ANA I - 9 - Integralrechnung - Teil2 by Max Meckler

Analysis 1 Integralrechnung

Das unbestimmte Integral Problemstellung Integralfunktion Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Stammfunktion Stammfunktion und best. Integral Abschnittsweise stet. f Unbestimmtes Integral Bekannte Integrale

Analysis 1 Integralrechnung

Integrationsmethoden LinearitÂ¨ at R f 0 /f Partielle Integration Substitutionsregel A Substitutionsregel B Substitution und best. Integral

Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

14. Dezember 2009

Analysis 1 Integralrechnung

Integrationsmethoden LinearitÂ¨ at R f 0 /f Partielle Integration Substitutionsregel A Substitutionsregel B Substitution und best. Integral

Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Das unbestimmte Integral

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Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel Problem: Wie kann man aus dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v = v(t) eines Autos dessen zurÂ¨uckgelegten Weg s = s(t) gewinnen?

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Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Definition (Integralfunktion)

Sei f : [a, b] → integrierbar u¨ber [a, b]. Wir definieren F : [a, b] → durch Z x F (x) = f (t)dt.

R a

F heißt Integralfunktion zu f .

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Bemerkung Das unbestimmte Integral Problemstellung Integralfunktion Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Stammfunktion Stammfunktion und best. Integral Abschnittsweise stet. f Unbestimmtes Integral Bekannte Integrale

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Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

(i) In der Definition bezeichnen wir die Integrationsvariable mit t, damit keine Verwechslung mit der oberen Integrationsgrenze x auftritt. (ii) F (a) = 0. (iii) F¨ur jedes c ∈ [a, b] heißt auch Z x G(x) = f (t)dt c

(eine) Integralfunktion f¨ur f .

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)

Sei f : [a, b] → stetig. Dann ist F : [a, b] → mit Z x F (x) = f (t)dt

differenzierbar und es gilt F 0 = f, also F 0 (x) = f (x) f¨ur alle x ∈ [a, b].

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Bemerkung (i) Immer ist - f¨ur integrierbares f - die Integralfunktion F stetig auf [a, b]. (ii) Ist f¨ur ein c ∈ [a, b] die Funktion G definiert durch Z x f (t)dt, G(x) = c

so folgt f¨ur stetiges f ebenfalls G0 = f .

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Bemerkung Die Integralfunktion F löst unser Flächenproblem und für stetiges f gilt F 0 = f .

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Frage: L¨ost irgendeine Funktion G mit G0 = f vielleicht ebenfalls das Fl¨achenproblem?

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Definition

Sei I ein Intervall, f : I → . Eine differenzierbare Funktion F : I → mit

F 0 = f ( also F 0 (x) = f (x) f¨ur alle x ∈ I ) heißt Stammfunktion von f (auf I).

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel (i) Ist f stetig, I ein abgeschlossenes Intervall, so sagt der Hauptsatz, dass z.B. jede Integralfunktion zu f eine Stammfunktion zu f ist. 1 . (ii) Sei f : (1, ∞) → , f (x) = (1 − x)2 Dann sind

R G : (1, ∞) → R

F : (1, ∞) →

1 und 1−x x mit G(x) = 1−x

mit F (x) =

beide Stammfunktionen zu f .

Analysis 1 Integralrechnung

Satz (i) Ist F eine Stammfunktion von f auf I, so ist f¨ur jede Konstante c ∈ auch

F +c

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eine Stammfunktion von f . (ii) Sind F, G Stammfunktionen von f auf I, so gibt es eine Konstante c ∈ mit

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

F = G + c.

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel 1 (i) Wir wissen: F, G mit F (x) = und 1−x x G(x) = sind Stammfunktionen 1−x einer Funktion f . (ii) F, G : → mit cos 2x F (x) = sin2 x, G(x) = − sind 2 Stammfunktionen zu f (x) = sin 2x.

R R

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Satz

Sei f : [a, b] → stetig und F eine beliebige Stammfunktion von f auf [a, b]. Dann gilt Z b f (x)dx = F (b) − F (a). a

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Bemerkung (i) Die Ermittlung des bestimmten Integrals ist f¨ur stetige f zu bew¨altigen durch das Auffinden einer Stammfunktion. (ii) Schreibweisen: b

Z a

f (x)dx = F (x)|ba = [F (x)]ba = F (b) − F (a).

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Bemerkung (Teil 2) (iii) Ist G irgendeine Stammfunktion von f , so folgt f¨ur die Integralfunktion: Z x f (t)dt = G(x) − G(a). F (x) = a

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel Z Gesucht ist a

(i) n ≥ 0 (ii) n < −1 (iii) n = −1

xn dx, n ∈ .

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Bemerkung (i) Klar: Ist G irgendeine Stammfunktion zu stetigem f , so erhalten wir die Integralfunktion aus Z x F (x) = f (t)dt = G(x) â&#x2C6;&#x2019; G(a). a

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Bemerkung (ii) Frage: Wie erhalten wir die Integralfunktion, wenn f nur abschnittsweise stetig ist? Beispiel: f : [1, 4] → mit   1 für x ∈ [1, 2) f (x) = 2 für x ∈ [2, 3)  3 für x ∈ [3, 4].

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Definition (Unbestimmtes Integral) Das unbestimmte Integral Problemstellung Integralfunktion Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Stammfunktion Stammfunktion und best. Integral Abschnittsweise stet. f Unbestimmtes Integral Bekannte Integrale

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Sei I ein Intervall, f : I → . Die Menge aller Stammfunktionen zu f heißt unbestimmtes Integral von f . Man schreibt Z Z f (x)dx oder f Ist F Stammfunktion zu f , so schreibt man Z Z f (x)dx = F + c oder f =F +c

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Beispiel

Z sin = − cos +c Z

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

1 x2 dx = x3 + c 3

Aber: Z

sin xdx =? 0

Z 0

x2 dx =?

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Satz Es gilt: Z 1 a+1 x + c, a ∈ xa dx = a + 1 Z 1 dx = ln |x| + c x Z ex dx = ex + c Z sin = − cos +c Z cos = sin +c Z tan = − ln |cos| + c

R \ {−1}

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Satz (Teil 2)

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Z cot = ln |sin| + c Z

1 = tan +c 2 cos Z 1 2 = − cot +c sin Z 1 dx = arctan + c = −arccot + c 2 1 + x Z 1 √ dx = arcsin +c = − arccos +c 1 − x2

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Integrationsmethoden

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Satz

SeienZf, g stetig auf Z I, c ∈Z . Dann gilt (i) (f + g) = f + g Z Z (ii) (cf ) = c · f .

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Satz Sei I ein Intervall, f ∈ C 1 (I) und f (x) 6= 0 f¨ur x ∈ I. Dann: Z 0 f = ln |f | + c. f

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel Z

x dx. 4x2 + 8 Z 5 1 (ii) dx. e x ln x (i)

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Satz (Partielle Integration) Sei I ein Intervall und seien f, g ∈ C 1 (I). Dann gilt Z Z f 0 · g = f · g − f · g0.

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Beispiel Z x 路 sin xdx

(i) Z (ii)

x2 路 ex dx

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Z (iii)

ln xdx Z

(iv)

ex 路 sin xdx

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Folgerung F¨ur f, g ∈ C 1 [a, b] folgt Z a

Z b

b f (x)g(x)dx = f (x)g(x) a − f (x)g 0 (x)dx. 0

Analysis 1 Integralrechnung

Satz (Substitutionsregel, Variante A) Sei I ein Intervall, g ∈ C 1 (I), f ∈ C 0 (g(I)). Dann gilt mit der Stammfunktion F zu f : Z (f ◦ g) · g 0 = F ◦ g + c

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

mit anderen Worten Z Z

0 f (g(x)) · g (x)dx = f (y)dy y=g(x)

