Tendencias Matemáticas es una serie académica que orienta y apoya el aprendizaje de la matemática, su estructura conceptual se fundamenta bajo los componentes y competencias específicas del área definidas por el Ministerio de Educación Nacional. El desarrollo de los contenidos integra: Contextos de interés para el estudiante Actividades para desarrollar el razonamiento lógico Información sintetizada para su recordación Retos matemáticos Evaluación continua con preguntas tipo SABER Talleres por competencias
Matemáticas
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Propiedad de la editorial
Esta obra fue concebida y producida por el equipo pedagógico de la Editorial. Dirección general: Patricio Bustos Peñaherrera Autoría y edición: Equipo Editorial Maya Educación Colombia Corrección de estilo: Mábel Tatiana Martínez Vega Coordinación editorial: Evelyn Manya Pupiales Dirección de arte: Paulina Segovia Larrea Diagramación: María José Cantos Sánchez - Andrés Fernández Analuisa Investigación gráfica: Flavio Muñoz Mejía Posproducción: Santiago Carvajal Sulca Ilustración portada: Darío Guerrero Díaz Ilustración: Shutterstock, archivo editorial Fotografía: Shutterstock, archivo editorial © Maya Educación Colombia SAS, 2021 Dirección: Calle 25 b # 37 a - 19, Barrio El Recuerdo Teléfonos: 57 310 346 4345 – 57 316 642 2430 – 59 399 358 6637 info@mayaeducacion.com.co mayaeducacioncolombia@gmail.com mayaediciones@gmail.com www.mayaeducacion.com.co Bogotá, Colombia
Este libro no podrá ser reproducido total o parcialmente por ningún medio electrónico, mecánico, fotocopia o cualquier otro método de reproducción sin previa autorización de la Editorial.
La Editorial incluye en este texto varios URL de sitios web que, en su momento, estaban en pleno funcionamiento; sin embargo, estos podrían haberse eliminado o cambiado por decisión de los creadores de esos portales.
Presentación
Propiedad de la editorial
Querido estudiante: Este libro es una herramienta de aprendizaje para los niños y niñas de Colombia. A partir de sus contenidos y actividades, pondrás en práctica la matemática como ciencia para la resolución de problemas de la vida cotidiana. ¿Has pensado alguna vez qué sería del mundo si no existiera la matemática? Existirían infinitos problemas sin poder resolver, más aún, el hombre no podría haber llegado a la luna. Con la matemática desarrollas tu pensamiento lógico y entrenas a tu cerebro para ser cada vez más potente y hábil en la solución de situaciones problema. Al realizar operaciones, plantear y resolver problemas, adquieres y compartes aprendizajes con tus compañeros de clase. Te invitamos a disfrutar de esta aventura y a emprender un viaje con números, operaciones, figuras y estadísticas.
Shutterstock, (2020). 1130575856 / 1300196395
La Editorial
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Libro Matematica 4 Colombia.indb 1
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8/6/20 2:22 PM
Conoce tu libro Propiedad de la editorial En la apertura de cada unidad encuentras una ilustración y un texto introductorio con lo que podrás “leer las imágenes” e interpretar matemáticamente la realidad. También encontrarás los estándares básicos de competencias a alcanzar durante el desarrollo de cada unidad.
Cada secuencia de aprendizaje inicia con la sección Actívate, que permite activar y relacionar tus experiencias con el aprendizaje matemático. El desarrollo de los contenidos se apoya en fotografías, esquemas e ilustraciones que te harán más divertido el aprendizaje. Cuando lleguemos a una definición o conclusión, la encontrarás en un recuadro que se denomina Recuerda. Recuerda Para evitar confusiones o ambigüedades es necesario establecer un conjunto universal como base de todos los subconjuntos que se van a definir.
La sección Tic en Matemáticas te apoyará con enlaces de Internet para que refuerces tus aprendizajes mediante juegos y retos.
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Propiedad de la editorial
Compruebo mis aprendizajes corresponde a la evaluación de la unidad, dos páginas que proponen actividades para evaluar tus destrezas.
Saber más es una evaluación tipo estandarizada, que te entrenará para las pruebas de Estado.
Unidad Taller aquí pones a prueba lo aprendido, ejercitando el desarrollo de tus competencias matemáticas.
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Tabla de contenidos Propiedad Unidad
1
El universo
6
1 Relaciones de pertenencia
y contenencia ..................................................................... 8
Unidad
2
de la editorial
División de Colombia
60
1 Multiplicación, modelo lineal y grupal ............ 62 2 Propiedad conmutativa
2 Clasificación de conjuntos ...................................... 10
de la multiplicación ..................................................... 66
3 Unión de conjuntos .................................................... 12
3 Propiedad asociativa de la multiplicación ..... 68
4 Intersección de conjuntos ...................................... 14
4 Multiplicación por potencias de 10 ................... 70
5 Sistema de numeración decimal ........................ 16
5 Noción de la división .................................................. 72
6 Números naturales ....................................................... 18
6 División de números naturales ............................. 74
7 Otros sistemas de numeración ............................ 20
7 Prueba de la división ................................................... 76
8 Orden de los números naturales ......................... 22
8 Estimación de cocientes ........................................... 78
9 Adición de números naturales
9 Relación entre la multiplicación
y sus propiedades ......................................................... 26
y la división ....................................................................... 80
10 Resolución de problemas ........................................ 30
10 Criterios de divisibilidad ........................................... 82
11 Sustracción de números naturales .................... 32
11 División por una cifra .................................................. 86
12 Resolución de problemas ........................................ 34
12 Resolución de problemas ........................................ 88
13 Operaciones combinadas: adición
13 División por dos cifras ................................................ 90
y sustracción .................................................................... 36
14 Resolución de problemas ........................................ 92
14 Estimación y medición de longitudes ............. 40
15 El metro y sus submúltiplos ................................... 94
15 Semirrecta, segmento y ángulo ........................... 42
16 Construcción y medición de ángulos .............. 96
16 Medición de longitudes ........................................... 44
17 Cuadriláteros y su clasificación ............................. 98
17 Perímetro de cuadrados y rectángulos ........... 46
18 Triángulos y su clasificación .................................100
18 Recolección y organización de datos .............. 48
19 Diagrama de barras ...................................................102
19 Frecuencia y moda ....................................................... 50
20 Diagrama de líneas ....................................................104
20 Media y mediana .......................................................... 52
21 Diagramas circulares .................................................106
TIC en Matemáticas .................................................... 54
TIC en Matemáticas ...................................................108
Compruebo mis aprendizajes .............................. 56
Compruebo mis aprendizajes .............................110
Saber más .......................................................................... 58
Saber más ........................................................................112
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Propiedad Unidad
3
Series matemáticas
114
Unidad
4
de la editorial
Las fracciones y los egipcios
168
1 Sucesiones y series .....................................................116
1 Fracciones y decimales ............................................170
2 Sucesiones aritméticas crecientes ....................118
2 Números decimales ..................................................172
3 Sucesiones aritméticas decrecientes ..............120
3 Comparación de números decimales ............174
4 Resolución de problemas ......................................122 5 Sucesiones geométricas .........................................124
4 Aproximación de números decimales ...........176 5 Adición y sustracción de números
decimales..........................................................................178
6 Resolución de problemas ......................................126
6 Multiplicación de números decimales ..........180
7 Mínimo común múltiplo ........................................128
7 División de números decimales ........................182
8 Máximo común divisor ...........................................130
8 Estrategias de cálculo mental
9 Resolución de problemas ......................................132 10 Fracciones en contextos de la vida
cotidiana ...........................................................................134 11 Fracciones para expresar relaciones
entre la parte y el todo ............................................136 12 Fracciones homogéneas
y heterogéneas ............................................................138 13 Fracciones equivalentes .........................................140 14 Fracciones y proporcionalidad ...........................142 15 Fracciones para expresar divisiones ................144 16 Resolución de problemas ......................................146 17 Área de cuadriláteros ................................................148 18 Área de triángulos ......................................................150
para adición y sustracción .....................................184 9 Estrategias de cálculo mental
para multiplicación ....................................................186 10 Estrategias de cálculo mental para división .....188 11 Resolución de problemas con varios
datos y pasos .................................................................190 12 Resolución de problemas que admiten
una, ninguna y varias soluciones ......................192 13 Pares ordenados: diagramas, tablas
y cuadrículas ..................................................................194 14 Relaciones de correspondencia: conjunto
de salida y llegada ......................................................196 15 Producto cartesiano: A × B ...................................198 16 Pares ordenados en el semiplano
cartesiano ........................................................................200
19 Circunferencia ...............................................................152
17 Transformaciones geométricas ..........................202
20 Círculo ................................................................................154
18 Uso de instrumentos en la medición
21 Experimentos ................................................................156 22 Variables ............................................................................158 23 Eventos aleatorios y determinísticos ..............160
TIC en Matemáticas ..................................................162 Compruebo mis aprendizajes ............................164 Saber más ........................................................................166
de longitudes ................................................................204 19 Características de los cuerpos geométricos ....206 20 Conversiones de medidas monetarias ..........208 21 Técnicas de conteo ....................................................210 22 Combinaciones simples de dos por tres ......212 23 Combinaciones simples de tres por tres ......214
TIC en Matemáticas ...................................................216 Compruebo mis aprendizajes .............................218 Saber más ........................................................................220
Taller por competencias
1 5
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Unidad
1
El universo
Propiedad de la editorial
Aunque aún desconocemos un gran porcentaje de nuestro universo, sabemos que está conformado por planetas, asteroides, cometas, galaxias, estrellas, meteoritos, entre otros cuerpos celestes. Entonces, para tratar de entenderlo, se ha intentado clasificar los cuerpos celestes que lo componen a partir de sus características. Por ejemplo, en términos generales, podemos clasificar los planetas de nuestro sistema solar en dos grandes grupos: • Mercurio, Venus, Marte y la Tierra: son los cuatro planetas más próximos al Sol, son pequeños, están formados por rocas y raramente están acompañados de satélites. • Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno: están más alejados del Sol, envueltos por un colchón de gas y los rodea una colección de satélites y de anillos. Hay un planeta que no se puede incluir en esta clasificación: Plutón. Esto es porque sus características son muy distintas a las de los demás planetas.
