Te re rceir vis ão a .
1
Dimensão de espaços
2
1. Independência linear
3 4
L
embremos que uma combinação linear dos vetores u1 , . . . , uk ∈ Rn é uma expressão da forma λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λk uk = Uλ
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
29 30 31
onde U é a matriz de colunas u j e λ é o vetor de coordenadas λ j . Quando λ é o vetor zero, dizemos que a combinação linear é trivial. O vetor zero é portanto combinação linear trivial para todo conjunto de vetores u1 , . . . , uk ∈ Rn . Como o conjunto de todas as combinações lineares de u1 , u2 , . . . , uk ∈ Rn é exatamente o subespaço ImU ⊆ Rn , podemos definir: Definição 8.1. O subespaço vetorial gerado pelos vetores u1 , u2 , . . . , uk ∈ Rn é o espaço das combinações lineares de u1 , u2 , . . . , uk . Chamaremos esse espaço de Span(u1 , . . . , uk ). Dado um subespaço vetorial W ⊆ Rn , gostariamos de representá-lo como Span(u1 , . . . , uk ) para algum conjunto de vetores u1 , . . . , uk . Todo vetor w de W passaria então a ser representado por pelo menos um λ ∈ Rk , por meio da equação w = Uλ. Para isso basta achar um conjunto gerador {u1 , . . . , uk } ⊆ Rn finito. Mas para garantir a unicidade de λ dado w, vamos precisar de uma condição adicional sobre o conjunto gerador. Precisaremos garantir que nenhum dos vetores u1 , u2 , . . . , uk seja combinação linear dos outros. A condição “um dos vetores u1 , u2 , . . . , uk é combinação linear dos outros´´ é difícil de escrever literalmente em línguagem matemática. Uma formulação equivalente, mais elegante, é: Definição 8.2. Os vetores u1 , u2 , . . . , uk ∈ Rn são linearmente dependentes quando o vetor zero é combinação linear não trivial de u1 , u2 , . . . , uk . A negação da condição acima é: Definição 8.3. Os vetores u1 , u2 , . . . , uk ∈ Rn são linearmente independentes se e somente se λ1 u1 + λ2 u2 + · · · + λk uk = 0 =⇒ λ = 0 Lema 8.4. As colunas de uma matriz U são linearmente independentes se e somente se, ker U = {0}. A prova é um exercício. Gregorio Malajovich, Álgebra Linear. Terceira revisão, 23 de março de 2010. Copyright © Gregorio Malajovich, 2010. 39
Gregorio Malajovich, Álgebra Linear. Versão eletrônica e provisória. Copyright © Gregorio Malajovich,2007,2008,2009,2010.
CAPÍTULO 8