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Prof. Drª Marília Brasil Xavier REITORA

Prof. Rubens Vilhena Fonseca COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA


MATERIAL DIDÁTICO

EDITORAÇÃO ELETRONICA Odivaldo Teixeira Lopes

ARTE FINAL DA CAPA Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

Belém - Pará - Brasil - 2011 -


Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

TEORIA DOS CONJUNTOS      

Introdução aos conjuntos Alguns conceitos primitivos Algumas notações p/ conjuntos Subconjuntos Alguns conjuntos especiais Reunião de conjuntos

INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS

     

Interseção de conjuntos Propriedades dos conjuntos Diferença de conjuntos Complemento de um conjunto Leis de Augustus de Morgan Diferença Simétrica

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo  que se lê: "pertence".

N

o estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.

Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos: 1N Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos: 0N

Alguns conceitos primitivos Conjunto: representa uma coleção de objetos. a.

O conjunto de todos os brasileiros.

b.

O conjunto de todos os números naturais.

c.

O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.

Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.

ALGUMAS NOTAÇÕES PARA CONJUNTOS

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:

Elemento: é um dos componentes de um conjunto. a.

José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.

b.

1 é um elemento do conjunto dos números naturais.

c.

-2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }. a.

A={a,e,i,o,u}

b.

N={1,2,3,4,...}

c.

M={João,Maria,José}

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

a.

A={x: x é uma vogal}

b.

N={x: x é um número natural}

a.

José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.

c.

M={x: x é uma pessoa da família de Maria}

b.

1 pertence ao conjunto dos números naturais.

Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.

c.

-2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

1


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por A  B e a interseção de A e B, denotada por A  B, ainda são conjuntos no universo.

SUBCONJUNTOS Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A  B, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.

2.

Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que: AA=A e AA=A

3.

Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A  A  B, B  A  B, A  B  A, A  B  B

ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS 4. Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A  B equivale a A  B = B A  B equivale a A  B = A

Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.

5.

Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C

6.

REUNIÃO DE CONJUNTOS

Comutativa: Quaisquer que conjuntos A e B, tem-se que:

sejam

os

AB=BA

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

AB=BA 7.

A  B = { x: x  A ou x  B } Exemplo: Se A = {a,e,i,o} e B = {3,4} então A  B = {a,e,i,o,3,4}.

Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: AØ=A

INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS

8.

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio. AØ=Ø

A  B = { x: x A e x B }

9.

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A  B=Ø.

Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: AU=A

10. Distributiva: Quaisquer que conjuntos A, B e C, tem-se que:

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

os

A  (B  C ) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS 1.

sejam

Os gráficos abaixo mostram a distributividade.

Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada

2


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2.

O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos. (A1  A2 ...  An)c = A1c  A2c ...  Anc

3.

O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos. (A  B)c = Ac  Bc

DIFERENÇA DE CONJUNTOS

4.

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos. (A1  A2 ...  An)c = A1c  A2c ...  Anc

A-B = {x: x  A e x B}

DIFERENÇA SIMÉTRICA

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B. A  B = {x: x A  B e x  A  B} O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:

COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:

CAB = A-B = {x: x  A e x B} Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.

A = Ø se, e somente se, B = A  B.

2.

O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.

3.

A diferença simétrica é comutativa.

4.

A diferença simétrica é associativa.

5.

A  A = Ø (conjunto vazio).

6.

A interseção entre A e B  C é distributiva, isto é: A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Exemplos: Øc = U e Uc = Ø.

7.

LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN 1.

1.

A  B está contida na reunião de A  C e de B  C, mas esta inclusão é própria, isto é: A  B  (A  C)  (B  C)

O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos. (A  B)c = Ac  Bc

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Exercícios resolvidos 1.

a) b) c) d) e)

Determinar o conjunto X tal que: 1) {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e} 2) {c,d} U X = {a,c,d,e} 3) {b,c,d} ∩ X = {c} a) b) c) d) e)

{a,b} {a,c,e} {b,d,e) {c,d,e} {a,b,c,d}

Solução: U = {alunos da escola} E = {alunos que estudam inglês}

Solução:

F = {alunos que estudam francês}

De {b,c,d} ∩ X = {c} tiramos da definição de interseção de conjuntos que:

Dados da questão: n(U) = 415, onde n(U) representa o número de elementos de U

c ε X e que b e d não pertencem a X Da igualdade {c,d} U X = {a,c,d,e} e da definição de união de conjuntos pode-se concluir que:

n(E) = 221 n(F) = 163

a, c, d e e são possíveis elementos de X

n(E ∩ F) = 52

Mas como d não pode pertencer a X em decorrência da primeira igualdade acima, temos, até aqui, que X = {a,c,e}

Logo para determinar quantos alunos estudam inglês ou francês - n(E U F) - basta utilizar a seguinte propriedade dos conjuntos, cuja demonstração não será feita aqui. No entanto você pode verificar, intuitivamente, a sua veracidade através de um diagrama de Euler-Venn:

E finalmente, de {a,b,c,d} U X = {a,b,c,d,e}, concluímos de forma análoga à colocada para a segunda igualdade que: a, b, c, d e e são possíveis elementos de X

n(E U F) = n(E) + n(F) - n(E ∩ F) = 221 + 163 - 52 = 332

E, como b e d não pertencem a X, concluímos então que X = {a,c,e}.

Como 332 são os alunos que estudam uma língua, vem que o número de alunos que não estudam nenhuma das duas é:

Para comprovar verifique que as três igualdades dadas são verdadeiras para X = {a,c,e} 2.

384 e 52 332 e 31 332 e 83 384 e 83 Nenhuma das respostas anteriores

n(U) - n(E U F) = 415 - 332 = 83

Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglês, 163 estudam francês e 52 estudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam inglês ou francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?

3.

Sejam A, B e C três conjuntos finitos. Sabendo-se que: n(X U Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y) [1]

4


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{2, 3, 4}  (A  C) _ V, pois A  C = {0, 2, 3, 4, 5} f) {2, 3} C _ F, a relação é entre conjuntos g) 2  A _ F, a relação é de pertinência

é verdadeira para quaisquer conjuntos finitos X e Y, onde a notação n(Z) representa a quantidade de elementos do conjunto Z, então n(A U B U C) é igual a: 4.

e)

Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número máximo de subconjuntos distintos é: a) 21 b) 128 c) 64 d) 32 e) 256

7.

Solução:

Solução: a) {0} b)  c) {2} d) {1} e) {6}

 Este exercício envolve o cálculo do Conjunto das Partes do conjunto dado e a fórmula para este cálculo é n(P(A)) = 2 n(A) onde: P(A) = Conjunto das partes do conjunto A; e n = número de elementos de A, logo:  Se n = 7  n(P(A)) = 2 7 = 128  Resposta: letra b) 128 5.

8.

Utilizando os símbolos  ou , relacione os conjuntos A = {0, -1, - 3, -5}, B = {-3, 5} e C = {0, -1}. a) A e B b) B e A c) A e C d) C e A

6.

a) A  B = B b) A  B =B  A  B = A c) B  A _ só ocorre se A = B d) A  B =  _ A  B = A

AeB_AB B e A _ B A A e C _ A C C e A _ C A

9.

Depois de n dias de férias, um estudante observa que: a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; b) quando chove de manhã não chove à tarde; c) houve 5 tardes sem chuva; d) houve 6 manhãs sem chuva. Podemos afirmar então que n é igual a:

Dado os seguintes conjuntos: A = {0, 2, 4}, B = {x  x é par}, C = {2, 3, 4, 5} classifique em F(falso) ou V(verdadeiro). a) 2  B b) {4, 5}  C c) B  A d) A  B e) {2, 3, 4}  (A  C) f) {2, 3}  C g) 2  A

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

Solução:

Solução: a) b) c) d)

Se A e B são dois conjuntos não vazios e ocorrer A  B, então: a) A  B = B b) A  B =B c) B  A d) A B = 

Solução:

Solução: a) b) c) d)

O conjunto intersecção de {2, 4, 6, 8, 10} e {1, 2, 3, 5, 7} é: a) {0} b)  c) {2} d) {1} e) {6}

Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M' e T' os conjuntos complementares de M e T respectivamente, temos:

2  B _ V, 2 é par {4, 5}  C _ F, a relação é entre conjuntos B A _ F, B não está contido em A A  B _ V, A está contido em B

n(T') = 5 (cinco tardes sem chuva)

5


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x+y+z+w = 52 y+z = 4y y+z = 2(x+y) y+z = w/2

n(M') = 6 (seis manhãs sem chuva) n(M T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à tarde) Daí: n(M  T) = n(M) + n(T) – n(M T) 7 = n(M) + n(T) – 0

10.

Podemos escrever também: n(M') + n(T') = 5 + 6 = 11

Desenvolvendo e simplificando, vem: x+y+z+w = 52 (eq.1) z = 3y (eq. 2) z = 2x + y (eq. 3) w = 2y + 2z (eq. 4)

Temos então o seguinte sistema: n(M') + n(T') = 11 n(M) + N(T) = 7

Substituindo o valor de z da eq. 2 na eq. 3, vem: x = y Podemos também escrever: w = 2y + 2(3y) = 8y

Somando membro a membro as duas igualdades, vem: n(M) + n(M') + n(T) + n(T') = 11 + 7 = 18 Observe que n(M) + n(M') = total dos dias de férias = n Analogamente, n(T) + n(T') = total dos dias de férias = n Portanto, substituindo vem: n + n = 18 2n = 18 n=9

Expressando a eq. 1 em função de y, vem: y + y + 3y + 8y = 52 e, daí vem: 13y = 52, de onde vem y = 4. Temos então z = 3y = 12 x=y=4 w = 8y = 32

por

simples

substituição:

A partir daí, é que vem a sutileza do problema. Vejamos: O problema pede para determinar o número de pessoas que não gostam dos produtos A e B. O conectivo e indica que devemos excluir os elementos da interseção A  B. Portanto, a resposta procurada será igual a: w + x + z = 32 + 4 + 12 = 48 pessoas. A resposta seria 32 (como muitos acham como resultado), se a pergunta fosse: Quantas pessoas não gostam do produto A ou do produto B? Resp: 48 pessoas

52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o número de pessoas que gostavam de B era: I.

O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B; II. O dobro do número de pessoas que gostavam de A; III. A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B. 11. Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a: a) 48 b) 35 c) 36 d) 47 e) 37

35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi: a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5

Solução: Considere a figura abaixo, onde estão representados os conjuntos A e B, e a quantidade de elementos x, y, z e w.

Solução: Observe o diagrama de VENN abaixo:

Pelo enunciado do problema, poderemos escrever:

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Pode-se garantir que a resposta correta é: a) a b) b c) c d) d e) e SOLUÇÃO: Veja os seguintes comentários: As alternativas (A) e (B): não há elementos para se concluir por uma delas, inicialmente. A alternativa (E) não pode ser verdadeira, pois

Podemos escrever:

implicaria - pelo enunciado - que o escritor

x + y + 5 = 16 ; logo, x + y = 11 .Eq. 1

nem teria nascido!

x + w + z + 3 = 16; logo, x + w + z = 13.Eq. 2

Para visualizar isto, veja a figura abaixo. A alternativa (D) não pode ser verdadeira, pois

t + w + 5 = 11; logo, t + w = 6.Eq. 3

implicaria concluir-se pelos séculos XIX ou x + y + z + w + t + 2 + 3 = 35; logo, x + y + z + w + t = 30.Eq. 4

XX e, pelo enunciado, só existe uma

Substituindo as Eq. 1 e 3, na Eq. 4, vem:

POR EXCLUSÃO, a alternativa verdadeira só

alternativa verdadeira.

pode ser a C. 11 + z + 6 = 30; logo, z = 13.Eq. 5

Veja o esquema abaixo, para ajudar no seu entendimento dos argumentos acima.

Substituindo o valor de z na Eq. 2, vem: x + w + 13 = 13; logo, x + w = 0, de onde se conclui que x = 0 e w = 0, já que x e w são inteiros positivos ou nulos. Substituindo o valor de x encontrado acima na Eq. 1, vem: 0 + y = 11; logo, y = 11. Observando que o número de elementos de M U SP é igual a x + y + z + w + 2 + 3, vem imediatamente, substituindo os valores: n(M U SP) = 0 + 11 + 13 + 0 + 2 + 3 = 29 Observe que n(M U SP) representa o conjunto dos estudantes que visitaram Manaus OU São Paulo, conforme foi solicitado no problema. Portanto, a alternativa correta é a letra A. 12.

Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas: a) século XIX b) século XX c) antes de 1860 d) depois de 1830 e) nenhuma das anteriores

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NÚMEROS RACIONAIS RELACIONANDO NÚMEROS RACIONAIS COM FRAÇÕES Um número racional é o que pode ser escrito na forma

2.

1,6666666... = 1,6

3.

12,121212... = 12,12

4.

0,9999999... = 0,9

5.

7,1333333... = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:

onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.

1.

0,333333... = 0,(3) = 0,3

2.

3,636363... = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo:

Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

1.

0,83333333... = 0,83

2.

0,72535353... = 0,7253

1.

0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...

Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}

2.

0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...

Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.

3.

4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...

Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:

A conexão entre números racionais e números reais Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.

No nosso link Frações já detalhamos o estudo de frações e como todo número racional pode ser posto na forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para frações são também válidas para números racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos números racionais.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior.

DÍZIMA PERIÓDICA Uma dízima periódica é um número real da forma: m,npppp... onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.

A GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.

Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos o período sublinhado. Exemplos: Dízimas periódicas 1.

0,3333333... = 0,3

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1.

Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter: R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:

S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +... Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:

10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +... Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +... Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha! Subtraindo membro a membro expressão da última, obtemos:

a

Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

penúltima

10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8 Assim:

10 S - S = 3

10R - 71 - R + 7,1 = 0,8

donde segue que

Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:

9S=3 Simplificando, obtemos:

90 R = 647 Obtemos então: Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que: 0,99999... = 0,9 = 1 2.

4.

Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o período tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma: T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...

U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:

Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +... Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha, assim:

U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +... Multiplique agora a soma "infinita" por 10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:

100 T = 31 + T de onde segue que

1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

99 T = 31

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

e simplificando, temos que

3.

Um quarto tipo de dízima periódica é T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o período tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo. Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe um número com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

1000(U-7) - (U-7) = 4 Assim: 1000U - 7000 - U + 7 = 4 Obtemos então 999 U = 6997

R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

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que pode ser escrita na forma:

Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada. Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que:

NÚMEROS IRRACIONAIS Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.

(a) O oposto de 3/4 é -3/4. (b) O oposto de

Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:

5

é -5.

Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância do ponto virtual -q ao espelho.

x=0,10100100010000100000... Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:

MÉDIA ARITMÉTICA E MÉDIA PONDERADA

e = 2,718281828459045..., Pi = 3,141592653589793238462643...

Média aritmética: Seja uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média aritmética entre esses n números é a soma dos mesmos dividida por n, isto é:

que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc... Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numérico é um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notações estranhas.

Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades: 12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33 então a idade média do grupo pode ser calculada pela média aritmética:

REPRESENTAÇÃO, ORDEM E SIMETRIA DOS RACIONAIS Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada. Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:

o que significa que a idade média está próxima de 39 anos. Média aritmética ponderada: Consideremos uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., pn. A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto é:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salário por dia), em uma empresa é formado por sub-grupos com as seguintes características:

Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva. Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor do que s, escrevemos:

12 ganham R$ 50,00 10 ganham R$ 60,00 20 ganham R$ 25,00

r<s

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15 ganham R$ 90,00

em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semicircunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.

7 ganham R$ 120,00 Para calcular a média salarial (por dia) de todo o grupo devemos usar a média aritmética ponderada:

Média harmônica: Seja uma coleção formada por n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A média harmônica H entre esses n números é a divisão de n pela soma dos inversos desses n números, isto é:

MÉDIAS GEOMÉTRICA E HARMÔNICA Média geométrica: Consideremos uma coleção formada por n números racionais não negativos: x1, x2, x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n números é a raiz n-ésima do produto entre esses números, isto é:

Aplicações práticas: Para as pessoas interessados em muitas aplicações do conceito de harmônia, média harmônica e harmônico global, visite o nosso link Harmonia.

G = Rn[x1 x2 x3 ... xn] Exemplo: A a média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por: G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013 Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64. A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada. G = R[a × b] = R[64] = 8 Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm. Interpretação gráfica: A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples. Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferencia começando em A e terminando

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ÁLGEBRA BÁSICA – POTÊNCIA DE BASE DEZ

30 ÷ 10 = 3,0 Note que ao dividir por 10, o resultado será composto pelos algarismos do dividendo (número a ser dividido), sendo que este resulta

Como foi dito no início, podemos ter qualquer tipo de base para uma potência. Em certos casos é muito utilizado a escrita na forma de "BASE DEZ". Que é o que iremos estudar neste tópico.

do terá um destes algarismos DEPOIS da vírgula. 254 ÷ 10 = 25,4 Resultado tem os mesmos algarismos, com UM algarismo APÓS a vírgula.

Vamos começar mostrando uma propriedade SUPER básica de uma multiplicação de um número qualquer por 10.

Agora, se pegarmos este resultado e dividirmos novamente por 10. O que irá acontecer? Veja o quadro abaixo:

5 x 10 = 50 52 x 10 = 520

25,4 ÷ 10 = 2,54

458 x 10 = 4580

Resultado tem os mesmos algarismos, só que agora com DOIS algarismos APÓS a vírgula.

30 x 10 = 300 Note que sempre que multiplicamos qualquer número inteiro por 10, acrescentamos um zero à direita deste número e obtemos o resultado, não interessa por quais e por quantos algarismos é formado este número.

Note que cada vez que dividimos por 10, a vírgula "se movimenta" uma casa para esquerda. Vamos dividir novamente para confirmar. 2,54 ÷ 10 = 0,254

Vamos pegar o número 256 e multiplicá-lo por 10 três vezes:

Resultado tem os mesmos algarismos, agora com TRÊS algarismos APÓS a vírgula. Como o número só tinha três algarismos, colocamos um zero à esquerda, para não ficar ,254

256 x 10 = 2560 2560 x 10 = 25600

Portanto, podemos dizer que 0,254 é igual a 254 dividido por 10 três vezes, ou seja:

25600 x 10 = 256000 Ao multiplicar por 10 três vezes, acrescentamos três zeros à direita do número. Veja que o número 256000 pode ser escrito como 256 x 10 x 10 x 10. Ou seja:

Aqui devemos ver que, dividir um número por 10 é a mesma coisa que multiplicar pela fração . Aplicando esta propriedade:

256000 = 256 x 10 x 10 x 10 Aplicando potênciação na multiplicação do 10, temos: 256000 = 256 x 103 Bom, este exemplo não foi muito satisfatório, pois escrever 256000 ou 256 x 103 acaba dando o mesmo trabalho. Mas veja agora o número abaixo:

Agora, aplicando as propriedades de potênciação:

12450000000000000000000000000000 Para representá-lo em uma forma mais compacta, utilizaremos a potência de base DEZ: 12450000000000000000000000000000 = 1245 x 10

Esta notação (forma de apresentar o valor) é também chamada de notação científica. Para números extremamenta pequenos ou absurdamente grandes é muito utilizada.

28

Note que para este tipo de número, o expoente da base 10 será igual ao número de zeros à direita que existem no número a ser representado.

Continuando no exemplo acima. Se multiplicarmos por 10, iremos desfazer a "movimentação" para esquerda, ou seja, a vírgula irá "se movimentar" para direita.

Potências de base DEZ também são utilizadas para "movimentar a vírgula" de um número decimal. Vamos ver agora uma outra propriedade básica de DIVISÃO por 10.

0,254 x 10 = 2,54

5 ÷ 10 = 0,5 52 ÷ 10 = 5,2 458 ÷ 10 = 45,8

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0,00021 x 10–4 = 0,000000021 "Movimentamos" a vírgula 4 casas para esquerda 0,000032 x 10-3 = 0,000000032 "Movimentamos" a vírgula 3 casas para esquerda

Então, se multiplicarmos por 10 três vezes, voltaremos para 254: 0,254 x 10 x 10 x 10 = 254 0,254 x 103 = 254

32500000 x 10-4 = 3250

RESUMO

"Diminuimos" 4 zeros que estavam à direita

Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 positiva, indica que iremos "aumentar" o número de zeros à direita ou "movimentar" para direita a vírgula tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:

Quando temos um número multiplicado por uma potência de base 10 negativa, indica que iremos "diminuir" o número de zeros à direita ou "movimentar" a vírgula para esquerda tantas casas quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns exemplos:

54 x 105 = 5400000

Agora vamos mostrar um exemplo de uso desta matéria:

Acrescentamos 5 zeros à direita do 54

– Calcule o valor de

2050 x 102 = 205000

:

– Primeiro de tudo vamos colocar todos números em notação científica (potências de base DEZ):

Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050 0,00021 x 104 = 2,1 "Movimentamos" a vírgula 4 casas para direita

– Vamos organizar os termos, para facilitar o cálculo:

0,000032 x 103 = 0,032 "Movimentamos" a vírgula 3 casas para direita 54 x 10–5 = 0,00054 – Agora ficou fácil. É só calcular o lado direito da multiplicação e aplicar as propriedades de potênciação no lado esquerdo para calcular. Fazendo isso, temos:

"Movimentamos" a vírgula 5 casas para esquerda 2050 x 10-2 = 20,5 "Movimentamos" a vírgula 2 casas para esquerda. Lembrando que 20,5 = 20,50

1024 x 10-1 = 102,4

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RAZÕES, PROPORÇÕES e PORCENTAGEM     

Proporções com números Propriedades das Proporções Grandezas diret. proporcionais Grandezas invers. proporcionais Histórico sobre a Regra de três

    

Regras de três simples direta Regras de três simples inversa Regras de três composta Porcentagem Juros simples

PROPORÇÕES COM NÚMEROS 4.

Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:

1.

Os números A, B, C e D são denominados termos

2.

Os números A e B são os dois primeiros termos

3.

Os números C e D são os dois últimos termos

4.

Os números A e C são os antecedentes

5.

Os números B e D são os consequentes

6.

A e D são os extremos

7.

B e C são os meios

8.

A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante K, denominada constante de proporcionalidade K dessa razão.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante K tal que:

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES Para a proporção

Exemplos: 1.

valem as seguintes propriedades: 1.

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é: A·D=B·C

2.

Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água azul. A cada 15 minutos é medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos)

15 minutos 50 cm

A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:

3.

A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:

A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o quarto termo, isto é:

14

30 minutos 100 cm

45 minutos 150 cm


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240

2.

Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência: Tempo (min)

Altura (cm)

15

50

30

100

45

150

9.

3

Notamos que quando duplica o intervalo de tempo, duplica também a distância percorrida e quando o intervalo de tempo é triplicado, a distância também é triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma proporção.

10. Observações: Usando razões e proporções, podemos descrever essa situação de outro modo. 11. (a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida varia de 80 Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na razão de 1/2 enquanto a distância percorrida varia na razão 80/160. Assim temos que tais razões são iguais, isto é:

3.

Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada.

4.

Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.

5.

(a) Quando o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão 50/100. Observamos que estas duas razões são iguais:

12. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida varia de 160 Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na razão 2/3 e a distância percorrida na razão 160/240 e observamos que essas razões são iguais, isto é:

6.

(b) Quando o intervalo de tempo varia de 15 min para 45 min, a altura varia de 50 cm para 150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 50/150. Então, notamos que essas razões são iguais:

13. Concluímos que o tempo gasto e a distância percorrida, variam sempre na mesma razão e isto significa que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo gasto para percorrê-la, se a velocidade média do automóvel se mantiver constante.

7.

Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.

8.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal que:

Em média, um automóvel percorre 80 Km em 1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3 horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da situação: Distância (Km)

Tempo (h)

80

1

160

X·Y=K Exemplos: 1.

A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.

2.

o melhor aluno receberá 24 livros

2

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3.

cada um dos 2 melhores alunos receberá 12 livros

4.

cada um dos 3 melhores alunos receberá 8 livros

5.

cada um dos 4 melhores alunos receberá 6 livros

6.

cada um dos 6 melhores alunos receberá 4 livros

7.

Alunos escolhidos

Livros para cada aluno

1

24

2

12

3

8

4

6

6

4

de 12 para 4. Observemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:

Representamos tais grandezas inversamente proporcionais com a função f(x)=24/x, apresentada no gráfico

De acordo com a tabela, a quantidade de alunos escolhidos e a quantidade de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:

8.

Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 120 Km da primeira. Se o percurso é realizado em:

9.

1 hora, velocidade média de 120 Km/h

1.

10. 2 horas, velocidade média de 60 Km/h

Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.

2.

Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.

3.

Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.

4.

11. 3 horas, velocidade média de 40 Km/h A unidade é Km/h=quilômetro por hora e uma tabela da situação é:

Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.

Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.

Velocidade (Km/h)

Tempo (h)

120

1

60

2

40

3

De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 120 Km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 40 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica.

Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6. Notemos que essas razões não são iguais, mas são inversas:

Para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais.

Se a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia

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ELEMENTOS HISTÓRICOS SOBRE A REGRA DE TRÊS

ordem direta que apareceram na tabela anterior e desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.

Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.

REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção. Na resolução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

A·B=K segue que

Para resolver problemas, tomaremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

A·B=C·D Logo

Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um corredor imprimindo a velocidade média de 180 Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (Km/h=quilômetro por hora, s=segundo). Representaremos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, temos:

assim

Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento no comprimento da mola? (Kg=quilograma e cm=centímetro). Representaremos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos: Massa do corpo (Kg)

Deslocamento da mola (cm)

10

54

15

X

e C·D=K

Velocidade (Km/h)

Tempo (s)

180

20

200

T

Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.

Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.

As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a proporção:

Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600 e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para realizar o mesmo percurso.

Observamos que os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma

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REGRA DE TRÊS COMPOSTA Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

Observação: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral, apresentaremos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.

O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.

Exemplos: 1.

Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2, ... são os valores associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas. Gra Gran Situação ndez deza a1 2 Situação 1 Situação 2

A1

A2

B1

B2

Gran deza 3

Gran deza 4

Gran deza 5

C1

D1

E1

C2

D2

E2

Vamos representar o número de peças pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela: No. de No. de dias No. de peças máquinas (A) (B) (C)

Gra Gran nd... deza ?

Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?

Z1

5

6

400

7

9

X

A grandeza Número de peças (C) servirá de referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Número de máquinas (A) e Número de dias (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Z2

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:

Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Devemos fazer uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda grandeza (com a letra B, por exemplo) que é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:

Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. Novamente devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas grandezas também são diretamente proporcionais.