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Propiedad Observa y responde de la editorial
• ¿Cuántos planetas en total hacen parte de la clasificación expuesta? __________________________________________________________ __________________________________________________________
• ¿Qué otra clasificación se podría usar para agrupar los planetas según sus características? __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________
• ¿Qué importancia tiene conocer los cuerpos celestes que conforman nuestro universo? __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________
• Investiga los distintos tipos de estrellas y su clasificación. __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________
Shutterstock, (2020). 1130292101
Estándares • Resuelvo y formulo problemas cuya estrategia de solución requiera de las relaciones y propiedades de los números naturales y sus operaciones. • Realizo y describo procesos de medición con patrones arbitrarios y algunos estandarizados, de acuerdo al contexto. • Represento datos usando tablas y gráficas (pictogramas, gráficas de barras, gráficas de líneas, diagramas circulares). • Uso e interpreto la media (o promedio) y la mediana y comparo lo que indican.
7
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1
Secuencia
Relaciones de pertenencia y contenencia Propiedad Desequilibrio cognitivo
de la editorial
¿Puede un conjunto de elementos ser parte de otro conjunto?
Shutterstock, (2020). 1162650040
Los animales del zoológico conforman un conjunto, cuyos elementos responden a una misma característica: individuos del reino animal, pero dentro de esta colección de animales es posible organizar pequeños conjuntos que también agrupan los elementos de acuerdo a características más particulares. Por ejemplo: Aves = {avestruz, gallina,…} Reptiles = {cocodrilo, iguana,…} Mamíferos = {cebra, chimpancé,…}
Sabías que... Se llama subconjunto al conjunto de elementos que tienen las mismas características y que está incluido dentro de otro conjunto más amplio.
Recuerda Un conjunto es una colección de elementos que tienen una característica en común. Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos, y definirse por extensión o comprensión.
8
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Z
R
A
M
Shutterstock, (2020). 659705053/730479925/257400736/785743489/1095766841/1399912517
_____________________________________________________________________________
La relación de pertenencia se presenta solo entre uno o varios elementos y un conjunto. Cuando un elemento cumple con la característica de un conjunto se dice que pertenece al conjunto. El símbolo que indica pertenencia es ∈. Si un elemento no pertenece al conjunto se representa con el símbolo ∉. Por ejemplo: La gallina ∈ al conjunto de las aves. La gallina ∉ al conjunto de los mamíferos. La gallina ∈ al conjunto de los animales del zoológico. La relación de contenencia se presenta solo entre uno o varios subconjuntos y un conjunto. Cuando un conjunto se encuentra en su totalidad contenido en otro conjunto, se dice que está contenido. El símbolo que indica contenencia es ⊂. Si un conjunto no está contenido en otro, se representa con el símbolo ⊄. Por ejemplo: El conjunto de las aves A está contenido en el conjunto de los animales del zoológico Z. Entonces, A ⊂ Z. El conjunto de los mamíferos M no está contenido en el conjunto de los reptiles R. Entonces, M ⊄ R.
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Taller
Propiedad
1. Observa cada uno de los conjuntos y escribe ∈ o ∉ según el caso: de la editorial
E
España Grecia Italia Holanda Francia Bélgica
S
Colombia
N
Brasil
Canadá
Argentina
Estados Unidos
Ecuador Venezuela
a) España ____ N
d) Canadá ____ N
g) Brasil ____ S
b) Colombia ____ E
e) Ecuador ____ S
h) Estados Unidos ____ N
c) Holanda ____ E
f) Argentina ____ E
2. Observa cada uno de los conjuntos y escribe ⊂ o ⊄ según corresponda: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} P = {números pares hasta el 10} I = {números impares hasta el 10} a) N ____ P
c) P ____ I
e) I ____ P
b) P ____ N
d) N ____ I
f) I ____ N
3. Observa cada conjunto. Luego, completa el diagrama de Venn sin repetir elementos. C = {consonantes}
P
P = {m, u, r, c, i, e, l, a, g, o}
C
Trabajo colaborativo 4. En parejas, organicen subconjuntos conformados por los compañeros de su clase, según preferencias deportivas y gastronómicas. Elaboren listas de elementos y subconjuntos usando relaciones de pertenencia y contenencia.
Actividad indagatoria 5. Investiga si es posible que un conjunto esté contenido en sí mismo.
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2
Secuencia
Clasificación de conjuntos Propiedad Desequilibrio cognitivo
de la editorial
Shutterstock, (2020). 284127278
¿Podrías hacer una lista de todos los números? _____________________________________________________________________________
Mariana está organizando los libros en la biblioteca, según las instrucciones de su jefe, quien le pide que los clasifique en las siguientes categorías: novela, ciencia ficción y cómics. Una vez Mariana termine la clasificación, debe informarle a su jefe la cantidad de libros que hay en cada categoría. Categoría Novela Ciencia Ficción Cómics
Cantidad 5 0 1
Los conjuntos se pueden clasificar según su tamaño, es decir, la cantidad de elementos que lo conformen. Estas son algunas clases de conjuntos: Shutterstock, (2020). 142440400
• Finito: todos sus elementos se pueden contar. • Infinito: sus elementos no se pueden contar porque no tienen fin. • Unitario: un único elemento. • Vacío: no tiene elementos. Se representa con el símbolo ∅ . Ejemplo 1
Recuerda Para evitar confusiones o ambigüedades es necesario establecer un conjunto universal como base de todos los subconjuntos que se van a definir.
a) ¿Cuántos conjuntos unitarios hay en la clasificación hecha por Mariana? ¿Cuáles? b) ¿Cuántos conjuntos vacíos hay en la clasificación hecha por Mariana? ¿Cuáles? c) ¿Es posible tener un conjunto infinito de libros? Solución
a) Uno. La categoría de cómics es un conjunto unitario pues solo un libro pertenece a él. b) Uno. La categoría de ciencia ficción es un conjunto vacío pues no hay elementos en ese conjunto. c) No es posible pensar en un conjunto infinito de libros. Ejemplo 2
Frente a cada conjunto escribe el nombre según su clase:
10
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A = {105} Unitario B = {números naturales} Infinito C = {números del 1 al 50} Finito D = {números pares del conjunto A} Vacío
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Taller 1. Observa cada uno de los conjuntos y clasifícalos según su Propiedad tamaño en unitario, vacío, finito de la editorial o infinito. A = {cantidad de vocales en la palabra pizza} _____________ S = {cantidad de vocales en la palabra luz} _____________ M = {cantidad de niños en el mundo} _____________ O = {cantidad de números} _____________ F = {números pares hasta el 100} _____________ L = {números mayores que 5} _____________ C = {números mayores y menores que 1} _____________ U = {números mayores que 1 y menores que 20} _____________ V = {números mayores que 999} _____________ 2. Observa cada uno de los conjuntos, nómbralos según las características de sus elementos y luego, escribe una condición para que se conviertan en conjuntos unitarios. Conjunto
Nombre
Condición
Conjunto unitario
A = {águila, gallina, ganso} B = {1, 2, 3, 5, 7} C = {perro, león, elefante} D = {2, 4, 6, 8, 10} E = {lápiz, color, borrador} F = {10, 11, 12, 13}
G = {barco, lancha, yate}
Trabajo colaborativo 3. En grupos de 5 estudiantes, creen varias categorías para agruparse hasta que logren conformar un conjunto unitario y uno vacío.
Actividad indagatoria 4. Investiga si hay conjuntos infinitos de distintos tamaños.
11
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3
Shutterstock, (2020). 1362168185
Secuencia
Unión de conjuntos
Propiedad de la editorial
Actívate
¿Se puede crear un conjunto nuevo a partir de otros conjuntos? Da un ejemplo. A
V
_____________________________________________________________________________
En la clase de matemáticas la profesora le pide a cada uno de los estudiantes que elaboren una lista sobre los animales que más les gustan. Isabella y Sofía elaboran las siguientes listas. Isabella Tigre León Perro Gato Delfín
Shutterstock, (2020). 419275942
Sabías que... Usando diagramas de Venn se pueden representar varias operaciones entre conjuntos. La unión se representa al sombrear todos los conjuntos que se están uniendo bajo la operación unión.
Sofía Ballena Avestruz Perro Zorro León
Ahora, la profesora les pide que formen un solo conjunto con los animales que más les gusta a ambas. Este nuevo conjunto se denomina unión.
T
León Ballena
Tigre
Perro Gato Avestruz
Zorro Delfín
La unión es una operación que consiste en agrupar los elementos de dos o más conjuntos en un conjunto nuevo. La unión entre un conjunto A y un conjunto B, se expresa A ∪ B y se lee A unido B. Ejemplo
Dados los conjuntos. C = {guitarra, piano, arpa, violín, bajo} M = {flauta, saxofón, trompeta, clarinete} Halla C ∪ M C ∪ M = {guitarra, piano, arpa, violín, bajo, flauta, saxofón, trompeta, clarinete} 12
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Taller
X∪Y
X∪Z
Y∪Z
Shutterstock, (2020). 450863761
Propiedad 1. Observa cada uno de los siguientes conjuntos y efectúa la unión indicada. de la editorial X Z Y
2. Observa cada uno de los siguientes conjuntos y efectúa la unión indicada. Recuerda no repetir los elementos en común al hacer la unión entre los conjuntos. A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {1, 3, 5, 7, 9}
C = {2, 4, 6, 8, 10}
D = {0, 1, 2, 5, 8, 11, 15}
E = {7, 11, 17, 18, 21}
• A ∪ B = ________________________________
• A ∪ D = _______________________________________
• C ∪ D = ________________________________
• B ∪ E = _________________________________________
• E ∪ B = ________________________________ 3. Observa los mismos conjuntos del ejercicio anterior e identifica los conjuntos que se han unido para generar estos nuevos conjuntos. •
___ ∪ ___ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}
•
___ ∪ ___ = {2, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 17, 18, 21}
• A ∪ B ∪ ___ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
• B ∪ ___ ∪ ___ = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 15, 17, 18, 21} •
___ ∪ ___ ∪ ___ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 15}
Trabajo colaborativo 4. Creen grupos de 5 estudiantes teniendo en cuenta una característica que les permita la unión como conjunto. Luego, piensen en categorías o características más generales que puedan usar para unir los equipos de 5 estudiantes hasta lograr una unión que comprenda a todos los estudiantes del salón de clases. Fortalece tu aprendizaje desarrollando el
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Taller por competencias
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Secuencia
Intersección de conjuntos Propiedad de la editorial
Shutterstock, (2020). 1092752894
Desequilibrio cognitivo
A
B
Si dos o más conjuntos tienen un mismo elemento ¿Por qué no se pueden repetir en la unión? ¿Qué nombre le darías a estos elementos que se repiten o coinciden? ____________________________________________________________________________
En la clase de sociales le han pedido a Daniel que exponga las diferentes banderas del continente americano, identificando en ellas las que tienen colores en común. La intersección es una operación que consiste en identificar y agrupar los elementos en común de dos o más conjuntos. La intersección entre un conjunto A y un conjunto B, se expresa A ∩ B y se lee A intersección B. Ejemplo 1
Sabías que...
