U4 mat 3m txt by Mauricio Fresard

Unidad modelo texto y Funciรณn cuadrรกtica matemรกtica 3ยบ. medio

Capítulo

Estadística y probabilidad

Según el historiador griego Heródoto, en el antiguo Egipto (3000 a. C.) ya se registraban datos relativos a la población y riqueza para construir las pirámides. En China, Grecia, Roma, Francia e Inglaterra también se registraron datos estadísticos para distintos fines: reparto de tierras, hombres disponibles para la guerra, hacer recuentos del ganado, registrar nacimientos, bautizos, defunciones y matrimonios. En los siglos XV, XVI y XVII, Leonardo Da Vinci, Nicolás Copérnico y René Descartes, entre otros, contribuyeron a la economía operando el método científico. Por otra parte, desde el siglo XIII se han estudiado los juegos de azar, principalmente con dados y cartas, un ejemplo lo encontramos en el poema De Vetula, de Richard de Fournival (1200-1250), donde afirma que si se lanzan tres dados hay 216 combinaciones posibles. Luca Pacioli (1445-1517), Girolamo Cardano (1501-1576), Niccolo Tartaglia (1499-1557), Galileo Galilei (1564-1642), Blaise Pascal (1623-1662), Pierre de Fermat (1601-1665) y Christiaan Huygens (1629-1695) realizaron diversos aportes al estudio del cálculo de probabilidades relacionado con este tipo de juegos. En 1662, el inglés John Graunt (1620-1675) realizó un estudio sobre distintos temas relacionados con la demografía en Londres. Entre ellos se encuentra la relación entre habitantes hombres y mujeres, determinar la edad media de la población de dicha ciudad y establecer las causas de fallecimiento. De hecho, Graunt elaboró la primera tabla de mortalidad y se cuenta que hizo predicciones sobre la cantidad de personas que moriría de ciertas enfermedades. En conclusión, se podría decir que el trabajo realizado por él se enmarca en la estadística y en la probabilidad.

¿Qué aprenderás? Variable aleatoria, función de probabilidad y función de distribución. Relación, aplicación y representación.

¿Para qué? Para analizar variables aleatorias discretas en experimentos aleatorios.

Valor esperado, varianza y desviación Para analizar distribuciones de variables aleatorias estándar de una variable aleatoria discreta. discretas en contextos diversos. Modelo binomial y probabilidad condicionada. Propiedades.

Para describir resultados de experimentos binomiales y resolver problemas, en diversos contextos, que implican el cálculo de probabilidades condicionales y sus propiedades.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

¿Donde? Página 178 a 200. Página 201 a 210.

Página 211 a 224.

Partenon (Grecia)

Templo al sol bla bla (China)

Coliseo Romano (Roma)

Coliseo Romano (Arco de triunfo)

Conversemos Considerando la información de la página anterior, responde:

1. ¿Cuál es la idea central de cada párrafo? 2. ¿Qué relación existe entre el tercer párrafo y los dos anteriores?

3. ¿Por qué se puede decir que el trabajo realizado por John Graunt se enmarca en la estadística y en la probabilidad?

4. ¿Cómo se relaciona la estadística y la probabilidad?

Aprendizajes esperados • Relacionar y aplicar los conceptos de variable aleatoria discreta, función de probabilidad y distribución de probabilidad en diversas situaciones que involucran experimentos aleatorios. • Comparar el comportamiento de una variable aleatoria en forma teórica y experimental, considerando diversas situaciones o fenómenos. • Aplicar el concepto de modelo probabilístico para describir resultados de experimentos binomiales.

• Comprender el concepto de probabilidad condicional y aplicarlo en diversas situaciones que involucren el cálculo de probabilidades. • Formular conjeturas, verificar para casos particulares y demostrar proposiciones utilizando conceptos, propiedades o relaciones de los diversos temas trabajados en el nivel. Asimismo, utilizar heurísticas para resolver problemas, combinando, modificando o generalizando estrategias conocidas, y fomentando la actitud reflexiva y crítica en la resolución de problemas.

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Capítulo

Estadística y probabilidad

¿Qué aprenderás? Variable aleatoria, función de probabilidad y función de distribución. Relación, aplicación y representación.

¿Para qué? Para analizar variables aleatorias discretas en experimentos aleatorios.

Para describir resultados de experimentos binomiales y resolver problemas, en diversos contextos, que implican el cálculo de probabilidades condicionales y sus propiedades.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

¿Donde? Página 178 a 200. Página 201 a 210.

Página 211 a 224.

Partenon (Grecia)

Templo al sol bla bla (China)

Coliseo Romano (Roma)

Coliseo Romano (Arco de triunfo)

Conversemos Considerando la información de la página anterior, responde:

1. ¿Cuál es la idea central de cada párrafo? 2. ¿Qué relación existe entre el tercer párrafo y los dos anteriores?

3. ¿Por qué se puede decir que el trabajo realizado por John Graunt se enmarca en la estadística y en la probabilidad?

4. ¿Cómo se relaciona la estadística y la probabilidad?

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Capítulo

Números complejos

¿Qué aprenderás? Variable aleatoria, función de probabilidad y función de distribución. Relación, aplicación y representación.

¿Para qué? Para analizar variables aleatorias discretas en experimentos aleatorios.

Para describir resultados de experimentos binomiales y resolver problemas, en diversos contextos, que implican el cálculo de probabilidades condicionales y sus propiedades.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

¿Donde? Página 178 a 200. Página 201 a 210.

Página 211 a 224.

Partenon (Grecia)

Templo al sol bla bla (China)

Coliseo Romano (Roma)

Coliseo Romano (Arco de triunfo)

Conversemos Considerando la información de la página anterior, responde:

1. ¿Cuál es la idea central de cada párrafo? 2. ¿Qué relación existe entre el tercer párrafo y los dos anteriores?

3. ¿Por qué se puede decir que el trabajo realizado por John Graunt se enmarca en la estadística y en la probabilidad?

4. ¿Cómo se relaciona la estadística y la probabilidad?

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Capítulo

Función cuadrática y ecuación de segundo grado

¿Qué aprenderás? Variable aleatoria, función de probabilidad y función de distribución. Relación, aplicación y representación.

¿Para qué? Para analizar variables aleatorias discretas en experimentos aleatorios.

Para describir resultados de experimentos binomiales y resolver problemas, en diversos contextos, que implican el cálculo de probabilidades condicionales y sus propiedades.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

¿Donde? Página 178 a 200. Página 201 a 210.

Página 211 a 224.

Partenon (Grecia)

Templo al sol bla bla (China)

Coliseo Romano (Roma)

Coliseo Romano (Arco de triunfo)

Conversemos Considerando la información de la página anterior, responde:

1. ¿Cuál es la idea central de cada párrafo? 2. ¿Qué relación existe entre el tercer párrafo y los dos anteriores?

3. ¿Por qué se puede decir que el trabajo realizado por John Graunt se enmarca en la estadística y en la probabilidad?

4. ¿Cómo se relaciona la estadística y la probabilidad?

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Capítulo

Rectas en el plano

¿Qué aprenderás? Variable aleatoria, función de probabilidad y función de distribución. Relación, aplicación y representación.

¿Para qué? Para analizar variables aleatorias discretas en experimentos aleatorios.

Para describir resultados de experimentos binomiales y resolver problemas, en diversos contextos, que implican el cálculo de probabilidades condicionales y sus propiedades.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

¿Donde? Página 178 a 200. Página 201 a 210.

Página 211 a 224.

Partenon (Grecia)

Templo al sol bla bla (China)

Coliseo Romano (Roma)

Coliseo Romano (Arco de triunfo)

Conversemos Considerando la información de la página anterior, responde:

1. ¿Cuál es la idea central de cada párrafo? 2. ¿Qué relación existe entre el tercer párrafo y los dos anteriores?

3. ¿Por qué se puede decir que el trabajo realizado por John Graunt se enmarca en la estadística y en la probabilidad?

4. ¿Cómo se relaciona la estadística y la probabilidad?

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Capítulo

Estadística y probabilidad

¿Qué aprenderás? Variable aleatoria, función de probabilidad y función de distribución. Relación, aplicación y representación.

¿Para qué? Para analizar variables aleatorias discretas en experimentos aleatorios.

888

Para describir resultados de experimentos binomiales y resolver problemas, en diversos contextos, que implican el cálculo de probabilidades condicionales y sus propiedades.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

¿Donde? Página 178 a 200. Página 201 a 210.

Página 211 a 224.

Partenon (Grecia)

Templo al sol bla bla (China)

Coliseo Romano (Roma)

Coliseo Romano (Arco de triunfo)

Conversemos Considerando la información de la página anterior, responde:

1. ¿Cuál es la idea central de cada párrafo? 2. ¿Qué relación existe entre el tercer párrafo y los dos anteriores?

3. ¿Por qué se puede decir que el trabajo realizado por John Graunt se enmarca en la estadística y en la probabilidad?

4. ¿Cómo se relaciona la estadística y la probabilidad?

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

889

Evaluación diagnóstica Te invitamos a poner en práctica tus conocimientos sobre estadística y probabilidad. Para ello, realiza las actividades en tu cuaderno. Finalmente, responde las preguntas de la sección Mi estado.

Operatoria con números reales y funciones

f(x) = y significa que al evaluar la función f en x resulta y. f(x) = y Preimagen

Imagen

La sumatoria se simboliza por (Σ) y se tiene que: n

∑x = x i

i=1

+ x 2 + ... + x n

0,7613 1. Representa los siguientes números racionales como fracciones o números de21 cimales según corresponda. 0,7613 –1 0,7613 47 0,7613 0,7613 21 a. –31,88 c. –1 b. 0,7613 21 5 21 21 –1 47 –1 21 –1 47 19 0,7613 5 –147 47 5   47 1  a =+2,b)21 19a que 5 expresión 2. Calcula el valor numérico de5 cada sabiendo b = 3,8 y c = . 0,7613  5 – b ⋅ (c –1 5 19 19 47   1 19 0,7613 21  a – b ⋅ (c + b)  –1       19 1 50 1    1 5  1 10 b.  1a –121 ba–⋅ (cb+⋅ (c b) + b) 47 c.  5 a –  b – c+ :5a +  5ba – b ⋅ (c + b) a. 2a + 5b – 19c 5 –1  19  38 19 c   b ⋅ (c+ b)5  21 10  a–547 0,7613  a – b–1c+2 1:5a + 50 1b 10   1  5 38   191  1  250 50  1 5 110 10     1 a– b      a– a –b–bc+  – números :5a:+f(x) 21 la siguiente función –54 c  ⋅ (c + b)19 2 a – 38 b – c+ c  c+ 5a50reales +=b4 byx responde. 1 10 3. Analiza nida para  21 defi        –1    c 19 38 2  b19 a–2 b38  +  1  :c5a  41   – c+  19 47  x –14 10   1   1 50 2 + 19b) 2 38  2 ac –2 b ⋅ (cf(x) = 4    4f(x) + f(x +1)   1  1  1 52    4  a– b – c+f(x)= :5a 4 + x –b4 5 a4–=b f(x)=f(x) 14x⋅–(c4x+–b)4  2 38    c    4 19    4f(x + 2)  5 4      1 +1) 50 f(x) = 4  x–4 41  10 4f(x) 19 + f(x 2  4   a –  b – c+n :5a + b1  4f(x) + f(x +1)  14f(x) 4f(x) + f(x +1) 1 50 10 1  2)    c 19 2 38  1 + f(x +1) 4f(x +        f(x) = 4 x – 4   a – b ⋅ (c + b) – c+ : 5a + b a – b x = x i  ∑  + f(x +1)  4f(x)  4f(x + 2)  4 2    5 + 38 2) + 2) c  1 19 2 4f(x n  i =n 1 a. ¿Cuál es la imagen de 4? 4f(x 1  4f(xn+ 2)n f(x) = x –= 4 n x i 4f(x) + f(x +1) 2 4 1 n 1 f(x)  x, se50tiene  1 ¿Para  valor1de =10?   4 2 n1∑ 2 10 1 x = b. qué i = 1 ∑ xi  a – b – c+ :5a + x =bf(x) i xx – 4 S = ∑( x i – 4f(x x) + 2) x1∑ ==n 4x∑ n i=1  + f(x +1)  4 i 4f(x)  2 38   c   n 19x =n ∑ n i = 1n x i = 1 i i= 1 2 2 ?1 c. Si x = 1, ¿cuál2 es el valor numérico n n i =n1 de 2 1 n 2 12 +1f(xn+1) 2 4f(x2 + 2)S = n1∑n ( xxi –=x1) 2 x  1 2 4f(x) S = ( xi – x) i = 1 ∑ ∑ n i S = x – x  ( ) f(x) = 4  x – 4 ∑ i S = x – x ( ) S = x – x 2 1 ( ) n i=1 ∑ i n i=1 n 2) i n4f(x  4 i = 1n+ S2 =estándar (∑ n1 i =n 1 ∑ ix=i1– x ) 1 Media, varianza y desviación 2 n x = ∑ xi n i =n1n S= ( xSi2 –=x1) ( x – x)2 1 n 2 4f(x) + f(x +1) ∑ n 2 n i =21 11 ∑ 1 x = x S= n ∑ ( xi – x) i i = 1 i ∑ 4. Reconoce las siguientes fórmulas y luego responde. n S= S= x – x ( ) ∑ i x – x n ( ) 2 1 n n i=1∑ i 1 i=1 n i=1 4f(x + 2) 2 i = 1n(ix=i1– x S= n ∑ S2 )= ∑( x i – x) n n n n i = 1 2 1 1 2 1 n S2 = ∑ ( x i – x ) i = 1 x = ∑ xi S= ( xi – x) ∑ n i=1 n i=1 n i=1 2 1 n S= xi – x) ( n ∑ n 2 1 2 1 S2 = ∑ ( x i – x ) S= ( xi – x)n i = 1 n i = 1representa cada fórmula?n ∑ a. ¿Qué i=1 n las siguientes tablas de datos: b. Según 2 1 S= ∑( x i – x) n i=1 Tiempo que demora en Tiempo que demora en detenerse el automóvil A detenerse el automóvil B Prueba 1 2 3 4 5 • •

180

Tiempo (s) 15 13 11 10 12

Prueba 1 2 3 4 5

Tiempo (s) 14 12 11 12 13

¿Qué automóvil tarda menos tiempo en detenerse? Justifica tu respuesta aplicando las fórmulas dadas. ¿Cómo se interpreta la media, la varianza y la desviación estándar en cada una de las tablas?

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Experimentos aleatorios y variable aleatoria 5. Identifica entre los siguientes experimentos los que son aleatorios. a. b. c. d. e.

Adivinar el resultado de un partido de tenis. Lanzar un cubo de hielo a una fuente con agua tibia. Lanzar 3 monedas de manera simultánea y anotar lo que se obtiene. Sumar los puntos obtenidos al lanzar 2 dados de manera simultánea. Hacer una mezcla con agua y aceite, considerando distintos volúmenes.

6. Analiza los siguientes diagramas sagitales y luego resuelve. X CC CS SC SS

X 0 1 2

Ganar Empatar Perder

0 1 3

a. Define un experimento aleatorio que represente cada diagrama. b. Define una variable aleatoria X que represente cada diagrama. c. ¿Cuál es el valor asociado a X(CC) + X(SS)? ¿Y cuál a X(Ganar) + X(Perder)?

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado depende del azar.

Una variable aleatoria es una función cuyo dominio es el espacio muestral del experimento aleatorio asociado y su recorrido es un subconjunto de los números reales.

Glosario • Diagrama sagital: es un dibujo en el que se muestran las relaciones entre los elementos de dos conjuntos mediante el uso de ﬂechas.

Cálculo de probabilidad 7. Aplica la regla de Laplace para resolver los siguientes problemas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado de 6 caras se obtenga un número par de puntos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas se obtengan 2 caras y un sello? c. En una tómbola hay 20 bolitas numeradas del 1 al 20. Si se realiza el experimento E: extraer una bolita de manera aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que se obtenga una bolita numerada por un valor primo? 8. Aplica una técnica de conteo para resolver los siguientes problemas. a. ¿Cuántos resultados posibles hay en el lanzamiento simultáneo de 4 monedas?

La regla de Laplace consiste en calcular la probabilidad de ocurrencia de un suceso dividiendo el número de casos favorables por el número total de casos posibles.

Hacer un diagrama de árbol o aplicar el principio multiplicativo son técnicas de conteo.

b. Al lanzar simultáneamente 2 dados de seis caras, ¿cuántos posibles resultados hay? c. ¿Cuántos números de 5 cifras distintas se pueden formar con los elementos del conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9}? 9. Aplica la regla de la adición para calcular la probabilidad de los siguientes sucesos incompatibles. Considera el experimento aleatorio E: lanzar dos dados. a. P: la suma de los puntos obtenidos es mayor que 5 o menor que 3. b. Q: la diferencia de los puntos obtenidos es un número par o un número impar. c. R: el producto de los puntos obtenidos entre los dados es 36 o menor que 15.

Para sucesos A y B incompatibles (A ∩ B = ∅) se tiene: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Mi estado Compara tus respuestas con las de tus compañeras o compañeros, luego responde: • • •

¿En qué preguntas tuvieron distintas respuestas? Lleguen a un acuerdo. ¿Hay contenidos que debieras reforzar antes de comenzar este capítulo? ¿Qué estrategia utilizarás para hacer esto? Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

181

CAPÍTULO

Variable aleatoria En el experimento aleatorio E: lanzar dos monedas, pueden ocurrir sucesos como: A: obtener dos caras. B: obtener una cara y un sello. C: obtener dos sellos. El espacio muestral (Ω) está determinado por los posibles resultados del experimento. En este caso, Ω = {CC, CS, SC, SS}, donde C: cara y S: sello. La cardinalidad (#) de un conjunto corresponde a la cantidad de elementos que este tiene. En este caso, la cardinalidad de Ω es 4 (#Ω = 4). Como un suceso es un subconjunto del espacio muestral (Ω), también se puede calcular su cardinalidad. En este caso: #A = 1 (ya que hay 1 caso CC) #B = 2 (ya que hay 2 casos CS y SC) #C = 1 (ya que hay 1 caso SS)

Glosario • Función: relación que asocia elementos de dos conjuntos, tal que a cada elemento del primero le corresponde un único elemento del segundo.

Así como se puede relacionar un suceso cualquiera con números cardinales (0, 1, 2, ...), a través de su cardinalidad, es posible establecer una correspondencia por medio de una función entre el espacio muestral (Ω) de un experimento aleatorio y un subconjunto de los números reales (). X Ω T En el diagrama sagital mostrado se tiene que uno de los con0 CC juntos corresponde al espacio muestral del experimento aleaCS torio E: lanzar dos monedas. En él se explicitan los posibles 1 resultados de E, mientras que el otro conjunto está compuesSC to por los números 0, 1 y 2. Estos conjuntos están relacionados 2 SS por la función X, que representa la cantidad de sellos obtenidos en un lanzamiento. Así, X(CC) = 0 significa que no se obtuvo sello, X(SC) = X(CS) = 1 significa que se obtuvo 1 sello y X(SS) = 2 significa que se obtuvo 2 sellos. En este caso, la función X se conoce como variable aleatoria, cuyo dominio o conjunto de partida es el espacio muestral Ω = {CC, CS, SC, SS} del experimento aleatorio E: lanzar dos monedas, y su recorrido o conjunto de llegada es el conjunto T = {0, 1, 2}. Cuando el recorrido de una variable aleatoria sea un conjunto en el que dos de sus elementos no admitan entre ellos otro valor posible se dirá que es una variable aleatoria discreta, mientras que si entre dos elementos cualesquiera del recorrido siempre hay al menos un valor que pueda representarla, se dirá que es una variable aleatoria continua. En el caso anterior, la variable aleatoria X que asigna el número de sellos obtenidos en el lanzamiento de dos monedas es una variable aleatoria discreta, ya que hay al menos un par de valores que puede “tomar” la variable que no aceptan entre ellos otros valores. Por ejemplo, entre 0 y 1 la variable no puede ser representada por otros números. Te invitamos a analizar los siguientes ejemplos para que logres una mayor comprensión de los conceptos recién tratados.

182

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

CAPÍTULO

Ejemplo 1 Si se lanzan dos dados de seis caras, el espacio muestral asociado a este experimento aleatorio es: Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), …, (6, 5), (6, 6)}. La variable aleatoria X: suma de los puntos obtenidos en las caras superiores de los dados, es una variable aleatoria discreta, ya que su recorrido es el conjunto: T = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Además, es posible defi nir muchas otras variables aleatorias para este mismo experimento, por ejemplo, la variable “cantidad de dados en los que resulta 6”, “producto de los puntos obtenidos”, etc. Ejemplo 2 Si se eligen al azar 500 estudiantes de un liceo, el espacio muestral (Ω) estará formado por todos ellos. La variable aleatoria X, que relaciona a cada estudiante con su estatura, es una variable aleatoria continua, ya que su recorrido es un conjunto de valores pertenecientes a cierto intervalo de números reales.

Ahora se qué... • Una variable aleatoria es una función cuyo dominio es el espacio muestral asociado a cierto experimento aleatorio y su recorrido es un subconjunto de números reales (). • Una variable aleatoria discreta es aquella cuyo recorrido es un conjunto de números reales en el que dos de sus elementos no admiten entre ellos otro valor. Por ejemplo, cantidad de hermanos, número de puntos obtenido, etc. • Una variable aleatoria continua es una función cuyo recorrido corresponde a un intervalo de números reales en el que dos de sus elementos admiten entre ellos otro valor. Por ejemplo, estatura, tiempo, etc.

✓ Ejercicios resueltos 1. Identifica el dominio y el recorrido de la variable aleatoria involucrada en la siguiente situación: “Suma entre los dígitos de las patentes de 2 letras y 4 dígitos de 100 vehículos seleccionados al azar que transitan por una avenida”. Solución: El experimento aleatorio consiste en elegir al azar 100 vehículos que circulan por cierta avenida, cuyas patentes consten de 2 letras y 4 dígitos. Por lo tanto, su espacio muestral (Ω) está dado por las patentes de los 100 vehículos elegidos. La variable aleatoria X, que relaciona cada patente con la suma de sus 4 dígitos, tiene como dominio a Ω y su recorrido es el conjunto formado por todos los números enteros mayores o iguales que 0 y menores o iguales que 36, ya que podría haber una patente que tuviera cuatro dígitos 0 o cuatro dígitos 9. Observa que los elementos del recorrido deben estar asociados a otro del dominio. Así como, todos los elementos del dominio deben estar relacionados con uno y solo un elemento del recorrido; de lo contrario, no sería función.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

183

2. Representa en un diagrama sagital la variable aleatoria X: número de caras obtenidas, para el experimento aleatorio E: lanzar 3 monedas. Especifica de qué tipo es la variable, cuál es su dominio y cuál es su recorrido. Ω CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS

Solución: El espacio muestral (Ω), compuesto por los posibles resultados de E, es:

Ω = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}

En cada resultado es posible contar la cantidad de caras obtenidas y, así, asignar dicho valor a cada uno de ellos. Es decir, al resultado CCC se le asigna el número 3 pues se obtuvo 3 caras, al resultado CCS se le asigna 2 ya que se obtuvo 2 caras, etc. El diagrama sagital que representa lo anterior es el que se muestra a la izquierda.

2 1

Finalmente, el dominio de X es Ω (Dom(X) = Ω) y su recorrido es T = {0, 1, 2, 3} (Rec(X) = T), con lo que se puede concluir que X es una variable aleatoria discreta.

Ejercicios propuestos 1. Identifica el dominio Ω y el recorrido T de cada variable aleatoria. a. b. c. d.

Masa corporal de 200 estudiantes seleccionados al azar. Cantidad de llamadas telefónicas recibidas diariamente durante un mes. Tiempo que tardas en llegar al liceo desde tu casa durante una semana. Número de puntos obtenidos en la cara superior de un dado de seis caras.

2. Representa en un diagrama sagital la variable aleatoria X: suma de los puntos obtenidos en cada cara superior de los dados, asociada al experimento aleatorio E: lanzar 2 dados de seis caras cada uno. 3. Clasifica cada variable aleatoria en discreta o continua. a. b. c. d.

La calificación obtenida en una evaluación. La temperatura máxima de una región de Chile. El número de accidentes ocurridos durante un mes. La distancia alcanzada por los participantes en una competencia de salto.

4. Crea cinco variables aleatorias distintas considerando el experimento aleatorio E: lanzar cuatro monedas.

Para reforzar • Reúnete con una compañera o compañero y respondan lo siguiente: a. Expliquen con sus palabras los siguientes conceptos: experimento aleatorio, suceso y espacio muestral. b. ¿Qué es una variable aleatoria? Den 3 ejemplos que no hayan sido tratados hasta ahora. c. ¿Cómo se clasifican las variables aleatorias? Den 1 ejemplo de cada tipo, distintos a los dados hasta ahora. d. Resuman gráficamente la información dada hasta ahora.

184

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

CAPÍTULO

Función de probabilidad Como viste en las páginas anteriores, al definir una variable aleatoria (X), discreta o continua, a partir de un experimento aleatorio (E), se determina una función cuyo dominio es el espacio muestral (Ω) de E y su recorrido es un subconjunto (T) de . De ahora en adelante solamente trabajarás con variables aleatorias discretas. Una representación algebraica de la variable aleatoria (X) es la siguiente: X: Ω → T ⊆  Suceso  X(Suceso) Por ejemplo, en el segundo ejercicio resuelto de la página anterior, la variable aleatoria discreta X: número de caras obtenidas, se tiene lo siguiente: X(SSS) = 0, (suceso D: no obtener caras) X(CSS) = X(SCS) = X(SSC) = 1, (suceso C: obtener solo una cara) X(CCS) = X(CSC) = X(SCC) = 2, (suceso B: obtener solo dos caras) X(CCC) = 3, (suceso A: obtener tres caras) Como la función X se aplica a los resultados de un experimento aleatorio relacionado con ciertos sucesos, es posible preguntarse cuál es la probabilidad de ocurrencia de dichos sucesos. Por ejemplo, para el caso anterior, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra A? ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra B? ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra C? ¿Y la probabilidad de que ocurra D?

Glosario • Probabilidad: valor que representa el grado de certeza de ocurrencia de un suceso.

Para responder, es posible definir una función (f ) que relacione los elementos del recorrido de la variable aleatoria X con la probabilidad (P) de que ocurra el suceso respectivo a cada uno de ellos. Es decir: Varable aleatoria X: Ω → T ⊆  Suceso  X(Suceso) = xi

Función de probabilidad f: T ⊆  → [0, 1] xi  f(xi) = P(X = xi)

Ayuda

En el caso de las monedas: Donde el recorrido de f es el intervalo [0, 1], ya que la probabilidad de un suceso solo puede tomar valores entre 0 y 1(inclusive ambos); xi es el número real asignado a cada resultado x1 = 0 (no obtener caras) del experimento aleatorio asociado a la variable aleatoria X, es decir, cada elemento de x2 = 1 (obtener 1 cara) T ⊆ . Finalmente, P(X = x) corresponde a la probabilidad de que la variable aleatoria x3 = 2 (obtener 2 caras) 1 X adquiera el valor xi. x4 = 3 (obtener 3 caras) 8 3 Ejemplo 1 8 Volviendo al caso del lanzamiento de las tres monedas y considerando la variable 1 3 aleatoria discreta X: número de caras obtenidas, se tiene que: 8 8 Ayuda 3 1 Para calcular P(X = xi) se aplica la regla • f(0) = P(X = 0) = P(SSS) = = 0,125, (1 de los 8 posibles resultados es favorable.) 8 8 de Laplace: 3 #A • f(1) = P(X = 1) = P(CSS, SCS, SSC) = 1 = 0,375, (3 de los 8 posibles resultados son P(A) = 8 favorables.) #Ω 8 1 3 • f(2) = P(X = 2) = P(CCS, CSC, SCC) = 8 = 0,375, (3 de los 8 posibles resultados son En donde A es el suceso en que X = xi. 8 favorables.) 3 1 • f(3) = P(X = 3) = P(CCC) = = 0,125, (18 de los 8 posibles resultados es favorable.) 8 1 3 8 8 185 Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante 3 8

Ahora se qué... • Una función de probabilidad (f) es aquella que relaciona los elementos del recorrido de la variable aleatoria X con la probabilidad (P) de que ocurra el suceso respectivo a cada uno de ellos. Su representación algebraica es la siguiente: f: T → [0, 1] xi  f(xi) = P(X = xi)

✓

Ayuda Para comprender mejor los cálculos realizados escribe los 36 resultados posibles del experimento aleatorio E: lanzar dos dados de seis caras, y calcula la suma de sus puntos.

186

Donde T ⊆ , [0, 1] es el intervalo de números reales donde se encuentra la probabilidad de un suceso; xi es el número real asignado a cada resultado del experimento aleatorio asociado a la variable aleatoria X, y P(X = x) corresponde a la probabilidad de que la variable aleatoria X adquiera el valor xi. 11 11= 0,027 1= 0,027 36 = 0,027 0,027 3636 = 36 = 0,027 Ejercicios resueltos 22 36 22 0,05 = = 2 0,05 0,05 36 1. Calcula las probabilidades de los valores asociados a la variable aleatoria dis= 3636 = = 0,05 0,05 36 creta X: suma de los puntos obtenidos en las caras superiores, 33 36 para el experi= 333 0,083 = 0,083 mento aleatorio E: lanzar dos dados de seis caras. 0,083 36 = 3636 = = 0,083 0,083 36 44 36 Solución: 4= = 0,1 44 0,1 = 0,1 0,1 36 3636 = Para el experimento aleatorio E: lanzar dos dados, se tienen 36 posibles resultados. La = 0,1 36 36 5 variable aleatoria discreta X: suma de los puntos obtenidos, puede tomar números 5 5= 0,138 55= 0,138 = 0,138 36 enteros mayores o iguales que 2 (caso (1, 1)) y menores o iguales que (caso (6, 6)). = 0,138 3636 =12 0,138 36 66 36 66= Luego, la función de probabilidad (f ) está dada por: 0,,16 6= 0,=,16 0, 36 0,,,,16 16 3636 = = 0, 16 36 36 55 1 1 55= f(2) = P(X = 2) = 11 = f(8) = P(X = 8) = 0,138 0,027 = 5= 0,138 = 0,138 0,138 = 0,027 0,027 36 36 11 = 0,027 36 36 = 0,138 = 0,027 36 = 36 = 0,027 36 36 36 36 4 2 36 2 = 0,05 4 4 0,1 44 0,1 0,05 f(3) = P(X = 3) = 222 = f(9) = P(X = 9) = 36 = = = 0,1 0,05 36 2 = = = 0,05 36 36 = 0,1 0,1 = 0,05 36 36 = 0,05 36 36 36 33 36 33 36 3 33 = = 0,083 0,083 33 0,083 0,083 = 33 = f(4) = P(X = 4) = 36 f(10) = P(X = 10) = = 36 = 0,083 0,083 = 0,083 0,083 36 3636 = = 0,083 = 0,083 36 = 0,083 36 36 36 36 2 36 444 = 0,1 2 = 22 0,05 = 2 0,05 444 = = 0,05 = 0,1 0,1 36 f(5) = P(X = 5) = 36 f(11) = P(X = 11) = = = 0,1 36 36 = 0,05 0,05 = 0,1 36 36 = 0,1 36 36 36 11 36 55 36 = 0,138 0,138 111= 555 = = 0,027 0,027 0,027 0,138 36 36 5 = = = 0,138 3636 = f(6) = P(X = 6) = 36 f(12) = P(X = 12) = = 0,027 0,027 = 0,138 36 = 0,138 36 36 36 36 36 666 = 0,,16 66 = 0,,,16 36 6 = = 0, 0,,,16 16 0, 16 36 = f(7) = P(X = 7) = 36 = 0,,16 36 36 5 36 55 = 0,138 5 = 0,138 0,138 36 55 = = 0,138 36 = 0,138 0,138 36 = 36 36 2. Evalúa cada afirmación relacionada con la variable aleatoria discreta X: suma 4 36 44 = 0,1 44 = 0,1 de los puntos obtenidos en las caras superiores, para el experimento aleatorio = 0,1 36 4 = = 0,1 0,1 36 36 = 0,1caras, y señala si es verdadera (V) o falsa (F). Justifica 36 E: lanzar dos dados de seis 36 36 333 = 0,083 33 = 0,083 las falsas. 0,083 36 3 = 0,083 36 = 0,083 36 = = 0,083 36 36 a. Es más probable que la suma de los puntos sea 6. 2 36 22 = 0,05 22 = 0,05 = 0,05 36 Solución: falso.36 2 = = 0,05 0,05 36 = 0,05 36 36 Como en el ejercicio 11 resuelto anteriormente se construyó la función de probabili36 11 = 0,027 0,027los valores obtenidos para cada caso y observar que es 11 = dad, se pueden comparar = 36 = 0,027 0,027 36 = 0,027 36 = 0,027 de los puntos obtenidos sea 7. 36la suma más probable que 36 36 b. Lo menos probable es que la suma sea 2 ó 12. Solución: verdadero.

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

CAPÍTULO

c. La suma de las probabilidades de todos los sucesos descritos en la función de probabilidad (f ) es mayor que 1. Solución: falso. La suma de las probabilidades de todos los sucesos descritos en f es igual a 1, ya que: 36

∑ f(x ) = 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 = 36 =1. i

i =1

Esto se cumple para cualquier función de probabilidad.

Ahora se qué... • Una propiedad de toda función de probabilidad es que la suma de las probabilidades de todos los sucesos descritos en f es 1. Es decir: n

∑ f(x ) = 1 i

i=1

 x x +1 f(x) =  7 , si x = 1, 2 3. Verifica si la siguiente es una función de probabilidad. x +1 14  8 – x f(x) =  x +1 1+1 2 14 x +1  , 1, si x= f(1) = = x =f(x) 2,=33,y4,4.5 f(x) = f(x); =con  21 1+1 2 14 14 14 14  f(1) = =  0, en otro1+1 caso 2 Solución: 14 14 2 +1 3 x +1 1+1 2 f(1) =la propiedad = f(2) = en el= ejercif(x)f(1) == =  cumplir Si f es una función señalada 2 +1 de 3 probabilidad, 14 14 14 14 1414 debe 14 f(2) = anteriormente, = cio resuelto es1+1 decir, la2 suma de las 2probabilidades de todos los suce+1 3 4 3 +1 x +114 14 f(2) = = = f(3) = f(1)f(2) = = 2 +1 = = 3 = sosf(x) descritos en f debe ser 1. Para pensar 14 14 144 14 14 14 14 14 14 3 +1 4 f(3) = = 3 +1 4 4 +1 5 2 +1 34 1+1 144 2 14 3 +1 Para determinar si una función es de f(3) = = f(4) = = f(2)f(3) == == f(1) = = 144 14 14 14 14144 1414 14 4 +1 14 5 probabilidad, ¿es necesario conocer f(4) = = 4 +1 5 2 3 4 5 14 el experimento aleatorio, la variable 3 +1 45 2 +114 3 14 4 +1 f(4) = = + + + = =1 f(3)f(4) == == f(2) = = 2 143 144 5 14 144 1414 14 14 14 14 14 14 14 aleatoria asociada a este experimento Como + + + = =1, f14 es una función de probabilidad. o sus valores? 2 3 4 5 14 4 +1 5 4 14 14 14 3 +1 14 14 f(4)2=+ 3 += 4 + 5 = 14+=1 + + = =1 f(3) = = 14 14 14 144 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 Ejercicios propuestos 2 3 4 5 14 4 +1 5 + + + = =1 f(4) = = 14 de 14 los14valores 14 14 14 1. Calcula las14 probabilidades asociados a la variable aleatoria dis2 número 3 4 de5sellos, 14 para el experimento aleatorio E: lanzar cuatro monecreta X: Desafío + + + = =1 das. 14 14 14 14 14 n Verifi ca si la siguiente es una función 2x + 3 f(x i ) = 1 ∑ 2. Verifica si las siguientes son funciones de probabilidad. f(x) = dei =probabilidad: 1 45  x 2x + 3 x+9 a. f(x) = ; con x = 1, 2, 3, 4 y 5. b. f(x) = ; con x = 0, 1 y 2.  7 , si x = 1, 2 45 19  8 – x x+9 f(x) =  , si x = 3, 4, 5 f(x) =  21 3. Analiza las 19siguientes tablas de datos y calcula el valor de k en cada una de  ellas para que representen una función de probabilidad.  0, en otro caso  a. b. x f(x)

0 0,2

1 0,5

2 k

x f(x)

2 k

3 0,45

4 2k

Para reforzar • Reúnete con una compañera o compañero y respondan lo siguiente: a. Expliquen con sus palabras el concepto de función de probabilidad. b. Den 3 ejemplos de funciones de probabilidad que no hayan sido tratados hasta ahora. Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

187

Función de distribución Así como a partir de una variable aleatoria es posible definir una función de probabilidad (f ), también es factible establecer una función de distribución (F), con la cual se puede calcular la probabilidad acumulada de cierto suceso. Por ejemplo, en el primer ejercicio propuesto en la página anterior, se pide construir la función de probabilidad (f ) respecto a la variable aleatoria X: número de sellos, para el experimento aleatorio E: lanzar cuatro monedas. Con lo que f está dada por:

Ayuda Para representar como porcentaje el valor numérico de la probabilidad de un suceso, hay que multiplicar el resultado obtenido por 100.

1 f(0) = P(X = 0) = 1 = 0,0625, (el caso CCCC) 0,0625 16 = 16 44 0,25 f(1) = P(X = 1) = = = 0,25, (los casos CCCS, CCSC, CSCC y SCCC) 16 16 6 = 0,375 0,375 , (los casos CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC y SSCC) f(2) = P(X = 2) = 6 = 16 16 44 = 0,25 0,25, (los casos CSSS, SCSS, SSCS y SSSC) f(3) = P(X = 3) = 16 = 16 11 0,0625 = 0,0625, (el caso SSSS) f(4) = P(X = 4) = 16 = 16 1 1 44 66 44 = 0,0625 = 1+ +es posible + + + preguntar, Sin embargo, también por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de 16 = + 166 16 16 16 16 16 16 que se obtengan1como máximo 3 4sellos? 15 0,25 en que no se obtuvo sello, que se obtu15 Para responder, se deben considerar16 los=casos = = 16 vo 1 sello, 2 sellos y163 sellos, para luego 6 sumar las probabilidades de cada suceso. = = 0,375 = 0,9375 0,9375 16 Es posible expresar la pregunta realizada de la siguiente manera: ¿cuál es el valor de P(X ≤ 3)? Para responderla, se calcula4f(0) + f(1) + f(2) + f(3). = 0,25 16 P(X ≤ 3) =1f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 0,0625 = 16P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) 1 4 6 4 = + + + 16 16 16 16 15 = 16 = 0,9375 Por lo tanto, la probabilidad de que se obtengan como máximo 3 sellos en el lanzamiento de cuatro monedas es 0,9375, que es equivalente a 93,75%.

Ahora se qué... Dada una variable aleatoria X es posible definir una función de distribución (F), asociada al cálculo de la probabilidad acumulada de cierto suceso. Esto es: F: T → [0, 1] xi  F(xi) = P(X ≤ xi) Donde T ⊆ , P(X ≤ xi) = f(x1) + f(x2) + f(x3) + … + f(xi).

188

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Ejemplo 1 Volviendo al caso del lanzamiento de las cuatro monedas de la página anterior, se tiene que la función de distribución acumulada (F) asociada a la variable aleatoria discreta X: número de sellos obtenidos, está dada por: 1 1 1 1 1 = 0,0625 = 0,0625 = 0,0625 = 0,0625 16 16 16 16 16 = 0,0625 1 41 541 541 541 54 5 0,3125 F(1) = P(X ≤ 1) = f(0) + f(1)+= =+ ==+ ==+ 0,3125 ==+ 0,3125 ==0,3125 = 0,3125 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 1 41 641 11641 11641 1164 116 11 0,6 ==+ 0,6 F(2) = P(X ≤ 2) = f(0) + f(1)++ f(2)++= =++ ==+ ==+ 0,66875 +6875 ==0,66875 +6875 = 0,66875 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 1 41 641 4641 154641 15464 1546 154 15 +++= =+++ ==+ 0,9375 0,9375 0,9375 F(3) = P(X ≤ 3) = f(0) + f(1)++ f(2)+++ f(3) ++ ==+ ==0,9375 + ==+ = 0,9375 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 1616 16 16 16 1616 16 16 16 16 16 16 1 41 641 4641 14641161464 16146 1614 161 16 ++++ f(4) ++++= =++++=1 =+++ =1 =++ =1 =+ =1 F(4) = P(X ≤ 4) = f(0) + f(1)++ f(2)+++ f(3) = =1 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 1616 16 16 16 16 1616 1616 16 16 16 16 16 16

F(0) = P(X ≤ 0) = f(0) =

Ayuda Es posible representar la función F del ejemplo con la siguiente función por tramos: 0, 0625, si x = 0  0,3125, si x = 1 F(x) = 0, 6875, si x = 2  0, 9375,, si x = 3   1, si x = 4

En donde se confirma que F(3) = P(X ≤ 3) = 0,9375.

✓ Ejercicios resueltos 1. Analiza el ejemplo 1 dado anteriormente y responde. a. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtengan como máximo 2 sellos? Solución: La pregunta pide calcular P(X ≤ 2), que en este caso corresponde a F(2) = 0,6875. Luego, la probabilidad de que se obtengan como máximo 2 sellos en el lanzamiento de 4 monedas es 0,6875. b. ¿Cuál es el valor de P(3 ≤ X ≤ 4)?

Ayuda P(a ≤ X ≤ b) es equivalente a la probabilidad de que X tome valores mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

Solución: La pregunta pide calcular la probabilidad de que se obtengan al menos 3 sellos. Por lo tanto, se necesita calcular P(X ≤ 4) (que es el máximo posible de sellos) y restarle P(X ≤ 2). Luego: P(X ≤ 4) – P(X ≤ 2) = 1 – 0,6875 = 0,3125.

Ejercicios propuestos 1. Resuelve los siguientes problemas. a. Sea E: lanzar 5 monedas, y X: número de caras obtenidas, ¿cuál es la función de distribución asociada? ¿Y cuál es la probabilidad de que se obtengan al menos 3 caras? b. Sea E: lanzar 2 dados de 6 caras, y X: producto de los puntos obtenidos en las caras superiores, ¿cuál es la función de distribución asociada? ¿Y cuál es la probabilidad de que se obtenga un producto mayor que 15? 2. Analiza la tabla adjunta que representa una función de probabilidad y luego, calcula lo pedido. Para ello, calcula el valor de k. a. P(X ≤ 1)

b. P(X ≤ 2)

c. P(X ≤ 3)

d. P(2 ≤ X ≤ 4)

f(x) = P(X = x)

0,16

0, 3 0,16

0, 3083 k

0, 083

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

189

CAPÍTULO

Relación entre la función de probabilidad y la función de distribución Hasta ahora, has estudiado las funciones de probabilidad (f ) y de distribución (F) considerando variables aleatorias discretas. En este par de páginas se espera que logres comprender la relación existente entre estos conceptos. Para ello, analiza la resolución del siguiente problema y luego, responde.

Problema Considerando el experimento aleatorio E: extraer al azar una ficha de un dominó, y 7 la variable aleatoria discreta X: diferencia positiva de los puntos obtenidos,28 ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia positiva de los puntos obtenidos en la ficha 6 sea menor o igual que 3? 728 Ayuda 28 5 Solución: 6 En el caso del experimento con el 28 Primero se define el dominio y recorrido de la variable aleatoria discreta X: diferencia podominó, se tiene que: 28 4 sitiva de los puntos obtenidos en la ficha. Observa:777 5 #Ω = 28 28 28 28 28 28 3 Dom(X) = Ω = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), 66(0, 6), (1, 1), (1, 2), (1, 3), Esto se debe a que las fichas del tipo 6 (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 3), (2, 4), 7728 (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), 4 28 (a, b) y (b, a) son las mismas. 728 28 (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 5),28 (5, 6), (6, 6)} 282 28 555 28 Rec(X) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Así, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x28 664 = 3, x5 = 4, x6 = 5 y x7 = 6. 28 3 28 6 28 28 28 1 77 4 28 44 28 7 es posible determinar las siguientes Una vez hecho esto probabilidades considerando la 5 2 28 28 28 55 28 28 función de probabilidad (f ). 28 28 28 28 7 66 33 28 28 6 3 44 728 1 28 28 7 4 f(0) = P(X = 0) = 728 f(3) = P(X = 3) = 28 f(6) = P(X = 6) = 28 28 28 28 28 13 55 22 28 28 282 28 5 3 628 728 28 66 33 28 28 28 28 f(1) = P(X = 1) = 28 f(4) = P(X = 4) = 28 28 18 44 11 28 28 28 28 4 1 2 528 13 28 28 55 22 28 28 28 28 f(2) = P(X = 2) = 28 f(5) = P(X = 5) = 28 28 28 22 33 28 777 28 28 3 1 4 18 28 28 28 4 1 28 28 1 4 28 28 28 28 28 25 22 13 28 28 13 Calcular la probabilidad de que la diferencia positiva 28 282 13 de los puntos obtenidos en la ficha 7 3 22 33 que 3 es equivalente a calcular7728 sea menor o igual28 f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = P(X 28 ≤ 3), que 28 28 28 28 28 28 28 27 11valor de la función de distribución 18 corresponde a un28 (F): 28 18 28 28 1 18 13 22 25 28 28 28 13 28 28 13 2 28 28 Desafío 28 28 28 28 22 22 777 28 28 =1 F(0) = P(X ≤ 0) = 28 F(3) = P(X ≤ 3) = 28 F(6) = P(X ≤ 6) = 22 18 1 ¿Crees que se cumple lo siguiente? 27 288 28 28 128 18 28 18 128 28 Verifícalo en el problema dado. 28 28 28 13 25 28 28 25 13 28 28 13 25 F(1) = P(X ≤ 1) = F(4) = P(X ≤ 4) = 22 7728 28 f(x1) = F(x1) 28 22 28 28 22 728 =1 28 28 28 288 18 27 f(xi) = F(X = xi) – F(X = xi – 1) 28 28 27 18 28 28 18 27 13 F(2) = P(X ≤ 2) = 13 F(5) = P(X ≤ 5) = 25 28 28 25 28 28 25 13 28 28 28 28 22 28 28 28 28 22 28 28 22 28 =1 =1 27 18 =1 ficha de un juego de dominó, la 28 28 18 27 Por lo tanto, la probabilidad de que, al extraer al azar 28888 una 28 27 18 28 28 28 28 25 diferencia positiva de los puntos obtenidos sea menor 28 28 o igual que 3 es aproximadamente 25 28 28 25 28 79%, ya que F(3) 22 ≈ 0,79. 28 22 28 28 28 =1 22 28 =1 28 88 =1 28 27 28 28 27 28 8 28 27 • ¿Qué estrategia fue utilizada para resolver el problema? Descríbela paso a paso. 25 28 25 28 25 28 • Para resolver este tipo de problemas, ¿siempre es necesario definir la función de 28 28 28 28 28 =1 =1 probabilidad y28 la función de distribución asociadas a la variable aleatoria respecti27 =1 28 27 28888 28 va? Justifica. 27 28 28 28 to 28 190 4 Capítulo – Estadística y probabilidad 28 =1 28 =1 28 2888 =1

CAPÍTULO

Ahora se qué... Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores: x1 < x2 < x3 < … < xi F(x) es una función de distribución y f(x) una función de probabilidad asociadas a X, entonces: F(xi) = P(X ≤ xi) = f(x1) + f(x2) + f(x3) + … + f(xi) Además, se cumplen las siguientes relaciones: f(x1) = F(x1) f(xi) = F(X = xi) – F(X = xi – 1)

✓ Ejercicios resueltos 1. Analiza la función de distribución dada en el recuadro y luego, responde. a. Si f es la función de probabilidad asociada a F, ¿cuál es el valor de f(1)? Solución: Como en este caso x1 = 1 y en la sección Ahora sé que… se estableció que 4 f(x1) = F(x1), se tiene que f(1) = F(1) = . 15 14 7a F, ¿cuál 7 b. Si f es la función de probabilidad asociada es el valor de f(3)? – = 4 15 15 15 Solución: 15 que f(x ) = F(X = x ) – F(X = x ), Como en la sección Ahora sé que… se estableció i i i–1 14 7 7 se tiene en este caso que f(3) = F(3) – F(2) = – = . 15 15 15

 4 15 , si x =1   7 , si x = 2 F(x) = 15  14 , si x = 3 15   1 , si x = 4

c. Expresa las relaciones f(1) = F(1) y f(3) = F(3) – F(2) con probabilidades. Solución: f(1) = F(1) representado por probabilidades: P(X = 1) = P(X ≤ 1) f(3) = F(3) – F(2) representado por probabilidades: P(X = 3) = P(X ≤ 3) – P(X ≤ 2).

Ejercicios propuestos 1. Analiza la función de distribución dada en el recuadro y luego, responde. a. b. c. d.

Si f es la función de probabilidad asociada a F, ¿cuál es el valor de f(2)? Si f es la función de probabilidad asociada a F, ¿cuál es el valor de f(4)? ¿Cuál es el valor de k? ¿Cuál es la función de probabilidad asociada a F?

 3  23 , si x = 2   11 , si x = 3 F(x) =  23  17 , si x = 4  23   k , si x = 5

2. Resuelve el siguiente problema. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 5 monedas se obtengan al menos 3 caras?

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

191

Evaluación de proceso Te invitamos a poner en práctica los conocimientos adquiridos en esta primera parte del capítulo. Para ello, realiza las actividades en tu cuaderno. Finalmente, verifica tu nivel de logro alcanzado en cada contenido analizando la sección Mi estado.

Variable aleatoria 1. Identifica el dominio y el recorrido de cada variable aleatoria. a. Número de caras obtenido en el lanzamiento de 6 monedas. b. Tiempo (minutos) que tarda en descender un paracaidista desde 3.000 m de altura. c. Masa de 100 mallas de 8 papas cada una seleccionadas al azar en un supermercado. 2. Representa en un diagrama sagital la variable aleatoria X: suma de los cuadrados de los puntos obtenidos en cada cara superior de los dados, para el experimento aleatorio E: lanzar 2 dados de seis caras. Recuerda que para clasificar una variable aleatoria en discreta o continua, debes identificar los elementos que componen su recorrido.

3. Clasifica cada variable aleatoria en discreta o continua. a. Cantidad de respuestas correctas en una prueba de Matemática. b. Tiempo que dura la carga de la batería de un celular. c. Número de ampolletas utilizadas en un año.

Función de probabilidad Un dado de 8 caras es de la siguiente forma: Una función de probabilidad satisface que la suma de todos sus posibles valores es 1.

192

4. Calcula la probabilidad de los valores asociados a la variable aleatoria discreta 3x +1 X: suma de los puntos obtenidos en las f(x) caras = superiores, para el experimento aleatorio E: lanzar dos dados de 8 caras. 12 5x - 4 5. Verifica si las siguientes son funciones def(x) probabilidad. = 21  21 3x +1  3x +1  , si x =1 a. f(x) f(x) = = 12 ; con x = 0, 1 y 2.  12 c. f(x) =  41  20 5x 5x -- 44  , si x = 2 b. f(x) f(x) = = 21 ; con x = 1, 2, 3 y 4.  41 21 21 1  21,, si k si xx =1 =1 6. Analizalas siguientes tablas de datos y2calcula el valor de k en cada una de 41 41  f(x) = f(x)para = 20que representen una función de probabilidad. ellas  20 , si x = 2 , si x = 2  41 a. c.  41 11 k 1f(x) = 3x2+1 3 x 0 1 2 22 k x 12 5x - 4 f(x) = 4k k f(x) 3k k 0,1 f(x) 0,7 21  21 b. d.  , si x =1 f(x) =  41  20 6 7 8 0 1 2 x x  , si x = 2  41 1 0,32 2k 4k 2,3k f(x) 2k f(x) k 2

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Distribución de probabilidad 7. Resuelve los siguientes problemas. a. Sea E: lanzar 6 monedas, y X: número de sellos obtenido, ¿cuál es la función de distribución asociada? ¿Y cuál es la probabilidad de que se obtengan al menos 4 sellos? b. Sea E: lanzar 2 dados de 6 caras, y X: producto de los cuadrados de los puntos obtenidos en las caras superiores, ¿cuál es la función de distribución asociada? ¿Y cuál es la probabilidad de que se obtenga un producto mayor que 100? c. ¿Cuál es la función de distribución asociada? ¿Y cuál es la probabilidad de que se obtenga una suma menor o igual que 12 en el lanzamiento de dos dados de 8 caras?

Para resolver problemas de funciones de distribución es recomendable determinar la función de probabilidad asociada.

8. Analiza la tabla adjunta que representa una función de probabilidad y luego, calcula lo pedido. Para ello, calcula el valor de k. a. P(X ≤ 1)

b. P(X ≤ 2)

c. P(1 ≤ X ≤ 3)

x 1

d. P(2 ≤ X ≤ 3)

2 3

2 31 0, 4

f(x) = P(X = x) 22 k 31 31 0, 0, 44 0, 083 083 0,

 55  ,, sisi xx = = 11  31 31  0, 083  77 , si x = 2 , si x = 2  5 F(x) =1 31 31  , siF(x) x ==   31  18 18 = 33  7  ,, sisi xx = 31  , si x = 2 31  F(x) =  31  1, 1, sii x = 4   sii x = 4  18 , si x = 3  31   1, sii x = 4

Relación entre la función de probabilidad y de distribución 9. Analiza la función de distribución dada en el recuadro y luego, responde. a. b. c. d.

Si f es la función de probabilidad asociada a F, ¿cuál es el valor de f(1)? Si f es la función de probabilidad asociada a F, ¿cuál es el valor de f(3)? ¿Cuál es el valor de k? ¿Cuál es la función de probabilidad f asociada a F? 2 e. ¿Qué significa, en términos de probabilidad, f(2) = ? 31 0, 4 10. Resuelve los siguientes problemas. 0, 083se obtengan al menos a. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 7 monedas  5 3 caras?  , si x = 1  31obtengan al menos b. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 7 monedas se  7 5 sellos?  , si x = 2 F(x) = se 31 c. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 7 monedas  obtengan más de 5 caras?  18 , si x = 3  31   1, sii x = 4

Mi estado Evalúa tus aprendizajes. De no cumplir con el nivel de logro indicado en cada actividad, se recomienda, antes de seguir adelante, que vuelvas a las páginas señaladas en cada caso y refuerces los contenidos. Además, puedes realizar las actividades del hipertexto. Contenido

CAPÍTULO

Nivel de logro por actividad

Páginas para reforzar

Variable aleatoria

2 de 3

1 de 1

2 de 3

182 a 184

Función de probabilidad

1 de 1

2 de 3

3 de 4

185 a 187

Distribución de probabilidad

2 de 3

3 de 4

188 y 189

Relación entre la función de probabilidad y la función de distribución

3 de 5

2 de 3

190 y 191

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

193

 1  si x = 0  8  3  si x =1  f (x) =  8  3  1  si x = 2  si x = 0 8  8   3  1 Tanto la función de probabilidad (f ) como la función distribución (F) han sido repre de  si x =1 si x = 3  8 pueden  8 ser representadas de sentadas de manera algebraica. Sin embargo, también f (x) =  manera gráfica. A continuación se muestra la1 representación3gráfica de la función de 1 sixx==20  sitrabajada probabilidad de la variable aleatoria discreta X:8 número de caras, en la página  8 8  185, y la representación gráfica de su respectiva función de distribución acumulada.  3 13sisixx==1 3 88 8 f (x) =  de la variable aleatoria En el lanzamiento de tres monedas, la función de probabilidad 3  1 1 3  si x = 0  si x = 2 discreta X: número de caras, está dada por:  8  8 8 8    3 3 1  1  1 si x = 3 si x =1 si x = 0 • f(0) = P(X = 0) = P(SSS) = = 0,125   8  8 8 8  f (x) =  8   3  3 31 2  si x =1 • f(1) = P(X = 1) = P(CSS, SCS, SSC)= si x==0,375 8   8 88 f (x) =   1 13  3 3  =si x == 0,375  si x = 2 • f(2) = P(X = 2) = P(CCS, CSC, SCC)  8 88  8  1 3 1  si x = 3 • f(3) = P(X = 3) = P(CCC) = = 0,125 8  8 8 1 3 1 8 8 8 Herramientas tecnológicas 3 representar gráficamente una función de3 probabilidad de una variable aleatoria Para 8 discreta es posible utilizar Excel y realizar un8gráfico de barras simples. Sigue estos 1 pasos: 3 8 8 1Paso 1 Paso 3 8Ingresa los datos en una plantilla Completa los datos referidos a título del Excel. En este caso, puedes construir gráfico y título de cada eje. Luego, finaliza una tabla como la que se muestra. y se creará el gráfico.

Representación gráfica de las funciones de probabilidad y de distribución

Lanzamiento de 3 monedas

x 0 1 2 3

Ayuda Si solo tienes el gráfico, es posible estimar probabilidades específicas. Por ejemplo: 0,1 < P(X = 0) < 0,15 0,35 < P(X = 1) < 0,4 0,35 < P(X = 2) < 0,4 0,1 < P(X = 3) < 0,15

194

P(X = x) 0,125 0,375 0,375 0,125

Paso 2 Selecciona el gráfico a utilizar. En este caso, el de columnas..

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Probabilidad

Lanzamiento de 3 monedas

0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0

1 2 Número de caras

 , si x = ,0si x =,0si x = 0  8  8  8  8  4  4  4  4 , si x =1  , si x =1 , si x =1 , si xF(x)= =1 8 F(x)= F(x)= 8  F(x)=  8  8     7  7 , si x 7= ,2si x 7=,2si x = ,2si x = 2  Continuando con el lanzamiento de las 3 monedas la función  8 anteriormente,  8 descrito 8  8   1, si x = 3 de distribución (F) asociada está dada por:  1,3si x= 3 1, si x=1,3si x= 1 1  1 1 1  , si x = 0 • F(0) = P(X ≤ 0) = f(0) = = 0,125 8 8 8  8 8  4 1 4 3 1 4 3 1 +4 3 = 4 = 0,5 1 3  , si x =1 • F(1) = P(X ≤ 1) = f(0) + f(1)+= = + = = 0,5+ = =0,5 = 0,5 F(x)=  8 8 8 8 8 88 88 8 8 8 8  3 3+ 7 3 = 7 = 0,875 1 3 3 17 3 3 17 + 1 +3 f(2)  7 , si x = 2 • F(2) = P(X ≤ 2) = f(0) + f(1) = 0,875 =+ == 0,875 + + +== + + = 0,875 8 8  8 8 8 8 8 88 88 88 8 8 8  3 83 +1 3 8+ 1 = 8 =1 1 3 3 1 3= 1 +3 f(2) 83 +11 + 1, si x = 3 • F(3) = P(X ≤ 3) = f(0) + f(1) +=1= =1 ++ = + + +++ f(3) = +=1 8 8 8 8 8 8 8 8 88 8 88 8 8 8 8 8 1

Probabilidad acumulada

8 1 3 4 Herramientas + = = 0,5 tecnológicas 8 8 Para 8representar gráficamente una función de distribución (F) de una variable aleatoria 1 3 3 7 que en la función de probabilidad (f ) es posible utilizar Excel y realizar discreta, al igual + + = = 0,875 un los mismos pasos. 8 gráfi 8 co 8 siguiendo 8 1 3 3 1 8 + + + = =1 8 8 8 8 8 Función de distribución 1,2 1 Lanzamiento de 3 0,8 monedas 0,6 x P(X ≤ x) 0,4 0 0,125 0,2 1 0,5 0 2 0,875 0 1 2 3 Número de caras 3 1

CAPÍTULO

Ayuda En el gráfico es posible estimar probabilidades acumuladas. Por ejemplo: 0 < P(X ≤ 0) < 0,2 0,4 < P(X ≤ 1) < 0,6 0,8 < P(X ≤ 2) < 1 P(X ≤ 3) = 1

Ejercicios propuestos 1. Representa gráficamente la función de probabilidad y la función de distribución de las siguientes variables aleatorias, correspondientes al lanzamiento de dos dados de seis caras. Para ello, utiliza Excel. a. Suma de los puntos obtenidos en sus caras superiores. b. Producto de los puntos obtenidos en sus caras superiores. c. Cuadrado de la suma de los puntos obtenidos en sus caras superiores.

3. Analiza el gráfico y responde. Para ello, realiza una estimación de las probabilidades pedidas. a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener solamente 5 caras en el lanzamiento de 10 monedas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga como máximo 7 caras en el lanzamiento de 10 monedas? c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 1 sello?

Probabilidad acumulada

2. Compara los gráficos realizados en la actividad anterior y obtén una conclusión. Escríbela y fundamenta. 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Lanzamiento de 10 monedas

3 4 5 6 Número de caras

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

195

Distribución teórica y gráfica de frecuencias: simulaciones digitales Es posible analizar el comportamiento de las variables aleatorias discretas de manera teórica y experimental. Teóricamente, a partir de cierta información se puede pronosticar una situación, mientras que experimentalmente, a partir de la observación y análisis de una representación gráfica de ella. Observa:

Glosario • Equiprobable: el prefijo equi significa igual y probable deriva de probabilidad.

Situación 1 En el lanzamiento de un dado de seis caras se tiene que la variable aleatoria X: número de puntos obtenidos en la cara superior, puede ser analizada considerando que los sucesos: obtener 1 punto, obtener 2 puntos, obtener 3 puntos, obtener 4 puntos, obtener 5 puntos y obtener 6 puntos en su cara superior, son todos equiprobables. Si el dado es lanzado 50 veces, ¿en cuántas de ellas se obtendrían 5 puntos? De manera teórica, la probabilidad de que se obtengan 5 puntos al lanzar un dado de 1 1 6 caras es . Por6lo tanto, en 50 lanzamientos debieran obtenerse aproximadamente 6 1 8 veces, ya 1que 50 = 8,3 . ⋅ 50 6= ⋅8,3 6 Verifica este resultado realizando el experimento. Utilizaremos Excel para efectuar una simulación de la situación. Para ello, sigue los siguientes pasos: Paso 1 Para generar los resultados aleatorios de 50 lanzamientos digita en cualquier celda =entero(aleatorio()*(7–1)+1) y presiona Enter. Aparecerá un número entero entre 1 y 6.

Ayuda Para copiar la fórmula de una casilla a otra posiciona el cursor en el ángulo inferior derecho de la celda que la contiene:

Arrástrala de tal manera que cubra todas las celdas donde quieras que se aplique dicha fórmula. Solo es posible copiar celdas de manera vertical u horizontal por separado.

Paso 2 Copia la fórmula en otras 49 celdas. Así, el computador generará 50 números aleatorios enteros entre 1 y 6. Paso 3 Digita en otra celda “Número de veces que se obtuvo 5 puntos” y luego en otra de ellas, digita la fórmula =contar.si(A1:E10; “5”) y presiona Enter. Con esto, sabrás la cantidad de veces que se obtuvo 5 puntos en 50 lanzamientos del dado.

4 3 6 3 4 2 1 2 6 6

4 1 6 1 4 4 1 3 1 3 2 1 4 6 4 5 6 6 6 2 3 3 3 5 6 3 2 5 3 6 6 3 1 2 6 6 4 2 3 3 Número de veces que se obtuvo 5 puntos 3

• Realiza varios intentos más. ¿Qué conclusión puedes obtener? Compárala con la de tus compañeras y compañeros. • ¿Cuándo utilizarías los cálculos de manera teórica y cuándo de manera experimental? Explica.

196

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

CAPÍTULO

Gráficamente, la representación teórica y experimental de la frecuencia de la variable aleatoria discreta: número de puntos obtenido en la cara superior de un dado considerando 50 lanzamientos, es:

• •

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Representación experimental Lanzamiento de un dado 50 veces

Frecuencia

Representación teórica Lanzamiento de un dado 50 veces

3 4 Número de puntos

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

¿Se confirman las conclusiones obtenidas en la página anterior? Explica. Si aplicaras la ley de los grandes números al experimento y consideraras la misma variable aleatoria X: número de puntos obtenidos en la cara superior, ¿crees que las distribuciones se parecerían más? Justifica. Verifica tu conjetura del punto anterior utilizando Excel. Para ello, simula el lanzamiento del dado 100, 150 y 200 veces. ¿Qué ventajas tiene representar gráficamente una situación? Fundamenta.

3 4 Número de puntos

Glosario • Ley de los grandes números: a medida que se repite cierto experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un suceso se aproxima a un valor.

Ejercicios propuestos 1. Analiza el problema. Luego, realiza lo pedido. En una tómbola se introducen 20 bolitas numeradas del 1 al 20. Si el experimento E: extraer aleatoriamente una bolita, anotar el número que tiene escrito y luego devolverla a la tómbola, se realiza 25 veces, ¿en cuántas de estas extracciones se debiera obtener la bolita numerada con 18? a. b. c. d.

¿Cuál es la variable aleatoria involucrada en el problema? Aplica la regla de Laplace para resolver el problema. Utiliza Excel para simular la situación y responder la pregunta. Considera el mismo problema, pero suponiendo que el experimento se realiza 100 veces. Resuélvelo teórica y experimentalmente usando Excel.

2. Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a. Si se lanza 100 veces una moneda, en 50 oportunidades la moneda mostrará sello. b. Si se lanza un dado 50 veces, en 12 oportunidades se obtendrán 5 puntos en su cara superior. c. En la representación gráfica teórica de las frecuencias de una variable aleatoria discreta, considerando barras verticales, se tiene que las barras son todas de la misma altura. d. Mientras más veces se repita un experimento aleatorio, más parecidas serán las representaciones teórica y experimental de las frecuencias de una variable aleatoria discreta.

Ayuda Recuerda que la Regla de Laplace sirve para calcular la probabilidad de ocurrencia de un suceso (A), y es el cociente entre el número de casos favorables (#A) y el total de casos posibles (#Ω). #A P(A) = #Ω

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

197

También es posible comparar de manera teórica y experimental el comportamiento de una variable aleatoria discreta cuyos sucesos no son equiprobables. Analiza la siguiente situación: Situación 2 En el lanzamiento de una moneda, la variable aleatoria X: número de caras obtenidas, se tiene que los sucesos: obtener 1 cara y no obtener cara, son equiprobables. Sin embargo, al lanzar 4 monedas se tiene que la misma variable aleatoria X puede ser analizada teórica y experimentalmente considerando que los sucesos: obtener 1 cara, obtener 2 caras, obtener 3 caras y obtener 4 caras, no son equiprobables. Si se repitiera el lanzamiento de las 4 monedas 100 veces, ¿en cuántas de ellas se obtendrían exactamente 3 caras? 11 f(0) = P(X = 0) = ==0,0625 0,0625, (el caso CCCC) 16 16 44 f(1) = P(X = 1) = ==0,25 0,25, (los casos 1 CSSS, SCSS, SSCS y SSSC) 16 16 = 0,0625 16 66 f(2) = P(X = 2) = ==0,375 CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC y SSCC) 0,375, (los casos 4 16 16 = 0,25 16 44 f(3) = P(X = 3) = ==0,25 0,25, (los6casos CCCS, CCSC, CSCC y SCCC) 16 16 = 0,375 16 11 f(4) = P(X = 4) = ==0,0625 0,0625, (el caso 4 SSSS) 16 16 = 0,25 16 4 4 Es decir, teóricamente, en 100 ⋅100 ⋅100 ==0,25 0,25⋅repeticiones 100 ⋅100==25 25 del experimento aleatorio debiera ocurrir 1166se obtuvieran1 exactamente que en 25 de ellos 3 caras, ya que: = 0,0625 16 4 ⋅100 = 0,25 ⋅100 = 25 16 Verifica este resultado realizando el experimento. Utilizaremos Excel para efectuar una simulación digital de la situación. Para ello, sigue los siguientes pasos:

Glosario • Codificar: transformar un mensaje mediante las reglas de un código.

Paso 1 Para simular la situación, codificaremos los posibles resultados de los lanzamientos. Estos son: 4 caras CCCC: 1

3 caras CCCS: 2 CCSC: 3 CSCC: 4 SCCC: 5

2 caras CCSS: 6 CSCS: 7 CSSC: 8 SCCS: 9 SCSC: 10 SSCC: 11

1 caras CSSS: 12 SCSS: 13 SSCS: 14 SSSC: 15

0 cara SSSS: 16

Así, los números de color rojo representarán el suceso “obtener 4 caras”; los de color verde, “obtener 3 caras”; los de color azul, “obtener 2 caras”; los de color púrpura, “obtener 1 cara”; y los de color negro, “no obtener caras”.

198

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Paso 2 Para generar los resultados aleatorios de los 100 lanzamientos de las 4 monedas, después de codificar puedes digitar en cualquier celda de la hoja de cálculo (en este caso A1) =entero(aleatorio.entre(1;16)) y, posteriormente, presionar Enter. Aparecerá un número entero entre 1 y 16. Dependiendo de la versión de Oﬃce puedes usar =entero(aleatorio()*(16–1)+1. Paso 3 Copia la fórmula en otras 99 celdas. Así, se generarán 100 números entre 1 y 16. Paso 4 Digita en otras celdas “4 caras”, “3 caras”, “2 caras”, “1 cara” y “0 cara”. Luego, en otra casilla bajo las escritas digita la fórmula =contar.si(A1:E20; “1”), =contar.si(A1:E20; “2”), etc. A continuación, presiona Enter. Con esto, sabrás la cantidad de veces que se obtuvo cierto número de caras. •

Realiza varios intentos más. ¿Qué conclusión puedes obtener?

Gráficamente, la representación teórica y experimental de la frecuencia de la variable aleatoria discreta X: número de caras obtenidas en el lanzamiento de 4 monedas considerando 100 lanzamientos, es:

• •

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

2 3 Número de caras

11 15 5 5 3 14 2 11 15 11 2 8 16 13 16 3 16 14 15 10

5 9 9 1 7 9 2 15 7 3 12 8 9 5 13 3 9 3 11 14

7 4 9 7 14 11 10 10 7 12 13 14 4 8 4 16 8 10 11 1

11 11 2 6 6 1 10 14 8 2 14 14 10 14 11 8 13 16 1 6

4 caras 3 caras 2 caras 1 cara 0 cara 6 23 40 25 6

Representación experimental Lanzamiento de 4 monedas

Frecuencia

Representación teórica Lanzamiento de 4 monedas

5 8 14 15 3 14 9 1 12 15 1 2 5 4 11 7 13 16 11 2

45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

2 3 Número de caras

¿Se confirman las conclusiones obtenidas en la página anterior? Explica. Verifica tu conjetura del punto anterior utilizando Excel.

Ahora se qué... • Es posible comparar el comportamiento de una variable aleatoria discreta de manera teórica y experimental. Mientras más se simule el experimento, el comportamiento teórico y experimental serán más similares.

Ejercicio propuesto 3. Resuelve el siguiente problema. Si un estudiante lanza 100 veces 2 dados de seis caras, ¿cuántas veces se obtendrían 6 puntos como suma de los que se obtuvieron en las caras superiores de ambos dados?

Para pensar ¿Cuándo utilizarías los cálculos de manera teórica y cuándo de manera experimental? Explica. Si aplicaras la ley de los grandes números al experimento y consideraras la misma variable aleatoria X: número de caras obtenidas, ¿crees que las distribuciones se parecerían más? Justifica.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

199

CAPÍTULO

Valor esperado de una variable aleatoria discreta Hasta ahora has estudiado el comportamiento de variables aleatorias discretas por medio de las funciones de probabilidad y de distribución, de manera algebraica y gráfica. A continuación conocerás otro concepto importante: la esperanza matemática o valor esperado, con el que podrás seguir profundizando dicho comportamiento. Situación 1 Al realizar un concurso, se considera una tómbola con 3 bolitas, 2 de color verde (V, v) y una de color rojo (R). Para ganar se debe acertar la cantidad de bolitas verdes que se obtienen al extraer 2 bolitas de manera aleatoria y sin reposición. Se tiene que el espacio muestral del experimento aleatorio descrito es: Ω = {Vv, VR, vV, vR, RV, Rv}

Ayuda Para interpretar la media aritmética o valor esperado de una variable aleatoria discreta aproxima el valor obtenido.

xx = 00 0, 0, asi si la =variable La función de probabilidad (f ) asociada aleatoria X: número de bolitas     ff (x) = 0, 6, si x =1 verdes está dada por:  (x) = 0, 6, si x =1  0, 3, si x = 2  0, 3, si x = 2  f(0) = P(X = 0) = 0 (probabilidad de no obtener bolitas verdes) 0,6 (probabilidad de obtener 1 bolita verde) f(1) = P(X = 1) = 0,6 f(2) = P(X = 2) = 0,3 0,3 (probabilidad de obtener 2 bolitas verdes) 1,3 0, si x = 0 1,3 0, si x = 0  +0,2 6, 0,6 + 0,6 =1,3  0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0,6 00 + si x= ⋅ 0,6 0,3 ==1 00,⋅ 0f +  2 ⋅⋅ 0,3  +0,6 + 0,6 =1,3 sif1x(x) ==0+ 1,3 (x) = 0,6, si x =1   0,30,, si3,xsi=x2=2  f (x) = 1,3 0, 6, si x =1 n     n 30,6 ,=si0,6 x =(2xi ⋅ f(x i )) EE0,(X) ∑ (X) = ∑ ( xi ⋅ f(x ) 0 1 0, si xi )= i = 0,3 1  de manera aleatoria y sin repoi =extraen Por lo tanto, y de manera0,6 teórica, si0,3se 2 bolitas   f (x) = 0, 6, si x =1  1,3 1,3 sición, al menos una (exactamente ) es de color  verde, ya que la media aritmética 0,3 1,31,3  de la distribución es: ⋅00,+31,⋅si 0,6x = + 22 ⋅ 0,3 = 0 + 0,6 + 0,6 =1,3 1,30, si 0x ⋅=000+  1 ⋅ 0,6 + 2 ⋅ 0,3 = 0 + 0,6 + 0,6 =1,3   0,6 1,3 f (x)0=⋅00,+6,1⋅si0,6 x =1  + 2 ⋅ 0,3 = 0 + 0,6 + 0,6 =1,3 1,3  n  0,3  0, 3 , si x = 2  1,3  =n ∑( x i ⋅ f(x i )) E(X) Observa que el valor obtenidon(1,3 ) no necesariamente pertenece al recorrido de la E(X) =∑ i(=x1 i ⋅ f(x i )) 0,6 isi=0,1el si x = 0 se realizara varias veces y calcuvariable aleatoria considerada. Además, concurso E(X) = ∑ x ⋅ f(x ) ( ) 0 ⋅ 0i1,3 + 1⋅i0,6 + 2 ⋅ 0,3 = 0 + 0,6 + 0,6 =1,3 0,3 del número i = 1 1,3 laras la media aritmética f (x)de = bolitas 0, 6, si xverdes =1  obtenidas cada vez, este valor 1,3  0, 3, si x = 2  debería ser similar a 1,3 . 1,3 n  0 ⋅ 0 + 1⋅ 0,6 +E2(X) ⋅ 0,3 = 0(+x i0,6 ⋅ f(x+i ))0,6 =1,3 =∑ 0,6 Ahora se qué... i=1 1,3 0,3 1,3 La esperanza matemátican o valor esperado de una variable aleatoria discreta (X) 1,3iproductos E(X) = ∑de f(x )) corresponde a la sumatoria entre cada valor posible de X con su ( xi ⋅los 1 respectivo valor asociadoi =con la0función de probabilidad. Es0,6 posible ⋅ 0 + 1⋅ 0,6 + 2 ⋅ 0,3 = 0 + 0,6 + =1,3 representar este valor por E(X).1,3 1,3 n

E(X) = ∑( x i ⋅ f(x i )) i=1

1,3 Donde xi son los posibles valores que puede tomar X, n es la cantidad total de estos valores y f(xi) es la función de probabilidad asociada a xi. A la media aritmética de una distribución de una variable aleatoria X también se le llama valor esperado de X.

200

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

✓ Ejercicio resuelto 1. Resuelve el siguiente problema. Si consideras el concurso anterior con 4 bolitas, 3 verdes y 1 roja, de las cuales se extraen tres, ¿cuántas de ellas es esperable que sean verdes? Solución:

E(X) = ∑( x i ⋅ f(x i ))

Ayuda

Para aplicar la fórmula: E(X) = ∑( x i ⋅ f(x i )), es necesario conocer el espacio muestral i =1

del experimento aleatorio. Luego, es posible determinar la función de probabilidad n E(X) = ∑( x i ⋅ f(x i )) / en este caso n = 4 (0,1, 2, 3) asociada a la variable aleatoriai =1discreta X: número de bolitas verdes (observa el cuan dro Desafío), en donde los sucesos relacionados 18 no son 6 equiprobables. Así, la espeE(X) = ∑ ( x i ⋅ f(x i )) es: = 0 ⋅ 0 +1 ⋅ 0 + 2 ⋅ + 3 ⋅ ranza matemática 24 24 i =1 n 18 6 = 0 +/ 0en + este+caso n = 4 (0,1, 2, 3) E(X) = ∑( x i ⋅ f(x i )) 12 8 i =1 Número de = 2, 25 18 6 bolitas verdes = 0 ⋅ 0 +1 ⋅ 0 + 2 ⋅ + 3 ⋅ 24  24  0; si x = 0, 1 18 6  =0+0+ + 18 12 8f(x) =  ; si x = 2   24 = 2, 25  6   ; si x = 3  24  lo Por interpretarlo de la siguiente manera: al extraer 3 0; sitanto, x = 0, este 1 valor es posible  bolitas  18 es esperable que al menos 2 de ellas sean de color verde. f(x) =  ; si x = 2  24   6 ; sipropuestos x=3 Ejercicios  24 1. Analiza la siguiente situación. Luego, resuelve.

i =1

n El espacio muestral está compuesto E(X) = ∑( x i ⋅ f(x i )) por 24 elementos. i =1

= 0 ⋅ 0 +1 ⋅ 0 + 2 ⋅ =0+0+

Ayuda = 2, 25

18 6 + 3⋅ 24 24

18 6 + 12 8

  0; si x = 0, 1   18 f(x) =  ; si x = 2  24   6 ; si x = 3  24

En un curso de cierto liceo dos estudiantes intentan adivinar la suma de puntos que se obtendrá en el lanzamiento de dos dados. a. Describe la variable aleatoria X y su experimento aleatorio asociado. b. Si se lanzan 36 veces los dados, ¿cuántas veces, teóricamente, debieran obtenerse 2 puntos? ¿Cuántas veces 8 puntos? Define la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria. c. Identifica si los sucesos asociados a la variable aleatoria X son equiprobables. d. Calcula E(X). e. Simula en Excel 36 lanzamientos. Luego, calcula la media aritmética de los puntajes obtenidos y compara este valor con el resultado de d. f. Si se lanzan los dados 108 veces, calcula nuevamente E(X). ¿Cómo es este valor en comparación con el de la simulación de 36 lanzamientos? Si ahora simulas 108 lanzamientos y calculas la media aritmética de los puntos obtenidos, ¿cómo es este valor en comparación con el de la muestra de 36 lanzamientos? g. A partir de e y de f, ¿qué conclusión puedes obtener? 2. Evalúa si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica las falsas. a. La esperanza matemática de una variable aleatoria discreta corresponde a la media aritmética de los datos de la muestra relacionada. b. Si un dado es lanzado 10 veces, el valor de la media aritmética, con X: número de puntos obtenidos en cada lanzamiento, es igual al valor de la media aritmética si el dado fuera lanzado una vez.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

CAPÍTULO

201

/ en este c

Valor esperado, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta: aplicación e interpretación gráfica Una empresa dedicada a la fabricación de computadores quiere hacer un estudio sobre la cantidad de fallas que estos presentan al salir de fábrica. Para esto, considera 30 computadores listos para la venta y contabiliza los tipos de fallas que presentan, las que pueden ser de pantalla, sistema, batería, audio o video. El registro de esta información es el siguiente: 2 0 0

0 2 0

0 1 0

0 4 1

0 0 0

1 5 2

0 0 1

0 0 0

3 2 3

0 2 0

¿Cuál es el experimento aleatorio asociado y su respectiva variable aleatoria (X)? El experimento aleatorio consiste en elegir de manera aleatoria 30 computadores listos para la venta y contabilizar las fallas que presentan, mientras que la variable aleatoria asociada es X: número de fallas. ¿Qué valores “toma” la variable X y cómo se distribuyen en la muestra? Determina la función de probabilidad.

Ayuda

202

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Los valores que, en este caso, “toma” X son: 0, 1, 2, 3, 4 y 5, que corresponden al número de fallas que presenta cada computador elegido aleatoriamente. Al tabular los datos recogidos se puede apreciar en qué porcentaje se distribuyen: Computadores con fallas 0 1 2 X: número de fallas 17 4 5 Cantidad de computadores 57% 13% 17% Proporción 0,56 La función de probabilidad asociada a X está dada por: 0,13 f(0) = P(X = 0) = 0,56 f(2) = P(X = 2) = 0,16 f(1) = P(X = 1) = 0,13

f(3) = P(X = 3) = 0,06

3 2 7%

4 1 3%

5 0,561 3% 0,13 0,16 0,06

f(4) = P(X = 4) = 0,03 f(5) = P(X = 5) = 0,03

0,16 0,03 • ¿Cómo se relacionan los valores de color rojo de la tabla con los de f? 0,06 0,03 Representa gráficamente la función de probabilidad y la función de distribución. 0,03 Función de probabilidad Función de distribución 0,03 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 Número de fallas Número de fallas Cantidad de computadores

Cantidad de computadores

La función de probabilidad asociada al caso de los computadores con fallas es:  17  ; si x = 0  30  4  ; si x = 1  30  5  ; si x = 2  f(x) =  30  2  ; si x = 3  30  1  ; sii x = 4  30  1  ; si x = 5  30

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

i=1 i=1

Número de fallas

1 1 17 4 5 2 17 +1⋅⋅ 4 ++22⋅⋅ 5 ++33⋅⋅ 2 ++44⋅⋅ 1 ++55⋅⋅ 1 ==00⋅⋅ 30+1 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 29 los gráficos? ¿Qué tipo de preguntas es posible responder observando 29 0,96 == 30==0,96 30 Los gráficos son representaciones en otro formato de los datos6registrados en la tabla. n= 6 16 Al interpretarlos es posible responder preguntas como:xx== 1 ∑(x(x i⋅⋅ffi)) /N /N= =30 30=(to (tottalal(de datos) E(X) xde f(x ∑ ∑ i ⋅datos) i )) i i NN i =i =11 i=1 • ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir aleatoriamente uno de los 30 computa1 1 17⋅ 2 + 44⋅1+ 5 ⋅1)5 2 11 (0 ⋅máximo dores testeados, este tenga solo 1 falla? ¿que tenga==como 222fallas? 17+1 +1⋅⋅44++ ⋅ 33⋅¿que = (0 ⋅17 ⋅⋅550++ 2+1 + 4⋅ ⋅1++52⋅⋅1) + 3 ⋅ + 4 ⋅ + 5 ⋅ 30 30 30 30 30 30 30 30 tenga al menos 2 fallas? n = 629 29 29 0,96 =∑ ¿Cuál es el valor esperado de X? ¿Y el valor de laE(X) media ( xi =⋅ f(x = = 0,96 0,96 == aritmética? i )) 30= 30 i = 130 n= 6 96 1 6 1 0,0,96 1 17 4 5 2 n= 6= 0 ⋅ E(X) = ∑( x i ⋅ f(x i )) x = +∑ ⋅ ⋅ ⋅ 4 ⋅ (x i ⋅+fi5) ⋅ /N = 30 (total de datos) +1 + 2 + 3 n = 6 1, 03 N i=1 30 301,i ))03 30 E(X) 30= 30 E(X) = ∑( x i ⋅ f(x ( xi ⋅ f(xi =i 1))30 ∑ i=1 03 1 1= 29 =2,2, 17 4 5 2 i = 1 1 03 0,96 5⋅ = 0 ⋅ +1⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ + 4 ⋅ +17 = ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅1+ 5 ⋅1) 1 4(0 ⋅117 +1 4 5 2 03 30 30 30 30 30 ⋅ + 3 ⋅ =n =06+⋅ 17 4 ⋅ +1⋅30 + 5 ⋅+ 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 = n0=⋅6 30 +1⋅ 30 +3,3,203 30 )29 E(X) = ∑30 ))1 64, 0330E(X) = 30 ( xi ⋅ f(xi30 ( x30i ⋅ f(x ) 30 30 29 ∑ 30 30 30 x= ∑ = 30 (to=tial30 de=datos) 4, 03(x i ⋅ fi ) /N = = 0,96 0,96 i=1 i=1 29 N 30 29 30 i=1 =n = 6 = 0,96 96 2 17= 1=40,96 1 5 1730( x ⋅ f(x 4 50,0,96 1 1 2 E(X) 1 6 n= 6 ⋅ ⋅ + 50,+⋅96 = 0=⋅ ∑ +1i⋅ i+))12 ⋅ + 3=⋅ 0 ⋅ + 4+1 30 2 ⋅ + 3⋅ + 4 ⋅ + 5⋅ n= 6 t al de datos) x = (x ⋅ f ) /N = 30 (to 0, 03 6 i =el 1 1caso (030 17 + 2 ⋅ 530+30 36 ⋅ 2 +30430 ⋅ 4 30 ⋅1+ 5 ⋅1) 30 30=de los ∑ i i 30 30 30 0,⋅computadores? 03 +130 • ¿Cómo interpretan E(X) = )estos ⋅ f(x i )) en N se 1 datos) E(X) ) ( xi valores 1,(x03⋅ f ) /N = 30 (total de datos) i == 1 ∑ ( x i ⋅ f(x i ∑ x = ∑ (x i 30 ⋅ fi ) /N = 30 (totxal=de 29 1 1 17 4 5 2 0,96 i = 1 29 ∑ i i i=1 N⋅ i =punto • Si ahora suma de distancias 1 +2 0,96 n= 6 ⋅ y 0,96 0 ⋅ =cada +1 + 3 ⋅, =¿la + =4 ⋅0,96 N+i las 29 1 consideras las distancias==entre =51 ⋅ 03 n30 = 0,96 = 1co30 1(17 130=16,43 5= 65en 2gráfi 30 ) es2,igual 30 30 (0 ⋅17 +1bajo 217⋅recta 5 +53 ⋅4dibujada 2 + 42⋅30 1+ ⋅ 44+ la ⋅11)1el30 de=los puntos las( x i ⋅ f(x i )) ⋅ 0,96 E(X) =a∑ 17 ⋅ 0,96 =1 6 ,43 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 4 ⋅ + 5 ⋅ = 0 +1 + 2 + 3 30 30= 0 ⋅ +1⋅ + 2 ⋅ +E(X) f(x ))⋅ +1⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 26+14 ⋅1+3,5 03 +1=4(⋅6x i (0 +⋅17 3⋅ = ∑ 1) ⋅ 4 + ⋅+1 i5 i = 12 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅1+ 5 ⋅1) 29 1 n distancias 30 de los puntos que están por sobre ella? Observa el gráfi co. 30 30 30 30 30 30 = (0 17 ⋅ 30 30 n 3030(x i ⋅ fi 0,) 30 x =i ==1 ∑ tal de datos) =30 0,96 2 (to = (x i22⋅ fi ) /N = 30 (total de datos) 96/N =S230 29 11x∑ 30 (xx∑ i ––xx)) 1 1 4 5 2 4, 03 17 29 30 N i29 = =290,96 S ==2n∑ N ( =1 1 ii = 1 1 = 0 ⋅ +1⋅ + 17 4 5 Para 2 ⋅ pensar + 3⋅ + 4 ⋅ + 5⋅ i=1 30= = 0,96= = 0,96 29 n 1, 03 6 ⋅ =+ i+ = 14 ⋅ 0,96 = ⋅ ⋅ ⋅ + 5 ⋅ = 0 +1 2 + 3 Distribución de computadores testeados 1 30 30 30 30 30 30 30 0, 96 30 1 =datos)= 0,96 30i ⋅+1 302 ⋅30 30 x==301 ∑ fi ) ⋅2,4/N 0, 96 30 66 x5 +(to ¿En5qué (0 ⋅(x 17 3=⋅tal 2 +de4(030 ⋅⋅1+ ⋅1)30 305+1 17 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 + 4•⋅1+ ⋅ 4 + 29 ⋅1)casos se calcula el valor 6 03+ = x 1 N i = 1 1 30 0,=03 = 0,96 96(total de datos) n 30 0, 96 ⋅ f= ) 29t/N =0,30 esperado y en cuáles la media /N (x = i30 al=de datos) i (to 1, 03x = ∑ (xxi ⋅=fi )N ∑ 2 3, 03 S22 = n 29 30 2 ⋅f x 290,96 x – x i=1 ( N 5i = 1 ( ) n = 630 1 ∑ i – x ) ⋅ f ( x0,96 i) aritmética? S+=3∑ x 1,=⋅03 ) ( 0,96 = i i = (0 17 +1 4 + 2 5 2 + 4 1+ 5 1) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =1,0,96 03 2, 03 i=1 1 6 6 )) 4, 03 ⋅ f(x i = 1 30 1 E(X) = ∑( x130 i 30 i 1 x = (x ⋅ f ) /N = 30esperado, (total de¿separa datos)la • El valor 17 ⋅ 0,96∑ =16i,43i +03i3⋅5⋅fi2⋅)1)+ /N 4 ⋅1+ 1) tal de datos) = 305 ⋅(to 2 ⋅ 5+1 +ix=⋅314=⋅ 2+ +296 4⋅ 52,⋅(x 1+ ⋅ 4(0+⋅17 2, 03 ∑ N i=1 3, 03= (04 ⋅17=+1 0,N29 0, 96 0, 96 30 distribución en dos muestras de 30 1 0,96 = 4i ==3, 2 1 n 03 5 1 103 2 2 3, 4, 03 29 1 29 = 0 ⋅ 17 +11,⋅30 S = x – x ( ) igual tamaño? Observa el gráfi co 03 ⋅ + 4 ⋅ 1, 03 + 5⋅ + 2 ⋅ +0,3 03 = n∑ (0 ⋅17i +1⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅1+ 5 ⋅1) = =3 0,96= = 0,9630= 0,19630 30 30 30 30 4, 03 i=1 (0 17 +1 4 + 2 5 + 3 2 + 4 1+ 5 1) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ dibujado. 4, 03 30 30 0, 96 30 2, 03 0,96 302, 03 29 x 29 0, 96 0, 96 = = 0,96 1, 03 0, 96 0, 96 0, 03 2 = n = 0,96 3, 03 17 ⋅ 0,96 =1 6 ,43 30 = 293, 03 = 0,96 2 0, 03 2 30 1, 03 2, 03 0, 03 1, 03 n 6 30 0,96 S =∑ ( x i – x ) ⋅ f ( x i ) 4, 03 4, 03 2 1 1 2 0, 96 1 2, 03 x = ∑ (x03 /N = 30S(to=tal ∑ de datos) i=1 ( xi – x) i ⋅ fi )0,96 3, 03 =16,43 17 ⋅ 2, 0,96 0, 96 n i = 1 0, 96 0,96 N i =0,1 96 1, 03 6,43 1, 03 4, 0303 17 ⋅ 0,96 =1 ,43 3,103n 0 3, 03 2 0, 03 17 ⋅ 0,96 =12,603 x S2 = ∑( x i0– x) =5 1 (0 ⋅170, n+ 3 ⋅ 2 + 20 +1 4 + 2 5 42 ⋅1+ 5 ⋅1) 25 ⋅ ⋅ 10 15 n 30 1 4, 03 2 2, 03 0,0,96 96 S = 4,n03i = 1 2 1 30 ( x2i – xn ) 0,96 2 ∑ Sx2 =) ∑(3, x i 03 – x) n ⋅ S = x – x f ( Cantidad de computadores ( ) i = 1 ∑ i i 0, 96 3, 03 n 29 0,17 03 ⋅ 0,96 =16,43 =1 x 0, 96 17 ⋅ 0,96 =16i,43 i=1 = = 0,96 4, 03 x n 30 0, 03 4, 03 n 0,96 x n 2 2 0, 03 Hasta Seste curso, para calcular la desviación estándar de los datos dados 2 1 2 de una 1 2 2 ⋅ =∑ x – x f x n ( i )0,96( i 0,) 96 0, 96S = 2∑( xi – x) 2 S = ∑( xni – x)0, 96 2 17 ⋅ 0,96 =1 6 ,43 distribución has aplicado la fórmula: 0,96 i=1 nS i== 1∑( x i – x) ⋅ f ( x i ) n Si =21= ( x – x) ⋅ f ( x ) ∑ i 0, 03 i 1, 03 ⋅ 0,96 =16,43 0, 032x 1 n i = 1 2 i=1 17 ⋅ 0,96 =117 6,43 x S = x – x ( ) ∑ i 0,96 2,n 03 2 nn n 1 n 2 1 2 ( x –0,96 2 x ) S2 = i = 1 x – x 2 ⋅ f ( x ) 2 S2 = ∑( xSi –=x)∑ i =16,43 ( ) S = f (⋅x0,96 3, 03 ( xi – x) ⋅17 ∑ i i ∑ n i) i=1 6 ,43 17 ⋅ 0,96 =1 n x i = 1 Donde n es el tamaño de la muestra (eni =este caso n = 30), xi son i los 1 = 1 datos de la distrin 2 1 nn 4, 03 x aritmética 22 bución y x es la media estos 30 datos. S2 = ∑ ( x i – x ) 2de 21 S = x – x ⋅ S = f x ( ) ( ) ∑ ii n i=1 i n 0, 96 n 2 n ==11 2 2 la desviación Cuando quieras de una variable aleatoria discreta, xxii )– x) ⋅ f ( xiiiestándar ) ⋅ f0,((03 S2 =∑(calcular x i –S x=)∑ x i=1 x puedes aplicari = 1la fórmula: n 2 0,96 2 n 2 S2 = ∑ ( x i – x ) ⋅ f ( x i ) S =∑ ( x i – x ) ⋅ f ( x i ) i=1 17 ⋅ 0,96 =1i6=,43 1 2 1 n Donde n es la cantidad de puede tomar la variable aleatoria, xi son los S2 =valores ( xque ∑ i – x) n i = 1f(x ) es la probabilidad de ocurrencia de cada valor valores que toma dicha variable, i de la variable (P(X = xi)) y x es la media aritmética de los datos de la distribución, que cuando no se tengan los datosn este valor corresponde al valor esperado de X. 2 S2 = ∑ ( x i – x ) ⋅ f ( x i ) i=1

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

203

CAPÍTULO

E(X)== ∑((xx i⋅⋅f(x E(X) ∑ i f(xi i))))

¿Cuál es el valor de la varianza (S2) y de la desviación estándar (S) de X? Como en este caso la variable aleatoria es discreta, se tiene que: n= 6

2 S2 =∑( xi – x) ⋅ f(xi ) S2 = ∑(xi – x) ⋅ f(xi ) 2

n= 6

i=1

i=1 2

2  29  17  29  4 2 29  5 2 29  2 2 29  1 2 29  1 2 =0 –  ⋅ + 1– =0⋅ – 29+2⋅ –17 +1⋅– 29+3⋅ –4 + 2⋅– 29+ 4⋅ –5 + 3 ⋅– 29+ ⋅5 –2 + 4 ⋅– 29  ⋅ 1 + 5 – 29          30  30  30  30  30  30  30 30  30 30   30 30  30 30 30 30  30  30 30 30 30 30 30 =1,832 =1,832

Para pensar

∑( x – x)

i=1

2 ⋅ f(x i ) =S =1,832 ≈x1,354 ala diezmilésima) – x (redondeando ⋅ f(x ) = 1,832 ≈ 1,354 (redondeando ala diezmilésima)

∑(

)

i=1

0, 96 0, 96 de la desviación estándar calculado con el que resulta al aplicar • Compara el valor • ¿En qué situación el valor de la 2 1 n 2 2 1 n desviación estándar es cero en el S = ∑( x i – x) S2 = ∑ ( x i – x ) . la fórmula n i=1 caso de los computadores con fallas n i=1 en su pantalla? Descríbelo. ¿Qué representa la desviación estándar en una muestra de datos?

Número de fallas

Recuerda que la desviación estándar mide, en promedio, el grado de lejanía que tienen n= 6 los datos de la distribución con respecto a su media aritmética. 2 n = 6 S2 = ( x – x) ⋅ f(xi ) ∑ 2 n = 62 i S = x – x ⋅ f(x ) ( 2i i =)1 i 2 Distribución de computadores testeados ∑ i = 1 S =∑ ( x i – 2x ) ⋅ f(x i ) 2 6 2i = 1 29  17 2 29  4 2    29=0 –17 2 ⋅ 29+1–4 2 ⋅ 29+2 30  ⋅ 30 =0 –  ⋅ 30 29+1–17 29+2 –30 4  5  30=0 –30  ⋅ 30+1–30  ⋅ 30+2  30  30  30  30  =1,832 4 =1,832 n =1,832 2 3 n S= 2 ( x i – x ) ⋅ f(x i ) = 1,832 ≈ 1,3 ∑ S =2,32∑( x i – xi =n)1 ⋅ f(x i ) =2 1,832 ≈ 1,354 (red 2 i = 1S = ∑ ( x i – x ) ⋅ f(x i ) = 1,832 ≈ 1,3 0, 96i =+1 1,354 1 0, 96 0,196 n– 1,354 2 n S2 = 0 2( x i – x ) 1 - 0,39 ( x n1–∑ n S2 = 2 ix=)1 ∑ 0 5 10 15 20 25 30 2 i n i = S1 = ∑( x i – x) Cantidad de computadores n i=1

Glosario • Heterogéneo: diverso, disperso, variado, desigual, etc. • Homogéneo: uniforme, similar, etc. En un conjunto de datos se dice que mientras menos disperso sea el conjunto, este es más homogéneo.

• ¿Cuántos datos quedan fuera del intervalo [–0,39; 2,32]? • Si como criterio se dice que una distribución es heterogénea cuando el valor de la desviación estándar es mayor que 1, y homogénea si es menor o igual que 1, ¿cómo es la distribución de los computadores? ¿Qué puedes concluir con esta información? Luego, responde. • ¿Para qué sirve relacionar el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta?

Ahora se qué... • Al analizar la distribución de una variable aleatoria discreta con el valor esperado, la varianza y la desviación estándar es posible determinar el grado de dispersión de sus datos. • El valor esperado de una variable aleatoria discreta no necesariamente es un valor que pueda “tomar” dicha variable, mientras que si todos los valores de una variable aleatoria discreta coinciden con su promedio, la desviación estándar de dicha variable es cero.

204

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Ejercicios propuestos

0 1 2 3 4 5

1. Analiza la situación. Luego, responde. En un concurso de tiro al blanco (ver figura) se premiará al lanzador que obtenga más puntos. En una primera ronda todos los participantes lanzan solo una vez, quedando clasificados aquellos que obtengan la puntuación más alta. El resumen de la primera ronda es el siguiente: Lanzamiento de un dardo (1ª ronda) X: número de puntos 0 1 2 3 Frecuencia 2 7 12 24

4 20

CAPÍTULO

5 17

a. ¿Cuántos competidores participaron en el concurso? b. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir aleatoriamente un participante este haya obtenido 3 puntos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegirlo aleatoriamente haya obtenido como mínimo 2 puntos? d. ¿Cuál es el valor promedio de X? e. ¿Qué puedes afirmar sobre la dispersión de los valores de X? Para ello, calcula su desviación estándar. 2. Analiza el gráfico. Luego, responde. En la segunda ronda del concurso descrito en la actividad anterior, la variable Y: suma de puntos obtenidos en dos lanzamientos, se distribuye según el gráfico adjunto. Frecuencia

a. ¿Cuántos participantes clasificaron a esta ronda? b. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir aleatoriamente un participante de esta ronda él haya obtenido como mínimo 8 puntos? c. ¿Cuál es el valor promedio de Y? d. ¿Qué puedes afirmar sobre la dispersión de los valores de Y? Para ello, calcula su desviación estándar.

Lanzamiento de un dardo (2a ronda) 6 5 4 3 2 1 0

4 5 6 7 Número de puntos

3. Resuelve el siguiente problema.

1º mayor suma de puntos obtenidos. 2º mayor número de veces que acertó en la etapa al círculo que corresponde a 5 puntos. 3º menor desviación estándar.

Lanzamiento de un dardo (3a ronda) Número de puntos

Los 4 participantes (A, B, C y D) que llegan a la etapa fi nal del concurso del lanzamiento de dardos descrito hasta ahora, deben realizar 4 lanzamientos cada uno. El ganador se determinará por los siguientes criterios:

6 5 4 3 2 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Número de lanzamiento

Si dos o más jugadores igualan en suma de puntos, serán evaluados de acuerdo al segundo criterio. Si continúan igualados según este criterio, entonces se aplicará el tercero. Si la distribución de la variable aleatoria Z: número de puntos, es representada por el gráfico adjunto, en el que los cuatro primeros lanzamientos son del participante A; los cuatro segundos, del B; etc, ¿qué jugador ganó la competencia?

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

205

Distribución de una variable aleatoria discreta: media, varianza y desviación estándar

Probabilidad

Hasta ahora, has estudiado el comportamiento de una variable aleatoria discreta considerando los valores que esta puede adquirir. A continuación, a partir de la función de distribución asociada a cierta variable aleatoria discreta, se calculará la media, la varianza y la desviación estándar de la distribución de dicha variable. Para ello, analiza los siguientes gráficos. Ambos representan la función de distribución (F) de cierta variable aleatoria discreta (X): 0, 06 0, 06 Encuesta a 15 estudiantes: ¿cuántos hermanos tienes? Encuesta a 15 estudiantes: ¿cuántos 0,hermanos tienes? 46 0, 46 1 1 1 1 0, 06 0, 53 0, 53 0,9 0,9 0, 06 0,8 0,8 0, 46 0,73 0,73 0, 46 0,7 0,7 0, 06 0, 06 0, 53 0,6 0,6 0, 53 0, 46 0, 46 0,5 0,5 0,73 0,73 0, 53 0,4 0,4 0, 53 0,3 0,3 0,73 0,73 0,2 0,2 0, 06 0,1 0, 06 0,1 0, 465 0 0, 46 0 E(X) = 5 1 2 3 4 5 0 1∑( x i ⋅ 2f(x i )) 3 4 5 6 0, 53i = 1 Número de hermanos Número de hermanos E(X) = ∑( x i ⋅ f(x i )) 0, 53 i=1 =1 0,73⋅ 0,06 + 2 ⋅ 0,4 + 3 ⋅ 0,06 + 4 ⋅ 0,2 + 5 ⋅ 0,26 0,73 ⋅ 0,06 + 2 ⋅ 0,4 +los 5 ⋅ 0,26 3 ⋅ gráficos? 0,06 + 4 ⋅ 0,2=+ 3,2 ¿Qué datos=1 proporcionan Ayuda = 3,2 5 2 En este caso, la variable en estudio es X: número de hermanos, y puede adquirir los Para determinar la función de probabiS2 =∑( x i – x) ⋅ f(x i ) 5 2 valores enteros 1, 2, 3, 4 ó 5. Además, se consideraron 15 respuestas, es decir, 15 da2 i=1 lidad, recuerda que: S =∑( x i – x) ⋅ f(x i ) tos. También es posible calcular la probabilidad específica y acumulada de que al es2 2 i = 1 f(xi) = F(xi) – F(xi - 1). =(1– 3,2) ⋅ 0,06 + (2 – 3,2) ⋅ 0,4 + (3 – 3,2)2 ⋅ 0,06 + (4 – 3,2)2 ⋅ 0, coger un encuestado al azar este tenga un determinado número 2 2 2 de hermanos. 2 =(1– 3,2) ⋅ 0,06 + (2 – 3,2) ⋅ 0,4 + = (3 1,893 – 3,2) ⋅ 0,06 + (4 – 3,2) ⋅ 0,2 +(5 – 3,2)2 ⋅Por 0,26 ejemplo, la probabilidad de que al elegir un encuestado aleatoriamente este tenga = 1,893 la de= que como máximo 3 hermanos es 0,53 –y 0,46 0,06 tenga exactamente 3 hermanos es 0,53 – 0,46 = 0,06 . ¿Es posible estudiar la distribución de la variable aleatoria X: número de hermanos, a partir del gráfico de su función de distribución asociada? Para realizar esto, se puede calcular la desviación estándar de X. Para esto: 5

Desafío Calcula el promedio de los datos de la distribución y verifica que es igual al valor esperado de X.

E(X) = ∑( x i ⋅ f(x i )) i=1

=1⋅ 0,06 + 2 ⋅ 0,4 + 3 ⋅ 0,06 + 4 ⋅ 0,2 + 5 ⋅ 0,26 = 3,2 5

2 + 5 ⋅ 0,26 ⋅ 0,06(+ =1⋅ 0,06 + 2 ⋅ 0,4 +S32 = x i 4–⋅x0,2 f(xX, ) ⋅de ∑ i ) es posible calcular la varianza de X: Una vez calculado el valor esperado i=1 = 3,2 5 =(1– 3,2)2 ⋅ 0,06 + (2 – 3,2)2 ⋅ 0,4 + (3 – 3,2)2 ⋅ 0,06 + (4 – 3,2)2 ⋅ 0,2 +(5 – 3,2)2 ⋅ 0,26 2 2 S =∑( x i – x) ⋅ f(x i ) = 1,893 i=1 2 ⋅ 0,0–60,46 =(1– 3,2)0,53 + (2=–0,06 3,2)2 ⋅ 0,4 + (3 – 3,2)2 ⋅ 0,06 + (4 – 3,2)2 ⋅ 0,2 +(5 – 3,2)2 ⋅ 0,26

= 1,893 0,53 – 0,46 = 0,06 Luego, la desviación estándar (S) es aproximadamente 1,38, que corresponde a la raíz cuadrada de S2. Finalmente, es posible afirmar que los datos de la distribución de X: número de hermanos, son muy dispersos con respecto a su media aritmética.

206

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

CAPÍTULO

Ahora se qué... • A partir del gráfi co de la función de distribución asociada a una variable aleatoria discreta, es posible calcular su desviación estándar. Para ello, es necesario determinar previamente el valor esperado y la varianza de dicha variable.

Ejercicios propuestos

Distribución acumulada grupo A: ¿a cuántos cumpleaños has asistido este año? 1 0,94 0,97 0,97 0,9 0,8 0,7 0,6 0,47 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,03 0,09 0 0 1 2 3 4 5 Número de cumpleaños

Distribución acumulada grupo B: ¿a cuántos cumpleaños has asistido este año?

1,00

Probabilidad

1. Analiza los gráficos y determina qué distribución es más homogénea. Para ello, compara sus desviaciones estándar.

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

1,00

0,85 0,71 0,56 0,41 0,26 0,12 0

1 2 3 4 Número de cumpleaños

2. Evalúa la veracidad de las siguientes afirmaciones, considerando los gráficos de la actividad anterior. Para ello, escribe V o F, según corresponda. Justifica las falsas. a. Los gráficos representan la misma situación pero con distintos grupos de encuestados. b. Es posible determinar la cantidad de integrantes de cada grupo. c. Para calcular la media aritmética de las distribuciones, basta con aplicar la 1 6 fórmula x = ∑ (x i ⋅ fi ) . N i=1 d. Al comparar dos distribuciones de variables aleatorias, se dirá que es más dispersa aquella que tenga una mayor desviación estándar. 3. Analiza cada situación. Luego, resuelve. Situación 1 Considera la variable aleatoria discreta X: número de libros leídos durante el último año, cuyos valores varían entre 0 y 6. a. Crea una distribución de datos cuya media aritmética sea mayor que 4. b. Crea una distribución de datos cuya desviación estándar sea menor que 1. Situación 2 Considera la variable aleatoria discreta Y: suma de puntos obtenidos en el lanzamiento de 3 dados de seis caras. a. Crea una distribución de datos cuya media aritmética sea menor que 9. b. Crea una distribución de datos cuya desviación estándar sea mayor que 1.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

207

Evaluación de proceso Te invitamos a poner en práctica los conocimientos adquiridos hasta esta parte del capítulo. Para ello, realiza las actividades en tu cuaderno. Finalmente, verifica tu nivel de logro alcanzado en cada contenido analizando la sección Mi estado.

Representación gráfica de las funciones de probabilidad y de distribución 1. Analiza el gráfico y responde. Lanzamiento de 10 monedas

Probabilidad acumulada

En gráficos de funciones de probabilidad y de funciones de distribución es posible realizar estimaciones de probabilidades específicas y acumuladas.

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

3 4 5 6 Número de caras

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo 7 caras? b. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga como máximo 4 caras? c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 3 sellos?

Distribución teórica y gráfica de frecuencias: simulaciones digitales Mientras más veces se realice el experimento, el comportamiento teórico y experimental serán más similares.

2. Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a. Si de una tómbola con 15 bolitas numeradas del 1 al 15 se extrae de manera aleatoria 150 veces una de ellas, devolviendo a la tómbola la bolita extraída cada vez, en 10 oportunidades se extraerá la bolita numerada con el valor 7. b. Es necesario repetir 100 veces un experimento aleatorio para que las representaciones teórica y experimental de las frecuencias de una variable aleatoria discreta sean idénticas. c. La representación gráfica teórica de las frecuencias de la variable aleatoria discreta X: número de caras, en el lanzamiento de una moneda, es idéntica a la de la variable Y: número impreso en la bolita, en la extracción de una bolita numerada del 1 al 2 en una tómbola con dos bolitas.

Valor esperado de una variable aleatoria discreta 3. Analiza la siguiente situación. Luego, resuelve. En un curso de cierto liceo dos estudiantes intentan predecir la cantidad de sellos que se obtendrá en el lanzamiento de 5 monedas. a. Describe la variable aleatoria y su experimento aleatorio asociado. b. Si las monedas se lanzan 64 veces, ¿cuántas veces, teóricamente, debieran obtenerse solo dos sellos? Define la función de probabilidad asociada. c. Identifica si los sucesos asociados a la variable aleatoria X descrita son equiprobables. Calcula E(X). d. Simula con Excel, 64 lanzamientos. Luego, calcula la media aritmética de la cantidad de sellos obtenidos en cada lanzamiento y compara este valor con el obtenido en c.

208

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Valor esperado, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta: aplicación e interpretación gráfica 4. Resuelve el siguiente problema.

Número de puntos

Cuatro estudiantes juegan con un dado de seis caras. El gaLanzamiento de un dado nador se determinará por los siguientes criterios: 6 1º mayor suma de puntos obtenidos. 5 2º mayor número de veces que obtuvo 6 puntos en la cara 4 superior del dado. 3 3º menor desviación estándar. 2 Si dos o más jugadores igualan en suma de puntos, serán 1 evaluados de acuerdo al segundo criterio. Si continúan igua0 lados según este criterio, entonces se aplicará el tercero. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Número de lanzamiento Si la distribución de la variable aleatoria X: número de puntos, es representada por el gráfico adjunto, en el que los cuatro primeros lanzamientos son del participante A; los cuatro segundos, del B; etc, ¿qué jugador ganó la competencia?

Distribución de una variable aleatoria discreta: media, varianza y desviación estándar

Distribución acumulada grupo A: ¿a cuántos cumpleaños has asistido este año? 0,97 1 0,91 0,94 0,9 0,82 0,85 0,88 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 1 2 3 4 5 Número de cumpleaños

En un conjunto de datos se dice que mientras menos disperso sea este, es más homogéneo.

Distribución acumulada grupo B: ¿a cuántos cumpleaños has asistido este año?

1,00

Probabilidad

5. Analiza los gráficos y determina qué distribución es más homogénea. Para ello, compara sus desviaciones estándar.

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

1,00

0,85 0,71 0,56 0,41 0,26 0,12 0

1 2 3 4 Número de cumpleaños

Nivel de logro por actividad

Páginas para reforzar

Representación gráfica de las funciones de probabilidad y de distribución

2 de 3

194 y 195

Distribución teórica y gráfica de frecuencias: simulaciones digitales

2 de 3

196 a 199

Valor esperado de una variable aleatoria discreta

3 de 5

200 y 201

Valor esperado, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta: aplicación e interpretación gráfica

1 de 1

202 a 205

Distribución de una variable aleatoria discreta: media, varianza y desviación estándar

1 de 1

206 y 207

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

209

CAPÍTULO

Experimentos binomiales y modelo probabilístico De aquí en adelante, el capítulo se centrará en el cálculo de probabilidades. Para ello, se buscará establecer un modelo matemático para resolver cierto tipo de problemas. Es decir, se determinará un modelo probabilístico. Para ello, analiza los siguientes problemas.

Problema 1 Se tiene la urna de la figura con bolitas del mismo tamaño y textura. Si se extraen con reposición 3 bolitas, ¿cuál es la probabilidad de sacar 2 bolitas rojas?

Glosario • Extraer un elemento de un conjunto con reposición quiere decir que luego de observar las características de dicho elemento, este es devuelto al conjunto. Por lo tanto, dicho elemento puede ser extraído nuevamente. • Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no inﬂuye en la ocurrencia del otro.

Para abordar este problema, se simulará, con ayuda de Excel, un gran número de veces el experimento y se calculará la frecuencia relativa de cada resultado posible. Pero antes, definamos algunas cosas: Sea R: bolita de color rojo, V: bolita de color verde, A: bolita de color azul y B: bolita de color blanco. Luego, el espacio muestral del experimento aleatorio “extraer 3 bolitas de la urna” está compuesto por 64 resultados (RRR, RRB, RRA, RRV, etc.) pero, dependiendo del experimento, determinar las características precisas de cada uno de ellos puede ser una tarea compleja. Para este caso, es posible denominar como éxito (E) al suceso “obtener una bolita de color rojo” y como fracaso (F), cualquier otro resultado. Así, el espacio muestral, considerando solo estos dos resultados independientes, está formado por 8 elementos: Ω = {FFF, FFE, FEF, EFF, FEE, EFE, EEF, EEE} Donde los resultados VAB, AVB, BBB, VVV, AAA, BBA, etc. corresponden al caso FFF, ya que ninguna bolita que se extrajo es de color rojo; mientras que solo el resultado RRR corresponde al caso EEE. 1 P(E) = 1 4 También se tiene que la probabilidad de éxito P(E) = es menor que la de fracaso 4 3 P(F) = , porque de las 4 bolitas de la urna, 1 es roja y las3 3 restantes son de otro color. 4 P(F) = 4 A continuación, la tabla muestra la simulación del experimento repetido hasta 5.000 veces. Es decir, muestra 5.000 veces en las que se extrajo 3 bolitas. Simulación problema 1 Número de veces que se realizó el experimento

Desafío Simula con Excel 10.000 repeticiones del experimento “extraer 3 bolitas de la urna”. Como pista, investiga en Excel las funciones ALEATORIO(), CONCATENAR() y CONTAR.SI.

210

FFF (0 E)

FFE (1 E)

FEF (1 E)

EFF (1 E)

FEE (2 E)

EFE (2 E)

EEF (2 E)

EEE Número (3 E) de éxitos

100

1.000

420

132

152

135

757

2.000

863

267

283

265

1.489

3.000

1.255

417

415

419

149

147

150

2.287

5.000

2.093

706

702

691

248

228

245

3.802

• Explica cómo crees que se obtuvo los valores de la columna “Número de éxitos”. • ¿Puedes observar alguna tendencia en la tabla? Fundamenta.

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Si se expresan los resultados tabulados anteriormente en una tabla de frecuencias relativas redondeadas a la milésima, se obtiene lo siguiente: Simulación problema 1 Número de veces que se realizó el experimento

fr (FFF) (0 E)

fr (FFE) (1 E)

fr (FEF) (1 E)

fr (EFF) (1 E)

fr (FEE) (2 E)

fr (EFE) (2 E)

fr (EEF) (2 E)

fr (EEE) (3 E)

Número de éxitos

0,2

0,1

0,2

0,3

0,1

0,367

100

0,39

0,14

0,15

0,07

0,05

0,04

0,02

0,27

1.000

0,42

0,132

0,152

0,135

0,048

0,05

0,043

0,016

0,252

2.000

0,432

0,134

0,142

0,133

0,047

0,05

0,015

0,248

3.000

0,418

0,139

0,138

0,14

0,05

0,049

0,05

0,016

0,254

5.000

0,419

0,141

0,14

0,138

0,05

0,046

0,049

0,017

0,253

Los siguientes gráficos representan las frecuencias relativas de algunos casos: Simulación fr (FFF) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Número de repeticiones del experimento

Simulación fr (FFE) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Número de repeticiones del experimento

Simulación fr (FEE) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Número de repeticiones del experimento

Simulación fr (EEE) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Número de repeticiones del experimento

Los gráficos de los casos FEF y EFF son similares al de FFE; mientras que los gráficos de EFE y EEF son similares al de FEE. • ¿A qué valor “tiende” la frecuencia relativa de cada caso a medida que se repite un gran número de veces el experimento “extraer 3 bolitas de la urna”? • Si el experimento se realizara 10.000 veces (es decir, 30.000 extracciones), ¿cuántas veces se obtendría una extracción que correspondiera a un éxito? Observa la columna “fr del número de éxitos”. • Con lo propuesto hasta acá, ¿es posible resolver el problema inicial de la página anterior?

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

211

CAPÍTULO

1 4 3 4 1 4 3 4

212

11 P(E) = 11 P(E) = P(E) P(E) = = 444 P(E) = 1 433 4 Más información que puede ser útil para resolver elP(F) problema la presenta un diagrama 1 = 33 P(F) = 4 P(F) = 14 3 1 4 E = 27 de árbol entre los éxitos y fracasos. Recuerda que P(F) P(E)== 44 3y P(F) . 4 33 ⋅ 333 ⋅ 333 =427 1 E 43 P(FFF) = = 0,422 27 P(FFF) = ⋅ ⋅⋅ 43 = = 0,422 27 64 P(FFF) = = = 3en 30,422 27 3 443 ⋅⋅ 443(P(EEE)) 4 64 4 F P(FFF) = ⋅ = = 0,422 Así, por ejemplo, la probabilidad de obtener 3 bolitas rojas 3⋅ 3extraccio43 443 441 =64 ⋅ = = 0,422 P(F) = 443 P(FFF) 64 9 4 4 64 4 33 ⋅ 33 ⋅ 11 = 994 la=4probabilidad 31 nes seguidas, reponiendo la bolita extraída, se calcula multiplicando P(FFE) = 0,141 P(FFE) = 0,141 E 33 ⋅⋅ 433 ⋅⋅ 413 = 93 = 4 64 P(FFE) = = = 0,141 3 1 9 27 dada en cada rama del diagrama de árbol. 44 ⋅⋅ 44 = 4 P(FFE) 1 64 ⋅= ⋅ = = 0,141 P(FFF)== 4443 ⋅⋅P(FFE) ==64 = 0,141 0,422 4 4 64 1 1 3 9 1 4 64 11 334 ⋅ 114 ⋅ 334 = 64 994 =40,141 3 P(E) = P(FEF) = 4 E P(FEF) = 0,141 33 ⋅⋅ 41a3 ⋅⋅la 31 = 939 = Luego,P(E) las= probabilidades de cada caso, redondeadas milésima, 441 4 4 64 P(FEF) = = = 0,141 P(E) = 1 3 son 9 las 4 4 4 4 64 4 P(FEF) = ⋅ ⋅ = = 0,141 P(E) = 4 F 3 443 ⋅ 443 ==64 ⋅ = 0,141 ⋅ = = 0,141 P(FFE) = 441 ⋅P(FEF) siguientes: 64 3 9 4 4 64 33 994 =40,141 F P(F) = P(E F) = = 114 ⋅⋅ 334 ⋅⋅ 334 = = 64 43 P(F) = P(E FFFF) = 0,141 1 3 3 9 3 4 4 4 4 64 P(E F) = ⋅ ⋅ = = 0,141 P(F) = 1 3 3 9 3 1 3 9 4 44 ⋅⋅F44F)===64 P(E FF) == 44 ⋅⋅P(E P(F) = 44 64 ⋅==0,141 ⋅ = = 0,141 P(FEF) 0,141 4 4 4 64 3 1 1 3 4 33 33 33 27 4 7 64 334 =40,04 P(FFF) = = 3 ⋅⋅ 3 ⋅⋅ 3 = = 27 = 0,422 P(FEE) = = 334 ⋅⋅ 114 ⋅⋅ 114 = = 64 1 27 = P(FFF) P(FEE) 0,04 7 31⋅ 413 ⋅ 413 = 64 339 = 43 ⋅ 443 ⋅ 443 = 27 64 = 0,422 4 P(FEE) = = 0,04 P(FFF) = 0,422 1 1 77 3 14 4 64 4 4 4 64 P(FEE) == 4 ⋅⋅P(FEE) ⋅⋅ 4 ===64 ⋅==0,04 P(FFF) = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64 = 0,422 E 4 ⋅ = P(E F F) 0,141 1 3 1 3 9 334 4 4 64 = 0,047 433 433 411 64 yy = 4114 ⋅ 4334 ⋅ 4114 = 64 64 E 43 1 P(FFE) = = 99 = = 0,141 0,141 P(EFE) = 0,047 1 3 1 33 ⋅⋅ 33 ⋅⋅ 11 = P(FFE) = P(EFE) = ⋅ ⋅ = 4 4 3313 = 9 = 0,141 4 ⋅ 44 ⋅ 44 = 64 64 P(EFE) = 4413 ⋅⋅ 4431⋅⋅ 4411 = = 64 =30,047 0,047 P(FFE) = 4 4= 1 3 3 4 64 F P(EFE) = P(FFE) = ⋅ ⋅ = = 0,141 0 3 4 0⋅ 4 = 3 ⋅ =0,047 4 4 4 64 P(EFE) = ⋅ =7 = 0,047 P(FEE) = ⋅ 0,04 0 3 443 441 443 64 04 3     4 4 64 9 1 1 3 3 1 3 64     13 4 4 4 64 3 1 3 9 4 4 4 64 1 3 1 1 3 3   4   P(FFF) =1⋅⋅ 1⋅⋅ 3⋅⋅= == 0,422 P(FEF) = = 3 ⋅⋅ 1 ⋅⋅ 3 = = 9 = = 0,141 P(EEF) = 00,047 P(FFF) = 0,422 33= P(FEF) P(EEF) = = ,047 F 4 11⋅ 44413⋅ 431= 4 9 = 0,141 443 ⋅ 441 ⋅ 443 = 64 64 4 64 P(EEF) = = = 0 ,047 P(FEF) = 0,141 4 1 1 3 3 3  44 ⋅⋅ 44 ===64 P(EEF) = 0⋅,047 P(FEF) = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64 = 0,141 4 1 64 = = 0,047 P(EFE)== 4441 ⋅⋅P(EEF) 111 4 2221 ⋅ = 0,047 4 64 1 3 3 9 1 1 4 4 4 64 1 2 3     4 64 114⋅ 11114⋅ 114 = 114 =40,016 33 64 P(EFFF) F) = = 11 ⋅⋅ 33 ⋅⋅ 33 = = 99 = = 0,141 P(EEE) = E 41 FFFE) = 0,141 P( P(E P(EEE) = = 0,016 11⋅⋅ 4411⋅⋅ ⋅⋅413 = 113= 1 ⋅ 443 ⋅ 443 = 64 9 = 0,141 64 4 64 4 P(EEE) = = = 0,016 FE) = = 0,141 P( P(E F F) = 0,141 1 1 1 4 4 4 4 4 4 64    4 P(EEE) F 3 P(EFF) = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64 = 0,141 444⋅⋅ 44 = 4==64 ⋅==0,016 = = 0,016 P(EEF)== 44⋅⋅P(EEE) 0⋅ ,047 64 3 1 1 3 4 4 4 64 1 2 1 2 4 4 4 64 3 1 1 3 4 4 4 64 34 F 1  22 P(FEE) = ⋅ ⋅ = = 0,04 7 1   3 1 33 ⋅ 11 ⋅ 11 = 33 = 0,047 P(FEE) =  11 ⋅1 3  1= 0,141 4 4 4 64 P(FEE) = ⋅ ⋅ = = 0,04 7 P(FEF) = 1 4 P(FEF)== ⋅4 ⋅ ⋅ 4= = 0,141 P(FEE) = 4 ⋅ 44 ⋅ 44 = 64 = 0,047 P(EEE)    4  = 0,016 Otra manera de4411escribir anteriores en conside3probabilidades de los casos 433 411 las64 64 3 4 44 11 4consiste 64 P(EFE) = ⋅ ⋅ = = 0,047 1 3 1 3 1 3 11 2222 P(EFE) = ⋅ ⋅ = = 0,047 1 3     1 3 1 3 4 ⋅ 44 ⋅ son 4 potencias 64 0,047de y . Es decir: rar factores P(EFE) 11 yque 33= P(EFF) = =  1  ⋅⋅ 3  = = 0,141 P(EFE) = 4solo ⋅ ⋅4 = = 64 = = 0,047 4 4 P(EFF) y 4 441 441 443 64  44   44  0,141 3 64 4 11 ⋅ 11 ⋅ 33 = 33 = 0,047 0 3 4 4 P(EEF) = P(EEF) = 00,047  1   3  222 111 33333 = 41 ⋅ 41 ⋅000 43 =3 64 64 P(EEF) = = ⋅  = 0,422  11 2 ⋅ 33 1 = 0,047 P(EEF) = =44⋅⋅ 1144⋅⋅0 44⋅= =3 64 =0,422 0,047 ,047 P(FFF) =   P(FEE) = P(FFF) =  4  =   ⋅  = 0,047  4  P(FEE) P(FFF) =411 4411 411⋅ 4 64 1= 0,422  44   44  P(EEE) = = 1⋅⋅ 41⋅⋅ 1= =4 11 = = 0,016 0,016 P(EEE) 1 2 441 ⋅ 441 ⋅111 441 = 64 64 P(EEE) =     21 = 0,016 222 111 1 3 2 P(EEE) = 4⋅ 114⋅1 4 = 22 = 0,016 P(FFE) =   ⋅  = 0,141  11 2 ⋅ 33 1 = 0,047  4 ⋅4 33 64     4 64 F FE) = = 0,141 P( P(EFE) =     4  =   ⋅  = 0,047  4  P(EFE) P(FFE) =  4  ⋅ 4  = 0,141  44   44  4 4 1 2     2 1 3 1 111 222  11 222  33 111  11 1  33 2 P(FEF) =   ⋅  = 0,141   ⋅  = 0,047 P(FEF) =   = 0,141 ⋅ P(EEF) =       4 4 P(FEF) =  4  ⋅ 4  = 0,141 P(EEF) =  4  ⋅ 4  = 0,047 4 4 4 4 1 2  1   3  1 2 3333 0000 111 222  11   33  P(EFF) =   ⋅  = 0,141  11  ⋅ 33  = 0,0116 ⋅ = 0,141 P(EEE) =  P(EFF) =       4 4  ⋅ P(EEE) = ⋅   = 0,141 P(EFF) =  4   4   44   44  = 0,0116 4 4 2 1 2 1  1   3  2 1  1   3    ⋅  = 0,047  1 222  3 111 P(FEE) =    ⋅ 3 ⋅     = 3 ⋅ 0,047 = 0,141  4   4  0,047 P(FEE) =  1  ⋅⋅ 3  = 2 1 P(FEE) 4 Por lo tanto, la=probabilidad de la urna 4en 3 extracciones es sacar  3  2 bolitas rojas de  44   44  = 0,047 1   ⋅  = 3 ⋅ 0,047 =2 0,1411 2 3 ⋅ 1 0,141, que se obtiene         n   1 3 222 al resolver: 111 n!  3  11 2  33 1  4   4  P(EFE) =   ⋅3 ⋅1= 0,047 3 ⋅ 0,047 = 0,141    1 4  ⋅ k ==k!(n 2 P(EFE)  4 – k)!   4  P(EFE) = =  4  ⋅⋅ 4  = =n0,047 0,047 4      1 3 n!  4  +P(EFE) P(FEE) 4   + = P(EEF) = 3 ⋅2  1⋅ 22 = 31 ⋅1 0,047 = 0,141 3  114 n33 n! 22 11  3! 3 ⋅ 2 ⋅1 3!  1   4 =  11 22  33 11k  k!(n –3k)! ===0,047 =1 = 1 = 0,14=1 =  33⋅=3⋅⋅ 0,047 ⋅ 0,047 3 0,14 ⋅ ⋅P(EEF) =    ⋅ = 0,047 P(EEF) =        4 4   4 n! nse 2⋅1k 4  k!(n–0k)! 0!(3 – 0)! 1⋅ 3! 1⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 RecuerdaP(EEF) que en cálculo ⋅ =combinatorio 0,047 = el 34⋅que:  3!=tiene  44   44  3= 3!  4= 0 = 3  =1 2 1  k1⋅ 3! k!(n n11⋅–3 ⋅k)! 3!3 P(EEE) 3! 3 ⋅ 2 ⋅1 ⋅31 = 0,01 23n!  11 3333  33 00000 0!(3 –n0)! n!  ⋅ =  = =1 = 1  4=  4=  16=3= ⋅ 0,047 P(EEE)3 ⋅= =  1 ⋅⋅⋅ 3 == =3 0,01 0,01 166 =0,14 P(EEE) 1 3 –kk)!  3!k!(n 0– k)!  44   44  3 3!0!(31–30)! ⋅ 2 ⋅11⋅ 3! 1⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 k  k!(n  4   4   =3 = = =1  = ⋅13k ⋅∈2 ⋅ 3!33! 1n⋅ 3!3∈⋅2,  – 1)n!⋅ (n –12) ⋅ (n – 3) 0⋅ 33!0!( 323⋅ –1,0)! 313! 3⋅ … 31⋅ 2y⋅k1 ≤ n. ⋅ Donde n! = n⋅n(n ⋅ con    = =1 = = =3 =1 0  =  =   ==  =3 3 3 –00)!  0!( k  k!(n – k)! 3 0 0!( 1⋅133!– 0)! 1⋅ 3⋅12⋅3! ⋅1 1⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1    =3  =3 3 3 3 3! 23! 3⋅32⋅11 3  Por ejemplo,  = = = =1;  =3 ;  =3 y  =1. 3 0 0!(3 – 0)! 1⋅ 3! 1⋅31⋅2=3     1 2 ⋅13     =3 3=1  2 3 3 3 3 3en  2 rojas  3 1  =3de  la=1urna  =3 Luego, la probabilidad de sacar 23bolitas se   ⋅ 13 extracciones    ⋅ =3         1 2  4   4  3  1 2 2313=12 3 puede calcular al resolver:   ⋅  ⋅  . 3   2 1 3 2  4  34   3    =3  =1  =1 3 ⋅ 1  ⋅ 3    2 1  2 3 3 13  32  4   4    ⋅  ⋅    3 3 2124331142  3 1  =1        ⋅   ⋅  ⋅   ⋅   4 4to Capítulo – Estadística y probabilidad 3 2  4  24 4 3  1 2  3 1

Problema 2 Se tiene la urna de la figura con bolitas del mismo tamaño y textura. Si se extraen con reposición 3 bolitas, ¿cuál es la probabilidad de sacar 2 bolitas rojas? Para este caso, también es posible denominar como éxito (E) al suceso “obtener una bolita de color rojo” y como fracaso (F), cualquier otro resultado. Luego, se tiene que, el espacio muestral es: 8 4 Ω = {FFF, FFE, FEF, EFF, FEE, EFE, EEF, EEE} P(E) = 14 = 7 8 4 6 3 La probabilidad de éxito P(E) = = es mayor que la de fracaso P(F) = = , porque 14 7 14 7 de las 14 bolitas de la urna, hay6más3bolitas rojas que de cualquier otro4color. P(F) = = P(E) = 14 7 7 La siguiente tabla muestra las frecuencias relativas de la simulación del experimento re4 muestra 5.000 veces en las que se extrajo petido hasta 5.000 veces. Es decir, 3 bolitas. 3 P(E) = P(F) = 7 7 Simulación problema 2 3 888 444 4 3 P(F) = P(E) = = 8 = 4 y Número de P(E) P(E) = = 7 P(E) = = 14 = 77 7 7 14 14 7 fr(FFE) fr(FEF) fr(EFF) fr(EEF) fr(EEE) Número veces que se fr(FFF) 14 7 fr(FEE) 0 f (EFE) 3 4 3 666 333  4  r(23 E) (0 E) y (1 E) (1 E) P(F) (1E) (2 E) (2 E) (3 E) de éxitos realizó el = = 6 = P(F) P(F) = = 14 = 73 P(FFF) =  7  ⋅ 7  = 0,079 7 7 P(F) = = 14 7 experimento 14 77 14 0 3 1 2     4444 10 0,4 P(FFF) =0 4  ⋅ 3  =00,079 P(E) 0,1 0,2  4  03  0,2 0,1 0,4 = P(E) = P(E) P(FFE) =   ⋅  = 0,105  7   7  P(E) = = 77 7     7 7 100 0,12 0,09 1 0,08 0,14 0,12 7 0,12 0,13 0,2 0,55 333 2 1 2  4   3  P(F) = 3 P(F) =   ⋅  =0,104 3 1.000 0,074P(FFE) =0,12 0,128  4  0,135 0,148 0,183 0,568 P(F)0,108 = P(FEF) =   ⋅  = 0,105  7   7  0,105 P(F) = 7777     7 7 2.000 0,076 0,1121 0,108 444 0,109 0,132 0,128 0,141 0,195 0,572 3 2 4 yyy 333 P(E) = 8 = 4 1 2  4   3  8 4 y 7 7       ⋅  =0,109 3 3.000 0,1397  4  0,137 0,137 0,189 0,572 7 0,108 7 P(E) = = 88 440,076P(FEF) =0,106 14 P(EFF) =   ⋅  = 0,105  7   7  0,105 77 77 P(E) = 78 = =4 000  333 P(E) = 14       4 3 7 7 P(E) = = 0 3  5.000 0,1041 0,107 P(FFF) 0,104 0,138 0,188 0,57 8=  444 ⋅ 330,137 14 770,082 14 =30,079 0,0792 0,141 2 4  =⋅⋅ 36 == P(E) = = P(FFF) 6 314 7 P(FFF) ==P(F) 1     =70,079 0,079 77  =     14=  7777 ⋅14 7 P(F) = = 666 333 P(EFF) =  4  ⋅ 3  = 0,105 P(FFF) 4 3 7 1 P(FEE) 7  =   ⋅  = 0,14 P(F) =7 = =  7   7  P(F) 14 = =las77 frecuenciasde 6 yEEE. 3111  3342222  7   7  14 • GraficaP(F) en = Excel los casos FFF, FFE, FEE 4 14 4 P(F) = = =P(E) 4  = 14 7 4 ⋅⋅⋅ 33  = P(FFE) 2 1 0,105 P(FFE) = 0,105 0,105 P(FFE) =  747la presenta 2 1  3 resolver el problema  4 para 14= = 444 que puede ser útil ⋅ 77  = = 0,105 P(FFE) = MásP(E) información  3 un 7   4 diagrama P(E) =    ⋅ = 0,14 P(FEE) =  7 7   P(E) = 7 =       7 7 P(E)  7   7  4 3 22 =   ⋅  = 0,114 11 P(EFE) 77 4  33 .22  7   7  7 éxitos y fracasos. Recuerda que P(E) = y P(F) de árbol entre los 3 4444 11 =   4 3  = 0,105 P(FEF) = ⋅ 2 1   33    7 3 P(F) =  7  = = 0,105 P(FEF) = 7 E P(FEF) = 2 1  4   3  P(F) =3 = 0,105 0,105 P(FEF) =  7  ⋅⋅⋅ 77solo = 7probabilidades  3   4 potencias Luego, lasP(F) de cada factores P(F) = 77 P(EFE) =  caso, 7 77  =son  = 0,114  ⋅ considerando 3 4777 que 4 3    3 E ⋅ P(EEF) = 0,14  7  7      P(F) = y11 7 22 4 3 7 7 a la milésima, son1las siguientes: de y 444, redondeadas 7 = 74444 11 7⋅ 3333 22 = 0,105 7 F 333 73 P(EFF) 2 y   ⋅ = 0,105 P(EFF) =    7 7 yy ⋅ = 0,105 P(EFF) =  3 0      4 3 0 3  77  ⋅ 77  =0,105 P(EFF) = 7 4 3  3 4    77 77 0       43  3  =   ⋅  = 0,14  77  P(EEE  77  4) = y 7  47   3 03 P(EEF) E  = 0,187 P(FFF) = 1  ⋅  ⋅= 0,079 2 3  7  7  7 7 7  44 222  33 111 7   77  7  4 33 333 P(FFF) =   ⋅444 000 = 0,079 4   4 3 3 = 0,14 P(FEE) = 3 0 =  7  ⋅⋅  = = 0,079 P(FFF)  40 ⋅⋅⋅ 33 =  7 = 0,14 P(FEE) P(FFF) = 0,14 P(FEE) = = 3  4   3   = 0,079 1 2  P(FFF) =  77  ⋅ 77P(EEE 0,079 ⋅ = 0,14 P(FEE) = 4 3 74 E 7   3  ) =   ⋅  = 0,187 P(FFF) =   7777 ⋅  7777 =40,079 1  7 2  7   7  22 7 = 11  ⋅  = 0,105  7P(FFE) 7  4   3  11 22  7   7 F 3 3   P(FFE) =   ⋅ 44411 = 0,105  444 22 ⋅ 333 11 7=0,1147  33 22 P(EFE) P(FFE)  41  32 = 0,1 F   ⋅ 3  = 0,105  7 = P(EFE) = 11444 2 P(FFE) = 73 P(EFE) = = 0,1 7 1 1  4 77  ⋅⋅⋅377  = = 0,105 0,105 P(FFE) = 777  ⋅⋅ 77  = P(EFE) = =0,1             3 4     7 7 7 ⋅ = 0,105 P(FFE) =  P(FEF) 1 2      7 7 7 7    11  ⋅  = 0,105  4   3 1 22  7 4 222 7=  7  P(FEF) =   ⋅ 44111 = 0,105  44 2 ⋅ 333 11 7=0,14 333 22 = 0,105 4 P(EEF) =  P(FEF) = ⋅    4 4 3  1 2    7 = ⋅ P(EEF) = = 0,14 = 0,105 0,105 P(FEF) = 7  ⋅⋅  =   4   ⋅ P(EEF) = = 0,14 P(FEF)   1 2  4 77  ⋅377  = 0,14 P(EEF) = 77   77  47                  4 3  7 7 E 7 7 = 0,105 P(FEF) = ⋅ 1 2 7 3 7=0  ⋅  = 0,105  P(EFF) 7  4   3  11 4 33 73 00    7 222 7      4 1  E  4 3     3 2 P(EFF) =   ⋅ 41 = 0,105 7  44413 ⋅ 3332 07= 3 = = 0,187 P(EEE))) = = 0,105 P(EFF) = 74 ⋅⋅ 33  =  7 = 0,187 P(EEE P(EFF) = = 0,187 0,187 P(EEE 0,105 P(EFF) =  77  ⋅ 77  = 0,105 F 2 1  4 77  ⋅⋅⋅377  = ) = P(EEE 7 73   3  4 77 ⋅ 77 = 7 1  7  0,105 P(EFF) =  P(FEE) 7 2   4     7  ⋅ = 0,14 =  4   3 2 1 3  7   7      3 111 F 7 P(FEE) =   ⋅444 222 =0,14 7 7 = 0,14 0,14 P(FEE) =  7  ⋅⋅ 33  = 2 1  7 = P(FEE) 7 4  ⋅ 77  con 2 1    4 la página = 0,14 P(FEE) =  77valores • Compara estos los tabulados y grafi cados= en anterior.  3  ¿Qué  40,14   ⋅ 3  = 3 P(FEE) 47 2 7  12  7 1   E     ⋅ P(EFE) = = 0,1 1 4       7   7      1 puedes  4  ⋅443 222 =0,1 7 7 P(EFE) =concluir? 7 3331114= 0,114 7 F   4  3      ⋅ P(EFE) =   2 1  7 =  7  ⋅  = 0,114 P(EFE)  4   3   2  1 P(EFE) =  77  ⋅ 77  = 0,114 F  en  7 1  7  de sacar 2 bolitas rojas ⋅ P(EFE)de = laP(EEF) 4 3 Finalmente, la probabilidad urna 31extracciones 73 2    40,1   7 = =  4   3 22 11  ⋅  = 0,14  7 7      2 1    7  7  es 0,42, ⋅44 2 =0,14 P(EEF)que =  se obtiene 33al1resolver: P(EEF) 2 1  7 = P(EEF) = 47  ⋅⋅⋅ 3  = = 0,14 0,14 P(EEF) = = 0,14 3 0     4 3 2 1   7 7        4   3    ⋅  =  77 0  77     4  P(EEF) 3    = 0,187   ⋅ 3  = =3 ⋅0,14  = 70,42 ) =  0,14 ⋅ P(EEE  3 33 + P(EFE)  4  P(FEE) 0  + P(EEF) = 3 ⋅ 7 0  7   7  3 00  7   7  P(EEE) =   ⋅ 44 33 = 0,187 =  47  ⋅⋅ 33  = = 0,187 P(EEE 3 0  7 )))= P(EEE =  77  ⋅ 77  = 0,187 0,187 P(EEE     4 3 1  7   7  P(EEE) =   ⋅  = 0,187     7 7 4 213 Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante 8

CAPÍTULO

Ahora se qué... Si un experimento aleatorio cumple con las siguientes características:

Glosario • Binomial se refiere a dos posibilidades, éxito o fracaso, cara o sello, etc.

• Se puede realizar las veces que se quiera. • En cada ensayo o prueba solo son posibles dos resultados. • El resultado obtenido en cada ensayo es independiente de los anteriores. • La probabilidad de obtener éxito en cualquier ensayo es siempre la misma. Se dirá que el experimento sigue un modelo binominal. Ejemplo 1 En los problemas dados, se tienen que:

Desafío Resuelve nuevamente los problemas 1 y 2 propuestos, pero en vez de utilizar E como éxito y F como fracaso, representa con 0 al fracaso y 1 al éxito.

Problema 1 Problema 2 El experimento consiste en extraer 3 El experimento consiste en extraer 3 bolitas de una urna con 4 bolitas, 1 roja, bolitas de una urna con 14 bolitas, 8 rojas, 1 verde, 1 azul y 1 blanca. Se puede 3 verdes, 2 azules y 1 blanca. Se puede realizar las veces que se quiera. realizar las veces que se quiera. En ambos casos, en cada ensayo (extraer una bolita) puede obtenerse una bolita 2 1  4   3 roja (éxito) o una bolita de otro color (fracaso). 3 ⋅  ⋅  = 3 ⋅ 0,14 = 0,42  7 en otro ensayo igual 7 roja, En ambos casos, si en un ensayo se obtiene una bolita 2 1  3  4  obtenerse mente puede la misma bolita porque el1 experimento es con reposición. 3 ⋅  ⋅  = 3 ⋅ 0,14 = 0,42     7 7 4 La probabilidad de obtener una bolita La probabilidad de obtener una bolita 8 1 en cualquier ensayo. roja es roja es en cualquier ensayo. 14 4 2 1  4   3 n 3 ⋅  ⋅  = 3 ⋅ 0,14 = 0,42 8 n– x  7  7  P(X = x) =   ⋅ p x ⋅(1– p)  x 14  Ahora se qué...1 n x n– x (X = x) =4  ⋅ psigue p) modelo binomial, 1es posible calcular la probabilidad ⋅(1– un • Si unPexperimento  x 4 experimento tome uno de sus de que la variable aleatoria (X) asociada a dicho 8 1 (X = x) 3  1 2  3 1 valores aplicando lo siguiente: 14 P(X = 2) =   ⋅  ⋅  ≈ 0,141 2  4   4  4 n x n– x 2 1 ⋅(1– p)  x) = p ⋅ P(X3= 2 1 ; con n ∈ , x ∈  y x ≤ n.  2 1   1  3  0  4   3  P(X = 2) =   ⋅  ⋅x  ≈ 0,141 3 ⋅ 4  ⋅8 3  = 3 ⋅ 0,14 = 0,42   ⋅ 3 ⋅     = 3 ⋅ 0,14 = 2  4   4      7 7 7 14 1  Donde n es el número de ensayos, x es el valor de7 la variable aleatoria asociadaal 2 1 8 3  8   6  1 1 experimento y 4p es la probabilidad de éxito. P(X = 2) =   ⋅  ⋅  ≈ 0,42 2 1  14  4 4 3  1   3  2 14  14  P(X = 2) =2 ⋅6 1 ⋅  ≈ 0,141 28 1 2 1   8 3  2 8       4 3   4   3   ⋅ 2⋅  4 ≈0,42 4    ⋅   4⋅   3 1 3 ⋅ 14   = 3 0,14  ⋅ =0,42 3Ejemplo ⋅  P⋅(X 2==2)3=⋅ 0,14  14  2 =140,42 ⋅ 3 14   7  7  8dados, se tiene que:  7   7   7   7  En los problemas n 2 1 1 P(X = x) = n ⋅ p x ⋅(1– p)n – x  4  14 1 3  P(X = x) =   ⋅ p x ⋅(1– p)    Problema 1 Problema 2 ⋅ ⋅ 3      x  x 7 7 4 3  8 2  64 1      En ambos casos, la variable aleatoria X es el número de bolitas rojas extraída y se  P(X = 2) =   ⋅  ⋅ 8  ≈10,42 1 8 2 14  14  quiere calcular P(X = 2), es decir x = 2. Además, se extraen 3 bolitas, luego, n = 43. 14 4 14 2 1  3   4 4 bolitas, 2 14 1bolitas, de las que Como Como la urna de las nla urna 3  1 2  3  x3 tiene n tiene   1  n –x3  ⋅  ⋅n –x  2)   ⋅  ⋅     ⋅ p13xes   ⋅ ⋅ P ( X = x) = p 1– p P(X = 2) = ( )  ≈ 0,141 ⋅ ⋅ P(X = = (X =1x)es=roja, 1– p ⋅ Pque 8 son rojas, 3 son verdes, 2 son azules y 1 verde, 1 es azul y 1 ( )        7 7  x 2  4   4  2  4   4   x es blanca, la probabilidad de que al ex- es blanca, la probabilidad de que al ex1 8 8 1 traer una de ellas esta sea roja es de . traer una de ellas esta sea roja es de . 4 14 14 4 3  132  83 12  6 1 3  8 2  6 3  1 2  3 1   ⋅  ⋅  ≈ 0,42 P(X =P2)(X== 2) ⋅=   ⋅⋅  ≈⋅0,141 P (X = 2) = P(X = 2) =   ⋅  ⋅  ≈ 0,141 2  42 14 2 14  1 2  4   4  4  14  8 14

8 14

214

3  8 2  6 1 P(X = 2) =   ⋅  ⋅  ≈ 0,42 2 14  14 

4to Capítulo – Estadística y probabilidad 2

 4   3

 4   3 3 ⋅  ⋅  7 7 3  8 2  6 1 P(X = 2) =   ⋅  ⋅  ≈ 0,42 2 14  14  2

 4   3   

4 3 ⋅  7

 3 ⋅  7

✓ Ejercicios resueltos 1. Resuelve los siguientes problemas. a. Dado el experimento aleatorio “lanzar 20 veces una moneda” que sigue un modelo binomial, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar 20 veces una moneda se obtengan 9 caras? Solución: En este caso, se quiere calcular P(X = x), donde X es la variable aleatoria discreta “número de caras”, x = 9 corresponde al número de éxitos consultados, n = 20 (se realizan 20 ensayos) y p = 0,5 es la probabilidad de éxito en cualquier ensayo, ya que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es 0,5. Luego, la probabilidad de que al lanzar 20 veces una moneda se obtengan 9 caras es 0,16 (equivale a 16%) aproximadamente, ya que:  20  P (X = 9) =   ⋅ 0,5 9 ⋅ 0,511 ≈ 0,16 9 

Herramientas tecnológicas  

 20  ⋅ 0,5 9 ⋅ 0,511 ≈ 0,16 P (X = 9) =científi En calculadoras 9  cas la tecla nCr permite realizar cálculos com35  binatorios. P (X = 21) =   ⋅ 0, 25 21 ⋅ 0,7514 ≈ 0,0000094  21 Por ejemplo: 20   = 20 nCr 9 9  = 167.960

35  b. Un estudiante rinde un prueba que consta de 35 pre selección  ⋅ 0, 25 21 ⋅ múltiple 0,7514 ≈ 0,0000094 P (X = 21) =de 21 elegir entre cuatro alternativas, obteguntas y en cada una de ellas sedebe niendo la nota mínima de aprobación (4,0) con 21 respuestas correctas. Si las 20  es la probabilidad de que obtenga dicha nota? responde todas al azar, ¿cuál 9  Solución: En este caso, se quiere calcular P(X = x), donde X es la variable aleatoria discreta “número de respuestas correctas”, x = 21 corresponde al número de éxitos consultados, n = 35 (la prueba consta de 35 preguntas) y p = 0,25 es la probabilidad de responder correctamente una pregunta, es decir, acertar 1 de 4 alternativas. Luego, la proba20  todas las preguntas de la prueba el estudiante bilidad de que al responder alazar P (X = 9) =   ⋅ 0,5 9 ⋅ 0,511 ≈ 0,16 obtenga nota 4,0 es 0,0000094(equivale a 0,00094%), ya que: 9  35  P (X = 21) =   ⋅ 0, 25 21 ⋅ 0,7514 ≈ 0,0000094  21 20    Ejercicios propuestos 9  1. Resuelve los siguientes problemas.

Desafío

a. Se tiene una urna con 2 bolitas rojas, 2 bolitas verdes, 2 bolitas azules, 2 bolitas blancas y 2 bolitas amarillas, todas del mismo tamaño y textura. Si se extraen con reposición 4 bolitas, ¿cuál es la probabilidad de sacar 2 bolitas rojas? b. Si a la urna del problema anterior se le agregan 2 bolitas rojas y 3 bolitas verdes y se extraen con reposición 4 bolitas, ¿cuál es la probabilidad de sacar 2 bolitas rojas? c. Si se lanza 50 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que se obtengan 15 caras? d. Un estudiante rinde una prueba de selección múltiple que consta de 25 preguntas y en cada una de ellas se debe elegir entre tres alternativas. Si las responde todas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que obtenga 15 respuestas correctas? e. Dos jugadores A y B disputan una serie de 5 juegos. Si la probabilidad de que A gane un juego cualquiera es 0,6 y no hay empates, ¿cuál es la probabilidad de que A gane la serie?

CAPÍTULO

Resuelve el primer problema considerando que la extracción de bolitas es sin reposición.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

215

Probabilidad condicional Ayuda Recuerda que dos sucesos A y B se llaman independientes cuando la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos no depende de la ocurrencia o no del otro.

Del experimento aleatorio “lanzar un dado de seis caras y anotar los puntos obtenidos en su cara superior”, se pueden definir los sucesos: A: obtener 2 puntos, y B: obtener un número par de puntos. Antes de realizar el experimento, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 puntos? Considera que Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y A = {2}. Luego, #Ω = 6 y #A = 1. Si ahora aplicas la regla de Laplace para calcular P(A), se tiene que: número de casos favorables #A 1 = = número de casos posiblees #Ω 6 número de casos favorables #A 1 P(A) = = = 0,16 númerolade casos posibleede s obtener #Ω 62 puntos en Por lo tanto, antes de realizar#Bel experimento, probabilidad 3 P (B) es = de = la cara superior del dado 0,16 . #Ω 6 número número de casos favorables #Afavorables 1 número de casos favorables 1 de casos P(A) = #A = #(A ∩P(A) B)#Bse P(A) = = = 1 3 que = de pun-= Si una vez realizadoPel(Aexperimento, resultó un número par ∩ B) = P (B) = #Ω = =sabe número de casos posible número número de casos posibleede s casos #Ω posible 6 es #Ω 6 es 6 Ω se 6haya obtenido 2 puntos? tos, ¿cuál es la probabilidad de#que #(A ∩ B) 0,16 1 0,16 0,16 1 (A ∩ B) = =#Anúmero de casos favorables #A 1 número dePcasos favorables 1 6 = #B 3 = #B 3 = P(A) = 3 #B#ΩP(A) 3= =4, P (B) = =es . #Ω 6 Para responder, es necesario 6},=6#B ==de 3 ycasos (B) P (B) =que eBs== {2,#PΩ número posible númeroconsiderar de1casos posible # Ω 6 #Ω 6 #(A ∩ B) #1Ω 6 0,16 0,16 #(A ∩ B) 3 1 ∩ B)número de ∩ casos B) favorables 1 #(A ∩ B)#A 1 1 #(A 1 #(A # Ω 6 P (A=∩ B) = =B) = = = Además, A ∩ B = {2}, #(A ∩ B) == 1 y P (A ∩ == P(A)P=(A =∩ B). 3= #(A 1#B #B #B3 #B 3 ∩3B) número de casos posiblee#sΩ #Ω6 6 # Ω 6 # Ω 6 P (B) = = P (B) = = #(A#Ω ∩ B) 6 #Ω 1 #6Ω 1 6 1 inferir que solo #Ωse obtuvo 6 = = puntos, = 0,16 Como ya se sabe que un1número par de se puede #B 3 #(A #B 3 ∩ B) #(A ∩ B) P(A ∩ B) #(A ∩ B) 1 31 3B)#B hay 3 casos posibles, de que P (A ∩Por =lo tanto, 3 la=probabilidad = solo P (A ∩ B)y=de ellos, = 31 es favorable. # Ω 6 P (B) = = Ω#(A 6B) 1 un#(A ∩ B) 1 #B #es P(6Bque ) ocurra#(A Ω decir, ∩ B)#Ω 1 #6se se haya obtenido 2 puntos, A, dado que ha ∩ obtenido número #(A ∩#(A B) ∩ B) P(A ∩1B) #(A ∩ B) 1 #(A ∩ B) 1 1 # Ω 6 1 ∩ P(A B) = # Ω 6 par de puntos, es decir, que ha ocurrido =B) . #Ω = 6#(A = ∩ B) 1 = = #B = 3 = #B #BB, es P( P (A ∩ B) = = #B 3 #B 3 #B 3 3 #B 3 3 3 P(B) #Ω 6 ∩ P(A B) Ω # 6 #(A ∩ B) 1 # Ω 6 Ω # 6 ∩ B)∩ B) 1 P(A#(A 1 ∩ B) #(A #(A P(B) #(A ∩ B) #(A=∩ B) #ΩP(A ∩ #(A 1∩ B) P(A 6 .=∩1B) = P(A ∩ B) = B) Observa que: =P(A)#Ω = 6 = , es=decir, = 3 #B #B P(A 3∩ B)#B P(B) #B 3 P(B) 3 #B 3 P(#B B) #B #(A ∩ #Ω B) P(A 61∩ B) #Ω P(A) 6P(A ∩ B) P(A ∩ B) #(A ∩ B) 6=1 #(A ∩ B)P(B)=P(A #∩ΩB) = P(B) #(A ∩ B) P(A ∩ B) P(B) = #B 3 3 #B Ahora se qué... #B = P(B) #BP(A ∩ B)P(B) P(A ∩ B) #Ω P(A6 ∩ B) Si A y B son sucesos probabilidad de A dado B es el número real P(A ∩ B)P(A) P(A ∩ B) dependientes, laP(A) #(A ∩ B) P(A ∩ B) P(A) asociado a la ocurrencia del suceso A considerando que = ha ocurrido B. P(B) P(B) #B P(B) P(A ∩ B) P(A ∩ B) P(A ∩ B) • La probabilidad , con P(B) ≠ 0. P(A) de A dado B es: P(A/B) = P(A) P(B) P(A ∩ B) • La probabilidad de B dado A es: P(B/A) = , con P(A) ≠ 0. P(A) P(A) =

Si los sucesos A y B son independientes, entonces: P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B).

216

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

CAPÍTULO

✓ Ejercicios resueltos 1. Resuelve los siguientes problemas. a. En un curso compuesto por 45 estudiantes se rifa un MP3 entre 450 números vendidos. Si el número ganador es múltiplo de 5, ¿cuál es la probabilidad de que gane una persona que compró los números 155 y 420? Solución: Considera los sucesos: A: obtener el número 155 ó 420, y B: obtener un número múltiplo de 5. Además, está formado por=los2 450 números vendidos; P(A) 2 el espacio muestral 2 P(A) = P(A) = A, por los números 155 y 420, y B, por todos los múltiplos de450 5 entre 1 y 450, incluidos 450 2 450 90 2= 2 P(A) P(A) = ambos valores. 90 Luego, #A = 2, #B90= 90, P(A) = y P(B) = . 450 P(B) = 450 450 450 P(B) = 2 una 90 90 2 compró los números 155 450 90 Finalmente, la probabilidad de450 que=gane persona P(A) P(B) = 0,0 que P(B) = P(B) = y 420 es 0,0 2 , ya que: 450 0,0 2 450 450 450 2 0,0 0,0 2 P(A) = 22 P(B) = 90 2 P(A ∩ B) 450 2 1 0,0 2 2 = = = P(A ∩ B) 450 P(A2 ∩450 B)1 2P(A/B) 1 = P(B) 90 90 45 P(A/B) = = 450==2 = = 450 = = P(A/B) 2. 2 290 P(A ∩45B) 4502 21450 1 P(B)P(A ∩ 90 P(B) 245 90 90 B)900,0 1 P(A = ∩ B) = 450 = = == = P(A/B) =P(B) = 450 = 450 = P(A/B) =P(A/B) = 4 50 450 90 90 45 P(B) 2 P(B) 30 P(B) 90 9090 9045 45 P(A) = 2 4150 30 0,0 2 30450 P(A ∩ B) 450 b. Considera el experimento aleatorio “lanzar dos dados” y los sucesos: A: obtener 450 P(A) = P(A) = P(A/B) = 36 = = = 90 de 30 36 30 una suma mayor a 4 puntos,36 y B: obtener una suma Sabiendo que 9058 puntos. 45 2P(B) 30 P(A) = P(A) = P(B) =de que ocurra B? P(A) = al lanzar los dados la probabilidad 5 36ocurre A, 4 50 36 2 1 P(A5¿cuál ∩ 2B) es 36 P(B) = P(B) P(A/B) == = = 450 =36 = P(A) 30 90 590 5 45 36 5 36 P(B) 450 Solución: P(B) P(A) = P(B) P(B) = P(A ∩ B) = 5 = 536 5 364los 50=posibles 2 90 La representación cartesiana muestra 36 Además, #A = 30, 36 36 resultados. P(A ∩P(A) B) == P(AP(B) ∩ B)== 5 5 364505 30 450 36 5 ∩ B)5= . #B = 5, #(A ∩P(A B) =∩5,B)P(A) = = , P(B) = P(Ay ∩P(A B) 5= 36 3652 36 9036 0,0 2 P ( A ∩ B) 5 1 36 P(A) = P(B) P=(A ∩ B) = 36 = = 1 5 36 5P(B/1A) = 5 P5(A ∩ B) 5 36 5 30 450 450 P(A) 30 6 2 P(B/ A) = P(B) P(B/ == = A)P(A = ∩ B) = = 5 == 30 30 30P(2A6∩ B)1 36 5 361 P(A) 6 36 B) 3630P(A) 5∩ 1 P(A ∩36 90 0,0 2 P(A B) P(= A ∩ B) 36= 5= 1 = = = = P(B/ =P(B/ Por lo tanto, . A) P(B) = P(B/ A) = P(A/B) = 450 =5 P(A) = = = P(A) 36 5 302 P(B) 30 A) 636=90 P(A) 30 3030 306 6 450 90 145 P(A ∩ B) = P(A) = 1 1 36 P(A ∩ B) 36 5 336 136 P(A ∩ B)=36 0,0 2P(A) = P(A) 450A)== 2 = 1450 P(B/ = = = P(A/B) 3 1= P(B) =3 30 Ejercicios propuestos 5P(A) 1 = 130 30 16 90 45 P(A) 2 P(A) = 90 P(A) P(A) = 1 150 P(A ∩ B)1 36 = 35 336 1P(B/A) = 2 P(A=∩ B)3P(B/450 1. Resuelve P(B/A) los siguientes problemas. P(B/A) A) == 2= 436 = = = P(A/B) = = = 2 301 90 25 1 30 301 61 P(A) 1 P(B) 90 P(A) P(B/A) P(B/A) = a. Si se sortea una del y se sabe que la P(A) P(B)condominio = 1 =453P(B/A) = = P(A/B) 1= casa 36 descrito 2 en la=tabla 2 36 4 50 36 3 2 =es la probabilidad de que tenga 2 dormitorios? elegidaP(A/B) tiene=2 baños,P(A/B) ¿cuál 3 51 1 3 5= 1 30 1= 1 P(B/A) P(A/B) P(B) = =P(A) = P(A P(A) = P(A/B) ∩ B) = P(A/B) = 2 3 363Tipos 36 36 en 3 3 de casas el condominio 1 1 5 5 5 3 dormitorios Número dormitorios Total = ∩ baños B)P(B/A) = = 22 P(A/B) P(B) = P(Ade 3 B) 36 5 1 P ( A ∩ 36 36 1 baño 15 10 25 P(B/ 1 A) =5 P(A) = 30 = 30 = 6 5 2 baños 25 30 55 P(A/B) = P(A ∩ B) = 36 A) = P(A ∩ B)3 = 36 = 5 = 1 36 P(B/ 30 1 30 6 5P(A) b. Una caja contiene 10 bolitas numeradas del 1 al 10. Al extraer una, se pueden P(A) = 36 3 P ( A ∩ B) 5 1 defi nir A) los 36obtener P(B/ = sucesos: =A: = = una bolita con un valor par, y B: obtener una 1 30 de303. ¿Cuál 1 P(A) bolita con un múltiplo P(A) = P(B/A) =6 es la probabilidad de que ocurra B si ha 3 36 ocurrido A? 2 1 1 1 c. Si P(A) = , P(B/A) = y P(A/B) = , ¿los sucesos A y B son independientes? 2 3 3 d. Si A y B son1 sucesos1independientes, determina si Ac y Bc también lo son. P(B/A) = P(A/B) = 3 2 1 P(A/B) = 3

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 1

Ayuda El complemento de un conjunto (Dc) corresponde a todos los elementos que no pertenecen a dicho conjunto.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

217

Regla del producto P(A ∩ B) P(A/B) = ; P(B) ≠ 0 Ya conoces cómo calcular probabilidades condicionadas: P(B) P(A ∩ B) P(A ∩ B) P(A ∩ P(A/B) = B) ; P(B) ≠ 0 ; P(A) ≠ 0 P(A/B) = ; P(B) ≠ 0 y P(B/A) = P(B) P(A) P(B) P(A ∩ B) P(A ∩ B) P(A ∩ = B) ; P(A) ≠ 0relaciones? ¿Cómo calcularías P(AP(B/A) P(A/B) = / ⋅ P(B) ( ya que P(B) ≠ 0) P(B/A) =∩ B) utilizando ; P(A) ≠ 0estas P(A) P(B) P(A) P(A ∩ B) P(A ∩ P(A/B) = B) / ⋅ P(B) ( ya que P(B) P(A≠ B) 1 ∩0) P(A/B) = / ⋅ P(B) ( ya que ⋅P(B) ⋅ P(B) P(A/B) P(B)≠=0) P(B) P(B) P(B) 1 P(A ∩1B) 1 P(A B) ∩ = B) ⋅ P(B) P(A/B) ⋅ P( ⋅P(B) P(A/B) ⋅ P(B) = P(B) P(A/B) ⋅P(B) = P(A ∩ B) P(B) 1 7 1 P(A/B) ⋅ P(B) = P(A ∩ B) P(A/B) ⋅P(B) = P(A ∩ B) 15 7 2 7 Ahora se qué... 15 15 7 2 Sean los sucesos2 A y B dependientes. La probabilidad de que ocurra A ∩ B, en tér7 condicional, está dada por: minos de la probabilidad 7

Desafío Demuestra que: P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B/A)

P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B/A)

✓

Desafío La afirmación: “dados los sucesos A y B, si P(B/A) = 0, entonces, los sucesos son independientes”, ¿es verdadera?

218

También se cumple que: P(A ∩ B) P(A/B) = ; P(B) ≠ 0 ∙ P(A/B) P(A ∩ B) P (A ∩ B) = P(B)P(B) P(A/B) = ; P(B) ≠ 0 P(B) P(A ∩ B) de A ∩ B se expresa: Si los sucesos son independientes, la probabilidad P(B/A) = ; P(A) ≠ 0 P(A ∩ B) P(A) P(B/A) = ; P(A)P(A ≠ 0∩ B) = P(A) ∙ P(B) P(A) P(A ∩ B) P(A/B) = / ⋅ P(B) ( ya que P(B) ≠ 0) P(A ∩ B) P(B)≠ 0) P(A/B) = / ⋅ P(B) ( ya que P(B) P(B) P(A ∩ B) 1 Ejercicios resueltos ⋅ P(B) P(A/B) ⋅ P(B) = 1 P(A ∩ B) P(B) ⋅ P(B) P(A/B) ⋅ P(B) = 1 1. Resuelve los siguientesP(B) problemas. 1 P(A/B) ⋅P(B) = P(A ∩ B) a. Se sabe que al extraer una bolita de una bolsa, la probabilidad de que esté nuP(A/B) ⋅ P(B) = P(A ∩ B) 7 merada con un valor par es . Además, si se sabe que la bolita extraída está 7 15 numerada con un valor par, la 15 2 probabilidad de que también sea divisible por 2 7 de extraer una bolita numerada con una valor 3 es . ¿Cuál es la probabilidad 7 par y que sea divisible por 3? Solución: Sea A: obtener una bolita numerada con un valor par, y B: obtener una bolita numerada con un valor7divisible por73. Como #(A ∩ B) ≠ 0, los sucesos A y B son depenP(A) = dientes. P(A) = 15 15 2 72 Además,P(B/A) P(A) == y P(B/A) = . 7 157 P(A ∩⋅P(A) B) = P(B/A) ⋅P(A) Luego: P(B/A) P(A ∩ B)==2P(B/A) 72 7 2 7 ⋅ ⋅P(A) = 7 ⋅ 15 P(A ∩ B) ==P(B/A) 7 15 2 2 27 = == ⋅ 15 71515 2 = 15

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

b. Tres amigos inventan un juego en el que se disputan un grupo de fichas. Se lanza una moneda: si el resultado es cara, una de las fichas pasa a ser disputada por Juan y José, si sale sello, se disputará por Juan y Fernando. En seguida, se lanza un dado: si en cualquier caso resulta 5 ó 6, Juan gana la ficha, de lo contrario, la ficha será para José o Fernando, según sea el caso. ¿Qué sucesos se deben considerar para que gane José? ¿Son estos sucesos independientes? ¿Por qué? ¿Cuál es la probabilidad de que gane José?

CAPÍTULO

José 1, 2, 3, 4 CARA

5, 6 Juan 5, 6

SELLO

1, 2, 3, 4 Fernando

Solución: ¿Qué sucesos se deben considerar para que gane José? Para que gane José, en el lanzamiento de la moneda debe obtenerse cara y en el del dado, un número de puntos menor o igual que 4. ¿Son estos sucesos independientes? ¿Por qué? Los sucesos C: obtener cara, y D: obtener un número de puntos menor o igual que 4 en la cara superior de un dado, son independientes, ya que la probabilidad de que se obtenga cara no incide en la probabilidad de que se obtenga un número menor o igual que 4 en el lanzamiento de un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que gane José? Para que gane José debe ocurrir C y D, y como son sucesos independientes, se tiene: 1 4 4 1 1 4 4 1 P (C ∩ D) = P (C) ⋅ P (D) = ⋅ = = 2 6 12 P (C 3 ∩ D) = P (C) ⋅ P (D) = ⋅ = = 2 6 12 3 1 1 Finalmente, la probabilidad 3 de que José gane el juego es . 3 c. Una academia de deportes recibe pedidos de balones de tres empresas distintas: E1, E2 y E3. El 50% del total se le compra a E1, mientras que a E2 y E3 se le compra el 25% a cada una. El porcentaje de balones defectuosos que proporciona E1, E2 y E3 es 5, 10 y 12%, respectivamente. Si se escoge un balón al azar, sin importar la empresa, ¿cuál es la probabilidad de que esté defectuoso? Solución: Esta situación puede ser representada mediante un diagrama de árbol. Considera el suceso D: obtener un balón defectuoso, y Dc: obtener un balón en buen estado. Para calcular la probabilidad de que el balón escogido sea defectuoso, es decir P(D), considera E1, E2 y E3. P(D) = P(E1 ∩ D) + P(E2 ∩ D) + P(E3 ∩ D) = 0,50 · 0,05 + 0,25 · 0,1 + 0,25 · 0,12 = 0,08 Por lo tanto, la probabilidad de escoger un balón al azar que esté defectuoso es 0,08, que es equivalente a un 8%.

Empresa

P(E1 ) = 0,50 P(E 2 ) = 0, 25 P(E 3 ) = 0, 25 P(E1 )/=E 0,50 P(D 1 ) = 0,05 P(E 2c ) = 0, 25 P(D / E1 ) = 0,95 P(E 3 ) = 0, 25 P(D )/=E 0,50 2 ) = 0,1 P(E P(D1 c/ E1 ) = 0,05 P(D ) /=E0,2 25 ) = 0,9 P(E P(D2c / E1 ) = 0,95 P(D3 /) =E 30,) = P(E 250,12 P(D c/ E 2 ) = 0,1 0,88 P(D c/ /E1E)3 =) =0,05 P(D c / E 2 ) = 0,9 P(D / E1 ) = 0,95 P(D / E 3 ) = 0,12 P(D / E 2 ) = 0,1 P(D cc / E 3 ) = 0,88 P(D / E 2 ) = 0,9 P(D / E 3 ) = 0,12 c

P(E1 ) = 0,50 P(E 2 ) = 0, 25 P(E1 ) = 0,50 P(E 3 ) = 0, 25 P(E 2 ) = 0, 25 P(D ) = 0,05 P(E )/=E10,50 P(E13c) = 0, 25 P(D = 0,95 P(E 2 ) /=E0,1 )25 P(D / E10,50 ) = 0,05 P(E 1 )/= P(D E ) = P(E 3c ) =20, 250,1 P(D = 0,95 P(E )/=E0,)25 P(D2c/ /E1E1)2 =) =0,05 0,9 P(D / E ) = P(E 3c ) =20, 250,1 P(D / E ) = 0,12 P(D / E3 1 ) = 0,95 P(D cc/ /EE1 )2 =) =0,05 0,9 P(D / /EE2 3) = ) =0,1 0,88 P(D cc/ /EE3 1) )==0,12 0,95 P(D / E 2 ) = 0,9 P(D c/ /EE2 3) )==0,1 0,88 P(D c/ E 3 ) = 0,12 P(D / E ) = 0,9 P(D c / E 32 ) = 0,88 P(D / E 3 ) = 0,12 P(D c / E 3 ) = 0,88

/ E 3 )-=Texto 0,88 para el estudiante Matemática P(D 3° Medio

219

d. Considerando la situación anterior, si el balón escogido es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido despachado por la empresa E3? Solución: P(E 3 /D) =

P(E 3 ∩ D) 0, 25 ⋅ 0,12 = = 0,375 P(D) 0,08

Ejercicios propuestos 1. Analiza lo siguiente y responde. Una baraja de naipe inglés está compuesta por 52 cartas, repartidas de la siguiente manera: 13 naipes que representan corazones (♥), 13 naipes que representan tréboles (♣), 13 naipes que representan diamantes (♦) y 13 naipes que representan picas (♠). Sea el experimento aleatorio “extraer dos cartas de una baraja de naipe inglés”: a. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer las cartas con reposición se obtengan dos que representen cantidades pares? b. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer las cartas sin reposición se obtenga un naipe de trébol y otro de corazón? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer las cartas con reposición se obtenga una que represente una cantidad par y otra que represente una cantidad impar? d. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer las cartas con reposición se obtenga un as y un rey? 2. Resuelve los siguientes problemas. Para ello, considera lo siguiente. En un restaurante, el 40% de los clientes pide como acompañamiento distintos tipos de ensaladas, el 35% come carne asada como plato principal y el 25% pescado a la plancha. De los clientes que piden ensaladas, el 70% bebe jugos naturales; de los que comen carne asada, el 60% bebe jugos naturales; mientras que, de los que consumen pescado, el 50% toma jugos naturales. a. Construye un diagrama de árbol que represente la situación planteada. b. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida ensaladas y beba jugos naturales? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente beba jugos naturales? d. ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente coma pescado a la plancha y no beba jugos naturales? e. Si el siguiente cliente bebe jugos naturales, ¿cuál es la probabilidad de que coma carne asada?

220

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

CAPÍTULO

Propiedades de la probabilidad condicional Al resolver los problemas propuestos de probabilidad condicional en la página anterior es posible verificar algunas propiedades. Para ello, analiza lo siguiente: ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cualquier suceso del espacio muestral de un experimento aleatorio dado que ha ocurrido uno de ellos en particular? Sea Ω el espacio muestral de un experimento aleatorio y B uno de los sucesos que lo componen, entonces P(Ω/B) = 1.

Ayuda Recuerda que la probabilidad de que ocurra cualquier suceso del espacio muestral Ω de un experimento aleatorio es 1. Es decir:

Esta demostración consiste en lo siguiente: P(Ω ∩ B) P(B) P(B) = P(B) =1

P(Ω /B) =

P(Ω) = 1

P(A ∩ B) ≥0 P(Ω ∩ B) = P(B), ya que la intersección P(B)entre todos los sucesos de Ω y B es B. ¿Es cierto que la probabilidad de un suceso A dado que ocurre otro suceso B es mayor o igual que cero? P(Ω ∩ B) P(Ω /B) = Ω de un experimento Sean dos sucesos A y B subconjuntos de un espacio muestral P(B) aleatorio, tal que P(B) > 0, entonces P(A/B) ≥ 0. P(B) = Para demostrar esta propiedad debes considerar que P(A ∩ B) ≥P(B) 0, ya que la probabili=1 dad, por definición, es un número real que varía entre 0 y 1, incluyendo dichos valores. P(A ∩ B) Además, se considera que P(B) > 0, luego el cociente ≥ 0. P(B) Por lo tanto, P(A/B) ≥ 0.

Ahora se qué... Algunas propiedades de la probabilidad condicional son:

Desafío Explica paso a paso la siguiente demostración: P((A ∪ C) ∩ B) P(B) P(A ∩ B) + P(C ∩ B) = P(B) P(A ∩ B) P(C ∩ B) = + P(B) P(B) = P(A/B) + P(C/B)

P((A ∪ C) / B) =

Luego, P((A∪C)/B) = P(A/B) + P (C/B)

Propiedad 1: P(Ω/B) = 1, para cualquier suceso B ⊂ Ω. Propiedad 2: P(A/B) ≥ 0, para cualquier suceso B ⊂ Ω, tal que P(B) > 0. Propiedad 3: P((A ∪ C)/B) = P(A/B) + P(C/B), para cualquier suceso A, B y C subconjuntos de Ω.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

221

Resolución de problemas ¿Qué es evaluar? Evaluar consiste en emitir juicios de acuerdo a un criterio conocido o válido. ¿Qué tengo que hacer para evaluar? • Analizar el objeto o situación que se va a evaluar. • Definir el o los criterios de evaluación.

1. Analiza la resolución del siguiente problema. Supón que la probabilidad de que un matrimonio tenga un hijo de ojos claros es 0,25 y la de tener un hijo con ojos oscuros es 0,75. Si se sabe que de los 3 hijos que tiene este matrimonio el tercero tiene los ojos claros, la probabilidad de que el primer hijo también tenga los ojos claros es 0,0625. ¿Es verdadera esta afirmación? Justifica. Paso 1 Comprende el enunciado • ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? Si la afirmación presentada es válida.

Etapas de la resolución de problemas Paso 1. Comprende el enunciado. Paso 2. Planifica lo que vas a realizar. Paso 3. Resuelve el problema. Paso 4. Revisa la solución.

• ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Se proporciona la probabilidad de que el matrimonio tenga un hijo de ojos claros o de ojos oscuro. Además, se entrega como dato el color de ojos del el tercer hijo y la probabilidad de que el primer hijo tenga también los ojos claros. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar • Analiza el objeto o situación a evaluar y define cómo realizarás esta evaluación. Como se conoce la probabilidad de un suceso posterior al cuestionado es posible representar la situación con un diagrama de árbol. Paso 3 Resuelve el problema • Verifica si la proposición es o no válida. 0,25 Claros Claros 0,75 Oscuros

0,25 ⋅ 0,25 ⋅ 0,25 = 0,015625

0,25 Claros Oscuros 0,75 Oscuros

0,25 ⋅ 0,75 ⋅ 0,25 = 0,046875

0,25 Claros Claros 0,75 Oscuros

0,75 ⋅ 0,25 ⋅ 0,25 = 0,046875

0,25 Claros Oscuros 0,75 Oscuros

0,75 ⋅ 0,75 ⋅ 0,25 = 0,146875

0,25 0,25

Claros 0,75

Color de ojos 0,75

0,25 Oscuros 0,75

0,25 ⋅ 0,25 ⋅ 0,75 = 0,046875

0,25 ⋅ 0,75 ⋅ 0,75 = 0,140625

0,75 ⋅ 0,25 ⋅ 0,75 = 0,146875

0,75 ⋅ 0,75 ⋅ 0,75 = 0,421875

• Explicita los argumentos sobre el valor atribuido a la solución de la situación. Como el tercer hijo tiene los ojos claros y se quiere calcular la probabilidad de que el primer hijo tenga también los ojos claros, se consideran las probabilidades de las ramas que cumplan con la primera condición. Luego, en este caso, la probabilidad pedida es: 0,015625 + 0,046875 = 0,0625. Por lo tanto, la afirmación es verdadera. Paso 4 Revisa la solución Para revisar la solución puedes representar las probabilidades con fracciones, realizar los cálculos respectivos y verificar que la fracción final es equivalente a 0,0625.

222

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

CAPÍTULO

2. Resuelve los siguientes problemas. Para ello, guíate por los pasos estudiados anteriormente. Paso 1 Comprende el enunciado • ¿Qué se quiere dar a conocer una vez resuelto el problema? • ¿Qué información entrega el enunciado del problema? Paso 2 Planifica lo que vas a realizar • Analiza el objeto o situación a evaluar y define cómo realizarás esta evaluación. Paso 3 Resuelve el problema • Verifica si la proposición es o no válida. • Explicita los argumentos sobre el valor atribuido a la solución de la situación. Paso 4 Revisa la solución a. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 bolitas de la tómbola dibujada la primera sea de color verde y la segunda sea blanca, sabiendo que al extraer la primera no se devuelve a la tómbola para extraer la segunda? b. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 bolitas de la tómbola dibujada la primera sea de color verde y la segunda sea blanca, sabiendo que las extracciones se realizan con reposición? c. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 bolitas de la tómbola dibujada ambas sean de color blanco, sabiendo que al extraer la primera no se devuelve a la tómbola para extraer la segunda? d. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 bolitas de la tómbola dibujada ambas sean de color verde, sabiendo que las extracciones se realizan con reposición? e. Si se lanza una moneda y un dado de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda se obtenga cara y que en la cara superior del dado se logre un número par de puntos? f. Si se lanza una moneda y un dado de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda se obtenga cara y que en la cara superior del dado se logre un número de puntos mayor que 2? g. Supón que la probabilidad de extraer aleatoriamente una bolita de color azul 2 2 de una bolsa repleta 5de bolitas es y que la probabilidad de extraer una bolita 5 3 3 con reposición, 3 bolitas de la bolsa, ¿cuál de color amarillo es . Si se extraen, 5 5 del mismo color? es la probabilidad de que sean todas

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

223

Para no equivocarse En estas páginas te presentamos actividades para que detectes errores en la resolución de problemas propuestos, fundamentes por qué crees que ocurrieron y luego los corrijas. Analiza la resolución de los siguientes problemas. Luego, completa la planilla (ver figura) que te entregará tu profesora o profesor. 1 15 Si la tabla adjunta representa los valores de la función de probabilidad de una va1 riable aleatoria discreta, ¿cuál es el valor numérico de P(X ≥63)? 15 15 Función de probabilidad de X 1 6 1 x 1 2 3 4 5 15 15 15 1 6 4 1 k P(X = x) 151 6 1 15 4 15 15 + + + k + =1 415 15 15 1 15 6 Resolución: 12 15 15 15 + k =1 Si en la tabla se representa una 1función4 de probabilidad, entonces 15 debe ocurrir que la sumatoria de todas las probabilidades específicas de cada valor de la variable es 1, es 12 15 15 k =1– decir, P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 1. 15 4 3 15 k= Luego: Finalmente: 15 1 6 1 4 P(X ≥ 3) = P(X ≤ 5) – P(X ≤ 3) + + + k + =1 15 15 15 15 1 6 1 =1–  + +  12 15 15 15  + k =1 15 8 =1– 12 15 k =1– 15 7 = 3 15 k= 15 P(X ≥ 3) = P(X ≤ 5) – P(X ≤ 3) Problema 2  1 6 1  =1–  + +  Considerando la tabla anterior, ¿cuál es la media aritmética de los 15 del 15 problema 15  datos de la distribución? 8 =1– 15 Resolución: 7 Para calcular=el valor numérico de la media aritmética puedes aplicar: 15 1 n x = 1∑n x i x =n i =1 ∑ xi n ni =1 1 1+ 2 + 3 + 4 + 5 15 x = 1∑n x i = 1+ 2 + 3 + 4 + 5= 15= 3 n 5 i =1 =5 = 3 . Luego, la media aritmética es 3, ya que x = ∑ x i = n i =1 5 5

Problema 1

224

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

CAPÍTULO

Problema 3 La siguiente tabla relaciona datos de los funcionarios de una empresa: Funcionarios por sector Sector Hombres Mujeres Ventas 7 18 Producción 23 17 Total 30 35

Total 25 40 65

Si se sortea un premio entre los funcionarios, ¿cuál es la probabilidad de que el funcionario sea hombre, sabiendo que es del sector de ventas? Resolución: Sea H el conjunto compuesto por todos los funcionarios hombres de la empresa y V el conjunto de funcionarios que pertenecen al sector de ventas. Además, H ∩ V es el conjunto formado por todos los funcionarios hombres y que pertenecen al sector de ventas de la empresa. De la tabla se puede observar que: #H = 30, #V = 25 y # H ∩ V = 7 Luego, la probabilidad de que el funcionario sea hombre, sabiendo que es del sector de ventas es 0, 23, ya que: 0, 23 #(H ∩ V) 7 P(V /H) = = = 0, 23 #(H ∩ V) 7 P(V = = 0, 23 #H 30/H) = #H 30 #(R ∩ M) 17 P(R/M) = = #(R ∩ M) 17 = #M P(R/M) 35 = #M 35

Problema 4

Considerando la tabla del problema anterior, ¿cuál es la probabilidad de que el funcionario seleccionado sea mujer y del sector de producción? Resolución: Sea M el conjunto compuesto por todos los funcionarios mujeres de la empresa y R el conjunto de funcionarios que pertenecen al sector de producción. Además, M ∩ R es el conjunto formado por todos los funcionarios mujeres y que pertenecen al sector de producción. De la tabla se puede observar que: 0, 23 #M = 35, #R = 40 y # M ∩ R = 17 #(H ∩ V) 7 Luego, la probabilidad pedida es:P(V /H) = #H = 30 = 0, 23 #(R ∩ M) 17 P(R/M) = = . #M 35

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

225

Síntesis A continuación, se presenta una recopilación de contenidos relevantes en este capítulo.

Variable aleatoria

Función de probabilidad (f)

Es una función cuyo dominio es el espacio muestral asociado a cierto experimento aleatorio y su recorrido es un subconjunto de números reales. Es posible clasificarlas en discretas y continuas.

Función que relaciona los elementos del recorrido de una variable aleatoria X con la probabilidad (P) de que ocurra el suceso respectivo a cada uno de ellos. f: T ⊆  → [0, 1] xi  f(xi) = P(X = xi)

Función de distribución (F)

Valor esperado

Función asociada al cálculo de la probabilidad acumulada de cierto suceso. F: T ⊆  → [0, 1] xi  F(xi) = P(X ≤ xi)

Es la sumatoria de los productos entre cada valor posible de la variable aleatoria discreta (X) en cuestión con su respectivo valor asociado con la función de probabilidad (f ). n

E(X) = ∑( x i ⋅ f ( x i )) i=1

Medidas de dispersión: varianza y desviación estándar

S2 =∑( x i – x) ⋅ fn( x i ) E(X) = ∑( x i ⋅ f ( x i )) i=1 1 Para determinar el grado de dispersión de unai =variable aleatoria se pueden caln n2 n cular la varianza y la desviación estándar de sus valores. S= ( x 2– x) ⋅ f ( x ) 2 Para ello, considera las E(X)respectivamente: = ∑( x i ⋅ f ( x i )∑ )i = 1 Si =∑( xi –i x) ⋅ f ( xi ) siguientes relaciones, i=1

226

i=1

P(A ∩ B) n S =∑( xP(A/B) n– x i – 2x ) ⋅=f ( x i ) S = ∑i(=x1 i – x) ⋅ f ( x i )P(X P(B)= x) =   ⋅ p x ⋅(1– p)  n x   Si un experimento siguei =un calcular la probabilidad 1 modelo binomial, es posible n = E(X) ( xi2⋅ f ( xai )dicho ) P(A ∑ de que la variable aleatoria (X) asociada experimento tome uno de sus ∩ B) n(xii=–x1 x) ⋅ f ( xn –i )x S= ∑ = = 1  ⋅ p ⋅(1– pP(A/B) P(X = x)lo=isiguiente: ) valores (X = x) aplicando  P(B)  xn 2 S2 =∑n( x i – x) ⋅ f ( x in)– x x i =∩ 1 P(X==P(A x) = B) ⋅ p ⋅(1– p) ; con n ≥ x. P(A/B)  x P(B)n 2 S= ∑ P(A(∩x B)– x) ⋅ f ( x i ) P(A/B) = i = 1 i P(B) n x n – x de que ocurra A dado que Sean A y B sucesos independientes, ⋅(1– p) P(X = x) =  la⋅ pprobabilidad   ha ocurrido B está dada por:  x 2n

Probabilidad condicional

i=1

n n– x E(X) = P(X ()x2 i⋅⋅=ff((x)xx)i=);)S = ⋅ p xn⋅((1– p) 2 S 2 = ∑ ( x i∑ – x  ∑ x i – x) ⋅ f ( xi ) i  x i=1 n

i=1

Experimentos binomiales y modelo probabilístico

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

P(A/B) =

P(A ∩ B) ; con P(B) ≠ 0. P(B)

Reforzamiento Analiza cada situación. Luego, responde en tu cuaderno. Se han dispuesto en una tómbola 12 bolitas numeradas desde el 1 al 12 y se ha definido el experimento aleatorio “extraer una bolita de la tómbola”. a. Representa en un diagrama sagital la variable aleatoria discreta X: cantidad de divisores del número de la bolita extraída. Luego, identifica su dominio y su recorrido. b. Representa algebraicamente la función de probabilidad (f ) asociada a X. ¿Qué valor de la variable aleatoria es más probable obtener al realizar el experimento aleatorio? Justifica. c. Representa algebraicamente la función de distribución asociada a X como una función por tramos. ¿Cuál es la probabilidad de que la bolita extraída esté numerada por un valor con más de dos divisores y menos de 5?

Variable aleatoria, función de probabilidad, función de distribución.

d. Representa gráficamente las funciones de probabilidad y de distribución de X. e. Define una nueva variable aleatoria para el experimento aleatorio “extraer una bolita de la tómbola” y represéntala en un diagrama sagital. Luego, representa algebraicamente su función de probabilidad y su función de distribución.

Dos estudiantes compiten por el primer lugar de su curso en Matemática. Para ello, comparan sus promedio finales y se dan cuenta que son iguales. La tabla muestra las calificaciones obtenidas. Caliﬁcaciones obtenidas en Matemática Nota Nota Nota Nota Nota Nota Nota Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 5,5 6,3 5,5 7,0 7,0 7,0 5,8 A 4,9 4,8 7,0 7,0 7,0 7,0 6,4 B

Promedio 6,3 6,3

Valor esperado, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria

Si se decide que aquel que tenga menor desviación estándar obtendrá el primer lugar, ¿cuál de los dos estudiantes lo obtiene?

En un cine se están proyectando 3 tipos de películas. La tabla adjunta reﬂeja la cantidad de asistentes a cada una de ellas. Asistentes a cada tipo de película Tipo de película 2D 3D Total Acción 125 185 310 Suspenso 78 95 173 Infantil 121 121 242

Modelo binomial y probabilidad condicionada. Propiedades.

a. Si al elegir aleatoriamente un asistente al cine se sabe que vio una película en 3D, ¿cuál es la probabilidad de que la película vista sea acción? b. Si al elegir aleatoriamente un asistente al cine se sabe que vio una película de suspenso, ¿cuál es la probabilidad de que la película vista sea en 3D?

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

227

CAPÍTULO

Aprendiendo a responder Analiza el siguiente ejemplo de resolución de un tipo de pregunta PSU.

Sea X una variable aleatoria discreta, ¿cuál es el valor de P(2 ≤ X ≤ 5)? (1) Se conoce P(X ≤ 5) (2) Se conoce P(X ≤ 2) A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas (1) y (2). D. Cada una por sí sola (1) ó (2). E. Se requiere información adicional.

Para dar respuesta a esta pregunta, primero se debe analizar cada una de las proposiciones por separado y determinar si entregan suficiente información por sí solas. Al considerar la condición (1) se supone conocido el valor de P(X ≤ 5), sin embargo, con solo esta información no es posible calcular la probabilidad pedida, ya que este valor solo corresponde a la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor menor o igual que 5 y no resta los valores de X que son menores que 2. Por lo tanto, se descarta la alternativa A como correcta. Por otra parte, al descartar A se deja de considerar D como posible alternativa correcta, ya que esta opción es la adecuada cuando A y B son suficientes por sí solas para resolver el problema. Al considerar la condición (2) se supone conocido el valor de P(X ≤ 2), sin embargo, con solo esta información tampoco es posible calcular la probabilidad pedida, ya que este valor solo corresponde a la probabilidad de que la variable

aleatoria X tome un valor menor o igual que 2 y no aquellos valores de X que son menores o iguales que 5 y mayores o iguales que 2. Por lo tanto, se descarta la alternativa B como correcta. Hasta aquí ya se han descartado las alternativas A, B y D. La alternativa C será la correcta si se resuelve el problema, considerando de manera simultánea las opciones (1) y (2). Al conocer el valor de P(X ≤ 5) y P(X ≤ 2) tampoco es posible calcular P(2 ≤ X ≤ 5), ya que: P(2 ≤ X ≤ 5) = P(X ≤ 5) – P(X ≤ 1) Por lo tanto, la alternativa C no es la correcta. Finalmente, solo queda afirmar que falta información para resolver el problema. Es decir, la alternativa correcta corresponde a la opción E, se requiere información adicional.

228

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

Analiza la estrategia mostrada en la página anterior y resuelve en tu cuaderno. 1. ¿Cuál es el valor de k en la función de probabilidad?  x  , si x = q – 2; q –1 10  x – 1 f(x) =  , si x = q; q +1; q + 2  20   k – x , si x = p; p +1  5 1 P(X = 3) = P(X = 4) = (1) Si p = 2q 5 (2) Si p + q = 9 3 P(X ≤ 2) = 5 A. (1) por sí sola. n f(xi ) =1 B. (2) por sí sola. ∑ i=1 C. Ambas juntas (1) y (2).  xx sisíxxsola =q q ––(1)2; 2; óq q (2). –1 D. Cada una por ,, si = –1 10 10información adicional. E. Se requiere –1, si x = q; q +1; q + 2  xx –1 f(x) f(x) = =  , si x = q; q +1; q + 2  20 20   k – x 2. Sea X una variable aleatoria discreta, ¿cuál es el valor  k – x ,, si = p; p; p p +1 +1 si xx = de P(X ≥ 3)? 55 1 P(X = = 3) 3) = = P(X P(X = = 4) 4) = =1 (1) P(X 55 33 P(X ≤ ≤ 22)) = (2) P(X = 55 A. B. C. D. E.

n n

f(x )) =1 (1) por sí iisola. f(x =1 ∑ ii = = 11 (2) por sí sola. Ambas juntas (1) y (2). Cada una por sí sola (1) ó (2). Se requiere información adicional.

4. Cierto experimento sigue un modelo binomial. Si se realizan 8 ensayos, ¿cuál es el valor de P(X = 3)? (1) La probabilidad de éxito (p) es 0,5. (2) E(X) = 4 A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas (1) y (2). Cada una por sí sola (1) ó (2). Se requiere información adicional.

5. En un tercero medio, el 40% de los estudiantes pertenece al taller de música y el 30% al taller de arte. Si un estudiante elegido al azar pertenece al taller de arte, ¿cuál es la probabilidad de que también pertenezca al taller de música? (1) El curso tiene 35 estudiantes. (2) El 10% de los estudiantes pertenece a ambos talleres. (1) por sísola. x  , si x = q – 2; q –1 (2) por sísola. 10  x –1 Ambas juntas (1) f(x) =  , si xy=(2). q; q +1; q + 2 20 sí sola (1) ó (2). Cada una por  k – x Se requiere , si x = p; p adicional. +1  información  5 1 P(X = 3) = P(X = 4) = 6. ¿Es f una función de probabilidad de una variable 5 aleatoria discreta3 X? P(X ≤ 2) = 5 (1) 0 ≤ f(xi) ≤ 1; i = 1, 2,… , n. A. B. C. D. E.

(2)

3. Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio. ¿Cuál es el valor de P(A ∩ B)? (1) Se conoce el valor de P(A) y de P(B). (2) Los sucesos son independientes. A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas (1) y (2). Cada una por sí sola (1) ó (2). Se requiere información adicional.

∑ f(x ) =1 i

i=1

A. B. C. D. E.

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas (1) y (2). Cada una por sí sola (1) ó (2). Se requiere información adicional.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

229

CAPÍTULO

Evaluación final Lee atentamente y marca en la hoja de respuestas la alternativa correcta. 1. Sea la variable aleatoria X: número de caras. Respecto del experimento aleatorio “lanzar tres monedas”, ¿cuál o cuáles de los siguientes conjuntos representan su recorrido? I. Rec(X) = {0, 1, 2, 3} II. Rec(X) = {x ∈ / 0 ≤ x < 4} III. Rec(X) = {x ∈ / x – 1 ≤ 3} A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y II. I, II y III.

2. Respecto de la variable aleatoria de la pregunta anterior, ¿cuál es la imagen de SSS? A. B. C. D. E.

0 1 2 3 Ninguna de las anteriores.

3. Al lanzar un dado de seis caras, se considera la variable aleatoria discreta X: número de divisores del puntaje obtenido en la cara superior. ¿Cuál de los siguientes valores de la variable tiene solo una preimagen? A. B. C. D. E.

1 2 3 4 5

4. Respecto de la variable aleatoria de la pregunta anterior, ¿cuál es la cardinalidad de su recorrido? A. B. C. D. E.

230

2 3 4 5 6

4to Capítulo – Estadística y probabilidad

5. En el lanzamiento de dos dados de 6 caras cada uno, es posible definir la variable aleatoria discreta X: suma de puntos obtenidos. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? 11 P(x = = 0) 0) = = I. P(x 44 11 P(x =1) =1) = = II. P(x 22 III. El recorrido  xx de la variable aleatoria tiene cardina,, si si xx =1; =1; 22 lidad 3.10 10  kx kx x = 3; 4; 5 f(x) f(x)I. = =  ,, si si x = 3; 4; 5 A. Solo  60 60  B. Solo II. xx  , si x = 6; 7 , si x = 6; 7  42 C. Solo I y II.  42 D. Solo41 41I y III. E. I, II y21 21III. 1 41 41 111P(x = 0) = P(x = 0) = 4 P(x 20 = 0) = 4 20 4 de k para 6. ¿Cuál es el valor que f sea una función de 1 42 42 11P(x =1) = probabilidad? P(x =1) 2 P(x 20 =1) = = 22 20 2  x 41 41 x , si x =1; 2  x , si x =1;10 , si x =1; 222210 , si x =1;222 10  kx 10 42 42 kx kx f(x) =  , si x = 3; 4; 5  kx , si x = 3; f(x) = 4;  60 f(x) 21 =  60 , si x = 3; 4; 55 21  5  60  x , si x = 6; 7  xx  42 x = 6; 77  x ,, si si x = 6;  42 42 41 41 41 A. 41 21 21 21 21 41 41 B. 41 20 20 20 20 42 42 42 20 C. 20 20 20 41 41 41 41 2 2 D. 22 2222 42 42 42 21 E. 21 21 21

7. Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad:  x  , x =1, 2, 3, 4 f(x) = P(X = x) =  10   xx  0, en otro caso ,, xx =1,  =1, 2, 2, 3, 3, 4 4 f(x) P(X = = 10 f(x)es= =4el P(Xvalor = x) x) de =  P(X 10 ≤ 3)? ¿Cuál   0, en otro caso 5  0, en otro caso A. 1 3 44 B. 5 5 5 2 33 5 C. 55 1 2 D. 2 10 55 1 11 E. Ninguna de las anteriores. 28 10 10 1 11 56preguntas  x8, 9 y 10 considerando la siResponde las 28  28 , x =1, 2, 3, 4 de camionetas guiente tabla1que representa el número f(x) 11 = P(X = x) =  10  (X) que vende 74una automotora.  0, en otro caso 56 56 1  1 41 76 Camionetas vendidas 74 x 74 1 2 3 4 5 2 3 11 kx f(x) k kx kx 3 76 76 5 8. ¿Cuál 2 es el valor de k para que f represente una función5de probabilidad? A. 1 10 1 B. 28 1 C. 56 1 D. 74 1 E. 76 9. ¿Cuál es la cantidad de ventas esperadas diariamente por la automotora? A. B. C. D. E.

1 camioneta 2 camionetas 3 camionetas 4 camionetas 5 camionetas

10. Si la comisión de un vendedor por cada camioneta vendida es $ 10.000, ¿qué monto aproximadamente, espera obtener por día? A. B. C. D. E.

$ 10.000 $ 20.000 $ 35.000 $ 40.000 $ 45.000

Responde las preguntas 11, 12 y 13 considerando la siguiente tabla que representa una función de probabilidad. x P(X = x)

1 0,1

2 0,2

3 k

4 0,3

11. ¿Cuál es el valor de k? A. B. C. D. E.

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

12. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones son equivalentes a P(2 ≤ x ≤ 4)? I. P(x ≤ 4) – P(x ≤ 1) II. P(x = 2) + P(x = 3) III. P(x ≤ 3) – P(x ≤ 2) A. B. C. D. E.

Solo I. Solo II. Solo III. Solo I y III. I, II y III.

13. ¿Cuál es el valor esperado de la variable aleatoria? A. B. C. D. E.

1,9 2,9 3,9 4,9 5,9

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

231

CAPÍTULO

Evaluación final 14. El siguiente gráfico representa una función de distribución. ¿Cuál es la probabilidad (representada como fracción) de que al escoger un encuestado al azar, este tenga 3 hermanos?

Probabilidad

¿Cuántos hermanos tienes? 1 0,875 0,5 0,125 0

1 2 3 Número de hermanos

A. 1 1 B. 2 3 C. 8 1 D. 1 4 2 1 E. 3 8 8 1 1 8 15. Respecto a la pregunta anterior, ¿cuál es la probabili4 dad11de que la variable aleatoria tome un valor mayor que40 y menor que 3? 8 3 1 A. 4 8 3 1 B. 8 4 1 3 C. 2 4 13 3 D. 52 8 13 1 E. 51 2 156 13 2.652 52 que la probabilidad de que una bicicleta res16. Supón 156 13 bale al frenar cuando llueve, es 0,6. Si la probabilidad 2.704llueva es 0,3, ¿cuál es la probabilidad de que de que 51 169 llueva y resbale la bicicleta? 156 2.6652 2.652 1 A. 0,18 156 8 B. 0,2 2.704 1 C. 0,3 169 4 D. 0,5 2.6652 3 1 E. 0,9 8 8 1 1 2 4 3 232 3 4to Capítulo – Estadística y probabilidad 4 8

81 41 43 41 17. Si en una baraja de naipes inglés (52 cartas, 13 de 3 8 cada8 pinta) se extraen dos cartas, sin reposición, 1 es la probabilidad de que salga un trébol en la ¿cuál 1 8 2 primera y un corazón en la segunda? 231 13 A. 84 52 31 13 4 B. 351 1 156 8 C. 2.652 1 156 D. 28 2.704 13 1 169 52 E. 4 2.6 13 3 652 51 41 83156que la probabilidad de que un jugador de 18. Supón 1 básquetbol acierte en su primer lanzamiento es de 82.652 40%41156 y la probabilidad de que acierte en el primer y segundo lanzamiento es 10%. ¿Cuál es la probabi3 22.704 lidad de que acierte el segundo lanzamiento y no 8169 13 acierte en el primero? 1 652 2.6 52 21 13 A. 3 851 41156 B. 2 4 2.652 83156 C. 1 8 2.704 31169 D. 3 2 652 2.6 831 E. 5 84 821 284 tómbola hay 3 bolitas rojas y 5 blancas. De 19. En una 331 las rojas, 2 tienen escrito un número par y la otra un impar 83 y de las 5 blancas, 3 tienen escrito un número par 31y las otras dos, un impar. Si se extrae al azar una bolita de la tómbola y esta es de color rojo, ¿cuál es 28 la probabilidad de que la bolita tenga escrito un nú53 mero par? 84 2 A. 83 1 B. 3 3 C. 8 5 D. 8 2 E. 3

Responde las preguntas 20, 21 y 22 considerando una caja que contiene 40 lápices, de los cuales 10 son defectuosos. 20. Si se extraen 6 lápices, ¿cuál es la probabilidad de que 4 sean defectuosos? A.

4 2 6   1 4  3 2  ⋅⋅     44  44   44 

4 2 6  1 4  3 2 B.  ⋅ 1 44  3 22   226⋅ 4414  443 2  4⋅ 4 22  4 44  4  41   34  C.  ⋅ 1 44  3 22 226  41 4  43 2  ⋅⋅    224  441144  4433 22 D.  ⋅ 222  444 64  41   34   ⋅⋅    226  441 22  344 44  1 3 E.  ⋅ 444   222 24  411  433  ⋅    566  3344 00  114455 5  33 11  11 44    es la probabilidad de + ⋅ ¿cuál ⋅ 22  544lápices, 21. Si se06extraen    411 2  433 4 1  4   4   1 esté bueno? quea lo⋅ más 225  34 55  41 00 5  3 11 1 44  ⋅ 3   1  + ⋅ 3   1  0 5  1 4  05  43 00  41 55 15  43 11 41 44 A.  ⋅ 3   1  + ⋅⋅ 3   1  500  43 00  41 55 115  43 444111  ⋅ 3   1  + ⋅ 3   1  0 1 4 5 50  433 55  411 00 15  4433 11114444 B.  ⋅    + ⋅    14 055  433 55  411 00 155  433 4441114  ⋅ 00  55 +  ⋅ 44  11 +       05  443 0  441 5 15  43 4  41 1 C.  ⋅ 3   1  + ⋅ 3   1  0  4   4  1  4   4  14 5  33 55  11 00 5  33 44  11 14 D.  ⋅    + ⋅    0  4   4  1  4   4  E. Ninguna de las anteriores. 5

22. Si se extraen 8 lápices, ¿cuál es la probabilidad de que más de 2 lápices y menos de 6 sean defectuosos? A. B. C. D. E.

0,023 0,086 0,207 0,294 0,317

Mi desempeño Pide a tu profesora o profesor que te entregue una hoja de respuestas para que puedas contestar esta evaluación y luego evalúa tu desempeño aplicando la siguiente tabla que contiene niveles de logro: Porcentaje de preguntas correctas (%) [0, 60[ [60, 85[ [85, 100]

Nivel de logro Por lograr Parcialmente logrado Logrado

Autoevaluación Responde las siguientes preguntas en tu cuaderno y revísalas con el texto. 1. ¿Qué es una variable aleatoria? 2. ¿Qué es una función de probabilidad? 3. ¿Cuál es el dominio de una función de probabilidad? 4. ¿Qué cardinalidad tiene el recorrido de la variable aleatoria X: cantidad de números primos al lanzar dos dados? 5. Explica con tus palabras qué características tiene una función de distribución. 6. ¿Cuál es la fórmula que permite calcular el valor esperado de una variable aleatoria? 7. ¿Cómo definirías con tus palabras la desviación estándar de una variable aleatoria? 8. Describe un ejemplo en donde se pueda aplicar la distribución binomial. 9. Si dos sucesos A y B son independientes, ¿cómo se calcula el valor de P(A ∩ B)? 10. Ejemplifica un caso en el que se deba calcular una probabilidad condicionada.

Matemática 3° Medio - Texto para el estudiante

233

CAPÍTULO