As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela que apareceram na tabela. Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas: A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras duas B e D inversamente proporcionais à grandeza Z, deveremos resolver a proporção:

Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a proporção:

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Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer 500 Km, rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4 dias.

que pode ser posta na forma

PORCENTAGEM Resolvendo a proporção, obtemos X=840, assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças. 2.

Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.

Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista irá percorrer 500 Km, se rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro). Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela: Quilômetros Horas por (A) dia (B)

Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.

No. de dias (C)

200

4

2

500

5

X

Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é: Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8

A grandeza Número de dias (C) é a que servirá como referência para as outras grandezas. Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A) e Horas por dia (B) são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o produto: Produto = M%.N = M.N / 100 Exemplos: 1.

Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar que se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor número de dias percorreremos menor quilometragem. Assim temos que estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar? Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13 Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar.

Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Verificar que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias utilizaremos menor número de horas por dia e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para p mesmo percurso. Logo, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo:

2.

Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase? Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma: X% de 4 = 3 Assim: (X/100).4 = 3

que pode ser posta como

4X/100 = 3 4X = 300 X = 75

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Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%. 3.

Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria? Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por:

3.

O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.

4.

O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado montante.

Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t períodos com a taxa de i% ao período, basta usar a fórmula:

42,5% de X = 255 Assim: 42,5%.X = 255 42,5 / 100.X = 255 42,5.X / 100 = 255 42,5.X = 25500 425.X = 255000 X = 255000/425 = 600

Exemplos: 1.

Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens. 4.

Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?

A diferença entre os preços dados pela loja é: 652,00 - 450,00 = 202,50 A quantia mensal que deve ser paga de juros é:

Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%8%=92% do preço original e isto significa que

202,50 / 5 = 40,50 Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma:

92% de X = 690

X% de 450,00 = 40,50

logo

X/100.450,00 = 40,50

92%.X = 690 92/100.X = 690 92.X / 100 = 690 92.X = 69000 X = 69000 / 92 = 750

450 X / 100 = 40,50 450 X = 4050 X = 4050 / 450

O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.

X=9

A taxa de juros é de 9% ao mês.

JUROS Simples

2.

Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar: 1.

O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital.

2.

A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de juros.

O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja?

Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado? O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por: 3% de C = 960,00 3/100 C = 960,00 3 C / 100 = 960,00 3 C = 96000 C = 96000/3 = 32000,00 O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.

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FUNÇÕES INTRODUÇÃO O mundo atual experimenta a cada dia inovações tecnológicas importantes graças às relações funcionais entre variáveis. Podemos destacar vários exemplos tais como: a função que relaciona voltagem e corrente numa placa de computador ou a relação funcional entre o saldo devedor e a taxa num financiamento de um carro ou até uma função que, a partir de um exame de sangue seu, pode dizer se você tem um tipo específico de doença. Uma função ou relação funcional se estabelece quando existe uma relação de dependência entre incógnitas. Formalmente, uma função se define através de uma equação matemática relacionando as variáveis de interesse. Para o curso de cálculo diferencial e integral, o conhecimento de funções tem vital importância. Portanto, esse capítulo se dedica a analisar detalhadamente os mais variados tipos de funções.

VARIÁVEIS DEPENDENTES E INDEPENDENTES

REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO Uma função com apenas uma variável independente pode ser representada de duas formas equivalentes: y = equação da variável x ou f(x) = equação da variável x

Uma função se estabelece quando descrevemos quais são as suas variáveis independentes e qual é a variável dependente. Por exemplo, a aceleração de um carro depende da intensidade com que você pisa no pedal do acelerador. Nesse caso, a aceleração é a variável dependente e a intensidade com que você pisa no pedal é a variável independente. Note que você controla uma das variáveis (controla a sua intensidade) enquanto a outra é conseqüência da primeira. Uma função pode conter mais de uma variável independente mas apenas uma variável dependente. Na prática, isso significa que podem existir várias causas com apenas uma conseqüência. A função se encarrega de relacionar a contribuição de cada causa com a conseqüência final. Por exemplo, a temperatura média de uma cidade pode depender da umidade, da distância do equador e da altitude em que ela se encontra.

EXEMPLO

Representar uma função em que a variável dependente é igual ao quadrado da variável independente. SOLUÇÃO

A função pode ser representada das seguintes formas: y  x 2 ou f (x)  x 2 OBS.: As variáveis que aparecem na função não precisam ser, necessariamente, iguais a y e x. Por exemplo, a área de uma circunferência depende do raio segundo a equação: A    r 2 ou A(r)    r 2 Se quisermos conhecer o valor da variável dependente, basta substituirmos um valor onde aparece a variável independente. Por exemplo, se quisermos saber a área da circunferência de raio igual a 2 m, basta fazer:

A(r)    r 2 A(2)    2 2  12,56 m2

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GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

Pela definição dada, é natural pensar que um único um valor de x se associa a um único valor de y, porém, não é tão óbvio que dois valores diferentes de x possam ser associados ao mesmo valor de y. Um exemplo prático disso é que uma cidade pode ter a mesma temperatura em dois horários diferentes durante o dia. Vejamos essa situação no diagrama de Venn:

O gráfico de uma função é uma curva que expressa a relação entre a variável dependente e as independentes. Estudaremos nesse capítulo somente funções com uma variável independente.

f(x)

Podemos construir o gráfico de uma função usando um sistema de duas coordenadas posicionadas no plano cartesiano. Primeiro, atribuímos valores para a variável x e calculamos os valores correspondentes da variável y através da equação da função. Em seguida, posicionamos essas duas coordenadas no plano cartesiano. Atualmente, existem vários recursos computacionais que possibilitam a construção rápida de gráficos.

Conforme a definição, a única situação que não pode acontecer é um valor de x ser associado a mais de um valor de y. Por exemplo, uma cidade não pode ter duas temperaturas diferentes ao meio-dia não é mesmo ? A conseqüência imediata das afirmações anteriores é a seguinte regra: Uma curva no plano cartesiano é gráfico de uma função se qualquer reta vertical não intercepta essa curva mais de uma vez dentro do seu domínio.

DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE FUNÇÃO Definimos uma função como uma regra (equação) que permite associar cada elemento x, de um conjunto A, a um único elemento y de um conjunto B. O conjunto A é chamado domínio da função. Já o conjunto B é denominado imagem da função se cada elemento seu está relacionado a, pelo menos, um elemento do conjunto A. Podemos entender melhor essa definição usando o diagrama de Venn:

Vejamos dois exemplos:

É gráfico de uma função

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A segunda, e mais importante, característica é a impossibilidade de sabermos o valor da variável dependente para valores não-tabelados da variável independente. Por exemplo, não sabemos quantos habitantes existem na cidade no ano de 1985. Em geral, as funções discretas são resultados de medições em intervalos de tempo regulares. A inflação mensal, a temperatura diária, o lucro anual e o censo demográfico de dez em dez anos são exemplos de funções discretas. Por outro lado, as funções contínuas são representadas por equações no lugar de tabelas e é possível saber o valor da variável dependente para qualquer valor da variável independente. Um exemplo de função contínua é a velocidade instantânea de um carro sujeito à aceleração constante:

Não é gráfico de uma função

FUNÇÕES DISCRETAS E FUNÇÕES CONTÍNUAS Estamos freqüentemente em contato com funções de dois tipos: as funções discretas e as funções contínuas. As funções discretas aparecem nos jornais, na televisão e nas revistas em forma de gráficos. Por exemplo, considere que o censo demográfico de uma cidade forneceu os seguintes resultados: ANO

POPULAÇÃO

1970 1980 1990 2000

154.000 285.000 430.100 610.300

V(t)  V0  at Suponha que estejamos interessados em calcular a velocidade no instante t=2s sabendo-se que a velocidade inicial V0 é igual a 3m/s e a aceleração a é igual a 1m/s2: V(2)  3  1 2  5 m/s Qualquer valor de tempo que você imaginar tem uma velocidade correspondente. Para visualizar melhor, vamos construir o gráfico dessa função:

Para visualizar melhor, podemos transformar essa tabela num gráfico em forma de barras verticais: Censo demográfico de uma cidade 700.000

Habitantes

600.000 500.000

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO

400.000 300.000 200.000 100.000

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores possíveis da variável independente.

0 1970

1980

1990

2000

Ano

EXEMPLO

O exemplo do censo demográfico mostra duas características interessantes das funções discretas. A primeira característica é que toda função discreta é representada por uma tabela.

Encontre o domínio da função:

f ( x)  x

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SOLUÇÃO

Assim, a imagem da representada da seguinte forma:

Não são possíveis valores negativos de x já que, dentre os números reais, não existe a raiz quadrada de um número negativo. Assim, o domínio da função é representado da seguinte forma:

EXEMPLO

Df  {x  R / x  0}

Encontre a imagem da função:

f ( x )  x 2 SOLUÇÃO

x pertence ao conjunto dos números reais tal que x é maior ou igual a zero

Para qualquer valor de x dentro do domínio da função (todos os números reais), a variável y assume apenas valores negativos (incluindo o zero). Assim, a imagem da função é representada da seguinte forma:

EXEMPLO

Encontre o domínio da função:

1 x

Imf  {y  R / y  0}

SOLUÇÃO

Exercícios

Nesse caso, não é possível x=0 já que

1 não é definido como um número real. 0

1 – Encontre o domínio das funções abaixo: a) f (x)  x 3

Assim, o domínio da função é representado da seguinte forma:

b) f ( x ) 

1

x3 1 c) f ( x )  x2

Df  {x  R / x  0} OBS.: A expressão

é

Imf  {y  R / y  0}

Devemos ler essa notação matemática da seguinte forma:

f (x) 

função

1 não é definida porque 0

d) f ( x ) 

x2

e) f (x)  x  1

não existe um número real que multiplicado por zero seja igual a 1.

f) f ( x ) 

IMAGEM DE UMA FUNÇÃO

g) f ( x ) 

1 x 1 x 1

A imagem é o conjunto de todos os resultados que a variável dependente assume quando usamos os valores do domínio na equação da função.

FUNÇÃO AFIM

EXEMPLO

A função Afim é aquela que estabelece uma taxa constante de crescimento (ou decrescimento) da variável dependente.

Encontre a imagem da função:

f ( x)  x

EXEMPLO O apresentador do jornal da televisão informa que as exportações do país atualmente atingiram 300 milhões e estão crescendo 100 milhões por ano.

SOLUÇÃO Para qualquer valor de x dentro do domínio da função (só valores positivos de x), a variável y assume apenas valores positivos (incluindo o zero).

SOLUÇÃO

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crescendo a uma taxa constante de 2oC a cada hora.

Para entender melhor o problema, vamos construir a seguinte tabela:

SOLUÇÃO Prazo

Total de Exportações (em milhões)

Hoje

300

Após 1 ano

400 (= 300 + 1  100)

Após 2 anos

500 (= 300 + 2  100)

Após 3 anos ...

600 (= 300 + 3  100) ...

Após x anos

300 + x  100

No primeiro caso, o coeficiente angular é igual a -2oC/h. Isso significa que a cada hora a temperatura cai 2oC. Por exemplo, se a sala estava inicialmente a 30oC então após 1 hora a temperatura será de 28oC, após 2 horas a temperatura será de 26oC e assim por diante. No segundo caso, o coeficiente angular é igual a +2oC/h. Isso significa que a cada hora a temperatura sobe 2oC. Por exemplo, se a temperatura do lado de fora da sala estava em 30oC então após 1 hora a temperatura será de 32oC, após 2 horas a temperatura será de 34oC e assim por diante. O gráfico da temperatura para o lado de dentro e para o lado de fora da sala é dado por:

A função que relaciona o total de exportações e o número de anos é então dada por:

f (x)  300  100  x

Matematicamente, a função afim é dada pela relação:

f (x)  ax  b ou y  ax  b Essa função é caracterizada graficamente por uma reta. O valor de “a” é chamado coeficiente angular ( ou taxa de variação) e o valor de “b” é chamado coeficiente linear.

COEFICIENTE ANGULAR O coeficiente angular indica a taxa constante de crescimento ou decrescimento de y. Podemos analisá-lo de duas formas:  Pelo seu sinal;  Pelo seu valor absoluto. Quando analisamos o coeficiente angular pelo seu sinal estamos interessados em saber se a taxa é de crescimento ou de decrescimento. Uma taxa de crescimento é caracterizada por um valor positivo e uma taxa de decrescimento é caracterizada por um valor negativo.

Por outro lado, quando analisamos o coeficiente angular pelo seu valor absoluto (apenas o número sem considerar o sinal) estamos interessados em saber se a taxa de crescimento ou decrescimento (dependendo do sinal) é elevada ou não.

COEFICIENTE LINEAR O coeficiente linear indica onde a função corta o eixo y, ou seja, o valor de y quando x é igual a zero. Podemos encontrar dois casos:

EXEMPLO

Vamos considerar que a temperatura no interior de uma sala refrigerada decresce a uma taxa constante de 2oC a cada hora enquanto do lado de fora a temperatura está

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Coeficiente linear positivo, quando a função corta o eixo y num valor positivo;


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Coeficiente linear negativo, quando a função corta o eixo y num valor negativo.