Shutterstock, (2020). 419275942
La intersección, al ser una operación entre conjuntos, también puede representarse usando diagramas de Venn. Para esto, se enlazan los dos conjuntos dejando en esta sección los elementos que tienen en común.
Escribe por extensión los colores de las banderas de Perú y Venezuela y su intersección. Luego, representa en un diagrama de Venn. Solución
Perú = {blanco, rojo}
Perú
Venezuela
Venezuela = {amarillo, azul, rojo}
Amarillo Azul
Perú ∩ Venezuela = {rojo}
Rojo Blanco
Ejemplo 2
Escribe por extensión los colores de las banderas de Canadá, Colombia y Portugal y su intersección. Luego, representa en un diagrama de Venn. Solución
Canadá = {blanco, rojo} Colombia = {amarillo, azul, rojo}
Colombia
Portugal = {verde, rojo}
Amarillo
Canadá ∩ Colombia ∩ Portugal = {rojo}
Azul Canadá
Portugal Rojo
Verde
Blanco
14
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Taller
A∩F
Shutterstock, (2020). 276726803/546486628
Propiedad 1. Observa cada uno de los siguientes conjuntos y efectúa la intersección indicada. de la editorial A F V
F∩V
2. Observa cada una de las siguientes palabras como conjuntos de vocales y consonantes, y efectúa la intersección indicada. Identifica los conjuntos con la inicial de cada palabra. Murciélago
Otorrinolaringólogo
Telaraña
Electrocardiograma
• M ∩ O = _____________________________________
• O ∩ E = ______________________________________
• M ∩ T = _____________________________________
• M ∩ T ∩ E = ________________________________
• M ∩ E = _____________________________________
• O ∩ T ∩ E = _________________________________
• T ∩ E = ______________________________________ 3. Observa cada uno de los siguientes conjuntos y efectúa la intersección indicada. A = {números pares hasta el 10}
B = {números impares hasta el 10}
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
• A ∩ B = ____________________________
• B ∩ C = _________________________________
• A ∩ C = ____________________________
• A ∩ B ∩ C = ____________________________
Trabajo colaborativo 4. En grupos de 5 estudiantes, diseñen 2 encuestas sobre cualquier tema de su preferencia. Luego, representen las intersecciones entre ellos usando diagramas de Venn.
Actividad indagatoria 5. Responde: ¿Cómo sería el conjunto resultado de la intersección de dos conjuntos vacíos? ¿Cómo sería el conjunto resultado de la intersección de dos conjuntos unitarios idénticos? ¿Cómo sería el conjunto resultado de la intersección de dos conjuntos unitarios distintos? Fortalece tu aprendizaje desarrollando el
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Taller por competencias
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5
Secuencia
Sistema de numeración decimal Propiedad de la editorial
Actívate
¿Cómo está organizado nuestro sitema de numeración? _____________________________________________________________________________
Observa cómo cada 10 unidades de un orden se agrupan y forman una unidad de orden inmediatamente superior. 10 unidades forman 1 decena.
Diez unidades se agrupan en una decena.
Recuerda El sistema de numeración decimal es posicional porque el valor de una cifra depende de su posición en el número.
Diez decenas se agrupan en una centena.
10 decenas forman 1 centena.
Diez centenas se agrupan en una unidad de mil.
10 centenas forman 1 unidad de mil.
En el material de base 10, el cubo representa la unidad de mil y ayuda a representar números de cuatro cifras. Um
C
D
U
1
1
3
6
1 000 U
100 U
30 U
6U
El sistema numérico que usamos diariamente, utiliza 10 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) para representar todos los números. Además, el principio de agrupación es 10. Por eso se denomina sistema de numeración decimal o de base 10. Ejemplo
Según la información dada. ¿Qué forman 10 unidades de mil? Solución
Diez unidades de mil son equivalentes a una decena de mil. 16
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Taller
Propiedad 1. Observa la representación y escribe el número que corresponde. de la editorial __________
__________
__________
2. Escribe la descomposición de cada número. Observa el ejemplo. 5 946
5 000 U + 900 U + 40 U + 6 U
7 032
5 Um + 9 C + 4 D + 6 U
8 319
6 807
3. Une con líneas la descomposición con el número que corresponde.
7 U + 8 C + 5 Um + 4 D
5 847
2 Um + 5 U
7 704
7 C + 4 U + 7 Um
2 005
Trabajo colaborativo
4. En parejas, cuenten el material de base diez de cada grupo y unan con el número que representa.
2 233
526
424
Actividad indagatoria 5. Investiga, sigue las pistas y escribe qué página del libro lee Rubén. • La cifra de las centenas equivale a 100 unidades. • La cifra de las unidades coincide con la de las decenas. • Es un número entre cien y ciento veinte. Fortalece tu aprendizaje desarrollando el
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Taller por competencias
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Secuencia
Números naturales
Propiedad de la editorial
Actívate Shutterstock, (2020). 314773463
Resuelve mentalmente. Un avión lleva 156 pasajeros. ¿Cuántas centenas y decenas de pasajeros viajan? ____________________________________________________________________________
Shutterstock, (2020). 669012091
Lee el texto y observa los números subrayados. Olas de calor en Europa En un pueblo pequeño de Europa, en el verano del año pasado, 3 432 personas asistieron al centro de salud con problemas de asfixia y 1 607 con quemaduras de primer grado en la piel. El gobierno desplazó 7 850 paramédicos a los parques de mayor concurrencia para brindar atención. Diariamente asisten 2 200 personas en horas de sol intenso. Para un gobierno es primordial durante una situación exraordianria, como una ola de calor, contar los voluntarios en servicio, las víctimas, los profesionales de la salud disponibles, entre otros.
Sabías que... Los números naturales de una manera más formal, se definen como los números enteros positivos, por lo cual, el cero no pertenece al conjunto de los números naturales.
¿Sin usar números, cómo podríamos registrar las 3 432 personas que asistieron a centros de salud? Un número natural es aquel número que permite contar los elementos de un conjunto. El conjunto de los números naturales es infinito y se representa con el símbolo N. El conjunto N por extensión, es: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…} Así se leen los números naturales Así se escriben los números naturales 3 432 Tres mil cuatrocientos treinta y dos 1 607 Mil seiscientos siete
Um C
D
U 8
5
3
0
9
7
5
En letras
Cinco mil trescientos ocho Nueve mil setecientos 1 cincuenta y uno
Ejemplo
Escribe en letras la cantidad de paramédicos que el gobierno desplazó a los parques de mayor concurrencia. Solución
Siete mil ochocientos cincuenta. 18
Libro Matematica 4 Colombia.indb 18
8/6/20 2:22 PM
Taller
Um
C
D
U
Um
C
U
__________
__________
D
Maya Ediciones, (2020).
Propiedad 1. Observa la cantidad que se ha formado en el ábaco y escríbela en números. de la editorial
2. Escribe en números y letras las cantidades de la lectura ‘Olas de calor en Europa’ que no se tomaron en cuenta en la página anterior. Número
Se lee
3. Une con líneas el número con su correspondiente lectura. 8 562
Cinco mil setecientos ochenta
9 311
Nueve mil trescientos once
5 780
Ocho mil quinientos sesenta y dos
Trabajo colaborativo 4. Trabajen entre dos. Soliciten a su compañero que les dicte 6 números de cuatro cifras y escríbanlos a continuación. Um C
D
U
Um C
D
U
Um C
D
U
Actividad indagatoria 5. Averigua cómo se escriben en números romanos las cifras del 1 al 10, 50, 100, 500 y 1 000. Indaga si se utilizan hasta ahora y busca un ejemplo. Comparte tus hallazgos en el aula.
19
Libro Matematica 4 Colombia.indb 19
8/6/20 2:22 PM
7
Secuencia
Otros sistemas de numeración Propiedad
Shutterstock, (2020). 1161804760
Shutterstock, (2020). 1161804748
Desequilibrio cognitivo
de la editorial
¿Sabías que diferentes civilizaciones sociales contaban sin usar los números naturales? Investiga.
Sistema de numeración egipcio Los egipcios utilizaban jeroglíficos para representar los números y se representaban en potencias de 10, Además, los jeroglíficos se podían repetir hasta nueve veces y se sumaban sus valores. Ejemplo
Escribe en sistema decimal el siguiente número.
Solución
Suma los valores de los símbolos utilizados: 1 + 100 + 20 + 200 000 + 3 000 + 10 000 = 213 121
Sistema de numeración romano Los romanos utilizaban símbolos para representar los números.
Reglas para representar los números romanos 1. Si a la derecha de una cifra se coloca otra cifra de igual o menor valor, sus valores se suman. Por ejemplo, XV es 15 porque 10 + 5 = 15. 2. Si a la izquierda de una cifra se coloca una cifra de menor valor, sus valores se restan. Por ejemplo, IV es 4 porque 5 – 1= 4. 3. No se pueden utilizar más de tres símbolos iguales seguidos a la derecha de otra cifra de mayor valor. Por ejemplo, 40 no es XXXX, sino XL. 4. No se puede utilizar más de un símbolo a la izquierda de otra cifra de mayor valor. Por ejemplo, 30 no es XXL, sino XXX. Ejemplo
Escribe en sistema decimal el siguiente número.
XLIV Solución
El número XLIV es 40 + 4 = 44 20
Libro Matematica 4 Colombia.indb 20
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Taller 1. Escribe los siguientes números en sistema egipcio.
