Mat 2m txt ecat by Mauricio Fresard

MATEMÁTICA EDUCACIÓN MEDIA

MATEMÁTICA

EDUCACIÓN MEDIA

El texto Matemática 2.° Medio del Proyecto Sé Protagonista es una creación del Departamento de Estudios Pedagógicos de Ediciones SM Chile. Dirección editorial Arlette Sandoval Espinoza Coordinación área matemática Gabriel Moreno Rioseco Edición Marco Linares Rodríguez Ayudantía de edición María Patricia Romante Flores Autoría Alexis Curiche Aguilera Mauricio Aguilar Baeza Marjorie Sanhueza García Asesoría pedagógica Gastón Guerrero Arcos Consultoría Miguel Muñoz Jara Corrección de estilo y prueba María Paz Contreras Aguirre Víctor Navas Flores Desarrollo de solucionario José Romante Flores Fernando Gómez Miranda Dirección de arte y diseño Carmen Gloria Robles Sepúlveda Montaje de portada Mauricio Fresard Lemmermann Diseño y diagramación Mauricio Fresard Lemmermann Ilustración José Ignacio Cerda Mijon Fotografías Latinstock Archivos fotográficos SM Jefatura de producción Andrea Carrasco Zavala

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© 2014 - Ediciones SM Chile S.A. - Coyancura 2283, oficina 203, Providencia. ISBN: 978-956-349-697-0 / Depósito legal: 244979 E-mail: chile@ediciones-sm.cl Servicio de Atención al cliente: 600 381 13 12 Impreso en Chile / Printed in Chile - QuadGraphics. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

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Presentación El texto Matemática 2.° Medio del Proyecto Sé Protagonista fue pensado para acompañarte en el desafío que emprenderás este año y acercarte al conocimiento de la Matemática. Sé Protagonista es una propuesta integral, desarrollada para contribuir a tu formación como ciudadano activo, capaz de integrarte y dejar huella en la sociedad. Este proyecto se articula en cuatro ejes: 1. Aprendizaje eficaz y desarrollo de habilidades 2. Evaluación para el aprendizaje 3. Desarrollo de valores 4. Desarrollo de habilidades digitales En Matemática, el proyecto Sé Protagonista fomenta el desarrollo del pensamiento matemático, entendido como la aplicación de la Matemática en diversos ámbitos y como la comprensión de situaciones cotidianas mediante la resolución de problemas, lo que favorece el desarrollo de una actitud reflexiva y abierta al debate, y permite comprender los razonamientos y conceptos.

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Índice

Números

12 Evaluación inicial Lección

1 Números reales y raíces

14 Números racionales y números irracionales 16 Números reales 18 Aproximación de números reales 20 Representación de números reales 22 Raíz enésima de un número real 24 Propiedades de la raíz enésima 28 Operaciones con raíces enésimas 30 Racionalización 32 Aproximación de raíces 34 Evaluación 36 Taller de TIC Lección

2 Potencias y logaritmos

38 Potencias de exponente racional 40 Propiedades de las potencias 43 Ecuaciones exponenciales 46 Logaritmo de un número real 48 Propiedades de los logaritmos 51 Ecuaciones logarítmicas 54 Aplicaciones 56 Evaluación 58 Taller de Resolución de problemas 60 Modelamiento de pregunta tipo PSU 62 Evaluación final

Unidad

6 Conoce tu texto Unidad

Álgebra y funciones

68 Evaluación inicial Lección

3 Ecuación de segundo grado

70 Ecuación de segundo grado 71 Raíces de una ecuación de segundo grado 72 Resolución: factorización 74 Resolución: completación de cuadrado 76 Resolución: fórmula general 78 Discriminante de una ecuación de segundo grado 80 Propiedades de las raíces 82 Aplicaciones 84 Evaluación Lección

4 Función cuadrática

86 Función cuadrática 88 Representación gráfica: parábola 91 Intersección con los ejes coordenados 94 Variación de parámetros 97 Modelamiento con funciones cuadráticas 100 Evaluación 102 Taller de TIC Lección

5 Función inversa

104 106 108 110

Función inversa Función inversa: tablas Función inversa: gráfico Función inversa de una función lineal y de una afín 112 Función inversa de la función cuadrática 114 Evaluación Lección

6 Cambio porcentual

116 Cambio porcentual 118 Ecuación del cambio porcentual 120 Gráfico del cambio porcentual 122 Interés compuesto 124 Aplicaciones 126 Evaluación 128 Taller de Resolución de problemas 130 Modelamiento de pregunta tipo PSU 132 Evaluación final

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Geometría

138 Evaluación inicial Lección

7 Esfera

140 Esfera 142 Área de la superficie de la esfera 144 Volumen de la esfera 146 Aplicaciones 148 Evaluación Lección

8 Razones trigonométricas

150 Teoremas de Euclides 152 Medida de ángulos 154 Razones trigonométricas en triángulos rectángulos 156 Razones trigonométricas para 30°, 45° y 60° 158 Aplicaciones 160 Evaluación 162 Taller de Resolución de problemas Lección

9 Vectores y trigonometría

164 Vectores 168 Vectores y trigonometría 172 Identidad fundamental 174 Coordenadas geográficas 176 Evaluación 178 Taller de TIC 180 Modelamiento de pregunta tipo PSU 182 Evaluación final

186

Probabilidad y estadística

188 Evaluación inicial Lección

10 Técnicas de conteo

190 192 194 196 198 200 Lección

202 204 206 208 210 212 Lección

214 218 221 224 226 228 230

235

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Unidad

136

Principios básicos de conteo Variaciones Permutaciones Combinaciones Aplicaciones Evaluación

11 Variable aleatoria Variable aleatoria Variable aleatoria discreta finita Probabilidad de una variable aleatoria discreta Representación gráfica de las probabilidades Evaluación Taller de TIC

12 Probabilidad Probabilidad y medios de comunicación Probabilidad y toma de decisiones Interpretaciones de la probabilidad Evaluación Taller de Resolución de problemas Modelamiento de pregunta tipo PSU Evaluación final

Evaluación tipo PSU

Conoce tu texto A continuación, te invitamos a revisar el detalle de los tipos de páginas y secciones que encontrarás en cada una de las unidades del texto. Inicio de unidad Objetivo dar inicio a la unidad, presentando una imagen, un texto y preguntas relacionadas con el tema.

Evaluación inicial Objetivo diagnosticar los conocimientos y habilidades que posees. Pare ello, incluye preguntas de conceptos y procedimientos estudiados anteriormente. Secciones que encontrarás Me evalúo: instancia que te permitirá revisar tus fortalezas y debilidades en la evaluación.

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Lecciones de unidad Objetivo organizan y se desarrollar en breves lecciones los contenidos de la unidad. Secciones que encontrarás Ejercicios resueltos: actividades resueltas cuyo objetivo es lograr la comprensión de cierto tipo de tareas y conceptos. Ejercicios propuestos: planteo de actividades para que practiques los contenidos estudiados en la lección. Conectando con…: relaciona los contenidos con otras disciplinas, ámbitos del saber o la vida cotidiana. Ayuda: aporta información que puede resultar útil para llevar a cabo una actividad o comprender un concepto. Sé más: profundiza y amplía contenidos. Desafío: presenta una o más preguntas desafiantes para trabajar a partir de los contenidos estudiados. ¿Qué opinas de esto?: se invita a la opinión y reflexión a partir de un determinado tema. Evaluación de lección Objetivo Ejercitar los contenidos estudiados en la lección. • Cuando encuentres una pregunta destacada en un cuadrado, significa que tendrás que poner en juego más de un contenido estudiado.

En el texto encontrarás referencias a códigos web, como el siguiente: SP2m153. Para acceder a los links sugeridos, ingresa cada código en la página web del proyecto Sé Protagonista:

http://protagonista.proyecto-se.cl

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Conoce tu texto Talleres Objetivo Taller de Matemática aplicada Proponer preguntas de alternativas para poner a prueba una determinada habilidad y responder las preguntas, marcando alguna de las opciones dadas. Taller de estrategias Proponer el trabajo de estrategias paso a paso para aprender diversas técnicas de trabajo matemático y lograr una mayor comprensión y afianzamiento de los contenidos.

Modelamiento de pregunta tipo PSU Objetivo Enseñar la resolución de preguntas de alternativas tipo PSU.

Evaluación final Objetivo Medir los conceptos y procedimientos estudiados en cada unidad. Para ello, incluye preguntas de alternativas y de desarrollo tipo PSU de los principales contenidos de la unidad.

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Taller de TIC Objetivo Capacitar en el uso de diferentes herramientas tecnológicas; por ejemplo, calculadora científica, hojas de cálculo o GeoGebra.

Taller de Resolución de problemas Objetivo desarrollar la habilidad de solucionar problemas, mediante una resolución paso a paso de un ejercicio que involucra contenidos vistos en la unidad.

Evaluación tipo PSU Objetivo Ejercitar los contenidos trabajados durante el año en una evaluación tipo PSU.

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Unidad

Números 1 2

Números reales y raíces Potencias y logaritmos

Ya has conocido los números naturales,los números enteros negativos y el cero. A medida que la matemática se desarrolla, aparecen los números racionales, como resultado de particiones de enteros, y los números irracionales. Desde la época de los griegos hasta la actualidad hemos convivido con un número irracional que está presente en la naturaleza, en la arquitectura, en el cuerpo humano, etc., es el llamado número de oro o número aúreo, que se designa con__la letra griega Φ (phi) y 1 + √5 cuyo valor es __________ = 1,618... Otro número 2 irracional que ya has visto en años anteriores es π = 3,14 159…, que relaciona la longitud de la circunferencia con su radio. 1. ¿Conoces las escalas que permiten cuantificar la magnitud de un sismo? 2. Si el terremoto de Valdivia en 1960 registró 9,5° y el producido en las costas chilenas en el año 2010 fue de 8,8° en la escala de Richter, ¿qué representa la diferencia de estas magnitudes? 3. ¿Sabías que las dimensiones de tu cédula de identidad se aproximan a la razón áurea así como las columnas del Partenón? 4. ¿Sabes cuál es la intensidad sonora máxima con que puedes escuchar un concierto de la Orquesta Filarmónica de Santiago?

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UNIDAD

Evaluación inicial

Resuelve la siguiente evaluación para iniciar la unidad de Números. 1. Clasifica los números racionales en finitos, infinitos periódicos o infinitos semiperiódicos.

4. Completa la tabla según corresponda. Fracción

Número mixto

Decimal

2 3 ___ 9

a. 0,75 15 − ____ 4

___ b. 1 3

–0,375

25 c. ____ 4

26 ____ 8

d. 4,1666666…

4 –7____ 13 _

8 e. ___ 9

15,6

5. Resuelve las operaciones combinadas. ____ ___ ___ 25 a. √9 − √4 + 2 · √_______ 3

f. –1,5 ___ g. –2 2 3 2. Aproxima cada número decimal según corresponda. a. 19,312 a la centésima.

( )

5 ___ 5 ___ · ___ ___ 2 − 2 · 2 b. 2 + 3 6 3 6

ˉ a la décima. b. 57,26

c. 0,90 a la centésima. d. 83,167 a la centésima.

_______

_____

(

)

_______

_____

√100 · √49 − ( √256 : √64 )

e. 1,8994 a la milésima. f. 0,048 a la décima. g. 1,7258 a la milésima. 3. Compara los números. Luego, represéntalos en una recta numérica. __

5 3 4 d. ____ · 1 − ___ : ___ 2 7 18

√5 ; ___91 ; −0,37; __52 ; √2 ; −___43 ; −1,68; 1,75

_____

____

36 − 5√16 √__________________ 2

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6. Aplica las propiedades de las potencias. Luego, expresa el resultado como una sola potencia. 5 ___ 8

a. ( −3 )7 · (−3) =

( ) : ( 2___3 )

___ b. 2 3

1___ 5

−4

−2 )15 )−3

c. ( ( 5

a. 4x − 3 = 64

(

−9

)

1 = ( 25 )2 x = b. 53x + 10 · ______ 125 88 = 8−4 c. _______ x= 642x d. 2x · 23 = 2−12 x________ +4 2

( ( ( ( −2 )354 )3___7 )5009 )0 = 2 6 · 11−12 · 6−7 · ( 110 ) = ________________________________ 11−12 · 67

· 7 = 73

f. 105 = 1.000

___x

12−3 · (98)−2 · 12−1 e. _________________________ = (94 : 96)8 f.

Calcula el valor de la incógnita en cada caso.

e. 7

( )

1 d. 0,2−4 · ___ 5

8. Resuelve los problemas. a. Por una moto que costaba $1.200.000, los tíos de Carmen pagaron tres quintos de su precio. Un año más tarde, la revenden por cuatro quintos de lo que pagaron. ¿Ganaron o perdieron al venderla? ¿Cuánto? b. Un estanque se puede llenar a razón de 5.000 litros por hora. En el mismo instante del inicio del llenado, sufre una ruptura y deja salir agua a razón de 500 litros por hora. ¿Cuánta agua hay en el estanque después de 3 horas? c. Un tipo de bacteria se reproduce de acuerdo a la expresión 3t, donde t es el tiempo transcurrido en horas. ¿En cuántas horas se tendrán 6.561 bacterias?

(Preguntas 1 y 2)

Comparé y representé números racionales de distintas formas. (Preguntas 3 y 4)

Resolví operaciones combinadas de números racionales. (Pregunta 5)

Apliqué las propiedades de las potencias. (Preguntas 6 y 7)

Analicé y resolví situaciones que involucran números racionales y potencias. (Pregunta 8)

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Lección

Leonhard Euler

A temprana edad ingresa a la Universidad de Basilea para estudiar Filosofía y Teología.

Nace en Basilea, Suiza.

El rey Federico el Grande lo invita a residir en Berlín para ser profesor de Matemática en la Academia de Ciencias.

Números 1707

↘ Números racionales y números irracionales ↘ Números reales

Se alista en la marina rusa y aprende sobre la estructura y funcionamiento de los barcos.

1724

Números racionales y números irracionales

↘ Representación de números reales

El conjunto de los números racionales (ℚ) está formado por todos los números cuya representación decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica. Además de este conjunto, existe el conjunto de los números irracionales (ℚc), compuesto por los números cuya representación decimal es infinita no periódica, es decir, los números que no son racionales.

↘ Raíz enésima de un número real

Ejercicios guiados

↘ Aproximación de números reales

↘ Propiedades de la raíz enésima ↘ Operaciones con raíces enésimas ↘ Racionalización ↘ Aproximación de raíces

1. Representa cada número racional como número decimal. Luego, clasifícalo. ____ a. 15 7

b. −1 1___

Para obtener su representación decimal, se debe resolver la división 15 : 7, esto es: 15 : 7 = 2,14285714285714... _____ = 2,142857 15 Por lo tanto, ____ tiene una representación 7 decimal infinita periódica con período 142857.

6 La representación decimal del número mixto se puede obtener de:

–(1 + 1 : 6) = −(1 + 0,1666...) = −1,1666... _ = −1,16 Por lo tanto:

2. Identifica el número irracional a partir de la información dada.

Desafío Investiga sobre los números irracionales algebraicos y los números irracionales trascendentes, y coméntalo con tus compañeros.

Es la relación entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro. Esto se puede verificar, por ejemplo, en las monedas que tienen forma circular.

Es la base del logaritmo natural y se aplica en muchas ciencias y en la economía; por ejemplo, en el crecimiento de poblaciones de bacterias. e=

Aparece en campos tan variados como los reinos animal y vegetal, la música, el arte, etc., y su nombre se debe al gran escultor griego Fidias. ϕ = 1,6180339… SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Escribe cerca de 380 artículos sobre filosofía natural, cálculo, artillería, construcción de barcos y cartas didácticas para la princesa de Alemania.

Fallece a los 76 años en San Petersburgo, Rusia. Deja importantes contribuciones para el estudio de los números.

Pierde su casa en un incendio y solo alcanza a salvar sus trabajos matemáticos.

1745

1764

1783

Ejercicios propuestos 1. Analiza la información del recuadro. Luego, resuelve. Cuando uno de los miembros de la escuela pitagórica intentó medir la diagonal de un cuadrado de lado 1 unidad utilizando el teorema de Pitágoras, llegó a la conclusión de que esta medida no podía expresarse como un número natural o una fracción de ellos, los únicos aceptados en aquella__época. Más tarde, dicho número fue llamado inconmensurable y corresponde a √ 2 . Hoy, este número es parte del conjunto de los números irracionales, al igual que las raíces cuadradas no exactas.

Para conocer más sobre Leonhard Euler ingresa el código SP2m015a en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Encierra las raíces que representan números irracionales. ___

____

√15 __

_______

√0,25

√1

√9 _____

√1,5

√

_____

17 ____ 34

______

√144

____

√7

√

√3

____

4 ____ 25

_________

√49

____

√81

√0,001

____

√11

2. Responde. a. ¿Toda raíz cuadrada de un número impar representa un número irracional? b. ¿Existen números primos cuyas raíces cuadradas no correspondan a un irracional?

c. ¿El cuadrado de un número irracional es un número irracional? Utiliza √7 y π.

Conectando con... Hipaso de Metaponto

d. ¿Existe algún número que sea racional e irracional al mismo tiempo? 3. Identifica si la situación está relacionada con un número racional o con un número irracional. Escribe ℚ o ℚc, según corresponda.

a. El cálculo del promedio de tus notas en Matemática. b. La medición del perímetro de una plaza con forma circular. c. Obtener la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 5 cm. d. Dividir el pago de una cuenta de $17.500 entre tres amigos.

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Según la historia griega, jugó un papel fundamental en el descubrimiento de los números irracionales. Para saber más, ingresa el código SP2m015b en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Lección 1: Números

Números reales El conjunto de los número reales, denotado como 핉, está formado por los conjuntos de los números racionales (ℚ) y los números irracionales (ℚc). Es decir: 핉 = ℚ ∪ ℚc Utilizando un diagrama, se tiene que: 핉

Mientras estudian, Paola le dice a Jaime que entre dos irracionales siempre existe otro irracional. Jaime duda y le indica que, ____ él, entre ____ según √11 y √13 no hay otro irracional. ¿Qué crees tú?

–1,5

ℚ

–5 핅 1 5 21 _

0,7

ℤ 0

ℚC

4 ___ 7 π –1

–100

–√17

√5 _____

–2,13

____

√1,7

Observa que ℚ y ℚc son disjuntos, es decir, no existe un número real que sea racional e irracional.

Ejercicios guiados 1. Identifica cada propiedad de la adición y la multiplicación de números reales. Luego, responde. Sean a, b, c ∈ 핉: Adición

Multiplicación

Propiedad

a+b∈핉

a·b∈핉

Clausura

a+b=b+a

a·b=b·a

Conmutativa

a + (b + c) = (a + b) + c

a · (b · c) = (a · b) · c

Asociativa

a+0=a

a·1=a

Elemento neutro

a + (–a) = 0

a · a–1 = 1

Elemento inverso

a · (b + c) = a · b + a · c

Distributiva

a. ¿Qué significa la propiedad de clausura? Desafío Investiga cuáles de las propiedades de la adición y la multiplicación cumplen la sustracción y la división, y comenta con tus compañeros.

b. ¿Cuáles son los elementos neutros de la adición y de la multiplicación en 핉? c. ¿Todos los números reales tienen inverso aditivo e inverso multiplicativo? d. ¿Se pueden multiplicar tres o más números sin aplicar la asociatividad?

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2. Analiza la información. Luego, resuelve. El conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales son densos en 핉. Esto significa que si x e y son dos números reales con x < y, entonces existen z ∈ ℚ y w ∈ ℚc tales que: x<z<y

x<w<y

a. Explica con tus palabras qué significa que ℚ y ℚc sean densos en 핉.

Sé más La ley de tricotomía en 핉 establece que: a < 0, a = 0 o a > 0. Es decir, que un número real puede ser negativo, cero o positivo.

4 y √7 . b. Determina un número racional y un número irracional entre ___

7 __ 4 16 16 ___ ____ ____ ▷ Como 0 < < √7 , entonces 0 < < 7. Luego, < 1 < 5 < 7, entonces al 7 49 49 aplicar la raíz cuadrada se obtiene que: Conectando con... El infinito __

Donde 1 ∈ ℚ y √5 ∈ ℚc verificando la información del recuadro anterior.

Ejercicios propuestos 1. Identifica si cada número pertenece (∈) o no pertenece (∉) al conjunto dado. Número

핅

ℤ

ℚ

ℚc

–0,0125 _

2,078

____

√11

La cardinalidad de 핅 y la de 핉 son infinitas, pero una es infinitamente mayor que la otra. Para saber más, ingresa el código SP2m017 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

25 0

2. Analiza las afirmaciones. Luego, escribe V o F según corresponda y justifica las falsas.

a. b. c. d. e.

Existen números enteros que no son racionales. El conjunto de los números enteros es denso en 핉. ℤ es un subconjunto de ℚ. El 0 es un número racional y es un número irracional. Todo número racional tiene inverso multiplicativo.

Entonces, ¿quién tenía razón, Paola o Jaime? Responde y justifica en tu cuaderno.

3. Construye, en tu _cuaderno, una secuencia creciente de 6 números reales entre _____ el −√2,5 y el 4,12, intercalando números racionales y números irracionales.

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Lección 1: Números

Aproximación de números reales Aproximar un número real significa determinar un número racional tan cercano a este como sea necesario para un propósito determinado. Dos formas de obtener esta aproximación son el truncamiento y el redondeo. El error absoluto (Ea) de una aproximación es el valor absoluto de la resta entre el valor real (Vr) y el valor aproximado (Va), y el error porcentual (Ep) es el cociente entre el error absoluto y el valor real: E Ea = | Vr − Va | Ep = ___a · 100 % Vr Si un número tiene dos o más aproximaciones, la mejor de ellas será la de menor error absoluto. El precio de la bencina de 97 octanos en cierta estación es de $864,58. Si se cargan 15 litros, ¿cuánto se deberá pagar?

Por otro lado, el orden de aproximación de un número corresponde a la posición de la última cifra de su aproximación.

Ejercicios guiados 1. Calcula el error absoluto, el error porcentual y el orden de aproximación de cada número cuando corresponda.

a. 1,529 ≈ 1,5

→

Vr = 1,529 y Va = 1,5 Ea = | Vr − Va | = | 1,529 − 1,5 | = 0,029 E Ep = ___a · 100% = 0,018 · 100 % = 1,8 % Vr

Además, 1,5 es una aproximación a la décima de 1,529, ya que su último dígito ocupa la posición de las décimas. ¿Qué relación puedes observar entre el error absoluto y el orden de aproximación? Desafío Dos aproximaciones de 2,19998 son 2,2 y 2,2000. ¿Cuál es la diferencia entre ellas?

Se puede observar que Ea < 0,1, es decir, es menor que el orden de aproximación. ____ ≈ 2,142857 b. 15 7

15 Luego, 2,142857 es una aproximación a la millonésima de ____ , ya que su último 7 dígito está en esa posición. Además, Ea < 0,000001, es decir, es menor que el orden de aproximación. 18

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2. Analiza la información. Luego, completa.

Conectando con... El Día Internacional de π

El error absoluto de la aproximación de un número irracional no se puede calcular debido a la cantidad infinita de decimales. Lo que se puede obtener es una cota para ese valor. Por ejemplo, si para e = 2,718281… se considera el valor aproximado 2,72, se puede observar que su orden de aproximación es a la centésima, por lo tanto, Ea < 0,01.

Determina una cota para el error absoluto de cada aproximación.

Existen dos celebraciones internacionales relacionadas con el número irracional π. Para conocer más de ellas, ingresa el código SP2m019 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

a. π ≈ 3,142 → Como la aproximación es a la milésima, entonces Ea < __

b. √3 ≈ 1,7 → El orden de aproximación es a la décima, por lo tanto, Ea < Ejercicios propuestos 1. Analiza cuál de las aproximaciones de cada número es mejor. Justifica. Número

Aproximación 1

Aproximación 2

6,28318

6,2831

6,2832

0,0025

0,003

0,002

–1,678945

–1,6789

–1,6790

3,1415927

3,1415

3,1416

2. Calcula el porcentaje de error que se comete al aproximar el área del rectángulo según el orden de aproximación dado.

a. A la décima. b. A la centésima. c. A la milésima.

↘

1,57 m 2,89 m

Finalmente, ¿cuánto se pagó al cargar combustible? Responde en tu cuaderno.

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

El índice de masa corporal (IMC) es el cociente entre la masa corporal en kilogramos y el cuadrado de la talla en metros de un individuo adulto. La Organización Mundial de la Salud (OMS) establece que el sobrepeso corresponde a tener un IMC igual o superior a 25, mientras que la obesidad correspondería a un IMC igual o superior a 30. Si una persona tiene un IMC de 29,992, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A. Si se aproxima a la décima, la persona tendría sobrepeso. B. La persona sería considerada obesa si se trunca a la décima. C. Si se aproxima a la centésima, la persona estaría con obesidad. D. La persona estaría con obesidad si se aproxima a la décima. E. Si se trunca a la centésima, la persona estaría con obesidad.

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Lección 1: Números

Representación de números reales Conectando con... Los números primos

El conjunto de los números reales se puede representar en una recta, llamada recta real, donde cada punto de ella representa exactamente un número real. Esta relación es posible ya que ℚ y ℚc son densos en 핉: __

–4,1 –3,75

_____

–√0,5

17 – ____ 9

–3

9 ___ 4

1 1,3

____

√17

Ejercicios guiados Estos son utilizados actualmente en criptografía. Hasta febrero de 2013, el número primo más grande que se había descubierto tenía 17.425.170 dígitos y corresponde a 257.885.161 – 1. Para saber más, ingresa el código SP2m020 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

1. Analiza los métodos para representar algunos números reales en la recta y completa. 34 13 a. Para representar los números racionales − _____ y el ____ se utiliza su expresión 10 8 5 4 mixta: −3_____ y 1 ___. Desde el –3 y el 1 se dibuja un segmento, el cual se une 10 8 con otro segmento al entero menor y mayor, respectivamente. Luego, se divide el segmento AB según el denominador de la fracción (10 y 8) y se traza una paralela al segmento BC en la división que corresponde al numerador de ella (4 y 5). La intersección de esa paralela con la recta real indica la posición de los números: B

10 partes 43 21 C A 37 –3 –4 – _____ 10

–2

–1

0 ___

B 8 partes 5 4 23 1 C A 1 13 ____ 2 8

b. Para representar el número irracional√6 se puede realizar una construcción

de triángulos rectángulos. Para esto, se construye uno de lados de 1 unidad de __ longitud. De esta forma la diagonal mide √2 unidades:

√2 1

Desafío ¿Por qué crees que en el ejercicio resuelto 1a el segmento desde –3 se dibujó hacia la izquierda, mientras que el segmento desde 1 se dibujó hacia la derecha?

1 1

Luego, se construye un arco con centro en 0 y radio √2 , y se interseca con la recta real. Desde esa ___ intersección se construye otro triángulo y sucesivamente, hasta determinar √6 . Completa la construcción para determinar la representación de ese número.

√2 0

1 1

• ¿Por qué los métodos anteriores son distintos? ¿Se puede aplicar el primer método para representar un número irracional? Justifica.

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c. Para representar φ = 1,618…, se debe utilizar algún tipo de aproximación. Por ejemplo, se puede acotar superior e inferiormente comenzando por la unidad. Completa la tabla: Orden de la cota

Desigualdad

Representación

unidad

1 < 1,61803989…<2

décima 1,61 < 1,61803989… < 1,62 milésima ⋮

1,6 1,7

1,61 1,62

1,618 1,619

⋮

Dependiendo de cuán aproximada se necesite que sea la representación, el proceso se puede seguir extendiendo.

Ejercicios propuestos 1. Utiliza una regla y un compás para representar cada número sobre la recta real. __

____

b. −√3

a. √17

Ayuda

________

____

16 + 1 √17 = √________

√

42 + 12 __ = ______ 2 __+ 1 √3 = √__________ =

√√2

+ 12

2. Construye, junto a un compañero o compañera, un círculo de cartón de radio 1 unidad y una recta con la misma unidad. Luego, marca un punto P en su contorno, apóyalo en el origen y hazlo rodar. P r=1u

r=1u

P P

a. b. c. d.

¿En qué lugar de la recta, aproximadamente, el punto P se vuelve a apoyar? Si se considerara r = 2 u, ¿qué número se podría representar? ¿Es necesario que los números de la recta representen 1 centímetro? Se podría obtener el mismo resultado utilizando una unidad básica de 10 cm?

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Lección 1: Números

Raíz enésima de un número real Sean n ∈ 핅, n > 1 y a, b ∈ 핉. Si bn = a, b se llama raíz enésima de a cuando se cumple una de las siguientes condiciones: ◾ n es par, a ≥ 0 y b ≥ 0. ◾ n es impar, a ≥ 0 y b ≥ 0. ◾ n es impar, a ≤ 0 y b ≤ 0. n

Esta relación se denota como √a = b, donde a se llama radicando, √a se llama radical enésimo de a, y n se llama índice de la raíz.

Ejercicios guiados Patricia no logra comprender la diferencia entre: • Calcular la raíz cuadrada de 4. • Calcular el o los números que al cuadrado resulten 4. ¿Observas tú la diferencia?

1. Explica la veracidad de cada igualdad. ______

a. √225 = 15 3

____

√64 = 4

→

Ya que 152 = 225 y se cumple que n = 2 es par, a = 225 ≥ 0 y b = 15 ≥ 0. Por lo tanto, 15 es la raíz cuadrada de 225.

→

Ya que 43 = 64 y se cumple que n = 3 es impar, a = 64 ≥ 0 y b = 4 ≥ 0. Por lo tanto,

______

√−32 = −2

→

2. Explica por qué cada una de las proposiciones es falsa. ___

a. Si (–3)2 = 9, entonces √9 = −3.

▷ No basta con que (–3)2 = 9 para que –3 sea la raíz cuadrada de 9. Para ello se debería cumplir, además de que n = 2 sea par y a = 9 > 0, que b sea positivo, pero en este caso es b = –3 < 0.

Desafío • Por lo general, en la raíz de índice 2 este valor se omite: __ 2 __ √a = √a • Los nombres de algunas raíces son: __ √a : Raíz cuadrada de a. 3 __ √a : Raíz cúbica de a. 4 __ √a : Raíz cuarta de a. 5 __ √a : Raíz quinta de a.

b. La raíz cúbica de 64 es –4.

3. Clasifica los números como racionales o irracionales. Justifica. 4

____

a. √81

√12 5

______

√−16

→

La raíz cuarta de 81 es 3, ya que 34 = 81, y tanto el4 ____ radicando como la raíz son números enteros. De esta forma √81 representa un número racional.

→

No existe un número b tal que b3 = 12, ya que 12 no es un cubo

→

No existe un número b tal que b5 = –16, ya que –16 no es una potencia quinta.

____

perfecto. De esta forma, √12 representa un número

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Ejercicios propuestos

Sé más Para n ∈ 핅, por definición se tiene que:

1. Relaciona cada radical con una potencia. Para ello, completa la tabla. 53

____

(–2)7 3

√32

________

(–8)3

________

______

_____

______

√256 25

(–3)3

• •

___

√__0 = 0 n √1 = 1

√243

(–1)9

√125

Radical Potencia

√−27

√−343

√1.000

√1.296

_________

_______

√−512 (–7)3

____

103

_______

√−128

√−1

2. Completa escribiendo el índice en cada radical. ______

___________

√729 = 3 __________ b. √−3.125 = −5 a. c.

d. √−1.000 = −10

e. √10.000 = 10

___________

______

√256 = 2

________

√1.331 = 11

______

√625 = 5 ________ √0,125 = 0,5 _______ √0,01 = 0,1

3. Responde. a. ¿Por qué no está definida la raíz de índice par de un número negativo?

b. ¿Existe algún número real tal que su raíz enésima sea el mismo número?

____

c. ¿Cuál es el valor de √1 y de √−1 ? ¿De qué depende el signo del valor obtenido en cada caso?

d. Si conoces el área de un cuadrado, ¿qué tipo de raíz utilizarías para calcular la longitud de su lado? ¿Por qué?

e. Para calcular la arista de un cubo a partir de su volumen, ¿qué tipo de raíz enésima deberías aplicar? ¿Por qué?

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Entonces, ¿puedes ayudar a Patricia? Contesta en tu cuaderno.

Lección 1: Números

Propiedades de la raíz enésima La raíz enésima de los números reales cumple las siguientes propiedades: I.

El producto de radicales de igual índice es otro radical que mantiene ese índice. __

___

_______

√a · √b = √a · b n

Matilde necesita comprar una caja cúbica lo más grande posible. La fábrica A ofrece de 0,230 m3 de volumen, mientras que la B ofrece una de 0,452 m2 de área basal. ¿Dónde debería comprarla?

II. El cociente de dos radicales de igual índice es otro radical que mantiene ese índice. ___ n __ a n __ a con b ≠ 0 √___ _____ = n b √b III. La raíz de un radical es otro radical cuyo índice es el producto de los índices.

√

m ____ n __

√√ a =

m·n

√a

IV. La potencia de un radical es otro radical cuyo radicando tiene ese exponente. __

____

( √n a )m = √ am n

Ejercicios guiados 1. Analiza cada demostración y completa. __

___

a. Demostración de la propiedad I. Suponiendo que √a = x y √b = y: n

Por definición de raíz enésima.

xn = a e yn = b

Multiplicando ambas expresiones.

a · b = xn · yn a · b = (x · y)n

Por definición de raíz enésima. _______

___

√a · b = √n a · √b n

¿Qué condiciones deben cumplir n y los productos a · b y x · y para que esta última igualdad sea verdadera? Sé más No existe una propiedad para la raíz enésima de una suma. En general: n ___ n _______ n __ √a + √b ≠ √a + b

____

¿Es cierto que √−2 · √−8 = √16 ? Explica. 4

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m ____ n __

b. Demostración de la propiedad II. Suponiendo que √√a = z:

Sé más n

zm = √ a

(zm)n = a

Si x ∈ 핉, entonces: ___ √x2 = | x | Recuerda que | x | = x si x ≥ 0 y | x | = −x si x < 0.

zm · n = a

¿Qué condiciones deben cumplir a, m y n? ¿Es posible aplicar la propiedad a

________ ______

√√−64 ? Explica. 2 3

2. Observa cada desarrollo y completa. __

a. Sea √a = x. Aplicando la propiedad de la potencia se tiene que n

___

n n n n n n √an = ( √a ) = √a · √a · √a · ... · √a = x · x · x · ... · x = xn = a n

Por lo tanto, se tiene la siguiente igualdad:

Aplica la igualdad cuando corresponda y explica en qué casos no se puede aplicar. ____

___

• √32 = √25 = 5

_______

√ 3

______

• √729 = _______

√ 4

• (−3)3 =

• (−2)4 =

n ____

b. Sea √am = z. Aplicando la definición zn = am, al elevar cada lado de esa igualdad a r se tiene:

(zn)r = (am)r

⇒

zn · r = am · r

Por lo tanto, al aplicar la definición de raíz en la última igualdad se tiene:

Por ejemplo: 3

____

• √27 = ______

3·2

• √1,53 = 4

___

• √33 = 6

________

_____

√271 · 2 = √272

4·2

1 6 · __ 3

________

√1,5

3·2

______

√3

1 3 · ___ 3

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Lección 1: Números

Ejercicios propuestos Conectando con... El símbolo radical

√ _______

Fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff. Para conocer más, ingresa el código SP2m026 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

1. Aplica la propiedad de la multiplicación o de la división de radicales para calcular. __

______

243 ____ = d. √________ √27

____

a. √3 · √27 =

√ 3

___________

27 b. − _________ = 3

1.000

____

___

e. √4 · √4 = 4

____

c. √25 · √−5 = ____

____

___

____

√32 = f. ________ 4 _____ √512 4

___

____

¿Es verdadero que √−9 · √−3 = √9 · √3 ? ¿Y √8 · √2 = √−8 · √−2 ? Justifica. 3

2. Expresa como un solo radical cada expresión y calcula. a. b. c.

√√625 =

√√

________ ______

729 ______ = 64

_____________ _________ 3 ___________

√√√4.096 =

¿Es cierto que

√√

_____________ ___________

________ ______

= ______ 3 ____

√√−5 = √−5 ? Explica. 6

____

625 ___________ = 10.000

_________ 3 _______

√√−512 = 3

√√

= =

___________ _________

2 3

1 = _________ 4.096

3. Calcula. __

3 6 a. ( √2 ) =

_____

b. ( √25 ) =

(√ )

√

√0,001

c. 26

d. √−85 =

____ ___

6 3 __ = 2

____________

8 = ( − ______ 125 ) 4

__________ 2

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4. Calcula el valor de C en cada igualdad. 5 ____

Ayuda

d. √73 = √76

a. √42 = √C 3

____

___

√

Recuerda que si n ∈ 핅 y a ∈ 핉 con a ≠ 0, entonces: 1 a−n = ___ an

___

c ____ e. 1__ = √2−4 6

b. √−2 = √C ___

c. √26 = √C 8

c ____

2 ___

10 ___

____

√54 = √25 8

5. Analiza la información. Luego, resuelve. n

___

Una característica de la raíz enésima es4 que __ si x < y, entonces √ x < √ y y viceversa. 4 __ Por ejemplo, como 5 < 7, entonces √5 < √7 , lo que se verifica para cualquier índice n. __

A partir de eso, ¿cómo se pueden comparar los radicales √7 y √6 ? 4

Para ello, se deben igualar sus índices y una forma de hacerlo es considerar su mcm (mínimo común múltiplo). En este caso mcm(3, 4) = 12: 4·3

___

3·4

√73 = √73 12

____

√64 = √64

___

____

Luego, como 73 = 343 < 1.296 = 64, entonces √73 < √64 . Por lo tanto: 12

___

√7 < √6 4

Escribe < o >, según corresponda. Para ello, aplica el procedimiento anterior. ___ 4 4 __ 3 __ 5 _____ 5 a. √5 d. ___ 1,1 √2 √ 4

√

√ 5

___

2 __ 3

√ 4

___

4 ___ 5

____

e. √10

Desafío ¿Qué condiciones deben cumplir n, x e y para que se verifique la información del ejercicio 5?

____

√21 Finalmente, ¿dónde compró su caja Matilde? Justifica tu respuesta en tu cuaderno.

____

c. √−5

____

√−7

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√ 3

___

1 __ 3

√ 4

___

1 ___ 4

Lección 1: Números

Operaciones con raíces enésimas En una experiencia de laboratorio de física, un móvil se desplaza desde A, pasando por B y C, y volviendo a A, describiendo la siguiente trayectoria: C

Si al factorizar un radicando uno de sus factores está elevado al mismo índice del radical, ese factor se puede expresar fuera del radical: _______

√p n

___

· a = √pn · √a = p√a n

Esto es consecuencia de aplicar la propiedad de la multiplicación, y a p se le llama coeficiente del radical. Dos raíces enésimas o más que tengan el mismo índice y el mismo radicando se pueden sumar de la siguiente forma: n

p√a + q√a = (p + q)√a

Es decir, se suman sus coeficientes aplicando la propiedad distributiva de los números reales. A

1 cm ¿Cuántos centímetros recorrió el móvil?

Ejercicios guiados 1. Aplica la factorización de cada radicando y extrae sus factores. Completa cuando corresponda. ____

________

a. √50 = √25 · 2 = √52 · 2 = 5√2 ______

________

_________

√ √

_______

______

___________

24 8 ·3= d. _____ = ______ 3

b. √320 = √64 · 5 = √43 · 5 = 3

______

c. √112 = √16 · 7 = 125

125

2. Calcula cada suma y responde. ____

____

a. √50 + √72 − _________ √98 ________

_________

= √25 · 2 + √36 · 2 − √49 · 2 = 5√ 2 + 6√2 − 7√2 = (5 + 6 − 7)√2 =

¿Cuál es el primer paso para sumar raíces?

Ayuda Al proceso de factorizar un radical y extraer factores se le denomina, por lo general, reducción de radicales.

______

_____

b. 7√135 − 2√40

3 _______

3 _________

3 __

= 7√27 · 5 − 2√8 · 5 = 7 · 3√5 − 2 · 2√5 = 21√5 − 4√5 =

¿Qué puedes observar con respecto a los coeficientes?

____

______

c. √48________ + √162 − √625 _________ 4

= √16 · 3 + √81 · 2 − 5= 4

¿Siempre es posible sumar raíces con el mismo índice?

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Ejercicios propuestos

¿Qué opinas de esto?

1. Reduce cada radical. ______

______

a. √180 = 3

______

________

d. 3√147 = 5

______

e. 6√972 =

b. √192 = c. √1.250 =

f. 3√104 =

2. Resuelve cada operación reduciendo cuando corresponda. _____

______

a. √80 + 3√180 − 7√245 3

____

______

____

_____________

√

________

____

5 5 3 3 3 e. 2 _____________ + 8 ________ − 6 ____ 100.000 3.125 32

b. −4√56 + √189 c. 6√32 − 7√162 4

√ √ √ √ √ √ √ ______

____

3 ____ + 4 250 ______ d. 3 16 24 81 3

____

_________

____

16 ____ − 3 2.401 ________ + 81 ____ 5 5 5 4

3. Analiza la información. Luego, calcula los productos y reduce cada radicando.

De acuerdo a cifras de la Subtel, existen más de 6.200 antenas para teléfonos celulares instaladas en todo Chile.

Si bien la multiplicación de radicales está definida para cuando ellos tienen el mismo índice, también es posible aplicarla cuando los radicales tienen coeficientes. Por ejemplo: 3

______

____

4√5 · 6√2 = (4 · 6) · (√5 · √2 ) = 24√5 · 2 = 24√10 __

___

c. ( √2 − √3 )2

↘

g. ( 5√18 − √2 )2 __

e. 2√3 ( 3√3 − 4√5 )

b. √4 (2 − √2 ) __

____

d. ( 3 − √3 )( 3 + √3 )

a. 3√2 · √2 · 4√3

h. ( 1 + √5 )2 __

f. ( √7 − 3√5 )( √7 + 3√5 )

___

i. ( √6 − √5 )2

Por lo tanto, ¿cuántos cm recorrió el móvil? Responde en tu cuaderno.

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

Para proteger de los efectos del viento a su antena, una empresa de telefonía celular decidió instalar dos cables anclados al suelo desde un mismo punto de la torre a 25 metros de altura. Los cables están anclados al suelo a 15 m y 5 m de la base de la antena. Según la información anterior, ¿cuál es la cantidad mínima de cable que se necesita para eso aproximadamente? ____

A. 10√15 m _____

_____

B. 5(√34 + √26 ) m ____

____

C. 10(√17 + √13 ) m _____

D. 5√60 m _____

15 m

E. 10√40 m

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Lección 1: Números

Racionalización Conectando con... El cálculo infinitesimal

La racionalización es la operación que elimina los radicales del denominador de una fracción aplicando la amplificación. De este modo, se obtiene una fracción equivalente a la original, pero sin radicales en el denominador, es decir, con números racionales.

Ejercicios guiados 1. Responde a partir de cada racionalización. Completa cuando corresponda. Es uno de los cursos que se estudian en distintos niveles de carreras como ingeniería. Conceptos como la racionalización se emplean en ella. Para saber más, ingresa el código SP2m030 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

3 6√__3 6__ → ____ 6__ · √ ____ __ = ________ b. _____ = √3 √3 √3 (√3 )2

5 3√__5 3__ · √ 3__ → ____ ____ __ = _______ a. _____ 2 = √5 √5 √5 (√5 )

Para amplificar, ¿se consideró el numerador o el denominador en estos casos?

5 · (4 + √3 ) 20 + 5√3 _____________ 20 + 5√3 4 + √__3 ______________________ 5 __ __________ 5 __ __ __ = _____________ → __________ · = c. __________ = 13 16 − 3 4 − √3 4 − √3 4 + √3 (4 − √3 )(4 + √3 )

Observas alguna relación entre el denominador y el valor que amplifica? ¿Qué producto notable se genera en este caso?

____

__ ____ 11 + 2√3__ 4√11 + 8√3 4 __ √_______________ 4 __ ____ ____ = −4√11 − 8√3 → _______________ · ____ d. _______________ = _________________ −1 √11 − 2√3 √11 − 2√3 √11 + 2√3

¿Se aplica el mismo procedimiento anterior si en el denominador existen dos radicales? ¿De qué forma?

¿Cuál es el índice de cada radical en los ejercicios anteriores? ¿De qué forma crees que esto influye en la racionalización?

2. Observa las amplificaciones y determina cuál de ellas racionaliza la fracción. 3

5 2 · √____ a. ____ = 3 __ 3 __ √5 √5

Desafío Resuelve la racionalización:

_____

___

72 8 · √_____ b. ____ = __ 3 3 ___ √7 √72 3

En la expresión racionalizada, ¿cuál es el exponente del radicando que amplifica? ¿Qué puedes concluir de esto?

a ________ √bn−k _____ n ___ · n _____ √bk √bn−k n

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↘ Ejercicios propuestos 1. Aplica la racionalización a cada fracción. 7 e. ______ 3 ___

2___ a. ______ 3√6

5√ 4

√___27 b. ___________

__√ 3 __ f. ___________

__2 __ c. _____________ 5√3 − √2

2 − √3 _________ g. √___________ __ √2 + √3

√5 − √2

5√6 − 2

3 __ √ __ aplicando Racionaliza la fracción ________________ 3 − 2 +1 √ √ asociatividad y cuadrado de binomio.

_________ __

√ √

3 + √5 _________ d. ___________ __ 3 − √5

↘ Paso 1 Asociar en el denominador

2 h. _____ 4 __

Se asocian dos de los tres términos del numerador para determinar la fracción que amplifica:

√3

2. Analiza el Taller de estrategias y racionaliza cada

fracción. Desarrolla la operación en tu cuaderno y escribe la solución. 1 + √2 + √3 __

√__2 __ b. _________________ 2 − √2 + √5

___

3. Analiza la forma de racionalizar fracciones con

radicales de índice 3 en su denominador. Luego, resuelve en tu cuaderno. ___

___

____

___

√a − √ab + √b ) a2 − √ab + √b2 c( c ___________ · √______________________ = _________________________ 3 ___ 3 ____ 3 ___ 3 ___ 3 __ a+b √a + √b √a2 − √ab + √b2 3

3 a. ___________ 3 __ 3 ___

1 c. ___________ 3 ___ 3 ___

5 b. ___________ 3 __ 3 ___ √9 − √2

9 d. ____________ 3 ___ 3 __ √9 − √3

√4 + √2

√2 + √4

4. Resuelve en tu cuaderno. a. ¿Cómo se puede verificar que la expresión

racionalizada es equivalente a la original? Aplícalo en los ejercicios propuestos 1a y 1e. b. ¿Como se puede verificar la racionalización del ejercicio propuesto 3? Aplica tu respuesta para verificar los ejercicios propuestos 3b y 3d.

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Se desarrolla el cuadrado de binomio en el denominador y se reducen términos semejantes:

√7 − √2 + √3

____

↘ Paso 3 Aplicar cuadrado de binomio

1__ __ = __ d. ___________________

↘ Paso 2 Amplificar

___

3 (√3 − √2 − 1) √______________________ __ __ (√3 − √2 )2 − 1

√7 __− √3 __ = c. _________________ 2 − √7 + √3

(√ 3 − √ 2 ) − 1 3 3 ________________ __ √ __ __ √ __ __ __ = __________________ · ___________________ √ 3 − √ 2 + 1 (√ 3 − √ 2 ) + 1 (√ 3 − √ 2 ) − 1 Se aplica la amplificación según la asociación elegida para formar la diferencia de cuadrados en el denominador:

5 __ __ = a. ________________

Racionalizar fracciones con un trinomio en el denominador aplicando un cuadrado de binomio

Practica esta estrategia. Para ello, considera el enunciado y sigue cada paso.

____

Taller de estrategias

___

3 − √6 − ___√3 3 − √6___ − √3 _____________________ = _________________ 4 − 2√ 6 3 − 2√ 6 + 2 − 1 ↘ Paso 4 Racionalizar Se racionaliza considerando que el denominador se ha transformado en un binomio: ___

___

− √6 − √3 )(4 + 2√6 ) 3_________________ − √ 6 − ___ + 2√6___ (3 √3 · 4___________ = _______________________________ 16 − 24 4 − 2√ 6 4 + 2√ 6 ↘ Paso 5 Reducir y simplificar Se resuelve el producto del numerador y se reducen términos semejantes. Luego, se factoriza para simplificar si corresponde: ___

___

____

12 + 6√6 − 4√6 − 12 − 4√3 + 2√18 ________________________________________________ −8 ____ ___ __ 6 − 4 3 +2 18 2 √ √ √ = _________________________ ____ ___ −8 __ −2(−√6 + 2√3 + √18 ) ______________________________ = −2__ · 4 ____ ___ 6 + 2 − √ √3 + √18 = ________________________ 4

Lección 1: Números

Aproximación de raíces Conectando con... La biblioteca de Alejandría

Para aproximar un número irracional representado por una raíz se pueden utilizar distintos métodos algebraicos. Algunos de ellos son iterativos, es decir, a partir de un valor inicial se aplica una expresión algebraica tantas veces como sea necesario, con lo que se aproxima cada vez más el valor buscado. Dos de estos procesos iterativos son el método de Herón y el de Newton.

Ejercicios guiados En su época fue la más grande del mundo e incluía desde textos matemáticos hasta títulos sobre medicina. Para saber más, ingresa el código SP2m032 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

1. Analiza cada método de aproximación. Luego, contesta.

a. Método de Herón: a partir de una aproximación inicial x0 de la raíz cuadrada de N, el método permite obtener una aproximación mejor x1. Luego, considerando a x1 como la aproximación inicial, se puede obtener otra aproximación mejor x2, y así sucesivamente, según la siguiente regla algebraica:

(

)

(

)

(

)

(

N 1__ N 1__ N 1__ N ___ ___ ___ x1 = 1__ x0 + ___ x0 → x2 = 2 x1 + x1 → x3 = 2 x2 + x2 → ... → xi+1 = 2 xi + xi 2 ____

)

Por ejemplo, para aproximar √13 se puede considerar x0 = 3. De esta forma: _ 13 ____ = 11 ____ x1 = 1__ 3 + ____ = 1__ · 22 x1 = 3,6 2 3 2 3 3 __ 13 39 238 119 ____ + ______ ____ + ____ x2 = 1__ 11 = 1__ 11 = 1__ · ______ = _____ x2 = 3,60 2 3 11/3 2 3 11 2 33 33 13 28.318 14.159 119 119 429 x3 = 1__ _____ + __________ = 1__ _____ + ______ = 1__ · __________ = __________ x3 = 3,60555131... 2 33 119/33 2 33 119 2 3.927 3.927

(

( (

)

) ( ) (

)

____

Utilizando una calculadora, se tiene que √13 ≈ 3,60555127. ¿Por qué crees que se consideró x0 = 3?

¿En cuántas cifras decimales coincide la aproximación y el valor obtenido con la calculadora?

Desafío ¿Qué ocurre si se aplica el método de Herón para aproximar ___ √9 ? Compruébalo considerando x0 = 2. ¿Dependerá el resultado del valor de x0?

Si se siguiera aumentado el número de iteración en el método, ¿aumentaría la cantidad de cifras decimales exactas?

¿Cómo crees que tu calculadora aproxima el valor de la raíz cuadrada de un número? Investiga y coméntalo con tus compañeros.

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b. Método de Newton: a partir de una aproximación inicial x0 de la raíz enésima (índice n) de N, el método permite ir aproximando dicho valor aplicando iteraciones de la siguiente forma: N __ (n − 1)x + ______ xi + 1 = 1 i n x ni − 1

Por ejemplo, para aproximar n = 3 y N = 4: __ x1 = 1 3 __ x2 = 1 3 __ x3 = 1 3 __ x4 = 1 3

(

___

√4

)

se puede considerar x 0 = 1. De esta forma,

4 4 4 __ 2 · 1 + ___ __ 2 + ___ __ · 6 = 2 =1 =1 =1 ( (3 − 1) · 1 + _____ 1) 3 1 ) 3( 1 ) 3( ( 2 · 2 + ___24 ) = 1__3(4 + 1) = 1__3 · 5 = 5__3 36 4 10 + ____ __ ____ __ · 358 ______ = 358 ______ =1 =1 ( ) ( 2 · 5__3 + ________ ) 75 3 3 3 25 225 (5/3) 34.331.981 34.331.981 4 ______ + _______________ __ 716 ______ + 50.625 __________ = 1 __ · _________________ =1 = _________________ ( 2 · 358 7.209.225 21.627.675 225 (358/225) ) 3 ( 225 32.041 ) 3 3−1

x1 = 2 _

x2 = 1,6

x3 = 1,591 x4 = 1,587409696...

___

Utilizando una calculadora, se tiene que √4 ≈ 1,587401052.

¿Cuántos decimales exactos tiene la cuarta iteración del método?

Escribe una desventaja de la aplicación de este método.

¿Observas alguna relación entre el método de Newton y el método de Herón?

Ejercicios propuestos ____

1. Utiliza tres iteraciones del método de Herón para aproximar √19 en tu cuaderno, según la información dada.

a. x0 = 4

b. x0 = 4,3

c. x0 = 4,35

Compara cada uno de los resultados. ¿Qué puedes concluir?

2. Utiliza cuatro iteraciones del método de Newton para aproximar √4 ,

considerando x0 = 1,58 en tu cuaderno. Compara la cantidad de decimales exactos con los obtenidos en el ejercicio resuelto 1b. ¿Qué puedes concluir?

Ayuda Si ingresas el código SP2m033 en la página web del Proyecto Sé Protagonista encontrarás ayuda para resolver el ejercicio 3.

3. Crea una hoja de cálculo que te permita aplicar el método de Newton. Para ello, reúnete con un compañero o compañera. Luego, aproxima: ____

a. √29

SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

____

b. √11

____

c. √12

Lección 1

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Clasifica los números en racionales o irracionales. a.

4. Representa en la recta real según corresponda. __

____

___

19 b. ____ 2 c.

5. Calcula el error absoluto y porcentual en cada caso.

√6

a. 7,7685 a la milésima.

Ea= EP=

d. 0,24 b.

___

√4

√2

___

c. 1___ a la décima. 3

Ea= EP=

___

√5 + ( √3 + √6 ) = ( √5 + √3 ) + √6 __

1___ = 0,7071... a la centésima. d. _____ √2

Ea= EP=

Conmutativa

Φ · (π + e) = Φ · π + Φ · e __

___

√8 = 2,82842... a la centésima. Ea= EP=

2. Identifica las propiedades de los números reales. Para eso, une con una línea.

Clausura

6. Verifica cada afirmación Luego, responde V o F.

√7 + (−√7 ) = 0

Elemento neutro

π+e∈핉

Asociativa

√216 = 5

Elemento inverso

√−1024 = −4 ⇒ x = 5

Distributiva

√127 = 12 7

Φ·1=Φ __

___

√2 · √4 = √4 · √2

3. Identifica el error en cada igualdad y descríbelo. a. 2 · (1 − 4) = 2 · (−1) − 2 · 4 3 3 ___ b. − ___ 4· 4=0 c. 8 : (4 + 2) = 8 : 4 + 8 : 2 d. 5 · 2 · 3 = 5 · 2 + 5 · 3

___

____

√3 ; −√6 ; √21 ; −√2

√13

Afirmación 3

______

_________

_____

6 ___

√x = −3 ⇒ x = −81 4

_____ __

√√5 = 5 7

1 ____ 14

______

√−36 = −6

3__ _____ =3 √3 x2 = 5 ⇒ x = 25 3

√x = 1.728 ⇒ x = 10

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Aplica las propiedades de raíces para expresar como un solo radical. 3 ___

3 ___

___

3 ___

√3 · √5 =

√2 · √4 · √8 =

c. d.

9 _____

√

4 ___

4 ______

√

xy8 : x2y6 =

3 _______

√12x3 · √18x6 =

5 4 ____ 5 4 ____ e. ___ √11 : ___√11 4 8 8. Resuelve las operaciones de raíces. ___

___

____

a. Si el perímetro de una mesa cuadrada es 4√19 m, ¿cuál es la longitud de su diagonal?

___

b. ( √7 − √3 )( √7 + √3 ) = _____

___

Racionaliza las fracciones. ____4 a. ____________ = √17 −___3 5 12 ___ √ ___ = b. ____________ √2 −___√5 8 − √3___ c. __________ = 8 + √3 ___ 3 −___6 d. √__________ = 4√3 5 ____________ e. ______________ _____ = √5 + √24

10. Resuelve los problemas.

____

a. ( 4√12 − 1 )2 = ___

_____

____

c. 2√28 − 4√8 + 5√63 + √32 = __________ ___

__________ ___

d. ( √3 + √5 + √3 − √5 ) = 2

___

_____ _____ ____ 3 √_____ − 2√45 + 6√75 − √20 =

b. El patio de un colegio tiene ___ forma___rectangular. Sus dimensiones son 5√2 m y 3√3 m. ¿Cuál es el área y el perímetro del patio?

Identifiqué las propiedades de los números reales. (Preguntas 2 y 3)

Representé y aproximé números reales. (Preguntas 4 y 5)

Resolví operaciones de raíz enésima de números reales. (Pregunta 6, 7 y 8)

Racionalicé fracciones. (Pregunta 9)

Resolví problemas que involucran raíces enésimas. (Pregunta 10)

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UNIDAD

↘ Taller de TIC

Calculadora científica

Realizar cálculos de raíz enésima en una calculadora. Para calcular una raíz cuadrada debes digitar la tecla √ seguida del radicando. Por ejemplo:

√5

⇒

5 , obteniendo la siguiente pantalla:

√

Si se trata de una raíz cúbica, digitas la tecla 3 seguida de radicando. Por ejemplo: 3

____

√20

SHIFT

⇒

SHIFT

, luego la tecla

0 , con lo que se obtiene la siguiente pantalla:

También puedes calcular la raíz cúbica ingresando la tecla shift, luego la tecla radicando. Por ejemplo: 3

____

√35

⇒

SHIFT

χ3

y finalmente el

χ3

seguida del

5 , obteniendo la siguiente pantalla:

2 3 4 5 36

Si quieres calcular la raíz enésima de un número, debes digitar el índice seguido de radicando. Por ejemplo: 5

____

√70

⇒

SHIFT

ab/c

√

y el

0 para obtener la siguiente pantalla:

_____

____ 3 ___ 50 Si la operación que deseas realizar es ____ + 1__ √27 − 5√4 , debes ingresar: 3 2 SHIFT 4

SHIFT

ab/c

√

–

SHIFT

χ3

Presionando la tecla = , se obtiene:

El resultado que se muestra en la pantalla es solo una aproximación, ya que se realizó una operación con números irracionales.

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1. Utiliza una calculadora científica para completar la tabla según corresponda. Raíz __

√

Radicando

√ 3

√ 4

√ 5

√ 6

3 12 23 38 64 127 1.090

2. Utiliza una calculadora científica para resolver operaciones combinadas. Luego, escribe el resultado aproximado a la milésima. a.

_______ ___

3 _____

√6√3 − 8√50

_____ 3 _____ 2 √4 ____ b. − ___ 18 + 3 42 + 7 20 √ √ 5

___ 3 ___ 15 c. _______ 4 ____ − 4√ 7 + √ 2 √32

___

√ √ 5

7 3 ___ ___ + 1 2 3

49 ___ 5 _____ e. _____ 6 ___ · √ 6 + √ 20 √5

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Lección

Potencias y logaritmos

John Napier A los 13 años ingresa a la Universidad de Saint Andrews.

Abandona la universidad para emprender un viaje de instrucción por Europa.

Nace en Merchiston Castle, actual Escocia.

1550

1566

↘ Potencias de exponente racional ↘ Propiedades de las potencias ↘ Ecuaciones exponenciales ↘ Logaritmo de un número real ↘ Propiedades de los logaritmos ↘ Ecuaciones logarítmicas ↘ Aplicaciones

Después se dedica a los estudios, la administración de su patrimonio y los cargos públicos.

Potencias de exponente racional __

1 __

Sea n ∈ 핅 con n > 1 y a ∈ 핉, de tal forma que √a exista. Se define la potencia a n como: n

1 __

a n = √a

Por otro lado, si m ∈ 핅, entonces de las propiedades de las potencias se tiene que 1 m __ ___ (a n)m = a n . Por lo tanto, aplicando la definición anterior y las propiedades de raíz enésima, se tiene: m ___

1 __

____

a n = (a n)m = (√a )m = √am n

Por último, de la definición de potencia con exponente negativo se obtiene que: m 1 ___ __ 1 1 = ______ 1 = ____ a− n = (a n)−m = _______ n ____ , a ≠ 0 m ___ 1 __ (a n)m a n √am De esta forma, una potencia de exponente racional se define a partir de una raíz enésima, por lo tanto, para calcular su valor se aplica dicha relación.

Ejercicios guiados 1. Expresa como radical y calcula el valor de cada potencia. ___

1__ 2

a. 4 = √4 = 2

(

_____ b. − 125 27

)

1 __ 3

√ 3

__________

_____ = − 5 __ ( −125 3 27 )

( ) 1 ____ 16

1 ___ 4

____

√ 4

1 = = ____ 16 1 __

d. (−243) 5 =

1 ___

¿Se puede expresar (−256) 4 como radical? Justifica.

2. Completa y responde. 2 __ 3

a. 27 =

{√

_____

______

____

72 = √729 = √93 = 9 √2____ 3

( 27 )2 =

= 32 = 9

3 __ 2

b. 4 =

____

{√

√4___3 =

( 4) = 3

=8 =8

Según los ejercicios, ¿existe alguna prioridad entre aplicar la raíz o la potencia?

SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Escribe un libro de comentarios e interpretaciones de la Biblia.

1583

Fallece a la edad de 67 años en Edimburgo, Escocia, dejando un legado importante para la matemática. Publica su trabajo de 20 años: Mirifici logarithmorum canonis descriptio, donde describe cómo multiplicar y dividir logaritmos.

1600

1617

Ejercicios propuestos 1. Expresa como potencia de exponente racional cada radical. Simplifica el exponente cuando corresponda. 3

a. √7 =

d. 2√2 = e. √27√27 =

3 _____

____ 3 _______

b. √5 = 2

c. √11 =

Ayuda

_________ ____

___

Para conocer más sobre John Napier ingresa el código SP2m039 en la página web de Proyecto Sé Protagonista.

Recuerda que: _______ ___

__________ ________

√8√8 = √√8 3

√√64 =

·8

2. Verifica si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica en ambos casos. 3

____

5 __

√32 = 2 3

√492 = 7 5

8 3 = √16

_____ 2 __

2 __

____

4 ___

____

3 5 = √81

3√ 3 = 9 8

25√5 = 5 4

5 ___ 5 ___

3. Expresa como radical cada potencia. Luego, calcula su valor o reduce. a. (−125) 3

4 ___

d. 320,75

( 36 )

−1,5

e. 0,27 2

49 b. ____

c. 81,3

5 __

(

8 f. −______ 343

)

0,6

Desafío Si n ∈ 핅, se deduce que: 1 __ • 0n = 0 1 __ • 1n = 1

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Lección 2: Potencias y logaritmos

Propiedades de las potencias Conectando con... La historia y desarrollo de los exponentes

Sean p, q ∈ ℚ y a, b ∈ 핉 distintos de 0. Las potencias de exponente racional cumplen las siguientes propiedades: I. ap · aq = ap + q

III. ap · bp = (a · b)p

II. ap : aq = ap – q

IV. ap : bp = (a : b)p V. (ap)q = ap · q

Es decir, cumplen las mismas propiedades de potencias de exponente entero o natural.

Ejercicios guiados 1. Completa aplicando las propiedades. Expresa el resultado como radical y reduce. 3 ___

1__

a. 2 4 · 2 2 El primer uso moderno registrado de exponentes en matemática fue en un libro llamado Integra Arithemetica, escrito en 1544 por el matemático inglés Michael Stifel. Para conocer más, ingresa el código SP2m040 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

▷ Aplicando la propiedad I: 3 ___

3 ___

4 ___

5 ___

1__

3 ___

1__

5 ___

1__

4 ___

1 ___

4 __

2 4 · 2 2 = 2 4 + 2 = 2 4 = 2 4 + 4 = 21 + 4 = 2 · 2 4 = 2 √ 2 5 __

¿De qué forma se descompuso el exponente de 2 4? ¿Para qué?

3 __

1__

b. 9 2 · 27 2 3 __

1__

3 __

3 ___

1 ___

9 2 · 27 2 = (32) 2 · (33) 2 =

Si a ∈ 핉 y p ∈ ℚ, por definición se tiene que: • a0 = 1, a ≠ 0 • a1 = a 1,a≠0 • a−p = ___ ap

4 __

Otra forma de resolver es la siguiente:

▷ Aplicando las propiedades V y I:

Sé más

4 _________

2 4 · 2 2 = 2 4 + 2 = 2 4 = √25 = √24 · 2 = 2√2

= 33 + 2 =

____

________

= √39 = √38 · 3 = 34√3 = 81√3

Igual que en el ejercicio anterior, otro procedimiento es:

( 81 )

____ c. 16

1,5

▷ Aplicando la propiedad IV: ____ ( 16 81 )

1,5

161,5 = _____________ 16 · 160,5 = = _______ 1,5 81 81 · 810,5

Otra forma de realizarlo es:

SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

2. Expresa en un solo radical. Para ello, aplica las propiedades de potencia para ingresar el coeficiente al radical y completa. __

a. 2√2

→

___

3 __

___

2√2 = 21 · 2 2 = 2 2 = √23 = √8 1__

¿Qué otra forma puedes aplicar? ¿Cuál es más conveniente y por qué?

b. 4√2

→

7 __

1__

___

Ayuda Recuerda que el coeficiente de un radical ingresa elevado al índice de la raíz. Por ejemplo: 4 ________ 4 ____ 4 __ 2√3 = √24 · 3 = √48

______

4√2 = 22 · 2 3 = 2 3 = √27 = √128

Aplica otra forma para resolver el ejercicio.

1 __

1 ___

c. 3 3 · 2 4

→

4 1__ ___

1 __ ___ 3

4 ____

3 ____

1 ____

3 3 · 4 · 2 4 · 3 = 3 12 · 2 12 = (34 · 23) 12 = (81 · 8) 12 =

¿Por qué se amplificaron los exponentes de cada fracción? ¿Puedes aplicar otro método para resolver?

Ejercicios propuestos 1. Aplica las propiedades de las potencias para expresar como un solo radical. Reduce cuando corresponda. 1 __

1__

1 ___

a. 2 3 · 2 2 · 2 4

2 __ 3

( ) : ( ___74 )

____ d. 35 2

3 __ 2

___

√

43 2 __ e. ___ 9 3

f. (√−8 )1,6

b. 3 : √3

1__

c. (270,3) 2

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3 __ 2

____

Lección 2: Potencias y logaritmos

2. Utiliza la expresión de potencia con exponente racional para demostrar. __

___

m ____ n __

_______

b. √√a = √a

a. √a · √b = √a · b

m·n

____

n m n c. ( √a ) = √am

3. Verifica, considerando valores para a y b distintos de cero, que los pares de expresiones son distintos entre sí. 1__

1__

a. (a + b) 2 y a 2 + b 2

1 __

b. (a3 + b3) 3 y a + b

1__ 1 c. (a + b) 2 y __________ 2

(a + b)

4. Analiza la información del recuadro. Luego, resuelve. Desafío 1 __ 2

1 __ 2

Si (a + b) ≠ a + b , entonces, ¿cuál de las siguientes desigualdades es verdadera? 1 1 1 __ __ __ • (a + b)2 ≤ a2 + b2 1 1 1 __ __ __ • (a + b)2 ≥ a2 + b2

Para racionalizar cierto tipo de fracciones, es posible aplicar las propiedades de las potencias de exponente racional. Por ejemplo: 2 __

2 __

____

Es decir, se amplifica por una potencia de tal forma que el producto de las potencias en el denominador sea de exponente 1. En este caso, como el 1 __

2 __

1 __

2 __

denominador era 53, se amplificó por 53, ya que 53 · 53 = 51. Racionaliza cada fracción. 3 1 a. ____ b. ____ 4 __ 3 __ √2 √7

___

2√52 ________ 2 25 53 ________ 2 · 53 ________ 2 · 53 _______ 2 · ____ 2 ____ 2 = ____ ____ = = √ = = 3 __ = __ 1 1 1 2 1 2 __ __ __ + __ 5 5 5 √5 53 53 53 53 3

4 c. ____ 5 __ √3

2 d. √____ 3 __

√5

___

√4__ e. _____ 4 √3 SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Ecuaciones exponenciales Una ecuación exponencial es aquella en la que la o las incógnitas se presentan solo en los exponentes de las potencias presentes. Para resolverlas, se puede considerar la siguiente proposición: ap = aq ⇔ p = q, con a ∈ 핉, a ≠ –1, a ≠ 0, a ≠ 1 Es decir, un primer paso para determinar el valor de la incógnita es expresar como potencia de igual base cada uno de los términos presentes. Luego, se aplica la proposición anterior.

Ejercicios guiados 1. Comprueba que las condiciones a ≠ –1, a ≠ 0, a ≠ 1 son necesarias para que la proposición anterior sea verdadera. Para ello, completa.

a. (–1)7 = –1 y (–1)3 = –1

→

4 ___

→

1 __

→

b. 1 3 = 1 y 1–20 = 1 c. 0 3 = 0 y 0−3 = 0

Es decir, (–1)7 = (–1)3, pero 7 ≠ 3, es decir, p ≠ q.

La ameba es un organismo que se reproduce dividiéndose en dos; luego cada nueva ameba vuelve a dividirse en dos, y así sucesivamente. ¿Qué ecuación permite determinar el número de generaciones que deberán pasar para que haya 1.024 amebas a partir de solo una de ellas?

2. Verifica si el valor de la incógnita es solución de la ecuación o no.

a. (2x)2 = 42x – 2; x = 2 Del lado izquierdo de la ecuación se tiene (22)2 = 24 = 16. Evaluando en el lado derecho se obtiene 42 · 2 – 2 = 44 – 2 = 42 = 16. Así, ambos lados tienen el mismo valor cuando x = 2. Por lo tanto, x = 2 es solución.

b. 3–3x + 5 = 81; x = 3 Reemplazando en el lado izquierdo de la ecuación se tiene 3–3 · 3 + 5 = 3–9 + 5 = 3–4 1 ≠ 81, entonces x = 3 no es solución de la ecuación 1 = ____ 1 . Como claramente ____ = ___ 81 34 81 exponencial. 5 c. 4x = 32 2; x = ___ 4 1__

3x d. ( 1___ · 2x + 1 = 1__ ; x = 1__ 4) 2 2

¿Qué propiedades de potencias se utilizaron en los desarrollos? Responde en tu cuaderno.

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Lección 2: Potencias y logaritmos 3. Completa la resolución de cada ecuación. Luego, comprueba.

a. 5x + 1 – 52x + 1 = 0 5x + 1 = 52x + 1

/ Se igualan las potencias.

x + 1 = 2x + 1 / Se igualan los exponentes. x=0

b. 4

x+1

/ Se resuelve la ecuación. –8 =0 3x

4x + 1 = 83x

Comprobación: • 5x + 1 = 50 + 1 = 51 = 5 • 52x + 1 = Por lo tanto, 5x + 1= 52x + 1 para x = 0. Comprobación: 2 __

9 ___

18 ____

(22)x + 1 = (23)3x /

• 4x + 1 = 4 7 + 1 = 4 7 = (22) 7 = 2 7

22x + 2 = 29x

• 83x =

2x + 2 = 9x

7x = 2 __ x=2 7

Por lo tanto,

¿Qué se debe realizar cuando las potencias de la ecuación tienen distintas bases?

Ejercicios propuestos 1. Verifica si el valor de x dado es solución de la ecuación. Para ello, escribe SÍ o NO.

a. 52x − 3 − 252x = 0; x = − 3__2

c. 4 · 22x – 8 · 2x + 1 = 0; x = 4

b. 32 − 3x − 9x + 2 = 0; x = − 2__5

d. 101 – x – 0,12x = 0; x = –1

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2. Resuelve las ecuaciones exponenciales.

____ ( ) · ( 25 4)

a. 400 = 25 · 43x + 1

c. 0,42 − 3x = 2__5

1 − 162x + 3 = 0 b. ______ 2x−1

d. 9

x_______ −1 5

· 81

3 −x _______ 10

1 − 2x

= 7292x

3. Resuelve los problemas en tu cuaderno. Para ello, plantea una ecuación exponencial.

a. Si el número inicial de bacterias en un cultivo es 4.500 y su población se duplica

cada hora, la expresión P = 4.500 · 2 permite obtener la población P luego de t horas. Si en cierto instante la población es de 18.000 organismos, ¿cuántas horas han transcurrido desde el inicio del estudio? b. Si a un paciente se le inyectan 100 g de un medicamento, el contenido C después de t horas de ingerido, se modela de acuerdo a la ecuación C = 100 · 5−0,5t. ¿Después de cuánto tiempo habrá solo 4 g de ese medicamento presentes en el paciente? c. Si una persona deposita 2 millones de pesos en cierto banco, la cantidad final Cf, en millones de pesos, que podría obtener luego de tenerlos depositados t años está dada por la expresión Cf = 2 · 1,50,04t. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para aumentar en un 125 % el dinero depositado? t

4. Analiza la información. Luego, resuelve cada ecuación en tu cuaderno. En algunos tipos de ecuaciones exponenciales, el primer paso para resolverlas es descomponer las potencias y luego factorizar. Por ejemplo: 3x + 3x + 3 + 3x + 1 = 93 / Descomponiendo 3x + 3x⋅33 + 3x · 3 = 93 / Factorizando por 3x x 3 3 (1 + 3 + 3) = 93 1 3x · 31 = 93 / Multiplicando por ____ 31 x 3 =3 x =1

a. 7x−1 + 7x − 2 + 7x − 3 = 57 b. 6x + 6x + 1 + 6x + 2 = 258

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Desafío Si en cada uno de los problemas del ejercicio 3 se reemplaza t = 0, ¿qué se obtiene, respectivamente?

Entonces, ¿cuál es la ecuación que modela el crecimiento de la población de amebas? Responde en tu cuaderno.

c. 2x − 1 + 2x − 2 + 2x − 3 + 2x − 4 = 60 d. 5x + 5x − 1 + 5x − 2 = 155 45

Lección 2: Potencias y logaritmos

Logaritmo de un número real Sean a, b números reales positivos con a ≠ 1. Si ax = b, se dice que x es el logaritmo de b en base a y se denota como logab. De esta forma, se tiene la siguiente equivalencia: ax = b ⇔ x = logab Es decir, x es el número real al que debe elevarse a para obtener b. Si una población de 50 aves se triplica cada 2 años, un modelo matemático establece que la cantidad de individuos C(t) después de t años se obtiene de: C(t) ≈ 50 · 30,5t ¿Cómo se puede despejar la incógnita t para calcular aproximadamente en cuánto tiempo la población se duplicará?

Por ejemplo: ◾ 23 = 8, entonces 3 es el logaritmo de 8 en base 2, es decir, log28 = 3. ◾ 10−2 = 0,01, entonces –2 es el logaritmo de 0,01 en base 10, esto es log100,01 = –2. ____

____

3 __ 3 ◾ log48 = __ , ya que 4 2 = √ 43 = √ 64 = 8.

___

____

5 5 2 __ 2 ◾ log7√ 49 = __ , ya que 7 5 = √ 72 = √ 49 . 5

Ejercicios guiados 1. Completa la tabla según corresponda y responde. Base

Argumento

Logaritmo

Expresión logarítmica

Potencia

0,01

–2

log100,01 = –2

10–2 = 0,01

–4 103 = 1.000

Sé más La expresión logab = x se llama expresión logarítmica.

Además, a se denomina base; b, argumento, y x es el logaritmo.

–3

log22 = 1

21 = 2

¿Por qué crees que el logaritmo en base 1 no está definido? Considera, por ejemplo, que 15 = 1–9 = 11 = 1, etc.

Si (–3)2 = 9, ¿es cierto que log(–3)9 = 2? ¿Por qué crees que la definición de logaritmo no

considera bases negativas?

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2. Analiza la información del recuadro. Luego, completa.

Sé más

Si de la ecuación ax = b se conocen dos de las tres incógnitas, se puede determinar el valor de la tercera aplicando uno de los siguientes conceptos: Potencia

Raíz

Logaritmo

(Se conocen a y x)

(Se conocen x y b)

(Se conocen a y b)

Para determinar b, se calcula el valor de la potencia de base a y exponente x.

Para determinar a, se calcula la raíz de índice x de b.

Por ejemplo:

24 = x ⇔ x = 16

Por ejemplo:

a4 = 81 ⇒

4x = 64 ⇒ x = log464 = 3

Si la base de un logaritmo es 10, se llama logaritmo decimal y se omite la escritura de la base: log10b = log b Por otro lado, el logaritmo natural o neperiano utiliza como base el número irracional e = 2,718281…, y se representa como: logeb = ln b

Ejercicios propuestos 1. Responde cada pregunta justificando tu respuesta. a. ¿La base de un logaritmo puede ser negativa?

b. ¿Existe el logaritmo de un número negativo?

c. ¿El logaritmo de 0 está definido?

d. ¿Cuál es el logaritmo de 1 en base 3?, ¿y en base 2,7? ¿Depende tu respuesta de la base?

2. Comprueba si cada afirmación es verdadera o falsa. Para ello, aplica la definición de logaritmo.

____

√ 5

a. log525 = 2

e. log2 =100

8 1 = −___ i. log√__3 ____ 5 81

b. log20,25 = 0,5

f. lne = 1

j. log 1__125 = −3

c. log9(–3) = 2

g. log40,25 = –2

k. log(105) = 5

d. log13,78 = 0

h. log366 = 0,5

l. log8√64 = 3__2

Finalmente, ¿cómo se despeja la incógnita t en el modelo aproximado del crecimiento de la población de aves?, Contesta en tu cuaderno.

____

3. Representa sobre la recta el logaritmo decimal de cada potencia de 10 dada. Número 1

0,0001 –5

–3

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–1 0 1 Logaritmo decimal

100 2

10.000 5

Desafío Según la información del ejercicio 3, ¿entre qué valores varía log50? ¿y log70?

Lección 2: Potencias y logaritmos

Propiedades de los logaritmos De la definición de logaritmo y su equivalencia con una potencia se tiene que: logaa = 1

loga1 = 0

Además, el logaritmo de números reales cumple las siguientes propiedades: I.

loga(p · q) = logap + logaq

II.

loga(p : q) = logap – logaq

Por ejemplo: 1 1 ◾ log2 __ + log248 = log2 __ · 48 = log216 = 4 3 3 ◾ log125 = log(53) = 3log5 1 ◾ log ______ = log 1 − log 100 = 0 − 2 = −2 100

(

Una estrategia utilizada antiguamente para multiplicar era aplicar logaritmos. Por ejemplo, 2.048 · 32.768, se calculaba como: log2(2.048 · 32.768) = log2(211 · 215) = log2(211) + log2(215) = 11 + 15 = 26 Luego, el resultado es 226 = 67.108.864. ¿Podrías describir cada uno de los pasos?

loga(pq) = q · logap, q ∈ 핉

III.

)

Ejercicios guiados 1. Aplica la definición de logaritmo para explicar cada igualdad.

a. logaa = 1

▷ Por definición de potencia, se tiene que cualquier número elevado a 1 es igual a sí mismo, es decir, a1 = a. Para relacionar este resultado con un logaritmo, hay que preguntarse: ¿a cuánto se debe elevar a para que el resultado sea a? Como la respuesta es 1, entonces logaa = 1.

b. loga1 = 0

2. Completa cada demostración y responde.

a. loga(p · q) = logap + logaq

▷ Considerando loga p = t y logaq = v, entonces por la definición de logaritmo se tiene que: at = p

av = q

(1)

Por otro lado, si loga(p · q) = z, por definición az =

(2)

Luego, reemplazando (1) en (2) se obtiene la siguiente ecuación exponencial: az =

= at + v ⇔ z = t + v (3)

Por lo tanto, reemplazando los valores de z, v y t en (3) se tiene que: z=t+v

⇔

loga(p · q) = logap + logaq

En la demostración, ¿qué condiciones deben cumplir a, p y q?

Como log2(–4 · –8) = log232, ¿es verdad que log232 = log2(–4) + log2(–8)? Justifica.

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b. loga(pq) = q · logap

Sé más

▷ Si q es un número natural, entonces, pq = p · p · ... · p. Luego:

Cualquier número positivo p se puede escribir como una potencia de cualquier base positiva a y distinta de 1 mediante la siguiente igualdad: alogap = p Por ejemplo: • 4 = 8log84 • 4 = 5log54 • 4 = 10log4

q veces

loga(pq) = loga(p · p · ... · p) = logap + logap + ... + logap = q · logap ¿Qué propiedad se aplicó en la demostración?

1 Si el exponente es negativo, entonces p−q = ___ pq . Luego: 1 q loga(p−q) = loga ___ pq = loga1 − loga(p ) = 0 − q · logap = −q · logap ¿Qué propiedad se aplicó en la demostración? ¿Solo una?

( )

Ejercicios propuestos 1. Aplica las propiedades de los logaritmos para calcular. a. log510 + log512,5

d. log4 – log400

g. log3(81–4)

b. log 1__2 + log 0,2

e. log40,0625

h. log2 1___

c. log321 – log37

f. log0,0001

i. 10

log5

2. Estima el valor de cada logaritmo considerando log2 = 0,30, log3 = 0,47 y log5 = 0,69. Para ello, aplica las propiedades.

a. log6

d. log12

g. log 1,25

2 b. log ___ 3

e. log300

1 h. log ____ 15

c. log 1,6

f. log0,2

i. log0,4

3. Aplica logaritmo a cada igualdad y relaciona cada resultado con uno de los desarrollos. Para ello, escribe la letra correspondiente. A: y = (a + b)x

B: y = ax + b

log y − log a log y x = _________________ x = ________________ log b log a + log b

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a E: y = ___ b x

C: y = abx

D: y = (ab)x

log y x = _____________ log(a + b)

log y + log b log(y − b) x = _________________ x = _____________ log a log a

Sé más logax = logay ⇔ x = y

Lección 2: Potencias y logaritmos

Ayuda Recuerda que si dos potencias con la misma base son iguales, entonces sus exponentes son iguales: ax = ay ⇔ x = y con a ≠ –1, a ≠ 0, a ≠ 1.

4. Analiza la información. Luego, resuelve. 1 Para el caso de un exponente de la forma __ n con n ∈ 핅, se verifica la igualdad: 1 __ 1 logabn = __ n logab

1 __

Supongamos que logabn = t y que logab = v, entonces, por definición se tiene 1 __ que at = bn y av = b, respectivamente. Al reemplazar la segunda expresión en la primera, se tiene: 1 v 1 __ __ __ v 1 __ at = (av)n ⇔ at = an ⇔ t = __ n ⇔ logabn = n logab Aplica la propiedad demostrada para calcular. ____

a. log √10 3

___

b. log2√4

c. log1000,2

e. log(0,1 · 100,03)

1 d. log2 _____ 5 ___

f. log2√32

( √8 )

____

5. Demuestra cada igualdad. Para ello, trabaja con un compañero o compañera. m log b b. logab n = ___ n a m ___

a. loga(aq) = q, con q ∈ 핅

6. Analiza la información. Luego, resuelve. No siempre es posible calcular directamente el logaritmo de un número, como por ejemplo, log48. Una forma de resolver esto es aplicando la siguiente igualdad, conocida como cambio de base: logcb logab = _______ logca De esta forma, se puede elegir una base cualquiera c, para que el cálculo sea directo: log28 __ 3 log48 = ________ = log24 2 Calcula cada logaritmo aplicando la información anterior.

a. log832

b. log927

c. log168

Entonces, ¿cuáles fueron los pasos utilizados en la multiplicación?

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Ecuaciones logarítmicas

Conectando con... WolframAlpha

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la o las incógnitas se presentan solo en los argumentos de los logaritmos presentes. Por ejemplo, son ecuaciones logarítmicas: ◾ log(x + 1) = 2

◾ log(1 – 2x) + log2 = log(4x + 5)

◾ 2log2(x – 1) – log2(x – 1) = 2

◾ log2[(2x + 1)(x + 1)] + log2(3x) = 1

Para resolverlas, se puede considerar la siguiente proposición: logap = logaq ⇔ p = q, con a > 0, a ≠ 1 Es decir, un primer paso para determinar el valor de la incógnita es expresar la ecuación como una igualdad de logaritmos. Luego, aplicar la proposición anterior.

Ejercicios guiados 1. Verifica si el valor de la incógnita es solución de la ecuación o no.

a. log(8x – 12) = 2; x = 14 log(8x – 12) = log(8 · 14 – 12) = log(112 – 12) = log100

b. log(3x + 1) – log(2x – 3) = 1 – log5; x = 7

Es un servicio en línea que responde preguntas directamente en lugar de proporcionar una lista de los documentos o páginas, tal y como lo hacen Google y Yahoo. En ella puedes resolver muchos ejercicios matemáticos, como ecuaciones logarítmicas. Ingresa el código SP2m051 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

• log(3 · 7 + 1) – log(2 · 7 – 3)

( )

____ = log2 = log22 – log11 = log 22 11 • 1 – log5 = log10 – log5 =

= Por lo tanto, x = 14 es solución.

Por lo tanto,

En la primera ecuación, 2 se reemplazó por log100, ¿por qué? ¿Se realizó algo similar en la segunda ecuación? Explica.

2. Resuelve cada ecuación completando cuando corresponda. Luego, comprueba.

a. log2(2x + 5) = 3

log2(2x + 5) = log28 2 = 2x + 5

/ Se aplica la definición de logaritmo.

8 = 2x + 5

/ Se resuelve la ecuación.

2x = 3

Comprobación:

(

)

3 log2(2x + 5) = log2 2 · __ + 5 2 = log2(3 + 5) = log28 = 3 Por lo tanto, x = __ es solución. 2

x= En la resolución se reemplazó 3 por log28. ¿Por qué se utilizó esa base y no otra?

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Desafío Si log2x = logy, ¿es cierto que x = y? En general, si dos logaritmos son iguales, ¿qué condición se debe cumplir para que sus argumentos también lo sean?

Lección 2: Potencias y logaritmos

b. log(x + 1) – 2log(2) = logx

Comprobación: log(x + 1) – log(4) = logx / • log(x + 1) – 2log2 = x + 1 _______ log = log x / Cada lado de la 4 = ecuación se expresa • logx = con un logaritmo. x_______ +1=x = / 4 Por lo tanto, x + 1 = 4x /

(

)

¿Qué propiedades de los logaritmos se utilizaron en la resolución? ¿Es posible resolver la ecuación sin aplicarlas? Explica.

Ejercicios propuestos 1. Resuelve las ecuaciones logarítmicas. a. log2(3x + 2) + log23 = 0

x d. 2 log x = 3 + log ( ____ 10 )

b. log2(5x + 2) = 4

e. log(2x + 7) – log(x – 2) = log5

Ayuda También se pueden resolver ciertas ecuaciones logarítmicas a partir de la definición: log2(5x + 2) = 4 Por definición: 24 = 5x + 2 16 = 5x + 2 14 x = ____ 5

1 __

c. log2√x + log2x 3 = 5

f. lnx = 2ln3 – ln4

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2. Analiza las resoluciones. Luego, justifica la conclusión.

↘

Taller de estrategias

Aplicar el cambio de base para resolver una ecuación logarítmica.

a. log(x + 5) + log3 = logx log(x + 5) + log3 = logx log(3x + 15) = logx 3x + 15 = x 2x = –15 15 x = − ____ 2 15 Pero x = − ____ no es solución de la ecuación 2 logarítmica.

Practica esta estrategia. Para esto, considera el enunciado y sigue cada paso. Resuelve la ecuación logarítmica: 15 log2x + log4x – log16x = ____ 2 ↘ Paso 1 Expresar las bases como potencias y determinar una común La bases son 2, 4 = 22 y 16 = 24. Entonces, la base común es 2. ↘ Paso 2 Aplicar el cambio de base Cada uno de los logaritmos presentes se expresa como logaritmo de base 2: log2x log4x = ________ log24

log2x log16x = _________ log216

↘ Paso 3 Calcular los logaritmos determinados

b. 2logx = log(10 – 3x) logx2 = log(10 – 3x) x2 = 10 – 3x x2 + 3x – 10 = 0 (x – 2)(x + 5) = 0 x1 = 2, x2 = –5 La solución de la ecuación logarítmica es solo x1 = 2, pero no x2 = –5.

En cada cambio de base se aplica la definición de logaritmo y se calcula: log x 1 log2x _______ ________ log x = 2 = ___ 2 2 2 log24 log x ___ log2x _______ _________ log x = 2 =1 4 2 4 log216 ↘ Paso 4 Reemplazar en la ecuación y reducir Se reemplazan los cambios de base obtenidos en la ecuación y se reducen términos semejantes considerando, en este caso, log2x como una expresión algebraica: 15 log2x + log4x – log16x = ____ 2 15 1 log x − 1 ___log x = ____ log2x + ___ 4 2 2 2 2 15 1 1 1 + ___ − ___ log2x = ____ 2 4 2 15 5 ___ log x = ____ 4 2 2

(

)

log2x = 6

3. Analiza el Taller de estrategias y resuelve en tu cuaderno.

a. b. c. d.

log27x – log3x = log916 log4x + log16x = 6 log(x + 1) – 1 = log100(x + 1) log5(10x) – log25(10x) = 2

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↘ Paso 5 Resolver la ecuación Se resuelve la ecuación logarítmica aplicando definición o expresando ambos lados como un logaritmo: log2x = 6

⇒

x = 64 53

Lección 2: Potencias y logaritmos

Aplicaciones Sé más Para calcular logaritmos decimales y logaritmos naturales, puedes utilizar en tu calculadora las teclas log y ln, respectivamente.

En los modelamientos de muchas situaciones de la vida, como la economía, la biología, las ciencias e ingeniería, aparecen expresiones logarítmicas y expresiones exponenciales. Estas situaciones, por lo general, involucran algún problema de tipo matemático que es necesario resolver. Para ello, es recomendable seguir los siguientes pasos: ◾ Reconocer los datos presentes. ◾ Determinar la expresión logarítmica o exponencial que los relaciona. ◾ Identificar la incógnita y aplicar las propiedades para determinarla.

Ejercicios guiados 1. Relaciona cada fórmula con su descripción. Para ello, completa la tabla.

(

Cf = Ci 1 + __i k

)

( )

A R = log ____ A0

( )

I β = 10log ___ I0

pH = –log[H+]

La escala de Richter mide la magnitud R de un terremoto. Una manera de hacerlo es a partir de la amplitud A de la onda del terremoto y de la amplitud A0 de la onda más pequeña detectable. El nivel de intensidad de un sonido β se mide a partir de una fórmula que relaciona la intensidad más pequeña que detecta el oído humano Io y la intensidad del sonido I. La medida de acidez de un líquido se llama pH y está basada en la concentración de iones de hidrógeno [H+] presentes en él.

pH = –log[H+]

La fórmula de interés compuesto relaciona un capital inicial Ci con uno final Cf utilizando un período de tiempo t, k períodos de capitalización y un interés i.

2. Completa la resolución de cada problema.

a. De acuerdo con la Oficina del Censo de Estados Unidos, la población mundial al

inicio de 2011 era de 6,9 billones de habitantes y creció, aproximadamente, en 76 millones durante ese año, es decir, alrededor del 1,1 %. Si el porcentaje de crecimiento se mantuviera constante a partir de ese año, la población mundial P (en billones de personas) puede estimarse para t años después del 2011 con la fórmula: P = 6,9 · 1,011t Conforme este modelo, ¿en cuántos años la población mundial se duplicará? ▷ Según los datos, P = 2 · 6,9 = 13,8 y la incógnita es t. Entonces: 13,8 = 6,9 · 1,011t ⇒

log 2 ⇒ t = _____________ log 1,011

Utilizando la calculadora, t ≈ 63,36. Por lo tanto, la población se duplicará en 63 años aproximadamente, es decir, el . 54

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b. Una estación de monitoreo midió la amplitud de las ondas durante un temblor

reciente. La medida fue 185.000 veces más grande que A0, la onda más pequeña detectable. ¿Cuál fue la magnitud del temblor? ▷ Como A = 185.000A0 , entonces:

(

)

185.000A R = log _______________0 = A0 Por lo tanto, el temblor tuvo una magnitud de

Ejercicios propuestos 1. Resuelve los problemas en tu cuaderno. Para ello, utiliza tu calculadora.

Ayuda El carbono 14 presente en los seres vivos comienza a desintegrarse y transformarse en otros elementos una vez que el organismo muere.

¿Qué opinas de esto?

a. La variación de la masa del carbono 14 a lo largo del tiempo puede aproximarse

b. c. d. e.

con el modelo M = M0 · 0,886t, donde M0 es la masa inicial; t es el tiempo transcurrido, en miles de años; y M es la masa resultante de la desintegración radiactiva. En el fósil de un animal se encontraron 50 g de carbono 14 y se sabe que cuando estaba vivo tenía 200 g. ¿Cuántos años de antigüedad tiene el fósil? Una persona deposita en un banco 2 millones de pesos al 2 % anual de interés y capitalizable anualmente. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su capital final sea de 2,5 millones de pesos? Un grupo de 25 pudúes fue introducido en una reserva nacional. Después de t años, el número de pudúes N se puede modelar por N = 25 · e 0,08t. ¿En cuánto tiempo el número de pudúes se podría triplicar? El pH de cierto jugo de limón es 2,5. Por otro lado, la concentración de iones de hidrógeno de un producto químico es cuatro veces mayor que la del limón. ¿El pH de ese producto es mayor o menor que el del limón? ¿Cuántas veces? En un pozo con agua, se puede determinar la profundidad x, en metros, a partir del porcentaje p de la intensidad de la luz que entra a ese lugar mediante el modelo x = −0,9log p. Si en cierto punto el porcentaje de la intensidad de la luz es 50 %, ¿a qué profundidad se encuentra dicho punto?

↘

El pudú es una especie en peligro de extinción debido a varias causas. Entre ellas está el hombre, que ha transformado su hábitat para agricultura, ganadería, industria y vivienda; le ha llevado parásitos de sus animales domésticos, y lo ha cazado indiscriminadamente.

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: aplicar

Los efectos del ruido prolongado sobre el organismo humano pueden ser estrés, problemas de sueño, hipertensión, ansiedad, dolor de cabeza, problemas digestivos, etc. Por tal motivo, la Organización Mundial de la Salud (OMS) ha sugerido un nivel de intensidad de ruido de 55 dB como límite superior al aire libre. Si la intensidad más pequeña que detecta el oído humano es de 10– 12 W/m2, ¿cuál es la intensidad máxima sugerida por la OMS? A. 1017 W/m2 B. 10–4,5 W/m2 C. 10–6,5 W/m2 D. 105,5 W/m2 E. 10–12 W/m2

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Lección 2

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. __

1. Considerando que √2 = 1,41, √3 = 1,73, 3 __ 3 __ √2 = 1,26 y √3 = 1,44, estima el valor de cada expresión. a. 8

5. Factoriza cada ecuación y resuélvela. 221 a. 36x + 62x + 2 − 62x − 1 = _______ 36

( )

d. 1___ 3

3 ___ 2 _

e. (−12) 3

( )

1,5

6. Utiliza la definición de logaritmo para determinar el valor de x en cada caso.

4 ___

f. 1,5− 3

2. Racionaliza cada expresión. 4 c. ______ 3 ____ √16 5 d. ______ 3 ____ √25

2 a. _____ 5 ___ √3 ___ 5 b. − √_____ 4 ___ √3

3. Resuelve cada ecuación exponencial. a. 9

2x + 1

–3 =0 x

( )

1 c. 0,2 − ___ 5 2x

x+1

7. =0

a. log x16 = 4

d. log x81 = –4

b. log0,5x = 8

1 = −6 e. logx _____ 64

c. log0,01 = x

f. log ___1 x = −3 3

Completa la tabla según corresponda. Potencia

Raíz

a. P = 100 · 20,1t es la expresión que permite obtener la población P de insectos en una bodega luego de pasar t horas cerrada. ¿Cuántos insectos había en el instante en que se cerró? ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que la población de insectos se cuadruplique? b. El área A de una herida superficial, luego de t horas de cicatrización, se modela con A = A0 · 3–0,035t, donde A0 es el área original de la herida. Según esto, ¿cuánto tarda en cicatrizar la tercera parte de una herida? Si una persona tiene una herida de 9 cm2, ¿cuánto tiempo tarda en reducirse a 1 cm2?

____

√64 = 4

d. 4 · 82 – 3x = 16 · 23x

4. Modela los problemas con una ecuación exponencial. Luego, resuelve.

Logaritmo

103 = 1.000 3

b. 120 = 8 · 225x – 1

b. 92x – 2 · 34x – 3 + 3x · 33x + 1 = 106 x =

1___

b. 60,3 ___ c. 2 3

−2,5

______

√ 5

___ = 2 log0,5 1 4

1 =1 ______ __ 243 3

27 = 128 ______

√100 = 10 __ log21636 = 2 3

8. Calcula aplicando las propiedades de los logaritmos. 5 ___ 6 _____ 10 · 1010 2 · 16 √ √ _______________ a. log2 b. log _______________ 3 ______ 3 _______ 212 · √512 √100

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Escribe como un solo logaritmo cada una de las expresiones.

11. Resuelve los problemas. Para ello, utiliza una calculadora.

a. logA + logB – logC =

a. El departamento de control de calidad de una fábrica de refrigeradores ha comprobado que el porcentaje P de refrigeradores que no presentan 8 t. ¿En fallas antes de t años se modela con P = ___ 9 qué año se espera que el 40% de la producción salida a la venta al inicio de 2014 presente fallas?

b. 2logA – 3logB =

( )

3 c. 1___ log A + ___ logC = 2 2 d. logA + 1= 10. Resuelve cada ecuación logarítmica. a. 4 = log3(x – 3)

b. log2(2x + 1) – log27 = 2

c. log(x + 5) – log2x = 0

d. ln(x – 10) + ln5 = ln(2x + 1)

e. log53x + log253x = log5125

b. El crecimiento de un bosque natural está modelado con la expresión C = C0(1 + i)t, donde C0 es la madera actual, i es la tasa de crecimiento y t es el tiempo en años. Si la tasa de crecimiento a partir de 2013 es de 0,01, ¿en cuántos años, aproximadamente, la cantidad de madera aumentará un 50 %? ¿Y si la tasa aumentara al doble? c. Una empresa incrementará a partir de 2015 el precio de uno de sus productos un 8 % anual. Actualmente, dicho producto vale 1.500 dólares. ¿En qué año su precio será de 2.100 dólares?, ¿y si el incremento fuera del 10 % anual?

Resolví ecuaciones exponenciales. (Preguntas 3, 4 y 5)

Apliqué la definición de logaritmo y su relación con las potencias. (Preguntas 6 y 7)

Apliqué las propiedades de los logaritmos para calcular. (Preguntas 8 y 9)

Resolví ecuaciones logarítmicas. (Pregunta 10)

Utilicé logaritmos para resolver problemas de aplicación. (Pregunta 11)

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UNIDAD

↘ Taller de Resolución de problemas

1. Analiza los pasos utilizados en la resolución del problema. Carlos y Patricia investigaron en la oficina del Servicio Sismológico de la Universidad de Chile que el terremoto de Valdivia en el año 1960 tuvo una magnitud de 9,5 en la escala de Richter y que el de Cobquecura en el 2010 fue de 8,8. Patricia le dice a Carlos que este fue casi 1 grado más fuerte. ¿Está en lo correcto Patricia? ¿Qué significa esa diferencia de magnitud?

1 Paso

Comprende el enunciado Conocen las magnitudes de los terremotos de Valdivia y Cobquecura, y en la misma oficina averiguaron que la expresión que mide la energía liberada por un sismo en la escala de Richter es: logE =1,5R + 11,8 Donde E es la energía liberada en ergios (10–7 J),R la magnitud de Richter y 11,8 una constante.

2 3 Paso

Planifica lo que vas a realizar Para poder determinar la diferencia que existe entre las magnitudes de los terremotos se debe calcular la energía que fue liberada por cada uno de ellos aplicando la fórmula anterior.

Paso

Resuelve el problema De esta forma, Carlos y Patricia realizaron los siguientes cálculos: Terremoto de Valdivia: magnitud R = 9,5 logE = 1,5 · 9,5 + 11,8 logE = 26,05 / Por definición de logaritmo E = 1026,05 ergios Terremoto de Cobquecura: magnitud R = 8,8 logE = 1,5 · 8,8 + 11,8 logE = 25 / Por definición de logaritmo E = 1025 ergios Luego, calcularon la razón entre la energía liberada por los terremotos, esto es: EValdivia 1026,05ergios ____________ = _________________ ≈ 11,22 ECobquecura 1025ergios Por lo tanto, el terremoto de Valdivia liberó, aproximadamente, 11 veces más energía que el terremoto de Cobquecura. En la imagen lateral, los estudiantes pudieron apreciar sus efectos. Además Patricia y Carlos comprendieron que no se utiliza el concepto de fuerza para referirse a los terremotos, sino que el de energía liberada, y observaron que la relación entre los distintos grados de la escala de Richter no es lineal, sino que logarítmica.

4 Paso

Revisa la solución Patricia, tras obtener los resultados, se convenció de que el terremoto de Cobquecura no solo fue menor en magnitud, sino que también liberó una energía de 11 veces menor que el terremoto de Valdivia. SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

2. Resuelve los problemas. Para ello, guíate por los pasos estudiados en la página anterior. ___

a. El área de un triángulo equilátero es 196√3 cm2. ¿Cuánto miden el lado y la altura del triángulo?

b. Si el volumen de un cubo es 4.913 m3, ¿cuál es el área de una de sus caras? ¿Cuánto mide la diagonal del cubo?

___

c. Una caja de cartón tiene forma cúbica y su volumen es 27√3 m3. ¿Cuál es la medida de su arista?

d. La escala de pH define si una solución es ácida, básica o neutra. El pH se calcula mediante la expresión pH = –log [H+]; donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno en moles/litro. pH

Solución

Ácida

Neutra

Básica

(

)

moles , ¿cuál es el pH de la • En una solución la concentración de protones es 3 · 10–4 _________ litro solución? ¿La solución es ácida, básica o neutra?

• Si el pH de dos soluciones son de 6 y de 11, respectivamente, ¿cuál es la concentración de protones de cada una?

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UNIDAD

Modelamiento de pregunta tipo PSU Analiza el siguiente ejemplo de una pregunta de alternativas tipo PSU. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

1 >0 I. log _________ 1.000 ___ 5 II. log(√ 6 )5 = __ · log6 2

La pregunta involucra los conceptos de logaritmo de un número real y sus propiedades.

III. log20 = 2 · log2 + log5 A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo II y III E. I, II y III Clave: D 1 = log 1 − log 1.000 = 0 − 3 En (I) log _________ 1.000 1 = −3 < 0 log _________ 1.000 Por lo tanto, esta afirmación es falsa. ___

___

En (II) log(√6 )5 = 5 · log(√6 ) = 5 · log6 2 ___ 5 log(√6 )5 = __ · log6 2 Por lo tanto, la afirmación es verdadera. 1__

En (III) log20 = log(4 · 5) = log22 + log5 log20 = 2 · log2 + log5 Por lo tanto, la afirmación es verdadera. Distractores:

Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido revisando la Lección 2 del Texto y las páginas respectivas de tu Cuaderno de ejercicios.

A. Esta alternativa es incorrecta, pues considera que (I) es verdadera.

Los errores cometidos al inclinarse por uno de estos distractores son:

B. Esta alternativa es incorrecta, pues solo considera que (II) es verdadera y no (III).

• Confundir el concepto de logaritmo.

C. Esta alternativa es incorrecta, pues solo considera que (III) es verdadera y no (II).

• Aplicar incorrectamente las propiedades de logaritmos.

E. Esta alternativa es incorrecta, pues considera que (I), (II) y (III) son verdaderas y (I) es falsa.

• No reconocer todas las propiedades.

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Ahora completa el modelamiento de una pregunta de alternativas tipo PSU. Para ello, completa cada sección según lo estudiado en la página anterior. _______________ __ __

√

_______________ __ __

La operación 4√5 − 2√7 · 4√5 + 2√7 es equivalente a:

Esta pregunta involucra los conceptos de:

A. 16√5

B. 16√5 − 4√7 C. 52

D. 8√5

____

E. 2√13 Clave: E. Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido, revisando la Lección

del Texto y las páginas respectivas de tu

Cuaderno de ejercicios. Distractores: A. Se comete el error de solo multiplicar el coeficiente de las primeras expresiones, esto es: __

4√5 · 4√5 = 16√5

B. Ocurre algo similar a la alternativa anterior, ya que se comete el error de multiplicar los coeficientes de ambas expresiones y no se multiplican las raíces respectivas, resultando lo siguiente: __

Los errores cometidos al inclinarse por alguno de estos distractores son:

(4√5 − 2√7 ) · (4√5 + 2√7 ) = 42√5 − 22√7 __

= 16√5 − 4√7

C. Al desarrollar la operación no se aplica la raíz al resultado que se obtiene, es decir: __

(4√5 − 2√7 ) · (4√5 + 2√7 ) = (4√5 )2 − (2√7 )2 = 16 · 5 – 4 · 7 = 80 – 28 = 52 D. Se comete el error de sumar los __ __ radicandos __ __de cada raíz, es decir: 4 5 − 2 7 + 4 5 + 2 7 √ √ √ √ __ obteniendo 8√5 .

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UNIDAD

Evaluación final

Lee y responde las siguientes preguntas relacionadas con lo aprendido en esta unidad. I. Marca la alternativa que consideres correcta. __

3 +2 2 1. ¿Cuál es el orden decreciente de p = √____ ; q = √_________ 5 2 1__ ? y r = _____ √5 A. p, q, r

5. ¿Cuál es el número que está representado por D en la recta numérica? B

B. r, p, q

C. q, p, r D. q, r, p

E. p, r, q

C 3

2. ¿Cuál(es) de los siguientes resultados es (son) irracional(es)? ___ __ I. √2___· √8 6 √______ II. ________ √216 __ __ III. 9√7 + 5√7 A. Solo I B. Solo II

A. 7

_____

B. √10 ____

C. √37 ___

D. √5 E. 10

3 __− √2 , ¿cuál de los si6. Al racionalizar la expresión _________ √2 + 1 guientes resultados se obtiene? ___

C. Solo III

A. 3√2 − 3

D. Solo I y II

B. 4√2 − 1

E. I, II y III

C. 3√2 − 2

___ ___ ___

D. 2√2 − 5

3. Considerando φ = 1,68033, ¿qué número se obtiene al redondear 2φ a la décima? A. 1,6

___

E. 4√2 − 5 7.

B. 1,7

___

____

Si se reduce 2√8 + 5√18 − 8√50 + 3√32 se obtiene: ___

C. 3,3

A. 71√2

D. 3,360

B. 17√2

E. 3,4

C. −9√2

___

4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 7 ________ I. El número √−128 es real. ___________ __

√

II. 7√5 − 1 es real. ____

III. 0 · √13 no es real. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo II y III

D. −33√2 ___

E. 41√2 ____________ __

√ 3

____________ __

√ 3

8. La expresión ( 4 + √7 ) · ( 4 − √7 ) es equivalente a: 3 ___

A. √9 B. 8 C. 2

3 ____

D. √11

3 ___

E. 4√7

E. I, II y III 62

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_____

( √√___ a ) 3

13. ¿Cuál es el área de la superficie del cuadrado ABCD?

A. a6

B. a

3√5 mm

C. a15 D. a9 3 ___

E. a 5

10. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? ______ 3 ____

√√2

_____

1 ____

3 __

III. √512 = 2 2 A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo I y III E. Solo II y III 11. ¿Cuál es el__perímetro__de un triángulo rectángulo de catetos 2√3 cm y 4√3 cm? A. 24 cm

___

B. (60 + 6√3 ) cm ___

C. 6√3 cm ___

____

D. (6√3 + 2√15 )cm ____

E. 2√15 cm 12. Si el volumen de un cubo es 9.261 cm3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a ese cubo? I. La longitud de su arista es de 21 cm. II. El área de su superficie es de 2.646 cm2. III. La longitud de la__diagonal de una de sus caras es de 21√2 cm. A. Solo I B. Solo I y II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

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___

B. 9√5 mm2 C. √15 mm2

√2 · √2 = 2 12

II.

___

A. 12√5 mm2 ____

1 __

= 23

_____

D. √60 mm2 E. 45 mm2 14. ¿Cuál es la solución de la ecuación exponencial 0,23x + 2 = 5? A. x = 1 8 B. x = ___ 3 C. x = –1 D. x = –3 E. x = 3 15. ¿Cuál es el valor numérico de x3, si x es la solución de la ecuación 4x · 4 = 162x? A. 27 B. 1___ 3 C. 3 ___ D. 1 9 ____ E. 1 27 16. Si loga12 = c, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. ac = 12 II. a ≠ 1 ____

III. loga√12 = __c 2 A. Solo I B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

UNIDAD Evaluación final 17. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) FALSA(S)? I. log216 = 8 II. log1.000 = 2

21. Si log(x2 – 16) – log(x – 4) = log10, entonces x es: A. –6 B. –3 C. 4

III. log0,1 = 1

D. 5 E. 6

A. Solo I B. Solo II

22. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo ABCD?

C. Solo III

D. Solo II y III

E. I, II y III 18. Si se considera log3 = 0,47 y log5 = 0,69, entonces, log15 es:

log232 cm

A. –0,22

B. 0,3243

(log381 + log464) cm

A. 5 cm

C. 1,16

B. 7 cm

D. 0,68

C. 12 cm

E. 0,22

D. 14 cm

19. La expresión log39 − log 1__ 49 + log100 es igual a: 7

A. 1

E. 24 cm 23. E l p H d e u n a s o l u c i ó n s e o b t i e n e c o m o pH = –log[H+], donde [H+] es la concentración de iones en la solución. Si el pH de la leche es 6,5, ¿cuál es su concentración de protones?

B. 2 C. 4 D. 5

A. 6,510

E. 6 20. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? 3

___

7 4 a √___ I. ___ log a − __ log b = log ______ 3 2 b7 √ 6 __ II. log ( √a · 2b ) = 6log a + 2log b 32 III. log2 ____ = −1 64

( )

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y III E. I, II y III

B. 3,5 C. 10–6,5 D. –106,5 E. –6,510 24. El nivel de intensidad sonora β, medida en deciI , donde I es la beles, se obtiene de β = 10log _______ 10−12 intensidad sonora en W/m2. Si un equipo musical tiene una intensidad de 1.000 W/m2, ¿cuál es su nivel de intensidad sonora? A. 150 dB B. 1,5 dB C. 1 · 10–15 dB D. 15 dB E. 100 dB

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II. Resuelve las siguientes preguntas de suficiencia de datos. ___ 3 5 25. __ 27. El valor de log40 se puede determinar si: x ∈ 핉 si: (1) log2 = 0,30 (1) x es negativo (2) log6 = 0,78 (2) x ≠ 0

√

A. (1) por sí sola.

B. (2) por sí sola.

B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. ______

26.

___

16a __+ √b se puede determinar si: El valor de √_______________ (1) a = 4 (2) b = 25a

√a

A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. 28. Se puede determinar el valor de log(xy) + log( __yx ) si: (1) x = 100 (2) y = 10000 A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las respuestas correctas que hayas conseguido. I. Preguntas de alternativas Identifiqué y representé números reales. (Preguntas 1, 2, 3, 4 y 5)

Resolví y apliqué propiedades de raíz enésima. (Preguntas 6, 7, 8, 9 y 10)

Apliqué el concepto de raíz a la resolución de problemas. (Preguntas 11, 12 y 13)

Resolví ecuaciones exponenciales. (Preguntas 14 y 15)

Calculé logaritmos y apliqué sus propiedades. (Preguntas 16, 17, 18, 19 y 20)

Resolví problemas que involucran logaritmos. (Preguntas 21, 22, 23 y 24)

de 5 de 5 de 3 de 2 de 5 de 4

II. Preguntas de suficiencia de datos Resolví problemas relacionados con raíces. (Preguntas 25 y 26)

Resolví problemas aplicando propiedades de logaritmos. (Preguntas 27 y 28) SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

de 2 de 2

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Unidad

Álgebra y funciones 3

era Volumen de mad ue de un bosq

V (m3) 5v 4v 3v

4 5 6

Ecuación de segundo grado Función cuadrática Función inversa Cambio porcentual

2v v 0

40 t (años)

Las funciones cuadráticas se utilizan en muchas ciencias, por ejemplo: al representar la posición de un objeto en caída libre. También en el diseño y construcción de puentes colgantes, en los lanzamientos de proyectiles, en el itinerario de un móvil, etc. El cambio porcentual o variación porcentual es un indicador de mucha utilidad para analizar cuánto disminuye o aumenta la población en un área específica. Existen diversas áreas en las cuales se aplica: demografía, economía, biología y medicina, entre otras. Un ejemplo aplicado a la economía es el PIB (Producto Interno Bruto), que equivale a la producción del país por cada habitante en el año. 1. ¿Conoces las ecuaciones que describen el movimiento de un motociclista? 2. ¿Sabías que la trayectoria del salto que realiza un deportista es parabólico? 3. ¿Cuál es la expresión que relaciona la temperatura en grados centígrados (°C) con la temperatura en grados Farenheit (°F)? 4. ¿Sabías que el crecimiento anual del volumen de madera de un bosque puede presentar un cambio porcentual?

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UNIDAD

Evaluación inicial

Resuelve la siguiente evaluación para iniciar la unidad de Álgebra y funciones. 3. Factoriza expresiones algebraicas.

1. Resuelve. a. (3x + 5)(3x – 5)

a. 9b2 – 36b + 36

d. x2 – 20x + 100

b. x2 – 2x – 15

e. x2 + 15x + 56

c. 25x2 – 30x – 7

f. a12 – 0,25b2

b. (2x + 4y)2

c. (9y – 2)2 + 3(y – 2)(y + 7) 4. Calcula el valor de las expresiones considerando los valores dados. d. (6x + 1)(6x – 8)

2. Completa la expresión con el término que falta en cada caso. a. (0,2x + 8)(0,2x – 8)

–

c. (y – 7) (y + 4) (y + 7)

– 49y –

d. 5(10x – 2) + (9x2 – 1)(9x2 + 1)

b. –7x + 10

si x = –3

c. 5 – 2x – x2

si x = –4

d. (x – 10)(x – 4)

si x = –5

e. 9 – x2

si x = 3

g. (5x – 2)2

si x = –6

5. Resuelve las ecuaciones y escribe su resultado en el recuadro.

b. (4x – y)(3x + y)

y3 +

si x = –2

f. (2x)3 – (4x + 1)(4x – 1) si x = 1 – 64

12x2 +

a. 3x – 1

– 11

a. 4x – 3 = 1

−3 − 2 − x________ b. x________ = −1 7 2

c. 5(1 – 7x) – x = 2x

3 4 ________ d. ________ x−5= x−9

e. 4x – (3x – 1) = 5x – (x – 2)

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8. Analiza las afirmaciones. Luego, responde V o F.

6. Reduce las expresiones. ___

___

Afirmación

a. 2 + √2 − 3 + 3√2 ___

___

Las imágenes de una función conforman su dominio.

____

√2 + 2√8 + 3√18 ___

10 + 6√3 −5 d. ______________ ___2 ____ 3 − 12 10 6______________ − 12 √ √ ______________ + e. 3 2 7.

Si f es una función afín con f(x) = 1 – x, entonces la imagen de 1 es 0. El gráfico de una función afín es una traslación del de una función lineal. Los puntos (1, 1) y (–1, 3) pertenecen al gráfico de la función f(x) = 5x – 3.

Analiza el gráfico. Luego, resuelve. 4

3 2

Calcula los porcentajes según corresponda. a. ¿Cuál es el 10 % de 120?

1 –4 –3 –2 –1 0 –1

Toda función afín tiene como gráfico una línea recta.

___

b. 3(1 − √3 ) − 2(1 − √3 ) c.

X 1

–2 –3

b. ¿Cuál es el 2 % del 5 % de 400? c. ¿De qué número 12 es el 25 %?

–4

d. ¿Qué porcentaje es 75 de 600? a. ¿Cuál es la función representada en el gráfico? b. Calcula f(–2), f(0) y f(3).

e. ¿Qué porcentaje es 30 del 50 % de 9.000?

c. ¿Cuál es la preimagen de 6, 1 y –3?

(Preguntas 1 y 2)

Factoricé y valoricé expresiones algebraicas. (Preguntas 3 y 4)

Resolví ecuaciones. (Pregunta 5)

Resolví operaciones con raíces. (Pregunta 6)

Analicé el gráfico de una función afín. (Preguntas 7 y 8)

Calculé porcentajes. (Pregunta 9) SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Lección

Pierre de Fermat

Ecuación de segundo grado

Nace en Beaumont-de-Lomagne, Francia.

1 601

↘ Ecuación de segundo grado ↘ Raíces de una ecuación de segundo grado ↘ Resolución: factorización ↘ Resolución: completación de cuadrado ↘ Resolución: fórmula general ↘ Discriminante de una ecuación de segundo grado ↘ Propiedades de las raíces ↘ Aplicaciones

Cursa estudios de Derecho en las universidades de Toulouse, Burdeos y Orleans.

1617

Estudia demostraciones perdidas del matemático griego Apolonio sobre los lugares geométricos.

Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede expresar de la forma ax2 + bx + c = 0. Los coeficientes de la ecuación son a, b, c ∈ 핉, a ≠ 0 y x es la incógnita. Como se puede ver, el exponente mayor de la incógnita es siempre 2. Por ejemplo, son ecuaciones de este tipo: ◾ 2x2 + x – 5 = 0: a = 2, b = 1, c = –5

◾ –x2 + 0,2 = 0: a = –1, b = 0, c = 0,2

2 2 ◾ __ x2 − 3x = 0: a = __ , b = –3, c = 0

◾ x2 + √ 7 x = 0: a = 1, b = √ 7 , c = 0

Ejercicios guiados 1. Comprueba si cada ecuación corresponde a una de segundo grado con una incógnita. Para ello, completa cada desarrollo.

a. 3x2 + 7x = 11

→

b. (x – 2)(x + 1) = 0

→

c. (x + 2)2 = x2

→

3x2 + 7x – 11 = 0. Corresponde a una ecuación de segundo grado con una incógnita, ya que x está elevado a 2 y es la única incógnita. Además, a = 3, b = 7 y c = –11. Al desarrollar, (x – 2)(x + 1) = = 0. Es una ecuación de segundo grado con una incógnita, con .

Ejercicios propuestos 1. Determina los coeficientes de cada ecuación de segundo grado. a. 3x2 = 2

c. (–2x + 1)2 = 4

b. 3__2 x2 + 1___ x=0 4

d. 1,5x2 + 0,5x = 2,5

Ayuda Recuerda algunos productos notables: • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • (x + a)(x – a) = x2 – a2 • (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

2. Inventa dos ecuaciones de segundo grado para cada condición en tu cuaderno. a. Sus coeficientes son números enteros negativos consecutivos. b. Uno de sus coeficientes es cero y otro es irracional. c. Sus coeficientes suman cero, pero ninguno de ellos es cero. SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Es miembro del Tribunal Criminal y solo se dedica a la matemática en su tiempo libre. Desarrolla con Blaise Pascal los principios de la teoría de la probabilidad.

1632

1654

1665

Raíces de una ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado con una incógnita tiene exactamente dos raíces o soluciones, las cuales, por lo general, se denotan como x1 y x2. Ellas pueden ser: Números reales distintos: x1, x2 ∈ 핉 con x1 ≠ x2

Números reales iguales: x1, x2 ∈ 핉 con x1 = x2

Por ejemplo:

x2 + x – 6 = 0

x2 + x + 4 = 0

Tiene raíces:

x1 = 2 y x2 = –3

Números no reales distintos: x1, x2 ∉ 핉 con x1 ≠ x2 Por ejemplo:

–2x2 + 8x – 8 = 0

Tiene raíces:

Fallece en Castres, Francia, a los 64 años, y deja importantes teoremas para la matemática.

Tiene dos raíces que no son números reales.

x1 = x2 = 2

Para conocer más sobre Pierre de Fermat ingresa el código SP2m071 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Ayuda Recuerda que un número es raíz o solución de una ecuación si satisface la igualdad.

Ejercicios guiados 1. Comprueba si los valores de x1 y x2 dados son raíces o no de la ecuación.

a. x2 – 4x + 3 = 0; x1 = 1 y x2 = –3

▷ Si x1 = 1, entonces (1)2 – 4 · 1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 0. Luego, 1 es raíz de la ecuación. ▷ Si x2 = –3, entonces

. Luego, –3

b. x2 – 10x + 25 = 0; x1 = x2 = 5 ▷ Si x1 = x2 = 5, entonces

. Luego, 5

Observa que x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3) y que x2 – 10x + 25 = (x – 5)2, es decir, que la primera expresión tiene dos factores distintos y la segunda, solo uno que se repite. ¿Existirá alguna relación entre esto y la cantidad de raíces de cada ecuación?

Ejercicios propuestos 1. Analiza si x1 y x2 son o no raíces de la ecuación. Para ello, escribe Sí o No. Ecuación Números

x2 – 3x – 10= 0 x1 = 5

x2 = –2

x2 + 7x = 0 x1 = 0

x2 = 7

50 + 2x2 = 0 x1 = 5

x2 = –5

x2 + 16 = –8x x1 = –4

x2 = 0

2. Identifica cuál de las ecuaciones tiene raíces x1 = 4 y x2 = –3. a. (x + 4)(x – 3) = 0 SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

b. 5(x – 4)(3 + x) = 0

c. –(x + 3)(x – 4) = 0

Desafío Explica por qué crees que la ecuación x2 + 4 = 0 no tiene raíces reales.

Lección 3: Ecuación de segundo grado

Resolución: factorización Sé más En el conjunto de los números reales se tiene que: Si A · B = 0, entonces A = 0 o B = 0. Esta propiedad es fundamental en la resolución de ecuaciones de segundo grado mediante factorización.

Un método para resolver una ecuación de segundo grado consiste en factorizar, igualar a cero cada factor y despejar la incógnita en cada uno de ellos. Por ejemplo: →

◾ –2x2 + 8x = 0

Aplicando factor común se tiene: −2x = 0 –2x2 + 8x = –2x(x – 4) = 0 ⇔ x − 4 = 0 ◾ 4x2 = 3 → Aplicando diferencia de cuadrados se tiene:

{

4x2 – 3 =(2x + √3 )(2x − √3 ) = 0 ⇔

{

⇔ ⇔

2x + √3 = 0 __

x1 = 0 x2 = 4

2x − √3 = 0

⇔

x1 =

3 _____ −√

⇔

__2

3 _____ =√

Ejercicios guiados 1. Analiza la información. Luego, completa. I. ax2 = c

III. (ax + b)2 = c

ax2 – c = 0 __

/ Diferencia de cuadrados __

(√a x + √c )(√a x − √c ) = 0 ___ ___ c c __ x1 = a y x2 = − __ a

√

II. ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0

/ Factor común b x1 = 0 y x2 = – __ a

(ax + b)2 – c = 0 / Diferencia de cuadrados __

(ax + b + √c )(ax + b − √c ) = 0 __ __ b + √c b − √c _________ _________ x1 = − a y x2 = − a IV. ax2 + bx = c ax2 + bx – c = 0 / Factorización de trinomio ax2 + bx – c = a(x – p)(x – q) x1 = p y x2 = q

a. ¿Cuál es la característica de las raíces en el caso I?

b. Dos características de la ecuación ax2 + bx = 0 (en el caso II) son: c = 0 y una de sus raíces es cero. ¿Existe alguna relación entre ambas?

c. En el caso III, ¿c puede ser negativo? Explica.

d. Si en el caso IV a = 1, ¿recuerdas algún método para determinar p y q? Explica.

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Ejercicios propuestos 1. Resuelve directamente en tu cuaderno cada ecuación utilizando uno de los métodos descritos antes. Luego, escribe la respuesta.

a. 9x2 = 3

e. (–3x + 1)2 = 4

b. –2x2 + 16x = 0

f. 8x2 = 25

c. (5x – 3)2 = 25

g. x2 + x = 12

d. x2 – 5x = 14

h. 3x2 – 18x = 0

2. Analiza la resolución del recuadro. Luego, aplícala para resolver. Para factorizar la expresión 5x2 + 4x – 12, se pueden seguir estos pasos: ◾ Se resuelve 5 · (–12) = –60. ◾ Se buscan factores de –60 que sumen 4, en este caso, 10 y –6. ◾ Se reescribe la expresión original considerando esos factores: 5x2 + 10x – 6x – 12 ◾ Se asocia y se factoriza: 5x(x + 2) – 6(x + 2) = (5x – 6)(x + 2). De esta forma, la ecuación 5x2 + 4x – 12 = 0 se resuelve como: 5x – 6 = 0

x+2=0

6 x1 = ___ 5

x2 = –2

a. –10x2 – 7x + 12 = 0

c. 18x2 + 17x – 15 = 0

b. –6x2 + 7x + 5 = 0

d. 6x2 + 23x + 20 = 0

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Desafío Factoriza para resolver las ecuaciones: • x4 – 81 = 0 • 6x3 + 21x2 – 45x = 0

Lección 3: Ecuación de segundo grado

Resolución: completación de cuadrado Una expresión de la forma x2 + mx se puede representar como un cuadrado de binomio de la siguiente manera: m 2 − ___ m 2 = x + ___ m 2 − ___ m 2 x2 + mx = x2 + mx + ( ___ ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2) 2 m , y esto no modifica la expresión ya que: Es decir, se suma y se resta el término ( ___ 2) m 2= 0 m 2 − ___ ( ___ 2) (2)

Este proceso se llama completación de cuadrado, y a partir de él, una ecuación de la forma x2 + mx = n puede ser expresada como: Si cada lado de una piscina cuadrada aumentara en 4 m, la lona para cubrirla debería tener un área de 100 m2. ¿Cuál era la medida de cada lado de la piscina antes de la ampliación?

m 2 = ___ m 2+n x2 + mx + ( ___ 2) (2)

⇔

m = ___ m ( x + ___ 2) (2) 2

De esta forma, las soluciones de la ecuación de segundo grado son: m− x1 = −___ 2

_____________

√

m 2+n ( ___ 2)

m+ x2 = −___ 2

_____________

√

m ( ___ 2)

Ejercicios guiados 1. Aplica la completación de cuadrado en cada expresión y comprueba tus resultados.

a. x2 – 5x

( ) ( ) (

) ( ) (

)

5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 25 ▷ x2 − 5x = x2 − 5x + − ___ − − ___ = x − ___ − − ___ = x − ___ − ____ 4 2 2 2 2 2 Comprobación:

____ = x ( x − ___52 ) − 25 4 2

( )

5 5 2 25 25 25 − 2 · x · ___ + ___ − ____ = x2 − 5x + ____ − ____ = x2 − 5x 4 4 4 2 2

b. x2 + 20x Sé más Para factorizar expresiones de la forma ax2 + mx es conveniente factorizar por a: mx a( x2 + ___ a ) Y completar el cuadrado dentro del paréntesis.

▷ x2 + 20x = x2 + 20x + 102 – 102 = x2 + 20x + 102 – 100 = (x + 10)2 – 100 Comprobación:

2. Utiliza las completaciones del ejercicio guiado 1 para resolver de cada ecuación. ____ a. x2 − 5x = 11 4 2 5 25 ____ 5 2 ____ 25 5 2 __ − ____ = 11 ⇔ x − ___ = 11 + ____ ⇔ x − ___ = 9 ▷ x− 4 4 4 4 2 2 2

(

)

x1 =

(

)

(

)

x2 =

b. x2 + 20x = 21 ▷ (x +10)2 – 100 = 21 ⇔ (x + 10)2 = 100 + 21 ⇔ (x + 10)2 = 121 x1 = 74

x2 = SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Ejercicios propuestos 1. Aplica la completación de cuadrado. a. x2 + 12x +

3 x+ d. x2 + ___ 4

b. x2 – 6x +

e. x2 − 1__2 x +

c. x2 – 9x +

f. x2 – 5x +

2. Resuelve las ecuaciones completando cuadrado de binomio. a. x2 + 4x – 6 = 0

c. 2x2 + x – 3= 0

e. x2 + 9x – 10 = 0

b. x2 + 5x – 150 = 0

d. x2 + 14x + 48 = 0

f. 6x2 – 17x + 5 = 0

3. Analiza la representación geométrica de una completación de cuadrado. Para la ecuación x2 + 6x = 16, se dibuja un cuadrado y un rectángulo de áreas x2 y 6x. x x

Luego, se divide el rectángulo en 4 partes, de acuerdo a la figura. 1,5 1,5 1,5 1,5

A continuación, se anexa cada una de las partes del rectángulo al cuadrado. x

1,5 x 1,5

Después, para completar el cuadrado, se deben agregar 4 cuadrados de área 1,52.

1,5 1,5 x

1,5 x

1,5

1,5 1,5 x

Así, se completó un cuadrado de lado x + 3 agregando 4 cuadrados de área 1,52, es decir: (x + 3)2 = 16 + 4 · 1,52 = 16 + 9 = 25

⇒

x1 = 2 y x2 = –8

Aplica el procedimiento anterior para resolver cada ecuación en tu cuaderno.

a. x2 + 4x = 12

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b. x2 – 18x = 80

c. x2 + 5x = 2,75

Por lo tanto, ¿cuánto medía cada lado de la piscina? Contesta en tu cuaderno.

Lección 3: Ecuación de segundo grado

Resolución: fórmula general Las raíces de la ecuación de segundo grado con una incógnita ax2 + bx + c = 0, se pueden obtener mediante la fórmula general: ____________ −b ± √b2 − 4ac x1, 2 = ______________________ 2a Es decir, se calculan a partir de los coeficientes de la ecuación.

Según un estudio, Usain Bolt, en una carrera de 100 m planos, registró una velocidad de 12,15 m/s y una aceleración de 0,34 m/s2 a los 50 m. ¿Cuánto tiempo demoró en recorrer los siguientes 30 m? Recuerda que la ecuación itinerario para un movimiento rectilíneo es: __ at2 x(t) = x0 + v0t + 1 2

Ejercicio guiado 1. Resuelve cada ecuación aplicando la fórmula general y contesta. →

a. x2 – 3x – 10 = 0

Para aplicar la fórmula general se deben identificar los coeficientes: a = 1, b = –3 y c = –10. Luego, al reemplazar:

__________________________

√

__________

____

−(−3) ± (−3)2 − 4 · 1 · (−10) 3 ± √9 + 40 3___________ ± √49 3 ±7 x1,2 = ______________________________________ = _________________ = = ________ 2·1 2 2 2 x1 =

x2=

b. –6x2 + 17x – 5 = 0 → Los coeficientes son: a = –6, b = 17 y c = –5. Reemplazando en la fórmula:

5 1 y x = ___ Por lo tanto, las raíces son: x1 = ___ 3 2 2

c. 2x2 – 4x + 2 = 0

→

Los coeficientes son: a = 2, b = –4 y c = 2. Reemplazando en la fórmula:

Por lo tanto, las raíces son:

Sé más Si x1 y x2 son las raíces reales de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, entonces: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Es decir, cada raíz define un factor de la expresión cuadrática.

d. x2 + x + 1 = 0

→

Aplicando la fórmula:

________________

_________

____

−1 ± √−3 −1 ± √12 − 4 · 1 · 1 −1 ± √1 − 4 x1,2 = __________________________ = __________________ = _____________ 2·1 2 2 Como se puede ver, el radicando es negativo, por lo que la ecuación tiene dos raíces no reales. En la fórmula general en a y b el radicando es positivo; en c, cero; mientras que en d es negativo. ¿Crees que existe relación entre esto y la cantidad y tipo de soluciones de cada ecuación? Explica.

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Ejercicios propuestos

Ayuda Recuerda que una ecuación se puede multiplicar (o dividir) y eso no altera sus raíces. Esto es conveniente realizarlo para disminuir el cálculo en la fórmula general.

1. Resuelve las ecuaciones aplicando la fórmula general. a. x2 – 5x – 24 = 0

d. x2 – 2x – 2 = 0

b. 5x2 – 16x = –3

e. −2x2 + 3√5 x = 5

c. 1___x2 + 2__3 x − 2 = 0

f. –6x2 + 6 = 9x

2. Completa la deducción de la fórmula general de las raíces de ax2 + bx + c = 0. Despejando para completar cuadrado: ax2 + bx + c = 0

b __c 1 __ 2 / · __ a ⇒ x + ax + a = 0

c / − __ a

b x = − __c ⇒ x2 + __ a a

Luego, completando cuadrado y reduciendo se tiene: b x + ____ b 2− ____ b 2 = − __c ⇒ x + ____ b 2 = − __c + ____ b 2 ⇒ x + ____ b 2 = − __c + _____ b2 x2 + __ a a a 2a a 4a2 2a 2a 2a 2a Sumando en el lado derecho y despejando:

( ) ( )

(

)

( ) (

)

Finalmente, ¿cómo puedes determinar el tiempo empleado por Usain Bolt en esos 30 m? Responde en tu cuaderno.

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Lección 3: Ecuación de segundo grado

Discriminante de una ecuación de segundo grado Conectando con...

El discriminante (Δ) de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 es:

Las ecuaciones

Δ = b2 – 4ac Es decir, corresponde al radicando de la fórmula general: ___________

___

−b ± √b2 − 4ac ____________ −b ± √Δ x1, 2 = _____________________ = 2a 2a Las primeras apariciones de ecuaciones datan del 1800 a. C. al 1600 a. C. en Mesopotamia. Pasarían 1.500 años, hasta que un griego, Diofanto de Alejandría, diera con la fórmula que resuelve casi todas las ecuaciones de segundo grado. Para saber más, ingresa el código SP2m078 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

A partir de esto, el discriminante permite deducir el tipo de raíces de la ecuación sin la necesidad de calcularlas: ◾ Si Δ < 0, entonces las raíces son números no reales y distintos. ◾ Si Δ = 0, entonces las raíces son números reales e iguales. ◾ Si Δ > 0, entonces las raíces son números reales y distintos.

Por ejemplo: • 3x2 + 2x + 2 = 0 ⇒ Δ = 22 – 4 · 3 · 2 = –20 < 0

⇒ Raíces no reales y distintas.

• x2 + 5x – 7 = 0 ⇒ Δ = 52 – 4 · 1 · (–7) = 53 > 0

⇒ Raíces reales y distintas.

• –x2 + 4x – 4 = 0 ⇒ Δ = 42 – 4 · (–1) · (–4) = 0

⇒ Raíces reales e iguales.

Ejercicios guiados 1. Resuelve considerando la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0.

a. Si el discriminante de una ecuación de segundo grado es negativo, ¿por qué sus raíces no son números reales? ▷ Como el discriminante ___ corresponde al radicando en la fórmula general y es negativo, entonces √Δ no es un número real a partir de la definición de raíz cuadrada. Lo que sí se obtiene son dos raíces distintas: ___

___

−b − √Δ x1 = ____________ 2a

−b + √Δ x2 = ____________ 2a

b. Explica por qué las raíces reales de la ecuación son iguales si Δ = 0. ▷ Como Δ = 0, entonces: ___

___

−b ± √0 −b ± √Δ ____________ x1,2 = ____________ = = 2a 2a Por lo tanto,

c. Demuestra que si b2 > 4ac, entonces la ecuación tiene dos raíces reales y distintas. ▷ Como b2 > 4ac, entonces b2 – 4ac > 0, por lo tanto:

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Ejercicios propuestos 1. Calcula el discriminante de cada ecuación e infiere el tipo de sus raíces. a. x2 + 7x – 1 = 0

x2 − 12x − 2 = 0 e. ___ 3

b. –3x2 – 11 = 0

x f. − 7_____ + 3x − 0,5 = 0 5

c. 5x2 + 9x = 0

− x − 2x2 = 0 g. 1______________ 2

d. 12 – 5x + 8x2 = 0

h. 4x2 – 8x + 12 = 0

Ayuda 1 − x − 2x2 = __ 1 − __ 1 x − x2 _____________ 2

2. Analiza la información del recuadro. Luego, resuelve en tu cuaderno. Si k ∈ 핉 y 3x2 + 6x – k = 0 es una ecuación de segundo grado, ¿qué condiciones debe cumplir k para que las raíces de la ecuación sean de cada uno de los tipos definidos anteriormente? Para dicho análisis, se puede considerar el discriminante con a = 3, b = 6 y c = –k: Δ = 62 – 4 · 3 · (–k) = 36 + 12k De esta forma, las raíces de la ecuación son: ◾ Números no reales y distintos, si 36 + 12k < 0, es decir, si k < –3. ◾ Números reales e iguales, si 36 + 12k = 0, es decir, si k = –3. ◾ Números reales y distintos, si 36 + 12k > 0, es decir, si k > –3.

a. Si el discriminante de la ecuación 2x2 – 10x + k = 0 es 10, ¿cuál es el valor de k? b. ¿Cuál o cuáles deben ser los valores de k en la ecuación x2 – 2x + k = 0 para que sus raíces sean números reales y distintos?

c. Las raíces de la ecuación kx2 + 3x + k = 0 son reales e iguales. ¿Cuál es el valor de k?

d. Si x2 + x + k + 1 = 0, ¿cuál o cuáles deben ser los valores de k para que las raíces sean números no reales y distintos?

e. Analiza las condiciones de k en la ecuación kx2 + (2k + 1)x + k = 0 para que sus raíces sean reales y distintas, reales e iguales, y no reales y distintas.

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Desafío ¿Por qué la siguiente resolución es incorrecta? x2 – 9 = 0__ x2 = 9 / √ x=3 Observa que Δ = 36.

Lección 3: Ecuación de segundo grado

Propiedades de las raíces Como para las raíces x1 y x2 de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, se verifica que: a(x – x1)(x – x2) = ax2 + bx + c Al multiplicar en el lado izquierdo de la igualdad se tiene: ax2 – a(x1 + x2) · x + a(x1 · x2) = ax2 + bx + c Luego, igualando los coeficientes se tienen las siguientes propiedades: ◾ a(x1 · x2) = c

◾ –a(x1 + x2) = b

b x1 + x2 = −__ a Suma de las raíces

c x1 · x2 = __ a

Producto de las raíces

Es decir, se puede conocer el producto y la suma de las raíces de una ecuación de segundo grado a partir de sus coeficientes.

Ejercicios guiados 1. Verifica en cada ecuación las propiedades antes definidas.

a. x2 – 12x + 35 = 0 ▷ Resolviendo la ecuación por factorización, se tiene (x – 7)(x – 5) = 0, es decir, x1 = 7 y x2 = 5. Luego: b = − −12 ______ = 12 • x1 + x2 = 7 + 5 = 12, y − __ a 1 c = 35 ____ = 35 • x1 · x2 = 7 · 5 = 35, y __ a 1 Por lo tanto, se verifican las dos propiedades.

b. 2x2 – 14x + 20 = 0

2. Demuestra, utilizando la fórmula general, las propiedades de las raíces. b a. x1 + x2 = –__ → Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación, entonces: a __________

__________

−b − √ b2 − 4ac ___________________ −b + √ b2 − 4ac 2b = −__ b x1 + x2 = ___________________ + = −____ a 2a 2a 2a Desafío

b. x1 · x2 = __ac

La suma de dos números enteros es –7 y su producto es –78. ¿Cuáles son esos números?

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↘ Ejercicios propuestos 1. Analiza el Taller de estrategias y resuelve las ecuaciones.

a. x2 – 11x + 24 = 0 b. x2 + 2x – 15 = 0 c. –2x2 – 6x + 56 = 0 d. 3__2 x2 + 3__2 x − 3 = 0 ___x − 3 __ = 0 e. 1___ x2 + 1 4 4 2

f. –3x2 + 6x + 45 = 0 2. Resuelve en tu cuaderno. a. En la ecuación 5x2 + 6x + p = 0, ¿cuál debe ser el b. c. d. e. f.

valor de p para que el producto de sus raíces sea 12? Una de las raíces de la ecuación x2 + (p + 1)x + 4 = 0 es –2. ¿Cual es el valor de p? ¿Cuál es la otra raíz? ¿Cuál debe ser el valor de q en la ecuación qx2 + (q – 1)x – 3 = 0, para que la suma de sus raíces sea –2? ¿Cuál debe ser el valor de k para que el producto de las raíces de la ecuación –(k – 1)x2 – x + k + 1 = 0 sea 3? En la ecuación (t + 1)x2 – x2 = 25, ¿cuál debe ser el valor de t para que una raíz sea el inverso aditivo de la otra? En la ecuación 4x2 – 17x + (q + 5) = 0, ¿cuál debe ser el valor de q para que una raíz sea el inverso multiplicativo de la otra?

3. Verifica las afirmaciones en tu cuaderno,

considerando la ecuación ax2 + bx + c = 0. Trabaja con un compañero o compañera.

a. Si una de las raíces de la ecuación es 0, entonces

c = 0. b. Si b = 0, entonces las raíces son inversos aditivos.

Taller de estrategias

Determinar las raíces de una ecuación de segundo grado a partir de sus propiedades

Practica esta estrategia. Para ello, considera el enunciado y sigue cada paso. Resuelve la ecuación 3x2 + 3x – 18 = 0 aplicando las propiedades de sus raíces. ↘ Paso 1 Factorizar Para simplificar los cálculos es recomendable factorizar por el coeficiente a, en este caso, 3: 3x2 + 3x – 18 = 3(x2 + x – 6) ↘ Paso 2 Aplicar las propiedades Luego de factorizar, se considera solo la expresión cuadrática x2 + x – 6. En ella, se tiene que a = 1, b = 1 y c = –6. De esta forma: x1 · x2 = –6

x1 + x2 = –1

↘ Paso 3 Analizar las posibles raíces A partir del paso anterior, se buscan posibles raíces cuyo producto sea –6: Posibles raíces

Producto

x1 · x2

–6

–1

–6

–3

–6

–2

–6

↘ Paso 4 Determinar las raíces Las posibles raíces determinadas en el paso anterior verifican la propiedad del producto. Ahora, se debe comprobar cuáles de ellas satisfacen la propiedad de la suma: Posibles raíces

Suma

x1 + x2

–6

–5

–1

–3

–1

–2

Por lo tanto, las raíces son 2 y –3. SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Lección 3: Ecuación de segundo grado

Aplicaciones Muchos problemas de las ciencias y la tecnología se pueden modelar mediante una ecuación de segundo grado. Para resolverlos, primero se deben reconocer los datos y la relación cuadrática entres ellos. Luego, se debe modelar con la ecuación de segundo grado respectiva. Por último, se debe analizar la pertinencia de las soluciones.

Ejercicios guiados Sé más Una ecuación de la forma ax4 + bx2 + c = 0, con a ≠ 0, se llama ecuación bicuadrática y puede tener 4 raíces reales, 2 o ninguna. Para resolverlas, se puede aplicar un cambio de variables y utilizar una ecuación de segundo grado.

1. Analiza la aplicación de la ecuación de segundo grado para resolver otros tipos de ecuaciones. Luego, completa.

a. x4 – 13x2 + 36 = 0 ▷ Como (x2)2 = x4 y haciendo el cambio de variable x2 = t, se tiene (x2)2 – 13x2 + 36 = t2 – 13t + 36 = 0. De esta forma: t2 – 13t + 36 = 0 ⇔ t1 = 4 y t2 = 9 Luego, como x2 = t, los valores de x se obtienen de x2 = 4 y x2 = 9. Así, las raíces de la ecuación bicuadrática son: x1 = y x4 =

Ayuda

, x2 =

▷ Como 4x = 22x = (2x)2, la ecuación se puede escribir como (2x)2 – 5 · 2x + 4 = 0. Si t = 2x, entonces (2x)2 – 5 · 2x + 4 = t2 – 5t + 4 = 0. De esta forma:

, x3 =

t2 – 5t + 4 = 0 ⇔ t1 = 1 y t2 = 4 Luego, al resolver 2x = 1 y 2x = 4, las raíces de la ecuación exponencial son: x1 =

y x2 =

2. Resuelve los problemas.

El terreno del problema 2a tiene la forma: xm

b. 4x – 5 · 2x + 4 = 0

39 m (2x + 6) m

a. Un terreno con forma de triángulo rectángulo de hipotenusa de 39 m, y con

uno de sus catetos que mide el doble del otro aumentado en 6 m, se vende a $50.000 el metro cuadrado. ¿Cuál es el valor del terreno? ▷ Si los lados del terreno miden x m y (2x + 6) m, por el teorema de Pitágoras se tiene que: x2 + (2x + 6)2 = 392 ⇒ x2 + 4x2 + 24x + 36 = 1.521 ⇒ 5x2 + 24x – 1.485 = 0 Las raíces de la ecuación son x1 = –19,8 y x2 = 15. Por lo tanto:

b. Las ventas mensuales de x artículos, cuando el precio es (180 – 3x) dólares,

tienen un costo de (150 + 6x) dólares. ¿Cuántas unidades deben venderse para obtener utilidades por $ 498 dólares? ▷ Los ingresos se obtienen de la multiplicación del precio y la cantidad vendida: (180 – 3x) · x, mientras que los costos son (150 + 6x). Así, para que las utilidades sean 498 dólares, se debe cumplir que: (180 – 3x) · x – (150 + 6x) = 498 ⇒ Por lo tanto:

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Ejercicios propuestos 1. Resuelve cada ecuación aplicando un cambio de variable. a. x4 – 16x2 – 225 = 0

b. 9x – 18 · 3x + 81=0

2. Resuelve en tu cuaderno utilizando una ecuación de segundo grado.

__ __ __

a. En la figura lateral, AD//BE//CF. Si AB = (x + 1) cm; DE = (x + 3) cm; BC = (x + 7) cm y DF = 35 cm, ¿cuál es la medida del segmento AC?

b. Pedro necesita 15 minutos más que su hermana Matilde para podar el césped de su casa. Si trabajan juntos, les toma 56 minutos. ¿Cuánto tiempo tardaría Pedro en podar el césped él solo?

c. En una reunión de excompañeros de colegio, hubo 120 abrazos de bienvenida. Si cada uno de los asistentes abrazó a cada uno de sus excompañeros solo una vez, ¿cuántos fueron los asistentes a esa reunión?

d. Un rectángulo tiene área de 35 cm y un perímetro igual a 24 cm. ¿Cuál es la 2

medida de sus lados?

e. Se desea construir una caja de base cuadrada y sin tapa a partir de una pieza

cuadrada de lámina. Se practicará un corte de 30 cm en cada esquina y se doblarán los lados hacia arriba. Si la caja debe tener un volumen de 1,083 m3, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la lámina?

f. Un grupo de amigos arrienda una casa de veraneo en $180.000 por 5 días.

Dos de los amigos se arrepienten a último momento, con lo que cada uno de los restantes deberá pagar $15.000 más de lo pactado inicialmente. ¿Cuál era la cantidad inicial de amigos?

↘

B E C F

¿Qué opinas de esto? Según el estudio Biciudades 2013, que investigó el uso de la bicicleta como medio de transporte en América Latina y el Caribe, la población de Santiago lidera con un 3 %, al igual que Ciudad de México, su utilización con estos fines.

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

Un ciclista viajó durante 60 km con rapidez constante. Si su rapidez hubiese sido de 10 km/h más rápida, habría acortado su tiempo de viaje en 1 hora. Según la información anterior, ¿cuál fue la rapidez inicial del ciclista? A. 20 km/h B. 30 km/h C. 50 km/h D. 60 km/h E. 70 km/h

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Lección 3

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Identifica cuáles de las ecuaciones son de segundo grado. Para ello, escribe SÍ o NO. a. x + 6x – 10 = 2x 2

5. Aplica la fórmula general para resolver cada ecuación. a. 5x2 – 4x = 1

x1 =

b. (x – 3)(x – 9) = x(x – 1)

b. –3x – 10x2 = 0

c. –12x – 10 – 3x2 = x2 – 10x – 12

(

x1 =

)

c. x2 − √3 x = 6 x1 =

2. Identifica los coeficientes de cada ecuación. a. 5x – x2 + 7 = 0

;b=

;c=

4x2 b. 6 − 13x + _____ = 0 3

;b=

;c=

c. 5(2x – 15x – 3)= –15 a =

;b=

;c=

d. –9x2 + 14 = 0

;b=

;c=

e. 20x = 3x2

;b=

;c=

x2 =

b. 17x = 34x2 x1 =

x2 =

4. Aplica completación de cuadrado para resolver cada ecuación. a. x2 + 6x – 160 = 0 x1 =

x2 =

b. 3x2 + 12x = 63 x1 =

x2 =

x1 =

x2 =

f. –2x2 + 4 – 7x = 0 x1 =

x2 =

3x c. −x2 + ____ − 4 = 0 2 d. 0,1x2 + 0,1x – 0,25 = 0

x2 =

e. –5x2 + x + 3 = 0

b. 30 – 20x + 10x2 = 0

e. 5x – 8 + 2x2 = 0

d. 144 = 9x2 x1 =

x2 =

a. x2 – 6x + 18 = 0

c. 6x2 + x = 2 x1 =

x2 =

x1 =

6. Calcula el discriminante y determina, sin resolver, los tipos de raíz que tiene cada ecuación.

3. Aplica factorización para resolver cada ecuación.

x1 =

x2 = ___

3 4 d. ___ x + x ___ 5x − 4 = 0 2

___x2 = 0 a. 0,25 − 1 9

x2 =

d. 1___ x2 + x − 3 = 0 2

Analiza cada enunciado. Luego, resuelve. a. Si el discriminante de la ecuación (k + 3)x2 + 4x – 1 es –6, ¿cuál es el valor de k?

c. –x2 + 5x + 1 = 0 x1 =

x2 =

d. 6x + x2 = 20 x1 =

x2 =

b. ¿Cuál o cuáles deben ser los valores de k en la ecuación (k – 3)x2 – 4x + 10 = 0, para que sus raíces sean números reales e iguales? c. ¿Cuál o cuáles deben ser los valores de k en la ecuación –2x2 + x + k – 1 = 0, para que tenga raíces no reales y distintas?

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d. En la ecuación qx2 + (q – 1)x – 2q – 3 = 0, ¿cuál debe ser el valor de q para que el producto de sus raíces sea –4? e. En la ecuación –kx2 – x – k + 1 = 0, ¿cuál debe ser el valor de k para que el producto de sus raíces sea 3? 8. Resuelve cada ecuación aplicando un cambio de variable y escribe la respuesta.

9. Resuelve los problemas. a. Tomás quiere hacer el marco de un espejo con un listón de madera de 2 m sin que sobre ni falte material. Si el espejo tiene forma rectangular y área de 0,24 m2, ¿cuáles deben ser las longitudes de los trozos del listón? b. En un parque nacional, cada una de las casetas forestales está unida con otra por un sendero. Si el número de senderos es 15, ¿cuántas casetas forestales hay?

a. 4x4 – 37x2 + 9 = 0

c. Una pelota se arroja desde un edificio de 52 m de altura con una velocidad inicial de 20 m/s. ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?

b. 36x4 – 25x2 = –4

d. Un circuito en paralelo con dos resistencias tiene una resistencia equivalente de 5 Ohms. Si una de ellas tiene 6 Ohms más que la otra, ¿cuál es la medida de cada una?

c. 2 · 32x – 8 · 3x + 6 = 0

e. En un laboratorio con 117 computadores, los equipos están ordenados en filas y columnas. Si la cantidad de computadores por fila es 4 más que la cantidad de filas, ¿cuál es la cantidad de filas y de computadores?

d. 72x + 2 – 2 · 7x + 1 + 1 = 0

f. Felipe pretende aumentar el área de su jardín, que tiene forma cuadrada. Para ello, duplicará la medida de sus lados. Si su área aumenta en 27 m2, ¿cuál es la medida del lado de su jardín?

Apliqué la factorización, la completación de cuadrado y la fórmula general para resolver ecuaciones. (Preguntas 3, 4 y 5)

Analicé el tipo de raíces de ecuaciones de segundo grado a partir de su discriminante. (Pregunta 6)

Apliqué el discriminante y las propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado. (Pregunta 7)

Resolví ecuaciones y problemas de aplicación de ecuaciones de segundo grado. (Preguntas 8 y 9)

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Lección

Marie Curie Nace en Varsovia, Polonia.

Es una alumna brillante con una muy buena capacidad de concentración.

Ingresa a Ciencias en la Universidad de la Soborna, París.

Función cuadrática 1867

1883

Finaliza sus estudios de Física en el primer lugar de su promoción.

↘ Función cuadrática

Función cuadrática

↘ Representación gráfica: parábola ↘ Intersección con los ejes coordenados ↘ Variación de parámetros ↘ Modelamiento con funciones cuadráticas

Una función real f cuya regla de formación se pueda expresar como f(x) = ax2 + bx + c, con a, b, c ∈ 핉 y a ≠ 0, se llama función cuadrática. Su dominio es 핉, mientras que su recorrido es un intervalo de 핉. Por ejemplo, las siguientes reglas de formación corresponden a una función cuadrática: 3 1 ◾ f(x) = 5x2 – 7x + 2 ◾ h(x) = ___x2 − __ x 4 2 __ ◾ g(x) = –x2 + 1 ◾ p(x) = 0,5x2 − √ 7 Los números a, b y c se llaman coeficientes de la función.

Ejercicios guiados 1. Analiza cada expresión y señala si corresponden o no a una función cuadrática y justifica.

a. f(x) = 5x + 1 – x2

→ Sí corresponde, ya que la máxima potencia de la incógnita es 2 y a = – 1 ≠ 0. Además, b = 5 y c = 1.

b. g(x) = x + 2

→ No corresponde, ya que no aparece un término con la incógnita con exponente 2.

c. q(x) = 2x3 – 2x

→

d. p(x) = 7x2

→

1 e. h(x) = ______________ +3 2

→

x + 3x + 5

Ayuda Recuerda que una función real es aquella cuyos dominio y recorrido son 핉 o un intervalo de 핉.

2. Identifica los coeficientes de cada función cuadrática, a partir de cada regla de formación. Reduce cuando corresponda.

a. f(x) = (x – 3)(x + 2) + 6 → Desarrollando el producto y reduciendo, se obtiene f(x) = x2 – x – 6 + 6 = x2 – x. Por lo tanto, los coeficientes de la función cuadrática son a = 1, b = –1 y c = 0.

b. g(x) = (x – 1)2 – 2x2 – 11 →

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Es galardonada con un segundo Nobel, esta vez en Química, por sus investigaciones sobre el radio y sus compuestos.

Obtiene el Premio Nobel de Física junto a su marido y Becquerel, por el descubrimiento de los elementos radiactivos.

Fallece en Passy, Alta Saboya, Francia, a los 67 años, a causa de la constante exposición a materiales radioactivos.

En el Instituto del Radio de París capacita a 150 mujeres en la tecnología de los rayos X.

1900

1934

Para conocer más sobre Marie Curie ingresa el código SP2m087 en la página web del Protecto Sé Protagonista.

Ejercicios propuestos 1. Evalúa considerando la función cuadrática f(x) = 3x2 + 7x – 6. _

a. f(0,6) + f(−3)

b. f(−2,3) + f(0)

¿Cómo son las imágenes de 0,6 y –3, y las de −2,3 y 0? ¿Existirá algún valor que tenga la misma imagen de 1?

¿Qué ocurriría con tu respuesta anterior si el dominio de f fuera [–1, ∞[?

Sé más

2. Completa la tabla considerando las funciones cuadráticas h y g, cuyas reglas de formación son h(x) = 2x2 + 8x y g(x) = –5x2 + 20. Luego, resuelve. x

–2

–4

h(x) g(x)

Los ceros de una función son los valores cuya imagen es cero; es decir, si f(d) = 0, entonces d es un cero de f.

a. ¿Cuál es la imagen 2 y –2 a través de g? ¿Contradice esto la definición de función?

b. ¿Cuáles son las preimágenes de 0 según h? c. Calcula las raíces de 2x2 + 8x = 0. Luego, evalúa dichos valores en h. ¿Qué puedes concluir?

d. ¿Qué relación existe entre las raíces de la ecuación –5x2 + 20 = 0 y los ceros de g?

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Lección 4: Función cuadrática

Representación gráfica: parábola La representación gráfica de una función cuadrática se llama parábola. Una de sus características es su vértice (V), que corresponde al punto más bajo o más alto, y por ser simétrica al eje Y o a una recta paralela a este llamada eje de simetría. Según el signo del coeficiente a, puede ser: ◾ Cóncava hacia arriba, si a > 0:

Vértice: punto más alto

Eje de simetría

Diego lanza su pelota al aro mientras practica básquetbol. ¿Qué forma describe la trayectoria de la pelota?

◾ Cóncava hacia abajo, si a < 0:

Vértice: punto más bajo

Eje de simetría

Ejercicios guiados 1. Representa gráficamente la parábola asociada a cada función cuadrática según las coordenadas de su vértice.

a. f(x) = x2 + 2x – 3 con V(–1, –4). ▷ Como se tiene el vértice de la parábola, basta con determinar otros dos puntos pertenecientes a ella para representarla. Por ejemplo: f(–2) = (–2)2 + 2 · (–2) – 3 = 4 – 4 – 3 = – 3 f(1) = 12 + 2 · 1 – 3 = 1 + 2 – 3 = 0 Por lo tanto, los puntos (–2, –3) y (1, 0) pertenecen a la parábola. Luego, se representan los tres puntos en el plano y se unen formando la parábola: 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 (–2,–3) –4 V(–1,–4) –5

X (1,0) 1 2 3 4 5

4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 (–2,–3) –4 V(–1,–4) –5

X (1,0) 1 2 3 4 5

¿Por qué al graficar la parábola se une los puntos? ¿Qué tiene que ver el dominio de f?

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(

)

25 b. g(x) = –2x2 + x + 3 con V 1___ , ____ . 4

8 ▷ Otros dos puntos de la parábola se obtienen, por ejemplo, de:

4 3 2 1

g(–1) = g(1) = Es decir, los puntos y pertenecen a la parábola. Luego, su gráfico es:

–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4

X 1 2 3 4

2. Analiza la información. Luego, resuelve. Si V(h, k) es el vértice de la parábola de una función cuadrática, entonces: ◾ Si es cóncava hacia arriba, k es el valor mínimo de f y su recorrido es [k, ∞[.

Recorrido

Sé más Las coordenadas del vértice de una parábola, a partir de los coeficientes de la función cuadrática, son 4ac − b2 b y k = ___________ h = − ____ 4a 2a

(

− b2 b , 4ac ___________ V − ____ 4a 2a

k Valor mínimo de f 0

Además, el eje de simetría interseca al eje X en el punto (h, 0).

Vértice h

)

◾ Si es cóncava hacia abajo, k es el valor máximo de f y su recorrido es ]–∞, k]. Y Valor máximo de f

Vértice

Recorrido

Desafío

a. Determina el recorrido y el valor máximo de f, si a < 0 y V(2, 7). b. Si el vértice de la parábola de g es V(3, –2) y es cóncava hacia arriba, ¿cuál es su

Si una parábola es cóncava hacia abajo, ¿puede tener un valor máximo?

recorrido? ¿Tiene un valor máximo o mínimo?

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Lección 4: Función cuadrática

Ejercicios propuestos Sé más Una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c se puede expresar como: f(x) = a(x – h)2 + k llamada forma canónica. Esto permite obtener directamente las coordenadas del vértice.

1. Representa la parábola de las funciones cuadráticas f y g. Luego, determina el recorrido y los valores máximo o mínimo, según corresponda.

a. f(x) = 1,5x2 – 3x + 2,5 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

b. g(x) = –2x2 – 6x – 3,25

X 1 2 3 4 5

5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

X 1 2 3 4 5

2. Calcula el vértice de cada una de las funciones cuadráticas. Luego, resuelve en tu cuaderno.

f(x) = 2x2 – 8x + 13

g(x) = 3x2 – 12x + 17

1 x2 − 2x + 7 h(x) = ___ 2

a. Expresa cada función en la forma a(x – h)2 + k. ¿Qué semejanzas y diferencias puedes observar en sus formas canónicas?

b. ¿Existirán otras funciones cuadráticas que tengan el mismo recorrido y vértice que f, g y h? Escribe tres.

c. ¿Es posible determinar una función cuadrática conociendo solo las coordenadas de su vértice?

3. Resuelve en tu cuaderno. a. Si f es una función cuadrática con regla de formación f(x) = ax2 + bx + c, verifica

(

Entonces, ¿cuál es la forma de la trayectoria que describe el lanzamiento de la pelota de Diego?

)

− b2 b = 4ac ___________ que f −____ . 4a 2a b. ¿Es posible graficar una parábola conociendo solo dos puntos pertenecientes a ella?

c. Verifica la igualdad f(x) = ax2 + bx + c = a(x – h)2 + k, si f es una función cuadrática con vértice V(h, k).

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Intersección con los ejes coordenados La parábola de una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c siempre interseca al eje Y, y lo hace en el punto (0, c). Por otro lado, puede intersecar al eje X en dos puntos, solo en uno o no intersecarlo. Por ejemplo: f(x) = –x2 – 2x + 3 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2

g(x) = x2 – 4x + 4

X 1 2 3

5 4 3 2 1 –2 –1 0 –1 –2

X 1 2 3 4 5

–2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6

Y X 1 2 3 4 5

Ejercicios guiados 1. Identifica los puntos de intersección de cada parábola y contesta. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 y = p(x) –8 –9 –10

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Y y = g(x)

y = h(x)

Los espejos parabólicos

h(x) = –x2 + 4x – 5

En los gráficos se observa que todas las parábolas intersecan el eje Y en (0, c). Además, la parábola de f interseca en dos puntos al eje X; la de g, solo en uno, y la de h no interseca al eje X.

y = f(x)

Conectando con...

Punto de intersección Función Con el cuadrática Con el eje X eje Y y = f(x)

En la antigua Grecia se sabía que los espejos parabólicos tienen la propiedad de concentrar los rayos solares en un punto. Se dice, incluso, que dicha cualidad fue utilizada por Arquímedes contra sus enemigos. Para saber más, ingresa el código web SP2m091 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

(0, 9)

y = g(x) y = h(x) y = p(x) X 1 2 3 4 5 6 7 y = r(x)

(–5, 0) (–2, 0)

y = q(x) y = r(x)

No interseca

a. ¿Depende la intersección

con el eje Y de la concavidad de la parábola?

y = q(x)

b. ¿A qué punto de la parábola corresponde la intersección con el eje X cuando esta es única?

Lección 4: Función cuadrática 2. Relaciona cada regla de formación con una de las parábolas del ejercicio anterior. Luego, responde. x2 + 6x + 9

–x2 + 2x – 1

x2 + 2x + 3

–x2 – 7x – 10

x2 – 6x + 8

7 14 –___x2 + ____x – 8 3 9

f(x) =

q(x) = –x2 + 2x – 1

p(x) =

h(x) =

g(x) =

r(x) =

a. ¿Cuál o cuáles son los puntos de intersección de la parábola de f con el eje X? ¿Cómo se relacionan con la o las raíces de la ecuación x2 + 6x + 9 = 0?

b. La ecuación x2 + 2x + 3 = 0 no tiene soluciones reales. ¿Interseca la parábola de la función cuadrática g al eje X?

c. ¿En cuántos puntos interseca la parábola de la función cuadrática p al eje X? ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación cuadrática p(x) = 0?

Sé más Sea f una función cuadrática definida por f(x) = ax2 + bx + c, las siguientes afirmaciones son equivalentes: • f(x1) = 0. • x1 es una raíz de la ecuación ax2 + bx + c = 0. • La parábola de f interseca el eje X en el punto (x1, 0).

3. Analiza la información del recuadro. Luego, resuelve. Para toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c existe una ecuación de segundo grado asociada a ella, de la forma ax2 + bx + c = 0, y se relacionan de la siguiente manera: ◾ Si 4 > 0, la parábola de f interseca en (x1, 0) y (x2, 0) al eje X, donde x1 y x2 son

las raíces de la ecuación.

◾ Si 4 = 0, la parábola de f interseca en (x1, 0) al eje X, donde x1 es la raíz

repetida de la ecuación.

◾ Si 4 < 0, la parábola de f no interseca al eje X.

Determina el o los puntos de intersección de la parábola de cada función con el eje X, si existe, según la regla de formación dada.

a. f(x) = 2x2 – 7x – 15 ▷ La ecuación asociada es 2x2 – 7x – 15 = 0. Como 4 = 169, entonces la parábola de f interseca en dos puntos distintos al eje X. Luego de resolver la ecuación, las raíces son x1 = –1,5 y x2 = 5. Por lo tanto, la parábola interseca al eje X en los puntos (–1,5; 0) y (5, 0).

b. g(x) = –3x2 + 3x – 0,75

c. h(x) = 4x2 – 2x + 1,25

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↘ Ejercicios propuestos 1. Determina los puntos de intersección con los ejes coordenados en cada una de las funciones dadas.

a. f(x) = 5x2

Taller de estrategias

Resolver inecuaciones cuadráticas utilizando una parábola

Practica esta estrategia. Para ello, considera el enunciado y sigue cada paso. Determina el o los puntos solución de la inecuación y < 2x2 – 6x + 2,5.

b. g(x) = 3x2 – 20x + 12

↘ Paso 1 Identificar una función cuadrática Se considera la función cuadrática f(x) = 2x2 – 6x + 2,5.

c. h(x) = –8x2 – 2x + 1

↘ Paso 2 Representar la parábola de la función Se representa la parábola y se divide el plano cartesiano en dos regiones, una interior a ella y otra exterior, y se consideran tres puntos:

d. p(x) = –3x2 + 0,3x + 0,06

3 Y 2 1

e. q(x) = 7,5x2 – 12x

f. r(x) = 6x2 + 2

–1 0 –1 –2 –3

X 1 2 3 4

2. Resuelve los problemas en tu cuaderno. a. Si la parábola de f(x) = mx2 + 2x + 6 interseca al b. c. d.

eje X en dos puntos distintos, ¿cuál o cuáles son los posibles valores de m? Si la parábola de f(x) = (p + 1)x2 + 4x + p interseca al eje X solo en un punto, ¿ cuál o cuáles son los posibles valores de p? Si la parábola de f(x) = kx2 + (k – 1)x + 0,25 no interseca al eje X, ¿ cuál o cuáles son los posibles valores de k? Determina la regla de formación de una función cuadrática si su parábola interseca al eje X en los puntos (1, 0) y (5, 0) y al eje Y en el punto (0, –2). ¿Es única esa regla de formación? Si una parábola no interseca al eje X y posee un máximo, ¿está por sobre o por debajo del eje X? Explica.

3. Analiza el Taller de estrategias y resuelve cada inecuación cuadrática en tu cuaderno.

a. y < x2

d. y ≥ x2

b. y < x2 +2x – 3

e. y > 3x2 + 3x – 2,25

c. y ≥ x2 – x – 2

f. y ≤ –2x2 – 1,5x – 0,25

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↘ Paso 3 Se verifica la inecuación Se evalúa cada uno de los puntos en la inecuación. En este caso, los puntos (0; 2,5), (1, 2) y (3, –1) y se analiza si cada desigualdad es verdadera o falsa: • 2,5 < 2 · 02 – 6 · 0 + 2,5 ⇒ 2,5 < 2,5 → Falsa

• 2 < 2 · 12 – 6 · 1 + 2,5 ⇒ 2 < –1,5 → Falsa

• –1 <2 · 32 – 6 · 3 + 2,5 ⇒ –1 < 2,5 → Verdadera Como solo la última desigualdad es verdadera, entonces los puntos solución corresponden a la región a la que pertenece el punto evaluado, es decir, la región exterior. ↘ Paso 4 Se destaca la solución 3 Y 2 1 –1 0 –1 –2 –3

X 1 2 3 4

Lección 4: Función cuadrática

Variación de parámetros Conectando con... Apolonio y las cónicas

Para estudiar los efectos de la variación de los parámetros de una función cuadrática sobre su parábola, se puede considerar su forma canónica f(x) = a(x – h)2 + k. A partir de esto, se tiene que: ◾ Si | a | aumenta, las ramas de la parábola se cierran, mientras que si | a | disminuye,

las ramas se abren.

◾ Si h varía, la parábola se traslada horizontalmente, mientras que si k varía, la

parábola se traslada verticalmente.

Ejercicios guiados Apolonio descubrió, al cortar mediante una superficie plana un cono circular en diversas posiciones, que las secciones resultantes eran círculos, elipses, hipérbolas o parábolas. Para saber más, ingresa el código SP2m094 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

1. Analiza las parábolas de f(x) = ax2 para distintos valores de a y contesta. y = 0,5x2 y = x2

a. ¿Varió la forma de la parábola para los

Y y = 2x2

distintos valores de a?

b. ¿Entre qué parábolas se ubicaría la

correspondiente a h(x) = 1,5x2? ¿Y la correspondiente a g(x) = –0,8x2?

1 X –3

–2

–1

c. ¿La parábola de p(x) = 2(x – 1)2 + 1

tiene la misma forma que alguna de las representadas? ¿Se ubica en la misma posición? Justifica.

–2

Ayuda Si a una figura se le aplica una traslación _› según v = (n, m), entonces esta se desplaza n unidades horizontalmente (a la izquierda si n < 0, o a la derecha si n > 0), y m unidades verticalmente (hacia abajo si m < 0 o hacia arriba si m > 0)

–3 y = –2x2

y =–x2 y = –0,5x2

2. Analiza las parábolas considerando que todas tienen la misma forma pero distinta posición. Luego, responde.

a. Si f(x) = x2, ¿cuál es la forma canónica

Y y = h(x)4

de g, h y p? ▷ Como todas las parábolas tienen la misma forma, basta con analizar su vértice. Así:

y = p(x)

3 2 y = f(x) –2

–1

y = g(x)

1 0

X 1

–1

• g(x) = (x – 2)2, ya que su vértice es V(2, 0). • h(x) = x2 + 2, ya que su vértice es V(0, 2). • p(x) = (x – 2)2 + 2, ya que su vértice es V(2, 2).

b. Si se considera que las parábolas de g, h y p son una traslación de la parábola de f, ¿cuál es el vector de cada traslación?

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3. Completa la tabla. Luego, identifica la parábola y responde. Regla de formación

Forma canónica

3 2

f(x) = 3x2

g(x) = –3x2

X –5

h(x) = 3x2 + 12x + 12

–4

–3

–2

–1

p(x) = 0,5x2

–2

q(x) = –3x2 + 18x – 30

–3

r(x) = –0,5x2 – 3x – 6,5

–4 –5

a. ¿Cuál es la relación entre la parábola de f y de g?

b. ¿Existe alguna transformación isométrica asociada a dicha relación?

c. Si la parábola de p se traslada, ¿se puede obtener la parábola de r? Justifica.

d. ¿Qué transformaciones isométricas se deben aplicar a la parábola de h para obtener la parábola de q?

e. ¿Qué tipo de variaciones se deberían aplicar a f para que las parábolas de las otras funciones se consideren una transformación de su parábola?

4. Completa cada proposición. Para ello, considera la función cuadrática f(x) = a(x – h)2 + k.

a. La parábola de g(x) = –a(x – h)2 + k es una reflexión de la parábola de f con respecto al eje

b. Si la parábola de f se traslada hacia la derecha, el valor de h mientras que si se traslada hacia la izquierda, el valor de h

c. Si la parábola de f se traslada hacia arriba, el valor de k que si se traslada hacia abajo, el valor de k

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;

; mientras

Ayuda En los ejercicios guiados 4b y 4c, los valores de h y k pueden aumentar o disminuir.

Lección 4: Función cuadrática

Ejercicios propuestos 1. Esboza la parábola de cada función, considerando la de f(x) = –2x2. Y g(x) = –x2 h(x) = 3x2 p(x) = 0,25x2 q(x) = –7x2 r(x) = 4x2 0

y = f (x)

a. ¿Cuál es el vértice de cada una de las parábolas representadas? b. ¿Variaron las coordenadas del vértice de f al modificar el valor del coeficiente a? 2. Identifica el vector traslación que se aplicó a la parábola de f para obtener cada una de las parábolas. Luego, escribe la forma canónica de cada función. X y = g(x) y = f(x)

3 2

y = q(x)

1 –5

–4

–3

–2

–1

Desafío Para la función cuadrática en su forma general f(x) = ax2 + bx + c, ¿cuáles son los efectos que se producen en su gráfico al variar los coeficientes b y c? Comenta los resultados con tus compañeros.

y = h(x)

5 X

y = p(x)

–2 –3

Función

Vector traslación Forma canónica

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Modelamiento con funciones cuadráticas Existen muchos fenómenos de la vida cotidiana que se pueden explicar por medio de las funciones cuadráticas. Estas se presentan en diversas disciplinas, como la física, biología, economía, arquitectura y el deporte, entre otras. Por ejemplo, en movimientos con aceleración constante, lanzamientos de proyectiles, utilidades de una empresa, variación de la población de una determinada especie, etc.

Ejercicios guiados 1. Analiza cada problema. Luego, completa.

a. José tiene 60 m de malla y desea construir un corral rectangular para sus

animales utilizándola toda. ¿Cuáles deben ser las medidas del corral para que el área sea la máxima? ▷ Una representación gráfica de la situación es: x Corral y

Considerando la representación, el área es A = x · y. Como esta función tiene dos variables, x e y, se debe utilizar el hecho de que José posee 60 m de malla, es decir, 60 = 2x + 2y, para despejar una en función de la otra. Por ejemplo, y = 30 – x. Luego, el área en función de x es:

Cuando Fernando va a la plaza de su ciudad, observa que los chorros de agua que salen de la pileta describen una trayectoria que los caracteriza. ¿Cuál es la curva que describe el chorro de agua?

A (x) = Después, se puede construir una tabla con algunos valores de x para saber cómo varía el área: Lado x (m)

Área (m ) 2

Según los valores de la tabla¿Existirán otras medidas que hagan que el área sea aún mayor que las obtenidas en la tabla? Justifica. ▷ Para responder correctamente la pregunta anterior, se debe determinar el vértice. Para la función A, el vértice se calcula como:

Desafío Como el coeficiente a de la función es negativo, la función alcanza un valor máximo cuando x = . Despejando el valor de la otra magnitud, se obtiene que y = . Por lo tanto, las dimensiones que debe tener el corral son de , para obtener el área máxima de .

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¿Si en el ejercicio 1a se hubiese expresado el área en función del lado y, se hubiese obtenido el mismo resultado? ¿Cuál es el recorrido de la función A(x)?

Lección 4: Función cuadrática

b. Cuando un objeto se lanza verticalmente hacia arriba, como lo muestra la figura lateral, la altura y en función del tiempo t está dada por la expresión y(t) = y0 + v0t − 1__ gt2; donde y0 es la altura desde donde fue lanzado el objeto, v0 2 la velocidad inicial, t el tiempo transcurrido y g la aceleración de gravedad (g ≈ 10 m/s2). Si se lanza una pelota desde el suelo con una velocidad inicial de 20 m/s, ¿en qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿Cuánto tiempo se demora la pelota en llegar al suelo? ▷ De los datos del problema, se tiene que los coeficientes de la función cuadrática son: a=

⇒

y(t) =

El vértice de la parábola es: Sé más Un lanzamiento vertical es un movimiento rectilíneo uniforme que está afectado por la aceleración de gravedad.

La segunda coordenada corresponde a la altura máxima: , mientras que la primera corresponde al tiempo que tarda en alcanzar dicha altura: . 1 gt2 = 0 corresponden a los Por otro lado, las raíces de la ecuación y0 + v0 t − ___ 2 instantes en que la pelota estaba en el suelo. Dichas raíces se obtienen de:

Así, la pelota tardó en caer

¿Por qué las raíces de la ecuación corresponden al instante en que la pelota estaba en el suelo? ¿Cuál es el recorrido de la función y(t)? ¿Su dominio es 핉? Esboza la parábola de la función y luego responde.

Entonces, ¿cómo es la trayectoria que describen los chorros de agua observados por Fernando?, ¿Poseen un punto máximo o mínimo? Contesta en tu cuaderno.

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Ejercicios propuestos 1. Analiza los gráficos de las funciones f, g y h. Luego, responde en tu cuaderno. 5 4 3 2 1

–2 –1 0 –1 –2 –3

y = f(x)

X 1 2 3 4

5 4 3 2 1 –2 –1 0 –1 –2 –3

Y y = g(x)

X 1 2 3 4

5 4 3 2 1 –2 –1 0 –1 –2 –3

Y y = h(x)

X 1 2 3 4

Conectando con... Dirección General de Aeronáutica Civil

a. ¿Cuáles son las similitudes entre los tres gráficos? b. ¿Cuál es el dominio y recorrido de las funciones f, g y h? 2. Resuelve los problemas en tu cuaderno y determina el dominio y el recorrido. a. La altura de un avión que vuela entre dos ciudades se puede modelar con la

función h(t) = 800t – 30t2 , donde h es la altura en metros y t es el tiempo en minutos transcurridos una vez que despega el avión. ¿Cuánto dura el viaje? ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿A qué altura comienza su descenso?

b. La distancia recorrida por una moto que viaja en línea recta se puede modelar

con x(t) = 8t + 3t2, donde x(t), está expresada en metros y t, en segundos. ¿Qué distancia ha recorrido al cabo de 4 segundos? ¿Cuánto tiempo ha transcurrido cuando el motorista recorre una distancia de 380 m desde su partida?

↘

Norma, certifica y fiscaliza las actividades aeronáuticas del país. Para saber más, ingresa el código SP2m099 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: aplicar

Según la OMS, entre el 60 % y el 90 % de los escolares del mundo tienen caries. Cuando se presenta este problema se debe ir al dentista. El efecto de la anestesia bucal en un paciente, luego de t minutos de haberse 25 inyectado, se puede modelar con la función: G(t) = – ____ t2 + 25t. 16 Entonces, ¿después de cuántos minutos se produce el máximo efecto de la anestesia? A. 2 B. 8 C. 16 D. 23 E. 25

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Lección 4

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Encuentra, sin graficar, la intersección con los ejes coordenados de la parábola de cada función. Intersección eje X

Regla de formación

Intersección eje Y

4. Representa gráficamente las funciones cuadrátix2 + x − 1. Luego, cas f(x) = x2 – 2x – 3 y g(x) = − ___ 2 determina. 5 Y

h(x) = x2 – 6x + 13

q(x) = x – 4x – 32 2

g(x) = 9 + x2

f(x) = 2x2 + 3x – 5

2. Calcula el vértice de la parábola de cada función. ___

a. h(x) = x2 + √5 x

c. f(x) = x2 – 6x + 8

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1

X 1

–2 –3

5 d. q(x) = 1___ x2 + ___ x − 1 3 2

b. p(x) = 2x2 + 6x – 5

–4 –5

3. Relaciona cada regla de formación con su parábola.

a. Dominio de f y g

___(x − 2)2 + 4 a. f(x) = − 1 4 b. Recorrido de f y g

b. h(x) = 3(x – 4)2 c. h(x) = –(x – 7)2 – 1

c. Intersección con los ejes coordenados

d. g(x) = (x + 1)2 – 2

7 6 5 4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 C –6 –7 –8

100

Y D

d. Ejes de simetría de f y g

e. Vértices de f y g X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f. Tipo de concavidad de f y g

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5. Resuelve problemas aplicados en la medicina. a. La temperatura (en grados Celsius) que experimenta cierto cultivo de bacterias varía de acuerdo a T(x) = –(x – 2)2 + 1, donde x representa el tiempo (en minutos) de exposición a fuentes de energía calórica. ¿Después de cuánto tiempo la temperatura es la máxima? b. La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero varía su efectividad en el tiempo, según C(t) = –t2 + 6t, donde C es la concentración medida en mg/L para que haga efecto durante t horas. ¿En qué instante la concentración es de 8 miligramos por litro? 6. Resuelve problemas aplicados en el deporte. a. La altura y, en metros, de una gimnasta que salta con garrocha luego de x segundos está expresada por y(x) = –5x2 + 20x. ¿Cuánto tiempo está en el aire la gimnasta? b. Un clavadista comienza el salto sobre una plataforma a 10 m sobre la superficie del agua. La altura del clavadista, en metros, está dada por la expresión h(t) = –5t2 + 3,5t + 10, donde t es el tiempo en segundos después del salto. ¿Cuánto tiempo tarda el clavadista en alcanzar una distancia de 1 m sobre el nivel del agua?

Resuelve problemas aplicados en la economía. a. Los ingresos mensuales, en pesos chilenos, de una fábrica de zapatillas están modelados por la función I(x) = 10.000x – 2x2, donde x es la cantidad de zapatillas que se fabrican en el mes. ¿A partir de qué cantidad de pares la fábrica comienza a tener pérdidas? ¿Qué cantidad de pares deben producir para generar los ingresos máximos? b. Una empresa identificó que cuando se venden ciertos lápices a un precio p, el ingreso I (en pesos chilenos) en función del precio p está dado por I(p) = –150p2 + 21.000p. Entonces, ¿cuál es el precio unitario de un lápiz para que el ingreso sea máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo?

8. Resuelve problemas aplicados en la naturaleza. a. La altura h de un canguro que salta luego de x segundos se puede modelar por la expresión h(x) = –5x2 + 7x, donde h(x) está expresada en metros. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el salto del canguro? b. La función cuadrática que modela la altura en metros del salto de un delfín fuera del agua luego de x segundos es y = –16x2 + 20x. ¿Cuánto tiempo está el delfín fuera del agua?

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L). Indicador Calculé el vértice y las intersecciones con los ejes coordenados de parábolas. (Preguntas 1 y 2)

Reconocí y representé parábolas de funciones cuadráticas. (Preguntas 3 y 4)

Resolví problemas de funciones cuadráticas aplicadas en la medicina. (Pregunta 5)

Resolví problemas de funciones cuadráticas aplicadas en el deporte. (Pregunta 6)

Resolví problemas de funciones cuadráticas aplicadas en la economía. (Pregunta 7)

Resolví problemas de funciones cuadráticas aplicadas en la naturaleza. (Pregunta 8)

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101

UNIDAD

↘ Taller de TIC GeoGebra

Analizar gráficamente la variación de parámetros en una función cuadrática.

1 2

Para analizar gráficamente la variación de parámetros, se puede considerar la función cuadrática f en su forma f(x) = a(x + h)2 + k, con h, k ∈ 핉. Para ello, activa el programa GeoGebra. Luego de activar el programa GeoGebra, se deben insertar tres deslizadores utilizando la , donde se mostrará la siguiente ventana: herramienta Deslizador

El deslizador a se deja con los valores predeterminados. Luego, presionas el botón Aplica seguido de un clic en cualquier parte de la vista gráfica. Este paso se debe repetir para el segundo y el tercer deslizador, donde se cambia el nombre a h y k, respectivamente.

102

Se ingresa en el campo de entrada la regla de formación de la función cuadrática en su forma canónica y = a * (x + h) ^ 2 + k y se presiona Enter. Se obtiene lo siguiente:

Para mover el deslizador a, debes presionar el ícono procedimiento se repite con los deslizadores h y k.

y hacer click sobre el deslizador. Este

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1. Utiliza el programa GeoGebra para realizar variaciones sobre el parámetro a. a. Considera los parámetros a = 1, h = 0 y k = 0. ¿Cuál es la función representada en el gráfico?

b. Analiza los gráficos de la parábola cuando a toma valores positivos y negativos. ¿Qué sucede con el gráfico de la parábola a medida que varía el parámetro a? ¿Qué relación hay entre el valor de a y la forma de la parábola?

c. ¿Existe simetría entre los puntos de la parábola? Si tu respuesta es afirmativa, ¿con respecto a qué eje de coordenadas es simétrica?

2. Utiliza el programa GeoGebra para realizar variaciones sobre el parámetro h. a. Considera los parámetros a = 1, h = 1 y k = 0. ¿Cuál es la función representada en el gráfico?

b. Analiza los gráficos de las parábolas cuando h toma valores positivos y negativos. Luego, ¿qué ocurre con el gráfico de la parábola cuando varía el parámetro h? ¿Qué relación existe entre el valor de h y la posición de la parábola? ¿Qué tipo de movimiento está asociado al desplazamiento del deslizador “h”?

3. Utiliza el programa GeoGebra para realizar variaciones sobre el parámetro k. a. Considera los parámetros a = 1, h = 0 y k = 1. ¿Cuál es la función representada en el gráfico?

b. Analiza los gráficos de las parábolas cuando k toma valores positivos y negativos. ¿Qué ocurre con el gráfico de la parábola al variar el parámetro k? ¿Qué relación existe entre el valor de k y la posición de la parábola? ¿Qué tipo de movimiento está asociado al desplazamiento del deslizador “k”?

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103

Lección

Función inversa

Louis Gay-Lussac Cursa sus estudios en la École Polytecnique y en la École des Ponts et Chaussées de París.

Realiza una ascensión en globo aerostático, que le permite estudiar el magnetismo terrestre y la temperatura del aire.

Nace en Saint Léonard. París.

1778

1793

↘ Función inversa

Función inversa

↘ Función inversa: tablas ↘ Función inversa: gráfico ↘ Función inversa de una función lineal y de una afín ↘ Función inversa de la función cuadrática

Sean f y g dos funciones tales que f: A → B y g: B → A, según la siguiente representación con máquinas: Máquina f x

Máquina g

Entonces, f y g realizan procesos inversos, ya que f transforma a x en y, mientras que g transforma a y en x. Por ejemplo, en un diagrama sagital, dos funciones inversas son: A

–5

–3

–9

De esta forma, g es la función inversa de f y se denota como f–1. Observa que: Dom(f–1) = Rec(f)

Sé más Si f–1 es la función inversa de f, entonces: (f–1)–1 = f Es decir, f es la función inversa de f–1.

Rec(f–1) = Dom(f)

Ejercicios guiados 1. Identifica la función inversa de cada función. Para ello, completa. Descripción de f

Descripción de f–1

f asigna su doble a cada número. f aumenta en tres unidades cada número. f asigna su cuadrado a cada número positivo. f asigna su inverso aditivo a cada número.

f–1 asigna su mitad a cada número. f–1 disminuye en tres unidades cada número. f–1 asigna su raíz cuadrada a cada número positivo. f–1 multiplica por 5 cada número.

f aumenta en una unidad el triple de cada número. f–1 asigna el cuadrado de su mitad de cada número positivo. f disminuye 1 a la cuarta parte de cada número.

104

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Formula la ley de los gases asociada a su nombre.

Fallece en París, a la edad de 72 años, y deja importantes contribuciones a la química y la física.

Es miembro de la Cámara de Diputados.

1808

1850

Para conocer más sobre Louis Gay-Lussac ingresa el código SP2m105 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

2. Completa los diagramas considerando f y f–1. Luego, resuelve. f

f–1

–15 –5

a. ¿Cuál es el dominio y recorrido de f y de f–1? b. Completa la tabla. f

f(–15) = 11

f(–5) = 3

f(0) = 2

f(7) = 5

f(14) = 7

f (3) =–5

–1

c. Si a la imagen de x = 7 a través de f se le aplica f–1, ¿qué número se obtiene? ¿Ocurrirá lo mismo para todos los números de Dom(f)? Justifica.

Ejercicios propuestos 1. Analiza cada situación. Luego, describe su proceso inverso. Máquina Automóvil

Función

Función inversa

Avanza 15 m

Escáner

Aumenta al doble

Aire acondicionado

Baja la temperatura en 15 °C

Cajero automático

Realiza un giro de $50.000

2. Analiza las proposiciones y escribe V o F según corresponda. Justifica en tu cuaderno.

a. b. c. d. e.

Si f(7) = 3, entonces siempre se cumple que f–1(–7) = –3. Si la preimagen de 2 es 4 a través de f–1, entonces f(2) = 4. El punto (1, 5) pertenece al gráfico de f, entonces (5, 1) pertenece al gráfico de f–1. Si y ∈ Dom(g–1), entonces y ∈ Dom(g). Si h es la función inversa de g, y g es la función inversa de f, entonces h = f.

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105

Lección 5: Función inversa

Función inversa: tablas Conectando con... Evolución del concepto de función

Si una función f está representada en una tabla de valores, entonces es posible determinar su inversa f–1 utilizando, también, una tabla de valores. Por ejemplo: Función inversa f–1

Función f x

f(x)

f–1(x)

a b c

d e f

a b c

De las tablas, se puede observar que Dom(f–1) = Rec(f) y que Rec(f–1) = Dom(f).

Ejercicios guiados 1. Representa en otra tabla la función inversa, a partir de la información dada. Muchos matemáticos han trabajado con el concepto de función, como por ejemplo, Henri Lebesgue. Para saber más, ingresa el código SP2m106 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

a. x

f(x)

0,5

1,5

2,5

3,5

f (x)

–1

–2

–3

–4

–5

g(x)

g (x)

0,5

1,5

2,5

3,5

–1

b. –1

Las tablas obtenidas, ¿corresponden a funciones? Justifica.

2. Analiza la tabla. Luego, completa.

–2

1 2 3

–2

f(x)

a. ¿Cuáles son las imágenes de x = –2 y x = 2? ▷ Según la tabla, f(–2) = 5 y f(2) = 5. Es decir, sus imágenes son iguales.

b. Del diagrama sagital de f, en el lateral, ¿se puede deducir tu respuesta anterior? Justifica.

Ayuda Una función inversa es también una función, es decir, a cada elemento de su dominio le corresponde uno y solo un elemento del codominio.

106

c. A partir del ejercicio 1, resulta natural definir para f la tabla de f–1, como: x

f (x)

–2

–1

Pero, ¿esta tabla corresponde a una función? ▷ No corresponde a una función, ya que x = 5 tiene dos imágenes distintas, 2 y –2.

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d. ¿Qué debería ocurrir con f para poder definir su función inversa? ▷ El valor y = 5 debería tener solo una preimagen y no dos (2 y –2). Eso se puede hacer, por ejemplo, eliminando el par (–2, 5), obteniéndose: x

f(x)

f (x)

–1

De esta forma, la segunda tabla sí corresponde a una función, ya que: Sé más

e. Por lo tanto, ¿qué condición debe cumplir una función para que se pueda definir su función inversa? ▷ Cada imagen debe tener solo una preimagen. Es decir, la función debe ser

Una función en la que a cada imagen solo le corresponde una preimagen se llama inyectiva o 1-1.

Ejercicios propuestos 1. Identifica si cada tabla representa una función inyectiva o no. Justifica. a.

b. x

–3

–1

g(x)

h(x)

2. Resuelve en tu cuaderno. a. La tabla muestra los datos obtenidos en un experimento con un resorte. Elongación d al aplicar una fuerza F al resorte F d = f(F)

20 N

40 N

60 N

80 N

100 N

1,4 cm 2,5 cm 4,0 cm 5,3 cm 6,6 cm

· ¿Es f una función inyectiva? Justifica. · Expresa en palabras f(20) = 1,4 y f–1(4,0) = 60. · Crea una tabla para f–1, es decir, que represente la fuerza aplicada para obtener una elongación d.

b. Las tablas muestran los datos del crecimiento de una población de bacterias. Población N en función del tiempo t

Tiempo t para llegar a tener N bacterias

N = f(t)

t = g(N)

168

358

509

573

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· Interpreta f(3) = 358 y g(573) = 7. · ¿Son f y g funciones inyectivas? · ¿Es g la función inversa de f?

107

Lección 5: Función inversa

Función inversa: gráfico Los gráficos de una función f y su función inversa f–1 son simétricos con respecto a la recta y = x. Por ejemplo: 3

Y y = f(x) y=x

–3 –2 –1 0 –1

Y y = f–1(x) y=x

y = f –1(x) X 1 2 3

1 Nicolás debe graficar funciones inversas utilizando solo los gráficos de las funciones originales. ¿Cómo lo puede hacer sin conocer las reglas de formación?

y = f (x) X 2 3

1 –3 –2 –1 0 –1

–2

–3

Ejercicios guiados 1. Representa gráficamente cada función y su función inversa. Para ello, completa.

a. f: {–2, –1, 0, 1, 2, 3} → B ⊂ 핉, con f(x) = –0,5x ▷ La función se puede representar en la tabla: x

–2

–1

f(x)

0,5

–0,5

–1

–1,5

Luego, se grafica f y se aplica la simetría con respecto a la recta y = x: 3

y = f–1(x)

–3 –2 –1 0 –1

Ayuda Recuerda que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si cada uno de ellos es una reflexión del otro con respecto a esa recta.

–3 –2 –1 0 –1

y=x

X 1

y = f(x)

–2

–3

b. g: [0, ∞[ → [0, ∞[, con g(x) = x2 5

y = g(x)

1 –1 0 –1

X 1

y = g(x)

y=x

1 –1 0 –1

X 1

¿Fue necesario aplicar la simetría en cada punto? Explica.

108

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2. Analiza el desarrollo. Luego, responde. y = f(x)

y = f(x) y=x

2 1 –3 –2 –1 0 –1

X 1

–2 –3

Sé más

Y y=x

Al gráfico de f se le aplica una reflexión con respecto a y = x, y se obtiene el gráfico de g.

1 –3 –2 –1 0 –1

X 3 y = g(x)

–2

Al aplicar una reflexión al punto A(a, b) con respecto a la recta y = x, se obtiene el punto A’(b, a), es decir, se invierten las coordenadas.

–3

a. ¿El gráfico de g representa una función? ▷ No, ya que hay elementos del dominio que tienen dos imágenes, por ejemplo, g(1) = 1 y g(1) = –1.

b. ¿Es inyectiva la función f? Justifica. c. ¿Cómo se puede confirmar gráficamente tu respuesta anterior? d. Si el dominio de f se modificara por [0, ∞[ o por ]–∞, 0], ¿qué ocurriría con el gráfico de g? ¿Representaría una función?

Ejercicios propuestos 1. Representa en el mismo gráfico la función inversa de cada función. a.

b. y = f(x)

Y y = g(x) y = h(x)

1 –3 –2 –1 0 –1

X 1

1 –3 –2 –1 0 –1

X 1

2 1

–3 –2 –1 0 –1

–2

–3

X 1

2. Analiza las afirmaciones. Luego, escribe V o F según corresponda. Justifica en tu cuaderno.

a. b. c. d.

El gráfico de la función inversa de f(x) = x es la recta y = x, si Dom(f) = ℝ. Del gráfico de f–1 se pueden estimar el dominio y el recorrido de f. Si el gráfico de g contiene al origen, entonces el gráfico de g–1 no contiene al origen. El gráfico de una función siempre es distinto al gráfico de su función inversa.

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Entonces, ¿cómo puede graficar las funciones inversas Nicolás? Contesta en tu cuaderno.

109

Lección 5: Función inversa

Conectando con... La recta

Función inversa de una función lineal y de una afín La función inversa de una función lineal es también una función lineal. De la misma forma, la función inversa de una función afín es también una función afín, Por ejemplo, utilizando la simetría de los gráficos: 3 2

Es el gráfico de las funciones lineales y de las funciones afines. Se puede obtener su ecuación conociendo dos de sus puntos. Para recordar este procedimiento, ingresa el código SP2m110 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Y y = f(x) A

y = f–1(x)

–2 –1 0 –1

y = g(x) Y 3 A y = g–1(x) 2 1 B' –2 –1 0 –1

3 X

–2

1x f(x) = 2x ⇒ f–1(x) = ___ 2

1 B

3 X A'

1 x + ___ 1 g(x) = –2x + 1 ⇒ g–1(x) = − ___ 2 2

Ejercicios guiados 1. Aplica la simetría de los gráficos de f y f–1 para determinar la regla de formación de f–1.

a. f(x) = 2x Sé más Las funciones lineales y afines son inyectivas, por lo tanto, siempre es posible determinar sus funciones inversas.

▷ Como los gráficos de f y f–1 son simétricos con respecto a y = x, entonces cada punto del gráfico de f–1 se obtiene de invertir las coordenadas del punto respectivo de f. Así: 1 x ⇔ f–1(x) = ___ 1x f(x) = 2x ⇔ y = 2x ⇔ x = 2y ⇔ y = ___ 2 2 Se invierten las coordenadas.

b. g(x) = –2x + 1

2. Analiza el método para determinar una función inversa. Luego, responde. ▷ Si g(x) = –2x + 1, entonces, se despeja la variable x y se intercambian las variables: 1 1 y + ___ 1 =x y = –2x + 1 / (–1) ⇒ y – 1 = –2x / · − ___ ⇒ − ___ 2 2 2 1 x + ___ 1 =y ⇒ − ___ 2 2 1 x + ___ 1 Por lo tanto, la función inversa de f tiene regla de formación: g−1(x) = − ___ 2 2 a. ¿Existe alguna semejanza entre el resultado de 1b y el método analizado en 2?

( )

b. ¿Cuál de los dos métodos crees que es más conveniente aplicar? Justifica.

110

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Ejercicios propuestos 1. Representa gráficamente cada función y su función inversa. Luego, determina su regla de formación. a. f(x) = 3__2 x 4

b. g(x) = 3x + 1 Y

1 –4 –3 –2 –1 0 –1

X 1

1 –4 –3 –2 –1 0 –1

–2

–3

–4

X 1

2. Resuelve junto a un compañero o compañera. Luego, compartan sus resultados. a. Aplica f a la f–1 obtenida en el ejercicio propuesto 1. ¿Qué puedes concluir? b. Investiga sobre la expresión f ◦ f–1(x), donde el símbolo ◦ es una operación

llamada “composición de funciones”. ¿Qué tiene que ver esa operación con las funciones inversas?

↘

¿Qué opinas de esto?

Según el INE, los hombres destinan un 2,5 % de su presupuesto mensual a comprar bebidas alcohólicas y tabaco, mientras que las mujeres, el 1,22 %.

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

Según un estudio del INE (2013), los hogares gastan más de acuerdo a los años de educación con los que cuente el jefe de hogar. Así, donde un jefe de hogar estudió en un instituto profesional, el gasto es de $991.825 al mes; si tiene educación universitaria, se gasta mensualmente de $1.569.345, mientras que si tiene el grado de magíster, se gasta al mes $2.501.054, en promedio. Supongamos que el gasto semanal de una familia en comida (C) depende de los ingresos mensuales I, de acuerdo con la función C = 0,031 · I + 18.000. ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la función inversa C–1? A. I = 31(C – 18.000) B. I = 0,031(C – 18.000) C. I = 31C – 18.000 1.000 C − 18.000 D. I = __________ 31 1.000 __________ (C − 18.000) E. I = 31

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111

Lección 5: Función inversa

Función inversa de la función cuadrática __

Se define la función raíz cuadrada g: 핉+ ∪ {0} → 핉+ ∪ {0} como g(x) = √x . Es decir, es la función que asocia a cada número real positivo y al cero, su raíz cuadrada. Su gráfico se puede obtener de la siguiente forma: 5 Un automóvil se mueve al partir con una aceleración constante a = 10 m/s2. La función que describe su movimiento rectilíneo 1 ax2, donde y es es y = __ 2 la distancia desde la partida y x, el tiempo transcurrido. ¿Qué representa ______ la función y = √ 0,2x ?

g(x) = √x 0 1 2 3

x 0 1 4 9

Y __

g (x) = √x

3 2 1 0

X 1

De la definición de raíz cuadrada, se tiene que es una función inyectiva. Luego, se puede determinar su función inversa. Aplicando simetría se tiene: 9

8 7

x 0 1 2 3

6 5 4

g (x) = √x

y = g–1(x) 0 1 4 9

2 1 0

X 1

Luego, g–1 corresponde a la función f: 핉+ ∪ {0} → 핉+ ∪ {0}, con f(x) = x2. Por lo tanto: __

f(x) = x2 ⇔ f–1(x) = √x

Es decir, la función inversa de la función cuadrática es la función raíz cuadrada, según los dominios y recorridos antes definidos.

Ejercicios guiados 1. Analiza la deducción de la inversa de una función cuadrática y responde. Si f: 핉+ ∪ {0} → 핉+ ∪ {0} con f(x) = x2 , se despeja la variable x para invertir las variables: y = x2

/√

⇒

√y = x

⇔

√x = y ⇒

√x = f–1(x)

Se intercambian las variables a. ¿En qué paso se hace necesario que Dom(f) = Rec(f) = 핉+ ∪ {0}? Explica.

b. Aplica f ◦ f–1(x) y f–1 ◦ f (x). ¿Qué puedes observar? 112

SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

↘ 2. Completa la deducción de la función inversa de f: 핉+ ∪ {0} → 핉+ ∪ {0} con f(x) = 9x2. y = 9x2

x = 9y2 __

√___

√x = 9y __

_____ ___

√

√x = √9 · y2 __

/ 1 / · ___ 3 /

√x = 3y 1 __ √__ x =y 3

Utilizar el gráfico de una función raíz cuadrada para determinar su función inversa

Practica esta estrategia. Para ello, considera el enunciado y sigue cada paso.

/ Se aplica el producto de raíces.

Taller de estrategias

Determina la función inversa de la función representada, si corresponde a una traslación de __

__ √ x f−1(x) = 1 3 ¿Qué pasos aplicarías para determinar f a partir de f–1?

f(x) = √x . 5

Y y = q(x)

4 3 2

Ejercicios propuestos

1. Analiza el Taller de estrategias. Luego, determina

la función inversa de cada función representada, si corresponden a traslaciones de la función __ f(x) = √x . 3 y = g(x)

X 1 2 y = p(x)

–1

Del gráfico se tiene que el extremo de y = q(x) es el punto (–1, 2). Aplicando la reflexión con respecto a y = x, el punto simétrico es (2, –1).

y = h(x)

–1

↘ Paso 1 Identificar y reflejar el extremo del gráfico

1 –2

–2

↘ Paso 2 Asociar a una parábola

Como q es una función raíz cuadrada, el gráfico de su función inversa es una parábola y el punto obtenido corresponde a su vértice:

–2

y = (x – 2)2 – 1

a. g–1(x) = b. h–1(x) = c. p–1(x) =

3 2

2. Determina en tu cuaderno la función inversa de

cada función. Considera Dom(f) = Rec(f) = 핉+ ∪ {0}.

a. f(x) = 16x2 b. f(x) = 0,01x

c. f(x) = 2√x

g. f(x) = 3√5x

f. f(x) = 12x2

i. f(x) = 2,25x2

____

h. f(x) = √6x

_______

Por lo tanto, ¿qué representa la función y = √0,2x ? Grafícala en tu cuaderno.

SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

____

__ d. f(x) = 1__3 √x 9 2 e. f(x) = ____ x 49

X –1

–1 –2

Ayuda

↘ Paso 3 Identificar la función inversa Del gráfico se tiene que: q–1: [2, ∞[ → [–1, ∞[, con q–1(x) = (x – 2)2 – 1 113

Lección 5

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Identifica cuáles de las representaciones de funciones admiten función inversa y constrúyela. Justifica cuando no se pueda.

b. 5

y = f(x)

11 13

17 19

–1

y = g(x)

X –1

–1

–2 x

1,0

1,1

1,5

1,7

2,1

g(x)

5,5

7,5

8,5

10,5

3. Determina la función inversa de cada función a partir de los datos entregados. a. f es una función afín con f(0) = 2 y f(–2) = 0.

c. x

–2

–1,5

h(x)

2. Identifica si en los gráficos se representan una función y su función inversa. Justifica.

b. g es una función lineal cuyo gráfico contiene el punto (–2, –3).

a. 4

c. h es una función afín con pendiente 1,5 y coeficiente de posición –2.

y = f(x)

3 2

y = g(x)

1 X –2

–1

0 –1

d. p es una función de proporcionalidad directa con constante 4.

–2

114

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4. Representa la función inversa de la función representada. Luego, resuelve.

b. El gráfico corresponde a una traslación del __ gráfico de h(x) = √x . Y

a. El gráfico corresponde a una parte de una parábola de f(x) = 4(x + 1)2 – 1. 4

4 y = g(x) 3

y = f(x) 3

X –3

–2

–1

X –3

–1

–2

–1

–3

–2

• Dom(f) =

Rec(f) =

• Dom(f–1) =

Rec(f–1) =

• ¿Cuál es el vértice de la parábola?

• ¿Cuál es la regla de formación de f–1?

• Si se considera que el gráfico de f–1 es una __ traslación del gráfico de g(x) =√x , ¿cuál es el vector de traslación?

• Dom(g) =

Rec(g) =

• Dom(g–1) =

Rec(g–1) =

• ¿Cuál es el vértice de la parábola?

• ¿Cuál es la regla de formación de g–1?

• ¿Cuál es la relación entre los gráficos de las funciones g–1 y h–1?

Identifiqué la función inversa de una función lineal y de una función afín. (Pregunta 3)

Analicé funciones cuadráticas y sus funciones inversas. (Pregunta 4)

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115

Lección

Cambio porcentual

Louis Pasteur

Se licencia en Ciencias y dos años más tarde obtiene el doctorado en la École Normale Supérieure de París.

Es nombrado profesor de química y Decano de Ciencias en la Universidad de Lille.

Nace en Dole, en la región de Jura, Francia.

1822

1840

↘ Cambio porcentual

Cambio porcentual

↘ Ecuación del cambio porcentual ↘ Gráfico del cambio porcentual

Muchos fenómenos de la vida involucran un cambio porcentual, es decir, una variación de una cantidad en términos de porcentajes. Por ejemplo:

↘ Interés compuesto

◾ Una entrada al cine de $3.500 aumentará su valor un 10 % el próximo mes.

↘ Aplicaciones

◾ Los departamentos de 4.200 UF disminuirán un 15 % su valor el año entrante.

En el primer caso, se tiene un cambio porcentual positivo del 10 %, mientras que en el segundo, un cambio porcentual negativo del 15 %, asociados al aumento y disminución, respectivamente. Además, existe un índice de variación (Iv) asociado a cada cambio porcentual que corresponde al factor por el cual se multiplica la cantidad para aplicarle el cambio.

Ejercicios guiados 1. Completa identificando el cambio porcentual y el índice de variación.

a. Una entrada al cine de $3.500 aumentará su valor un 10 % el próximo mes.

¿Cuál será su valor? ▷ La representación decimal del 10 % es 0,1, entonces, el nuevo valor se obtiene de: 3.500 + 10 % de 3.500 = 3.500 + 0,1 · 3.500 = (1 + 0,1) · 3.500 = 1,1 · 3.500 Es decir: 3.850 = 1,1 · 3.500 Donde el índice de variación (Iv ) es 1,1 y se aplicó un cambio porcentual positivo del 10%. Luego, el valor de la entrada será de .

b. Los departamentos de 4.200 UF disminuirán un 15 % su precio el año entrante. Ayuda Recuerda que un porcentaje es una fracción con denominador 100. Así, se puede expresar como fracción o decimal. Por ejemplo, el 10 % de a: 10 · a = 0,1a ______ 100

116

¿Cuál será el nuevo precio? ▷ La representación decimal del 15 % es 0,15. Así, el nuevo precio se obtiene de:

4.200 – 15 % de 4.200 = 4.200 – 0,15 · 4.200 = (1 – 0,15) · 4.200 = 0,85 · 4.200 Es decir:

Donde el índice de variación (Iv ) es y se aplicó un cambio porcentual negativo del %. Luego, el precio de los departamentos será de . En el ejercicio a se habla de un aumento, mientras que en el b, de una disminución. ¿Dónde se reflejan estos conceptos en el desarrollo de cada uno?

SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Es director del instituto que lleva su nombre, ubicado en la ciudad de Lille.

Fallece en Francia, a los 73 años, y deja un importante legado para la biología moderna y la bioquímica

Desarrolla la primera vacuna para bacterias de la historia.

1858

1895

2. Analiza cada situación y completa.

a. La temperatura de un objeto a cierta hora del día es 21 °C. Después de una hora, esta disminuyó un 30 %, quedando en 14,7 °C. Cantidad inicial

Cambio porcentual

Índice de variación (Iv)

Cantidad final

−30 %

0,7

14,7

Cantidad aumentada

Para conocer más sobre Louis Pasteur ingresa el código SP2m117 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

b. La población de una ciudad aumentó en un año de 25.600 a 25.856 habitantes, es decir, en un 1 %. Cantidad inicial

Cambio porcentual

Índice de variación (Iv)

Cantidad final

Cantidad aumentada

Ejercicios propuestos 1. Completa la tabla según la información dada. Enunciado

Cambio porcentual

Una fotografía se reduce en un 30 %.

¿Qué opinas de esto?

La obesidad en un país aumenta un 2,8 % al año. El precio de una entrada al cine disminuye un 15 %. La cantidad de insectos bajó un 4,5 %. El público del museo se duplicó con respecto al mes pasado. Las ventas bajaron una cuarta parte. Los turistas aumentaron una décima parte.

2. Analiza cada situación. Luego, contesta. a. El índice de variación de las precipitaciones entre junio y julio fue de 1,15. • ¿Cuál fue el cambio porcentual entre esos meses? • ¿Entre esos meses, se produjo un aumento o una disminución de las precipitaciones?

b. La tala de árboles en cierta región disminuyó un 12 % entre 2000 y 2005. • ¿Cuál fue el cambio porcentual? ¿Fue positivo o negativo? • ¿Cuál fue el índice de variación experimentado en ese período? SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

El impacto más dramático de la deforestación es la pérdida del hábitat de millones de especies. Setenta por ciento de los animales y plantas de la Tierra habitan los bosques y muchos no logran sobrevivir a la destrucción de su medio.

117

Lección 6: Cambio porcentual

Ecuación del cambio porcentual Un fenómeno que involucre un cambio porcentual constante de una cantidad entre dos períodos consecutivos, t y t + 1, se puede modelar con la ecuación: f(t + 1) = Iv · f(t) Clara dobla una hoja de papel por la mitad y repite este procedimiento 5 veces para observar el cambio porcentual del área. ¿Qué ecuación le permitiría realizar mejor su estudio?

Donde f(t) es la cantidad en el período t; f(t + 1), la del período t + 1; e Iv es el índice de variación. Por ejemplo: Altura de un árbol nativo Tiempo (años)

1998

1999

2000

2001

2002

Altura (m)

4,5

6,75

10,125

Considerando 1998 como el período 1, 1999 como el período 2 y así sucesivamente, y la función f que asocia a cada período t la altura h del árbol, se tiene la tabla: f(t) = h t

4,5

6,75

10,125

Donde: ◾ f(2) = 1,5 · f(1) ⇔ 3 = 1,5 · 2

◾ f(4) = 1,5 · f(3) ⇔ 6,75 = 1,5 · 4,5

◾ f(3) = 1,5 · f(2) ⇔ 4,5 = 1,5 · 3

◾ f(5) = 1,5 · f(4) ⇔ 10,125 = 1,5 · 6,75

Así, se observa un cambio porcentual constante del 50 % entre dos períodos consecutivos, es decir, un índice de variación Iv = 1,5. Entonces, para los períodos t y t + 1 se tiene: f(t + 1) = 1,5 · f(t)

Ejercicios guiados 1. Identifica la ecuación del cambio porcentual en cada situación completando.

a. Presión atmosférica Altura (m)

1.000

2.000

3.000

Presión (hPa)

1.000

880

774,4

681,472

▷ Considerando las alturas como los períodos 1, 2, 3 y 4, y la función g que asocia a cada altura h la presión atmosférica P, se tiene la tabla: Ayuda Observa que: 774,4 880 = ________ ________

1.000 880 681,472 = ___________ = 0,88 774,4

118

Además, el cambio porcentual es constante entre períodos consecutivos, ya que: • 880 = 0,88 · 1.000 • 774,4 = 0,88 · 880 • 681,472 = 0,88 · 774,4

⇔

g(2) = 0,88 · g(1)

⇔

g(4) = 0,88 · g(3)

⇔

g(3) = 0,88 · g(2)

Por lo tanto, la ecuación del cambio porcentual para este fenómeno es:

SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Sé más Proyección del dióxido de carbono en el aire a nivel mundial Año

2013

2014

2015

2016

2017

Concentración (ppm)

400,0

402,4

404,8

407,2

409,6

▷ Considerando la función h, que asocia a cada período de tiempo t (desde t = 1 para el año 2013) la concentración c de dióxido de carbono, se tiene la tabla: h(t) = c t c

La sigla ppm significa partes por millón. Por ejemplo, si la concentración de dióxido de carbono es de 400 ppm, significa que existen 400 partículas de dióxido de carbono por cada millón de partículas de aire.

Se puede observar un cambio porcentual constante, ya que: Desafío Por lo tanto, la ecuación del cambio porcentual para este fenómeno es:

Ejercicios propuestos 1. Determina la ecuación del cambio porcentual asociada a cada situación. Explica sus elementos en tu cuaderno.

a. b. c. d.

Las ventas de una tienda crecen un 5 % mensualmente. Un glaciar reduce su volumen un 8,9 % cada 10 años. La deuda externa de cierto país tiene un índice de variación de 1,09 anual. La población de roedores aumenta una centésima parte cada dos meses.

Demuestra que f(t + 1) = Iv · f(t) es equivalente a : • f(t + 1) – f(t) = a · f(t), para un cambio porcentual positivo del a %. • f(t + 1) – f(t) = –a · f(t), para un cambio porcentual negativo del a %.

2. Verifica en tu cuaderno que cada situación corresponde a un fenómeno de cambio porcentual constante. Luego, responde.

a. Cantidad de agua extraída por una máquina desde un pozo Mes

marzo

abril

mayo

Volumen (m3)

2.000

2.040

2.080,8

junio

julio

agosto

2.122,42 2.164,86 2.208,16

• Si la máquina siguiera trabajando bajo las mismas condiciones hasta noviembre, ¿cuánta agua extraería dicho mes? • ¿Se podría responder la pregunta anterior conociendo solo los datos de marzo y abril? Justifica.

b. Una ciudad de 450.000 habitantes tiene una tasa de crecimiento anual del 2 %, y es constante a partir del año 2003.

• ¿Cuál es la ecuación del cambio porcentual que modela la situación? • ¿Se podría saber la cantidad de habitantes en cualquier año conociendo solo la población actual y su tasa de crecimiento? SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Por lo tanto, ¿qué ecuación le serviría a Clara? Responde en tu cuaderno.

119

Lección 6: Cambio porcentual

Gráfico del cambio porcentual Conectando con... Producto Interno Bruto (PIB)

Es el valor total de los bienes y servicios producidos dentro de un país en un período determinado. Para saber más, ingresa el código SP2m120 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

El gráfico de un fenómeno que presenta un cambio porcentual constante se puede representar mediante una curva, según el tipo de cambio: Y

Cambio porcentual positivo

Cambio porcentual negativo

Ejercicios guiados 1. Analiza cada situación. Luego, resuelve.

a. El precio de un artículo electrónico disminuye un 25 % cada año después de su compra. Cuando se compró, el artículo costó $1.200.000. Entonces: • Completa la tabla. Tiempo (años)

Precio ($)

1.200.000

900.000

675.000

• ¿Cuál es la ecuación del cambio porcentual de la situación? ▷ Es f(t + 1) = 0,75 · f(t), donde f es la función que asocia a cada año t el precio del artículo. • ¿Qué características tiene el cambio porcentual de la situación? ¿Cuál es su índice de variación? ▷ Es negativo, ya que involucra una disminución de una cantidad y su índice de variación es 0,75. • Representa gráficamente los datos de la tabla. Desafío ¿Es cierto que un cambio porcentual positivo genera un Iv mayor que 1, mientras que un cambio porcentual negativo, un Iv menor que 1? Justifica.

Precio ($) 1.200.000

1.000.000

800.000

600.000

Curva que representa los datos

400.000 200.000 0

3 4 5 Tiempo (años)

600.000 400.000 200.000 0

3 4 5 Tiempo (años)

• Si se continúa graficando, ¿el artículo tendrá costo cero alguna vez? Explica.

120

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Ejercicios propuestos 1. Completa la tabla y responde. Proyección del consumo eléctrico de un país

Energía (TWH) 130 120 110

Tiempo (año)

Energía (TWh)

2014

2015

85,6

2016

100

2017

2018 2019

2020

2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 Tiempo

2021

a. ¿El consumo de energía eléctrica aumentará o disminuirá en ese país? ¿Cuál es el Iv?

b. ¿Cuál es la ecuación del cambio porcentual asociada a la situación? 2. Analiza los datos de la tabla y represéntalos gráficamente. Luego, responde. PIB (USD) 18.000 PIB per cápita Año

USD

2009

17.853

2010

15.889

2011

14.141

2012

12.585

2013

11.201

2014

9.969

16.000 14.000

¿Qué opinas de esto?

12.000 10.000

2009

2010 2011 2012

2013 2014 Tiempo (años)

a. De acuerdo al gráfico, ¿es posible que la variación del PIB per cápita presente un cambio porcentual constante? ¿Cuál es el Iv aproximadamente?

b. Según los datos, ¿qué está ocurriendo con la economía en ese país?

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Las centrales hidroeléctricas, pese a ser un sistema de producción de energía eléctrica para el país, son parte de una importante discusión para los ecologistas, debido al impacto sobre el medioambiente.

121

Lección 6: Cambio porcentual

Interés compuesto La fórmula del interés compuesto es: Cf = Ci(1 + i)n Donde Cf es el capital final que se obtiene a partir de un capital inicial Ci luego de aplicarle una tasa de interés i durante n períodos. Este es un tipo de ecuación de cambio porcentual constante aplicada n veces. Después, como C2 se obtiene de aplicarle el interés a C1; C3, de aplicarle el interés a C2 y así sucesivamente, se tiene: Andrea quiere depositar 3 millones de pesos a 4 años en uno de los siguientes bancos: Banco

Con i: interés anual y k: períodos de capitalización.¿En cuál de ellos le conviene depositar para obtener mayor capital final?

⇒

C2 = C1 · (1 + i)

⇒

C3 = C2 · (1 + i) = C1 · (1 + i) · (1 + i) = C1 · (1 + i)2 C4 = C3 · (1 + i) = C1 · (1 + i)2 · (1 + i) = C1 · (1 + i)3 ⋮

Cn + 1 = Cn · (1 + i) = C1 · (1 + i)n – 1 · (1 + i) = C1 · (1 + i)n ⇕

f(n + 1) = Iv · f(n)

C2 = C1 · (1 + i)1 C3 = C1 · (1 + i)2

⇒

C4 = C1 · (1 + i)3

⇒

Cn + 1 = C1 · (1 + i)n

⋮

⇕

f(n + 1) = (Iv)n · f(1)

Es decir, Iv = 1 + i.

Ejercicios guiados 1. Aplica el cambio porcentual constante y el interés compuesto. Luego, contesta.

a. Si a un capital inicial de $240.000 se aplica el 5 % de interés compuesto mensual, ¿cuál es el capital final luego de 4 meses? Cambio porcentual constante Iv = 1,05, ya que el cambio porcentual es positivo, del 5 %. Luego, la ecuación asociada es: f(t + 1) = 1,05 · f(t) con f(0) = 240.000. Así: f(1) = 1,05 · f(0) = 1,05 · 240.000 = 252.000 f(2) = 1,05 · f(1) = 1,05 · 252.000 = f(3) = 1,05 · f(2) = 1,05 · 264.600 = f(4) = 1,05 · f(3) = 1,05 · 277.830 = Es decir, al cabo de 4 meses el capital final f(4) es de $291.722.

Interés compuesto El capital inicial es Ci = 240.000; el interés es i = 0,05 y el número de períodos es n = 4. Así, el capital final Cf, se obtiene de: Cf = Ci · (1 + i)n Cf = 240.000 · (1 + 0,05)4 Cf = 240.000 · 1,054 Cf = 240.000 · 1,21550625 Cf = Por lo tanto, el capital final luego de 4 meses es de .

• ¿Qué semejanzas puedes observar entre los dos métodos? • ¿Cuál de ellos crees que es más conveniente utilizar? ¿Por qué?

122

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↘ b. Felipe solicita un crédito hipotecario de 3.600 UF

con un interés anual del 4,5 % a 25 años. ¿Cuál es el monto final que deberá pagar? Interés compuesto Ci = 3.600; i = 0,045 y n = 25. Entonces:

Cambio porcentual constante Iv = 1,045. Entonces:

• ¿Es conveniente utilizar el cambio porcentual constante en este caso? Justifica.

Taller de estrategias

Utilizar una hoja de cálculo para el cálculo de interés compuesto

Practica esta estrategia. Para ello, considera el enunciado y sigue cada paso. Don Ricardo le dejó de herencia a su nieto Pedro la cantidad de $50.000 en 1999. Le pidió a su hijo, el padre de Pedro, que invirtiera el dinero y se lo entregara dentro de 20 años. La mejor opción que encontró tenía una tasa del 17 % anual. ¿Cuál será el valor futuro de la inversión al final, si se capitaliza anual, semestral, mensual o diariamente? ↘ Paso 1 Crear una hoja de cálculo Se crea una hoja de cálculo con la siguiente información:

Ejercicios propuestos 1. Analiza el Taller de estrategias y resuelve en tu cuaderno.

a. Gabriel depositará un millón de pesos en un

banco a 5 años con una tasa de interés anual del 3 %. ¿Cuál será el capital final de Gabriel después de 5 años? b. Magdalena desea tener 2 millones de pesos dentro de 5 años. Si un banco le ofrece una tasa de 4 % anual, ¿cuánto dinero debe depositar Magdalena para obtener esa cantidad? c. Una persona ahorra $400.000 a una tasa del 4 % anual de interés compuesto. Si no retira su ahorro, ¿en cuántos años el monto ahorrado superará por primera vez los $500.000?

2. Investiga, junto con un compañero o una

compañera, sobre los períodos de capitalización del interés compuesto. Luego, resuelve.

↘ Paso 2 Asignar las fórmulas en cada celda Asignar a C3 → =C2/2, C4 → =C2/12, C5 → =C2/365, D3 → =D2*2, D4 → =D2*12, D5 → =D2*365 para generar el interés y el número de períodos. Finalmente, en E2 → =$A$3*POTENCIA((1+C2/100);D2) y copiar hasta E5 para obtener al capital final. ↘ Paso 3 Ingresar los datos del problema En A3 se ingresan 50.000; en C2, 17 y en D2, 20.

a. Se depositan $350.000 en un banco con un 3 %

anual de interés compuesto. ¿Cuál será el capital final a los dos años con un período capitalizable cuatrimestral? b. Si a un capital inicial de 2 millones de pesos se le aplica el 2 % de interés compuesto anual, ¿cuál es el capital final luego de 5 años con períodos de capitalización semestrales? Finalmente, ¿dónde le conviene depositar a Andrea? Justifica en tu cuaderno.

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Luego, en la columna E se pueden observar los distintos capitales finales, según el tipo de interés. 123

Lección 6: Cambio porcentual

Aplicaciones Conectando con... Bosques en Chile

Los cambios porcentuales constantes se presentan en varios ámbitos de la vida. Por ese motivo, la aplicación de este concepto permite modelar y resolver muchos problemas. Para ello se deben identificar: la cantidad inicial, el tipo de cambio porcentual y la ecuación que los relaciona.

Ejercicios guiados Los bosques de nuestro país representan el 22,9 % de la superficie del territorio nacional. Para saber más, ingresa el código SP2m124 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

1. Analiza la información. Luego, completa cada desarrollo. Si la temperatura de un objeto disminuye lentamente dentro de un ambiente, entonces, a partir de la ley de enfriamiento de Newton, se puede modelar esa situación como: T(t + 1) – T(t) = –a · (T(t) – TA) Donde T es la temperatura del objeto en el instante t, TA es la temperatura del ambiente y a es el cambio porcentual negativo de la temperatura.

a. En una panadería, que mantiene una temperatura ambiente constante de 21 °C, el pan sale del horno a 180 °C. Para mantener su calidad, cada 10 minutos se registra la temperatura del pan luego de salir del horno. • Si a los 10 minutos su temperatura es de 165 °C, ¿cuál es el cambio porcentual? ▷ De los datos, se tiene que T(0) = 180, T(10) = 165 y TA = 21. Entonces: T(t + 1) – T(t) = –a · (T(t) – TA) 165 – 180 = –a · (180 – 21)

⇒

T(10) – T(0) = –a · (T(0) – TA)

⇒

–15 = –a · 159 15 –15 = –159a ⇒ a = ______ ≈ 0,094 159 Es decir, el cambio porcentual negativo es de un 9,4 %. • ¿Cuál será la temperatura a los 30 minutos, si se mantiene constante el cambio porcentual?

b. Una persona introduce en su refrigerador una lata de bebida que está a 20 °C. Si

la temperatura al interior del refrigerador es de 8 °C, la lata de bebida disminuye su temperatura en un 10 % cada 2 minutos. • ¿Cuál será la temperatura de la lata de bebida a los 4 minutos? T(0) = 20 °C, TA = 8 °C y a = 0,1. Entonces: • ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que la lata de bebida esté a menos de 16 °C?

124

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Ejercicios propuestos 1. Analiza la información. Luego, resuelve. Ciertas poblaciones crecen anualmente en un porcentaje constante de la población actual. Este crecimiento se puede analizar con el modelo: Pn = Po · (1 + r)n Llamado modelo geométrico de crecimiento, donde Pn es la población estimada para el período n; Po, la población actual y r, una constante de crecimiento geométrico.

a. La población de San Juan ha crecido geométricamente con constante 0,0201 desde 1992, cuando tenía 21.091 habitantes. Con esas condiciones, ¿qué población se estima para 2018?

b. ¿Después de qué año la población de San Juan se podría duplicar?

2. Analiza la situación. Luego, resuelve. Un bosque de árboles tiene un volumen de madera aproximado en 100.000 m3 para el año 2015 y se estima un crecimiento anual del volumen de madera en un 3 %.

a. ¿Cuál es la ecuación que modela este crecimiento? b. ¿En qué año el volumen de madera se duplicará?

↘

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

Para la producción de yogur, se necesitan bacterias lácteas. Estas poblaciones de bacterias aumentan de acuerdo a un crecimiento porcentual constante. Si en el comienzo de las observaciones hay 30.000 bacterias en un ml de leche, una hora después el número de bacterias asciende a 35.000. ¿Cuál es el cambio porcentual de la población de bacterias lácteas por hora? A. 0,16 % _

B. 0,16% C. 0,85 % _

D. 16,6 % _

E. 116,6 %

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125

Lección 6

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Completa las secuencias según la condición dada. a. Crecimiento porcentual constante del 10 %. ,

100,

b. Se espera que el nivel de agua caída aumente de forma constante un 0,5 % cada día de esta semana.

b. Cambio porcentual negativo del 20 %. ,

500,

Día Lunes

Martes

c. Cambio porcentual constante del 25 %. , 500,

Viernes

, 800,

Domingo

4. Expresa como una ecuación de cambio porcentual constante cada una de las expresiones.

2. Completa la tabla. Índice de variación Iv

Cambio porcentual

12,06

Jueves

d. Decrecimiento porcentual constante del 50 %. ,

Nivel (mm)

Positivo o negativo

a. f(t + 1) – f(t) = 0,02 · f(t)

1,52

b. g(t + 1) – g(t) = –0,1 · g(t)

0,97 35 %

Negativo

12 %

Positivo

3. Representa cada situación mediante una ecuación de cambio porcentual constante, y completa. a. El precio de las acciones de una empresa ha experimentado una disminución mensual constante de un 8 % desde marzo.

c. h(t + 1) – h(t) = 0,5 · h(t)

d. f(t + 1) – f(t) = –0,07 · f(t)

5. Analiza las afirmaciones con respecto al gráfico de un cambio porcentual constante y escribe V o F según corresponda. Justifica.

Mes

Precio ($)

Marzo Abril Mayo Septiembre Diciembre

126

Su gráfico es una línea curva continua.

Puede ser creciente o decreciente.

Siempre contiene al origen del plano.

Un gráfico decreciente representa un Iv negativo.

Un cambio porcentual positivo se representa con un gráfico creciente.

839,808

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6. Completa la tabla identificando qué curva representa a cada ecuación. A

b. El gráfico representa al público asistente a un museo:

D Público 12.000

Público mensual que asiste al museo 11.500

11.000 10.000 9.000 8.000

0 Ecuación

X Curva

7.000

10.379 9.860 9.367 8.898 8.454

6.000

f(t + 1) = 1,4 · f(t)

Jul Mes

f(t + 1) = 0,4 · f(t)

Ene Feb Mar Abr May Jun

f(t + 1) = 1,9 · f(t)

• ¿Cuál es la ecuación de cambio porcentual asociada al gráfico?

f(t + 1) = 0,6 · f(t)

10.925

• Bajo las mismas condiciones, ¿qué cantidad de público se espera que asista en octubre?

Resuelve los problemas. a. El cambio porcentual constante del precio de un producto se puede modelar como P(t + 1) = 1,15 · P(t), donde t es el mes y P el precio.

c. Daniela y Renato solicitarán un crédito hipotecario de 2.700 UF en un banco que aplica un interés compuesto anual del 5,5 % a un plazo de 25 años.

• ¿Cuál es el índice de variación del precio?

• ¿Cuál será el monto final que deberán pagar Daniela y Renato?

• Si P(0) = 1.200, ¿cuál será el precio en 5 meses más?

• ¿Cuál será el valor de cada cuota mensual?

Reconocí y representé la ecuación del cambio porcentual constante. (Preguntas 3 y 4)

Analicé el gráfico de un cambio porcentual constante. (Preguntas 5 y 6)

Resolví problemas de aplicación del cambio porcentual constante. (Pregunta 7)

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127

UNIDAD

↘ Taller de Resolución de problemas

1. Analiza los pasos utilizados en la resolución del problema. Francisca estudiará un año en Minnesota, Estados Unidos, donde la temperatura media en invierno es de 12 °F y en verano es de 74 °F, y no sabe cuál es la ropa más adecuada para llevar. Para eso, investigó y encontró una relación lineal, representada por una función afín, entre la escala Celsius y la Fahrenheit, donde 0 °C corresponde a 32 °F y 100 °C equivalen a 212 °F.

1 2 3 Paso

Comprende el enunciado Se conocen las temperaturas medias del estado en donde vivirá, así como algunas equivalencias entre las escalas Celsius y Fahrenheit, y que la relación involucrada es una función afín.

Paso

Planifica lo que vas a realizar Determinar el coeficiente de posición y la pendiente de la función afín involucrada en la situación a partir de las equivalencias entre las escalas.

Paso

Resuelve el problema La función afín entre la temperatura en grados Fahrenheit (TF) y la temperatura en grados Celsius (TC) tiene la forma TF = a · TC + b. Como 0 °C equivale a 32 °F, entonces: 32 = a · 0 + b ⇒ b = 32

Además, como 100 °C equivalen a 212 °F, entonces: 212 − 32 ______ 9 a = _____________ = 180 ⇒ a = ___ 5 100 − 0 100 Luego, la función que relaciona ambas escalas de temperatura es: 9 TF = ___ TC + 32 5 Como Francisca desea conocer la temperatura en grados Celsius, tuvo que encontrar la función inversa, esto es: 5 9 9 TF = ___ TC + 32 ⇒ TF − 32 = ___ TC ⇒ ___(TF − 32) = TC 5 5 9 Por lo tanto, obtuvo la expresión de la temperatura TC en función de TF: 5 TC = ___(TF − 32) 9 Luego, calculó los valores de las temperaturas medias: 5 • En invierno: TF = 12 °F ⇒ TC = ___(12 − 32) ≈ –11,1, es decir, –11 °C, aproximadamente. 9 5 • En verano: TF = 74 °F ⇒ TC = ___(74 − 32) ≈ 23,3, es decir, 23,3 °C, aproximadamente. 9 Por lo tanto, para su viaje Francisca debe llevar una mayor cantidad de ropa abrigada.

4 Paso

128

Revisa la solución Para corroborar los resultados, Francisca reemplazó los valores encontrados en la expresión 9 9 9 TF = ___ TC + 32. Esto es: TF = ___ · (−11) + 32 = 12,2 ºF y TF = ___ · 23 + 32 = 73,4 °F, que son las 5 5 5 temperaturas que ella conocía en un principio. SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

2. Resuelve los problemas. Para ello, guíate por los pasos estudiados en la página anterior. ___ mv2, donde a. La energía cinética de un objeto en movimiento está dada por la expresión K = 1 2 m es la masa y v la rapidez del objeto. Si una persona de masa 68 kg está en movimiento, ¿cuál es su rapidez en función de la energía cinética?

b. Si el área de la superficie de la esfera está dada por: A = 4πr2, ¿cuál es la expresión que representa el radio r en función del área A?

c. Si la relación entre los kelvin y los grados Celsius es lineal y 0 °C equivale a 273,15 K, ¿cómo se puede expresar kelvin en función de los grados Fahrenheit?

d. El costo, en millones de pesos, para producir un artículo está dado por la expresión C(x) = 36 – 18x + 3x2, donde x es la cantidad de unidades producidas. ¿Cuántas unidades habría que producir para que el costo fuera el mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo?

e. Una tasa de interés compuesto se aplicó a un capital de $1.500.000. Al transcurrir 4 años, el capital era de $2.360.279. ¿Cuál es la tasa de interés?

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129

UNIDAD

Modelamiento de pregunta tipo PSU Analiza el siguiente ejemplo de una pregunta de alternativas tipo PSU. De acuerdo a la función f(x) = –x2 + 4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. El eje de simetría corresponde al eje de las ordenadas. II. El vértice de la parábola es (0, 4). III. f(–2) = 8

La pregunta involucra los conceptos de función cuadrática y parábola.

A. Solo I B. Solo I y II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III Clave: B b, En (I) el eje de simetría es la recta x = − ____ 2a entonces, 0 ⇒ x = 0, lo que corresponde al eje x = − ______ 2·1 de las ordenadas. Por lo tanto, esta afirmación es verdadera. En (II) el vértice de la parábola es el punto b , f −____ b . Esto es: f(0) = –02 + 4 = 4. −____ 2a 2a Entonces, el vértice es el punto (0, 4).

(

))

Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido revisando la Lección 4 del Texto y las páginas respectivas de tu Cuaderno de ejercicios.

Por lo tanto, la afirmación es verdadera. En (III), f(–2) = –(–2)2 + 4 f(–2) = –4 + 4 f(–2) = 0 Por lo tanto, esta afirmación es falsa. Distractores: A. Esta alternativa es incorrecta, pues solo considera que (I) es verdadera y no (II). C. Esta alternativa es incorrecta, pues considera que (I) y (III) son verdaderas, y (III) es falsa. D. Esta alternativa es incorrecta, pues considera que (II) y (III) son verdaderas, y (III) es falsa. E. Esta alternativa es incorrecta, pues considera que (I), (II) y (III) son verdaderas, y (III) es falsa. 130

Los errores cometidos al inclinarse por uno de estos distractores son: • Confundir el concepto de función cuadrática. • No reconocer la representación gráfica de la función cuadrática. • Identificar erróneamente el vértice de una parábola. • Evaluar incorrectamente en la función cuadrática. SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Ahora completa el modelamiento de una pregunta de alternativas tipo PSU. Para ello, completa cada sección según lo estudiado en la página anterior. ¿Qué valor debe tener la constante p en la ecuación (p + 1)x2 – 5px + 3 = 0, para que una de sus raíces sea –3? 1 A. − ___ 2 B. 2 C. 1__ 2 ___ D. − 1 4 3 ___ E. − 4

Esta pregunta involucra los conceptos de:

Clave: A.

Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido, revisando la Lección

del Texto y las páginas respectivas de tu

Cuaderno de ejercicios.

Distractores: B. Al evaluar –3: (p + 1)(–3)2 – 5p · (–3) + 3 = 0 se comete un error al multiplicar –5p · (–3) obteniendo –15p. Así, se respondió que p es 2. C. Luego de evaluar –3 en la ecuación, se llega a la expresión 24p + 12 = 0. Al resolver esta ecuación, se comete un error al despejar y se considera 24p = 12. Así, se contesta que el 1. valor de p es ___ 2 D. En el desarrollo de

Los errores cometidos al inclinarse por alguno de estos distractores son:

(p + 1)(–3)2 – 5p · (–3) + 3 = 0 Se considera erróneamente que equivale a (p + 1) · (–9) – 15p + 3 = 0. Así, se obtiene que ___. p es − 1 4 E. Al multiplicar (p + 1) · 9 se obtiene errónea3 mente p + 9. Así, se contesta que p es − ___. 4 SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

131

UNIDAD

Evaluación final

Lee y responde las siguientes preguntas relacionadas con lo aprendido en esta unidad. I. Marca la alternativa que consideres correcta. 1. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones es (son) de segundo grado? I. (x + 7)2 = x2

5. Si el discriminante de la ecuación kx2 + 6x + 2 = 0 es 12, ¿cuál es el valor de k? A. –16 B. –3 C. 3

II. 2x2 – 3 = 0

D. 6

III. (5x – 9)2 = x2 – 4x A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II

E. 16 6. Una ecuación de segundo grado cuyas raíces x 1 y x 2 satisfacen las igualdades x 1 + x 2 = –1 y x1 · x2 = 6 es:

D. Solo II y III

A. x2 + x + 6 = 0

E. I, II y III

B. x2 – 6x – 1 = 0 C. x2 + x – 6 = 0

2. Las raíces de la ecuación x2 + 2x – 63 = 0 son:

D. x2 + 6x + 1 = 0

A. 9 y 7

E. x2 – x – 6 = 0

B. –9 y –7 C. 9 y –7

D. –9 y 7 E. No tiene raíces reales. 3. 3. La factorización que permite resolver la ecuación x2 + 3x – 54 = 0 es: A. (x + 9)(x – 6) = 0 B. (x + 18)(x – 3) = 0 C. (x – 9)(x + 6) = 0

El producto de dos números pares consecutivos positivos es 168. ¿Cuál es el sucesor del número menor? A. 1

D. 14

B. 11

E. 15

C. 13 8. Pablo es 4 años mayor que Andrés y la suma del cuadrado de sus edades es 208. ¿Cuántos años tiene Pablo?

D. (x – 18)(x + 3) = 0

A. 4 años

E. (x – 9)(x – 6) = 0

B. 8 años C. 12 años

4. Si las raíces de la ecuación 3x2 – 5x + 1 = 0 son x1 y x2, entonces el valor de (x1 + 1)(x2 + 1) es:

D. 20 años E. 52 años

A. 3 B. 2 C. –1 D. − 1___ 3 7 ___ E. 3

¿En qué puntos interseca al eje X la parábola f(x) = x2 – 6x – 27? A. (0, 9) y (0, –3) B. (9, 0) y (3, 0) C. (–9, 0) y (3, 0) D. (0, –9) y (0, 3) E. (9, 0) y (–3, 0)

132

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10. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) una función cuadrática? Y Y III. I. X

II.

Y X

D. Solo I y III

B. Solo II

E. I, II y III

C. Solo III

II. f(x) = x2 – 4x

A. Solo I

D. Solo I y III

B. Solo II

E. I, II y III

C. Solo I y II 12. ¿Cuál es el vértice de la parábola que representa la función f(x) = x2 + 4x + 5? A. (2, 1)

D. (–2, –1)

B. (1, –2)

E. (–2, 1)

C. (1, 2) 13. ¿Cuál es la forma canónica de la función f(x) = x2 + 6x + 10?

D. f(x) = (x + 6)2 + 9 E. f(x) = (x – 3)2 + 1

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B. Solo II

E. I, II y III

15. La trayectoria de un proyectil está dada por la expresión y(t) = 80t – t2, donde y(t) representa la altura en metros y t el tiempo en segundos. ¿En cuáles de los siguientes valores de t, el proyectil alcanza una altura de 700 m? I. 10 segundos.

III. 70 segundos. A. Solo I

D. Solo I y II

B. Solo II

E. Solo I y III

C. Solo III

III. f(x) = 2x2 + 6x – 1

C. f(x) = (x + 3)2 + 1

D. Solo I y III

II. 40 segundos.

11. ¿Cuál(es) de las siguientes funciones tiene(n) el mismo eje de simetría? I. f(x) = x2 + 3x + 7

B. f(x) = (x – 6)2 – 9

A. Solo I C. Solo I y II

A. Solo I

A. f(x) = (x – 3)2 – 1

14. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a la parábola de f(x) = x2 – 15x + 56? I. Sus raíces son x1 = 7 y x2 = 8. 15 II. Su eje de simetría es x = ____ . 2 III. Interseca al eje Y en (56, 0).

16. La ganancia G de una empresa constructora se puede modelar con la función G(x) = –x2 + 2x + 8, donde x representa el número de casas que construyen semanalmente. ¿Cuántas casas debe construir a la semana para obtener la máxima ganancia? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 17. La función inversa de f(x) = 21x corresponde a: A. f–1(x) = –21x x B. f–1(x) = ____ 21 x C. f–1(x) = −____ 21 1 D. f–1(x) = ______ 21x 1 E. f–1(x) = − ______ 21x

133

UNIDAD Evaluación final 18. ¿Cuál de los siguientes diagramas representa a una función que NO tiene función inversa? A.

20. La función inversa de f(x) = 9x2 es: A. f–1(x) = –9x2 2 B. f–1(x) = x___ 9 __ C. f–1(x) = 9√x

–3

B. 44

C. 12,8

–5

A. 6

C. 18

x D. f–1(x) = 3√ __ x √ _____ –1 E. f (x) = 3

21. La secuencia 100, 80, 64,… se genera por un cambio porcentual negativo de un 20 %. Entonces el término siguiente es: A. 51,2

D. –16 E. 4 22. Si f(t + 1) – f(t) = 0,4f(t) y f(0) = 15, ¿cuál es el valor de f(2)? B. 7,2 D. 29,4

E. Otro valor

10 20 40

23. Si se depositan m pesos con un interés compuesto del 3 % semestral, el monto que se obtiene luego de 4 años está dado por: A. m · 1,032 B. m · 1,033

C. m · 1,034 5

19. Con respecto al gráfico de la inversa de una función lineal, es correcto afirmar que: A. es una línea recta que no pasa por el origen. B. es una línea recta que pasa por el origen. C. su dominio son los números enteros. D. su recorrido son los números enteros. E. su existencia depende de la función lineal. 134

D. m · 1,036 E. m · 1,038 24. La superficie de un bosque es de 10.000 hectáreas. Si cada semana se tala el 10 % de la superficie, ¿cuánta superficie de bosque queda luego de 4 semanas? A. 3.439 hectáreas. B. 4.641 hectáreas. C. 6.000 hectáreas. D. 6.561 hectáreas. E. 14.641 hectáreas.

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II. Resuelve las siguientes preguntas de suficiencia de datos. 25. Se pueden determinar las coordenadas del vértice de la parábola f(x) = x2 + bx + c si: (1) c = 1 – b (2) Interseca al eje X en x1 = 4 y x2 = 5.

27. La ecuación de un cambio porcentual se puede determinar si: (1) El índice de variación es 1,3. (2) El cambio porcentual es constante del 30 %.

A. (1) por sí sola.

B. (2) por sí sola.

C. Ambas juntas, (1) y (2).

D. Cada una por sí sola, (1) o (2).

E. Se requiere información adicional.

26. En una fotocopiadora se quiere escanear una imagen rectangular cuyo largo es 15 cm mayor que el ancho. ¿Cuáles son las medidas del largo y ancho de la imagen? (1) El perímetro de la imagen es 110 cm. (2) El área de la imagen es 700 cm2.

28. Se deposita un capital (Ci) con una tasa de interés compuesto anual (i). ¿En cuánto tiempo se triplicará el capital? (1) Ci = $5.000.000 (2) i = 3 %

A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las respuestas correctas que hayas conseguido. I. Preguntas de alternativas Identifiqué ecuaciones de segundo grado y resolví problemas. (Preguntas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8)

Identifiqué la función cuadrática y la apliqué para resolver problemas. (Preguntas 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16)

Analicé y calculé la función inversa de una función. (Preguntas 17, 18, 19 y 20)

Calculé y resolví problemas de cambio porcentual. (Preguntas 21, 22, 23 y 24)

de 8 de 8 de 4 de 4

II. Preguntas de suficiencia de datos Resolví problemas relacionados con funciones cuadráticas. (Preguntas 25 y 26)

Apliqué el concepto de cambio porcentual. (Preguntas 27 y 28)

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de 2 de 2

135

136

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Unidad

Geometría 7 8 9

Esfera Razones trigonométricas Trigonometría y vectores

La trigonometría es una rama de la matemática que investiga las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Hace más de 3.000 años, los babilonios y los egipcios fueron los primeros en utilizar ángulos y razones trigonométricas para efectuar trabajos en agricultura y construir pirámides. También se desarrolló en la astronomía mediante la predicción de rutas y posiciones de los cuerpos celestes, para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo. Si bien la palabra trigonometría deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida; el hombre la ha empleado para calcular áreas, distancias, trayectorias, en el estudio de la mecánica, y en el triángulo astronómico, que se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella, etc. 1. ¿Conoces la latitud y la longitud de la ubicación de tu colegio? 2. ¿Cómo podrías calcular la altura del volcán Osorno? 3. ¿Cuál es la diferencia entre rapidez y velocidad? 4. ¿Por qué las cúspides de muchas catedrales, como la de San Pedro en el Vaticano, tienen forma de semiesfera?

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137

UNIDAD

Evaluación inicial

Resuelve la siguiente evaluación para iniciar la unidad de Geometría. 1. Calcula el área (A) y el perímetro (P) de las figuras geométricas.

3. Completa la tabla calculando el área y el volumen de un cubo. Arista (cm)

a. Círculo de centro O.

Área (cm2)

Volumen (cm3)

2 O

4 cm

x x+1

4. Encuentra el valor de la incógnita en cada triángulo.

C 2α

P= b. Semicírculo de centro O.

40°

A O

α=

120 mm

C 3β

60° A

2. Calcula el área (A) de la superficie y el volumen (V) de los cuerpos geométricos. a.

A= 9 cm

β= C

5 cm

6 cm

A= 15 cm

138

4γ

γ=

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5. Analiza los triángulos. Luego, determina el valor de la incógnita y la medida de cada lado. a.

x cm

q = (−8, 2). _›

_›

b. 4( p + q ) = _______

8 cm

_› Resuelve considerando que p = (4, −1) y _ ›

a. 3 p + 5 q =

(x + 2) cm

6 cm

√x + 1 cm

_›

c. 7 q − p = _›

_›

d. − p + 3 q =

B A √_______ x + 1 cm B

8. Calcula la magnitud de los vectores representados.

6. Representa gráficamente los vectores en el plano cartesiano. _›

_›

a. u = (−5, 1)

c. t = (2, −3)

b. v = (1, 4)

d. w= (−5, −3)

_›

1 b –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

4 3

_›

1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

_›

__›

X 1

–3 –4

X 3

_›

–2 –3 –4

–2

_›

–5 _

| a› | =

| c› | =

| e› | =

| b› |=

| d› | =

| f› | =

–5

(Pregunta 1)

Calculé el área y el volumen de cuerpos geométricos. (Preguntas 2 y 3)

Resolví problemas de triángulos. (Preguntas 4 y 5)

Calculé operaciones con vectores. (Pregunta 7)

Representé y analicé vectores en el plano cartesiano. (Preguntas 6 y 8)

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139

Lección

Johannes Kepler

Ingresa a estudiar Teología en la Universidad de Tubinga.

En su niñez es muy enfermizo, casi muere de viruela.

Esfera

Nace en Weil der Stadt, Württemberg, actual Alemania.

Es profesor de Astronomía y Matemática en la Universidad de Graz.

1571

1586

↘ Esfera

Esfera

↘ Área de la superficie de la esfera ↘ Volumen de la esfera

La esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva, llamada casquete esférico, cuyos puntos equidistan de un punto central llamado centro de la esfera. Esta distancia corresponde al radio de la esfera.

↘ Aplicaciones

Es posible relacionar una esfera de radio r con la rotación en el espacio de un semicírculo de radio r en torno a la recta que contiene al diámetro: Semicírculo de radio r

Sé más Una semiesfera es cada uno de los dos cuerpos que se obtienen al dividir una esfera en dos partes iguales. El círculo máximo de una esfera corresponde a la base de cada semiesfera que se puede obtener de ella. Círculo máximo

Eje de rotación

Esfera de radio r

r Centro Centro

Ejercicios guiados 1. Analiza la rotación de cada semicírculo. Luego, completa esbozando la esfera asociada a ella o calculando su radio.

a. Eje de rotación

Es decir, el círculo máximo y la esfera tienen el mismo radio.

12 cm

b. Eje de rotación

r = 5 cm

5 cm

2. Calcula el área (A) del círculo máximo de cada esfera completando cada desarrollo.

a. 8 cm

Para el círculo máximo: r = 8 cm A = πr2 =

b. 17,5 cm

Para el círculo máximo: r= A=

140

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Fallece en Regensburg a los 59 años, dejando importantes contribuciones para la astronomía. Publica su tercera ley en el libro Harmonices mundi.

Publica su obra Astronomía Nova, donde escribe dos de sus famosas leyes del movimiento planetario.

1601

1616

1630

Ejercicios propuestos 1. Analiza en cada caso cuál de las rotaciones se puede asociar a una esfera. Para ello, escribe Sí o No.

a. Semicírculo.

Para conocer más sobre Johannes Kepler ingresa el código SP2m141a en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Desafío ¿Qué condición se debe cumplir para que la rotación de la figura se relacione con una esfera?

d. Círculo.

b. Semicírculo.

2. Identifica cada elemento de la esfera escribiendo su nombre en el recuadro.

Para ello, reúnete con un compañero o una compañera e investiga la definición de cada uno estos conceptos. Huso esférico

Cuña esférica

Casquete esférico

Zona esférica

Ayuda

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Ingresando el código SP2m141b en la página web del Proyecto Sé Protagonista, podrás obtener información para resolver el ejercicio propuesto 2.

141

Lección 7: Esfera

Área de la superficie de la esfera El área (A) de la superficie de una esfera de radio r está dada por: A = 4πr2 Conectando con... La geografía

Ejercicio guiado 1. Analiza la información. Luego, sigue cada paso y completa. A diferencia de un cono y un cilindro, la esfera no tiene una red de construcción que permita calcular directamente el área de su superficie. El siguiente experimento permite obtener una aproximación de ese valor. Paso 1: Conseguirse una cuerda y una semiesfera de plumavit. Paso 2: Formar un círculo con la cuerda en la base, medir su radio y la longitud de la cuerda utilizada.

El globo terráqueo es un modelo tridimensional preciso de representación de nuestro planeta, ya que no presenta las distorsiones del espacio geográfico, como ocurre en el caso del mapamundi. Para obtener mayor información sobre este tema, ingresa el código SP2m142 en la página del Proyecto Sé Protagonista.

Paso 3: Cubrir con la misma cuerda

¿En cuál paso utilizaste más cuerda, 2 o 3? ¿Cuánto más?

Paso 4: Para verificar tu respuesta anterior, divide en dos trozos iguales la cuerda utilizada en el paso 3 y forma dos círculos. Luego, comprueba que cada círculo tiene el mismo radio que el círculo del paso 2. Ayuda Recuerda que π es un número irracional, cuyo valor truncado con 15 decimales es: π ≈ 3,141592653589793 Por lo general, se aproxima a 3,14.

¿Qué se puede concluir a partir del paso 4?

Paso 5: De esta forma, el área (A) de una esfera (formada por dos semiesferas) de radio r corresponde a 4 veces el área de un círculo de radio r, ya que: A = 2 · Asemiesfera = 2 ·

142

= SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Ejercicios propuestos 1. Calcula el área de la superficie de cada esfera considerando π = 3,14. a.

b. 8 cm

12 cm

Sé más

2. Analiza cada figura. Luego, calcula el área de la superficie de cada esfera considerando que encajan de forma perfecta en el cilindro.

b. r = 8 cm r

14 cm

3. Analiza la información del recuadro y completa. El siguiente cuerpo está formado por una semiesfera y una base circular. Para calcular el área total (At) de su superficie, se debe considerar que la base corresponde al círculo máximo de la semiesfera, es decir, la semiesfera y la base tienen el mismo radio: Semiesfera

At = Asemiesfera + Abase =

Base circular

Arquímedes demostró que el área de la superficie de una esfera es igual al área lateral de un cilindro que tenga el mismo radio y cuya altura sea el diámetro de la esfera.

Desafío Aproximadamente el 71 % de la superficie de la Tierra está cubierta por agua. Si consideras que la Tierra tiene forma esférica, ¿a cuántos km2 corresponde ese porcentaje?

= 3πr2

Calcula el área de cada cuerpo formado por una semiesfera y una base circular.

a. Semicírculo de radio 8 cm.

b. Base circular de área 20,25 π cm2 .

8 cm

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143

Lección 7: Esfera

Volumen de la esfera El volumen (V) de una esfera de radio r está dado por: 4 V = ___ πr3 3

Ejercicio guiado 1. Analiza la información. Luego, calcula y completa. ¿Cuál es la relación, aproximada, entre los volúmenes de la Tierra y de la Luna?

Conociendo los volúmenes de un cono y de un cilindro con ciertas características, se puede deducir la fórmula del volumen de una esfera. Una forma es la que se detalla: Paso 1: Considera los siguientes cuerpos: r

r r

Ayuda El volumen (V) de un cono de radio r y altura h es: 1 πr2h V = __ 3 El volumen (V) de un cilindro de radio r y altura h es: V = πr2h

¿Qué característica tienen en común los tres cuerpos? ¿Cómo son las alturas del cilindro y del cono?

Paso 2: Obtén la expresión del volumen del cono y del cilindro antes dibujados: Vcono =

Vcilindro =

Paso 3: Completa la tabla para algunos valores de r considerando las fórmulas del paso 2 Radio (r)

Vcono

Vcilindro

1 cm

2 __ π cm3 3 16 ____ π cm3 3

2π cm3

2 cm

4 4 ___ π cm3 = ___ π · 13 cm3 3 3 32 4 ____ π cm3 = ___ π · 23 cm3 3 3

250π cm3

5 cm 10 cm

16π cm3

Vcilindro – Vcono

2.000 π cm3 _________ 3

¿Qué fórmula aparece en la última columna? ¿Se obtendrá para cualquier valor de r?

Paso 4: De esta forma, el volumen de una esfera de radio r corresponde a la diferencia entre el volumen de un cilindro y un cono de radios r y alturas 2r: Vesfera = Vcilindro – Vcono = 144

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Ejercicios propuestos

Desafío

1. Calcula el volumen de cada esfera considerando π = 3,14. b.

a. 10 cm

16 ____ m 3

Junto con un compañero o compañera investiga la demostración del volumen de una esfera realizada por Arquímedes y coméntala en tu curso.

2. Resuelve los problemas. a. Si el radio de una esfera aumenta al doble, ¿en cuánto aumenta su volumen?

b. Para que el volumen de una esfera disminuya a su octava parte, ¿de qué forma debe variar su radio?

c. ¿Cuál es el volumen de una esfera cuyo círculo máximo tiene área igual a 121π mm2?

↘

Por lo tanto, ¿cuál es la relación aproximada entre los volúmenes de la Tierra y de la Luna?

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

La célula más grande del cuerpo humano es el óvulo y la más pequeña, el espermatozoide. La función principal de cada uno es aportar material genético femenino y masculino, respectivamente. La forma del óvulo es esférica, posee un diámetro aproximado de 0,01 cm y es 500 veces más grande que un espermatozoide. Según la información anterior, ¿cuál es el volumen aproximado de un óvulo? A. 1,25π · 10−7 cm3 _

B. 1,6π · 10−7 cm3 _

C. 1,3π · 10−6 cm3 D. 10–6π cm3 E. 500π cm3

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145

Lección 7: Esfera

Aplicaciones La esfera está presente en muchos ámbitos científicos y tecnológicos. Por ejemplo, desde los electrones hasta los planetas se consideran esféricos para realizar medidas. Además, en muchas construcciones encontramos esferas, cúpulas de catedrales y estadios.

Ejercicios guiados 1. Analiza cada problema. Luego, completa considerando π = 3,14.

a. Una industria de repuestos fabrica bolitas metálicas de 200 g de masa y de El papá de Florencia le hará una caja con forma de cubo para guardar su pelota de fútbol de diámetro de 25 cm. Ella la forrará por fuera con papel de colores. Si la caja será lo más pequeña posible, ¿cuánto papel utilizará como mínimo?

densidad 8 g/cm3. Las bolitas serán envasadas de a cinco unidades en cajas cilíndricas del menor tamaño posible. ¿Cuál será el radio y la altura de cada caja, aproximadamente? ▷ El siguiente dibujo representa la situación:

Para determinar las dimensiones de cada caja se debe calcular el radio de cada bolita. Como se conoce la densidad (ρ) y la masa (m), se puede calcular el volumen (V) y con ello obtener el radio (r):

Entonces:

m ρ = ___ V

4 V = ___πr3 3

Sé más Una esfera está inscrita en un cubo si es tangente a cada una de sus caras:

⇒

m= V = ___ ρ

⇒

√ 3

__________

3 r = ____ ⋅ V 4π

Luego, el radio de la caja debe ser la caja son iguales; y la altura debe ser veces el radio.

⇒r= , ya que el radio de cada bolita y de , ya que corresponde a 10 10

b. Una industria tiene tres depósitos y cada uno de ellos tiene forma de semiesfera. r

2r Entonces, su diámetro es igual a la arista del cubo.

Sus radios son 8 m, 12 m y 15 m. Para protegerlos exteriormente de la corrosión, se les aplicará un líquido especial que puede cubrir 18 m2 por envase. ¿Cuántos envases necesita comprar la industria para realizar esa tarea? ▷ Como los radios son conocidos y el área (As ) de la superficie de una semiesfera es ,el área de la superficie total (At ) a cubrir se obtiene de:

Luego, para determinar la cantidad de envases se resuelve la siguiente división:

De esta forma, la industria necesita 146

envases del líquido especial. SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

↘ Ejercicios propuestos 1. Resuelve los problemas. a. Un estanque esférico apoyado en el suelo tiene

un radio interior de 1,5 m y una pared de 0,03 m de grosor. ¿Cuál es su capacidad y su área superficial? b. Algunas investigaciones científicas han estimado que el radio de un protón equivale a 8,4 · 10–16 m. Según este dato, ¿cuál debería ser su volumen? c. Producto de un cambio de temperatura, el radio de una esfera disminuyó un 5 %. ¿En qué porcentaje disminuyó el área de su superficie y su volumen?

Taller de estrategias

Resolver problemas geométricos esbozando los cuerpos involucrados

Practica esta estrategia. Para ello, considera el enunciado y sigue cada paso. Una esfera de radio r está circunscrita a un cubo de arista a. ¿Cuál es la relación entre el radio de la esfera y la arista del cubo? ↘ Paso 1 Esbozar los cuerpos La esfera está circunscrita al cubo, por lo tanto, cada vértice del cubo se ubica sobre el casquete esférico:

2. Analiza el Taller de estrategias y resuelve los problemas.

a. Un observatorio tiene la forma de un cilindro con una semiesfera en su parte superior. Calcula su volumen y su área superficial según la figura:

↘ Paso 2 Dibujar un diámetro de la esfera

Se dibuja un diámetro que contenga a la diagonal del cubo:

b. Calcula el volumen y el área superficial de una

pieza metálica de un motor que tiene la forma de un cilindro limitado por dos semiesferas, según la siguiente figura: 30 cm 20 cm

c. Un contenedor está formado por dos casquetes

esféricos concéntricos de radios 122 cm y 124 cm. Calcula el volumen del sólido encerrado por ambos.

↘ Paso 3 Relacionar los elementos comunes __

La diagonal del cubo de arista a es √ 3 a. Además, la diagonal corresponde al diámetro de la esfera de radio r, es decir: __

2r = √3 a ↘ Paso 4 Despejar y responder De la igualdad anterior, se tiene que la arista (a) de un cubo y el radio (r) de una esfera circunscrita a él se relacionan de la siguiente forma: __

3 _____ a r=√ 2

Entonces, ¿cuánto papel utilizará como mínimo Florencia?

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147

Lección 7

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Esboza el cuerpo asociado a cada rotación. Luego, escribe su nombre e identifica sus medidas. a. Cuadrado de lado r.

3. Calcula el área superficial de la esfera relacionada con cada rotación. a. Semicírculo.

4 cm

b. Círculo. 6 cm

b. Triángulo rectángulo isósceles de cateto r.

4. Analiza cada situación. Luego, responde. a. El radio de una esfera se reduce a la mitad. ¿En qué porcentaje se reduce su área superficial?

c. Semicírculo de radio r.

b. Una esfera varía su tamaño de modo que su diámetro aumenta al triple. ¿Cuál es la razón entre el área inicial y el área final de la superficie de la esfera? c. El área de la superficie de una esfera disminuye un 75 %. ¿En qué porcentaje disminuyó su radio? d. Al variar el tamaño de una esfera, esta cuadruplica su área superficial. ¿Cuánto aumentó su radio?

2. Calcula el radio de cada esfera considerando el área de su círculo máximo (Acm). a. Acm = 25π cm2 → Radio de la esfera: b. Acm = 0,01π m2 → Radio de la esfera: c. Acm = 8.100π mm2 → Radio de la esfera:

148

5. Calcula el área de la superficie de la esfera inscrita en cada cilindro. a.

60 mm

12 cm

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6. Calcula el volumen (V) de cada esfera considerando la información dada. →

25 b. r = ____ 4 mm →

c. d = 3,5 m →

a. r = 9 cm

8. Calcula el volumen (V) de cada cuerpo generado considerando la información dada. a. Un cuarto de círculo.

5 cm

Expresa el volumen de la esfera en función de la arista del cubo. a. Esfera de radio r inscrita en un cubo de arista a.

b. Semicírculo. 30 mm

9. Resuelve los problemas. Para ello, utiliza π = 3,14.

b. Esfera de radio r circunscrita en un cubo de arista a.

Me evalúo

a. ¿Cuáles son las dimensiones aproximadas de la caja de menor superficie en la que se puede guardar una esfera de 1 L de volumen? b. Una pieza de un barco tiene forma de un cono de radio 50 cm y altura de 80 cm, en cuya base sobresale una sección semiesférica. ¿Cuál es su densidad si tiene una masa de 150 kg? c. Una industria producirá bolitas de cristal de dos tamaños distintos: súper, de radio 2R, y estándar de radio R. Para bajar costos, las embalarán en cajas cúbicas lo más pequeñas posible y de un solo tamaño, tal que cada una pueda contener una bolita súper u ocho bolitas estándar. ¿En cuál de los casos se utiliza un mayor volumen de la caja?

Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L). Indicador Relacioné una rotación con un cuerpo geométrico. (Pregunta 1)

Relacioné el círculo máximo de una esfera y su radio. (Pregunta 2)

Resolví problemas sobre el área de la superficie de una esfera. (Preguntas 3, 4 y 5)

Resolví problemas sobre el volumen de una esfera. (Preguntas 6, 7 y 8)

Resolví problemas de aplicación de la esfera. (Pregunta 9)

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149

Lección

Trabaja en la construcción de un globo terráqueo para Carlos V.

CharlesMercator Darwin Gerard

Ingresa a la Universidad de Lovaina para estudiar Humanidades y Filosofía. Nace en Rupelmonde, Flandes, actual Bélgica.

Razones trigonométricas

Comienza la escuela estudiando latín, religión y aritmética.

1512

1529

↘ Teoremas de Euclides

Teoremas de Euclides

↘ Medida de ángulos ↘ Razones trigonométricas en triángulos rectángulos ↘ Razones trigonométricas para 30°, 45° y 60° ↘ Aplicaciones

En el siguiente triángulo rectángulo ABC: C b A

q D

p c

p se llama proyección del cateto a sobre la hipotenusa y q, proyección del cateto b sobre la hipotenusa; h es la altura con respecto a la hipotenusa y p + q = c. Además, se cumplen los siguientes resultados, conocidos como teoremas de Euclides:

◾ Teorema de la altura: en todo

triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura con respecto a la hipotenusa equivale al producto de las proyecciones de sus catetos sobre ella misma, es decir:

◾ Teorema de los catetos: en todo

triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto equivale al producto de la hipotenusa y su proyección sobre la misma, es decir: a2 = p · c

h2 = p · q

b2 = q · c

Ejercicios guiados 1. Completa la demostración del teorema de la altura justificando cada paso. Completa la información del triángulo: C

Sé más El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los catetos: b Cateto

Hipotenusa c a Cateto c2 = a2 + b2

Aplicando el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos DBC y ADC, respectivamente.

a2 = h2 + p2 b2 = h2 + q2

Sumando miembro a miembro las igualdades anteriores.

a2 + b2 = p2 + q2 + 2h2

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC, se tiene que a2 + b2 = c2. (p + q)2 = p2 + q2 + 2h2 pq = h2

150

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Fallece en Duisburgo, actual Alemania, a la edad de 82 años, dejando un legado importante para la Cartografía y la Geografía.

Elabora un mapamundi, con lo que hace famosa la proyección de Mercator.

Comienza una gran obra geográfica, El Atlas.

1551

1572

1594

2. Completa los desarrollos para obtener el valor de cada incógnita.

a. x cm

C x cm

6 cm

y cm

12 cm

32 cm

y cm

D 18 cm B

Por el teorema de la altura: 62 = 12y → 36 = 12y → y = 3

Por el teorema de la altura:

Aplicando el teorema de Pitágoras en ADB:

Aplicando el teorema de Pitágoras en ADC y DBC, respectivamente, se tiene:

x2 = 62 + y2 → x2 = 36 + 32 x2 = 36 + 9 → x2 = 45

h2 =

Para conocer más sobre Gerard Mercator ingresa el código SP2m151 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Ayuda En el ejercicio 2a la ecuación: x2 = 45 es de segundo grado, por lo tanto, tiene dos soluciones: ____ ____ x1 = √45 ∧ x2 = –√45 De ellas se considera solo la positiva por representar una magnitud.

→ h2 =

x2 = 322 + 576

y2 = 182 + 576

Ejercicios propuestos 1. Completa la demostración escribiendo la justificación de cada paso. Considera el triángulo del inicio de la lección.

Desafío

a =p +h

Demuestra que b2 = qc utilizando a2 = pc y c = p + q. Comparte tu resultado con tus compañeros.

a = p + pq 2

a2 = p(p + q) a2 = pc Por lo tanto:

2. Resuelve los problemas en tu cuaderno.

a. Un cateto de un triángulo rectángulo mide 4 cm y la proyección sobre la

hipotenusa del otro cateto mide 6 cm. ¿Cuál es la medida de la proyección sobre la hipotenusa del primer cateto? __

M A

b. Si ABCD es un rectángulo con AB = 300 mm, BC = 125 mm y AC diagonal, ¿cuál es la longitud del segmento MN?

c. La siguiente figura está formada por un triángulo ABC y un semicírculo de

centro O y diámetro AB. Si C se ubica sobre el arco BA, ¿cuál es el radio del semicírculo?

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20 cm A

16 cm 0

151

Lección 8: Razones trigonométricas

Medida de ángulos Los sistemas más utilizados para medir un ángulo son: ◾ El sistema sexagesimal: su unidad

básica es el grado (°) y corresponde a la medida de cada uno de los ángulos que se obtienen al dividir un ángulo completo en 360 partes iguales.

es el radián (rad) y corresponde a la medida del ángulo central de un sector circular de radio r cuya longitud de arco es r. B

1 parte del ______ 360 ángulo completo

AB) = r m (⁀

α = 1°

En una experiencia de laboratorio, un grupo de estudiantes comprueba que un péndulo de longitud 35 cm describe un arco de 60 cm y necesitan obtener el ángulo descrito. ¿Cómo lo podrían hacer?

◾ El sistema radial: su unidad básica

α = 1 rad A

Ejercicios guiados 1. Calcula la medida de cada ángulo utilizando el sistema radial. Luego, relaciona la medida del ángulo, el radio y la medida del arco mediante una fórmula.

m (⁀ AB) = 6 cm

m (⁀ AB) = 12,5 cm

α 0 3 cm A

r = 3 cm, m(⁀ AB) = 6 cm, y 6 : 3 = 2. Luego, α = 2 rad.

α 0

5 cm

r = 5 cm, m(⁀ AB) = 12,5 cm, y 12,5 : 5 = 2,5. Luego, α = 2,5 rad.

¿Qué relación se puede deducir entre r, α y la medida del arco (s)?

▷ De esta forma, se puede establecer la siguiente fórmula y sus equivalencias: α = __sr

Ayuda Considera la siguiente figura para el ejercicio resuelto 2: Sector circular completo α

Arco completo

152

Ángulo del centro

⇔

s r = ___ α

⇔

2. Analiza la información con respecto a un circulo de radio r y completa. • Utilizando el sistema sexagesimal y considerando el círculo como un sector circular completo, su ángulo central mide: • Utilizando el sistema radial y considerando la circunferencia como un arco completo, su ángulo central mide: ▷ De esta forma se puede establecer la siguiente equivalencia entre grados y radianes: 360° =

⇔

= π rad

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3. Representa en el sistema sexagesimal o el sistema radial cada magnitud según corresponda. →

a. 90°

Como 180° = π rad, entonces la representación x de 90° en el sistema radial se obtiene de: 90° _______ _______ = x 180°

π rad

Conectando con... Péndulo de Foucault

90° x = _______ · π rad = 180°

⇒

Por lo tanto, 90° = π b. ___ 3

π en el Como 180° = π rad, entonces la representación x de ___ 3 sistema sexagesimal se obtiene de:

→

π/3 rad x = _________ _______ 180°

⇒

π rad

Por lo tanto,

Ejercicios propuestos 1. Analiza cada círculo. Luego, calcula. a.

45° 3 cm

m(⁀ AB)=

60° r

4 cm

α 5 cm

B 2,6 cm A

Su invención, que lleva el nombre de su creador, fue la primera demostración directa de la rotación de la Tierra. Para saber más, ingresa el código SM2m153 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

α=

2. Completa la tabla. Medida (grados)

15°

30°

45°

60°

75°

90°

Medida (radianes) Aproximación

3. Resuelve los problemas. Considera π = 3,14. a. Un péndulo de 12 cm de longitud describe un ángulo de 80°. ¿Cuál es la longitud del arco que recorre?

b. Matilde juega en un columpio recorriendo un arco de 2 m que describe un ángulo de 60°. ¿Cuál es la longitud del columpio?

Qué hizo el grupo de estudiantes? Responde en tu cuaderno.

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153

Lección 8: Razones trigonométricas

Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

Sé más Para el ángulo agudo α se tiene que: Cateto opuesto

Hipotenusa

Cateto adyacente

En un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas son relaciones entre las longitudes de sus lados que se establecen con respecto a sus ángulos agudos.

B β

En el triángulo ABC se definen las siguientes razones con respecto al ángulo α: ◾ Seno de α: denotada

◾ Coseno de α: denotada

por sen(α), es la razón entre el cateto opuesto a α y la hipotenusa: a sen(α) = __ c

◾ Tangente de α:

por cos(α), es la razón entre el cateto adyacente a α y la hipotenusa: b cos(α) = __ c

denotada por tg(α), es la razón entre el cateto opuesto a α y el cateto adyacente: a tg(α) = __ b

Ejercicios guiados 1. Observa los triángulos. Luego, responde. 17 cm α A 15 cm

22,5 cm

8 cm 12 cm B

25,5 cm

30,6 cm

14,4 cm

27 cm

a. ¿Qué relación cumplen las razones trigonométricas de los ángulos α, β y γ?

▷ Para tangente son idénticas ya que: 8 = 0,5_3 tg(α) = ____ 15

12 = tg(β) = ______ 22,5

tg(γ)=

¿Y para seno y coseno se cumple lo mismo? Verifícalo.

b. ¿Son semejantes los triángulos?

Desafío B β

▷ Sí, ya que los pares de lados homólogos son proporcionales, es decir: c

α b C A Identifica las razones trigonométricas de β. ¿Cómo se relacionan con las de α?

154

FD = ____ DE = 1,5 EF = ____ ____ AB BC CA

GI = ____ GH = ____ HI = _____ AB BC CA

GH = _____ EF

¿Se puede concluir a partir de esto que α = β = γ? ¿Por qué?

c. ¿Cuál es la forma en que se relacionan los triángulos semejantes y las razones trigonométricas? ▷ Las razones trigonométricas de un ángulo interior de un cierto triángulo son constantes para cualquier otro triángulo semejante a ese.

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Ejercicios propuestos 1. Completa calculando, aproximadamente, seno, coseno y tangente de cada ángulo agudo del triángulo ABC. B

4,24 m

2,24 m C

3,6 m

¿Es cierto que sen(α) = cos(β)? ¿Existen otras igualdades? Justifica.

2. Analiza cada triángulo. Luego, determina el valor de x completando cada desarrollo.

a. sen(α) = 0,8

b. tg(β) = 0,75 F

12 cm

EF = 0,8, entonces Como sen(α) = ____ x EF = 0,8x. Por el teorema de Pitágoras:

I β

x cm

c. cos(γ) = 0,6

8 cm

G x cm H

10 cm

x cm γ J

x = 0,75, entonces Como tg(β) = ____ IG x . Por el teorema de IG = _______ 0,75 Pitágoras:

x2 = 122 + (0,8x)2

Por lo tanto, x =

3. Analiza la información con respecto a un triángulo rectángulo. Luego, concluye. ay Sean a y b los catetos del triángulo y c, su hipotenusa. Como sen(θ) = __ c b , entonces a = c · sen(θ) y b = c · cos(θ), respectivamente. Además, por cos(θ) = __ c a ; entonces, al reemplazar se tiene que: definición se tiene que tg(θ) = __ b

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155

Lección 8: Razones trigonométricas

Razones trigonométricas para 30°, 45° y 60° Utilizando la definición de las razones trigonométricas es, posible obtener los valores correspondientes para ciertos ángulos, tales como 30°, 45° y 60°: __

1 sen(30°) = ___ 2

3 _____ cos(30°) = √

3 _____ tg(30°) = √

2 sen(45°) = √____ 2

2 cos(45°) = √____ 2

tg(45°) = 1

3 _____ sen(60°) = √ 2

1 cos(60°) = ___ 2

tg(60°) = √3

Ejercicios guiados Para cubrir completamente el piso de una habitación, don Ricardo tiene que cortar una baldosa con forma de triángulo rectángulo de ángulos de 30° y 60° e hipotenusa de 50 cm. ¿Cuál será la longitud de sus catetos?

1. Analiza los desarrollos. Luego, justifica cada paso.

a. Deducción de las razones trigonométricas de un ángulo de 45°. ▷ Considerando el triángulo isósceles ABC: A

√2 x = ____ 1__ = ____ __ sen(45°) = ______ √2 x √2 2__ √2 1__ = ____ x = ____ ______ cos(45°) = __ √2 x √2 2 tg(45°) = __xx = 1

c 2 = x2 + x2 c2 = 2x2

45º

c = √2 x

Por definición de las razones trigonométricas y racionalizando.

Aplicando el teorema de Pitágoras en ABC.

b. Deducción de las razones trigonométricas de un ángulo de 30° y de un ángulo de 60°.

▷ Considerando el triángulo equilátero DEF: F

x x2 = h2 + ___ 4 3 2 ___ 2 h = x 4__ 3 √ ____ h= x 2 2

30° x

60°

x __ 2

Desafío

¿Qué valor puede tomar x en los triángulos utilizados en esta página? ¿Las razones deducidas dependen de esos valores?

__x ___ sen(30°) = 2x =

√3 x ____ ______ cos(30°) = 2x =

__x 2 = ____ 1__ = ______ tg(30°) = __ √3 x √3 ____ 2

sen(60°) =

cos(60°) =

tg(60°) =

156

Como h es la altura __ y G es punto medio de DE, se aplica el teorema de:

E __

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Ejercicios propuestos 1. Calcula el valor de cada incógnita. b.

30° x

18 cm

x 20 cm

60°

2. Estima el valor de las incógnitas de cada triángulo. Para ello, utiliza la

Ayuda __

√_____3 ≈ 0,58

información del recuadro Ayuda.

a. x

15 mm

√_____3 ≈ 0,87

7,5

12,5 cm

2 √____ ≈ 0,71

13 cm

α 7,25 cm

√3 ≈ 1,73

3. Utiliza una calculadora para comprobar tus resultados anteriores. En muchas calculadoras aparecen las funciones seno, coseno y tangente. Para calcular dichas razones para un cierto ángulo, por lo general se presiona la función, seguida del ángulo y luego la tecla igual. Comprueba esto para 30°, 45° y 60°.

↘

¿Cuál es la longitud de los catetos de la baldosa que tiene que cortar don Ricardo? Responde en tu cuaderno.

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

Desde un punto en el suelo equidistante a las bases de un edificio y de una antena, se puede observar respectivamente su cúspide y su plataforma, con ángulos de elevación como lo muestra la figura. ¿Cuál es la relación entre las alturas del edificio (h) y de la plataforma (H)? A. 3h = H ___

B. √3 h = H C. 2h___ = H 3 D. √_____ h = H 3 ___ h = H E. 1 3

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30°

60°

157

Lección 8: Razones trigonométricas

Aplicaciones Muchos de los problemas de aplicación de trigonometría tienen que ver con la resolución de un triángulo, es decir, con hallar la longitud de sus lados y las medidas de sus ángulos, a partir de algunos datos. Para resolver estos problemas, se pueden considerar los siguientes pasos: ◾ Esbozar un triángulo que represente la situación. ◾ Aplicar el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas de 30°, 45° y 60°. ◾ Utilizar una calculadora para determinar razones trigonométricas de otros ángulos

o sus relaciones inversas.

En cierto instante don Luis observa un ave con un ángulo de elevación de 65° que se encuentra a 120 m de altura. Si su telescopio se ubica a 120 cm del suelo, ¿cuál es la distancia entre el ave y don Luis?

A Punto

30° 10 cm

Ejercicios guiados 1. Resuelve los problemas completando.

a. Un árbol es 5 m más alto que un poste. Desde un punto en el suelo a 10 m de la

30° ym

B Poste

base del poste se observa la copa del árbol y el extremo superior del poste en una misma dirección con un ángulo de elevación de 30°. ¿Cuál es la altura del árbol y del poste, y la distancia entre ellos? ▷ Considerando el esbozo de la situación, en el triángulo___ABC se tiene que: y √_____3 tg(30°) = ____ E▷ 10 ⇒ y = 10 · tg(30°) ⇒ y = 10 · 3 ⇒ y ≈ 5,8 5 m Por lo tanto, el poste mide 5,8 m y el árbol, 10,8 m, aproximadamente, ya que:

Por otro lado, en el triángulo CDE se tiene que:

Árbol

5 5 tg(30°) = __x ⇒ x = __________ ⇒ x ≈ tg(30°) Entonces, la distancia entre el poste y el árbol es de

, aproximadamente.

b. El ángulo de depresión de un barco desde un acantilado es de 54° y si se acerca

Sé más Ángulo de depresión

150 m a la costa, es de 72°. ¿Cuál es la altura del acantilado? ▷ Un esbozo del problema es: El barco se aproxima 150 m a la costa.

Acantilado h

36° (x + 150) m Mar

Ángulo de elevación

Acantilado h

18° xm Mar

Barco

De los triángulos se tiene que: x + 150 tg(36°) = ___________ ⇒ h = h Reemplazando (2) en (1):

Barco

x ⇒x= (1) y tg(18°) = __ h

(2)

h · tg(18°) + 150 150 h = _______________________⇒ h = _______________________ tg(36°) tg(36°) – tg(18°) Con la calculadora, se obtiene que la altura del acantilado es 158

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↘ Ejercicios propuestos 1. Resuelve los problemas considerando el triángulo

dado. Utiliza tu calculadora cuando sea necesario.

a. El ángulo de elevación del punto más alto de un

cerro, observado desde un punto P en tierra, es de 30°. Al aproximarse 1.000 m en dirección a la montaña, el nuevo ángulo de elevación es de 60°. ¿Cuál es la distancia entre el punto P y el punto más alto del cerro?

Taller de estrategias

Utilizar la calculadora para determinar un ángulo

Practica esta estrategia. Para esto, considera el enunciado y sigue cada paso. Un cable tenso está amarrado al extremo superior de una antena y a una estaca ubicada a 15 m de su base. Si la longitud del cable es de 22 m, ¿cuál es la medida del ángulo que forma el cable con el suelo? ↘ Paso 1 Esbozar la situación con un triángulo

b. Desde la copa de un árbol se puede observar

la bases de dos semáforos, ubicados a la izquierda y a la derecha formando una línea recta, con ángulos de depresión de 45° y 75°, respectivamente. Si la distancia desde la copa a la base del semáforo de la izquierda es de 96 m, ¿cuál es la distancia entre los semáforos?

Antena

Considerando que la antena es perpendicular al suelo donde se ubica la estaca, se tiene: Cable 22 m α Estaca 15 m Suelo

↘ Paso 2 Aplicar razones trigonométricas Con respecto a α, se tiene que:

15 cos (α) = ____ 22

↘ Paso 3 Utilizar una calculadora Se debe seleccionar el sistema para expresar ángulos. Para ello, hay que digitar la tecla MODE hasta que aparezca una pantalla similar a esta:

2. Analiza el Taller de estrategias y resuelve. a. Calcula la medida aproximada de los ángulos interiores de cada triángulo. 4 cm 8 cm

60 mm 45 mm

14 cm 4 cm

b. Dos objetos separados por 20 m se encuentran en

la misma dirección con respecto a la base de una torre. El más cercano a ella, está a 17,5 m. ¿Cuáles son los ángulos de depresión desde la torre si esta mide 10 m? c. Una escalera de 3 m de longitud está apoyada en una pared de tal forma que su extremo inferior está a 1,5 m de la misma. Si el extremo superior de la escalera se desliza hacia abajo 1 m, ¿cuántos grados disminuye el ángulo que forma con el suelo? Entonces, ¿cuál era la distancia entre don Luis y el ave? Responde en tu cuaderno.

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Presionando 1 se selecciona el sistema sexagesimal, el que utilizaremos, y con el 2, el sistema radial. ↘ Paso 4 Aplicar la relación inversa Se debe aplicar la relación inversa presionando las teclas SHIFT cos y el número:

↘ Paso 5 Resolver el problema Si se presiona la tecla = se obtiene la medida del ángulo a partir de la siguiente pantalla:

Por lo tanto, la medida aproximada del ángulo que forma el cable con el suelo es 47°. 159

Lección 8

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Analiza los triángulos, luego determina el valor de la incógnita en cada caso. a. A 15 cm

Completa la tabla. Considera π = 3,14. Medida (grados)

Medida (radianes) 2π _____ 3

x cm

3π _____ 4

25 cm C

y cm

225° 4π _____ 3

300°

B y cm

x cm

9 cm 12 cm

Aproximación

270° E

4. Resuelve los problemas. a. Una persona recorre un arco de 25 m en una plaza que tiene forma circular. Si la longitud del radio de la plaza es de 20 m, ¿cuál es el ángulo que describe?

2. Analiza la situación. Luego responde. En el juego del tobogán, las medidas permiten establecer un triángulo rectángulo, como lo muestra la figura. El ángulo formado por la escalera y la superficie para deslizarse es recto.

a. ¿Cuál es la altura máxima del tobogán?

b. El minutero de un reloj recorre un arco de 40 mm. Si describe un ángulo de 1,5π rad, ¿cuál es la longitud del radio del reloj? c. En un taller mecánico, las ruedas de un automóvil son probadas a 480 revoluciones por minuto. Si el diámetro de los neumáticos es de 68 cm, ¿qué velocidad sobre una carretera se estará probando? 5. Identifica las razones trigonométricas de cada ángulo agudo del triángulo. α

b. ¿Cuál es la longitud de la escalera? 5 cm

c. ¿Cuál es la longitud del tobogán? 12 cm

d. Si la altura aumenta 30 cm, ¿cuánto debe aumentar la longitud de la escalera para mantener su forma?

160

sen(α) =

cos(α) =

tg(α) =

sen(β) =

cos(β) =

tg(β) =

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6. Calcula según corresponda.

7. Resuelve los problemas.

a. En un 4ABC, rectángulo en C, el lado AC mide 9 cm y es el cateto opuesto al ángulo β. Si sen(β) = 0,4, ¿cuánto mide el lado BC?

b. En la siguiente figura, ¿cuánto miden los lados AB y BC? A 30° 27 cm C

a. Desde un faro que se encuentra a 28 m sobre el nivel del mar, se observa un bote con un ángulo de depresión de 60°. ¿Cuál es la distancia entre el punto de observación y el bote?

b. Desde la parte superior de un acantilado, se observa un barco y un submarino que están en el mar. Los ángulos de depresión son de 45° y 60°, respectivamente. Ambos objetos están separados por una distancia de 110 m. ¿Cuál es la altura del acantilado? Haz un dibujo de la situación.

c. Calcula los valores de x e y en el siguiente triángulo: C

c. Una persona observa al nivel de sus ojos el punto más alto de un árbol con un ángulo de elevación de 60°. La persona mide 1,60 m y la distancia entre sus pies y la base del árbol es de 21 m. ¿Cuál es la altura del árbol? Representa la situación.

20 m

60° x

30° y

Calculé medidas de ángulos utilizando el sistema sexagesimal y el sistema radial. (Preguntas 3 y 4)

Identifiqué y calculé razones trigonométricas en triángulos rectángulos. (Preguntas 5 y 6)

Apliqué razones trigonométricas en la resolución de problemas. (Pregunta 7)

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161

UNIDAD

↘ Taller de Resolución de problemas

1. Analiza los pasos utilizados en la resolución del problema. Un grupo de 4 estudiantes fue a medir la altura de la iglesia más antigua de la ciudad. Los elementos que tenían para realizar la tarea eran: un transportador, una regla, hilo, una calculadora y un peso. ¿Cómo podrían estimar la altura de la iglesia?

1 2 Paso

Comprende el enunciado Se pretende estimar la altura de la iglesia utilizando los materiales que tienen los estudiantes.

Paso

Planifica lo que vas a realizar Para poder determinar la altura de la iglesia a cierta hora del día, se debe medir la longitud de la sombra proyectada por los rayos del sol y el ángulo de elevación con el que se observa. Para ello, los estudiantes construyeron el instrumento que muestra la figura.

3 Paso

Resuelve el problema Cada uno midió el ángulo de elevación y se obtuvieron las siguientes mediciones: 48°, 51°, 50° y 51°. Luego, para una mejor estimación, calcularon su promedio, obteniendo un ángulo de elevación de 50°. Después, con la regla midieron la longitud de un paso de cada uno de ellos, y con la cantidad de pasos que medía la sombra obtuvieron: 5,3 m; 4,8 m; 4,9 m; y 5,0 m. Calcularon el promedio: 5 m. Por último, utilizaron una representación triangular: y tg(50°) = __ → y = tg(50°) · 5 → y ≈ 6 m 5 La altura promedio de observación era de 1,60 m, ya que todos tenían una altura distinta. Así, la altura (h) de la iglesia se obtuvo de: h = (6 + 1,60) m → h = 7,60 m. Es decir, estimaron que la altura de la iglesia es de 7,60 m.

4 Paso

162

50° 5m

1,60 m

Revisa la solución Los estudiantes fueron a una biblioteca y ahí encontraron que la altura de la iglesia es de 8 m, confirmando su estimación. Concluyeron, además, que la diferencia de su estimación con el valor real se debía a los instrumentos utilizados, a sus aproximaciones y al error innato que existe en cada proceso de medición. SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

2. Resuelve los problemas. Para ello, guíate por los pasos estudiados en la página anterior. a. La diagonal de un rectángulo mide 27 cm y forma un ángulo de 30° con su base. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

b. Un árbol proyecta una sombra de 12 m en el suelo. Si la tangente del ángulo de elevación de la parte más alta del árbol es de 0,7, ¿cuál es la altura de este?

c. En un triángulo ABC rectángulo en C, el lado AC mide 5 cm y el lado BC mide 12 cm. Si α es cos(α) el ángulo opuesto al lado AC, ¿cuál es el valor de la expresión __________ ? sen(α)

d. Un triángulo ABC rectángulo en C está inscrito en una semicircunferencia. Si la altura hc es 8 cm y el lado BC mide 10 cm, ¿cuál es el radio de la semicircunferencia?

e. El diámetro de una pelota de básquetbol es de 24 cm y el de una pelota de ping-pong, de 4 cm. ¿Cuál es la diferencia entre sus volúmenes y sus áreas?

f. ¿Cuál es la razón entre los volúmenes del Sol y la Tierra si sus radios son, aproximadamente, de 696.000 km y de 6.378 km, respectivamente?

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163

Lección

Después de un tiempo, comienza su interés hacia la física y la matemática.

Isaac Newton Nace en Woolsthorpe, actual Inglaterra. Ingresa en el College Trinity de Cambridge y se licencia en Artes.

Vectores y trigonometría 1642

Regresa a Cambridge como ayudante, profesor y catedrático.

1663

↘ Vectores ↘ Vectores y trigonometría ↘ Identidad fundamental ↘ Coordenadas geográficas

_›

Vectores

_›

Los vectores V x = (x, 0) y V y = (0, _› y) ubicados en el eje X y el eje Y, respectivamente, V = (x, y) sobre los ejes coordenados, donde son las proyecciones del vector _› _› _› V = V x + V y: Y y _›

_›

Además, se definen los vectores canónicos î = (1, 0) y ĵ = (0, 1). De esta forma: _›

_›

V = V x + V y = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xî + yĵ _›

Luego, x e y se llaman las componentes del vector V .

Ejercicios guiados Sé más • Las coordenadas polares de un vector son su magnitud y su dirección, mientras que las coordenadas rectangulares corresponden a sus componentes. • Algunas magnitudes que corresponden a vectores son: _› Fuerza: F _› Velocidad: V _› Aceleración: a _› Posición: r

164

1. Escribe cada vector de la forma xî + yĵ o (x, y), según corresponda, o represéntalos gráficamente. _›

a. _V› = 2î + 4ĵ V=(

_›

)

b. _T› =

_›

T = (−3, 4)

c. _ U› =

U=(

)

__› W __› = −4î − 3ĵ

W = (−4, −3) _›

e. _Z› = −3î Z =(

Y _›

3 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2

X 1

_›

–3

)

–4 –5

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Es elegido miembro de la Cámara de los Lores.

Publica su segunda gran obra, Óptica.

Publica su obra más importante, Principia, donde formula las tres leyes fundamentales del movimiento.

1684

Fallece en Kensington y es enterrado en la famosa abadía de Westminster, junto a los grandes de Inglaterra.

1703

1727

2. Analiza los gráficos. Luego, determina el vector a partir de sus componentes y represéntalo.

a. 4

Y _›

3 2 1

_›

V y = 3ĵ

Vy 1

_›

2 X

2 1

Entonces:

–4 –3 –2 –1 0 –1

_›

V x = −3î

–4 –3 –2 –1 0 –1

V = (−3, 3)

Para conocer más sobre Isaac Newton ingresa el código SP2m165 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Vy 1

2 X

–2

b. 2

Vx –3 –2 –1 0 1 –1 Vy –2

1 2

–3 –2 –1 0 –1

–2

–3

–4

Y Vx 1 Vy

3. Relaciona cada representación triangular con uno de los vectores del gráfico. Para ello, escribe los datos que faltan. 4

Y _›

_›

1 –4 –3 –2 –1 0 _› –1 T –2 –3 –4

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4u 1

4 X _›

__›

165

Lección 9: Vectores y trigonometría

Ejercicios propuestos 1. Resuelve los problemas.

__›

a. Sobre un cuerpo actúan solo las fuerzas F1 = (6î − 4ĵ) N y F2 = (−2î + 4ĵ) N.

Utiliza el diagrama que representa la situación y determina las componentes de la fuerza resultante. Y

_›

4 2

–4

–2

_›

Cuerpo

X 8

–2

_›

–4 –6

Ayuda La rapidez de un móvil es la magnitud del vector velocidad. La dirección es el ángulo que forma su vector posición con el eje X positivo.

b. Con respecto a un sistema de referencia, el vector velocidad de un móvil _› en cierto instante es V = (30, 15) m/s. Calcula su rapidez (V). Utiliza la representación dada. 15ĵ

_›

Móvil

30î

c. Desde el origen de un sistema de referencia, una partícula se desplazó, de forma rectilínea, 2 km hacia el norte y 5 km hacia el oeste. ¿Cuál fue la magnitud del desplazamiento (d) y la dirección de este? Utiliza la representación dada. _›

–5î

Desafío Explica por qué en el ejercicio 2c debes utilizar como dirección 158,2° y no 21,8°.

Partícula

2 5

166

2ĵ

SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

2. Analiza cada situación. Luego, determina la fuerza resultante, su magnitud y su dirección con respecto al sistema de referencia dado. En b, aparecen las componentes de la fuerza peso.

_›

F 3 = –0,45î N

F 1 = 3ĵ N _›

F 4 = 4,5î N

X _›

F 1 = –1.200î N

_›

F 2 = 950î N

F 2 = –3ĵ N

Conectando con... Los Juegos Olímpicos de Invierno Son un evento organizado por el Comité Olímpico Internacional y fueron creados en 1925. En estos juegos hay deportes que se practican tanto sobre hielo como sobre la nieve, como por ejemplo el snowboard. Para conocer más, ingresa el código SP2m167 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

3. Calcula el vector velocidad y su dirección, y la rapidez del snowboarder justo

después de iniciar un salto. Para ello, considera las componentes según el sistema de referencia dado. Y 18 m/s

_›

40 m/s

¿Qué opinas de esto?

4. Resuelve los problemas en tu cuaderno.

_›

a. Al tomar una curva, un automóvil tiene una velocidad V = (20î + 30ĵ) km/h. Otro

vehículo, con _› respecto al mismo sistema de referencia, toma la misma curva con velocidad V = (25î + 25ĵ) km/h. ¿Cuál de los dos enfrentó la curva con mayor rapidez? _›

b. _ A› un cuerpo_ubicado en un plano se le aplican las fuerzas F 1 = (9, 7) N, ›

F 2 = 6ĵ N y F 3 = (−5î + 12ĵ) N. Representa la situación utilizando un sistema de referencia y determina la fuerza resultante, su magnitud y su dirección.

c. Con respecto a un sistema de referencia, una partícula se desplaza al punto

(–3, 2). Luego, se desplaza nuevamente, en este caso, al punto (2, 5). Determina el vector posición y sus componentes, y el desplazamiento de la partícula.

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Además de contaminar los recursos naturales, muchas ciudades cada día acumulan la basura en los costados de las carreteras, mostrando un feo espectáculo de la cultura que tiene el país.

167

Lección 9: Vectores y trigonometría

Vectores y trigonometría

_›

Un vector V se puede descomponer utilizando sus proyecciones sobre los ejes del sistema coordenado. Para ello, se deben utilizar las razones trigonométricas del ángulo que forma con el eje X: y En una experiencia de laboratorio, Diego mantiene en equilibrio estático una caja de 0,5 kg ubicada sobre un plano inclinado en 30°, mediante una cuerda atada a ella. ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

| V› |

Vy α

_›

Vy = y

_›

Vy = | V |sen(α) = y

x X

Vx = | V |cos(α) = x

Vx = x

Ejercicios guiados 1. Aplica la descomposición a cada vector y completa. _› __› a. | V |= 50 u y α = 150° b. | W | = 120 u y α = 60° Y

_›

0 60° 150° 0

__›

_›

60°

| V |= 50 u

| Vy |

| W› | = 120 u

30°

| Vx |

| Wx |

| Wy |

Sé más Debido a la dirección y al sentido de un vector, sus componentes (x, y) tienen el siguiente signo, según el cuadrante donde se representen: Y

(–, +)

| Vx | =

| Wx | =

| Vy | =

| Wy | =

Considerando que el vector se ubica en el II cuadrante, se tiene que:

(+, +)

_›

V = (−50cos(30°), 50sen(30°)) u

(–, –)

168

3 ____ V = ( −50 · √ , 50 · 1__ ) u

_›

Como el vector se ubica en el IV cuadrante, se tiene que:

_›

V = (−43,3; 25) u

(+, –)

2. Aplica la descomposición a cada vector según el sistema de referencia dado. Para ello, completa cuando sea necesario.

a. Una mujer embarazada de 75 kg de masa corporal cargando una bolsa de 7 kg sube una escalera con un ángulo de inclinación de 30°:

La magnitud de la fuerza peso (P) es:

P = 750 N + 70 N = 820 N

60° x

De esta forma: X

Considerando que el vector se ubica en el IV cuadrante:

30° _›

_›

= =

x= y=

_›

P =(

Ayuda • Por lo general, se utiliza x e y para identificar las componentes de un vector en vez de Vx y Vy. • La magnitud de la fuerza peso es: P = mg Donde m es la masa y g es la aceleración de gravedad, 9,8 m/s2. Por lo general se considera como 10 m/s2.

b. En una competencia de jabalina de un torneo escolar, un estudiante realiza un lanzamiento con una rapidez de salida de 20 m/s. Determina la velocidad y el ángulo de salida según el sistema de referencia dado.

m/s

_›

16,2 X m/s

▷ Aplicando el teorema de Pitágoras en la representación triangular, se tiene que: 202 = 16,22 + y2 ⇒ y2 = 400 – 262,44

⇒ y2 = 137,56 ⇒ y ≈ 11,73

Luego, utilizando tg–1 para determinar α:

(

11,73 α ≈ tg−1 ________ 16,2

)

⇒

_›

α ≈ tg−1(0,72)

¿Qué opinas de esto? ⇒

α≈

Por lo tanto, la velocidad ( V ) y el ángulo de salida (α) son, aproximadamente:

Más de 100 atletas no pudieron participar en las Olimpiadas de Londres 2012 por dopaje.

169

Lección 9: Vectores y trigonometría

Ejercicios propuestos

Ayuda Recuerda que si _› V = (x, y), entonces: _›

_________

| V | = √ x2 + y 2

1. Aplica la descomposición a cada vector según la magnitud dada. Explica el signo de cada componente. _› a. | V | = 200 u Y

__›

c. | W | = 18 u

_›

Y 0 X

45° __›

W 60° 0

_›

› b. | T | = 85 u

d. | U | = 90 u Y

_›

60° _›

30°

2. Representa cada vector según sus componentes. Luego, determina su dirección aproximada. _›

a. V = (17,3; −10)

170

_›

b. V = (−20; −4,6)

3. Analiza cada situación. Luego, determina las componentes de cada vector utilizando el sistema de referencia dado.

a. La tabla muestra la rapidez y la dirección de la velocidad de un balón lanzado por un jugador de fútbol americano en ciertos instantes: Tiempo

Rapidez

6 m/s

12 m/s

18 m/s

7 m/s

35°

15°

–10°

–20°

Dirección

Dibuja el vector velocidad del balón y calcula sus componentes en cada instante. Trayectoria del balón

Tiempo

b. Representa las componentes de cada fuerza aplicada al cuerpo de la figura y

calcula la fuerza resultante. Para ello, considera el sistema de referencia dado.

_›

Conectando con... La Dirección Meteorológica de Chile

_›

F1 y

_›

30°

c. Un avión comercial despega con una rapidez de 260 km/h en un ángulo de 35° con respecto a la pista. Esboza la situación y calcula las componentes de la velocidad.

Su misión principal es proporcionar pronósticos, avisos e información de tiempo y clima para fines aeronáuticos y de otras actividades. Para saber más, ingresa el código SP2m171 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Finalmente, ¿cuál es la tensión que ejerce la cuerda? Responde en tu cuaderno.

171

Lección 9: Vectores y trigonometría

Conectando con... La historia de la trigonometría

Identidad fundamental

_›

Sea V un vector tal que V = (x, y) con dirección α: _›

| V› |2 = x2 + y2 _› x = | V | · cos(α) _› y = | V | · sen(α)

| V› | α

Entonces: Hace 3.500 años, los babilonios ya empleaban los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para realizar medidas en agricultura. Para saber más, ingresa el código SP2m172 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

x X _

| V› |2 = | V› |2cos2(α) + | V› |2sen2(α) /:| V› |2 cos2(α) + sen2(α) = 1

La última igualdad se conoce como la identidad fundamental de trigonometría, ya que no depende de α, es decir, se cumple para cualquier ángulo.

Ejercicios guiados 1. Comprueba la identidad fundamental de trigonometría para cada ángulo.

a. cos2(30°) + sen2(30°) __

( ) ( )

3 2 ___ ____ + 1 = √ 2 2 3 ___ 1 ___ = + 4 4 =1

b. cos2(45°) + sen2(45°)

( ) ( )

2 2 2 = √____ + √____ 2 2

c. cos2(60°) + sen2(60°)

2. Calcula seno, coseno o tangente de α, según corresponda, a partir de la información dada. Para ello, considera que α ≤ 90°. __ 5 a. cos(α) = 0,3 b. sen(α) = √_____ 3 ▷ Como cos2(α) + sen2(α) = 1, entonces: (0,3)2 + sen2(α) = 1 Desafío Investiga por qué en el ejercicio 2 se consideró que α ≤ 90°. Comenta tu resultado con tus compañeros.

▷ De la identidad fundamental se tiene: 5 cos2(α) + ___ = 1 9

Por lo tanto:

4 cos2(α) = ___ 9 ___ 4 cos(α) = ___ 9

sen(α) ≈ 0,954

Por lo tanto:

sen2(α) = 1 – 0,09 _______

sen(α) = √0,91

Por otro lado: sen(α) tg(α) = __________ cos(α) 0,953 tg(α)≈ _________ = 3,18 0,3 Por lo tanto:

√

Además, tg(α) se obtiene de:

tg(α) ≈ 3,18

172

Ejercicios propuestos 1. Analiza la circunferencia de radio 1 unidad y el vector representado. Luego, responde.

a. ¿Por qué las componentes del vector son sen(α) y cos(α)? Y sen(α)

b. ¿Qué ocurre con las componentes del vector si α varía su medida?

cos(α)

c. ¿Cuáles son los signos de las componentes del vector si α = 225°?

d. ¿Para qué valores de α una de las componentes del vector es cero?

2. Aplica la identidad fundamental de trigonometría para calcular el seno y el

Ayuda

coseno del ángulo agudo α, según la información dada.

a. tg(α) = 1,5

Si α es agudo, entonces:

b. tg(α) = 0,4

______________

√ √

cos(α) = 1______________ − sen2(α) sen(α) = 1 − cos2(α)

↘

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

Un terreno tiene la forma triangular según la imagen. ¿Cuál es su área? c · a · sen(γ) A. ___________________ 2 b · c · sen(α) ____________________ B. 2 b · c · tg(β) C. _________________ 2 b · c · cos(α) D. ___________________ 2 a · b · cos(β) ___________________ E. 2

β c

a γ

α b

173

Lección 9: Vectores y trigonometría

Coordenadas geográficas El sistema de coordenadas geográficas permite localizar un punto sobre la superficie terrestre mediante la latitud (N, S) y la longitud (E, O), que expresan mediciones angulares. La latitud proporciona la localización de un punto P, en dirección norte o sur desde el ecuador:

La longitud proporciona la localización de un punto, en dirección este u oeste desde el meridiano de Greenwich: Polo norte Eje polar

Polo norte Eje polar

Isla de Pascua se ubica en 27,12° S y 109,35° O.

P α

Plano Oecuatorial

Ecuador

En tanto el valle de la Luna se ubica en 22,93° S y 68,21° E. ¿Cuál de estos lugares está a menor distancia del Meridiano 0?

Meridiano de Greenwich

Polo sur

Varía desde los 0º del ecuador hasta los 90º N del polo Norte y los 90º S del polo Sur.

Varía desde los 0º de Greenwich hasta los 180º E y los 180º O.

Ejercicio guiado 1. Observa el mapamundi e identifica el ecuador y el meridiano de Greenwich. Luego, marca las coordenadas geográficas y completa la tabla.

F C

Desafío Ingresa el código SP2m174 en la página web del Proyecto Sé Protagonista y determina las coordenadas geográficas de tu hogar.

174

Punto

Latitud

40° N

20° N

0°

Longitud

80° O

80° E

40° E

Ejercicios propuestos 1. Identifica en qué continente se ubican los puntos geográficos. Márcalos en el mapamundi de la página anterior. Punto

Coordenadas

25° S 25° E

45° N 5° E

30° S 65° O

65° N 155° O

85° S 55° E

35° S 145° E

5° S 140° E

Continente

2. Representa paralelos y meridianos en el mapamundi con su respectiva graduación. Luego, resuelve.

¿Qué opinas de esto? Una crítica que hicieron algunos estudiosos del arte es que las siete maravillas del mundo moderno se elijan por votación popular, cuando el valor estético no se elige por votación y menos de personas que no tengan conocimientos.

Junto a un compañero o una compañera, ubiquen las coordenadas de la tabla que permiten localizar las nuevas siete maravillas del mundo moderno e investiguen cuáles son los monumentos representados. Nuevas siete maravillas del mundo moderno Coordenadas

Nombre

País

20,68° N 88,57° O 41,89° N 12,49° E 22,95° S 43,21° O 40,42° N 116,08° E 13,16° S 72,55° O 30,33° N 35,44° E 27,17° N 78,04° E

Entonces, ¿Isla de Pascua o el valle de la Luna está a menor distancia del meridiano 0?

175

Lección 9

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1.

_›

b. La_fuerza resultante al aplicar solo las fuerzas F 1 › y F 2 a un cuerpo tiene las componentes Fx = 120 N y Fy = −180 N.

Representa cada vector. Luego, calcula la magnitud y la dirección de cada uno de ellos. _›

__›

b. W = −1,5î + 2ĵ

a. V = 3î − 3ĵ 3

• ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante?

2 1 –3

–2

–1 0

_›

• Si la componente _ x› de F 1 es 30 N, ¿cuál es la componente x de F 2?

3 X

–1 –2 –3

Calcula la fuerza resultante según las magnitudes y direcciones de cada fuerza representada. _›

| F | = 80 N

2. Analiza cada situación. Luego, responde. a. Un automóvil que viaja con movimiento rectilíneo en dirección norte_›sur toma una curva _› a cierta velocidad, donde V x = −22î m/s y V y = 18ĵ m/s.

_›

| F | = 120 N 3

30°

_›

| F | = 45 N 2

• ¿Cuál fue su rapidez al tomar la curva?

• ¿Viró hacia la derecha o la izquierda con respecto al sentido del desplazamiento?

_›

| F | = 145 N

_›

b. | F 1 | = 65 N

60°

y 30° x 45° _ › | F 3 | = 85 N

• Si la componente x aumenta en 2 m/s y la componente y disminuye esa cantidad, ¿se mantiene la rapidez?

176

4. Analiza el objeto y las fuerzas que actúan sobre él. _›

_›

Si el objeto se _› encuentra estático debido a una | | cuerda _› con N = 50 N y m = 10 kg , determina | | αy T .

| V› |sen(α) < | U› |cos(β)

cos2(α) + cos2(β) = 1

sen(β) > 20

| V› | + | U› | > 70

1 – sen2(β) = cos2(β)

6. Identifica las coordenadas geográficas de una persona ubicada en el punto P. Polo Norte

_›

|T|=

5. Analiza los vectores representados. Luego, determina si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). 40 _›

Y _›

no de Greenwich Meridia

α=

55° 120° Ecuador

20 10

β –30 –20 –10 0

α 10

Polo sur 20

30 X

Latitud Longitud

Apliqué la descomposición de vectores para resolver problemas. (Preguntas 3 y 4)

Relacioné trigonometría y vectores. (Pregunta 5)

Resolví problemas sobre coordenadas geográficas. (Preguntas 6)

177

UNIDAD

↘ Taller de TIC

Calculadora científica

Calcular la magnitud y la dirección de un vector con una calculadora

Para transformar las coordenadas _› rectangulares de un vector P = (x, y) a coordenadas polares, debes presionar la tecla Pol( y las teclas correspondientes a sus componentes. Por ejemplo, si _ › P = (3, 4):

Para transformar _› las coordenadas polares P , es decir, su magnitud de un vector _ | P› | y su dirección α, a coordenadas rectangulares, debes presionar las teclas SHIFT

Pol( y las correspondientes a su magnitud y a_›su dirección (ángulo). Por ejemplo, si | P | = 8 y α = 72°: SHIFT

Pol(

Luego, si presionas la tecla obtiene:

, se

ALPHA

(ángulo) debes presionar las teclas tan , y aparecerá la siguiente pantalla:

Al presionar la tecla

Luego, si presionas la tecla obtiene:

El resultado que aparece es el módulo o magnitud del vector.

Con lo que se obtiene la siguiente pantalla.

, se

Para obtener la dirección del vector

, se obtiene:

Lo que corresponde a la dirección del vector (ángulo).

El resultado que aparece corresponde a la _› componente x de | P |.

Para obtener la componente y debes ALPHA

tan , y presionar las teclas aparecerá la siguiente pantalla:

Al presionar la tecla

, se obtiene:

_›

Por lo tanto, | P | = 5 y α = 53,13°. _›

Que corresponde a la componente y de P . _›

Por lo tanto, P = (2,4; 7,6).

178

1. Utiliza una calculadora científica para completar las tablas según corresponda. b. a. 6

_›

45° 30° 0

2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3

_›

Vector

40° 20° 53°

_›

–4 F

_›

–5 –6

Magnitud

Componentes

Dirección (α)

_›

Vector

_›

Magnitud

2,4 u 1,6 u 1,3 u 2,1 u 2,7 u

2. Utiliza una calculadora científica para obtener las coordenadas polares de cada vector. _›

a. L = (14, –22) _›

b. N = (–8, 25)

__›

c. M = (17, 3) _›

d. O = (–9, –6)

3. Utiliza una calculadora científica para obtener las coordenadas rectangulares de cada vector. _›

_›

c. | Q | = 7; α = –28°

_›

d. | S | = 13; α = 51°

a. | P | = 13; α = 140° b. | R | = 20; α = –120°

_›

179

UNIDAD

Modelamiento de pregunta tipo PSU Analiza el siguiente ejemplo de una pregunta de alternativas tipo PSU. Considera el 4ABC, rectángulo en C. C 6 cm

8 cm

¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

4 I. sen(α) = __ 5 3 __ II. tg(β) = 4 3 III. cos(β) = __ 5

La pregunta involucra los conceptos de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

A. Solo I

B. Solo II C. Solo I y II D. Solo I y III E. I, II y III Clave: C 4 8 cm → sen(α) = ___ En (I) sen(α) = _________ 5 10 cm Por lo tanto, esta proposición es verdadera. 3 6 cm → tg(β) = ___ En (II) tg(β) = ________ 4 8 cm Por lo tanto, la proposición es verdadera. 8 cm → cos(β) = 4 __ En (III) cos(β) = _________ 5 10 cm Por lo tanto, la proposición es falsa. Distractores: A. Esta alternativa es incompleta, pues solo considera que (I) es verdadera y no (II). B. Esta alternativa es incompleta, pues solo considera que (II) es verdadera y no (I).

180

Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido revisando la Lección 8 del Texto y las páginas respectivas de tu Cuaderno de ejercicios.

Los errores cometidos al inclinarse por uno de estos distractores son: • Confundir las razones trigonométricas.

D. Esta alternativa es incorrecta, pues considera que (I) y (III) son verdaderas, y (III) es falsa.

• Aplicar incorrectamente el teorema de Pitágoras.

E. Esta alternativa es incorrecta, ya que considera (I), (II) y (III) verdaderas, y (III) es falsa.

Ahora completa el modelamiento de una pregunta de alternativas tipo PSU. Para ello, completa cada sección según lo estudiado en la página anterior. 25 En el triángulo ABC, se tiene que AB = ____ cm, 3 BC = 5 cm y CD es altura. q

D p

Esta pregunta involucra los conceptos de: h

¿Cuál es la longitud del segmento CD? A. 4 cm B. 3 cm

____

D. √34 cm ____ cm E. 16 3

C. 16 cm Clave: A.

Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido, revisando la Lección

del Texto y las páginas respectivas de tu

Cuaderno de ejercicios. Distractores: B. Se obtuvo correctamente el valor de p: 25 a2 = c · p → 52 = ____ · p → p = 3 3 Pero se respondió erróneamente que este valor es la longitud de CD. C. Se obtuvo p y se estableció correctamente que:

Los errores cometidos al inclinarse por alguno de estos distractores son:

p2 + h2 = a2 → h2 = 25 – 9 → h2 = 16 Luego, se respondió erróneamente que la longitud de CD es 16 cm. D. Se aplicó de forma incorrecta el teorema de Pitágoras en el 4BCD, considerando h como la hipotenusa. De esta forma, se estableció que 52 + 32 corresponde al valor de h2. Así se respondió que la longitud de CD es ____ √34 cm. 25 ____ , se E. Como q = c – p → q = ____ – 3 → q = 16 3 3 respondió erróneamente que la longitud de CD ____ cm. es 16 3

181

UNIDAD

Evaluación final

Lee y responde las siguientes preguntas relacionadas con lo aprendido en esta unidad. I. Marca la alternativa que consideres correcta. 1. ¿Cuál es el volumen de la semiesfera? A. 72π cm

5. En el rectángulo ABCD que muestra la figura, AE = 6 cm y BE = 3 cm. ¿Cuál es el perímetro del 4BCD?

B. 144π cm3 C. 288π cm

D. 576π cm3

6 cm

E. 864π cm3

2. Si el área de una esfera es 676π cm2, ¿cuál es su volumen? Considera π = 3.

___

A. (12 + 6√2 ) cm ___

A. 2.028 cm

B. 18√5 cm

B. 2.197 cm3

___

C. (18 + 6√5 ) cm ___

C. 8.112 cm3

D. (15 + 9√5 ) cm ___

D. 8.788 cm3

E. (15 + 6√2 ) cm

E. 26.364 cm3 3. Una esfera está inscrita en un cilindro cuyo volumen es 6.750π cm3. ¿Cuál es el área y el volumen de la esfera?

6. Si el triángulo ABC es rectángulo en C, ¿cuál es la longitud del segmento CD? C

A. 900π cm2 y 4.500π cm3.

15 cm

20 cm

B. 3.600π cm y 36.000π cm . 2

C. 300π cm2 y 13.500π cm3.

D. 1.125π cm2 y 4.500π cm3.

B. 12 cm

4. La cúpula de una catedral tiene forma de una semiesfera de radio 4 m. Para pintar la superficie de esta, se utilizará pintura que cubre 12 m2 por envase. ¿Cuántos envases se necesitan para pintar toda la cúpula? Considera π = 3. B. 8 C. 4 D. 3 E. 2

182

A. 9 cm

E. 900π cm2 y 13.500π cm3.

A. 16

C. 16 cm D. 25 cm E. 35 cm 7.

¿Cuál de las siguientes alternativas representa los ángulos de 30°, 90° y 120° en el sistema radial? π π , ___ ____ , ___ A. 2π 3 6 2 π , 2π π , ___ ____ B. ___ 2 6 3 π , 2π π , ___ ____ C. ___ 6 2 3 π 2π ____ D. π, ___ 4, 3 π π , 2π ____ , ___ E. ___ 6 3 2

8. La longitud del arco de un sector circular es 45 cm y su radio es la quinta parte. ¿Cuál es la medida del ángulo central en el sistema radial?

12. Una palmera proyecta una sombra de 7 m, como se muestra en la figura. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la altura (H) de la palmera?

A. 5 rad B. 9 rad C. 15 rad D. 135 rad E. 225 rad 9.

tg(60°) + 3cos(30°) ? ¿Cuál es el valor de ___________________________ sen2(45°) ___ A. 2√3 + 1 ___

45°

B. 5√3

___

C. 3√3 ___

D. √2 + 1

A. H = 7 · tg(45°)

15√3 E. ________ 2

B. H = 7 · sen(45°) tg(45°) C. H = ___________ 7 D. H = 7 · cos(45°)

___

10. En el triángulo ABC que se muestra en la figura, el sen(β) = 0,8. ¿Cuál es el valor de tg(α) y cos(β)? A

7 E. H = ___________ tg(45°)

16 cm β

13. Una persona observa la parte más alta de la Torre Eiffel, como se muestra en la figura. Si la estatura de la persona es 1,70 m, ¿cuál es la expresión que permite determinar la altura de la torre?

A. 0,75 y 0,6. B. 0,8 y 0,75. C. 0,6 y 0,75. D. 0,6 y 0,8.

E. 0,6 y 0,9. 11. La longitud de la diagonal de un rectángulo es 10 cm y forma un ángulo de 60° con su base. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? ___

10√3 cm y 5√3 cm. A. _________ 3 ___ 20√3 _____ cm. cm y 20 B. _________ 3 3 ___ _____ cm. C. 5√3 cm y 20 3 ___

___

30°

186 m ___

A. H = √3 · 186 ___

B. H = √3 ___ · 186 + 1,70 3 √ _____ · 186 – 1,70 C. H = 2 ___ D. H = 62√3 + 1,70 E. H = 93 + 1,70

D. 5√3 cm y 5 cm. ___

10√3 cm y 5 cm. E. _________ 3

183

UNIDAD Evaluación final 14. En el siguiente gráfico, son las componentes _› _› _›¿cuáles _› de los vectores O, P , Q y R ? _›

_›

2 1 –2 –1 0 _› –1 P –2

17. Con respecto a un sistema de referencia, una nadadora se dirige al extremo opuesto de la piscina con una velocidad de 4 m/s y con la dirección que se muestra en la figura. ¿Cuáles son las componentes de su velocidad?

X 1

_›

–3 _›

_›

40º

A. O = −2î + 4ĵ; P = î − 2ĵ; Q= 5î + 2ĵ; R = −2î − 3ĵ _›

_›

B. O = −2î − 3ĵ; P = −2î + 4ĵ; Q = 5î + 2ĵ; R =î − 2ĵ _›

_›

C. O = −2î + 4ĵ; P = −2î − 3ĵ; Q = î − 2ĵ; R = 5î + 2ĵ _›

_›

D. O = −2î − 3ĵ; P = −2î + 4ĵ; Q = î − 2ĵ; R = 5î + 2ĵ _›

_›

E. O = −2î + 4ĵ; P = − 2î − 3ĵ; Q = 5î + 2ĵ; R = î − 2ĵ 15. Una hormiga camina 6 mm hacia el norte, se detiene y luego camina 4 mm hacia el este. ¿Cuánto se desplazó la hormiga en total? ___

A. 2√5 mm C. 52 mm D. 10 mm ____

√52 mm

( ) _ ____ B. | r | = 1.960 m; α = tg ( 14 42 ) _ ____ C. | r | = 1.568 m; α = sen ( 14 42 ) _____ _ ____ D. | r | = 14√10 m; α = tg ( 14 42 ) _ 42 E. | r | = 30 m; α = sen ( _____ 14 ) _____ _› 42 A. | r | = 14√10 m; α = tg−1 _____ 14 ›

−1

›

−1

›

184

C. Vx = −4 · cos(40°); Vy = −4 · sen(40°) D. Vx = −4 · cos(140°); Vy = 4 · sen(40°) E. Vx = −4 · cos(40°); Vy = 4 · sen(40°)

A. suroeste.

16. Un bus inicia su recorrido, con respecto a un sistema de referencia, y en cierto instante su vector _› posición es r = (14, 42) m. ¿Cuál fue la magnitud del desplazamiento y la dirección del bus en ese instante?

›

B. Vx = −4 · cos(140°); Vy = 4 · sen(140°)

18. Las coordenadas geográficas de Isla de Pascua son 27,12° S y 109,35° O, aproximadamente. Cerca hay un crucero que se ubica en 19° S y 98°O. Con respecto a la isla, el crucero se encuentra al:

B. 20 mm

A. Vx = 4 · cos(40°); Vy = 4 · sen(40°)

−1

B. noroeste. C. sureste. D. noreste. E. norte. 19. Debido a un intercambio, un estudiante chileno se encuentra residiendo en Roma. ¿Cuál de las siguientes coordenadas representa mejor su ubicación de residencia actual? A. 42° S y 12° O. B. 42° N y 12° O. C. 42° N y 12° E. D. 42° S y 12° E. E. 0° y 12° O

II. Resuelve las siguientes preguntas de suficiencia de datos. 20. En un triángulo rectángulo de hipotenusa h y catetos a y b, se puede calcular la medida de los catetos si: (1) La proyección de a sobre h mide 6 cm. (2) La proyección de b sobre h mide 7 cm. A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola.

22. Una rampa está apoyada en una pared y forma un ángulo de 30° con el suelo. Se puede determinar la altura a la que se encuentra la rampa de la pared si: (1) Se conoce la longitud de la rampa. (2) Se conoce la distancia que hay entre la base de la rampa y la pared. A. (1) por sí sola.

C. Ambas juntas, (1) y (2).

B. (2) por sí sola.

D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. 21. Se puede determinar sen(β) de la figura si: (1) AB = 20 cm (2) AB : BC = 3 : 1

C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. 23. A cierta hora del día, un edificio proyecta una determinada sombra. Se puede calcular la longitud de esta si:

(1) Se conoce la altura del edificio. (2) Se sabe a qué hora se vio la sombra. A

A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2).

A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

E. Se requiere información adicional.

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las respuestas correctas que hayas conseguido. I. Preguntas de alternativas Calculé área y volumen de distintas esferas. (Preguntas 1, 2, 3 y 4)

Apliqué el teorema de Pitágoras y el de Euclides. (Preguntas 5 y 6)

Resolví problemas de ángulos y de razones trigonométricas en triángulos rectángulos. (Preguntas 7, 8, 9, 10, 11, 12 y 13)

Resolví problemas de composición y descomposición de vectores y de coordenadas geográficas. (Preguntas 14, 15, 16, 17, 18 y 19)

de 4 de 2 de 7 de 6

II. Preguntas de suficiencia de datos Resolví problemas relacionados con el teorema de Euclides y razones trigonométricas. (Preguntas 20, 21, 22 y 23)

de 4

185

P (lluvia) = 0,53 P (libro de matemática) = 0,01 P (juego de azar) = 0,0000012

nº de casos favorables al suceso S P(A) = ______________________________________________ nº de casos totales

186

Unidad

Probabilidad y estadística 10 11 12

Técnicas de conteo Variables aleatorias Probabilidades

Desde las antiguas civilizaciones, han existido cálculos estadísticos sencillos que usaban representaciones gráficas en rocas, pieles de animales y paredes de cuevas para contar, por ejemplo, el número de animales, personas, etc. Hoy en día, la estadística se ha transformado en un método efectivo para describir valores de datos económicos, políticos, biológicos, sociales y físicos, que se pueden aproximar utilizando distribuciones probabilísticas.

Función de Probabilidad Probabilidad

Por otro lado, el nacimiento y desarrollo de la combinatoria surge en Occidente con los trabajos de Blaise Pascal y Pierre Fermat, cuando comenzaron a registrar las muestras de los experimentos que realizaban en los juegos de azar para estudiar las leyes y regularidades por las cuales se regían, estableciendo de esta manera la conexión entre la combinatoria y la probabilidad.

P (X = xi) 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

1. ¿Qué información sobre un experimento se debe considerar para aplicar la ley de Laplace? 2. ¿Por qué cree s que la informac ión meteorológica se entrega en términos de probabilidades? 3. ¿Cuál es el índice de crecimiento del país esperado para el próximo año? ¿Cómo influye esto en las personas?

187

UNIDAD

Evaluación inicial

Resuelve la siguiente evaluación para iniciar la unidad de Probabilidad y estadística. 1. Encuentra el espacio muestral del experimento y señala la cantidad de elementos que tiene. a. Lanzar una moneda.

3. Calcula la probabilidad en cada caso. a. Al extraer una carta de un naipe español, ¿cuál es la probabilidad de que: • Salga una copa.

• No sea una espada.

b. Lanzar un dado de seis caras.

• Sea un rey. c. Lanzar dos monedas y un dado de seis caras.

b. Al lanzar dos dados de seis caras, calcula la probabilidad de que: • La suma de los puntos sea mayor que 6.

d. Formar un número de 2 cifras con los dígitos 3, 7 y 9.

• La suma de los puntos sea igual a 9.

• La suma de los puntos sea un número impar. e. Extraer una carta de un naipe inglés.

4. Aplica el principio multiplicativo para resolver. a. ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar usando los dígitos 1, 3, 5, 6 y 8, sin repetir los dígitos en un mismo número?

2. Completa la tabla según la información dada. En una urna hay 5 bolitas amarillas, 8 rojas y 3 verdes del mismo tamaño y textura. Suceso Sacar una bolita amarilla o roja Sacar una bolita verde Sacar una bolita azul

N.° de casos

Probabilidad

b. Matías debe ir desde su casa a la biblioteca, pero antes necesita pasar a la casa de su abuelita. Para ir donde su abuelita le sirven 4 micros y para ir desde allí a la biblioteca le sirven 5 micros. ¿Cuántas combinaciones diferentes de micros puede hacer Matías?

Sacar una bolita verde o roja No sacar una bolita roja

188

5. Analiza el gráfico. Luego, responde.

6. Resuelve los problemas.

Deporte

a. En un curso de 40 estudiantes se vende una rifa de 120 números. Los 11 hombres del curso compraron 4 números cada uno, mientras que las mujeres compraron 2 números cada una y el resto los compró el profesor. ¿Cuál es la probabilidad de que una estudiante del curso gane la rifa? ¿Quién tiene una mayor probabilidad de ganar la rifa: un hombre o una mujer?

Ot ro

ol ei b Vó l

Fú tb o

Deportes que practican los estudiantes

n Bá sq ue tb ol

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Na ta ció

Número de estudiantes

En el gráfico se muestran los resultados de una encuesta realizada a un curso de 30 estudiantes.

a. ¿Cuál es el deporte que practica una mayor cantidad de estudiantes?

b. Una joven tiene distinta ropa deportiva para salir a trotar: 3 poleras, 2 buzos, 3 pantalones cortos y 2 pares de zapatillas. ¿De cuántas formas distintas puede vestirse para practicar deporte?

b. ¿Qué porcentaje de los estudiantes prefieren natación y vóleibol?

c. ¿Cuál es la probabilidad de escoger a un estudiante que practique básquetbol?

c. Una prueba tiene 4 alternativas para cada una de las 12 preguntas, de las cuales solo una es la correcta. ¿Cuál es la probabilidad de contestar correctamente todas las preguntas al azar?

d. ¿Cuál es la probabilidad de elegir a un estudiante que no practique fútbol?

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L.). Indicador Encontré el espacio muestral de un experimento. Apliqué la regla de Laplace y calculé probabilidades. Apliqué el principio multiplicativo para resolver problemas. Analicé la información dada en un gráfico. Resolví problemas que involucran probabilidades y técnicas de conteo.

(Pregunta 1) (Preguntas 2 y 3) (Pregunta 4) (Pregunta 5) (Pregunta 6)

189

Lección

Gregorio Mendel Nace en Heinzendorf, la actual República Checa.

Ingresa en el monasterio agustino de Königskloster.

Técnicas de conteo

Es ordenado sacerdote.

1822

↘ Principios básicos de conteo ↘ Variaciones

1839

Principios básicos de conteo

↘ Permutaciones

Principio aditivo

↘ Combinaciones

Si una actividad se puede realizar de r maneras, donde la primera de esas alternativas puede desarrollarse de n1 formas; la segunda alternativa, de n2 formas y así sucesivamente, hasta la alternativa r-ésima, que puede ser realizada de nr formas, entonces la cantidad de formas en que se puede realizar la actividad es:

↘ Aplicaciones

n1 + n2 + … + nr Principio multiplicativo Si una actividad se puede realizar en r pasos, donde el primero de esos pasos puede desarrollarse de n1 formas; el segundo paso, de n2 formas y así sucesivamente, hasta el paso r-ésimo, que puede ser realizado de nr formas, entonces la cantidad de formas en que se puede realizar la actividad es: n1 · n2 · … · nr

Ejercicios guiados 1. Analiza cada desarrollo y responde.

a. Una clave está compuesta de 5 dígitos, donde el primero puede ser 7, 8 o 9; el

Sé más Si n ∈ 핅, entonces el factorial de n, denotado por n!, se define como: n! = n · (n – 1) · … · 2 · 1 Con 0! = 1! = 1 Por ejemplo: · 3! = 3 · 2 · 1 = 6 · 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

segundo y el tercero deben ser números primos; el cuarto debe ser menor que 7, y el último no puede ser 0. ¿Cuántas claves se pueden formar? ▷ La actividad es crear una clave, mientras que los pasos son elegir cada dígito. Paso 1 → Elegir el primer dígito desde el conjunto {7, 8, 9}

→ 3 formas

Paso 3 → Elegir el tercer dígito desde el conjunto {2, 3, 5, 7}

→ 4 formas

Paso 2 → Elegir el segundo dígito desde el conjunto {2, 3, 5, 7}

→ 4 formas

Paso 4 → Elegir el cuarto dígito desde el conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

→ 7 formas

Paso 5 → Elegir el quinto dígito desde el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}→ 9 formas Luego, la cantidad de claves distintas que se pueden formar son: 3 · 4 · 4 · 7 · 9 = 3.024 ¿Cuál es el principio de conteo aplicado? ¿Cuántas claves se podrían formar si no existieran condiciones sobre los dígitos?

190

Ingresa a la Universidad de Viena, donde estudia Historia, Botánica, Física, Química y Matemática.

Publica sus tres leyes de genética, que tratan de la regularidad matemática de los fenómenos de la herencia.

Fallece en Brünn, República Checa, a los 62 años. Actualmente es considerado el padre de la genética.

Comienza a realizar experimentos sobre la hibridación de plantas.

1850

1884

b. Para ir de vacaciones a Antofagasta, Tomás y su familia pueden elegir uno de los tres vuelos de la línea A; los dos de la línea B o los tres de la línea C. ¿Cuántas alternativas tienen Tomás y su familia para ese viaje? ▷ La actividad es viajar a Antofagasta y tienen tres alternativas: los vuelos de las líneas A, B y C, en donde tienen 3, 2 y 3 formas para hacerlo, respectivamente. Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3

→

Elegir uno entre tres vuelos Elegir uno entre dos vuelos Elegir uno entre tres vuelos

Para conocer más sobre Gregorio Mendel ingresa el código SP2m191 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

→ 3 formas

→ 2 formas

→ 3 formas

Luego, la cantidad de alternativas para el viaje son: 3+2+3=8 ¿Cuál es el principio de conteo aplicado? ¿Cuántas alternativas tendrían si cada línea aérea elimina uno de sus vuelos?

Ejercicios propuestos 1. Crea una situación asociada a cada principio de conteo. Principio de conteo

Situación

Aditivo Multiplicativo

2. Resuelve cada situación en tu cuaderno aplicando el principio aditivo o multiplicativo, según corresponda.

a. Clara puede ir al cine A o al cine B. En el cine A hay tres películas que puede ver

y en el cine B hay cinco. ¿Cuántas opciones tiene para elegir? b. En un taller de arte hay dos grupos, uno formado por 10 mujeres y 8 hombres, y el otro, por 5 mujeres y 7 hombres. ¿Cuántas parejas se pueden formar sin mezclar los grupos? c. Si se lanza un dado de seis caras y una moneda al mismo tiempo, ¿cuántos resultados se pueden obtener? d. Un estudiante puede postular a 3 universidades: en la primera, puede elegir de entre 3 carreras; en la segunda, de entre 10; y en la tercera, de entre 8. ¿Cuántas carreras tiene para elegir? SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

Desafío Aplicando el principio multiplicativo, la cantidad de claves de cinco letras que se pueden crear con las vocales sin repetir ninguna de ellas es 5! = 120 Explica.

191

Lección 10: Técnicas de conteo

Variaciones Una variación de k elementos de un conjunto que tiene n elementos distintos es cada una de las formas en que se pueden ordenar k elementos, que difieren entre sí por algún elemento o por el orden de estos. Por ejemplo, algunas variaciones del conjunto {1, 2, 3, 4} son:

En un colegio, se premiará a los estudiantes de 2.° medio que logren el mejor promedio de cada asignatura. Si el curso tiene 32 estudiantes y 12 asignaturas, ¿cuántos grupos distintos de estudiantes premiados podría haber?

◾ Variaciones de 2 elementos: (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), etc. ◾ Variaciones de 3 elementos: (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 2, 4), etc. ◾ Variaciones de 5 elementos: (1, 1, 2, 3, 4), (2, 3, 3, 3, 4), (4, 1, 2, 3, 3), etc.

Para calcular cuántas variaciones de k elementos se pueden formar, se debe considerar si los elementos se pueden repetir o no. Variaciones con repetición

Variaciones sin repetición

Denotadas como Vr(n,k), se obtienen de:

Denotadas como V(n,k), k < n, se obtienen de: n! V(n,k) = __________ (n − k)!

Vr(n,k) = nk

Ejercicios guiados 1. Comprueba las fórmulas descritas anteriormente.

a. ¿Cuántos números de dos dígitos se pueden formar con los dígitos 2, 4 y 6, sin repetición? ▷ Según las condiciones, los números que se pueden formar son: →

24 – 26 – 42 – 46 – 62 – 64

6 números

Como n = 3 y k = 2, y los dígitos no se pueden repetir, entonces: 3! 3! 3 · 2 · 1 V(3,2) = __________ = ___ = __________ = 1 (3 − 2)! 1! Es decir, se comprueba mediante la fórmula que la cantidad de números es 6.

b. ¿Cuántos números de dos dígitos se pueden formar con los dígitos 2, 4 y 6, con repetición? ▷ Según las condiciones, los números que se pueden formar son: 22 – 24 – 26 – 42 – 44 – 46 – 62 – 64 – 66

→

9 números

Como n = 3 y k = 2, y los dígitos se pueden repetir, entonces: Vr(3,2) =

Es decir, se comprueba mediante la fórmula que la cantidad de números es 9. 2. Aplica variaciones para resolver cada situación.

a. Si se lanzan dos dados simultáneamente, ¿cuántos son los resultados posibles? ▷ Como algunos de sus resultados pueden ser (1, 1), (2, 2), etc., entonces las variaciones asociadas son con repetición. Así, la cantidad total es:

192

b. En una maratón compiten 15 deportistas y el podio lo ocuparán los primeros

cinco. ¿Cuántos podios distintos pueden resultar? ▷ Como un deportista no puede ocupar dos o más lugares en el podio, entonces, Por lo tanto, la cantidad de podios distintos es:

Ayuda 15! _____ = 10! 15 · 14 · 13 · 12 · 11 · 10! ________________________________ 10! = 15 · 14 · 13 · 12 · 11 = 360.360

Ejercicios propuestos 1. Identifica si las variaciones asociadas a cada situación son con o sin repetición. Situación

Tipo de variaciones

La cantidad de grupos de trabajo que se pueden formar con los estudiantes de un curso. Escribir una contraseña con la mitad de las letras de mi apellido. El primer estudiante en llegar al colegio cada uno de los días de la semana. La forma de apilar algunos de los libros distintos de una biblioteca sobre una mesa.

2. Resuelve los problemas. a. En cierto país, las patentes vehiculares están formadas solo por cuatro letras del abecedario distintas. ¿Cuántas patentes se pueden formar con esa condición?

b. Si se lanza un dado de 8 caras tres veces y se anotan los resultados, ¿cuántos son los resultados posibles?

c. Un banco aspira a tener 40.000 clientes de cuenta corriente y a cada uno le asignará un número de cuenta de cinco dígitos. ¿Será posible generar esa cantidad de cuántas? Justifica.

d. Cada uno de los profesores de Matemática, Física y Química elegirá con voto

secreto a un estudiante entre 9 para participar de un seminario. ¿Cuántas ternas pueden resultar?

Entonces, ¿cuántos grupos de premiados podrían haber? Resuelve en tu cuaderno.

193

Lección 10: Técnicas de conteo

Permutaciones Una permutación de un conjunto que tiene n elementos es cada una de las formas en que se pueden ordenar sus n elementos, que difieren entre sí por el orden de estos. Para calcular cuántas permutaciones se pueden obtener, se debe considerar si los elementos del conjunto son todos distintos o algunos están repetidos. ¿De cuántas maneras distintas se pueden formar 6 jóvenes en una fila para ingresar a un teatro?

Permutaciones de n elementos distintos: denotadas como P(n), se obtienen de: P(n) = n! Permutaciones de n elementos algunos repetidos: denotadas como P(n;a,b,...) se obtienen de: n! P(n;a,b,...) = _____________ a! · b! · ... Donde un elemento está repetido a veces, otro b veces, etc.

Ejercicios guiados 1. Comprueba las fórmulas descritas anteriormente.

a. ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con los elementos de {A, B, C}? ▷ Las permutaciones que se pueden formar son: ABC – ACB – BAC – BCA – CAB – CBA

→

6 permutaciones

Como n = 3 y los elementos no están repetidos, entonces: P(3) = 3! = Es decir, se comprueba mediante la fórmula que la cantidad de permutaciones es 6.

b. ¿Cuántas permutaciones se pueden formar con los elementos de {A, B, C, C}? ▷ Las permutaciones que se pueden formar son: Sé más Las permutaciones de los n elementos de un conjunto son un caso particular de las variaciones de los n elementos del conjunto. Así: P(n) = V(n,n) = n!

ABCC – ACBC – ACCB – BACC – BCAC – BCCA CABC – CACB – CBAC – CBCA – CCAB – CCBA

→ 12 permutaciones

Como n = 4 y un elemento se repite 2 veces, entonces: 4! P(4;2,1,1) = _____________ = 2! · 1! · 1! Es decir, se comprueba mediante la fórmula que la cantidad de permutaciones es 12. 2. Aplica permutaciones para resolver cada situación.

a. ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en una fila? ▷ Como los elementos son personas y se asume que son todas distintas, entonces:

194

b. ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en una fila, si dos son hombres y tres son mujeres, considerando solo su sexo? Considerando solo el sexo de las 5 personas, el conjunto está formado por dos elementos. Uno de ellos se repite dos veces (hombres) y el otro, tres veces (mujeres), entonces:

Desafío

Ejercicios propuestos 1. Identifica, en cada situación, si las permutaciones asociadas tienen elementos distintos o repetidos.

Situación

Tipo de permutación

Las formas en que se puede distribuir un grupo de 15 trabajadores en 15 puestos de trabajo. Los números que se pueden formar con los dígitos de tres dados de seis caras. Las maneras en que se pueden ordenar las letras de la palabra INTELIGENCIA. El orden de llegada a clases de los 30 estudiantes de un curso.

2. Resuelve los problemas.

Junto con un compañero o compañera, confeccionen 4 tarjetas y ubíquenlas simulando a 4 personas en torno a una mesa redonda. Cámbienlas de posición y determinen las diferentes formas en que se podrían ubicar. Investiguen sobre las permutaciones circulares y comprueben sus resultados.

a. De una urna con 7 tarjetas numeradas del 1 al 7, se extrae cada una de ellas

sucesivamente y se anota su número para formar una cifra de 7 dígitos. ¿Cuántos números distintos se pueden obtener?

b. Mario tiene tres libros de Lenguaje, cinco de Matemática, dos de Ciencias y

cuatro de Historia y los debe guardar uno al lado de otro en su biblioteca. ¿De cuántas maneras lo puede hacer, considerando solo la asignatura?

c. Un concurso consiste en abrir un cofre cerrado con 4 candados con una llave

distinta para cada uno. Si un concursante tiene 4 llaves y no sabe a qué candado corresponden, ¿cuántos intentos como máximo podría realizar hasta abrir cada candado?

Finalmente, ¿de cuántas maneras se pueden formar los jóvenes? Contesta en tu cuaderno.

195

Lección 10: Técnicas de conteo

Combinaciones Una combinación de k elementos de un conjunto que tiene n elementos distintos es cada una de las formas en que se pueden ordenar k elementos, con k < n, que difieren entre sí por algún elemento. Por ejemplo, para el conjunto {Chile, Perú, Bolivia} las combinaciones de 2 elementos son:

En un carnaval escolar, se venden dos tipos de tarjetas de lotería. La primera tiene 10 números, de los que se deben elegir 3; mientras que la segunda tiene 9 números y se deben elegir 4. ¿Cuál de ellas es más conveniente jugar?

◾ (Chile, Perú), (Perú, Bolivia) y (Bolivia, Chile), si son sin repetición de elementos. ◾ (Chile, Chile), (Perú, Perú), (Bolivia, Bolivia), (Chile, Perú), (Perú, Bolivia) y

(Bolivia, Chile), y si son con repetición de elementos. Para calcular cuántas combinaciones de k elementos se pueden hacer, se debe considerar si los elementos se pueden repetir o no. Combinaciones sin repetición

Combinaciones con repetición

Denotadas como C(n,k), se obtienen de:

Denotadas como Cr(n,k), se obtienen de: (n + k − 1)! Cr(n,k) = ________________ (n − 1)! · k!

n! C(n,k) = _______________ (n − k)! · k!

Ejercicios guiados 1. Comprueba las fórmulas descritas anteriormente.

a. Para un trabajo de Historia, un profesor les indicó a sus estudiantes que

eligieran dos de los tres colores de la bandera chilena para investigar qué representan. ¿Cuántas son las elecciones que puede realizar cada estudiante? ▷ Las combinaciones que se pueden formar con los colores: rojo (R), azul (A) y blanco (B) son:

Conectando con... Emblemas patrios

RA – BR – AB

→

3 combinaciones

Como n = 3, k = 2 y un estudiante no debería elegir dos veces el mismo color: 3! 3! C(3,2) = _______________ = ________ = (3 − 2)! · 2! 1! · 2! Es decir, se comprueba mediante la fórmula que la cantidad de combinaciones es 3.

b. Luego de la actividad anterior, el profesor elige al azar a dos estudiantes para La bandera que hoy rige en nuestro país fue concebida por el ministro de Guerra del Gobierno de Bernardo O´Higgins, José Ignacio Zenteno. Para saber más ingresa el código SP2m196 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

196

que le entreguen la investigación de uno de los colores. ¿Cuántas son las posibles combinaciones de colores que podría recibir? ▷ Las combinaciones admiten repeticiones, ya que, por ejemplo, podría elegir al azar dos investigaciones del mismo color: RR – AA – BB – RA – BR – AB

→

6 combinaciones

Como n = 3, k = 2 y los trabajos pueden ser sobre el mismo color, entonces: (3 + 2 − 1)! 4! Cr(3,2) = _______________ = ________ = 2! · 2! (3 − 1)! · 2! Es decir, se comprueba mediante la fórmula que la cantidad de combinaciones es 6.

2. Aplica combinaciones para resolver cada situación.

a. En un juego de azar, se deben acertar 6 de 41 números en sorteo, mientras que

en otro, 15 de 25. ¿Cuál de ellos tiene la mayor cantidad de resultados posibles? ▷ Como en cada juego un número sorteado no vuelve a ser considerado para elegir el siguiente, entonces: Desafío

b. Para un paseo familiar, Nicolás debe comprar tres bebidas en un supermercado que ofrece cinco tipos distintos. ¿Cuántos grupos distintos de bebidas podría comprar? ▷ Como Nicolás podría comprar dos bebidas iguales o incluso las tres, entonces:

Explica en tu cuaderno por qué en un juego de azar está involucrado el concepto de combinación y no el de permutación o variación. Comenta tu respuesta con tus compañeros.

Ejercicios propuestos 1. Identifica si cada situación tiene asociada una variación (V), una permutación (P) o una combinación (C).

Situación

Respuesta

Los números que se pueden formar con los dígitos 3, 5 y 7. Los números de tres dígitos que se pueden formar con los dígitos 3, 5 y 7. Los pares de números que se pueden elegir entre los dígitos 3, 5 y 7. Los votos de 10 profesores para elegir al mejor estudiante entre 5 alumnos. Las parejas de estudiantes que se pueden formar con 5 alumnos. Los rankings de 3 estudiantes, hechos a partir de 5 de ellos.

2. Resuelve los problemas. a. En un curso de 36 estudiantes, se deben elegir al azar a 3 de ellos para ser parte de la comisión de lectura. ¿Cuántos grupos distintos se podrían formar?

b. Los 12 equipos inscritos en un campeonato de vóleibol serán divididos en 3 grupos. ¿Cuántos grupos distintos se podrían obtener?

c. Matilde debe elegir 4 paseos mensuales entre el zoológico, el teatro, la

biblioteca, el cine y el museo, sin importar el orden. ¿Cuántas elecciones distintas podría hacer?

Finalmente, ¿cuál de las tarjetas es más conveniente jugar? Resuelve en tu cuaderno.

197

Lección 10: Técnicas de conteo

Aplicaciones Conectando con... La genética

Para aplicar variación, permutación o combinación en la resolución de problemas con la regla de Laplace, es necesario identificar cuál de esos conceptos es el involucrado. El siguiente esquema ayuda a hacer eso: Combinación

El cuadro de Punnett es un diagrama usado por los biólogos para determinar la probabilidad de que un producto tenga un genotipo particular. Para saber más, ingresa el código SP2m198 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

¿Importa el orden de los elementos?

¿Se pueden repetir los elementos? No

n! C(n,k) = ______________ (n − k)! · k!

Sí

(n + k − 1)! Cr(n,k) = ______________ (n − 1)! · k!

Sí

Variación

¿Se pueden repetir los elementos? No

n! V(n,k) = __________ (n − k)!

Sí

Vr(n,k) = nk

Recuerda, además, que una permutación es una variación que considera exactamente a todos los elementos y que el conjunto inicial puede o no tener elementos repetidos.

Ejercicios guiados 1. Completa la resolución de cada situación respondiendo cada pregunta.

a. Sebastián responderá al azar una prueba de 20 preguntas con 5 alternativas

cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte a las 20 respuestas correctas? • ¿Cuál es el concepto involucrado en el problema? ▷ El concepto involucrado es el de variación, ya que el orden sí importa. Por ejemplo, responder 1B, 2E o 3A es distinto de responder 1A, 2B o 3E, a pesar de haber marcado las mismas letras. Además, como son 5 alternativas para 20 preguntas, entonces alguna o algunas de las letras se repetirán necesariamente, por lo tanto, se trata de una variación con repetición.

• ¿Cuáles son los elementos que forman el espacio muestral? ¿Cuántos son? ▷ Los elementos del espacio muestral son cada una de las variaciones de 20 elementos formadas con las letras A, B, C, D y E (las alternativas). Por ejemplo, tres de esos elementos son: 1B-2E-3A-4C-5B-6A-7D-8A-9E-10B-11C-12A-13D-14B-15C-16E-17D-18A-19C-20B 1C-2E-3A-4B-5D-6B-7D-8C-9A-10E-11A-12D-13C-14E-15C-16A-17A-18C-19E-20E Luego, la cantidad de elementos del espacio muestral se obtiene así:

• ¿Cuál es la probabilidad de que acierte a las 20 respuestas correctas? ▷ Por lo tanto, la probabilidad de acertar a las 20 respuestas es 198

b. Carlos sabe que respondió incorrectamente solo 3 de las 20 preguntas de una

prueba. El profesor anunció que eliminará tres preguntas porque tienen un error de redacción. ¿Cuál es la probabilidad de que las preguntas eliminadas sean las que contestó incorrectamente Carlos? • ¿Cuál es el concepto involucrado en el problema? ▷ Es el de combinación ya que:

Además, las preguntas eliminadas no se pueden repetir, ya que, por ejemplo, anunciar que se eliminarán las preguntas 5, 7 y 5 equivale a decir que solo se eliminarán las preguntas 5 y 7, y no serían tres las eliminadas. Por lo tanto, las combinaciones son sin repetición. • ¿Cuáles son los elementos que forman el espacio muestral? ¿Cuántos son? ▷ Luego, la cantidad de elementos del espacio muestral se obtiene de esta forma:

• ¿Cuál es la probabilidad de que las preguntas eliminadas sean las que Carlos contestó incorrectamente?

Desafío ¿Cuál es la probabilidad de formar al azar la palabra ROMA con las letras de la palabra AMOR? ¿Cuál es el espacio muestral? Para responder, investiga con tu profesor de Lenguaje la definición de “palabra”.

Ejercicios propuestos 1. Resuelve cada situación en tu cuaderno. a. ¿Cuál es la probabilidad de formar el número 325 utilizando los dígitos 2, 3 y 5? b. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres hijos de un matrimonio sean niñas? c. ¿Cuál es la probabilidad de que tres amigos ocupen los tres primeros lugares en una olimpiada de conocimientos donde participan 90 estudiantes?

↘

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: aplicada

Según el Censo 2002, la población residente en Chile nacida en el extranjero era de 184.464 personas, muchas de ellas, estudiantes. Para el Día Internacional del Migrante, en un colegio se realizará una presentación artística de cada uno de los países que tienen estudiantes en el establecimiento: Perú, Bolivia y Colombia, además de dos presentaciones de Chile. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera presentación sea la de Bolivia y la última, la de Colombia? 1 ___ D. 1 A. ______ 5 120 1 ___ B. _____ E. 1 4 20 1 _____ C. 10 SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

199

Lección 10

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Analiza si cada situación corresponde al principio aditivo o al principio multiplicativo. a. La cantidad de maneras en que se pueden responder cuatro preguntas que tienen cuatro alternativas de respuesta cada una.

c. El chofer de un camión necesita realizar 40 repartos en cinco días, y cada reparto tiene distintos destinos. Si cada día debe hacer 8 entregas, ¿de cuántas maneras el chofer puede organizar los repartos de cada día?

b. La cantidad de promociones que se pueden elegir de dos compañías de telefonía celular, donde una ofrece tres promociones y la otra ofrece seis. c. La cantidad de transbordos que se pueden realizar si después de tomar la línea 201 se deben hacer dos transbordos, mientras que al tomar la línea 202 se deben hacer tres transbordos. 2. Aplica variaciones para resolver.

3. Aplica permutaciones para resolver. a. Calcula la cantidad de números que se pueden formar con los dígitos del número 111.223.330.

a. En la asignatura de Lengua y Literatura se aplicará una prueba para evaluar la lectura de tres libros distintos, para lo cual cada estudiante deberá leer uno de estos. ¿De cuántas maneras se pueden organizar 40 estudiantes para leer estos tres libros? b. En una sala de cine se mostrarán cinco películas, y cada día se hará un orden distinto, que no se puede repetir otro día. ¿Durante cuántos días se podrán mostrar estas cinco películas en esa sala?

b. A un grupo de 12 estudiantes los ordenan en una sola fila en la sala de clases para rendir una prueba. Si los alumnos que se ubican en el primer, tercer y quinto puesto no pueden cambiarse de posición, ¿de cuántas maneras se puede organizar el orden de estos estudiantes en la fila?

200

c. ¿Cuántas formas de ordenarse en una fila tienen los 12 integrantes de una junta directiva, si todos tienen cargos distintos?

4. Aplica combinaciones para resolver.

5. Resuelve los problemas.

a. Calcula la cantidad de equipos de futbolito de 7 jugadores que se pueden formar con un grupo de 10 jugadores disponibles.

b. De una baraja de naipe inglés (52 cartas), un jugador extrae cinco cartas, denominadas “mano”. ¿Cuántas manos se pueden obtener tras extraer cinco cartas de esta baraja?

c. Un grupo de 12 amigos decide realizar un viaje al sur de Chile en tres automóviles. Si todos cuentan con licencia de conducir y viajan 4 en cada uno,¿de cuántas maneras se pueden agrupar estos amigos en los distintos automóviles?

a. Un juego de azar consiste en acertar a 3 números de un total de 10 que entran en el sorteo. ¿Es más probable acertar a los números 1, 2 y 3 o a los números 4, 7 y 9?

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 y un 4 al lanzar dos dados simultáneamente?

c. Una familia, compuesta por el padre, la madre y sus tres hijos, se sentará al azar en los 5 asientos disponibles de un teatro. ¿Cuál es la probabilidad de que los padres se sienten uno al lado del otro?

Apliqué variaciones para resolver problemas. (Pregunta 2)

Apliqué permutaciones para resolver problemas. (Pregunta 3)

Apliqué combinaciones para resolver problemas. (Pregunta 4)

Resolví problemas de probabilidad aplicando técnicas de conteo. (Pregunta 5)

201

Lección

Variable aleatoria

Carl Friedrich Gauss

A temprana edad, publica su obra sobre la teoría de los números.

A los 11 años asombra a su profesor al encontrar la suma de los números entre uno y cien usando álgebra.

Nace en Brunswick, Alemania.

Es nombrado profesor de Matemática y director del observatorio de Göttingen .

1777

1796

↘ Variable aleatoria

Variable aleatoria

↘ Variable aleatoria discreta finita ↘ Probabilidad de una variable aleatoria discreta ↘ Representación gráfica de las probabilidades

Una variable aleatoria, denotada generalmente con una X, es una función que asocia un número real x a cada elemento del espacio muestral Ω de un experimento: X: Ω → A ⊆ 핉 Donde Ω es el espacio muestral y A es un subconjunto de números reales. Por ejemplo, si el espacio muestral de verificar el funcionamiento de tres ampolletas, considerando defectuosa D o no defectuosa N, es: Ω = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD} Entonces, se puede definir la variable X que asigna a cada elemento de Ω la cantidad de ampolletas no defectuosas: Ω x

NNN 3

NND 2

NDN 2

DNN 2

NDD 1

DND 1

DDN 1

DDD 0

Luego, el recorrido de X es A = {0, 1, 2, 3}, o bien los valores que asume X son x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 y x4 = 3, o bien X = 0, X = 1, X = 2 y X = 3.

Ejercicios guiados 1. Analiza cada experimento. Luego, completa.

a. Se sacan dos fichas en sucesión y sin reemplazo de una urna que contiene Sé más Un experimento podría tener dos o más variables aleatorias asociadas. Por ejemplo, en el experimento de las ampolletas se podría definir la variable aleatoria Y: número de ampolletas defectuosas; o Z: diferencia entre el número de ampolletas defectuosas y no defectuosas, etc.

202

4 fichas negras y 5 blancas. Se define la variable aleatoria X: número de fichas blancas. ▷ El espacio muestral del experimento es Ω = {NN, NB, BN, BB}. Por lo tanto, el . recorrido de la variable aleatoria X es

b. Se lanza un dado hasta que sale un 4. Se define la variable aleatoria Y: números

distintos del 4 antes de que salga. ▷ El espacio muestral del experimento es Ω = {S, NS, NNS, NNNS, NNNNS, …}, donde S significa que se obtiene un 4, y N, que se obtiene otro número. Así, el recorrido . de Y es

c. Una industria mide la distancia que varios modelos de vehículos pueden recorrer con 1 litro de gasolina. Se define la variable aleatoria Z: distancia en metros recorrida por un automóvil. ▷ Existen infinitos resultados posibles para el experimento. Por ejemplo, si la menor distancia registrada fuera 6.230 m y la mayor, 19.586, el espacio muestral del experimento sería Ω = [6.230, 19.586]. Luego, el recorrido de la variable . aleatoria Z sería el intervalo de números reales

Por un período de 10 años se dedica a la física matemática.

Fallece en Göttingen a la edad de 78 años. Tras su muerte, es nombrado el príncipe de la matemática.

Trabaja durante 27 años en Geodesia.

1816

1855

Ejercicios propuestos 1. Analiza cada experimento y resuelve. a. En una urna hay tres bolitas: una roja, una azul y una verde. Se saca al azar y

Para conocer mas sobre Carl Friedrich Gauss ingresa el código SP2m203 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

sin reposición una de ellas hasta sacar la bolita verde. Se define la variable aleatoria X: número de extracciones necesarias hasta sacar la bolita verde. Ω X

Escribe los eventos asociados a cada valor de la variable X: •X=1

•X=2

•X≥2

b. Si se repite el experimento anterior, pero esta vez la extracción es con reposición, ¿cuál será la diferencia entre los espacios muestrales?

Considerando la variable aleatoria del ejercicio anterior, escribe los eventos asociados a cada valor: •X=1

•X≤3

¿Se puede calcular cuántos sucesos están asociados a X ≥ 2? Explica.

2. Determina el dominio y el recorrido de la variable aleatoria definida en cada situación. Si no es posible, detalla algunas de sus características.

a. En un aeropuerto, se pregunta a las personas sobre su destino, hasta encontrar

alguna que viaje a Arica. Se define la variable aleatoria X: cantidad de personas encuestadas hasta encontrar una que viaje a Arica. b. En un laboratorio se registra el tiempo que tarda una reacción química. Se define la variable aleatoria X: tiempo que tarda la reacción química. c. Para el aniversario de un colegio, se realizará una competencia de conocimientos entre dos alianzas, la que consiste en responder 5 preguntas. La alianza ganadora recibe 100 puntos por cada respuesta correcta que tenga más que la otra. Se define la variable aleatoria X: puntaje obtenido en la competencia.

Desafío Clasifica los recorridos de las variables aleatorias del ejercicio propuesto 2 entre finito o infinito según corresponda.

203

Lección 11: Variable aleatoria

Variable aleatoria discreta finita Conectando con... Las variables meteorológicas

La meteorología es parte de la física que estudia los fenómenos naturales de la atmósfera terrestre y las variables que producen el tiempo atmosférico. Para saber más, ingresa el código SP2m204 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Una variable aleatoria es discreta y finita si su recorrido tiene una cantidad finita de elementos que se pueden enumerar. Por ejemplo, son variables aleatorias finitas: ◾ X: cantidad de números pares asociada al experimento de lanzar simultáneamente

2 dados y formar un número de dos dígitos. ◾ Y: número de cartas de pinta roja asociado al experimento de extraer 4 cartas de un naipe inglés. ◾ Z: el cociente entre la cantidad de mujeres y hombres asociado al experimento de formar grupos de personas de ambos sexos. ◾ W: el número del subterráneo asociado al experimento de preguntar en qué subterráneo las personas estacionan sus vehículos.

Ejercicios guiados 1. Analiza si la variable aleatoria definida en cada situación es finita o no.

a. X: cantidad de personas mayores de 18 años asociada al experimento aleatorio de preguntar la edad a 5 personas de un grupo de 20. ▷ El espacio muestral Ω y el recorrido de X se muestran en la tabla: Ω 5 personas menores de edad 4 personas menores de edad y 1 mayor

X 0 1

Entonces, el recorrido de la variable X es el conjunto lo tanto, la variable aleatoria es finita, ya que su recorrido tiene

. Por elementos.

• ¿Seguiría siendo finita la variable X si se realiza el mismo experimento, pero el grupo de personas es de todos los habitantes de una ciudad? Justifica.

b. Y: cantidad de minutos utilizados asociada al experimento aleatorio que mide el Sé más Una variable aleatoria discreta también puede ser infinita. Por otro lado, si el recorrido es un intervalo de números reales, la variable aleatoria es continua.

204

tiempo de viaje de un camión desde Santiago a Rancagua. ▷ Dependiendo del instrumento con que se midan los tiempos de viaje, el espacio muestral Ω del experimento puede tener infinitos valores dentro de un intervalo de tiempo. Por ejemplo, 45 min, 45,7 min, 45,126 min, etc. Por lo tanto, la variable aleatoria Y no es finita, es decir, es infinita. • ¿Y si los tiempos se consideran aproximados al entero, la variable seguiría siendo infinita?

2. Analiza las variables aleatorias X e Y. Luego, clasifícalas como discreta infinita o discreta finita.

Ayuda En el ejercicio guiado 2 se utilizó una combinación con repetición de 2 elementos, de un total de 4.

a. X: cantidad de números primos al lanzar dos veces un dado de cuatro caras. ▷ Considerando el espacio muestral Ω del experimento y la variable X, se tiene: Ω X

(1, 1) 0

(1, 2) 1

(1, 3)

(1, 4)

(2, 2)

Luego, el recorrido de X se puede numerar y es finito: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 Por lo tanto, la variable aleatoria X es

b. Y: cantidad de lanzamientos de un dado de cuatro caras hasta obtener un

múltiplo de 2. ▷ Considerando el espacio muestral Ω del experimento y la variable Y, se tiene: Ω Y

2 1

4 1

1-2 2

1-4 2

3-2 2

3-4 2

1-1-2

1-1-4

1-3-2

1-3-4

3-1-2

3-3-4

… …

La tabla solo muestra algunos de los elementos del espacio muestral. A pesar de esto, se puede observar que el recorrido de Y es: y1 = 1, y2 = 2, y3 = 3, y4= 4,… Es decir, es numerable e infinito. Por lo tanto, Y es una variable aleatoria .

Ejercicios propuestos 1. Clasifica las variables aleatorias como discretas o continuas. a. b. c. d.

X: el número de accidentes escolares por año en un colegio. Y: el tiempo que dura un partido de tenis. Z: la cantidad de lluvia caída en una ciudad durante un año. W: el número de goles marcados en cada partido por un jugador.

2. Resuelve los problemas en tu cuaderno. a. Una caja con 5 computadores incluye 2 que tienen algunas fisuras. Si una tienda adquiere 3 de esos computadores aleatoriamente, representa en una tabla el espacio muestral y los valores que asume la variable aleatoria X que representa el número de computadores con fisuras adquiridos por la tienda. ¿Es X una variable discreta? b. Se define la variable aleatoria Y como la resta entre los números obtenidos al lanzar en sucesión dos veces un dado de seis caras. Expresa en un conjunto el espacio muestral del experimento y el recorrido de la variable. Justifica si Y es discreta finita. c. Una moneda se lanza al aire hasta que salen 3 sellos consecutivos. Representa en un conjunto el espacio muestral si el número máximo de lanzamientos es 7, y determina el recorrido de la variable aleatoria Z, que indica la cantidad de lanzamientos hasta obtener el último sello de los 3 consecutivos. ¿La variable Z es finita o infinita?

Desafío Determina, si es posible, el dominio y recorrido de las variables dadas como ejemplo en el recuadro inicial de la página 204.

205

Lección 11: Variable aleatoria

Probabilidad de una variable aleatoria discreta Conectando con... Probabilidad y estadística

Si X es una variable aleatoria discreta asociada a un experimento aleatorio con espacio muestral Ω, entonces la probabilidad de que X asuma el valor xi, denotado como P(X = xi), corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso xi. Por ejemplo, al lanzar 3 monedas se tiene el espacio muestral: Ω = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS}

Aunque el azar es lo imprevisible, la estadística le asigna una propiedad: la frecuencia del resultado tiende a estabilizarse en torno a un valor al repetirse indefinidamente el experimento. Para saber más ingresa el código SP2m206 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Si se define X: número de caras; entonces, los valores que puede asumir X son x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 y x4 = 3, ya que es posible obtener 0, 1, 2 o 3 caras. Considerando que los elementos de Ω son 8, se tiene: 1 ◾ P(X = 0) = ___ = 0,125, ya que X = 0 cuando ocurre SSS. 8 3 ___ ◾ P(X = 1) = = 0,375, ya que X = 1 cuando ocurre CSS, SSC y SCS. 8 3 ___ ◾ P(X = 2) = = 0,375, ya que X = 2 cuando ocurre CCS, CSC y SCC. 8 1 ◾ P(X = 3) = ___ = 0,125, ya que X = 3 cuando ocurre CCC. 8

Ejercicios guiados 1. Completa cada tabla y responde.

a. En el lanzamiento de 2 dados de seis caras se define la variable aleatoria X:

cantidad de 6 obtenidos. ▷ La cantidad de elementos del espacio muestral se obtiene de una variación con repetición de 2 elementos de un total de 6, es decir, Vr 62 = 62 = 36. Entonces: xi

P(X = xi)

¿Cuál es el valor de P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)?

b. Se seleccionan al azar 2 números entre 1, 3, 5 y 7, y se define la variable aleatoria discreta Y: cantidad de números primos. ▷ El espacio muestral del experimento es:

Ω = {(1-3), (1-5), (1-7), (3-5), (3-7), (5-7)} Entonces: yi

P(Y = yi)

Si se define otra variable aleatoria, ¿la suma de sus probabilidades debería ser 1?, ¿podría ser otro valor?

206

Ejercicios propuestos 1. Analiza cada experimento y calcula. a. Un experimento consiste en extraer 2 esferas de una caja que contiene 2 esferas rojas y 2 azules, y se define la variable aleatoria X como la cantidad de esferas rojas. • P(X = 0)

• P(X = 1)

• P(X = 2)

b. Dos equipos de fútbol disputarán 4 partidos. Se define la variable aleatoria Y como la cantidad de empates. • P(Y = 0)

• P(Y = 2)

• P(Y = 4)

2. Resuelve cada problema en tu cuaderno. a. De una caja que contiene 4 monedas de $100 y 2 de $500, se seleccionan 3 de

ellas al azar y sin reemplazo. Determina la probabilidad de la variable aleatoria definida como el monto total de las 3 monedas. b. De una urna que contiene 2 fichas blancas y 4 negras, se extraen 3 de ellas en sucesión y con reemplazo. Encuentra la probabilidad de la variable aleatoria definida como el número de fichas blancas. c. De un naipe español se sacan 3 cartas sin reemplazo. Calcula la probabilidad de la variable aleatoria definida como el número de cartas de espadas.

↘

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

El diagrama de árbol corresponde al experimento de analizar, en sucesión, si 3 pilas están cargadas (C) o no lo están (NC), y se define la variable X: cantidad de pilas no cargadas.

C C C

¿Cuál es la probabilidad de que X = 2?

A. 0 B. 0,375 C. 0,25 D. 0,5 E. 1

C NC NC

NC C NC C NC C NC

207

Lección 11: Variable aleatoria

Representación gráfica de las probabilidades La representación gráfica de las probabilidades de una variable aleatoria discreta se realiza en un gráfico de barras, donde el eje horizontal representa los valores de la variable y el eje vertical muestra la probabilidad. Por ejemplo, para la variable X: 0

P(X = xi)

0,17

0,29

0,21

0,17

0,11

0,05

La representación gráfica de sus probabilidades es: Probabilidad de la variable X

P(X = xi)

En una empresa, elegirán al azar a 6 trabajadores y definirán la variable aleatoria X: cantidad de trabajadores con más de dos atrasos durante el mes. ¿Qué tipo de gráfico es el más conveniente para representar dicha variable?

0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0

0,29 0,21

0,17

0,17 0,11 0,05

Ejercicios guiados 1. Analiza el gráfico y completa la tabla. Luego, responde. Probabilidad de la variable Y yi

P(Y = yi)

0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0

P(Y = yi)

1 3 1

0,20

a. ¿Cuál es el recorrido de la variable aleatoria Y? b. ¿Cuál es la probabilidad de que Y = 5? c. ¿Existen valores de la variable que tengan la misma probabilidad de ocurrir?

208

2. Completa el gráfico según la información dada. El espacio muestral del experimento que consiste en sacar dos fichas marcadas con letras desde una urna es: Ω = {AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE} Z: cantidad de letras entre ellas según su ubicación en el abecedario. Probabilidad de la variable Z

P(Z = zi)

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Si se agrega la letra F al experimento, ¿cambiarían las probabilidades de la variable Z?

Ejercicios propuestos 1. Representa gráficamente las probabilidades de cada variable en tu cuaderno. a. X: cantidad de semáforos en rojo. xi

P(X = xi)

0,10

0,40

0,25

0,20

0,05

¿Qué opinas de esto?

b. Z: cantidad de esferas rojas que se pueden extraer de una tómbola. zi

P(Z = zi)

0,125

0,200

0,400

0,150

0,125

2. Resuelve en tu cuaderno. Probabilidad de la variable X: cantidad de horas destinadas a leer

P(X = xi)

0,30 0,25 0,20 0,15

En Finlandia, uno de los países con mejor sistema educativo, según sus resultados en la prueba PISA, el 80 % de las familias van a las bibliotecas los fines de semana.

0,10 0,05 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

a. ¿Cuál es la probabilidad de que X = 2? b. ¿Cuál es la probabilidad de elegir a un estudiante de todos los encuestados que destine a leer 7 horas?

Por lo tanto, ¿cuál es el gráfico que se utilizará en la empresa? Justifica en tu cuaderno.

209

Lección 11

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Determina el recorrido de cada variable. a. Cantidad de joker que se pueden obtener al extraer 6 cartas de una baraja de 54, de un naipe inglés.

3. Analiza la tabla asociada a cada variable. Luego, responde. X: cantidad de celulares por familia. xi

P(X = xi) 0,03

b. Cantidad de cubos que se pueden extraer de una caja que contiene 3 esferas y 4 cubos, al sacar 2 cuerpos de la caja.

c. Cantidad de hijos que puede tener una familia.

2. Define una variable aleatoria para cada situación. Luego, resuelve. a. Una empresa desea comprar 2 automóviles nuevos a una automotora que cuenta con 10 unidades disponibles para la venta. Si se sabe que en estos 10 automóviles hay 2 que presentan fallas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los autos que compre la empresa esté defectuoso?

0,02

0,4

0,22

0,20

0,13

a. ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia haya por lo menos 3 celulares?

b. ¿Cuál es la probabilidad de no encontrar 6 celulares en una familia?

c. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a lo más 2 celulares en una familia?

4. Observa los gráficos. Luego, resuelve. a. En el siguiente gráfico, se representa la probabilidad de que un trabajador postule a una cierta cantidad de trabajos.

b. Se lanza una moneda en 4 oportunidades. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras consecutivas en los 4 lanzamientos?

Probabilidad P(X)

Probabilidad de postular a ofertas de trabajo 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0

0 1 2 3 4 5 Cantidad de ofertas de trabajo (X)

• ¿Cuál es la variable aleatoria X? c. Una tómbola tiene 3 fichas con el número 3, 2 fichas con el número 2 y 5 con el número 0. Si se realizan 2 extracciones, ¿cuál es la probabilidad de obtener solamente ceros?

• ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador postule a 3 ofertas laborales? • ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador no postule a ninguna oferta laboral?

210

b. El siguiente gráfico representa la probabilidad de vender una cantidad concreta de completos durante un minuto.

Probabilidad P(X)

Probabilidad de vender completos en un minuto 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0

5. Representa las probabilidades de la variable. Luego, resuelve. En una empresa que fabrica computadores, se sabe que en un grupo hay 7 aparatos defectuosos. La variable X representa la cantidad de computadores con fallas. xi

P(X = xi) 0,15 0,20 0,25 0,16 0,10 0,08 0,06 0

1 2 3 4 5 Cantidad de completos (X)

• ¿Cuál es la variable aleatoria X? • ¿Cuál es su recorrido? • ¿Cuál es la probabilidad de vender un completo en un minuto?

a. ¿Cuál es el recorrido de la variable X?

b. ¿Cuántos computadores defectuosos es menos probable encontrar?

c. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a lo más un computador defectuoso?

d. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar más de 5 computadores defectuosos?

• ¿Qué cantidad de completos es más probable que se venda en un minuto en este local? e. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar entre 3 y 7 computadores defectuosos?

Reconocí variables aleatorias discretas y calculé sus probabilidades. (Preguntas 2 y 3)

Analicé representaciones gráficas de las probabilidades de variables. (Pregunta 4)

Utilicé la representación gráfica de una variable para resolver un problema. (Pregunta 5)

211

UNIDAD

↘ Taller de TIC

Hoja de cálculo

Representar gráficamente las probabilidades de una variable

Abre una hoja de cálculo e ingresa en una celda una lista de valores para la variable aleatoria X. Por ejemplo:

Luego, ingresa los valores de las probabilidades P(X = xi) en la siguiente columna. Por ejemplo:

Luego, se quita la leyenda “serie 1” del gráfico presionando el botón derecho del mouse sobre la leyenda y haciendo clic sobre Eliminar. Así, se obtiene lo siguiente:

Se hace clic en Presentación, de la barra de herramientas. Después, se selecciona el ícono Título del gráfico y se escoge la segunda opción. Por último, debes escribir como título Función de probabilidad. Para dar nombre a los ejes, nuevamente se selecciona Presentación y se hace clic en Rótulos del eje. En el eje horizontal escribe x, y en el vertical ingresa P(X = xi). Así obtienes lo siguiente:

212

Para graficar los datos, selecciona los valores de la segunda columna y presiona el botón Insertar de la barra de herramientas. Luego, en la pestaña de Gráficos selecciona Columna y escoge la primera opción, como muestra la imagen.

1. Representa gráficamente las probabilidades en cada caso. a. P (X = xi) xi

P(X = xi)

0,4

0,20

0,3

0,15

0,35

0,20

0,10

0,2 0,1

3 X

b. xi

P(X = xi)

0,05

0,15

0,30

0,15

0,05

P (X = xi) 0,4 0,3 0,2 0,1

2. Considera los gráficos anteriores para responder las preguntas. a. En el gráfico de a, ¿cuál es la probabilidad de que la variable X sea 2 o 4?, ¿y en el de b?

b. En el gráfico de a, ¿cuál es la probabilidad de que la variable X sea mayor que 3?

c. En el gráfico de b, ¿para qué valores de X la probabilidad es la misma?

213

Lección

Thomas Bayes Nace en Londres, Inglaterra.

Es educado privadamente en casa, por la costumbre de los no conformistas de la época.

Se matricula en la Universidad de Edimburgo, donde estudia Lógica y Teología.

Probabilidad 1702

↘ Probabilidad y medios de comunicación ↘ Probabilidad y toma de decisiones ↘ Interpretaciones de la probabilidad

1717

Probabilidad y medios de comunicación Es frecuente escuchar o leer en algún medio de comunicación la palabra posibilidad o probabilidad, haciendo referencia a la posibilidad de que ocurra algún suceso. Esta información se muestra a través de gráficos, tablas o simplemente se puede desprender de algún texto. Por ello, para poder estar informados, es necesario conocer los conceptos estadísticos y probabilísticos involucrados.

Ejercicios guiados 1. Analiza cada texto. Luego, responde.

Sé más En el mismo estudio de 1a, se establece que una persona padece síndrome metabólico cuando tiene tres o más factores asociados con enfermedades de corazón y diabetes. En este grupo se incluye a las personas obesas, que tienen una alta presión sanguínea, un colesterol alto y una cintura grande.

Tomar frutos secos reduce la probabilidad de sufrir obesidad Redacción La Razón Reuters / Ep. Nueva York Viernes, 10 de enero del 2014

Las personas que toman con frecuencia frutos secos, tales como nueces, almendras o pistachos, tienen entre un 37 y 46 por ciento menos de probabilidad de padecer obesidad, según un reciente estudio de la ‘Loma Linda University’ de California (EEUU). De hecho, los investigadores vieron que de los 803 participantes en el es-

tudio, publicado en ‘PLOS ONE’, los que más frutos secos tomaban tienen un menor riesgo de tener un factor de riesgo conocido como síndrome metabólico, que está relacionado con un riesgo elevado de enfermedades de corazón y diabetes. En este sentido, un tercio de los participantes en la investigación tenían este síndrome.

Esta noticia intenta mostrar una valorización sobre las posibilidades de padecer obesidad si se consume frutos secos y de esto se puede obtener lo siguiente: • Consumir frutos secos es más saludable para el cuerpo humano, pero no previene completamente la obesidad; sin embargo, existen menos posibilidades de que esto ocurra. • Este estudio está basado en un grupo de 803 personas y, de acuerdo a sus resultados, los consumidores de frutos secos disminuyen entre un 37 % y un 46% las probabilidades de padecer obesidad. • No consumir frutos secos no asegura completamente que en el futuro se padezca de obesidad, pero sí existen más posibilidades.

214

Es admitido como miembro de la Royal Society.

Se convierte en reverendo de la iglesia presbiterana en Tunbridge Wells.

1730

Fallece en Tunbridge Wells, Inglaterra. Luego de su muerte se publica su obra más importante, donde se enuncia el teorema que lleva su nombre.

1761

La paradoja de los cuatro hijos NEOTEO ABC.es

Asumiendo que la mitad de los nacimientos son de varones y la mitad de mujeres, el sentido común nos impulsa a creer que en un caso como éste la familia tendrá dos hijos y dos hijas. Pero puede demostrarse matemáticamente que tal cosa es bastante improbable. Es la paradoja de los cuatro hijos. Nuestro cerebro tiende a jugarnos malas pasadas cuando asume resultados basándose en lo que la gente llama «sentido común». Cuando enfrentamos los resultados obtenidos por este método intuitivo con los que arrojan los fríos (pero efectivos) cálculos matemáticos, vemos con sorpresa cómo de equivocados estábamos. Una de las paradojas que resulta más sencilla de demostrar es la que Martin Gardner -un

Para conocer más sobre Thomas Bayes ingresa el código SP2m215 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

divulgador científico y filósofo de la ciencia estadounidense- llama «paradoja de los cuatro hijos». Gardner dice que si sabemos (o nos cuentan) que un matrimonio tiene cuatro hijos, tendemos a pensar que existe una alta probabilidad de que dos de ellos serán niños, y dos niñas. Sin embargo, y a pesar de que estadísticamente prácticamente la mitad exacta de los nacimientos son de varones y la mitad de mujeres, puede demostrarse matemáticamente que nuestra intuición falla miserablemente. Las matemáticas demuestran que solo el 37,5 % de las familias con cuatro hijos tendrá dos de cada sexo, y que -en realidad- es mucho más probable tener 3 hijos de un sexo y uno del otro que cualquiera de las otras posibilidades por separado.

• ¿En qué consiste la paradoja de los cuatro hijos? • A partir del texto, ¿se puede obtener que la probabilidad de que tres de cuatro hijos sean varones es 0,375? Justifica. ▷ Sí, ya que según el texto solo el 37,5 % de las familias tendrán dos hijos de cada sexo, lo que equivale al decimal 0,375. • ¿Por qué, para los matrimonios que tienen 4 hijos, es más probable tener tres hijos del mismo sexo? Justifica. ▷ Las posibles variaciones de cuatro hijos, considerando hombre H y mujer M, son {HHHH, HHHM, HHMH, HHMM, HMHH, HMHM, HMMH, HMMM, MHHH, MHHM, MHMH, MHMM, MMHH, MMHM, MMMH, MMMM}

Ayuda En el ejercicio guiado 1b, la cantidad de variaciones se obtienen de: Vr(4, 2) = 24 = 16

Por lo tanto, SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

215

Lección 12: Probabilidad

Ejercicios propuestos 1. Responde a partir de los gráficos realizados por el Departamento de Epidemiología del Ministerio de Salud de Chile.

60 % 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0%

Satisfacción con la privacidad del lugar donde vive

Muy mal

Mal

Menos que regular

Regular

Más que regular

Bien

Muy Bien

2000

3,1 %

4,5 %

3,2 %

14,8 %

8,7 %

44,6 %

20,8 %

2006

1,7 %

2,7 %

3,0 %

11,7 %

12,2 %

48,1 %

20,7 %

Muy Bien

60 % 50 % 40 % 30 % 20 % 10 % 0%

Satisfacción con el dinero que recibe

Muy mal

Mal

Menos que regular

Regular

Más que regular

Bien

2000

6,0 %

15,5 %

8,7 %

29,3 %

13,9 %

21,9 %

4,7 %

2006

3,2 %

10,1 %

8,2 %

28,1 %

21,1 %

24,2 %

5,0 %

a. ¿Es más probable que una persona esté más satisfecha con su sueldo que con la privacidad del lugar donde vive en ambos años? Justifica tu respuesta.

b. ¿Es más probable que una persona tenga una satisfacción “regular” respecto

del dinero que recibe tanto en el año 2002 como en el año 2006? Justifica tu respuesta.

c. ¿Cuál es el grado de satisfacción más probable que existe en la privacidad del lugar donde vive en los años 2002 y 2006?

216

2. Analiza la información. Luego, responde.

Selección de Costa Rica aumenta a 72,4 % su probabilidad de estar en los octavos de final

¿Qué opinas de esto?

Por Fiorella Masís / fiorella.masis@nacion.com - Actualizado el 16 de junio de 2014 a: 12:12 p.m.

Seg ú n el sit io de pre d icciones FiveThirtyEight, que actualiza las posibilidades de cada grupo conforme avance la competencia, la Selección Nacional de Costa R ica aumentó, considerablemente, sus opciones de acceder a los octavos de final del Mundial Brasil 2014 después de vencer 3-1 a Uruguay el sábado. El sitio de predicciones estadounidense FiveThirtyEight actualiza su estudio sobre la Copa del Mundo conforme a cómo avanza la competencia, por lo que la Tricolor pasó de tener un 30 % de posibilidades a un 72,4 %, siendo la segunda selección del grupo D con más probabilidad. Italia sigue siendo el equipo favorito, ya que antes de iniciarse su partido ante Iglaterra –que ganó 2-1– tenía un 46,6 %, y ahora cuenta con un 74,4 %.

Costa Rica incluso mejoró en sus probabilidades de acceder a la siguiente ronda de primero. Antes tenía tan solo un 9,5 % de opciones y ahora tiene un 41,3 % contra un 31,2 % de hacerlo en la segunda casilla. Para los dos partidos que le restan al equipo patrio, siguen siendo favoritos sus rivales. En el juego ante Italia tiene un 41 % de probabilidad de perder, mientras que con Inglaterra un 45 %. FiveThirtyEight fue creado por Nate Silver el 7 de marzo de 2008, y desde entonces el sitio ha publicado artículos de análisis de información estadística, sobre todo en temas de política, aunque también lo hace con deportes, economía, ciencia y temas sociales.

Según organizaciones sociales brasileñas, en la copa mundialBrasil 2014 se destinaron US$ 4.000 millones a la construcción y remodelación de doce estadios, en lugar de invertirlos en salud, educación y obras de infraestructura básica.

a. ¿A partir de qué información se obtiene el aumento de la probabilidad de que la selección de Costa Rica clasifique a octavos de final?

b. A partir del texto, ¿la probabilidad de que Costa Rica clasifique segundo en su grupo es 0,312? Justifica.

c. Si aumentó la probabilidad de estar en octavos de final, ¿se puede asegurar que pase a cuartos de final? Justifica.