EXEMPLO

Vamos considerar o caso de duas funções com coeficiente angular positivo, uma com coeficiente linear positivo e a outra com coeficiente linear negativo:

Coeficiente linear negativo

COMO OBTER A FUNÇÃO A FUNÇÃO AFIM Vamos supor que conhecemos dois pontos (x 0 , y 0 ) e (x1 , y1 ) pelos quais a reta passa. Coeficiente linear positivo

A inclinação da reta é dada pela tangente do ângulo  no triângulo mostrado no gráfico: Coeficiente linear negativo

cateto oposto cateto adjacente y  y 0 y a 1  x 1  x 0 x

a  tg 

EXEMPLO Agora vamos considerar o caso de duas funções com coeficiente angular negativo, uma com coeficiente linear positivo e a outra com coeficiente linear negativo:

Fazendo y1  y e x1  x na fórmula acima podemos encontrar a equação da reta:

Coeficiente linear positivo

a

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y  y0 x  x0


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EXEMPLO

( y  y 0 )  a(x  x 0 )

y  3x  3

coeficiente angular = +3, reta crescente.

Essa equação é usada quando sabemos qual é o coeficiente angular e um ponto por onde a reta passa.

y  2x  1 coeficiente angular = +2, reta crescente.

OBS.: Poderíamos ter feito

y0  y e x 0  x .

Definimos uma função decrescente quando, à medida que x aumenta dentro de um intervalo, o valor de y diminui. Um coeficiente angular negativo caracteriza uma reta decrescente.

Nesse caso, teríamos a seguinte equação da reta:

(y  y1 )  a(x  x1 )

EXEMPLO

Isso significa que qualquer um dos dois pontos pode ser usado na equação.

y  3x  1

coeficiente angular = -3, reta decrescente.

EXEMPLO

y  2x  3

Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos e (x 0 , y 0 )  (1,0) (x1 , y1 )  (2,3) .

coeficiente angular = -2, reta decrescente.

OBS.: Pode acontecer do valor de “a” ser nulo. Nesse caso, a reta, que não é crescente e nem decrescente, é chamada função constante (não possui inclinação).

SOLUÇÃO Primeiramente, coeficiente angular:

a

devemos

encontrar

o

y1  y 0 3  0  3 x1  x 0 2 1

ESBOÇO DO GRÁFICO ATRAVÉS DA EQUAÇÃO DA FUNÇÃO

Agora, podemos usar a equação da reta:

Podemos usar o nosso raciocínio para construir o gráfico da função encontrando as duas coordenadas mais importantes: onde a função corta o eixo x e onde corta o eixo y. Para encontrar em que ponto a função corta o eixo x, basta colocar zero onde aparecer y na equação. O valor calculado de x deve ser marcado sobre o eixo x. Para encontrar em que ponto a função corta o eixo y, basta colocar zero onde aparecer x na equação. O valor calculado de y deve ser marcado sobre o eixo y. Esse valor é igual ao coeficiente linear da função Afim. Finalmente, usando uma régua, ligamos esses dois pontos com uma reta.

( y  y 0 )  a(x  x 0 ) ( y  0)  3(x  1) y  3x  3 Por outro lado, poderíamos ter escolhido o outro ponto:

(y  y1 )  a(x  x1 ) (y  3)  3(x  2) y  3x  6  3  3x  3

EXEMPLO

CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO DA FUNÇÃO

Encontrar o gráfico da função:

y  2x 1

Definimos uma função crescente quando, à medida que x aumenta dentro de um intervalo, o valor de y também aumenta. Na função Afim, isso é caracterizado pelo valor positivo do coeficiente angular.

SOLUÇÃO

27

Para

y  0 , 2x  1  0  2x  1 x  

Para

x  0 , y  2  0  1 y  1

1 2


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Vamos agora posicionar os dois pontos no gráfico:

A função linear é caracterizada por a0 e b=0. Isso faz com que o gráfico sempre passe pela origem do plano cartesiano (x=0 e y=0).

EXEMPLO Exemplos de funções do tipo linear: y  2x (função linear crescente)

Finalmente, devemos traçar a reta que passa pelos dois pontos:

y  2x (função linear decrescente) Esboço do gráfico de uma função linear (crescente):

A função constante é caracterizada por a=0. Isso faz com que o gráfico da função seja uma reta horizontal, ou seja, o valor de y não varia com x.

CLASSIFICAÇÃO A função y = ax + b pode se enquadrar num dos três tipos listados abaixo:

EXEMPLO

  

Exemplos de funções do tipo constante: y  2 (positiva)

Função Afim; Função Linear; Função Constante.

y  2 (negativa) Esboço do gráfico de uma função constante (positiva):

A função afim é caracterizada por a0 e b0. Isso faz com que o gráfico nunca passe pela origem dos eixos (x=0 e y=0).

EXEMPLO Exemplos de funções do tipo afim: y  2x 1 (função afim crescente)

y  2x  3 (função afim decrescente) Esboço do gráfico de uma função (decrescente):

afim

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Exercícios 1.

JUROS SIMPLES

Classifique as funções abaixo em crescentes ou decrescentes: a) y  3x  1

No regime de capitalização chamado juros simples os juros são proporcionais ao tempo da aplicação. Por exemplo, se dobrarmos o prazo de um empréstimo então os juros dobrarão de valor. A equação abaixo fornece o valor dos juros de uma aplicação em juros simples:

y  2x  1 y  x d) y  3x 1 e) y  x  1 2 1 f) y  1  x 2 b) c)

2.

J

Nessa equação, identificamos os seguintes parâmetros:

Classifique as funções abaixo em afim, linear e constante: a) y  3x  1

C é o capital aplicado em dinheiro; i é a taxa percentual por unidade de tempo (diária, mensal, anual, etc); t é o tempo da aplicação (dia, mês, ano, etc)

y3 y  x d) y  1 e) y  3x f) y  2x  1 b) c)

3.

4.

Definimos o montante de uma aplicação como sendo a soma do capital com os juros do período considerado. Pela definição, a fórmula de cálculo do montante é dada por:

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos: a) (1,3) e (2,6) b) (-1,2) e (2, -4) c) (2,5) e (3,5) d) (1,1) e (3,5) e) (3,2) e (4,1) f) (3,4) e (1,1)

M CJ C

Quanto rende de juros uma aplicação de $10.000,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês durante 2 meses ?

Com os resultados da questão anterior, construa o gráfico correspondente a cada uma das retas.

SOLUÇÃO Usando a equação do regime de juros simples:

Um modelo matemático é uma função que representa um determinado problema. Existem muitos exemplos de problemas que podem ser modelados por uma função Afim:

 

Ci t 100

EXEMPLO

MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO AFIM

 

Ci  t 100

J

Juros simples; Avaliação de alternativas de consumo de celular; Movimento uniforme (MU); Movimento uniformemente variado (MUV).

C  i  t 10.000,00  3  2   $600,00 100 100

ALTERNATIVAS DE CONSUMO DE CELULAR Suponha que a sua operadora de celular tenha duas opções de plano de consumo:

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 

MOVIMENTO UNIFORME

Plano pós-pago: você paga a assinatura de $30,00 mais $0,40 por minuto de ligação. Plano pré-pago: $1,00 por minuto de ligação.

A velocidade é definida como a rapidez para completar um percurso. Isso é medido em termos de quanta distância é percorrida num período de tempo. Por exemplo, se um carro percorre 100 quilômetros em 2 horas, então a sua velocidade é de 50 quilômetros por cada hora do percurso. Em física, definimos o movimento uniforme como sendo aquele cuja velocidade é constante. Por esse motivo, podemos encarar o espaço como uma função do 1o grau dada por:

Baseado nos dois planos acima, explique até que ponto o plano pré-pago é mais vantajoso que o pós-pago ? O modelo do plano pós-pago é dado pela equação:

Consumo  30  0,4  t , onde t é o tempo de conversação em minutos. O plano pré-pago pode ser modelado segundo a equação abaixo:

S  S0  V  t

Consumo 1 t , onde t é o tempo de conversação em minutos. A partir das equações dos modelos, podemos montar o gráfico a seguir:

Note que a velocidade é o coeficiente angular da reta e o seu valor determina se o espaço está crescendo ou decrescendo à medida que o tempo passa.

EXEMPLO

70

Consumo ($)

60

Duas horas após iniciar o movimento, em que ponto estará um automóvel que viaja a uma velocidade constante de 50km/h e está situado inicialmente a 10km da origem ?

50 40 30

SOLUÇÃO

20 10

Os dados do problema são: S0  10km , V  50km / h e

0 0

5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

t  2h

tempo de conversação (min)

Vamos calcular em que ponto estará o automóvel a partir da equação do espaço: A linha tracejada corresponde ao plano pós-pago e a linha cheia ao plano pré-pago. Conforme o gráfico, as duas retas se encontram no tempo de 50 minutos (marcado com um círculo). Nesse ponto as duas contas são iguais, ou seja, se você consumir 50 minutos todo mês então será indiferente você ter um plano pré-pago ou pós-pago. O valor da conta com o consumo de 50 minutos será de $50,00. Abaixo de 50 minutos, podemos verificar que a linha cheia está abaixo da linha tracejada. Isso significa que se você consumir menos de 50 minutos por mês, então o plano pré-pago é mais vantajoso porque a conta é mais barata. Já acima de 50 minutos, verificamos que a linha tracejada está abaixo da linha cheia, mostrando que se você consumir mais de 50 minutos por mês então o plano de conta é mais interessante já que no final do mês a conta será menor.

S  10  50  t S  10  50  2  110km O automóvel estará a 110km da origem. Note que 110km não é o espaço percorrido em duas horas, mas onde estará o automóvel em relação ao ponto de referência.

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO A aceleração é definida como sendo a taxa de variação da velocidade na unidade de tempo. Isso é medido em termos de quanto aumenta ou diminui a velocidade num período de tempo. Por exemplo, se um carro tem uma velocidade de 5m/s e 10 segundos depois está com uma velocidade de 15m/s então a sua aceleração é de 10m/s em 10 segundos, ou seja, 1 m/s2. Em física, definimos o movimento uniformemente variado como sendo aquele cuja

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O valor de “c” identifica o ponto onde a função quadrática corta o eixo y e o seu posicionamento é similar ao coeficiente linear na função afim.

aceleração é constante. Dessa forma, podemos modelar a velocidade como uma função do 1 o grau:

V  V0  a  t

EXEMPLO

É importante perceber que a aceleração é o coeficiente angular da reta e o seu valor determina se a velocidade está crescendo ou decrescendo à medida que o tempo passa.

A função do espaço no MUV é dada pela seguinte equação do 2o grau:

S  S 0  V0 t 

EXEMPLO Um automóvel viaja a uma velocidade de 10m/s e 5 segundos depois está a 20m/s. A que velocidade estará o automóvel em 10 segundos mantendo a aceleração constante ?

Note que a maior potência da variável independente t é dois. CONCAVIDADE DA FUNÇÃO QUADRÁTICA A concavidade é uma característica importante da função, já que indica se a abertura da parábola está para cima ou para baixo. Essa característica pode ser prevista através do parâmetro “a” da equação, conforme a classificação:  a>0 (a positivo): concavidade para cima, ou seja, abertura para cima.  a<0 (a negativo): concavidade para baixo, ou seja, abertura para baixo.

SOLUÇÃO Os dados do problema são:

V0  10m / s , a  e

t  10s

at 2 2

20  10  2m / s 2 5

Vamos calcular em que velocidade o móvel estará através da equação da velocidade:

EXEMPLO

V  10  2  t  10  2 10  30m / s

FUNÇÃO QUADRÁTICA A função em que a maior potência da variável independente é igual a dois chama-se função quadrática. Matematicamente, a função quadrática é dada pela relação: Concavidade para cima

f (x)  ax 2  bx  c ou y  ax 2  bx  c Essa função é caracterizada graficamente por uma parábola. O gráfico de uma função quadrática tem a propriedade de ser simétrico em relação ao seu vértice.

c Concavidade para baixo

Vértice da Parábola

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ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

São os valores de x que anulam a função quadrática. Assim:

Quando isso acontece, certamente teremos 2 raízes reais e diferentes, ou seja, a função quadrática “cortará” o eixo x nos pontos x’ e x”.

y=0 ou f(x)=0

Quando >0:

EXEMPLO

A forma mais usada de resolução da equação quadrática é através da fórmula de Baskara:

x 

 b  b 2  4ac 2a

x  

 b  b 2  4ac 2a

Note que na função afim só existe um único valor que anula a função (corta o eixo x) enquanto que na função quadrática existem dois valores.

x 2  5x  6  0   (5) 2  4  (1)  (6)  1  (5)  1 x  3 2  (1)

EXEMPLO Encontre

os

zeros

da

função

y  x  5x  6 . 2

x  

SOLUÇÃO 

x 2  5x  6  0 x 

x  

 (5)  (5)  4  (1)  (6) 2

2  (1)

 (5)  (5) 2  4  (1)  (6) 2  (1)

 (5)  1 2 2  (1)

Quando =0:

Quando isso acontece, certamente teremos 2 raízes reais e iguais, ou seja, a função quadrática “tangenciará” o eixo x no ponto x’=x”.

5  25  24 5  1  3 2 2

EXEMPLO

5  25  24 5  1   2 2 2

Uma segunda forma de resolver o problema é através do cálculo do discriminante :

  b 2  4ac Obteremos então as seguintes raízes como solução:

b  2a b  x   2a x 

x 2  4x  4  0   (4) 2  4  (1)  (4) 0  (4)  0 x  2 2  (1)

A introdução do elemento  simplifica o entendimento do resultado de x’ e x”. Podemos estabelecer a seguinte classificação baseada no valor de :

x  

32

 (4)  0 2 2  (1)


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OBS.:

yv  

Nesse caso, dizemos que a raiz 2 tem multiplicidade 2 (2 raízes iguais a 2).

 4a

EXEMPLO

Quando <0:

Quando isso acontece, certamente não teremos raízes reais, ou seja, a função quadrática não “cortará” nem “tangenciará” o eixo x.

EXEMPLO Gráfico com ponto de mínimo

x 2  4x  5  0   (4) 2  4  (1)  (5)   4 Portanto:

Gráfico com ponto de máximo

 x, x   R EXEMPLO

PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Calcule o valor de xv e yv da função

y  x  5x  6 e diga se xv é máximo ou 2

mínimo. Dependendo da concavidade da função quadrática, podemos perceber que o vértice da parábola situa-se no ponto mais baixo ou no ponto mais alto do gráfico. Denominamos ponto de máximo ao valor de x cujo valor de y é máximo, ou seja, quando o valor de y está no ponto mais alto do gráfico. Isso acontece quando a função tem concavidade para baixo (a<0). Denominamos ponto de mínimo ao valor de x cujo valor de y é mínimo, ou seja, quando o valor de y está no ponto mais baixo do gráfico. Isso acontece quando a função tem concavidade para cima (a>0). O ponto de máximo ou mínimo pode ser calculado através do conhecimento das coordenadas do vértice da parábola:

xv  

SOLUÇÃO A partir da função encontramos os seguintes resultados:

  (5) 2  4  (1)  (6)  1 (5) 5 b xv      2,5 2a 2 1 2  1 1 yv       0,25 4a 4 1 4 Observando o gráfico da função podemos entender melhor o problema:

b 2a

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3) Gráfico para as funções y= x2-x-6 e x= y2-y-6.

Logo, o ponto xv=2,5 é ponto de mínimo já que a concavidade está voltada para cima (a>0). Nesse caso, yv=-0,25 é o menor valor que a função assume.

OBSERVAÇÕES NO GRÁFICO 1)

4) Alguns gráficos alterando apenas o “b” das funções: y=x2-x-6 y=x2-2x-6 y=x2-3x-6 y=x2-4x-6

Gráfico para as funções y= x2 e x= y2

2) Gráfico para as funções y=-x2 e x=-y2

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5) Alguns gráficos alterando apenas o “a” das funções: y=x2-x-6 y=2x2-x-6 y=3x2-x-6 y=4x2-x-6

7) Alguns gráficos para as funções: y+x+4=x2 y-15x+36=y2

MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO QUADRÁTICA 6) Alguns gráficos alterando apenas o “c” das funções: y=x2-x-3 y=x2-x-4 y=x2-x-5 y=x2-x-6

Existem muitos problemas que podem ser modelados por uma função quadrática:  Movimento uniformemente variado (MUV);  Trajetória de projéteis;

MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO No movimento uniformemente variado, a posição do móvel depende do tempo conforme a seguinte função quadrática:

S  S 0  V0 t 

at 2 2

Onde: S é a posição final do móvel em relação à origem; S0 é a posição inicial do móvel em relação à origem; V0 é a velocidade inicial do móvel; t é o tempo de percurso desde a posição inicial S0 até a posição final S;

EXEMPLO Um automóvel começou a mover-se num ponto que está a 20 metros distante da origem com

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aceleração constante de 1m/s2. Encontre a posição final do móvel após 10 segundos.

sen  cos 

tg 

Então a altura máxima é dada por:

SOLUÇÃO

(V0 sen) 2 yv  2g

A velocidade inicial do automóvel é igual a zero, já que estava parado e começou a se mover no ponto inicial. Substituindo os dados do problema na equação da posição:

S  S 0  V0 t 

Isso significa que a altura máxima possível, considerando a velocidade inicial constante, depende do ângulo de lançamento do projétil e acontece quando o ângulo é de 90 o (é um lançamento para cima!), já que sen(90o)=1.

at 2 1 t 2  20  2 2

Após 10 segundos, o automóvel estará na posição:

S  20 

(10 ) 2  70 m 2

Exercícios

TRAJETÓRIA DE PROJÉTEIS 1. Em aplicações militares é interessante descobrir a trajetória de projéteis para que um alvo possa ser atingido com precisão. Galileu foi o primeiro a demonstrar que a equação da trajetória de um projétil é dada por:

y  ( tg)  x 

g 2  (V0 cos ) 2

x

2

Calcule os valores de xv e yv e diga, para cada caso, se o ponto xv é de máximo ou mínimo: a)

y   x 2  6x  9

b)

y  x 2  6x  8

c)

y  x 2  5x  7

2.

A partir das funções da questão anterior, identifique o número de raízes reais e construa o seu respectivo gráfico.

3.

Considere a função do 2o grau:

f (x)  ax 2  bx  c Somando e subtraindo

Onde: y é a altura que o projétil alcança; x é a distância horizontal do projétil; V0 é a velocidade inicial do projétil;  é o ângulo de lançamento do projétil.

no segundo

membro, obtenha a seguinte expressão: 2

b   f (x)  a   x    2a  4a  Em seguida:

EXEMPLO

a) Encontre a altura máxima que pode atingir um míssil lançado de um equipamento de artilharia terrestre.

Mostre que se a>0, então o menor valor de f(x) ocorre em x  

b . Substituindo 2a

esse valor na expressão anterior, descubra o menor valor que a função assume.

SOLUÇÃO

b) Mostre que se a<0, então o maior valor de

A altura máxima é dada pelo valor do yv:

yv  

b2 4a

 ( tg)  2  (V0 cos)    4a 4 g  2

2

f(x)

  

também

ocorre

em

x

b . 2a

Substituindo esse valor na expressão anterior, descubra o maior valor que a função assume.

Fica mais fácil simplificar essa expressão se soubermos que:

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c)

Fazendo f (x)  0 , demonstre a fórmula de Baskara.

EXEMPLO

FUNÇÃO EXPONENCIAL A função que representa um crescimento (ou um decrescimento) multiplicativo é conhecida como função exponencial.

EXEMPLO Um capital dobra a cada ano de aplicação. Encontre a função que expressa a relação entre o capital e o montante.

SOLUÇÃO Vamos representar o capital aplicado pela letra C e o montante pela letra M. A cada ano o montante será igual ao dobro do valor do capital aplicado no início do ano anterior, ou seja: Prazo da Aplicação

Montante

Hoje

C

Após 1 ano

2C

Após 2 anos

4C (=22C)

Após 3 anos ...

8C (=23C) ...

Após x anos

2xC

PROPRIEDADES DA EXPONENCIAL Para compreender o comportamento de uma função exponencial é necessário conhecermos as seguintes propriedades:

f (x)  C  2

a 0  1a  0

A função que relaciona o capital e o montante é então dada por:

EXEMPLO

x

1000 0  1  a m  a n  a m n

A função exponencial é caracterizada pela seguinte expressão:

EXEMPLO

f (x)  a x , com a > 0.

23  2 2  232  25 am  a mn  n a

Chamamos os parâmetros “a” de base e “x” de expoente. A base de uma função exponencial representa o valor do seu crescimento ou decrescimento multiplicativo. Por exemplo, se uma função triplica a cada ano ou reduz-se à metade a cada hora então a base é representada por esses valores. A característica principal do seu gráfico é o seu crescimento (ou decrescimento) rápido. Outra característica é que o gráfico da função exponencial corta o eixo y no ponto y = +1.

EXEMPLO

23 2 

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2

 2 3 2  2 1

a m  b m  (ab) m


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EXEMPLO

SOLUÇÃO

2 3  33  (2  3) 3  6 3

Conforme o enunciado, a função que representa o problema é:

1

a

m

 a m

y  (10.000)  3x Como a base é igual a 3, a função é crescente. Após 4 horas, o número de bactérias é igual a:

EXEMPLO

1 22

y  (10.000)  34  810.000

 2 2

bactérias. O gráfico dessa função é dado por: m

a n  n am

EXEMPLO 2 5 3

 5 32

(a m ) n  a mn

EXEMPLO

(23 ) 5  235  215 

CLASSIFICAÇÃO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Quando o valor de a é maior do que zero e menor do que 1, a função é dita decrescente. O que acontece nesse caso é que a função representa um decrescimento multiplicativo.

A função exponencial pode ser classificada em crescente e decrescente, conforme o valor do parâmetro “a” da equação:

f (x)  a 

2o caso: 0<a<1

EXEMPLO Um carro perde 10% do seu valor a cada ano de uso. Sabendo-se que o valor inicial do carro é $20.000,00, calcule seu valor após 3 anos.

x

1o caso: a>1

SOLUÇÃO

Quando o valor de a é maior do que 1, a função é dita crescente. O que acontece nesse caso é que a função representa um crescimento multiplicativo.

A cada ano de uso, o valor do automóvel se torna 90% do valor do ano anterior. Portanto, a função que representa o problema é: x

 90  x y  (20.000)     (20.000)  0,9  100 

EXEMPLO Uma colônia de bactérias triplica a cada hora. Encontre o número de bactérias após 4 horas, sendo que no instante inicial o número de bactérias é igual a 10.000.

Como a base é igual a 0,9, a função é decrescente. Após 3 anos, o valor do carro é igual a:

y  (20.000)  0,93  $14.580,00

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SOLUÇÃO

O gráfico dessa função é dado por:

Primeiramente, devemos transformar a taxa percentual em taxa unitária. Nesse caso, uma taxa de 1% corresponde a:

1% 

1  0,01 100

Vamos agora montar um quadro da aplicação: Prazo da Aplicação Hoje

OBS: A parte em que x é negativo não existe para os dois exemplos mostrados já que a variável x é o tempo e não é possível existir tempo negativo.

Após 1 mês Após 2 meses Após 3 meses Após 4 meses

O VALOR DE “e” Quando estamos trabalhando com funções exponenciais, é muito freqüente aparecerem expressões em que a base da função é a letra “e”. Essa letra, dada em homenagem ao matemático Leonard Euler, representa um número irracional igual a:

Juros $0,00 $10.000,00 = $100,00 $10.100,00 = $101,00 $10.201,00 = $101,00 $10.303,01 = $103,03

Montante $10.000,00  0,01  0,01  0,01  0,01

$10.100,00 $10.201,00 $10.303,01 $10.406,04

A equação abaixo fornece o valor do montante de uma aplicação financeira:

M  C  (1  i) n

e  2,7182 ...

Nessa equação, identificamos os seguintes parâmetros:

MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO EXPONENCIAL

C é o capital aplicado em dinheiro; i é a taxa unitária na unidade de tempo (diária, mensal, anual, etc); n é o tempo da aplicação (dia, mês, ano, etc)

Existem muitos problemas que podem ser modelados por uma função exponencial:  Juros compostos;  Financiamento;  Diodo semicondutor.

EXEMPLO Quanto rende de juros uma aplicação de $10.000,00 a uma taxa de 3% ao mês durante 2 meses ?

JUROS COMPOSTOS

SOLUÇÃO

No regime de capitalização chamado juros compostos o montante cresce exponencialmente com a taxa de juros mensal i e o tempo de aplicação n.

Usando a equação do regime de juros compostos:

M  C  (1  i) n

EXEMPLO

M  $10.000,00  (1  0,03) 2  $10.609,00

Calcularemos o montante mês a mês de uma aplicação de $10.000,00 a uma taxa de 1% ao mês durante 4 meses.

O montante é definido como sendo a soma do capital com os juros do período considerado. A partir dessa definição, os juros podem ser calculados da seguinte forma:

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J  MC J  $10.609,00  $10.000,00  $609,00

Onde: P é o valor da prestação em dinheiro; VE é o valor emprestado em dinheiro; i é a taxa unitária na unidade de tempo (diária, mensal, anual, etc); n é o tempo da aplicação (dia, mês, ano, etc).

FINANCIAMENTO Quando você está interessado em adquirir um carro ou uma casa, porém não tem possibilidade de pagar à vista, uma das soluções é pedir um empréstimo a uma instituição financeira através de uma operação conhecida como financiamento. O financiamento é um plano de pagamento baseado no princípio de que o valor de cada prestação divide-se em duas parcelas:  Amortização do valor emprestado: uma parte de cada prestação deve diminuir (amortizar) o valor que foi emprestado.  Juros sobre o saldo devedor: outra parte da prestação deve pagar juros sobre a parte do valor emprestado que não foi amortizada (saldo devedor). A equação do financiamento é dada por:

P  VE 

EXEMPLO Construir o plano de financiamento de um carro que custa $10.000,00 a uma taxa de 1% ao mês (i=0,01) durante 12 meses.

SOLUÇÃO Valor da parcelas é calculado da seguinte forma:

P  VE 

i  (1  i) n (1  i) n  1

P  10.000,00 

i  (1  i) n (1  i) n  1

0,01  (1  0,01)12 (1  0,01)12  1

P  $888,49

PLANO DE FINANCIAMENTO Tempo (meses)

Juros (J=SDi)

Dívida (D)

Parcela (P)

Amortização (A=P-J)

Saldo Devedor (SD=D-P)

Hoje

$10.000,00

$10.000,00

Após 1 mês

$100,00

$10.100,00

$888,49

$788,49

$9.211,51

Após 2 meses

$92,12

$9.303,63

$888,49

$796,37

$8.415,14

Após 3 meses

$84,15

$8.499,29

$888,49

$804,34

$7.610,80

Após 4 meses

$76,11

$7.686,91

$888,49

$812,38

$6.798,42

Após 5 meses

$67,98

$6.866,40

$888,49

$820,51

$5.977,91

Após 6 meses

$59,78

$6.037,69

$888,49

$828,71

$5.149,20

Após 7 meses

$51,49

$5.200,69

$888,49

$837,00

$4.312,20

Após 8 meses

$43,12

$4.355,32

$888,49

$845,37

$3.466,83

Após 9 meses

$34,67

$3.501,50

$888,49

$853,82

$2.613,01

Após 10 meses

$26,13

$2.639,14

$888,49

$862,36

$1.750,65

Após 11 meses

$17,51

$1.768,16

$888,49

$870,98

$879,67

Após 12 meses

$8,80

$888,49

$888,49

$879,69

$0,00* (dívida paga)

Totais

$661,85

$10.661,88

$10.000,00*

* ocorre uma diferença $0,02 por causa do arredondamento nas casas decimais.

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Valor da Prestação

Graficamente, podemos representar a operação por:

900,00 880,00 860,00 840,00 820,00 800,00 780,00 760,00 740,00 720,00 1

2

3

4

5

6 7 Meses

8

9

10

11

12

A parte cinza é a contribuição dos juros e a parte preta é a contribuição da amortização no valor da parcela. Desta forma, concluímos que a amortização deve crescer com o tempo e o valor dos juros deve decrescer com o tempo.

DIODO SEMICONDUTOR

A equação que modela o funcionamento do diodo semicondutor é dada por:

Chamamos de diodo ao elemento de circuito eletrônico construído com semicondutores (em geral são usados o silício, o germânio, o arsênio e o gálio). O diodo possui dois terminais conhecidos como catodo e anodo. O catodo é o terminal negativo e o anodo é o terminal positivo. A finalidade do diodo é conduzir a corrente elétrica somente num sentido e bloquear a corrente em sentido contrário. O diodo sempre permitirá passagem de corrente elétrica quando a tensão no anodo for maior que a tensão no catodo. As figuras abaixo mostram o símbolo do diodo e algumas imagens reais dos componentes:

i D  ISe

vD VT

, para vD0V

Onde: iD é a corrente do diodo; IS é a corrente de saturação (10-15A); vD é a tensão sobre o diodo; VT é a tensão térmica (25mV). A característica exponencial do diodo faz com que a sua principal aplicação seja o chaveamento analógico. Isso significa que, dependendo da tensão vD, o diodo liga ou desliga o circuito eletrônico ao qual está conectado. Outra aplicação do diodo é o LED (diodo emissor de luz) que ilumina as teclas e o display do seu telefone celular.

Símbolo:

Componentes:

(DIODO)

Exercícios 1.

Classifique as funções em crescente decrescente e esboce seus gráficos:

1 y  2 x b) y  e a)

(LED)

41

x

e


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4 y  3 x d) y  3

Devemos elevar a base 2 a que valor de t para que o resultado seja igual a 8 ?

x

c)

2.

Definimos então a função logarítmica por:

y  log a x , com a > 0, a  1 e x > 0

O estudo da concentração de drogas na circulação sanguínea é um ramo da farmácia conhecido como farmacocinética. A redução da droga no corpo humano é modelada pela seguinte função exponencial:

O parâmetro “a” é chamado de base do logaritmo. Uma característica importante é que o gráfico da função logarítmica corta o eixo x no ponto x = +1.

C  C 0  e kt

EXEMPLO

Onde: C0 é a concentração inicial da droga. t é o tempo decorrido desde que a droga foi introduzida no corpo. O valor de k no expoente responde pela rapidez de redução da droga no corpo e depende do medicamento considerado. Descubra a concentração de uma droga após 4h, se k é igual a 0,45/h e a concentração inicial é igual a 5 mg/ml.

FUNÇÃO LOGARÍTMICA Considere o seguinte exemplo: Se o capital dobra a cada ano de aplicação, então quantos anos são necessários para o montante ser 8 vezes o valor do capital? Já sabemos que a relação de dependência entre o montante e o número de anos é dada por uma função exponencial de base igual a 2. Nosso objetivo agora é descobrir o valor do expoente que produz o montante conhecido, ou seja:

LOGARITMOS ESPECIAIS

C  2t  C  8 2 t  23 t  3 anos

Existem dois logaritmos especiais na matemática  o logaritmo decimal e o logaritmo natural, também chamado de logaritmo neperiano em homenagem ao matemático John Napier. O logaritmo decimal é aquele cuja base é 10. Sempre que nos referirmos a esse logaritmo, não é obrigatório informar o número 10, ou seja:

Representamos (e resumimos!) toda essa situação por:

t  log2 8  3

log10 2  log 2 O logaritmo natural é aquele cuja base é o número “e”. A referência a esse logaritmo é feita escrevendo-se “ln” no lugar de “loge”, portanto:

Devemos ler essa expressão da seguinte forma: “logaritmo de 8 na base 2 é igual a 3”. Calcular o valor do logaritmo acima significa responder à seguinte pergunta:

log e 2  ln 2

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CLASSIFICAÇÃO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

OBS.: É sempre bom olhar a ajuda do software matemático antes de seguir essas notações, já que alguns usam “log” significando logaritmo neperiano e não decimal.

A função logarítmica pode ser classificada em crescente e decrescente, conforme o valor do parâmetro “a” da equação:

PROPRIEDADES DO LOGARITMO

y  log a x

Para compreender o comportamento de uma função logarítmica é necessário conhecermos as seguintes propriedades: 

Como

1o caso: a>1 Quando o valor de a é maior do que 1, a função é dita crescente.

a 0  1 , então: loga 1  0 , a>0

EXEMPLO

EXEMPLO

log10 1  0 

Como

Uma cultura de bactérias em laboratório triplica sua população a cada hora. Sabendo-se que inicialmente existiam 1.000 bactérias encontre quanto tempo se passou para que a cultura atingisse 243.000 bactérias.

a1  a , então: loga a  1 , a>0

EXEMPLO 

log10 10  1 loga x  loga y  loga (xy )

EXEMPLO Primeiramente, devemos dividir o número final de bactérias pelo seu número inicial:

EXEMPLO

log10 2  log10 3  log10 (2  3)  log10 6 

243 .000  243 1.000

x log a x  log a y  log a    y

Nesse caso, após um tempo t a colônia se torna 243 vezes o seu tamanho inicial. O valor procurado é dado pelo seguinte logaritmo:

EXEMPLO

3 log 10 3  log 10 2  log 10   2 n log a x  n  log a x

t  log3 243  5 horas A função que representa o problema é dada

EXEMPLO

por:

y  log3 x

log10 2 2  2  log10 2 log c b log a b  (mudança de base) log c a

Onde x representa o tamanho final da colônia em relação ao seu tamanho inicial. O gráfico dessa função é representado por:

EXEMPLO

log 3 2  

log 10 2 log 10 3

a log a x  x

EXEMPLO

2log 2 3  3

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2o caso: 0<a<1 Quando o valor de a é maior do que zero e menor do que 1, a função é dita decrescente.

MODELOS BASEADOS NA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

EXEMPLO

Vamos analisar um modelo interessante em que a função logarítmica se aplica:

A concentração de um determinado fármaco na corrente sanguínea reduz-se à metade a cada hora. Sabendo-se que a concentração inicial do fármaco é igual a 6,4mg/ml e que uma concentração de 0,1mg/ml não fará mais efeito no combate à doença, encontre quanto tempo levará para o paciente tomar outra dose.

RESFRIAMENTO DE CORPOS Isaac Newton foi o primeiro a demonstrar a lei matemática que regula o resfriamento de corpos. Uma das aplicações dessa lei é a determinação pelos peritos policiais da hora aproximada de um assassinato. A expressão que fornece a lei do resfriamento é dada por:

SOLUÇÃO Primeiramente, devemos dividir concentração final pela sua concentração inicial:

a

T  T0  e kt

0,1 1  6,4 64

Onde: t é o tempo decorrido desde que o crime aconteceu; T é a diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente no tempo t após o crime; T0 é a diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente na hora do crime; k é a taxa de resfriamento e significa o percentual de resfriamento do corpo.

Nesse caso, após um tempo t a concentração reduz-se a 1/64 vezes a sua concentração inicial. O valor procurado é dado pelo seguinte logaritmo:

t  log 1 2

Resfriamento de corpos;

1  6 horas 64

A grande limitação desse modelo é que o perito deve chegar ao local do crime enquanto o corpo ainda está com temperatura acima da temperatura ambiente (T0), caso contrário, o método perde a sua funcionalidade. A função logarítmica aparece no momento em que desejamos calcular o tempo decorrido desde que o crime aconteceu:

Após 6 horas, o remédio não fará mais efeito porque a sua concentração na corrente sanguínea ficará abaixo de 0,1mg/ml. A função que representa o problema é dada por:

y  log 1 x

1  T   t    ln  k  T0 

2

Onde x representa a concentração final do fármaco na corrente sanguínea em relação à sua concentração inicial. O gráfico dessa função é representado por:

EXEMPLO Considere a seguinte notícia: Jornal do Dia Páginas Policiais

Policiais encontraram às 23:00h o corpo de uma mulher aparentando 30 anos dentro de seu apartamento. Vizinhos acionaram a polícia após terem ouvidos tiros dentro do prédio. A análise pericial do corpo concluiu que a mulher foi assassinada por volta das 21:00h.

OBS: A parte em que y é negativo não existe para os dois exemplos mostrados já que a variável y é o tempo e não é possível existir tempo negativo.

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Você, como perito policial que esteve presente na cena do crime, deve mostrar como chegou a essa conclusão no seu relatório policial.

Exercícios

SOLUÇÃO A primeira atitude sua como bom perito foi medir a temperatura do corpo imediatamente quando chegou ao local do crime (23:00h). Suponha que você tenha encontrado 34,8oC. Uma hora mais tarde, você mediu novamente a temperatura e descobriu que o corpo estava a 34,1oC. O quarto estava a 20oC e o corpo humano quando está vivo possui temperatura de 36,5 oC. Com esses dados você pode calcular a hora em que ocorreu o crime. O primeiro objetivo é encontrar o valor do parâmetro k de posse da seguinte equação:

1.

b) log 1

2

2

log10 1 d) log 1 16 c)

2

log 9 3 f) log 5  5 g) log1 2 h) log 2 2 e)

1  T   k    ln  t  T0  Com:

T  (34,1  20)  14,1o C 2.

T0  (34,8  20)  14,8o C t  1h Então, usando uma calculadora, obtemos:

 14,1  k  1  ln    0,04845 / h  14,8  O que significa que o corpo se resfria a uma taxa de aproximadamente 4,85% por cada hora a partir do momento do crime. Agora, podemos descobrir quanto tempo se passou desde a hora do assassinato conforme a equação:

1  T   t    ln  k  T0 

Outra aplicação prática da função logarítmica é a determinação da concentração segura de um fármaco na corrente sanguínea. O problema matemático se resume a encontrar qual é o tempo mínimo de aplicação da próxima dose sabendo-se que a concentração não pode atingir um determinado valor que é prejudicial à saúde do paciente. Considere que a concentração do fármaco na corrente sanguínea reduz-se à metade a cada hora. Sabendo-se que a concentração inicial do fármaco é 6,4mg/ml e que uma concentração de 10mg/ml pode levar o paciente a entrar em estado de coma, calcule o intervalo mínimo entre duas doses de forma que o paciente não seja prejudicado.

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Com:

T  (34,8  20)  14,8o C

A nossa vida está repleta de casos que envolvem a repetição de um acontecimento no tempo, tais como: o período do ano em que mais chove ou faz sol na cidade, de quanto em quanto tempo ocorre uma recessão no país ou a hora em que vamos dormir todo dia. Chamamos de rotina a esse tipo de situação. Matematicamente, denomina-se periódico um evento que se repete ao longo do tempo (ou outra variável independente conforme a situação). Tais eventos podem ser descritos por uma função trigonométrica. As funções trigonométricas mais importantes são as funções seno e cosseno. A partir

T0  (36,5  20)  16,5 C k  0,04845 / h o

Substituindo esses valores na equação:

t

Encontre, se for possível, o valor dos seguintes logaritmos: a) log10 100

1  14,8   ln    2,244 h  2h 0,04845  16,5  15min

A hora aproximada do assassinato foi 20:45h (23:00h  2:15h)

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delas são construídas as funções cotangente, secante e cossecante.

tangente,

Um ângulo positivo deve ser medido no sentido anti-horário e um ângulo negativo deve ser medido no sentido horário.

UM POUCO DE GEOMETRIA – O CICLO TRIGONOMÉTRICO

ÂNGULOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO

A forma mais simples de enxergar as funções trigonométricas principais é através do ciclo trigonométrico:

O ciclo trigonométrico é dividido em 4 partes (ou quadrantes) de 90o. O primeiro quadrante começa no ângulo 0o e vai até 90o (sobre o eixo vertical). O segundo quadrante começa do ângulo de 90o e vai até 180o (sobre o eixo horizontal). O terceiro quadrante começa do ângulo de 180o e vai até 270o (sobre o eixo vertical). O quarto quadrante começa do ângulo de 270o e vai até o ângulo de 360o (sobre eixo horizontal e coincidente com o ângulo de 0o):

Sentido anti-horário

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio igual a 1 centrada no cruzamento dos eixos x e y. O eixo horizontal é denominado cosseno e o eixo vertical é chamado seno. Os valores do seno e do cosseno de um ângulo são dados pelas medidas sobre cada um dos eixos do ciclo trigonométrico.

EXEMPLO

ÂNGULOS EM GRAUS E RADIANOS

Se quisermos saber o valor do seno e do cosseno de um determinado ângulo  basta fazer:

Existem duas medidas principais de ângulos: o grau e o radiano. O grau é uma unidade de medida que nasceu da divisão arbitrária de uma circunferência em 360 partes iguais. Cada grau é subdividido em 60 minutos e cada minuto em 60 segundos. Para os matemáticos antigos, dividir a circunferência em 360 graus seria equivalente a dividir um ano em 360 dias. O grau é muito utilizado em Engenharia, pois existem instrumentos de medição graduados nesse sistema. Por outro lado, é pouco comum o grau aparecer em fórmulas matemáticas por causa do aumento no número de operações. Nos cálculos matemáticos, a medida de ângulo mais usada é o radiano. 1 radiano é definido como sendo o ângulo cujo raio R do ciclo trigonométrico coincide com o comprimento do arco S:

Seno do ângulo 

Cosseno do ângulo 

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SOLUÇÃO a) R  b) R  c) R 

  30 o 180 o   45 o o

180   60 o

180

o

 6

 4

 3

AS FUNÇÕES SENO E COSSENO  = 1 radiano

A partir do ciclo trigonométrico, vamos mostrar as características das funções trigonométricas seno e cosseno. Imagine o ponto P se deslocando no sentido anti-horário e observe o que acontece com a linha cinza vertical:

O ângulo radiano é um número real que fornece a relação entre o comprimento do arco C e o tamanho do raio R:

Radiano 

C R

Essa relação tem ligação com a conhecida fórmula do comprimento da circunferência:

C  2  R Ao reorganizarmos essa fórmula, teremos:

2 

C R

Podemos entender 2 como sendo o ângulo em radianos correspondente a uma volta completa na circunferência. Dessa forma, podemos converter graus em radianos fazendo:

Podemos notar que, quando =0o, a linha cinza tem comprimento igual a zero. À medida que o ângulo  aumenta, o comprimento da linha cinza aumenta até se tornar igual a 1, quando =90o (/2 rad). O valor do seno é então igual a +1 já que a linha está na parte positiva do eixo.

Então:

R

180  R G ou G  180 

EXEMPLO Encontrar radianos: a) 30o b) 45o c) 60o

os

seguintes

ângulos

em

Se o ponto P continuar se movendo no mesmo sentido, podemos perceber que o tamanho

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da linha cinza diminui até chegar em 0 quando o ângulo =180o ( rad).

A função seno é representada da seguinte maneira:

y  sen(x) , sendo que x é o ângulo dado em radianos. Podemos fazer a mesma análise do ciclo trigonométrico para a função cosseno (eixo horizontal). O resultado é o seguinte gráfico no intervalo de 0 a 2:

O que acontece quando o ângulo  ultrapassa os 180o é que o comprimento da linha cinza volta a aumentar, só que no sentido negativo até chegar em =270o (3/2 rad). O valor do seno é então igual a -1 já que a linha está na parte negativa do eixo. A função cosseno é representada da seguinte maneira:

y  cos(x) , sendo que x é o ângulo dado em radianos. As funções trigonométricas seno e cosseno são chamadas periódicas, pois a cada ciclo de 360 o (2) os seus valores se repetem. Dessa forma, os dois gráficos mostrados anteriormente se repetem ao longo do eixo x indefinidamente. Vale notar a característica oscilante das funções seno e cosseno entre os valores +1 e -1.

OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Se o ponto P continuar se movendo no mesmo sentido, podemos perceber que o tamanho da linha cinza diminui até chegar em 0 quando o ângulo =360o (2 rad). A partir ponto, o ciclo do seno se repete. A partir dessa análise, podemos traçar o gráfico da função seno no intervalo de 0 a 2:

A partir das duas funções conhecidas, podemos definir outras quatro funções importantes: a secante, a cossecante, a tangente e a cotangente. Essas funções são definidas por:

1 1 e cos sec( x )  sen ( x ) cos( x ) sen ( x ) tg( x )  cos( x ) 1 cos( x ) cot g ( x )   tg( x ) sen ( x )

sec( x ) 

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e


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RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS PRINCIPAIS

O gráfico da voltagem é dado por: Esse ciclo se repete 60 vezes a cada 1 segundo!

As funções trigonométricas podem ser relacionadas entre si através de fórmulas conhecidas como relações trigonométricas. As principais relações trigonométricas são:       

sen2 x  cos2 x  1 tg 2 x  1  sec2 x 1  cot g 2 x  cossec2 x cos(a  b)  cosa  cosb  sena senb cos(a  b)  cosa  cosb  sena senb sen(a  b)  sena cosb  senb cosa sen(a  b)  sena cosb  senb cosa

Essa variação da voltagem faz com que a corrente elétrica dentro dos aparelhos circule ora num sentido ora no sentido contrário. Portanto, uma freqüência de 60 Hz (ciclos por segundo) faz com que o sentido da corrente se alterne 60 vezes a cada 1 segundo!

Todas as fórmulas acima são demonstradas com o auxílio do ciclo trigonométrico. Algumas dessas demonstrações são mostradas no apêndice 1.

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

MODELOS BASEADOS NAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Vamos analisar dois modelos em que as funções trigonométricas se aplicam:  Voltagem elétrica;  Movimento harmônico simples (MHS).

Se desprezarmos o atrito, o movimento de uma massa m presa a uma mola de constante k tem a característica de se repetir com o tempo. Portanto, o deslocamento da massa pode ser descrito pela seguinte função trigonométrica:

VOLTAGEM ELÉTRICA A maioria dos aparelhos da nossa casa funciona no que chamamos corrente alternada (C.A.). O sistema de corrente alternada se baseia na variação da voltagem elétrica conforme a seguinte função trigonométrica:

x(t )  A máx  cos(2  f  t ) Onde: Amáx é a amplitude máxima do movimento, dada em metros; f é a freqüência com que o deslocamento varia, dada em ciclos por segundo (Hertz).

V(t )  Vmáx  sen(2  f  t ) Onde: Vmáx é a tensão máxima fornecida pelo sistema, dada em Volts; f é a freqüência com que a voltagem varia, dada em ciclos por segundo (Hertz). No Brasil, a freqüência adotada é igual a 60 Hertz.

A relação funcional entre o deslocamento e o tempo é dada pelo gráfico:

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y  sen(x)

A amplitude máxima é o maior deslocamento que a massa pode atingir em relação ao ponto de equilíbrio. Determinamos a amplitude máxima medindo a distância do ponto em que a massa estava parada até o ponto em que foi deslocada para iniciar o seu movimento. Já a freqüência informa quantas vezes em 1 segundo a massa passa por um ponto de referência. Esse valor depende da massa m e da constante k da mola. Quanto maior a massa, para a mesma mola, mais lento será o movimento e menor será a freqüência.

Colocaremos x onde aparece y e y onde aparece x:

x  sen(y)

Separando y, teremos a definição da função arco-seno:

y  arcsen(x) , onde y é dado em radianos Podemos definir as outras funções trigonométricas inversas da mesma maneira.

EXEMPLO

Exercícios

Quanto vale y  arcsen

1 ? 2

SOLUÇÃO 1. a)

Prove as seguintes relações:

cos(a  b)  sena senb cosa  cosb b) sen(a  b)  sena  cosb  senb  cosa

Interpretando y como o ângulo cujo seno é então, y é igual a

Dica: Comece pela relação trigonométrica fundamental:

sen2 (a  b)  cos2 (a  b)  1

GRÁFICOS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

sen(a  b)  sena  cosb  senb  cosa d) sen2x  2  senx  cosx 2 e) cos2x  2  cos x  1 2 f) cos2x  1  sen x tga  tgb g) tg(a  b)  1  tga  tgb c)

Os gráficos do arco-seno e do arcocosseno são obtidos descobrindo-se os valores de y quando x varia de –1 a +1.

1.5

y  arcsen(x)

Dica: Você deve partir da relação:

tg(a  b) 

 (=30o). 6

1 , 2

1 0.5

-1

sen( a  b) cos( a  b)

-0.5

0.5 -0.5 -1 -1.5

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Considere a seguinte questão: Qual é o ângulo cujo seno é igual a 1/2 ? Essa pergunta pode ser respondida através da definição das funções trigonométricas inversas. Partindo da função seno:

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1


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x 2 , se x  2 y  6, se x  2 3

SOLUÇÃO

2.5 2

y  arccos(x)

Fazendo da mesma forma que no exemplo anterior:

1.5 1 0.5

-1

-0.5

0.5

1

OUTRAS FUNÇÕES ESPECIAIS 

Função condicional

Para a primeira função, não é permitido calcular o valor de y no ponto x=2 (o que daria y=4). Essa situação é representada pela bola aberta. Conforme a função condicional, quando x=2 temos que y=6. Devemos representar esse caso com uma bola fechada.

A característica mais marcante da função condicional é a definição de uma expressão diferente para cada trecho do seu domínio.

EXEMPLO

 Encontre o gráfico da seguinte função condicional:

Função modular A função modular é definida por:

x , se x  0 y - x, se x  0

 y, se y  0 y  - y, se y  0

Esse gráfico deve ser construído por partes. Enquanto x for positivo, y é dado pela primeira função. Já quando x for negativo, y é dado pela segunda função.

A finalidade da função modular é transformar qualquer valor negativo de y em positivo. Todas as funções estudadas anteriormente podem ser convertidas em funções modulares, bastando para isso refletir a parte negativa de y para a parte positiva.

2

SOLUÇÃO

EXEMPLO

Portanto, o gráfico é dado por:

Construir o gráfico da função

y x .

SOLUÇÃO O primeiro passo consiste em construir o gráfico da função y  x :

EXEMPLO Encontre o gráfico da seguinte função condicional:

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4

VENTRADA(t) 2

-4

-2

2

4

-2

-4

Agora, devemos refletir a parte negativa de y para a parte positiva:

VSAÍDA(t)

5

4

3

2

1

-4

-2

2

4

Dizemos que o retificador transforma um sinal em corrente alternada em um sinal em corrente contínua pulsada (a corrente elétrica sobe até um valor máximo e cai até zero). O circuito retificador é utilizado dentro do carregador da bateria do celular para converter corrente alternada em corrente contínua.

Dessa forma, podemos encontrar o gráfico de qualquer função modular.

MODELO BASEADO NA FUNÇÃO MODULAR

ALTERAÇÕES NO GRÁFICO DA FUNÇÃO

Vamos analisar um modelo onde a função modular se aplica:  Retificador de onda completa;

Podemos alterar o gráfico de uma função para obtermos um novo gráfico que anda guarda relação visual com a função que lhe deu origem. São possíveis as seguintes alterações:  Ampliar ou comprimir uma função;  Refletir uma função em relação aos eixos x e y;  Deslocar uma função.

RETIFICADOR DE ONDA COMPLETA O retificador de onda completa é um dispositivo eletrônico que implementa a função modular. A figura abaixo mostra o circuito do retificador:

AMPLIANDO OU COMPRIMINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO

VENTRADA(t) = sen(t)

Uma função pode ser ampliada ou comprimida nas direções horizontal e vertical. Sendo k um número positivo, as alterações na direção horizontal são feitas através da seguinte operação:

VSAÍDA(t) = sen(t)

g(x)  f (k  x)

A análise dos sinais de entrada e saída permite entender melhor a função do retificador:

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g(x)=2sen(x)

Para k>1, a função g(x) é igual a f(x) comprimida k vezes na direção horizontal; Para 0<k<1, a função g(x) é igual a f(x) ampliada k vezes na direção horizontal.

f(x)=sen(x)

EXEMPLO Construir f (x)  sen(x) e

os

gráficos

das g(x)  sen(2x) .

funções

SOLUÇÃO Conforme a regra, a função g(x) é igual a f(x) comprimida duas vezes na direção horizontal:

REFLETINDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO

Observe que g(x) é uma compressão horizontal de f(x) e que, por outro lado, f(x) é uma ampliação horizontal de g(x).

Uma função pode ser refletida em relação aos eixos x e y. Uma reflexão em relação ao eixo y é feita através da seguinte operação:

g(x)=sen(2x)

g(x)  f (x)

f(x)=sen(x)

EXEMPLO Construir

os

gráficos

f (x)  x e g(x)  x .

das

funções

SOLUÇÃO Conforme a regra, a função g(x) é igual a f(x) refletida em relação ao eixo y:

Sendo k um número positivo, as alterações na direção vertical são feitas através da seguinte operação:

É interessante observar que g(x) é uma reflexão de f(x) em relação ao eixo y e que, por outro lado, f(x) é uma reflexão de g(x) em relação ao eixo y.

g(x)  k  f (x)

Para k>1, a função g(x) é igual a f(x) ampliada k vezes na direção vertical; Para 0<k<1, a função g(x) é igual a f(x) comprimida k vezes na direção vertical.

g(x)=-x

f(x)=x

EXEMPLO Construir f (x)  sen(x) e

os

gráficos

das g(x)  2  sen(x) .

funções

SOLUÇÃO Conforme a regra, a função g(x) é igual a f(x) ampliada duas vezes na direção vertical:

Uma reflexão em relação ao eixo x é feita através da seguinte operação:

É interessante observar que g(x) é uma ampliação vertical de f(x) e que, por outro lado, f(x) é uma compressão vertical de g(x).

g(x)  f (x)

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EXEMPLO Construir

os

gráficos

das

funções

f (x)  x e g(x)  x . 2

2

g(x)=sen(x)+2

SOLUÇÃO Conforme a regra, a função g(x) é igual a f(x) refletida em relação ao eixo x:

f(x)=sen(x)

É interessante observar que g(x) é uma reflexão de f(x) em relação ao eixo x e que, por outro lado, f(x) é uma reflexão de g(x) em relação ao eixo x. f(x)=x

2

As alterações na direção horizontal são feitas através da seguinte operação:

g(x)  f (x  k) Para k>0, a função g(x) é igual a f(x) deslocada k unidades para a esquerda; Para k<0, a função g(x) é igual a f(x) deslocada k unidades para a direita.

EXEMPLO g(x)=-x

2

Construir os gráficos das funções

f (x)  x 2 e g(x)  (x  5) 2 .

DESLOCANDO O GRÁFICO DA FUNÇÃO

SOLUÇÃO

Uma função também pode ser deslocada nas direções horizontal e vertical. As alterações na direção vertical são feitas através da seguinte operação:

Conforme a regra, a função g(x) é igual a f(x) deslocada cinco unidades para a direita: Podemos observar que g(x) é igual a f(x) deslocada 5 unidades para a direita e que, por outro lado, f(x) é igual a g(x) deslocada cinco unidades para a esquerda.

g(x)  f (x)  k

Para k>0, a função g(x) é igual a f(x) deslocada k unidades para cima; Para k<0, a função g(x) é igual a f(x) deslocada k unidades para baixo.

EXEMPLO Construir f (x)  sen(x) e

os

gráficos

das g(x)  sen(x)  2 .

f(x)=x

funções

SOLUÇÃO

2

g(x)=(x-5)

2

FUNÇÃO COMPOSTA

Conforme a regra, a função g(x) é igual a f(x) deslocada duas unidades para cima:

A função composta é o resultado da substituição de uma função g(x) no lugar da variável independente de uma outra função f(x). Representamos essa situação por:

É interessante observar que g(x) é igual a f(x) deslocada para cima e que, por outro lado, f(x) é igual a g(x) deslocada para baixo.

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f  g  f (g(x)) Devemos ler f  g da seguinte maneira:“f bola g” ou função composta de g(x) em f(x). Podemos entender melhor a composta usando os diagramas de Venn:

função

Maneira mais trabalhosa

Maneira mais rápida

Conforme o primeiro diagrama de Venn, o cálculo de z é feito em duas partes. Primeiro, substituímos x em g(x) para obtermos y. Em seguida, usamos o resultado de y na função f(y) para encontrarmos o valor de z. Essa é a forma mais trabalhosa de calcular uma função composta. Como pode ser visto no segundo diagrama de Venn, podemos utilizar a definição de função composta para poupar o trabalho de calcularmos o valor intermediário y.

EXEMPLO Encontrar

f g,

sabendo-se

que

f (x)  x 2 e g(x)  x  2 . SOLUÇÃO Devemos substituir g(x) onde aparecer a variável x na função f(x):

f (g(x))  [g(x)]2  (x  2) 2  x 2  4x  4 f  g  f (g(x))  x 2  4x  4

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USANDO SOFTWARE MATEMÁTICO

MATHEMATICA® O Mathematica é um software matemático com funções internas que auxiliam as mais diversas tarefas em que o cálculo necessita ser simplificado. Atualmente, é um dos softwares mais utilizados tanto na área Matemática como na Física, Computação, Engenharia, Biologia, etc.

O AMBIENTE DO MATHEMATICA O ambiente do Mathematica é composto por uma janela de edição (em branco), onde os comandos são digitados e executados. Possui ainda uma barra de menu e uma barra de comandos com as operações matemáticas mais comuns.

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EXECUTANDO UM COMANDO Para executarmos um comando no Mathematica basta clicar na área de edição e começar a digitar o código. Em seguida, devemos pressionar a combinação de teclas: Shift e Enter. Todo comando digitado e executado recebe uma numeração de ordem de execução especificada entre colchetes após a palavra In.

EXEMPLO Digite o comando: Plot[x^2,{x,-2,2}] Após pressionar Shift + Enter, aparecerá na janela de edição: In[1]:=Plot[x^2,{x,-2,2}] O símbolo In significa que é um comando de entrada e [1] é a sua ordem na execução, ou seja, In[1] é o primeiro comando de entrada executado.

O resultado da execução é precedido do símbolo Out[1] que significa resultado da execução do primeiro comando. Se o comando for executado corretamente, a janela de edição se parecerá exatamente com a figura abaixo:

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SIMBOLOGIA DAS OPERAÇÕES O Mathematica utiliza os seguintes símbolos na construção de equações: SÍMBOLO . * ou espaço

DESCRIÇÃO

EXEMPLO

Indica início das casas decimais do número

2.3 (=2,3)

Indica multiplicação entre os números

2*3 ou 2 3

/

Indica divisão entre os números

^

Indica potência

*^

Indica potência de dez

2/3 2^3 (=23) 2*^3 (=2x103)

O Mathematica possui ainda um conjunto de constantes: SÍMBOLO

DESCRIÇÃO

EXEMPLO

E

Indica o valor de e=2,7182...

E^2

Pi

Indica o valor de =3,1415...

Pi/2

I

Indica o número complexo i

I^2

Infinity

Indica o símbolo 

Degree

Fator de conversão de graus para radianos:

-Infinity

 180

90*Degree (=Pi/2)

ALGUMAS FUN��ÕES DO MATHEMATICA No quadro abaixo estão descritas algumas das funções básicas do Mathematica. COMANDO

DESCRIÇÃO

EXEMPLO

Sqrt[x]

Raiz quadrada de x

Sqrt[2]

Exp[x]

Exponencial de base “e”

Exp[1]

Log[x]

Logaritmo de base “e” (logaritmo neperiano)

Log[b,x]

Logaritmo de base b

n!

Log[E] Log[2,8] (=log28)

Fatorial de n

COMANDO Abs[x] Mod[n,m] Sin[x] Cos[x] Tan[x] ArcSin[x] ArcCos[x] ArcTan[x]

3! DESCRIÇÃO

Módulo de x Resto da divisão de n por m Seno de x (x em radianos) Cosseno de x (x em radianos) Tangente de x (x em radianos) Arco-Seno de x (resultado em radianos) Arco-Cosseno de x (resultado em radianos) Arco-Tangente de x (resultado em radianos)

EXEMPLO Abs[-2] (=|-2|) Mod[5,2] (=1) Sin[Pi/2] Cos[Pi] Tan[Pi/2] ArcSin[1/2]*1/Degree ArcCos[Sqrt[3]/2]*1/Degree ArcTan[Infinity]*1/Degree

OBS.: É importante observar que todos os comandos começam com letra maiúscula e os seus argumentos são fechados por colchetes.

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REUSANDO RESULTADOS Os resultados de uma execução podem ser reaproveitados de forma que o seu comando possa ficar mais compacto. COMANDO

DESCRIÇÃO

EXEMPLO

%

Aproveita o último resultado calculado

%+2

%n

Aproveita o resultado que está em Out[n]

%3+2 (=Out[3]+2)

OBS.: Cuidado com a reutilização de comandos, principalmente com o comando %n. Tenha certeza que Out[n] é o resultado que você deseja utilizar.

EXEMPLO

Expand[expressão] Esse comando expande a expressão entre colchetes.

Digite e execute o comando:

EXEMPLO

(Sin[x])^2 Em seguida digite e execute o comando:

Digite e execute o comando: Expand[(1+x)^2] O resultado será:

%+(Cos[x])^2

1+2x+x2

COMPUTAÇÃO SIMBÓLICA

Simplify[expressão] Esse comando simplifica ao máximo a expressão entre colchetes.

O Mathematica consegue fatorar, expandir e operar uma equação algébrica das mais diversas formas. Essa facilidade é conhecida como computação simbólica.

EXEMPLO Digite e execute o comando:

EXEMPLO

Simplify[1+2x+x2]

Digite e execute o comando:

O resultado será:

3*x2-x+x2

(1+x)2

O resultado após a execução: 

4*x2-x 

Together[expressão]

Esse comando coloca a expressão sob o mesmo denominador.

Factor[expressão]

Esse comando fatora a expressão entre colchetes.

EXEMPLO

EXEMPLO

Digite e execute o comando: Together[1/x+1/(x-1)]

Digite e execute o comando: Factor[3*x2-x+x2] O resultado será:

O resultado será:

 1  2x x ( 1  x )

x(-1+4x)

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EXEMPLO

Apart[expressão]

Esse comando separa a expressão em vários termos com denominadores simples.

Digite e execute os comandos: f[ x_ ]:=x2-5x+6 f[2]

EXEMPLO

O resultado será igual a:

Digite e execute o comando:

0

Apart[(-1+2*x)/(x*(-1+x))]

Agora, digite e execute o comando:

O resultado será:

1 1  1 x x

f[x^2] O resultado será:

TrigExpand[expressão_trigonométrica] Esse comando coloca expressões trigonométricas como soma de termos.

x4-5x2+6

PLOTANDO FUNÇÕES

EXEMPLO

Uma função pode ser colocada num gráfico usando o comando:

Digite e execute o comando: TrigExpand[Cos[2*x]]

Plot[expressão,{variável_independente, mínimo, máximo}]

O resultado será:

EXEMPLO

Cos[x]2-Sin[x]2

Digite e execute o comando: Plot[x2-5x+6,{x,0,3}] O resultado será o gráfico da função f(x)=x2-5x+6 no intervalo de x=0 a x=3.

ENCONTRANDO AS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO

6

O Mathematica pode encontrar as raízes de uma determinada equação. Isso é feito através do comando: Solve[expressão = = 0,variável_da_equação]

5 4 3

EXEMPLO

2

Digite e execute o comando:

1

2

Solve[x -5x+6= = 0,x]

0.5

O resultado será:

1

1.5

2

2.5

3

É possível colocar várias funções no mesmo gráfico através do seguinte comando: Plot[{expressão1, expressão2,...},{variável_independente, mínimo, máximo}]

{{x2},{x3}}

DEFININDO FUNÇÕES Uma função pode ser definida para posterior uso. Isso é feito através do seguinte comando: f[ x_ ]:=expressão em x

EXEMPLO Digite e execute o comando: Plot[{x^2, x^3, x^4},{x,-3,3}]

Note que existe um traço após a ocorrência de x dentro dos colchetes.

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O resultado será um único gráfico com as funções f(x)=x2, g(x)=x3 e h(x)=x4 para x variando de -3 a 3.

4

2

-3

-2

-1

1

2

3

-2

ANÁLISE COMBINATÓRIA       

Introdução Análise Combinatória Arranjos Permutações Combinações Regras gerais Combinatória Arranjos simples Permutações simples

INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA

      

Combinações simples Arranjos c/ repetição Permutações c/ repetição Combinações c/ repetição Propr. das combinações Número binomial Teorema binomial

São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)! Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!

Fórmula: Ar(m,p) = mp. Cálculo para o exemplo: Ar (4,2) = 42=16. Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos

ARRANJOS 61


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repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.

Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC, CD,DA,DB,DC,DD}

Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então

Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.

Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-41,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,42)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}? Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AART TA,AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARAR TA,ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATAR AR}

PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB} Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:

Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.

PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}

Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.

Fórmula: Pc(m)=(m-1)! Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6 Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

PERMUTAÇÕES

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB, BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CAB D,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DABC,D ACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos. Fórmula: Ps(m) = m!.

Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:

Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.

ABCD=BCDA=CDAB=DABC ABDC=BDCA=DCAB=CABD ACBD=CBDA=BDAC=DACB ACDB=CDBA=DBAC=BACD ADBC=DBCA=BCAD=CADB ADCB=DCBA=CBAD=BADC

Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}

COMBINAÇÕES 62


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Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie.

Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]

Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6 Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD} Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes. Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p) Cálculo para o exemplo: 1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10

Cr(4,2)=C(4+2-

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC, CD,DA,DB,DC,DD} mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:

NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C.

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}

REGRAS GERAIS SOBRE A ANÁLISE COMBINATÓRIA

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.

Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.

Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o mésimo elemento de C.

Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último

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elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II, IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?

Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:

XYZ-1234 Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.

NÚMERO DE PERMUTAÇÕES SIMPLES Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo: Retirada

Número de possibilidades

1

m

Retirada

Número de possibilidades

2

m-1

1

m

3

m-2

2

m-1

...

...

...

...

p

m-p+1

p

m-p+1

No.de arranjos

m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

...

...

m-2

3

m-1

2

m

1

No.de permutações

m(m-1)(m-2)...(mp+1)...4.3.2.1

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por: A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1) Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE, IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO} A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.

P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?

Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:

Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.

Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:

A(m,m) = P(m)

O conjunto solução é:

P(m) = m!

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Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:

C(m,p) = A(m,p) / p!

0!=1

Como

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.

A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:

que pode ser reescrito

(m+1)! = (m+1).m!,

então: C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!

C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p1)p] Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por

0! = 1

Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1=m!

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:

e o denominador ficará:

P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,M ARO,MAOR, MROA, MRAO, MORA, MOAR, OAMR,OARM,ORMA,ORAM,OMAR,OMRA,RAM O,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}

Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:

p! (m-p)!

NÚMERO DE COMBINAÇÕES SIMPLES NÚMERO DE ARRANJOS COM REPETIÇÃO

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.

Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por: Arep(m,p) = mp

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.

NