8. DIMENSÃO DE ESPAÇOS
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Seja W um espaço vetorial. Definição 8.5. Uma base do espaço vetorial W é uma d-upla de vetores (u1 , . . . , ud ) linearmente independentes, e gerando o espaço W. Proposição 8.6. Se (u1 , . . . , ud ) e (v1 , . . . , ve ) são bases de um mesmo espaço W, então d = e. Antes de provar a Proposição 8.6, precisamos de um resultado preliminar: Lema 8.7. Se A é uma matriz com mais linhas do que colunas, então seu conúcleo tem um vetor λ 6= 0. Demonstração. Assumimos que A é de tamanho m × n onde m > n. Pelo Corolário 6.5.1, a matriz A admite uma fatoração da forma: A = PLU
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onde P é uma matriz de permutação, L uma matriz n × n triangular inferior com 1’s na diagonal, e U é uma matriz triangular superior. Em particular, Un+1,j = 0 para todo j. A equação λ T PL = en+1 admite uma solução diferente de zero, já que P e L são inversíveis. Temos então λ T A = 0, e portanto λ ∈ cokerA. Agora voltamos à situação da Proposição 8.6. Lema 8.8. Se u1 , . . . , ud são vetores linearmente independentes de W e se v1 , . . . , ve geram o espaço W, então d ≤ e. Demonstração. Assumimos por absurdo que d > e. Cada um dos vetores ui pertence ao espaço W, e portanto é combinação linear dos v j . Sejam Aij os coeficientes correspondentes de ui : e
ui =
∑ Aij v j
i =1 22 23
A matriz A é de tamanho d × e, e tem portanto mais linhas do que colunas. De acordo com o Lema 8.7, existe λ 6= 0 ∈ Rd tal que λT A = 0
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Nesse caso, d
d
e
e
d
∑ λi ui = ∑ ∑ λi Aij v j = ∑ ∑ λi Aij
i =1 25
26 27 28 29 30 31
32 33
i =1 j =1
j =1
i =1
!
e
vj =
∑0=0
j =1
o que contradiz a independência linear dos vetores u1 , . . . , ud .
Demonstração da Proposição 8.6. A prova da Proposição 8.6 é em duas partes. Primeiro, assumimos por absurdo que d < e e aplicamos o Lema 8.8 para obter a contradição. Depois, assumimos que d > e e aplicamos o mesmo Lema, trocando os ui pelos v j , para obter a contradição. Definição 8.9. Um espaço vetorial W tem dimensão (finita) d quando existe uma base (u1 , . . . , ud ) de W. Escrevemos: d = dim(W ). Pelo que foi visto acima, essa dimensão é única sempre que existir. Por convenção, o espaço {0} tem dimensão zero.
Gregorio Malajovich, Álgebra Linear. Versão eletrônica e provisória. Copyright © Gregorio Malajovich,2007,2008,2009,2010.
2. Bases e dimensão
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