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Bemerkung (i) Die Substitutionsregel in Variante A wird von links nach rechts angewendet. (ii) Mit der Schreibweise y = g(x) bzw. dy ergibt sich g 0 (x) = dx Z Z dy 0 f (g(x)) 路 g (x)dx = f (y) 路 dx dx Z

= f (y)dy y=g(x)

= F (y) y=g(x) + c

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel Z (i)

cos(x2 ) · 2xdx

Z (ii)

sin(ωt + ϕ)dt Z

(iii)

cos2 x · sin xdx

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Bemerkung Manchmal wird die Substitutionsregel auch von rechts nach links angewendet, wenn das dort auftretende Integral einfacher zu l¨osen ist. Daf¨ur nimmt man dann das Auftauchen der inneren Ableitung im Integranden in Kauf.

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel Z √

dx, x ≥ 0

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Satz (Substitutionsregel, Variante B) Ist I ein Intervall, g ∈ C 1 (I) injektiv, f ∈ C 0 (g(I)), so gilt Z Z

f (x)dx = f (g(y)) · g 0 (y)dy y=g−1 (x) . |{z} | {z } x

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Bemerkung g muss injektiv sein, damit der Ersatz x = g(y) bzw. wieder r¨uckw¨arts y = g −1 (x) gelingt.

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel Z

√ x x + 1dx

(i) y = x + 1 √ (ii) y = x + 1

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Bemerkung Beim Lösen eines bestimmten Integrals kann man so vorgehen: Substitution, Integral lösen, Rücksubstitution, Alte Grenzen einsetzen. Alternativ - was oft zeitsparend ist - kann man die Grenzen mittransformieren und die Rücksubstitution sparen.

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Satz (Zur Substitutionsregel A) Sei g : [a, b] → f : g([a, b]) → Z

R stetig differenzierbar, R stetig. Dann gilt

b 0

g(b)

f (g(x)) · g (x)dx = a

f (y)dy g(a)

= F (g(b)) − F (g(a)).

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel Z 3

â&#x2C6;&#x161;

x dx 1 + x2

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Integration rationaler Funktionen

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Bemerkung Ziel ist die Integration von Funktionen r=

p q

mit Polynomen p, q. Sonderf¨alle: Z A A 1 (i) dx = · +c n (x − a) n − 1 (x − a)n−1 n Z > 1. A (ii) dx = A · ln |x − a| + c. (x − a) Z A 1 x (iii) dx = A · · arctan + c. a2 + x2 a a

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Bemerkung Fahrplan: (i) Eventuell: Polynomdivision, damit r = pq echt gebrochen ist (ii) Nennerpolynom q zerlegen in lineare und quadratische Faktoren (iii) Parialbruchzerlegung von r (iv) Integration der PartialbrÂ¨uche

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Bemerkung (Faktorisierung) Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom q ist zerlegbar in die Form c(x − a1 ) . . . (x − am )· · (x2 + b1 x + c1 ) . . . (x2 + bn x + cn )

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

wobei die quadratischen Faktoren keine reellen Nullstellen besitzen. Zusammenfassen gleicher Faktoren ergibt Terme (x − a)k und (x2 + bx + c)l , k, l ∈

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel (i) q(x) = x3 − x2 − x + 1 = (x + 1)(x − 1)2 . (ii) q(x) = x4 + x3 − 2x = x(x − 1)(x2 + 2x + 2).

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Satz (Partialbruchzerlegung)

p Sei wieder r = , grad(p) < grad(q). q (i) Zu jedem Faktor (x − a)k in der Zerlegung von q geh¨ort zu r eine Summe A1 A2 Ak + + . . . + x − a (x − a)2 (x − a)k mit zu bestimmenden Konstanten A1 , . . . , A k .

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Satz (Partialbruchzerlegung - 2) (ii) Zu jedem Faktor (x2 + bx + c)l geh¨ort eine Summe

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

B1 x + C1 Bl x + Cl + . . . + x2 + bx + c (x2 + bx + c)l mit Konstanten B1 , . . . , Bl und C1 , . . . , C l . Nun ist r darstellbar als Summe aller Ausdr¨ucke aus (i) und (ii).

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel

x4 p˜(x) = r˜(x) = q(x) x3 − x2 − x + 1

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel

x3 x3 = r(x) = 4 x + x3 − 2x x(x − 1)(x2 + 2x + 2)

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Bemerkung Nach allem müssen nur noch folgende Integrale Z gelöst werden: p(x)dx, für ein Polynom p,

(i)

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

A dx, k ∈ , (x − a)k Z Bx + C (iii) dx, l ∈ (x2 + bx + c)l (ii)

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Satz Es giltZ A dx = A · ln |x − a| + c, (i) x − a Z A A 1 (ii) dx = − · , (x − a)k k − 1 (x − a)k−1 k ≥ 2.

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Satz Es giltZ (i)

Bx + C dx = x2 + bx + c

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

B · ln(x2 + bx + c) 2 2x + b 2C − Bb · arctan( √ ), +√ 4c − b2 4c − b2

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Satz (Teil 2) Z (ii)

Bx + C dx = (x2 + bx + c)l B 2(l − 1)(x2 + bx + c)l−1 Z 1 1 + (C − Bb) · dx, 2 2 (x + bx + c)l l≥2

=−

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Satz (Teil 3) (ii) .Z. . sowie

1 dx = (x2 + bx + c)l

1 · (R + S) mit (l − 1)(4c − b2 ) 2x + b R= 2 , (x + bx + c)l−1 Z 1 S = (4l − 6) dx, (x2 + bx + c)l−1 l ≥ 2. =

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel Wir hatten x4 = r˜(x) = 3 x − x2 − x + 1 2x2 − 1 =x+1+ 3 und 2−x+1 x − x | {z } r(x)

r(x) =

1 4

x+1

7 4

x−1

1 2

(x − 1)2

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Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel Wir hatten x3 r(x) = 4 x + x3 − 2x 1 2 2x + 1 = 5 + · 2 . x − 1 5 x + 2x + 2

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Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale

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Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel f:

R → R mit f (x) = e−x

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2 Das unbestimmte Integral Problemstellung Integralfunktion Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Stammfunktion Stammfunktion und best. Integral Abschnittsweise stet. f Unbestimmtes Integral Bekannte Integrale

1.5

f ( x)

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Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

0.5

0 0.5 − 0.5

0.5

1.5

2.5

3 3

−x

Abbildung: f (x) = e

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Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel f : (0, ∞) →

R mit f (x) = x1

x Analysis 1 Integralrechnung

1.5

f ( x)

Integrationsmethoden LinearitÂ¨ at R f 0 /f Partielle Integration Substitutionsregel A Substitutionsregel B Substitution und best. Integral

Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

0.5

0 0 0

0.5

1.5

2.5

Abbildung: f (x) =

3.5

4 4

1 x

Analysis 1 Integralrechnung

Integrationsmethoden Linearit¨ at R f 0 /f Partielle Integration Substitutionsregel A Substitutionsregel B Substitution und best. Integral

Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel f : [0, 1) →

R mit f (x) = √11− x

Analysis 1 Integralrechnung

f ( x)

Integrationsmethoden

Linearit¨ at R f 0 /f Partielle Integration Substitutionsregel A Substitutionsregel B Substitution und best. Integral

Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

0 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

Abbildung: f (x) =

1 1

√1 1−x

Analysis 1 Integralrechnung

Integrationsmethoden LinearitÂ¨ at R f 0 /f Partielle Integration Substitutionsregel A Substitutionsregel B Substitution und best. Integral

Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel f : (0, 1] â&#x2020;&#x2019;

R mit f (x) = x1

Analysis 1 Integralrechnung

f ( x)

Integrationsmethoden

LinearitÂ¨ at R f 0 /f Partielle Integration Substitutionsregel A Substitutionsregel B Substitution und best. Integral

Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

0 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

Abbildung: f (x) =

1 1

1 x

Analysis 1 Integralrechnung

Integrationsmethoden Linearit¨ at R f 0 /f Partielle Integration Substitutionsregel A Substitutionsregel B Substitution und best. Integral

Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Bemerkung In unseren Beispielen treten zwei Fälle auf: (i) Integrale u¨ber nicht endlichen Intervallen, (ii) Integrale von nicht beschränkten Funktionen. In beiden Fällen spricht man von uneigentlichen Integralen.

