Universidad Centroccidental “Lisandro Alvarado” Decanato de Ingeniería Civil Departamento de Ciencias Básicas
Técnica de Integración Integración por Sustitución Trigonométrica El método de la sustitución trigonométrica se usa para resolver integrales en que aparezcan los radicales
a 2 u2 ,
a 2 u2 y
u 2 a 2 . Su
objetivo principal consiste en eliminar los radicales del integrando. Los tres casos estudiados a continuación dependen, respectivamente de las identidades fundamentales:
sen 2 x cos 2 x 1 tan 2 x 1 sec 2 x
Caso 1 Integrando que contienen
Si se hace u = a sen ,
2
2
a 2 u2 , a > 0
, entonces:
a 2 u 2 a 2 a 2 sen 2
a 2 (1 sen 2 ) u
a 2 cos2
a
a cos
2
a -u
2
La restricción sobre , positiva para
2
2
, nos permite elegir la raíz cuadrada
a 2 u 2 y permite que el sen sea invertible, es decir podemos
1 calcular: sen
u a
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Unidad I: La Integral Indefinida
2
Caso 2 Integrando que contiene
u2 a 2 , a > 0
Supongamos que u=a sec , en donde 0
2
y
3 , entonces: 2
u 2 a 2 a 2 sec2 a 2
a 2 (sec 2 1)
u
u2 a 2
a 2 tan 2
atan
a
Como 0
y
2
3 u , la existencia de sec1 está garantizada. 2 a
Caso 3 Integrando que contiene
a 2 u2 , a > 0
Haciendo la sustitución u a tan , en donde
a 2 u2
a
2
2
2
2
, se tiene,
a 2 u 2 a 2 a 2 tan2
u
Como
, la existencia de tan n 1
a 2 (1 tan 2 ) a 2 sec 2
a sec u está asegurada. a
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Unidad I: La Integral Indefinida
3
Observaciones 1. Completando el cuadrado, es posible expresar un integrando que contenga una expresión cuadrática en una de las formas siguientes: a2 + u2, a2 – u2, o bien u2 – a2. 2. En resumen, existen tres sustituciones trigonométricas básicas: Si la integral contiene
entonces se sustituye
y se utiliza la identidad
a2 – u2
u = a sen
1 – sen2 =cos2
a2 + u2
u = a tan
1 + tan2 =sec2
u2 – a2
u = a sec
sen2 - 1 =tan2
Importante Debes
revisar
el
texto
básico
y
complementario
para
mayor
información sobre el tema. Textos Básicos Larson, R. y Hostetler, R. Cálculo y geometría analítica. Madrid, España: McGranw Hill/Interamericana de España, S.A.U. Sáenz, J. Cálculo integral con funciones trascendentales tempranas para ciencias e ingeniería. Barquisimeto, enezuela: HIPOTENUSA. Textos Complementarios Leithold, L. El cálculo con geometría analítica. México: HARLA.
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