17. MATRIZES SIMÉTRICAS E O TEOREMA ESPECTRAL
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u H Su = u H (Su) = λu H u = λkuk2 . 4
Por outro lado, ¯ H u = λ¯ kuk2 . u H Su = (u H S)u = (Su) H u = (λu) H u = λu
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¯ logo λ ∈ R. Como u 6= 0, deduzimos que λ = λ,
Lema 17.3. Seja S uma matriz real simétrica. Seja u um autovetor de S. Então para todo v ⊥ u, Sv ⊥ u Demonstração.
hu, Svi = hSu, vi = λhu, vi = 0 8
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Demonstração do Teorema Espectral 17.1. Hipótese de Indução: O Teorema vale para matrizes n × n. O caso inicial é simples. Se S é de tamanho 1 × 1, então existe um único autovalor S associado ao autovetor 1. Assumimos portanto o Teorema provado até o tamanho n. Seja S uma matriz de tamanho (n + 1) × (n + 1). Ela tem pelo menos um autovalor λ1 real (Lema 17.2), e pelo menos um autovetor u1 com ku1 k = 1.
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Seja W = u1⊥ . Seja (v1 , . . . , vn ) uma base ortonormal de W. Pelo Lema 17.3, todo vetor de W é levado por S em um vetor de W. Definimos Tij = viT Sv j . Então a matriz T é real e simétrica. Por indução, admite uma base ortonormal de autovetores (digamos (u2 , . . . , un+1 ) associados a autovalores reais λ2 , . . . , λn+1 . Temos portanto, para todo i = 1, . . . , n + 1, Sui = λui
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Além disso, como W = u1⊥ , (u1 , . . . , un+1 ) é base ortonormal de Rn+1 .
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3. Matrizes positivas e positivas definidas
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Definição 17.4. Uma forma bilinear simétrica f em Rn é (1) (2) (3) (4)
positiva, se e somente se para todo vetor u 6= 0, f (u, u) ≥ 0 positiva definida, se e somente se para todo vetor u 6= 0, f (u, u) > 0 negativa, se e somente se para todo vetor u 6= 0, f (u, u) ≤ 0 negativa definida, se e somente se para todo vetor u 6= 0, f (u, u) < 0
A mesma terminologia é utilizada para matrizes simétricas. Por exemplo, uma matriz simétrica S é positiva definida se e somente se, para todo vetor u 6= 0, u T Su > 0. Proposição 17.5. Seja S uma matriz real simétrica. As seguintes afirmações são equivalentes: (1) A matriz S é positiva definida. (2) Os autovalores de S são estritamente positivos.
Gregorio Malajovich, Álgebra Linear. Versão eletrônica e provisória. Copyright © Gregorio Malajovich,2007,2008,2009,2010.
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Demonstração. Assuma que u 6= 0 é um autovetor de S: Su = λu. Tanto λ com u podem ser complexos. Então por um lado