3. O PRODUTO INTERNO. ÂNGULOS, NORMAS
Podemos definir o ângulo entre dois vetores pela equação
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cos (\ u, v) =
A função cos( x ) é a função cosseno do Cálculo,
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cos( x ) = 1 −
x2 x4 x6 x8 + − + −··· . 2 4! 6| 8!
Como a função cosseno tem período 2π, os ângulos são definidos módulo
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2π. Lembremos do cálculo que sin( x ) = cos( x − π/2) tem por expansão de Tay-
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hu, vi . kukkvk
lor
x5 x7 x3 + − +··· 3! 5! 7! Vamos precisar do seguinte Lema de Cálculo: sen( x ) = x −
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Lema 3.5. Se −1 ≤ c, s ≤ 1 e c2 + s2 = 1, então existe x ∈ [0, 2π ) tal que cos( x ) = c e sen( x ) = s. Demonstração. A função cos( x ) é contínua, e cos(0) = 1 e cos(−π ) = −1. Pelo Teorema do valor intermediário, existe x ∗ em [−π, 0] com cos( x ∗ ) = c (e portanto também cos(− x ∗ ) = c). Derivando cos2 ( x ) + sen2 ( x ), deduzimos (usando a diferenciabilidade do seno, do cosseno e o Teorema de Rolle) que cos2 ( x ) + sen2 ( x ) ≡ cos2 (0) + sin2 (0) ≡ 1. Na situação do Lema, deduzimos que sen( x ∗ ) = ±(1 − c2 ) = ±s, e portanto ou sen( x ∗ ) = s ou sen(− x ∗ ) = s.
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u21
Um caso particular é o de vetores u e v ∈ R2 no círculo trigonométrico + u22 = 1, v21 + v22 = 1. Nesse caso,
u, v) = u1 v1 + u2 v2 = hu, e1 ihv, e1 i + hu, e2 ihv, e2 i (\ cos α cos β De acordo com o Lema 3.5, podemos escrever u = e v = , sin α sin β acabamos de mostrar que cos( β − α) = (cos α)(cos β) + (sin α)(sin β).
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Observação 3.6. Recuperamos acima a fórmula aditiva do cosseno. Essa fórmula pode também ser provada a partir das propriedades da exponencial (lembrando que eit = cos(t) + isen(t)). Assim, podemos concluir que a definição de ângulo acima é aditiva: d u , v = ed mod 2π. 1 , v − ed 1, u Segue-se que para todo w, d d dv u , v = u, w + w,
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mod 2π.
Observação 3.7. A definição de ângulo a partir do produto interno é válida em qualquer dimensão. No entanto, a relação (\ u, w) = (\ u, v) + (\ v, w) só vale no plano, ou para vetores u, v, w em um mesmo plano. Em geral, temos apenas que |(\ u, w)| ≤ |(\ u, v)| + |(\ v, w)|.
Gregorio Malajovich, Álgebra Linear. Versão eletrônica e provisória. Copyright © Gregorio Malajovich,2007,2008,2009,2010.
3. O produto interno. Ângulos, normas
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