Propiedad de la editorial
1 345 623 428 312 33 561 1 927
2. Une con línea la representación del número en sistema egipcio con su representación en sistema decimal. 214 1 345 1 063 723 3. Escribe los siguientes números en sistema romano. • 29 • 351 • 56 • 114 4. Une con una línea la representación del número en sistema romano con su representación en sistema decimal.
XCIII CD DCLXXXII MCXLVII
647 1 182 93 900
Actividad indagatoria 5. Investiga cómo se representan los números en el sistema de numeración maya y comparte la información con tus compañeros. 21
Libro Matematica 4 Colombia.indb 21
8/6/20 2:22 PM
8
Secuencia
Orden de los números naturales Propiedad de la editorial
Actívate
Um
C
D
U
1
6
5
2
+ 1
2
0
0
La suma que tiene 8 centenas en el resultado, ¿es menor que aquella que tiene 5 unidades de mil en su resultado? ¿Por qué?
2
8
5
2
___________________________________________________________________________
Um
C
D
U
2
2
6
7
Lee el mapa conceptual y analiza que puede ocurrir si se comparan dos números naturales.
+ 3
4
2
2
5
6
8
9
Relaciones de orden de los números
2 941
Un número puede ser mayor (>), menor (<) o igual (=) que otro número
2 914
= = > <
Uno de los números puede ser mayor y el otro, menor; o ambos pueden ser iguales. Si los dos números tienen un número distinto de cifras, es mayor aquel que tiene más cifras. Por ejemplo: 1 234 > 999. Cuando ambos números tienen la misma cantidad de dígitos, se comparan de izquierda a derecha, hasta encontrar la cifra diferente.
Recuerda
Observa más ejemplos: 5 8 6 9
Si ordenamos en la semirrecta numérica el valor de los números, este aumenta de izquierda a derecha.
5 8 6 1
5=5 8=8 6=6 9>1 5 869 > 5 861 3 7 1 5
3 7 2 5
3=3 7=7 1<2 5=5 22
Libro Matematica 4 Colombia.indb 22
3 715 < 3 725
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Se pueden comparar y ordenar cantidades.
Tomate,
3 600 g
Arveja,
3 475 g
Propiedad Papa 1 589 g
de la editorial Arveja 3 475 g
Zanahoria 2 750 g
Tomate 3 600 g
Aguacate 2 321 g
Maya Ediciones, (2020).
Observa el orden, de mayor a menor, del peso en gramos de estos productos:
Zanahoria, 2 750 g Aguacate, 2 321 g Papa,
1 589 g
Cebolla,
1 573 g
Cebolla 1 573 g
Ejemplo 1
¿Qué valor posicional determina que la papa tienen un peso mayor que la cebolla? Solución
Las unidades de mil y las centenas son iguales entonces, la comparación se hace con las decenas. Ahora, al comparar las decenas se tiene que 8 > 7, es decir, que en las decenas se determina que la papa tiene un peso mayor que la cebolla. 1 5 8 9
1 5 7 3
1=1 5=5 8>7 9>3
Ejemplo 2
Recuerda
¿Qué valor posicional determina que la zanahoria tiene un peso mayor que el aguacate?
Los signos >, <, = permiten comparar números naturales y ordenarlos según uno sea mayor, menor o igual que otro.
Solución
Las unidades de mil son iguales entonces, la comparación se hace con las centenas. Ahora, al comparar las centenas se tiene que 7 > 3, es decir, que en las centenas se determina que la zanahoria tiene un peso mayor que el aguacate. 2 7 5 0
2 3 2 1
2=2 7>3 5>2 0<1
Libro Matematica 4 Colombia.indb 23
23
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Taller 1. Compara las cantidades y escribe los signos. 3 4 5 6
3 2 5 6
Propiedad de la editorial 6 3 2 6 6 3 6 2
_____________________________
_____________________________
2. Escribe tres números mayores a cada uno de los propuestos. 3 236
5 724
3. Coloca el signo >, < o =, según corresponda. a) 234 789 ______ 478 946
b) 567 402 ______ 561 999
c) 68 509 ______ 65 401
d) 56 701 ______ 56 801
e) 1 345 ______ 1 341
f) 894 706 ______ 894 716
g) 5Um + 8D + 5Cm + 8C ______ 7Um + 6U + 5Cm + 3D 4. Escribe los números que van antes y después del número propuesto. Antes
Número
Después
230 999 888 899 777 619 799 999
5. Escribe dos números mayores y dos números menores a los propuestos. Menores
Número
Mayores
230 999 888 899
777 619
24
Libro Matematica 4 Colombia.indb 24
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6. Pinta con tu color favorito el número mayor en cada caso.
Propiedad
2 876
2 786
de la editorial 6 543
6 546
9 007
7 009
9 865
8 965
7. Compara cada pareja de números, utiliza los signos <, > o = para completar el esquema. 2 941
2 914
4 835
4 837
4 824
4 842
8. Compara los números y escribe los signos >, < o = dento de los casilleros. 1 230
820
520
3 128
880
910
2 008
2 080
2 390
2 309
850
840
Trabajo colaborativo 9. Trabajen en pareja. Solicita a tu compañero que te dicte una cantidad mayor y una menor a la que se propone en la tabla. Escribe según se solicita. Menor
Cantidad
Mayor
3 021 5 001 9 369 8 000
Actividad indagatoria 10. Pregunta a siete estudiantes de otros grados el año de su nacimiento. Compara los años utilizando el método aprendido y descubre quién es mayor. Realiza la tarea en tu cuaderno y comparte con tus compañeros. Fortalece tu aprendizaje desarrollando el
Libro Matematica 4 Colombia.indb 25
Taller por competencias
25
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9
Secuencia
Adición de números naturales y sus propiedades Propiedad de la editorial
Actívate Shutterstock, (2020). 328960460
María tiene 73 caramelos y su hermano Lucas le regala 37. ¿Cuántos caramelos tiene ahora María? ___________________________________________________________________________
Javier sale a montar bicicleta durante 3 días, en el primer día recorre 135 080 m, en el segundo día recorre 171 425 m y en el tercer día recorre 222 537 m. ¿Cuál es la distancia total recorrida por Javier durante los tres días. Días
Distancia recorrida (m)
1
135 080
2
171 425
3
222 537
Para conocer la distancia total recorrida por Javier durante los tres días se debe realizar una suma, ya que esta operación permite agrupar o reunir varias cantidades. Ahora, para realizar la operación ubica una cantidad debajo de la otra teniendo en cuenta su valor posicional, después suma unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas y así sucesivamente. Y agrupa en la parte superior de la siguiente posición cada vez que sea necesario. Cm Dm Um
Shutterstock, (2020). 279058889
1
+
C
D
1
1
1
U
1
3
5
0
8
0
1
7
1
4
2
5
2
2
2
5
3
7
5
2
9
0
4
2 12 unidades = 1 D + 2 U 14 decenas = 1 C + 4 D
Recuerda Se agrupa cuando se forma un grupo de diez unidades o más de diez unidades, un grupo de diez o más decenas, etc.
10 centenas = 1 Um + 0 C Las 9 Um no se reagrupan. 12 decenas de mil = 1 Cm + 2 Dm Las 5 Cm no se reagrupan.
La distancia recorrida por Javier durante los tres días es 529 042 m.
26
Libro Matematica 4 Colombia.indb 26
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Propiedades de la suma Propiedad conmutativa
Propiedad
En la suma se cumple la propiedad conmutativa, es decir, de que la editorial se pueden sumar números en cualquier orden y no cambiará el resultado o el total de la suma.
3
+ 2 = 2 + 3
5 = 5
Shutterstock, (2020). 469506953
Shutterstock, (2020). 469506953
Ejemplo
Propiedad asociativa En la suma se cumple la propiedad asociativa, es decir, que se pueden agrupar sumandos de distinta manera y no cambiará el resultado o el total de la suma.
Recuerda
Shutterstock, (2020). 237087952
(
) (3 + 2)
(
+ 4 = 3 +
) (2 + 4)
5 + 4 = 3 + 6 9 = 9
Shutterstock, (2020). 469506953
Ejemplo
Propiedad modulativa En la suma se cumple la propiedad modulativa, es decir, que la suma de cualquier número con cero da como resultado el mismo número.
La propiedad conmutativa permite cambiar el orden de los sumandos sin que se altere el resultado o total de la suma. La propiedad asociativa permite agrupar sumandos de formas distintas, sin cambiar el total. Para agrupar los sumandos se utilizan paréntesis, llaves o corchetes.
2
+
0
+ 40
+
=
2
= 0
=
40
Shutterstock, (2020). 1222205953
=
+
Shutterstock, (2020). 710750005
Shutterstock, (2020). 1222205953 / 710750005
Ejemplos
27
Libro Matematica 4 Colombia.indb 27
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Taller
Propiedad
1. Coloca verticalmente las cantidades y luego suma. a) 45 678 + 9 487 Dm Um
C
de la editorial c) 329 872 + 597 639
b) 256 493 + 64 779 D
Cm Dm Um
U
+
C
D
U
Cm Dm Um
+
C
D
U
+
2. Halla las cifras que faltan en cada operación. Cm Dm Um C D a) 4
+
2
5
6
9
9
0
7 9
U
Cm Dm Um
b)
7
7
4
2
1
2
+
8
1 9
6 4
6
C
D
U
2
3
6
7
8 2
4
3. Resuelve las siguientes situaciones problema. • María compró un vestido que costó $ 123 000, un bolso que costó $ 89 500 y unos zapatos con tacón que costaron $ 63 000. En total, ¿cuánto gastó María? Cm Dm Um
C
D
U
+
En total, María gastó ____________________________ • Camila y Pablo desean comprar un juego de alcoba, por eso cada uno ahorró $ 241 000 y $ 398 600 respectivamente. ¿Cuánto dinero tienen ahorrado entre los dos para comprar el juego de alcoba? Cm Dm Um
C
D
U
+
Camila y Pablo tienen ahorrado ____________________________ para comprar el juego de alcoba.
28
Libro Matematica 4 Colombia.indb 28
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4. Completa los números que hacen falta en cada una de las igualdades y escribe la propiedad que se aplica.
Propiedad
• 23 465 + 39 870 + _______________ = 23 465 + 18 538 + _______________ de la editorial_______________ • (392 000 + 63 765) + 4 281 = 392 000 + (63 765 + _______________) _______________ • 2 658 923 + ______ = 2 658 923 _______________
Shutterstock, (2020). 718213360
5. Aplica la propiedad conmutativa y calcula cuántos huevos hay en total de dos formas distintas.
36 huevos
49 huevos
Shutterstock, (2020). 469511375/426148876/ 469506953
6. Aplica la propiedad asociativa y calcula cuánto cuestan todos los juguetes de dos formas distintas.
$ 125 600
$ 92 500
$ 63 700
Trabajo colaborativo 7. En parejas, calculen mentalmente las sumas. Con una flecha, unan cada operación con su resultado. 1 000
+
2 800
=
7 800
5 000
+
4 000
=
6 000
7 300
+
500
=
9 999
3 600
+
2 400
=
3 800
6 000
+
3 999
=
9 000
Actividad indagatoria 8. Suma y luego responde. • ¿Qué ocurrio al reagrupar las centenas? • 583 y 645 no tienen dígitos en las unidades de mil, ¿cómo resuelves esta situación? Comparte en el aula qué hiciste luego de reagrupar las centenas. Fortalece tu aprendizaje desarrollando el
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+
Um C
D
U
5
8
3
6
4
5
Taller por competencias
29
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10
Secuencia
Resolución de problemas
Propiedad de la editorial
Desequilibrio cognitivo
Para completar la secuencia, ¿en qué posición debe estar la llave: derecha, izquierda, arriba o abajo? Y el triángulo, ¿en qué posición debe estar? _____________________________________________________________________________
Para resolver problemas matemáticos se pueden seguir los siguientes pasos: 1. Datos: se lee el problema y se anotan los datos. 2. Razonamiento: se lee la pregunta y se decide una operación. 3. Operación: se plantea y se resuelve la operación. 4. Comprobación: se comprueba si la operación está bien realizada. 5. Respuesta: Se anota la respuesta a partir de la pregunta formulada en el problema.
Shutterstock, (2020). 273994076
Recuerda
La tragedia de Armero fue un desastre natural producto de la erupción del volcán Nevado del Ruiz, ocurrió el miércoles 13 de noviembre de 1985, afectando a los departamentos de Caldas y Tolima (Colombia). 34 años después, el Observatorio Vulcanológico y Sismológico de Manizales anunció que el volcán tuvo nueva actividad con sismos de bajo nivel asociados a expulsión de gases y ceniza. ¿A qué año corresponde la última actividad del Nevado del Ruiz? Ejemplo
Sigue los pasos indicados para la resolución de problemas usando la información del texto. Solución
1. Datos: erupción registrada en 1985 y 34 años después. 2. Razonamiento: como se desea averiguar el año al que corresponde la última actividad del Nevado del Ruiz, se debe sumar el año en el que ocurrió la tragedia de Armero (1985) y los años que transcurrieron antes de que se registrara la ultima actividad (34). 3. Operación: 1
9
+ 2
0
8
5
3
4
1
9
3
4
4. Comprobación: +
1
9
8
5
2
0
1
9
5. Respuesta: la última actividad del Ruiz se presentó en el año 2019. 30
Libro Matematica 4 Colombia.indb 30
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Taller 1. Lee y subraya los datos que son útiles en el planteamiento Propiedad de la editorial del problema para responder la pregunta. Shutterstock, (2020). 114918106
El 23 de noviembre de 2 015 se reportó en el Tungurahua la emisión de 6 046 toneladas de agua y gases, que alcanzó una altura de 2 000 metros sobre el cráter. Al día siguiente, la emisión fue de 2 571 toneladas de agua y gases. En esos dos días, ¿cuál fue la emisión total de agua y gases en el volcán Tungurahua? _____________________________________________________________________
2. Tacha los datos numéricos que no utilizarás para calcular la respuesta. 3. Contesta las preguntas. • ¿Qué operación se debe realizar para resolver la situación problema? ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________
• ¿Se pueden formular otro tipo de preguntas a partir de los datos de la situación problema? ______________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________
Trabajo colaborativo 4. En grupos de tres, resuelvan el problema siguiendo el proceso. Trabajen en sus cuadernos y con este esquema. Datos
Razonamiento
Operación
Comprobación
Respuesta
Interpreten la respuesta y contesten: ¿existen más soluciones? ¿Tuviste dificultades para resolverlo? ¿Cuáles?
__________________________________________________________________________________________________________
Planteen dos problemas con sumas de números de cuatro cifras. Intercambien con otros grupos, resuelvan los que les entreguen y verifiquen si los suyos fueron bien resueltos por otro grupo.
Actividad indagatoria 5. Indaga qué hacer en caso de una erupción volcánica. Comparte tus hallazgos en el aula. 31
Libro Matematica 4 Colombia.indb 31
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11
Secuencia
Sustracción de números naturales Propiedad de la editorial
Desequilibrio cognitivo Shutterstock, (2020). 1690797694
Un bus urbano que va con 20 pasajeros hace su primera parada junto a un parque y recoge 5 estudiantes; luego para y recoge a 3 niñas; luego se detiene junto a un centro comercial y se bajan 10 estudiantes; a continuación, se estaciona frente a un colegio y recoge a 8 pasajeros. ¿Cuántas paradas hizo el bus? ____________________________________________________________________________
Shutterstock, (2020). 244152607
Observa el ejemplo: 7 183 menos 3 721. Se resta de derecha a izquierda, es decir, se empieza por las unidades: 3 – 1 = 2, se continúa con las decenas: 8 – 2 = 6. Al llegar a las centenas, el minuendo es menor que el sustraendo. Para restar se desagrupan las unidades de mil, es decir, se toma una unidad de mil que es equivalente a 10 centenas y se reagrupa en la columna de las centenas (10 + 1) y se resta: 11 – 7 = 4. Como se desagrupó una unidad de mil, se escriben las que quedaron: 6 y se resta: 6 – 3 = 3. Finalmente, el resultado es: 3 462. Um C
D
U
1 7
8 2
3 1
4
6
2
6 10 +
7 Recuerda Para restar números de cuatro cifras, las cantidades se ubican verticalmente.
– 3 3
Mira otro ejemplo. Um
C
D
U
Um
1
C
D
U
3
2
8
6
Minuendo
1
5
9
4
Sustraendo
1
6
9
2
Diferencia
2 10
–
10
3
2
8
6
1
5
9
4
9
2
–
32
Libro Matematica 4 Colombia.indb 32
8/6/20 2:22 PM
Taller
Propiedad 1. Completa las operaciones representadas en base diez y encuentra la respuesta. de la editorial Um C
–
–
D
U
5
3
2
Um C
D
U
3
2
1
1
5
Um C
D
U
1
9
4
Um C
D
U
9
4
D
U
2
–
2
–
1
2. Resta las cantidades que se proponen. Fíjate en el ejemplo. 875
–
341
800 + 70 + 5
–
300 + 40 + 1
6 674
–
4 564
–
500 + 30 + 4
Trabajo colaborativo 3. En grupos de tres, resuelvan las operaciones y unan con el resultado correcto. Um C
–
D
U
6
4
5
6
2
5
3
4
8 108
Um C
–
D
U
3
2
5
1
1
1
6
0
Um C
–
2 091
9
5
3
7
1
4
2
9
3 922
Actividad indagatoria 4. A la resta con reagrupación también se suele llamar ‘resta llevando’.
Averigua más en el siguiente link y repasa la resta. www.mayedu.ec/mat4/p57 Fortalece tu aprendizaje desarrollando el
Libro Matematica 4 Colombia.indb 33
Taller por competencias
33
8/6/20 2:22 PM
12
Shutterstock, (2020). 151586948
Secuencia
Resolución de problemas
de la editorial
Desequilibrio cognitivo
Si un libro vale $20 menos la mitad de lo que cuesta, ¿cuánto debes pagar por el libro? ____________________________________________________________________________
Para plantear y resolver problemas matemáticos, se debe prestar atención a los datos, definir la operación, resolverla y comprobarla, así como responder la pregunta.
Plantear el problema
Shutterstock, (2020). 265167977
Propiedad
Datos Definir la operación
El ornitorrinco es un mamífero ovíparo semiacuático que mide aproximadamente 66 cm de largo. Para depositar sus huevos, cava una madriguera de 2 345 cm de largo. ¿Cuál es la diferencia entre ambas longitudes? Largo del ornitorrinco: 66 cm Largo de la madriguera: 2 345 cm La diferencia entre las dos longitudes se encuentra mediante la sustracción. Se ubica la mayor longitud como minuendo y la menor como sustraendo. Se halla la diferencia.
Resolver y comprobar
2
3
Shutterstock, (2020). 1161475963
–
2
Responder
2
4
5
6
6
7
9
Se verifica la operación. Prueba de la resta: M–D=S
–
2
3
4
5
2
2
7
9
6
6
Respuesta: la diferencia entre el largo de la madriguera y el largo del ornitorrinco es de 2 279 cm.
Recuerda Para comprobar si una resta está bien hecha, al minuendo se le resta la diferencia y el resultado debe ser el sustraendo.
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Taller
Propiedad de la editorial Shutterstock, (2020). 1268269834
1. Lee y resuelve el problema matemático que se plantea.
El perezoso es un mamífero que se alimenta de 4 000 g de hojas en el transcurso del mes. Si este animal comió en la primera semana 2 140 g de hojas, en la segunda semana 860 g y en la tercera semana 400 g. ¿Cuántos gramos de hojas le hacen falta por comer al perezoso en la cuarta semana para comer 4 000 g en total? Datos
Operación
Solución y comprobación
Respuesta:
Trabajo colaborativo 2. Entre dos compañeros, planteen dos problemas con restas de números de cuatro cifras. Trabajen en cartulinas. Intercambien con otros grupos, resuelvan aquellos que les entreguen y verifiquen si los que ustedes crearon fueron resueltos satisfactoriamente por los otros grupos.
3. Consulta datos curiosos para plantear problemas. Por ejemplo, las abejas deben visitar unas 4 000 flores para fabricar una cucharada de miel. Comparte la información que más llamó tu atención con tus compañeros.
