212
Derivadas Todas las funciones elementales que se han estudiado hasta ahora son derivables infinitas veces con excepción, quizás, de algunos puntos aislados de su dominio.
Ejemplos 1. Si f es un polinomio,
2.
f (x) = an xn + an 1 xn 1 + + a1 x1 + a0 ; es fácil probar, derivando sucesivas veces, que si 1 k n, entonces f (k) (x) = n(n 1)(n 2) (n k + 1)an xn + k!ak ; si k > n, entonces f (k) 0. Así que todo polinomio es infinitamente derivable. Si f (x) = senx, entonces, f 0 (x) = cos x, f 00 (x) = senx, f 000 (x) = cos x, f (4) (x) = senx y de aquí en adelante estas cuatro funciones se repiten periódicamente.
3. La función f (x) por la fórmula
= px, es derivable en fx 2 Rjx > 0g, no lo es en 0.
Sus derivadas se calculan
(x )0 = x 1 ;
así que:
f 0 (x) =
px 0 = 1 x
f 00 (x) =
px 00 = 1 x 32 = p1 3 4
2
12
= 2p1 x ;
4 x
2 N: p f (k) (x) = x (k) = 21 ( 12 1) ( 21 k + 1) x
y, en general, para k
2k 1 2 :
Es claro que la función es infinitas veces derivable para todo x > 0.
Ejercicios 1. Determinar si las siguientes funciones son derivables en los puntos indicados:
2.
1 si x < 0 x 1 si x 2 x = 0 2 px x 42 sisi xx < 22 x = 2 (b) f (x) = x2 9 si x < 3 x = 3 (c) f (x) = 6x + 18 si x 3 x 2 si x < 0 x = 0 (d) f (x) = 2 x si x 0 2 x + 1 si x < 1 (e) f (x) = 1 x2 si x 1 x = 1 5 6x si x 3 x = 3 (f) f (x) = 4 x2 si x > 3 Hallar los valores de a y b para que las siguientes funciones sean derivables en el punto indicado. x2 si x < 1 x = 1 (a) f (x) = ax + b si x 1 ax + b si x < 2 (b) f (x) = 2x2 1 si x 2 x = 2 (a)
f (x) =
3. gráfica de las siguientes funciones en los puntos que se indican: