4. EXERCÍCIOS
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A=[ones(20,1), T(:,1), T(:,2)] b=T(:,3) E resolvemos:
3 4
x= (A' * A)\(A' * b) Obtemos a resposta:
5 6 7 8 9
x =
-7.3241e+05 3.6786e+02 5.8097e-01
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Que significa:
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(12) 12 13 14 15 16
Esse resultado é correto? Do ponto de vista matemático, é a melhor fórmula de ajuste aos dados para o lei considerada. Essa lei é absolutamente arbitrária. Os dados não são obrigados a se ajustar ao modelo. Do ponto de vista econômico, faz muito mais sentido comparar o logaritmo dos índices. Nos exercícios, você mostrará que o modelo (13)
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IBOVESPA ' −732 · 103 + 367 TAno + 0.58IDowJones
log( IBOVESPA ) ' −50 + 0, 023.504 TAno + 1.314 log( IDowJones )
se ajusta melhor aos dados. 3. Simetrias
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A seguir, resolvemos o seguinte problema. Dados vetores u 6= v com kuk = kvk, produzir a matriz da simetria ortogonal Hu,v que troca u com v. Note que Hu,v (u − v) = v − u, e que se w ⊥ u − v então Hu,v (w) = w. A projeção ortogonal na linha gerada por u − v é dada por: 1 π1 = (u − v)(u − v)T k u − v k2 Logo, a projeção no plano ortogonal a u − v é I − π1 , ou seja: π2 = I −
1 (u − v)(u − v)T k u − v k2
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Finalmente, a simetria procurada fixa pontos no plano ortogonal e multiplica por −1 pontos da linha gerada por u − v. Logo, H = π2 − 2π1 . Expandindo, obtemos a fórmula 2 Hu,v = I − (u − v)(u − v)T k u − v k2
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4. Exercícios
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Exercício 15.1. Quais as implicações do Teorema do Posto (Teorema 9.1) e do Corolário 9.7.4 para os quatro espaços associados a uma projeção ortogonal?
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Exercício 15.2. Mostre que existe uma e apenas uma projeção ortogonal em V.
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Exercício 15.3. Seja W uma matriz cujas colunas são uma base ortonormal de V ⊥ . Ache a matriz da projeção ortogonal π : Rn → V.
Gregorio Malajovich, Álgebra Linear. Versão eletrônica e provisória. Copyright © Gregorio Malajovich,2007,2008,2009,2010.
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