10.6 Sucesiones
147
y
" -)
(
0
1
0
(
1
1
1
y
" -)
0
1
0
0
(
1
y
" -) 0
"0 = 12 j 1 yj o bien "0 = 12 j1 yj Figura 10.15 La sucesiĂłn f(
1)n g: elecciĂłn de "0
n para garantizar que sea n+1 1 < ", para todo n N , bastarĂĄ tomar N n 1 1 ( n+1 1 = n+1 < " para todo n N con N1+1 < "). N +1 Pasemos a considerar las sucesiones y n y zn dadas al comienzo, i.e.,
j
j
yn = ( 1)n ;
j
j
f g f g
2 N tal que N1+1 < "
zn = 2n + 1:
f g
La figura 10.13 en la pĂĄgina 146 muestra que los tĂŠrminos de la sucesiĂłn yn oscilan entre 1 y 1, y cuando n segĂşn sea n impar o par. Podemos establecer que no existe ningĂşn y R tal que y n . Para ello debemos tener presente que lo que queremos ver es que algĂşn intervalo que contiene a y excluye a un nĂşmero infinito de tĂŠrminos o, dicho de otra manera, a algĂşn tĂŠrmino que no corresponde a ninguno de los primeros N 1 tĂŠrminos, sin importar cuĂĄl sea N . Formalmente: que no sea cierto que ÂŤ lim yn = y Âť significa que no es cierto que ÂŤdado cualquier
2
1
n!1
!
!
" > 0, existe N 2 N tal que j yn y j< " para todo n N Âť . Debemos pues demostrar que existe "0 > 0 tal que, cualquiera que sea N 2 N, existe n0 tal que n0 N y, sin embargo, j yn0 y j "0 . Si y = 1, estĂĄ claro que si el intervalo I = ( 1 "0 ; 1 + "0 ) no contiene al nĂşmero 1, entonces tampoco contiene a los tĂŠrminos yn para n par; analogamente, si y = 1 y el intervalo I = (1 "0 ; 1+ "0 ) no contiene al nĂşmero 1, entonces tampoco contiene a los tĂŠrminos yn con n impar. Esto sugiere elegir, en cualquiera de los dos casos, por ejemplo, " 0 = 1: si y = 1, entonces, para cualquier N 2 N, y j=j 1 ( 1) j= 2 > 1 = "0 ; si vemos que n0 = 2N verifica que n0 = 2N > N y j yn0 y = 1, entonces, para cualquier N 2 N, vemos que n0 = 2N + 1 verifica que n0 = 2N + 1 > N y j yn0 y j=j 1 1 j= 2 > 1 = "0 . Si y es cualquier nĂşmero real distinto de 1 y 1, entonces elegimos " 0 > 0 tal que ni 1 2 (y "0 ; y + "0 ) ni 1 2 (y "0; y + "0), tal como indica la figura 10.15 . Para nuestra elecciĂłn de "0 , estĂĄ claro que, cualquiera que sea N 2 N, si n 0 = 2N , entonces n0 = 2N > N e yn0 = 1 62 (y "0 ; y + "0 ), de modo que j yn0 y j=j 1 y j "0 . La figura 10.13 sugiere que los tĂŠrminos de la sucesiĂłn fz n g se hacen mĂĄs y mĂĄs grandes a medida que n se hace mĂĄs y mĂĄs grande. MĂĄs precisamente, fijemos un nĂşmero K > 0. Si elegimos K = 1, entonces todos los tĂŠrminos zn verifican que zn > K . Si elegimos K = 10, entonces solamente los tĂŠrminos z1 = 3; z2 = 5; z3 = 7 y z4 = 9 no son mayores que K, pero todos los tĂŠrminos de z 5 en adelante son mayores que K . Si elegimos K = 100000, entonces z n > K , para todo n 50000. Evidentemente, el razonamiento vale para cualquier nĂşmero positivo K : en lo que elijamos un nĂşmero K > 0, no importa cuan grande, podemos encontrar un nĂşmero N 2 N tan grande como para que sea 2N + 1 > K; de donde resulta que todos los tĂŠrminos z n de la sucesiĂłn para los cuales n N verifican zn > K (lo expuesto aquĂ se ilustra para K = 10 en la figura 10.16 en la pĂĄgina 148 ).