicenciatura2.blogspot.com.b r
GRÁFICO “O gráfico cartesiano da função f(x) = ax + b (a ≠ 0) é uma reta” Exemplo: construir o gráfico da função f(x) = 2x + 1
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua, para obter os pontos vamos atribuir a x dois valores distintos e calcular os correspondentes valores de y
a)Para x = 0, temos f(x) = 2 · 0 + 1 = 1 b) Para x = 1, temos f(x) = 2. 1 + 1 = 3
y
x f(x) = 2x + 1 0 1
y
3 2
f(0) = 2·0+1 1 f(1)= 2. 1 + 3 gráfico é uma 1
1
O reta que passa pelos pontos (0 ,1) e (1, 3)
1
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x
COEFICIENTE ANGULAR E LINEAR O
coeficiente “a” da função f(x) = ax +b é denominado coeficiente angular da reta representada no plano cartesiano O coeficiente “b” da função f(x) = ax + b é denominado coeficiente linear. Exemplo: Na função y = 2x + 1 o coeficiente angular é 2 e o coeficiente linear é 1. Observe que se x = 0, temos y = 1. Portanto, o coeficiente Linear é a ordenada do ponto que a reta corta o eixo y http://matematicalicenciatura2.blogspot.com.b r
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO Zero de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é f(x)=0. Assim, para determinarmos o zero da função afim, basta resolver a equação do 1º grau ax + b = 0
Vejamos alguns exemplos: 1- Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: f(x) = 0 2x - 5 = 0 2- o zero da função f(x) = 2x – 1 é x= ½ pois fazendo 2x – 1 = 0, vem x= ½ . http://matematicalicenciatura2.blogspot.com.br
Podemos interpretar o zero da função afim como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo dos x Exemplo : Fazendo o gráfico da função f(x) = 2x – 1 Podemos notar que a reta intercepta o eixo dos x em x = ½ isto é, no ponto (1/2, 0).
y
x f(x)= 2x - 1
y
0
f(0)= 2.0 - 1
-1
1
f(1)= 2.1 - 1
1
1
(1, 1) 1 (1/2, 0) -1 (0, -1)
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x
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Função Crescente: A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo Ex: 2x + 1 (a > 0) Sabemos que a função é crescente quando aumentamos o valor atribuído a x, o valor de y também aumenta
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-10
-7
-4
-1
2
5
8
Função Decrescente: A função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo Ex: -2x + 1 (a < 0); Sabemos que a função é decrescente quando aumentamos o valor atribuído a x, o valor de y diminui
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
8
5
2
-1
-4
-5
-10
y diminui http://matematicalicenciatura2.blogspot.com.br
GRÁFICOS DAS FUNÇÕES CRESCENTE E DECRESCENTE
Função crescente f(x) = 2x + 1 (a > 0);
y 3 2
x
f(x)= 2x + 1
y
1
0
f(0)= 2.0 + 1
1
0
1
f(1)= 2.1 + 1
3
1
Função decrescente F(x)= -2x + 1 (a < 0);
x
y 1
x f(x)= -2x + 1 y 0
f(0)= -2.0 + 1
1
1
f(1)= -2.1 + 1
-1
1 -1
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x
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO
Estudar o sinal de uma função qualquer, y = f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo(y>0), os valores de x para os quais y é zero(y=0) e os valores de x para os quais y é negativo (y<0). Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz .
Há dois casos possíveis:
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1º) a > 0 (a função é crescente) y > 0 ax + b > 0 x > y < 0 ax + b < 0 x < Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de menores que a raiz.
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2º) a < 0 (a função é decrescente) y > 0 ax + b > 0 x < y < 0 ax + b < 0 x > Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.
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BIBLIOGRAFIA
Matemática Completa – 2º grau – 1ª série (Giovanni, Bonjorno)
Fundamentos da Matemática Elementar – volume 1 (Gelson Iezzi, Carlos Murakami)
Matemática - Volume Único (Marcondes Gentil Sérgio)
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EXERCICIOS
1ª) Descobrir a função do 1º grau que contém os pontos (3,9) e (5,13) .
Solução: A função do 1º grau tem a forma y = ax + b . Vamos substituir nessa expressão os dois dados. Substituindo ( 3,9 ) 9 = a . 3 + b Substituindo (5 , 13 ) 13 = a . 5 + b Organizando essas equações, temos um sistema : 3a + b = 9 5a + b = 13 Para resolver, vamos trocar os sinais da primeira equação e depois somar : 3 a + b = 9 . (-1) 5 a + b =13 -3 a – b = - 9 5 a + b = 13 2a=4 a=2
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Substituindo a = 2 na primeira equação temos - 3 . 2 + b = -9 b = - 9 + 6 b = 3 Logo a função procurada e y = 2.x + 3 2º) Determine a função afim f(x) = ax + b, sabendo que f(1) = 5 e f(–3) = –7. Solução: f(1) = 5 f(1) = a * 1 + b 5=a+b a+b=5 f(–3) = –7 f(–3) = a * (–3) + b f(–3) = –3a + b –3a + b = –7 http://matematicalicenciatura2.blogspot.com. br
Sistema de equações a+b=5 -3a + b = - 7 Isolando a na 1º equação a+b=5 a=5–b Substituindo o valor de a na 2º equação –3a + b = –7 –3 * (5 – b) + b = –7 –15 + 3b + b = –7 4b = –7 + 15 4b = 8 b = 2 http://matematicalicenciatura2.blogspot.com. br
Substituindo o valor de b na 1º equação a=5–b a=5–2 a=3 A função será definida pela seguinte lei de formação: f(x) = 3x + 2.
3º) Dado o gráfico da função de ℝ em ℝ, escreva a função f(x) = ax + b correspondente.
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Solução : Para encontrarmos a função necessitamos de dois pontos. Olhando o gráfico podemos observar que os pontos onde a reta corta os eixos x e y são fáceis de determinar sua coordenada. Assim os pontos, cujos pares ordenados são (–3,0) e (0,4), pertencem à reta. Temos que encontrar os valores de a e b. Necessitamos construir um sistema de equações com duas variáveis. 0 = -3a + b (I) 4 = 0a + b (II) Na segunda equação temos que b = 4, então substituímos o valor de b na primeira temos 0= - 3a + 4 a= 4/3 Substituindo os valores de a e b em f(x) = ax + b encontramos f(x) = 4/3x + 4 http://matematicalicenciatura2.blogspot.com.br
4º)Uma firma que conserta televisores cobra de visita uma taxa fixa de R$40,00 mais R$10,00 por hora de mão-de-obra. Sabendo-se que o preço a ser pago pelo conserto de um televisor é dado em função do número de horas de trabalho, encontre sua lei de formação. Quanto pagará um cliente por um conserto que durou 3 horas para ser realizado? Solução: Há a cobrança de uma taxa de visita (R$40,00), valor este que independe do tempo do conserto do televisor. Esta taxa é o termo constante b. A variável x será o tempo do conserto, assim, o valor de a (coeficiente de x) será igual a R$10,00 (valor cobrado por hora de mão-de-obra) A lei de formação ou função f(x) será o valor a ser pago por um conserto. http://matematicalicenciatura2.blogspot.com.br
Assim, a lei de formação será dada pela expressão f(x) = 10x + 40 Um cliente gastará por 3 horas de conserto o valor de: f(3)=10.3+40 f(3)= 10 . 3+40 f(3) = 30+40 f(3) = 70
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