217

Lección 12: Probabilidad

Probabilidad y toma de decisiones Conectando con... El teorema de Bayes

Las probabilidades permiten valorizar los posibles resultados de muchas situaciones de la vida real y, con ello, facilitan la toma de decisiones con respecto a determinadas opciones a seguir. Por ejemplo, en el crecimiento económico, en la distribución de los bienes, en medidas medioambientales, en el tratamiento de la delincuencia o en los accidentes de tránsito. Para ello, es necesario reconocer los elementos de probabilidad involucrados.

Ejercicios guiados 1. Analiza la situación y luego responde las preguntas. Permite el cálculo de probabilidades después de realizado un experimento basado en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del estudiado. Para saber más ingresa el código SP2m218 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Una persona desea invertir su dinero y para ello puede elegir entre tres empresas. En la primera empresa la probabilidad de obtener ganancias es de un 30 % y la de perder dinero es de un 40 %; en la segunda, la probabilidad de tener ganancias es de un 10 % y de perder es de un 60 %; y en la tercera, la probabilidad de obtener ganancias es de un 20 % y la de perder es de un 5 %.

a. Si la persona desea que el riesgo de perder dinero sea el menor posible, ¿en cuál

de las empresas debiera invertir? ▷ Como el objetivo es minimizar las posibles pérdidas, independiente de las ganancias, se debe elegir la empresa donde la probabilidad de perder dinero sea la menor. En la siguiente tabla se muestran esas probabilidades según la empresa: Empresa

Probabilidad de perder dinero

Primera empresa Segunda empresa Tercera empresa

En la tabla se puede apreciar que la tercera empresa muestra la menor probabilidad de perder dinero, que es de un 0,05. Por lo tanto, la persona debiera invertir su dinero en la tercera empresa para minimizar el riesgo de pérdidas.

b. Si quiere elegir la empresa con la mayor probabilidad de ganancia posible, ¿cuál de las tres empresas debiera elegir? ▷ En este caso el propósito es maximizar las posibilidades de ganar dinero, por lo que debería elegir la empresa que tiene la mayor probabilidad de eso. La tabla muestra esas probabilidades: Empresa

Desafío

Primera empresa

¿Mientras más baja sea la probabilidad de perder dinero en una de las empresas, más seguridad se tiene de que eso no sucederá?

Segunda empresa

218

Probabilidad de ganar dinero

Tercera empresa

En esta tabla se puede apreciar que la primera empresa tiene la mayor probabilidad de generar ganancias, un 0,3, por lo que debiera invertir su dinero en aquella. SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

c. Si se quiere elegir una empresa donde no se logre ganancia ni pérdida de dinero, ¿cuál de las empresas se debe elegir? ▷ En este caso existen tres sucesos posibles al momento de realizar la inversión: obtener ganancias, perder dinero y mantener el dinero que se invirtió, por lo que entre las probabilidades de los tres sucesos deben sumar 100%, como se muestra en la siguiente tabla: Probabilidad de perder dinero

Empresa

Probabilidad de ganar dinero

Probabilidad de no perder ni ganar dinero

Primera empresa Segunda empresa Tercera empresa

En este caso se debe elegir la tercera empresa para invertir, ya que allí se tiene mayor probabilidad de mantener el mismo dinero que se invirtió.

Ejercicios propuestos 1. Analiza la situación. Luego, responde.

Mes

Probabilidad

Enero

Febrero

Marzo

12 %

Abril

Mayo

20 %

Junio

70 %

Julio

90 %

Agosto

30 %

Septiembre

20 %

Octubre

18 %

Noviembre

10 %

Diciembre

La tabla muestra la probabilidad de que llueva 10 o más días de un mes en cierta ciudad. Una empresa de esa ciudad, que vende materiales para la construcción, tiene mayor cantidad de ventas en los meses en los que la probabilidad de chubascos durante 10 días o más es menor que 0,2. Además, en esos meses debe contratar una mayor cantidad de trabajadores. Por otro lado, cuando la probabilidad de chubascos supera el 0,6, se generan pérdidas.

a. Según la información, ¿en qué meses es

probable que la empresa deba contratar más trabajadores?

b. Si los dueños de la empresa deciden cerrar durante los meses que probablemente llueva 10 o más días, ¿cuántos meses estará cerrada?

c. Un análisis de último minuto establece que la empresa generará el triple de

ganancias, respecto de un mes normal, en el tercer mes de un período en que la probabilidad de que llueva 10 o más días en cada uno de ellos sea inferior a 0,07. ¿En qué mes podría ocurrir esto? Justifica.

219

Lección 12: Probabilidad

2. Analiza la tabla, Luego, responde. Opciones de inversión ofertadas por un banco

Conectando con...

Fondo nacional

La Economía del país

Chile está entre los 15 mejores países para invertir en energías renovables. Para saber más ingresa el código SP2m220 en la página web del Proyecto Sé Protagonista.

Monto

Fondo internacional

Probabilidad de ganancia

Probabilidad de pérdidas

Probabilidad de ganancia

Probabilidad de pérdidas

Desde $100.000 hasta $999.999

10 %

16 %

20 %

18 %

Desde $1.000.000 hasta $2.999.999

0,5 %

Desde $3.000.000 hasta $6.000.000

12 %

30 %

17 %

10 %

a. Si se invirtiera $1.500.000, ¿en cuál de los dos fondos es más probable obtener ganancias? ¿Y de obtener pérdidas?

b. Si se quiere invertir $5.000.000 en un mismo fondo, pero dividiendo el monto en $2.000.000 y $3.000.000, ¿en cuál de las dos empresas conviene hacerlo, considerando solo las probabilidades de ganar?

c. Si se desea invertir un mismo monto en ambos fondos, ¿entre qué valores es más conveniente hacerlo? Justifica.

↘

Taller de Matemática aplicada

Habilidad: analizar

Según el Sistema Nacional de Información de Seguridad y Salud en el Trabajo de Chile, durante el 2013 hubo 199.333 accidentes del trabajo, lo que corresponde a un 4,3 % de los trabajadores del país. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es de 0,1. La probabilidad de que suene esta si se ha producido algún incidente es de 0,97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es de 0,02. ¿Cuál es la probabilidad de que la alarma no suene si no se ha producido ningún accidente? A. 0,02 B. 0,03 C. 0,1 D. 0,97 E. 0,98

220

Interpretaciones de la probabillidad Existen tres tipos de interpretaciones de la probabilidad de un suceso: ◾ Probabilidad frecuencial: corresponde a la frecuencia relativa de un suceso al

realizar un gran número de veces un experimento.

◾ Probabilidad clásica: corresponde al cociente entre la cantidad de sucesos

favorables y la cantidad total de sucesos posibles de un experimento equiprobable.

◾ Probabilidad subjetiva: corresponde al valor que un observador asigna bajo su

propio juicio de acuerdo al conocimiento que posea del suceso.

Ejercicios guiados 1. Identifica el tipo de probabilidad involucrado en cada situación. Luego, justifica. Situación

I. Estoy un 99,9 % seguro de que en la prueba obtendré una nota superior a 6,5. II. La probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado de ocho caras es 0,5. III. Según los resultados de los últimos 10 años, la probabilidad de que mañana llueva es 0,02.

Tipo de probabilidad Subjetiva Clásica Frecuencial

La justificación de cada situación es:

I. II. III.

Sé más Para la probabilidad clásica se requiere de eventos equiprobables. Si esto no es posible, se debe utilizar las frecuencias relativas y calcular la probabilidad frecuencial. Con esto, conforme el número total de repeticiones del experimento se incrementa, las estimaciones correspondientes tienden a acercarse a la probabilidad real.

2. Analiza cada situación y completa las respuestas.

a. El análisis y la investigación del asteroide 1950 DA mediante radar, realizados

por los científicos del Laboratorio de Propulsión de Jets (JPL) de la Nasa, sugiere que la probabilidad de un impacto con la Tierra es de solo un 0,3 %, aunque esto representa un riesgo un 50 % mayor que la probabilidad de impacto de todos los demás asteroides cercanos a nuestro planeta. • ¿Qué tipo de probabilidad se utilizó en el informe? ▷ El tipo subjetivo, ya que no se tiene registros de que ese asteroide haya impactado la Tierra u otro planeta, y tampoco es posible realizar el experimento de impactar ese asteroide contra el planeta como para poder registrar datos u utilizarlos en cálculos probabilísticos.

• A pesar de la respuesta anterior, ¿crees que se utilizó algún tipo de datos científicos relacionados con los impactos de asteroides? Justifica.

221

Lección 12: Probabilidad

b. La figura muestra un modelo con tres estados de salud que representa la historia Ayuda Para lograr una mejor comprensión lectora, puedes utilizar las siguientes estrategias: • Resumir. • Formular preguntas. • Analizar los distintos tipos de relaciones que establecen las imágenes y el texto escrito. • Identificar los elementos del texto que dificultan la comprensión, como vocabulario desconocido, y buscar soluciones.

de una enfermedad ante la existencia de un tratamiento aplicado a un segmento de la población de una ciudad: 70 % 20 %

55 % sanos

enfermos

1% 100 %

muertos

10 %

Las flechas muestran la dirección de transición y su probabilidad. Cuando la fecha vuelve al mismo estado de salud, representa la probabilidad de permanencia en ese estado. • ¿Qué porcentaje de los sanos permanece en ese estado durante la aplicación del tratamiento? ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo siga enfermo después de aplicar el tratamiento?

• ¿Qué tipo de probabilidad se utilizó en el modelo? ▷ El tipo de probabilidad utilizado es el frecuencial, ya que para realizar los cálculos se ha utilizado el comportamiento histórico de la enfermedad ante un tratamiento. Es decir, se ha repetido varias veces el experimento de aplicar el tratamiento a la enfermedad y se ha observado su evolución en el segmento de la población. • ¿Sería conveniente aplicar la probabilidad subjetiva en la construcción del modelo? Justifica.

Ejercicios propuestos 1. Identifica el tipo de probabilidad asociada a cada situación. Justifica. a. Estudios científicos indican que en 20 años más

será menos probable que las personas fumen. b. De acuerdo a la cantidad de accidentes en carreteras urbanas que hubo en septiembre del año 2013, en septiembre del 2014 se estima que la probabilidad de tener un accidente es de 7 %. c. Si hoy está nublado, entonces es muy probable que mañana llueva durante todo el día. d. Es muy probable que mañana haya mucho tráfico, porque comienzan las clases en todos los colegios y universidades.

222

2. Resuelve los problemas junto con un compañero o compañera. a. Un profesor decidió sortear un premio entre un grupo de 10 estudiantes. Les propuso que pensaría un número entre el 1 y el 10, lo anotaría en un papel y luego, siguiendo exactamente el orden en que estaban ubicados en la clase, pediría a cada estudiante que dijese un número distinto hasta que alguno acertara el número anotado en el papel. La mayoría asintió, pero uno que estaba al final intervino para manifestar que el método de sorteo no le parecía justo, pues él tendría muy poca probabilidad de decir su número y de obtener el premio. • ¿Qué tipo de probabilidad se debería aplicar en la situación para saber si el último estudiante tiene o no la razón? Explica.

• Desarrolla un procedimiento que permita demostrar si la afirmación del último estudiante es verdadera o falsa.

b. El Problema de Monty Hall es un problema de probabilidad que está inspirado

por el concurso televisivo estadounidense Let’s Make a Deal (Hagamos un trato), famoso entre 1963 y 1986. Su nombre proviene del presentador Monty Hall. En este concurso, el participante escoge una puerta entre tres, y su premio consiste en lo que se encuentra detrás de ella. Una puerta oculta un automóvil, y tras las otras dos hay una cabra. Sin embargo, antes de abrirla, el presentador, que sabe dónde está el premio, abre una de las otras dos puertas y muestra que detrás de ella hay una cabra. Ahora tiene el concursante una última oportunidad de cambiar la puerta escogida. • Completa el siguiente diagrama:

Desafío Ingresando el código SP2m223 en la página web del proyecto Sé Protagonista, podrás realizar simulaciones del problema de Monty Hall y comprobar tus respuestas.

Se te pide que elijas una puerta Eliges una puerta con una cabra detrás Te la quedas

Eliges una puerta con un automóvil detrás La cambias Ganas un automóvil

Ganas una cabra

• ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

• ¿Qué tipo de probabilidad se debería utilizar en este problema?

223

Lección 12

Evaluación

Responde la siguiente evaluación para saber cuánto has avanzado en el aprendizaje de los nuevos contenidos. 1. Observa la información y luego responde las preguntas.

Existe un 35 % de probabilidad de tener chubascos el día de hoy por la tarde y un 20% durante la noche

2. Analiza el gráfico y la información. Luego, responde. En una ciudad se hizo un estudio sobre los años de antigüedad en sus funciones que los trabajadores pueden llegar a tener y se representó en el siguiente gráfico. Antigüedad de los trabajadores

El servicio meteorológico de una ciudad indicó que la temperatura máxima pronosticada para hoy es 15 °C y la temperatura mínima es −1 °C. La velocidad de los vientos provenientes desde la costa hacia la cordillera de Los Andes variarán entre 10 a 20 kilómetros por hora. La humedad en el ambiente variará entre un 50 % y un 72 %, existiendo una probabilidad de chubascos entre un 20 % y un 35 %. La mayor probabilidad de chubascos será durante la tarde, disminuyendo durante la noche a un 20 %. a. ¿Es mayor la probabilidad de que llueva que la de que no llueva?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya chubascos durante la tarde?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya chubascos durante la noche?

224

1 año 2 años

16 %

17 %

3 años 4 años

10 %

5 años 15 %

24 %

6 años 7 años o más

a. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un trabajador que tenga de dos a cuatro años de antigüedad?

b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un trabajador que tenga a lo más 6 años de antigüedad?

c. Si la empresa decide entregar un bono de acuerdo a la antigüedad a no más de la mitad de los trabajadores, ¿qué criterio podrían utilizar?

Resultados

3. Resuelve a partir de la información del gráfico. 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

a. Si un comerciante quiere vender paraguas, ¿cuál es la temperatura ambiental que le resulta más conveniente?

Resultados de los tenistas

Ganado Perdido

b. Si el pronóstico dice que para el lunes la temperatura ambiental será de 20 °C, el martes, de 10 °C y el miércoles, de 5 °C, ¿en cuál de ellos será más apropiado vestir ropa para lluvia?

Tenista A Tenista B Tenista C Tenista D

Tenista

a. ¿De qué forma se le podría asociar una probabilidad de triunfos de cada tenista? ¿Cuál le correspondería a cada uno?

5. Identifica el tipo de probabilidad en cada situación.

b. Si se debe elegir a dos de ellos para representar al país en las olimpiadas, ¿a cuáles elegirías? ¿Por qué?

4. Analiza la situación. Luego, responde • Un centro meteorológico utiliza los siguientes modelos para realizar pronósticos del tiempo: • Si la temperatura ambiental es inferior a los 8 °C, la probabilidad de chubascos es de un 10 %. • Si la temperatura ambiental está entre los 8 °C y los 18 °C, la probabilidad de chubascos es de un 40 %. • Si la temperatura ambiental está sobre los 18 °C, la probabilidad de chubascos se reduce a un 5 %.

a. De una caja con 4 bolitas rojas y 6 blancas se extrae una y se registra su color. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una blanca?

b. Una persona comenzará a ahorrar 65 mil pesos al mes desde julio para sus vacaciones de enero del año siguiente. Entonces, la probabilidad de que logre ahorrar 300 mil pesos o más es de un 90 %.

c. En los últimos años, solo un 15 % de las personas que asiste a ver un partido de fútbol son mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que al próximo partido asista una mujer?

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las siguientes categorías de desempeño: Por lograr (P.L.), Medianamente logrado (M.L.) y Logrado (L). Indicador Identifiqué la probabilidad en los medios de comunicación y resolví problemas. (Preguntas 1 y 2)

Reconocí la importancia de la probabilidad en la toma de decisiones. (Preguntas 3 y 4)

Utilicé los distintos tipos de interpretaciones de la probabilidad. (Pregunta 5)

225

UNIDAD

↘ Taller de Resolución de problemas

1. Analiza los pasos utilizados en la resolución del problema. Un grupo de estudiantes interesados por la astronomía está organizando un encuentro de observaciones astronómicas. Ellos necesitan por lo menos de 3 días seguidos de cielo despejado. Para esto han investigado los datos de meteorología del lugar de los últimos 20 años entre los meses de octubre y marzo, obteniéndose lo siguiente: Mes

Oct

Nov

Dic

Ene

Feb

Mar

Probabilidad día nublado (%)

¿Cuál será el mes más apropiado para realizar el encuentro?

1 2 3 Paso

Comprende el enunciado Se conoce la cantidad de días en que el cielo debe estar despejado para poder realizar el encuentro. Además de esto, se conocen los datos de meteorología que fueron investigados por el grupo de personas.

Paso

Planifica lo que vas a realizar Se calculará la probabilidad de tener tres días seguidos de cielo despejado para cada uno de los meses de la tabla.

Paso

Resuelve el problema La tabla solo muestra la probabilidad de que el día esté nublado, por lo tanto, para resolver el problema se calculó la probabilidad de un día despejado. Esto es, la diferencia entre el 100 % y la probabilidad que ya se conoce, obteniéndose lo siguiente: Mes

Oct

Nov

Dic

Ene

Feb

Mar

Probabilidad día despejado (%)

Como se desea determinar la probabilidad de tener tres días despejados seguidos en cada mes, se calculó de la siguiente manera: Octubre: 0,71 · 0,71 · 0,71 = 0,36 ⇒ 36 % Noviembre: 0,73 · 0,73 · 0,73 = 0,39 ⇒ 39 % Diciembre: 0,85 · 0,85 · 0,85 = 0,61 ⇒ 61% Enero: 0,84 · 0,84 · 0,84 = 0,59 ⇒ 59 % Febrero: 0,87 · 0,87 · 0,87 = 0,66 ⇒ 66 % Marzo: 0,77 · 0,77 · 0,77 = 0,46 ⇒ 46 % Por lo tanto, el mes más apropiado para realizar el encuentro de observaciones astronómicas es febrero, ya que la probabilidad de que se presenten tres días seguidos despejados es de un 66 %.

4 Paso

226

Revisa la solución Para comprobar sus datos, los estudiantes sumaron las probabilidades, de cada mes, de que un día esté nublado y de que un día esté despejado, obteniendo en cada caso un 100 %. SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

2. Resuelve los problemas. Para ello, guíate por los pasos estudiados en la página anterior. a. ¿Cuántas permutaciones se pueden formar al ordenar al azar las letras O L I R B sin repetir ni omitir alguna letra? ¿Cuál es la probabilidad de formar la palabra libro?

b. ¿De cuántas maneras diferentes se puede viajar de Concepción a Valdivia pasando por Temuco si hay 4 rutas para ir de Concepción a Temuco y 2 para ir de Temuco a Valdivia?

c. Un modelo de automóvil de cierta marca se fabrica en 3 versiones distintas. Además, cada versión tiene 7 colores diferentes. Si una persona quiere comprar uno de estos automóviles, ¿entre cuántas opciones puede escoger?

d. De un grupo de 4 abogados, 3 médicos y 6 profesores, se elegirán 2 abogados, 1 médico y 4 profesores. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden formar?

e. Un grupo de 8 compañeros de universidad se encuentran después de mucho tiempo. Si cada uno saluda a los demás con un abrazo, ¿cuántos abrazos se dan en total?

227

UNIDAD

Modelamiento de pregunta tipo PSU Analiza el siguiente ejemplo de una pregunta de alternativas tipo PSU. Un equipo de vóleibol cuenta con 13 jugadores y para jugar un partido solo necesita 6. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) el número de alineaciones diferentes que se pueden formar?

13! I. _________________ (13 − 6)! · 6! 6! II. __________________ (6 − 13)! · 13! 13! III. ____________ (13 − 6)!

La pregunta involucra los conceptos de combinaciones.

A. Solo I

B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo II y III Clave: A En (I) se considera correctamente n = 13 y k = 6. 13! Así, se obtiene: C(13,6) = _________________ (13 − 6)! · 6! Por lo tanto, esta proposición es verdadera. En (II) se considera incorrectamente n = 6 y 6! k = 13. Así, se obtiene: ___________________ (6 − 13)! · 13! Por lo tanto, la proposición es falsa. En (III) se considera correctamente n = 13 y k = 6 pero no se considera el factorial de k 13! obteniendo: ____________ (13 − 6)! Por lo tanto, la proposición es falsa. Distractores: B. Esta alternativa es incorrecta, pues considera que (II) es verdadera y (II) es falsa.

228

Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido revisando la Lección 10 del Texto y las páginas respectivas de tu Cuaderno de ejercicios.

Los errores cometidos al inclinarse por uno de estos distractores son:

C. Esta alternativa es incorrecta, pues considera que (III) es verdadera y (III) es falsa.

• Confundir los elementos de una combinación.

D. Esta alternativa es incorrecta, pues considera que (I) y (II) son verdaderas y (II) es falsa.

• Evaluar incorrectamente en la combinación.

E. Esta alternativa es incorrecta, pues considera que (II) y (III) son verdaderas y ambas son falsas.

Ahora completa el modelamiento de una pregunta de alternativas tipo PSU. Para ello, completa cada sección según lo estudiado en la página anterior. En una cafetería tienen 9 tipos de café para vender. Si 4 amigos quieren tomar cada uno un café diferente, ¿de cuántas maneras pueden hacerlo?

Esta pregunta involucra los conceptos de:

A. 24 B. 36 C. 120 D. 126 E. 15.120 Clave: D. Si tienes dificultades para comprender la justificación, puedes reforzar este contenido, revisando la Lección

del Texto y las páginas respectivas de tu

Cuaderno de ejercicios. Distractores: A. Se respondió erróneamente que la cantidad de maneras corresponde a 4!. Así, se respondió: 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 B. Se cometió el error de responder que la cantidad de maneras corresponde al producto del número de amigos y el número de variedades de café. Esto es:

Los errores cometidos al inclinarse por alguno de estos distractores son:

9 · 4 = 36 C. Se calculó el factorial entre el numero de amigos y el numero de variedades de café. Así, se respondió erróneamente que la cantidad de maneras es: (9 − 4)! = 5!= 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 E. Se cometió el error de considerar que la manera de calcular la combinatoria de 9 sobre 4 es mediante la división de ambos factoriales. Así, se obtuvo: 9·8·7·6·5·4·3·2·1 9! _____________________________________ ___ = 15.120 = 4·3·2·1 4!

229

UNIDAD

Evaluación final

Lee y responde las siguientes preguntas relacionadas con lo aprendido en esta unidad. I. Marca la alternativa que consideres correcta. 1. Una persona necesita comprar un computador entre tres modelos nuevos importados, cinco modelos nuevos nacionales y dos modelos usados nacionales. ¿Cuántas opciones tiene para hacer su compra?

5. ¿De cuántas maneras pueden ser ubicados 5 automóviles en 3 estacionamientos? A. 8 B. 15 C. 60

A. 3

D. 125

B. 5 C. 8 D. 10 E. 30

E. 243 6. Para una revista escolar 6 estudiantes se deben formar en una fila para ser fotografiados, ¿De cuántas formas distintas lo pueden hacer? A. 6

2. Una encuesta clasifica a las personas de acuerdo a su sexo, actividad física (siempre, a veces, nunca), si fuma o no y su consumo de comida chatarra (siempre, regular, no consume). ¿Cuántas posibles clasificaciones se pueden obtener?

B. 120 C. 360 D. 720 E. 45.656

A. 6 B. 9

C. 10

¿Cuantos números de 7 cifras se pueden formar utilizando tres 2 y cuatro 3?

D. 18

A. 35

E. 36

B. 128

3. En una automotora se venden vehículos marca ALFA de 3 y 5 puertas, cada uno en tres colores diferentes, y vehículos marca OMEGA de 5 puertas, de 6 y 7 velocidades y en dos colores distintos cada uno. ¿Cuánto tipos distintos de vehículos es posible encontrar en esa automotora? A. 2

C. 140 D. 240 E. 2.520 8. Una línea aérea ofrece pasajes en oferta para 5 destinos diferentes. Si Daniela quiere comprar dos pasajes, ¿cuántas formas distintas tiene para hacerlo? A. 10

B. 4

B. 15

C. 10

C. 20

D. 20

D. 25

E. 60 4. ¿Cuántas hojas de respuestas se pueden obtener de una prueba de 10 preguntas de 4 alternativas cada una? A. 10 B. 14 C. 40 D. 410 E. 104 230

E. 32 9.

Para una representación folclórica se necesita formar un grupo de 4 estudiantes de un taller de 8 integrantes. ¿Cuántos grupos diferentes se pueden formar? A. 2 B. 12 C. 24 D. 32 E. 70 SÉ PROTAGONISTA © EDICIONES SM

10. Un sobre contiene cinco fichas, cada una con una vocal distinta. ¿Cuál es la probabilidad de sacar las fichas según el orden alfabético? 1 A. ___ 5 _____ B. 1 25 _______ C. 1 120 1 D. ______ 125 1 E. _________ 3.125 11. Si compran los pasajes por separado, ¿cuál es la probabilidad de que dos amigos utilicen los asientos 21 y 22 en un bus de 45 asientos? 1 A. _______ 990 1 B. _______ 495 1 C. _____ 90 2 D. _____ 45 1 E. ___ 2 12. Se define la variable aleatoria X: cantidad de precipitaciones caídas durante un mes. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Es finita. II. Es continua. III. Su recorrido es un intervalo de ℝ. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III 13. En el lanzamiento de dos dados se define la variable aleatoria X: producto de los puntos obtenidos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. Es discreta. B. Es finita. C. Solo para un resultado se tiene X = 1. D. El mayor valor que puede tomar la variable es 36.

14. En una prueba de 5 ejercicios se define la variable Z: cantidad de respuestas correctas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. El recorrido de Z es {0, 1, 2, 3, 4, 5}. II. Su dominio tiene 6 elementos. III. Z = 1 solo en un caso. A. Solo I B. Solo I y II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III 15. En el lanzamiento de un dado de ocho caras se define la variable aleatoria X como: X = 0 si el número obtenido es menor que 4; X = 1 si el numero obtenido es igual a 4, y X = 2, en otro caso. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. Si se obtiene un 7, entonces X = 2. B. El recorrido de X es {0, 1, 2}. C. El dominio de X es {0, 1, 2, 4}. D. X = 1 para un resultado. E. X es discreta y finita. 16. Analiza el diagrama de la variable aleatoria Z: A aa ab ba bb aaa aba bab

B 0 2 4

Según el diagrama, ¿cuál es el valor de P(Z = 4)? 1 A. ___ 7 2 ___ B. 7 4 C. ___ 7 1 D. ___ 2 1 E. ___ 3

E. X = 6 en dos resultados.

231

UNIDAD Evaluación final 17. La siguiente tabla muestra la distribución por edad de los estudiantes de un curso:

20. En un embarque de cuatro lavadoras se sabe que una de ellas tiene fallas. Un comerciante decide comprar tres de esas lavadoras de forma aleatoria. Si se define la variable X: cantidad de lavadoras sin fallas, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

Edad (años)

Frecuencia

A. El dominio de X tiene cuatro elementos.

B. P(X = 3) = 0,25

Se define la variable X: edad en años de los estudiantes. ¿Cuál es el valor de P(X = 15)?

C. P(X = 2) = 0,75

_____ A. 20 32 15 B. _____ 32 15 C. _____ 20

E. El recorrido de X es {0, 1, 2, 3, 4}.

1 D. _____ 15 _____ E. 12 20

18. Si el recorrido de la variable aleatoria X es {1, 3, 5} y P(X = 1) = 0,1 y P(X = 3) = 0,3, entonces: A. P(X = 5) = 0,1

21. En una revista científica se afirma que el humo del cigarrillo es causante de un 20 % de los casos de cáncer pulmonar en fumadores pasivos. Según la noticia, es verdadero que: A. Un 80 % de los fumadores pasivos no tiene cáncer pulmonar. B. Un 20 % de las personas con cáncer pulmonar son fumadores pasivos.

B. P(X = 5) = 0,2 C. P(X = 5) = 0,5

C. El humo del cigarrillo es responsable del 20 % del cáncer pulmonar.

D. P(X = 5) = 0,6 E. P(X = 5) = 0,7 19. Analiza el gráfico de las probabilidades de la variable X:

P(X = xi)

D. X es una variable discreta.

Probabilidades de la variable X 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 2 4 X 6 8

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a la información del gráfico? I. P(X = 4) > P(X = 8) II. El dominio de X es {2, 4, 6, 8}. III. Un 50% de los elementos del dominio de X es menor que 5.

D. Uno de cada cinco fumadores pasivos tiene cáncer pulmonar. E. El cáncer pulmonar del 20 % de los fumadores pasivos es provocado por el humo del cigarrillo. 22. Un examen médico para diagnosticar una enfermedad es un 90 % confiable cuando una persona tiene la enfermedad y 99 % cuando no la tiene. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Si una persona sana se realiza el examen, existe una probabilidad de un 90 % de que el resultado sea positivo. II. Si una persona que tiene la enfermedad se realiza el examen, la probabilidad de que esta no sea detectada es de un 1 %. III. Si una persona que no sabe si tiene o no la enfermedad se realiza el examen y este es positivo, es más probable que no esté enferma que sí lo esté. A. Solo I

D. Solo II y III E. I, II y III

A. Solo I

D. Solo I y III

B. Solo II

E. Solo II y III

C. Solo I y II

C. Solo I y II 232

II. Resuelve las siguientes preguntas de suficiencia de datos. 24. El gráfico representa las probabilidades de la variable aleatoria X si:

A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

d Probabilidad

23. Si X es una variable aleatoria discreta finita, se puede calcular P(X = 1) si: (1) P(X = 2) = P(X = 3) (2) El recorrido de X es {1, 2, 3}.

c b a

(1) a + b + c + d = 1 (2) e = 2 A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

Me evalúo Una vez que hayas revisado tus respuestas junto a tu profesor o profesora, escribe tu nivel de logro según las respuestas correctas que hayas conseguido. I. Preguntas de alternativas Apliqué el principio aditivo y el principio multiplicativo de conteo. (Preguntas 1, 2 y 3)

Apliqué combinaciones, permutaciones y variaciones para resolver problemas. (Preguntas 4, 5, 6, 7, 8, y 9)

Resolví problemas de cálculo de probabilidades utilizando técnicas de conteo. (Preguntas 10 y 11)

Identifiqué variables aleatorias y sus elementos. (Preguntas 12, 13, 14 y 15)

Calculé probabilidades de una variable aleatoria discreta finita. (Preguntas 16, 17, 18, 19 y 20)

Resolví problemas de probabilidad en medios de comunicación y de su interpretación. (Preguntas 21 y 22)

de 3 de 6 de 2 de 4 de 5 de 2

II. Preguntas de suficiencia de datos Identifiqué variables aleatorias y sus elementos. (Preguntas 23 y 24)

de 2

233

Evaluaciรณn tipo PSU

Evaluación tipo PSU

INSTRUCCIONES 1. Esta prueba consta de 75 preguntas. 2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar

durante el desarrollo de los ejercicios.

3. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas

a escala.

4. Antes de responder las preguntas N.° 69 a la N.° 75 de esta prueba, lea

atentamente las instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta N.° 68. ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.

Símbolos matemáticos <

menor que

≅

es congruente con

mayor que

∽

es semejante a

≤

menor o igual que

⊥

es perpendicular a

≥

mayor o igual que

≠

es distinto de

ángulo recto

es paralelo a

∢ ángulo

∊

pertenece a

log

logaritmo en base 10

trazo AB

∅

conjunto vacío

|x|

valor absoluto de x

[x]

parte entera de x

el factorial de n

236

¿En cuál(es) de las siguientes condiciones √x  es un número irracional? I. Si x es un número primo. II. Si x es un número entero positivo. III. Si x es un número irracional. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

Evaluación tipo PSU

Si a es la raíz cúbica de b, entonces: A. a3 = b B. 3a = b C. b3 = a D. 3b = a E. 3a = b

¿Cuál es el valor de x si 32 = 4x? ___   A.   2 5 B. 2 5 C.   ___   2 D. 5 E. 8

Si loga100 = 2, entonces a es: A. 10 B. 50 C. 200 D. 1.000 E. 10.000

____

Si √ 11   = x, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. x es un número irracional. II. 3 < x < 4 III. x2 = 11 A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo II y III E. I, II y III

237

3 ___

1__

1 ___

Al ordenar en forma creciente los números 2 4, 2 2 y 2 4 se obtiene: 3 ___

1___

1 ___

3 ___

1 ___

1___

1 ___

3 ___

1___

3 ___

1 ___

1___

3 ___

A. 2 4, 2 2, 2 4 B. 2 4, 2 4, 2 2 C. 2 2, 2 4, 2 4 D. 2 2, 2 4, 2 4 E. 2 4, 2 2, 2 4

____

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a √24 ? I. II. III.

___

√8__· √3 3 2√ 3 ____ ____ 3

√12 + √12

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo I y III

La solución de la ecuación log2(x + 3) = 2 es: A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 E. 16

log A + log B La expresión ________________ es equivalente a: log C log(A + B) A. _______________ log C log(AB) ____________ B. log C C. log(AB – C) AB D. log _____ C A+B E. ________ C

238

___

Evaluación tipo PSU

10. Si x = √3 e y = √9 , entonces xy es equivalente a: ____

√27 13 _____

II. 3 20

√3

III.

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. I, II y III

11. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un número irracional? I. π2 II.

____

√4____3

18 __ III. √______ √2 A. Solo I B. Solo I y II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

12. ¿Cuál de las siguientes igualdades es FALSA? ___ ____ A. √2 · √32 = 8 3 ______

3 _____

B. √−16 · √−4 = 4 _____

C. ( √−2 )2 = −2 ____

3 ______

D. √25 · √125 = 25 E.

3 _____

____

√−8 · √−8 = √16 _______

13. Si x ∈ 핉, ¿con cuál de las siguientes condiciones √x + 1 es siempre un número real? A. x ∈ ℤ

B. x ∈ ℕ

C. x > −1 D. x ≥ −1 E. x ∈ ℚ

239

14. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a log2(4k)? I. 2log22k II. 2 + log2k 1 III. ________ log4k2 A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo II y III E. I, II y III

15. 810,75 es equivalente a: I.

_____

√813

II. 27 III.

___

( √4 9 )6

A. Solo I

B. Solo II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

16. ¿Cuál de las siguientes características NO corresponde a una ecuación de segundo grado con una incógnita?

A. Puede tener raíces reales iguales. B. Puede tener raíces no reales. C. La incógnita puede ser de grado cuatro. D. La cantidad de raíces es siempre dos. E. Se puede conocer el tipo de sus raíces utilizando su discriminante.

17.

Si f es una función definida por f(x) = 2x, entonces la preimagen de 8 es: 1 A. ___ 2 B. 1 C. 2 D. 4 E. 16

240

por:

A. f–1(x) = 1 – 5x x+1 B. f–1(x) = ________ 5 x ___ –1 C. f (x) = 5 + 1 x−1 D. f–1(x) = ________ 5 E. f–1(x) = –5x – 1

19.

Evaluación tipo PSU

18. Si f es una función definida por f(x) = 5x + 1, entonces su función inversa f–1 está definida

Si 200 aumenta a 400, entonces el cambio porcentual experimentado es: A. del 50% B. del 100% C. del 150% D. del 200% E. del 400%

20. Las raíces de la ecuación de segundo grado (2x + 1)(x – 3) = 0 son: A. –1 y 3 1 y –3 B. − ___ 2 C. –2 y 3 1 y3 D. − ___ 2 1 E. 2 y − ___ 3

21. Las raíces de la ecuación (x + 2)2 = 1 son: A. –1 y 1 B. –3 y 1 C. –3 y –1 D. –2 y 2 E. –2 y –1

241

22. ¿Cuál de los diagramas representa una función? I. p

5 10

1 2 3

II. q 1 8

III. r

3 7 13 17

11 22 33

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo I y III

242

gráficos representa mejor la parábola de f? A.

D. 7

3 2

–4 –3 –2 –1 0 –1

–2

–4 –3 –2 –1 0 –1

4 X

–3

4 X

Evaluación tipo PSU

23. Si f es una función cuadrática definida por f(x) = ax2 – 3, con a < 0, ¿cuál de los siguientes

–4

E. 4

–4 –3 –2 –1 0 –1

4 X

–2

–4 –3 –2 –1 0 –1

–3

–2

–4

–3

C. 1 –4 –3 –2 –1 0 –1

Y 1

4 X

–2 –3 –4 –5 –6 –7

243

24. ¿En cuál de los siguientes gráficos NO se representa una función y su función inversa? A.

D. 4

–4 –3 –2 –1 0 –1

4 X

–2

–3

–4

4 X

E. 4

–4 –3 –2 –1 0 –1

4 X

–4 –3 –2 –1 0 –1

–2

–3

–4

C. 4

3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1

4 X

–2 –3 –4

244

(son) verdadera(s)?

I. f–1 es una función afín. II. dom(f) = dom(f–1) III. f–1(–1) = 0 A. Solo I B. Solo I y II C. Solo I y III D. Solo II y III

Evaluación tipo PSU

25. Si f es una función definida por f(x) = 4x – 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

E. I, II y III

26. Si una cantidad p aumenta un 20 %, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. El índice de variación aplicado a p es 1,2. II. El cambio porcentual es positivo e igual a 0,2. III. Luego del aumento se obtiene 1,2p. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo I y III E. I, II y III

27.

Si una cantidad C aumenta constantemente un 12 % por unidad de tiempo t, ¿cuál de las siguientes expresiones permite modelar esa situación? A. C(t + 1) – C(t) = 1,12C(t) B. C(t + 1) + C(t) = 1,12C(t) C. C(t + 1) – C(t) = 0,12C(t) D. C(t + 1) + C(t) = 0,12C(t) E. C(t + 1) – C(t) = 1,12 + C(t)

28. Si 2x2 + kx – 4 es una ecuación de segundo grado, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. Si k < –32, sus raíces son no reales. II. Si k = 0, sus raíces son reales iguales. III. Para cualquier valor de k, sus raíces son reales. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y III E. I, II y III

245

29. El vértice de la parábola de la función cuadrática f(x) = 8x2 – 16 tiene coordenadas: A. (0, 16) B. (0, –16) C. (8, 16) D. (–8, 0) E. (8, –16)

30. ¿Cuál de las siguientes parábolas se puede considerar como una traslación de la parábola _› de f(x) = (x – 3)2 + 1 según el vector u = (1, –2)?

D. 5

–1 0 –1

–3 –2 –1 0 –1

7 X

5 X

8 X

E. 4

0 –1

8 X

1 0 –1

–2

C. 4

3 2 1 –1 –2 0 –1

–2

246

A. f: [0, ∞[ → [0, ∞[, con f(x) = 10x2

B. g: [–1, 1] → [–1, 2], con g(x) = 3x2 – 1

C. h: ]–∞, –1] → [–2, ∞[, h(x) = x2 + 2x – 1

D. p: ]–∞, 0] → [0, ∞[, con p(x) = 4x2

E. q: ]–∞, 0] → ]–∞, 0], con q(x) = –7x2

32. El siguiente gráfico corresponde a una función raíz cuadrada. 2 Y

Evaluación tipo PSU

31. ¿Cuál de las siguientes funciones NO tiene inversa?

1 –2 –1 0 –1

5 X

–2 –3 –4

¿Cuál de las siguientes reglas de formación corresponde a la inversa de la función representada? A. (x – 3)2 – 1 B. (x + 3)2 – 1 C. (x + 3)2 + 1 D. (x – 3)2 + 1 E. (x + 3)2

33. ¿Cuál de los modelos de cambio porcentual constante representa mejor el siguiente gráfico?

15 Y

–10

–5

A. f(t + 1) – f(t) = 0,4f(t) con f(0) = 10 B. f(t + 1) + f(t) = 0,4f(t) con f(0) = 10 C. f(t + 1) – f(t) = –0,4f(t) con f(0) = 10 D. f(t + 1) – f(t) = 1,4f(t) con f(0) = 10 E. f(t + 1) + f(t) = 1,4f(t) con f(0) = 10 Sé PROTAgONISTA © EdICIONES SM

247

34. Con respecto a una esfera de radio 5 cm, es verdadero que: I. Su círculo máximo tiene un área de 125π cm2. II. El área de la superficie es 100π cm2. III. Su volumen es 500π cm3. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo II y III

35. dado el triángulo ABC: β

C 5 cm

12 cm

¿Cuál es el valor de sen(α) + cos(β)? 17 A. _____ 13 13 _____ B. 17 5 C. _____ 12 24 D. _____ 13 10 E. _____ 13

36. dado el triángulo ABC con sen(α) = 0,4: B 8 cm

¿Cuál es la medida del cateto BC? A. 0,4 cm B. 1,6 cm C. 3,2 cm D. 4,8 cm E. 11, 2 cm

248

_›

Si | V | = 3 cm, ¿cuáles son las componentes del vector V? _›

60°

Evaluación tipo PSU

37.

A. (3sen(60°), 3cos(60°)) B. (3cos(60°), 3sen(60°)) C. (–3sen(60°), 3cos(60°)) D. (–3cos(60°), 3sen(60°)) E. (3sen(60°), –3cos(60°))

38. Una caja cúbica contiene exactamente una bolita esférica, según la imagen:

Si el volumen de la caja es de 1.000 cm3, ¿cuál es el radio de la bolita? A. 5 cm B. 10 cm C. 50 cm D. 100 cm E. 500 cm

39. Si una esfera tiene un volumen de 288π cm3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. Si su radio aumentara al doble, su volumen sería 576π cm3. II. Si su radio disminuye a la mitad, el área de su superficie disminuye un 75 %. III. Para que su volumen aumente en 396π cm3, su radio debe aumentar un tercio. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo I y III E. Solo II y III

249

40. El siguiente cuerpo está formado por una semiesfera de diámetro 8 cm y una base circular:

¿Cuál es el área de la superficie del cuerpo? A. 16π cm2 B. 32π cm2 C. 48π cm2 D. 64π cm2 E. 128π cm2

41. Con respecto a la figura: B a

¿Cuál(es) de las siguientes expresiones permite(n) calcular el área del triángulo ABC? sen(α) · c · (m + n) I. _________________________ 2 sen(δ) · a · (m + n) II. _________________________ 2 sen(α) · n · m III. __________________ 2 A. Solo I B. Solo I y II C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III

250

Edificio

más alto con un ángulo de elevación de 60°, según la figura:

80 m

¿Con cuál de las siguientes expresiones se puede calcular mejor la altura h del edificio?

Evaluación tipo PSU

42. desde un punto A situado a 80 m de la base de un edificio se puede observar su punto

A. h = tg(60°) m B. h = 80 · tg(60°) m 80 m C. h = ____________ tg(60°) D. h = (80 + tg(60°)) m tg(60°) E. h = ____________ m 80

43. desde la copa de un árbol se puede observar un punto P a 40 m con un ángulo de depre-

árbol

sión de 30°, de acuerdo a la figura:

¿Cuál es la altura del árbol? A. 20 m B. 40 m C. 60 m D. 80 m E. 120 m

251

44. Un camión de masa m sube por un plano inclinado de 30º. ¿Cuál de los siguientes dia-

gramas representa mejor la descomposición de la fuerza peso ejercida sobre el camión? A. mgcos(60°)

mgsen(60°)

B. mgsen(30°)

mgcos(30°)

C. mgcos(30°)

mgsen(30°)

D. mgsen(60°)

mgcos(60°)

E. mgsen(60°)

mgcos(30°)

252

_›

45°

_›

Si | F1 |= 2| F2 | = 50 N, ¿cuál es la fuerza resultante Fr que actúa sobre el cuerpo? A. (50sen(45°) – 100, 50sen(45°)) N

Evaluación tipo PSU

45. La siguiente figura representa las dos fuerzas que actúan sobre un cuerpo en reposo:

B. (25sen(45°), 25sen(45°) – 50)) N C. (50sen(45°) – 25, 50cos(45°)) N D. (50cos(45°) – 25, 50sen(45°)) N E. (25cos(45°) – 50, 25sen(45°)) N

46. Si una esfera disminuye su volumen a la mitad, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. Su radio disminuye a la octava parte. II. El área de su superficie disminuye un 50 %. III. El área de su círculo máximo disminuye a la cuarta parte. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo I y III E. I, II y III

47.

Si α es un ángulo agudo y sen(α) = 0,4, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. cos2(α) = 0,84 II. tg(α) > 1 III. α < 30°

A. Solo I

B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo I y III

253

48. Considerando que la figura representada es un círculo, ¿cuál de las siguientes rotaciones NO se puede asociar a la generación de una esfera? 4

3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1

4 X

–2 –3 –4

A. Rotación en torno a y = –x. B. Rotación en torno a y = 4 – x. C. Rotación en torno a y = x. D. Rotación en torno a x = 2. E. Rotación en torno a y = 2.

49.

dado el triángulo ABC: A k B

1 α

¿Cuál es el valor de tg(α)? _________

1 − k2 √____________ k

k _________ B. ___________ 1 − k2 √ _________ 1 + k2 C. √____________ k k _________ D. ___________ √ 1 + k2 1 _________ E. ___________ √ 1 − k2

254

I. C

3t A

II. C

Evaluación tipo PSU

50. ¿En cuál(es) de los siguientes triángulos se cumple que sen(α) < sen(β)?

5a A

III. C β 6p A

A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo II y III E. I, II y III

255

51. ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde al vector V cuyas componentes son (4cos(45°), –4sen(45°))? A.

D. 5

–1 0 –1

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1

E. 1 –1 0 –1

1 1

–1 0 –1

–2

–3

–4

–5

Y 1

C. 1 –5 –4 –3 –2 –1

–1

Y 0 1X

–2 –3 –4 –5

256

_›

Y _›

3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

X 1

Evaluación tipo PSU

_› _›

52. Si a un cuerpo se le aplican solo las fuerzas F1 , F2 y F3 , en Newton, según la figura:

–2 –3 _ › –4 F3 –5

¿Cuál(es) de _› las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a la fuerza resultante Fr aplicada sobre el cuerpo? I. Su magnitud es de 4 N. _›

II. Fr = –î + 3ĵ III. Su dirección es la misma que la de la recta y = –3x. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo II y III E. I, II y III

53. En un grupo de 15 personas se deben elegir tres al azar para ser encuestadas. Con respecto a esta situación, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Los elementos no se pueden repetir, ya que corresponden a personas. II. Una persona podría estar acompañada de 7 pares distintos de personas. III. La técnica de conteo involucrada en la situación es la combinación. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo I y III E. Solo II y III

257

54. En el lanzamiento de tres monedas, se define la variable aleatoria X como la cantidad de sellos. Considerando S para sello y C para cara, ¿cuál de los siguientes diagramas representa a la variable X? A.

D. SSS SSC SCS

SSS SSC

SCS

SCC

CSS

CCS CSC

CCS

CSC

CCC

E. SSS SSC SCS

SSS 0

SCC

CSS

CCS CSC

CCC

SSC SCS

SCC

CSS

CCS CSC

CCC

C. SSS SSC SCS

SCC

CSS

CCS CSC

CCC

258

ble aleatoria X con las siguientes condiciones: X = 0 si ocurre una cara y un número par, X = 1 si ocurre un sello y un número impar y X = –1 en otro caso. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. El dominio de X tiene 12 elementos. B. P(X = 1) = P(X = 0) C. El recorrido de X es {–1, 0, 1}. D. P(X = –1) = 0,25 E. X es una variable discreta y finita.

Evaluación tipo PSU

55. En el lanzamiento simultáneo de una moneda y un dado de seis caras se define la varia-

56. El diagrama representa la variable aleatoria X: X pq qp pp qq ppp

–2 –1 0

qqq

pqp

qpq

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. X es discreta y finita. B. El dominio es {p, q}. C. El recorrido es {–2, –1, 0, 1, 2}. D. La probabilidad de X = 2 es 0,25. E. X = –1 solo en un caso.

259

57.

En una tienda de accesorios femeninos se venden 5 tipos de relojes, 7 tipos de aros, 4 tipos de pulseras y 8 tipos de collares. Si una persona decide comprar uno de cada accesorio, ¿cuántas compras diferentes puede hacer? A. 24 B. 35 C. 56 D. 140 E. 1.120

58. de un curso de 40 estudiantes, se escogerán al azar 5 de ellos para realizar el diario mural. ¿Qué expresión permite calcular el número de grupos que se pueden formar? 40 A. _____ 5 40! B. ______ 5! 40! C. ______________ (40 − 5)! 40! D. ___________________ (40 − 5)! · 5! (40 − 5)! E. ______________ 40!

59.

Según el experimento aleatorio E: lanzar un dado de seis caras, se define la variable aleatoria X: número de puntos en la cara superior del dado. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. X = 2 en dos resultados. ___ II. P(X = 1) = P(X = 3) = 1 3 III. El dominio y el recorrido de X son iguales. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. Solo II y III

260

toria X? A.

0,1

0,3

0,6

0,5

0,25

–2

0,1

0,2

0,3

0,4

0,2

0,3

0,5

0,1

0,2

0,1

0,3

0,4

Evaluación tipo PSU

60. ¿Cuál de las siguientes tablas NO representa las probabilidades P de una variable alea-

61. Según un estudio de una tienda comercial, la probabilidad de que un cliente compre es un 20 % mayor durante la tarde que durante la mañana. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera con respecto al informe? A. Un 20% de las ventas se realizan en la tarde. B. Es más probable que un cliente compre en la tarde que en la mañana. C. Un 80% de los clientes de la mañana no compran en la tienda. D. Solo un 20% de los clientes de la tarde compran. E. Es más conveniente comprar durante la tarde.

62. Un estudio del centro de sismología informó que la probabilidad de que ocurra un temblor durante el día es del 75 % y que un 5 % de ellos supera los 4 grados Richter. ¿Cuál es la probabilidad de que el temblor suceda en el día y supere los 4 grados? A. 0,0375 B. 0,0475 C. 0,0500 D. 0,0800 E. 0,7000

261

63. Sea la variable aleatoria X: número obtenido al lanzar un dado de cuatro caras. ¿Cuál es el gráfico que representa las probabilidades de esta variable? A.

D. Probabilidad de la variable X

Probabilidad de la variable X 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0,3

P(X = xi)

0,2 0,1 0

E. 5 4 3 2 1 0

Probabilidad de la variable X 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

P(X = xi)

Probabilidad de la variable X

C. Probabilidad de la variable X

P(X = xi)

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

262

la probabilidad de que la variable X tome un valor mayor que 2? A. 0,25 B. 0,50 C. 0,75 D. 0,015 E. 0,1

65. Según el gráfico de probabilidad de la variable X: cantidad de bicicletas por familia.

Evaluación tipo PSU

64. Sea la variable aleatoria X: número obtenido al lanzar un dado de cuatro caras. ¿Cuál es

Probabilidad de la variable X

P(X = xi)

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a lo más tres bicicletas en una familia? A. 0,02 B. 0,06 C. 0,12 D. 0,3 E. 0,9

66. Según el estudio de una revista científica, las personas que consumen una dieta alta

en proteínas, en especial pescado, tienen 20 % menos de probabilidades de sufrir un accidente cerebrovascular. Con respecto a la información, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A. La probabilidad que una persona tiene de sufrir un accidente cerebrovascular es 20 %. B. Las personas que no comen pescado tienen mayor probabilidad de padecer un accidente cerebrovascular. C. La probabilidad de sufrir un accidente cerebrovascular para una persona que come pescado es un 80 %. D. Las personas que consumen pescado tienen la misma probabilidad de sufrir un accidente cerebrovascular que las que no consumen. E. Un 20% de la población no come pescado a menudo.

263

67.

Con respecto al gráfico: Probabilidad de la variable Y

P(Y = yi)

0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. La probabilidad de que Y = 4 es 0,1. II. La probabilidad más alta ocurre para Y = 2. III. El recorrido de la variable Y es y1 = 1, y2 = 2, y3 = 3 e y4 = 4. A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo II y III E. I, II y III

68. Según el gráfico: Probabilidad de la variable X 0,5

P(X = xi)

0,4 0,3 0,2 0,1 0

5 X

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A. El recorrido de X tiene 5 elementos. B. P(X = 5) > P(X = 7) C. La variable X es discreta. D. El dominio de X son los números primos menores que 12. E. La suma de las probabilidades de X es 1. 264

Instrucciones para las preguntas N.° 69 a la N.° 75 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.

Evaluación tipo PSU

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS

Usted deberá marcar la letra: A. (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.

(2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.

Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente.

Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder la pregunta.

Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

265

69. La longitud de la diagonal Bd del cuadrilátero ABCd es un número irracional si: D

(1) ABCd es un rombo. (2) 8AB = 6Ad A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

70. La parábola de la función cuadrática f(x) = a(x – 1)2 + 1 es: Y p 0

(1) Si q = 1 y p = 1 (2) Si a < 0 A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

266

inversa de f si:

(1) dom(g) = [3, ∞[ (2) Rec(g) = [0, ∞[

A. (1) por sí sola.

B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

Evaluación tipo PSU

_______

71. Sea f: [0, ∞ [ → [3, ∞[ con f(x) = x2 + 3. La función g definida por g(x) = √x − 3 es la

72. Se puede calcular el área del triángulo ABC si: C

(1) cos(α) = 0,4 (2) BC = 12 cm A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

267

73. La figura muestra los ángulos de elevación de dos puntos hacia el extremo superior de

antena

una antena.

30°

60°

Se puede calcular la altura de la antena si: (1) BP = 10 m (2) AB = 20 m A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

74.

El precio de un producto ha aumentado su valor de forma constante cada año desde 1995. Se puede obtener el precio del producto el año 1995 si: (1) Se conoce el índice de variación porcentual. (2) Se conoce el precio del producto en 2010. A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

75. Si X es una variable de recorrido {1, 5, 10}, se puede calcular P(X = 5) si: (1) P(X = 5) = 2P(X = 1) (2) El dominio de X tiene exactamente cuatro elementos. A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

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Hoja de respuestas IDENTIFICACIÓN DEL ESTUDIANTE APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRES

RESPUESTAS 1

A B C D E

A B C D E A B C D E

49 50

A B C D E A B C D E

10 12

A B C D E A B C D E

A B C D E

A B C D E A B C D E

A B C D E

NÚMERO DE IDENTIFICACIÓN 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D E

Buenas

A B C D E

A B C D E A B C D E

Malas

A B C D E A B C D E

A B C D E

74 75

A B C D E A B C D E

A B C D E

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 K

REVISIÓN

Omitidas

271

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