Analysis 1 Integralrechnung

Definition Das unbestimmte Integral Problemstellung Integralfunktion Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Stammfunktion Stammfunktion und best. Integral Abschnittsweise stet. f Unbestimmtes Integral Bekannte Integrale

Integrationsmethoden Linearit¨ at R f 0 /f Partielle Integration Substitutionsregel A Substitutionsregel B Substitution und best. Integral

Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

(i) Sei f integrierbar u¨ber jedem Intervall [a, t] mit t ∈ (a, ∞). Existiert der Grenzwert Z t I = lim f (x)dx, t→∞

so heißt I das uneigentliche Integral von f u¨ber [a, ∞), man schreibt dann Z ∞ I =: f (x)dx. a

Analysis 1 Integralrechnung

Integrationsmethoden Linearit¨ at R f 0 /f Partielle Integration Substitutionsregel A Substitutionsregel B Substitution und best. Integral

Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Definition (Teil 2) (i) Analog definiert man - wenn die Grenzwerte existieren Z a Z a f (x)dx := lim f (x)dx t→−∞

−∞

und Z +∞

f (x)dx := −∞

−∞

∞

Z f (x)dx+

f (x)dx a

Achtung: Im letzten Fall sind beide uneigentlichen Integrale (beide Grenzwerte) getrennt zu bilden.

Analysis 1 Integralrechnung

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Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Definition (Teil 3)

(ii) Ist f : [a, b) → integrierbar u¨ber jedem Intervall [a, t] ⊂ [a, b), so heißt im Falle der Existenz des Grenzwertes Z b Z t f (x)dx := lim− f (x)dx a

t→b

das uneigentliche Integral von f u¨ber [a, b).

Analysis 1 Integralrechnung

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Definition (Teil 4) (ii) Analog definiert man f¨ur f : (a, b] → b

Z a

Z f (x)dx := lim+

Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

f (x)dx := lim−

f (x)dx

t→x0

Z + lim+ t→x0

R, x0 ∈ [a, b], t

Integration rationaler Funktionen

f (x)dx

t→a

und f¨ur f : [a, b] \ {x0 } → Z

f (x)dx. t

Wieder Grenzwerte getrennt bilden!

Analysis 1 Integralrechnung

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Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel f:

R â&#x2020;&#x2019; R mit f (x) = 1 +1 x2

Analysis 1 f ( x ) := 2 Integralrechnung 1+x

0.8

0.6 f ( x) 0.4

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Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

0.2

0 4 â&#x2C6;&#x2019;4

Abbildung: f (x) =

4 4

1 1+x2

Analysis 1 Integralrechnung

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Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel f : [−1, 1] \ {0} →

R mit f (x) = p1|x|

Analysis 1 Integralrechnung

f ( x)

Integrationsmethoden Linearit¨ at R f 0 /f Partielle Integration Substitutionsregel A Substitutionsregel B Substitution und best. Integral

Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

0 1 −1

0.5

1 1

Abbildung: f (x) = √1

|x|

Analysis 1 Integralrechnung

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Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

Beispiel f : [−1, 1] \ {0} →

R mit f (x) = x12

x Analysis 1 Integralrechnung

f ( x)

Integrationsmethoden LinearitÂ¨ at R f 0 /f Partielle Integration Substitutionsregel A Substitutionsregel B Substitution und best. Integral

Integration rationaler Funktionen Problemstellung Partialbruchzerlegung Teilintegrale

Uneigentliche Integrale Problemstellung Uneigentliche Integrale

0 1 â&#x2C6;&#x2019;1

0.5

Abbildung: f (x) =

1 1

1 x2