CapĂtulo 4
Inecuaciones y Valor Absoluto 4.1 Inecuaciones con una IncĂłgnita Ejemplos 1. ÂżPara quĂŠ valores de x es x2 2. ÂżPara quĂŠ valores de x es x2
0?
Resp: sĂłlo x = 0.
1 > 0? x < 1 Ăł x > 1, tambiĂŠn podemos escribir esta respuesta como fx 2 R j x < 1g [ fx 2 R j x > 1g. ÂżPara quĂŠ valores de x es x2 + 1 0? Resp: Ninguno. Resp:
3.
En general decimos que expresiones como las anteriores, que involucran alguno de los signos <, >, o , definen una inecuaciĂłn, y queda entendido que, hay que hallar aquellos valores de x que
verifican la desigualdad planteada. Las inecuaciones representan conjuntos. En este capĂtulo queremos ÂŤresolverÂť inecuaciones expresando dichos conjuntos como ÂŤuniones de intervalosÂť y preferentemente como la uniĂłn de la menor cantidad posible de intervalos. Para resolver inecuaciones hay que tener muy presente las propiedades de la relaciĂłn de orden en R, con respecto a las operaciones aritmĂŠticas que estudiamos antes: si a; b; c son nĂşmeros reales
a b $ a+c b+c a < b $ a+c < b+c
Si c 0; a b; entonces; ac bc Si c 0; a b; entonces; ac bc
2 1. ÂĄPeligro! No hay que caer en la tentaciĂłn de x 2 escribir: x 1 ! 2 x, luego fx 2 R j x 2g es la soluciĂłn, porque no sabemos a priori si x es positivo o negativo, luego no sabemos si la desigualdad va a cambiar de sentido al multiplicar por x. Una manera de resolver esta dificultad es: Ejemplo: Resolver la inecuaciĂłn
2 x 1 ! 2 x: 2 Si x < 0entonces 1 ! 2 x: x Si x > 0entonces
En efecto, por la cuarta propiedad arriba, y suponiendo x < 0, esta parte de la soluciĂłn se obtiene intersectando x 2 con x < 0 por lo que resulta x < 0 . Luego la soluciĂłn completa que abarca ambos casos es
f g
f
g
fx 2 R j x 2g [ fx 2 R j x < 0g;
f
g