En este link puedes encontrar más datos: www.mayedu.ec/mat4/p63
Fortalece tu aprendizaje desarrollando el
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Shutterstock, (2020). 276213368
Actividad indagatoria
Taller por competencias
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13
Secuencia
Operaciones combinadas: adición y sustracción Propiedad de la editorial
Desequilibrio cognitivo Shutterstock, (2020). 503668066
Describe cómo solucionarías la expresión 15 – 9 + 16. _____________________________________________________________________________
Albert debe acomodar 900 libros en un estante de la librería. Hasta el momento ha acomodado 624 libros y tiene 120 libros más por acomodar, ya que llegaron de un pedido que hizo hace un tiempo, de los cuales, debe sacar 23 para entregárselos a una señora que los compró. ¿Cuántos libros le faltan por acomodar?
Shutterstock, (2020). 721325638
Libros por acomodar 900 libros Menos 624 Libros acomodados Faltan por acomodar 276 libros Más 120 Más libros por acomodar Faltan por acomodar 396 libros Menos 23 Libros vendidos
Recuerda Un polinomio aritmético es una expresión en la que se combinan las cuatro operaciones básicas.
Faltan por acomodar 373 libros Otra forma de expresar el problema sería: 900 – (624 – 120 + 23) = 900 – (504 + 23) = 900 – 527 = 373 A Albert le falta por acomodar 373 libros en el estante de la librería.
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Para resolver polinomios aritméticos sin signos de agrupación y en los que se haga uso de la suma y de la resta, se realizan las operaciones Propiedad de izquierda a derecha. de la editorial Ejemplo Soluciona la expresión matemática 126 – 25 + 63 – 15 – 9 Solución
126 – 25 + 63 – 15 – 9
Resuelve 126 – 25
= 101 + 63 – 15 – 9
Resuelve 101 + 63
= 164 – 15 – 9
Resuelve 164 – 15
= 149 – 9
Resuelve 149 – 9
= 140 Para resolver polinomios aritméticos con signos de agrupación (paréntesis ( ), corchetes { } o llaves [ ]), primero se resuelven las operaciones indicadas en ellos y luego se continúa de izquierda a derecha. Ejemplo
Soluciona la expresión matemática
Recuerda Hay polinomios aritméticos con y sin signos de agrupación.
92 + (12 – 8) + 36 – (27 – 15) Solución
92 + (12 – 8) + 36 – (27 – 15) = 92 + 4 + 36 – (27 – 15) = 92 + 4 + 36 – 12 = 96 + 36 – 12 = 132 – 12
Resuelve la operación del primer paréntesis Ahora, resuelve la operación del segundo paréntesis Luego, soluciona la operación 92 + 4 Después, soluciona la operación 96 + 36 Finalmente, soluciona la operación 132 – 12
= 120 37
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Taller
Propiedad 1. Resuelve las siguientes expresiones y explica el paso a paso que utilizaste para resolverlas. de la editorial Expresión
Pasos
124 + (109 – 76) + (215 + 129) – 83
1 279 – 854 + 96 + 30 – 264 – 109
139 – 105 + 237 – 18 – 9
(465 – 326) + 214 – 13 + (119 + 67) – 124
(128 + 35 – 17) + 24 – 18
2. Une con una línea la expresión aritmética con su respectiva respuesta. 1 245 – 689 + 397 + 208 – 354
2 428
(125 – 37 + 92) + 36 – (109 – 32)
807
3 698 – 1 237 + 45 – 78
177
234 – (124 + 89) – 15 + (72 + 99)
139
38
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3. Completa las siguientes frases.
Propiedad
deben resolver las Para resolver expresiones aritméticas _______________________________ de laseeditorial operaciones de _______________________________. Para resolver expresiones aritméticas _______________________________ se deben resolver primero las operaciones que se _______________________________________________________ y luego se continúa de izquierda a derecha. 4. Escribe en las siguientes expresiones los paréntesis donde corresponde. 124 + 36 – 10 – 18 + 15 + 5 = 124 + 26 – 18 + 15 + 5 = 124 + 26 – 18 + 20 = 150 – 18 + 20 = 132 + 20 = 152
327 – 158 + 92 + 12 = 169 + 92 + 12 = 261 + 12 = 273
117 + 25 – 21 + 49 – 36 = 142 – 21 + 49 – 36 = 121 + 49 – 36 = 170 – 36 = 134
204 – 100 + 50 – 90 – 80 – 8 = 204 – 150 – 90 – 80 – 8 = 204 – 150 – 10 – 8 = 54 – 10 – 8 = 44 – 8 = 36
5. Encierra con un círculo los errores que se encuentran en las siguientes expresiones aritméticas. 165 + 14 – (98 – 27) + 9 = 165 + 14 – 70 + 9 = 179 – 70 + 9 = 109 + 9 = 118
92 + 12 – 36 + 18 – 7 = 104 – 36 + 18 – 7 = 68 – 18 – 7 = 50 – 7 = 43
Trabajo colaborativo 6. En parejas, planteen dos expresiones aritméticas en tiras de papel. Intercambien las expresiones con otras parejas, resuelvan aquellas que les entreguen y verifiquen si las que ustedes plantearon fueron resultas de forma correcta por la otra pareja.
Actividad indagatoria 7. Investiga cómo se resuelven los polinomios aritméticos cuando se hace uso de la suma, resta, multiplicación y división. Comparte la información encontrada con la clase.
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Secuencia
Estimación y medición de longitudes Propiedad de la editorial
Shutterstock, (2020). 60029225
Actívate
¿Sabes cuánto mides, quién de tus compañeros es más alto y quién es menos alto? Para saberlo, debiste medir o al menos estimar, lo que significa valorar y comparar longitudes. ____________________________________________________________________________
Recuerda que se estima una longitud cuando se compara con un patrón que se conoce. Por ejemplo, las costureras y los sastres utilizan el grosor de sus dedos para hacer los dobladillos de las prendas. No es exacto, pero les es útil para su trabajo.
Maya Ediciones, (2020).
Shutterstock, (2020). 647183809
Asimismo, puedes estimar la longitud del largo de una mesa usando como unidad de medida la cuarta (palma de la mano) y, luego, compararla con la medida en centímetros.
Recuerda Estimar es asignar un valor numérico aproximado a una de las magnitudes de los objetos, haciendo una medición mental y basándose en procesos de medición anteriores y explicando el porqué de los valores numéricos aproximados.
La cuarta o palmo Sin embargo, para medir la longitud se necesita utilizar un patrón como unidad de medida básica, invariable y universal. Para garantizar exactitud, las unidades de medida deben ser fijas, y mundialmente aceptadas como el metro y sus submúltiplos. Observa la regla y los submúltiplos del metro que se utilizan para medir longitudes cortas. La parte sombreada con color rosado equivale a un decímetro (dm). El espacio entre dos números equivale a un centímetro (cm).
Recuerda Medir es comparar una cosa con otra, es decir, comparar una magnitud con respecto a otra.
El espacio entre dos líneas seguidas equivale a un milímetro (mm). 1 centímetro
0
1
1 milímetro
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 decímetro 40
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Taller
Propiedad 1. Estima la longitud en clips de las siguientes longitudes señaladas en cada uno de los siguientes de la editorial objetos. Comprueba, mide y escribe la medida. Objeto
Estimación
Medición
El largo del lápiz mide aproximadamente
El largo del lápiz mide _______________
_______________
El ancho del cuaderno mide aproximadamente
El ancho del cuaderno mide _______________
_______________
La altura del marcador mide aproximadamente
La altura del marcador mide _______________
_______________
El largo de la cosedora mide aproximadamente
El largo de la cosedora mide _______________
_______________
______ cm
______ cm
______ cm
Maya Ediciones, (2020).
2. Anota la estimación de la longitud señalada en cada uno de los siguientes objetos.
______ cm
Trabajo colaborativo
3. Trabajen en parejas. Midan con la palma de la mano longitudes de algunos objetos. Apoyen sus manos una a continuación de la otra, de un extremo a otro del objeto sobre la misma línea. Cuenten cuántas veces se ubican las manos para anotar la longitud no convencional. Luego utilicen un metro para medir las longitudes de los objetos y anoten su longitud en centímetros. Longitud del objeto a medir
Longitud en manos
Longitud en cm
Alto de la silla Ancho del pupitre
Ancho de la puerta
Reflexionen y respondan: ¿Es práctico medir con las manos el ancho y el largo del aula? ¿Se podrían utilizar las manos para medir la distancia entre la casa y la escuela? ¿Por qué es necesario tener una unidad universal y fija para medir? 41
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Secuencia
Semirrecta, segmento y ángulo Propiedad de la editorial
Actívate
P Semirrecta
Shutterstock, (2020). 610543655
A B Segmento AB
¿Cuál es la diferencia entre segmento y semirecta? Fíjate en la imagen. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
Semirrecta
Segmento
Es parte de una línea recta que tiene un origen pero no tiene fin.
Es la línea recta que está comprendida entre dos puntos.
m
A
A
m representa una semirrecta. A es el punto de origen.
B
AB representa un segmento. A y B son los puntos extremos del segmento.
Ángulo Es la amplitud comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen llamado vértice. Las semirrectas forman los lados del ángulo.
Sabías que...
o Lad Abertura a A Vértice L ado B
Los ángulos se pueden nombrar con letras mayúsculas, la letra intermedia corresponde al vértice BAC, o solo con la letra vértice A.
Shutterstock, (2020). 369607253
Es admirable la precisión de los ángulos de la Gran Pirámide de Egipto, a pesar de haber sido construida hace miles de años sin la tecnología de ahora.
C
Los ángulos se pueden clasificar en: • Ángulos agudos: miden menos de 90°. • Ángulos obtusos: miden más de 90°. • Ángulo recto: mide 90°.
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
75°
120°
Ángulo recto
90°
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Taller
Propiedad 1. Une los puntos que tienen el mismo color para formar segmentos. Luego, responde las de la editorial preguntas. F
L
M J
C
¿Cuál es el segmento más largo?
C
_____
¿Cuál es el segmento menos largo? _____ ¿Cuántos segmento se han trazado? _____
R
C
2. Nombra cada ángulo usando tres letras mayúsculas. Luego, clasifícalos.
Lados ________________
Vértice
________________
Ángulo ________________
Maya Ediciones, (2020).
3. Escribe el nombre que recibe cada ángulo a partir de su abertura.
Lados
Vértice
a
b
Ángulo
c
d
a)
________________
b)
________________
c)
________________
d)
________________
Trabajo colaborativo
Maya Ediciones, (2020).
4. En pareja, observen el gráfico, cuenten el número de ángulos para cada dígito y anótenlo debajo de cada uno. ¿Algún descubrimiento?
Actividad indagatoria 5. Observa y dibuja tres lugares u objetos de tu casa donde encontraste ángulos. Resáltalos y expón tu trabajo en el aula. 43
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Secuencia
Medición de longitudes
Propiedad de la editorial
Actívate
Mira atentamente la imagen. ¿Cuál de las dos líneas horizontales es más larga? ¿Cómo compruebas que tu respuesta es correcta? _____________________________________________________________________________
Shutterstock, (2020). 230037808
La longitud es la distancia que hay entre dos puntos. Por ejemplo, la distancia que hay entre mi casa y el colegio o la distancia de un extremo de la mesa al otro. La unidad principal para medir la longitud es el metro. Por ejemplo, un metro es lo que mide de alto una guitarra.
Maya Ediciones, (2020).
1 metro
Recuerda
Pero ¿qué hago si quiero medir longitudes muy cortas o longitudes muy largas?
La longitud es una medida unidimensional que representa la distancia, en línea recta, entre dos puntos.
Para dar solución a esta pregunta disponemos de más unidades de longitud. Los múltiplos son las unidades de medida más grandes que el metro como el kilómetro, el hectómetro y el decámetro. Los submúltiplos son las unidades de medida más pequeñas que el metro como el decímetro, el centímetro y el milímetro.
A
B
× 10
km
Recuerda El metro es la unidad de medida principal del sistema métrico decimal. Esta unidad es utilizada para medir las longitudes de los objetos o longitudes entre dos lugares.
÷ 10
Multiplicamos
× 10
hm
× 10
dam ÷ 10 ÷ 10
Dividimos
× 10
m
× 10
dm ÷ 10
cm
× 10
÷ 10 mm ÷ 10
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Taller
Propiedad
1. Marca en las reglas las medidas indicadas.
de la editorial
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1 dm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
40 mm
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
15 cm
Un borrador con un largo de 50 mm Un pincel con un largo de 8 cm Una soga con un largo de 1 dm
Shutterstock, (2020). 110482475 - 51105781
2. Dibuja en la cuadrícula los objetos a partir de la medida indicada. Ayúdate de la regla base.
Trabajo colaborativo 3. En parejas, midan con su regla una de las longitudes de tres objetos que se encuentren fuera del aula y registren las medidas en la tabla. Longitud del objeto
Medida de la longitud
Pregunten en su escuela la estatura de cinco profesores u otros adultos. Registren los nombres y la estatura en sus cuadernos. Compartan con sus compañeros los resultados e identifiquen a la persona más alta y a la menos alta que encontraron.
Actividad indagatoria 4. Pregunta en casa para qué utilizan el metro y sus submúltiplos. Anota varios ejemplos, comparte con tus compañeros y definan si en la vida diaria se aplican estos conocimientos. Fortalece tu aprendizaje desarrollando el
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Taller por competencias
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Secuencia
Perímetro de cuadrados y rectángulos Propiedad de la editorial
Desequilibrio cognitivo Maya Ediciones, (2020).
Para armar este robot geométrico, se han utilizado 11 círculos, 5 triángulos, 6 cuadriláteros y 1 óvalo. Comprueba si las cantidades son correctas y si se han contado todas. _____________________________________________________________________________
Para calcular el perímetro de una figura geométrica, se puede aplicar una fórmula de acuerdo con la figura que se va a medir.
Shutterstock, (2020). 1007539642
En el caso del cuadrado, al tener todos sus lados iguales, el cálculo del perímetro se puede expresar como una multiplicación o como una suma. El perímetro del cuadrado es igual a cuatro veces la medida de un lado o es igual a la suma de las medidas de sus lados. P = 4 × l
3 cm
P = 4 × 3 cm P = 12 cm
3 cm
P = l + l + l + l
3 cm
P = 3 cm + 3 cm + 3 cm + 3 cm
Recuerda El perímetro de una figura geométrica es igual a la suma de la medida de sus lados.
3 cm
P = 12 cm
Lado
El perímetro del cuadrado es 12 cm.
Para calcular el perímetro del rectángulo, se suman las medidas de sus lados. 5 cm
Lado (alto)
4 cm
4 cm
5 cm Lado (ancho)
P
=l+a+l+a
P
= 5 cm + 4 cm + 5 cm + 4 cm = 18 cm
También, en el caso del rectángulo, al tener los lados iguales de dos en dos, su perímetro es igual a la suma del doble producto del largo más el doble producto del ancho.
46
Libro Matematica 4 Colombia.indb 46
P
=2×l+2×a
P
= (2 × 5 cm) + (2 × 4 cm)
P
= 10 cm + 8 cm = 18 cm
El perímetro del rectángulo es 18 cm.
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Taller 1. Pinta de rojo los cuadrados y de azul los rectángulos. Mide losPropiedad lados, anota la longitud de cada de la editorial uno y calcula el perímetro.
2. Calcula el perímetro de cada uno de los cuadriláteros. P=4×l P = ___________________ 45 dm
P = ___________________
P = ________________________________
15 m 38 m
P = ________________________________ P = ________________________________
Trabajo colaborativo 3. En parejas, encuentren un cuadrado y un rectángulo en el aula. Midan los lados de cada figura. Representen gráficamente y anoten el perímetro de cada uno. Trabajen en su cuaderno.
Actividad indagatoria 4. Las aldeas que construían en la época del imperio inca ya contenían formas geométricas. Investiga qué formas geométricas eran las que más acostumbraban los incas a plasmar en sus viviendas. Fortalece tu aprendizaje desarrollando el
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Taller por competencias
47
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18
Secuencia
Recolección y organización de datos Propiedad Desequilibrio cognitivo
de la editorial
Shutterstock, (2020). 393900223
Pregunta a cinco personas: ¿Qué animal conocen del medio? ¿Cuál es su animal favorito? ¿Qué animal no les gusta? Registra la información y preséntasela a tu maestra o maestro.
Para recolectar datos se puede hacer uso de una encuesta en la que le haces la misma pregunta a muchas personas.
Shutterstock, (2020). 644077798
En una encuesta se le preguntó a 20 estudiantes: ¿A cuál extracurricular se inscribieron en el colegio? A lo que respondieron: Fútbol Gimnasia Robótica Gimnasia
Extracurriculares ofrecidas por el colegio Baloncesto Danzas Fútbol Robótica Fútbol Gimnasia Fútbol Danzas Voleibol Baloncesto Voleibol Gimnasia
Baloncesto Danzas Fútbol Fútbol
Ahora, para organizar los datos se hace uso de una tabla de conteo en la que debes poner un título y rotular las columnas, así: Cantidad de estudiantes inscritos por extracurricular Extracurricular
Conteo
Número
Después, escribe en la primera columna las respuestas dadas (sin repetir) y en la segunda columna coloca una marca de conteo por cada respuesta recibida.
Recuerda En una tabla de datos se puede mostrar de forma numérica la información que se ha recogido.
Cantidad de estudiantes inscritos por extracurricular Conteo Número Extracurricular IIIIII Fútbol IIII Gimnasia II Robótica III Baloncesto III Danzas II Voleibol
Finalmente, cuenta las marcas de conteo y anota la cantidad en la tercera columna. Cantidad de estudiantes inscritos por extracurricular Conteo Número Extracurricular IIIIII 6 Fútbol IIII 4 Gimnasia II 2 Robótica III 3 Baloncesto III 3 Danzas II 2 Voleibol
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Puedes concluir que la mayoría de estudiantes se inscribieron a la extracurricular de fútbol.
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Taller 1. Observa los datos que se recogieron a partir de una encuesta.Propiedad de la editorial 1 1
5 4
2 6
Cantidad de libros leídos durante un año 2 6 6 6 12 5 4 2
6 5
4 1
2 12
Ahora, a partir de los datos haz una tabla de conteo.
Y responde las siguientes preguntas. ¿Cuántas personas respondieron la encuesta? ___________________ ¿Cuántos libros lee la mayoría de personas en un año? ___________________ 2. Completa la tabla de datos relacionada con la cantidad de veces que es utilizado cada color para pintar el mandala. Cantidad de veces que es utilizado cada color para pintar el mandala Conteo
Frecuencia
Maya Ediciones, (2020).
Color Amarillo Rojo Azul claro Verde Azul oscuro
Trabajo colaborativo 3. Formen parejas. Pregunten a estudiantes de otros grados el mes de su cumpleaños y completen la tabla de datos. Pinten la fila del mes que constituye la moda. Color
Conteo
Frecuencia
Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Total de estudiantes encuestados
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Secuencia
Frecuencia y moda
Propiedad de la editorial
Actívate Shutterstock, (2020). 657504844
¿Cuál es la materia que más le gusta a la mayoría de tus compañeros? _____________________________________________________________________________
A un grupo de personas se les preguntó ¿cuánto calzan? y la información se registró en la siguiente tabla: Número de calzado que utilizan Calzado 36
Frecuencia 12
37
28
38
32
39
19
40
8
Shutterstock, (2020). 1066580684
A partir de la tabla se puede deducir que la frecuencia es la cantidad de veces que se repite un dato. Por ejemplo, la frecuencia de calzar 37 es 28, es decir, que 28 personas calzan 37. Asimismo, se puede deducir que la mayoría de personas calzan 38, ya que es el dato con mayor frecuencia o el dato que más se repite, es decir, la moda. Ejemplo
Halla la moda en el siguiente conjunto de datos. Cantidad de libros vendidos durante cuatro días Días
Recuerda El dato que tiene la mayor frecuencia en una distribución de datos se llama moda. En algunas ocasiones una distribución de datos tiene más de una moda, puesto que dos o más datos de la distribución pueden tener la misma y máxima frecuencia.
50
Libro Matematica 4 Colombia.indb 50
Cantidad de libros
Día 1
Día 2
Representa 4 libros
Día 3
Representa 2 libros
Día 4
Solución
El dato que tiene mayor frecuencia es día 3, porque ese día se vendieron más libros, por lo tanto, el día 3 es la moda de la distribución de los datos.
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Taller
Propiedad 1. Organiza en una tabla de frecuencias la información que se ha recolectado sobre el de la editorial deporte preferido por 24 estudiantes. Fútbol
Baloncesto
Baloncesto
Fútbol
Tenis
Baloncesto
Fútbol
Tenis
Fútbol
Fútbol
Voleibol
Tenis
Atletismo
Voleibol
Fútbol
Fútbol
Voleibol
Baloncesto
Atletismo
Patinaje
Fútbol
Voleibol
Baloncesto
Fútbol
Conteo
Tabla de frecuencias
Fútbol
________________________________________________________________
Atletismo
Calzado
Baloncesto
Fútbol
Voleibol
Baloncesto
Tenis
Tenis
Patinaje
Atletismo
Frecuencia
Voleibol
• ¿Cuál es la moda?
Patinaje Total
_____________________
2. Realicen la encuesta siguiendo los pasos que aparecen a continuación. • Marquen de modo individual, con una x las respuestas que consideren satisfactorias. ¿Cuál es la asignatura que más te gusta? Español Matemáticas Ciencias naturales Ciencias sociales Artes Educación física
• Registren el conteo y escriban la frecuencia en la tabla.
• Contesten.
Asignatura de preferencia Conteo
fi
¿Cuál es la asignatura que los estudiantes prefieren?
Español Matemáticas Ciencias naturales Ciencias sociales Artes Educación física
Fortalece tu aprendizaje desarrollando el
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Taller por competencias
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20
Secuencia
Media y mediana Desequilibrio cognitivo
Propiedad de la editorial
Shutterstock, (2020). 536431450
¿Qué importancia tienen los datos que no representan la moda? _____________________________________________________________________________
La profesora le dicta a María las notas que tiene hasta el momento en ciencias naturales: 6, 10, 7, 8, 9 A partir del ejemplo, determina la media o promedio siguiendo los pasos que aparecen a continuación: Proceso
Pasos 1. Suma todos los datos.
Shutterstock, (2020). 1376658269
2. Divide el resultado de la suma entre el número de datos.
6 + 10 + 7 + 8 + 9 = 40 40 8 – 40 5 00
3. Expresa el valor de la media.
χ=5
Ahora, a partir del ejemplo y teniendo en cuenta que la cantidad de notas es impar, determina la mediana siguiendo los pasos que aparecen a continuación:
Recuerda La media o promedio es el resultado de la suma de todos los datos numéricos dividida entre el número total de datos.
Recuerda La mediana es el número del medio en el conjunto cuando los datos están ordenados de menor a mayor y cuando la cantidad de los datos es impar o es el promedio de los dos números medios cuando la cantidad de datos es par.
Pasos 1. Organiza los datos de menor a mayor. 2. Tacha los datos, tomando uno del extremo izquierdo y uno del extremo derecho, una y otra vez, hasta determinar cuál es el número de la mitad. 3. Expresa el valor de la mediana.
Proceso 6, 7, 8, 9,10 6, 7, 8, 9,10 Me = 8
A la siguiente semana, la profesora le dicta a María todas la notas que obtuvo en ciencias naturales: 6, 10, 7, 8, 9, 8 Finalmente, a partir del ejemplo y teniendo en cuenta que la cantidad de notas es par, determina la mediana siguiendo los pasos que aparecen a continuación: Pasos 1. Organiza los datos de menor a mayor. 2. Tacha los datos, tomando uno del extremo izquierdo y uno del extremo derecho, una y otra vez, hasta determinar cuáles son los números de la mitad. 3. Suma los dos datos de la mitad y dividelos entre dos.
4. Expresa el valor de la mediana.
Proceso 6 + 10 + 7 + 8 + 9 = 40 6, 7, 8, 8, 9,10 8 + 8 = 16 16 2 – 16 8 00 Me = 8
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Taller 1. Calcula la media y la mediana en el siguiente caso, para ello completa las tablas. Propiedad a) Las edades de un grupo de estudiantes son: 10 12 11
11 10 13
de la editorial
Edades de un grupo de estudiantes 10 12 11 13 12 10 11 10 10 11 12 10
11 11 10
11 12 10
12 10 12
11 10 11
Media Pasos
Proceso
Media Pasos
Proceso
10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13
Trabajo colaborativo 2. En parejas, hallen en el cuaderno la media y la mediana para el siguiente caso: 2 4 2
NĂşmero de hijos de un grupo de familias 3 1 1 2 2 5 1 5 1
2 1 4
Actividad indagatoria 3. Investiga si se puede hallar la media y la mediana en datos cualitativos. Fortalece tu aprendizaje desarrollando el
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Taller por competencias
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TIC en Matemáticas Propiedad
Midiendo el tiempo
de la editorial
Entrénate en medir el tiempo.
1
Ingresa en el enlace www.mayedu.ec/mat4/p171
2
3
Selecciona el último ícono de la segunda fila.
Lee la pregunta y selecciona la respuesta que consideres correcta.
Recuerda que una hora equivale a 60 minutos y 1 minuto equivale a 60 segundos.
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Propiedad de la editorial Solución de problemas matemáticos Entrénate en la solución de problemas matemáticos.
1
Ingresa al enlace www.mayedu.ec/mat4/p141
2
Da clic en el ícono Problemas.
4
Haz clic en Iniciar juego.
3
Selecciona y haz clic en el ícono que tiene por título Descubre la operación del problema.
5
Juega.
55
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Compruebo mis aprendizajes Propiedad
1. Completa el diagrama de Venn teniendo en cuenta las siguientes de laafirmaciones: editorial S ⊂ P.
•
Tigre ∈ a P.
•
Lápiz ∉ a P ni a S.
•
Gato ∈ a S.
•
Perro ∈ a S.
•
Zorro ∈ a P.
P
Shutterstock, (2020). 739869901
•
2. Escribe los siguientes números en sistema romano. •
450
•
90
•
26
•
135
3. Resuelve las siguientes expresiones aritméticas. 136 – (92 – 45) + 82 + (76 – 53) – 12
96 + 32 – 15 + 63 – 18
4. Resuelve la siguiente situación problema. Carlos vende electrodomésticos y el día de hoy vendió una nevera por $ 1 065 900 y una estufa por $ 443 900, pero tuvo que gastar $ 362 500 para pagar el arriendo del local. ¿Cuánto vendió en total? ¿Cuánto dinero le quedó después de pagar el arriendo?
En total, Carlos vendió _________________
A Carlos le quedó pagar el arriendo.
_________________
después de
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____________
____________
____________
Shutterstock, (2020). 473813404
Propiedad 5. Identifica qué ángulo se forma en cada reloj a partir de sus manecillas. de la editorial
____________
6. Halla la moda, la media y la mediana en el siguiente conjunto de datos. En clase de artes los estudiantes midieron la altura de los portarretratos que están construyendo y obtuvieron los siguientes resultados: 10 cm 13 cm 12 cm 10 cm 11 cm 14 cm 12 cm 11 cm 13 cm 13 cm 10 cm 12 cm 12 cm 13 cm 13 cm 11 cm 13 cm 13 cm
• La moda es: ________ • La media es: ________ • La mediana es: ________
7. Coevaluación. Pide a tus compañeros de grupo que completen la siguiente tabla.
Asigna un puntaje de 0 a 5 dependiendo de la característica evaluada. No.
Criterio
1
Tu compañero fue responsable con las actividades asignadas.
2
Tu compañero colaboró en el desarrollo de las actividades grupales.
3
Tu compañero fue puntual a la hora de entregar las actividades asignadas.
4
Tu compañero escuchó activamente a los demás.
5
Tu compañero aceptó las opiniones de otros en el grupo.
6
Tu compañero fue respetuoso con los demás durante el desarrollo de la actividad.
7
Tu compañero animó, felicitó y apoyó a los demás durante el desarrollo de la actividad.
Puntaje estudiante 1
Puntaje estudiante 2
Puntaje estudiante 3
8. Autoevaluación. Pinta según la clave.
Contenidos
Reconozco la pertenencia y contenencia entre conjuntos. Identifico y aplico propiedades de la suma y resuelvo operaciones combinadas. Estoy en la capacidad de resolver problemas con suma o resta. Hallo el perímetro de cuadrados y rectángulos. Calculo la moda, media y mediana de un conjunto de datos. Recolecto y organizo datos a partir de encuestas y tablas de conteo.
Clave Puedo ayudar a otros. Resuelvo por mí mismo. ¡Necesito ayuda! Estoy tratando.
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Saber más
Propiedad de la editorial
1. Al organizar los números 445, 447,475, 450 de mayor a menor quedarían: A. B. C. D.
475, 450, 447, 445 450, 445, 450, 447 475, 450, 447, 445 447, 475, 450, 445
2. El siguiente ángulo se llama: A 130˚
A. B. C. D.
B
C
Obtuso Recto Agudo Llano
3. El siguiente polinomio aritmético da como resultado: 123 + (46 – 12) + 32 + (123 – 89) – 192 A. B. C. D.
209 47 31 556
4. Un conjunto con un único elemento se llama: Infinito Vacío Finito Unitario
5. El perímetro de un rectángulo se calcula: A. D. C. D.
Multiplicando las medidas de todos sus lados. Sumando las medidas de todos sus lados. Multiplicando la medida de dos de sus lados. Sumando la medida de dos de sus lados.
Shutterstock, (2020). 1067945519
A. B. C. D.
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Propiedad de la editorial 6. La intersección entre conjuntos se define como: A. B. C. D.
La unión de los elementos de dos o más conjuntos. Los elementos de los conjuntos unitarios. Los elementos en común de dos o más conjuntos. La operación que convierte un conjunto en un conjunto vacío.
Responde las preguntas 7, 8 y 9 a partir del siguiente conjunto de datos. Cantidad de horas que ven televisión un grupo de personas en un día 1
2
1
5
3
5
2
7
1
A. B. C. D.
4 3 2 1
8. La mediana es: A. B. C. D.
2 1 3 4
Shutterstock, (2020). 645447019
7. La moda es:
9. La media es: A. B. C. D.
2 1 3 4
A. B. C. D.
30 m 23 m 31 m 46 m
Shutterstock, (2020). 429917878
10. El perímetro de un jardín que tiene 15 m de largo y 8 m de ancho es:
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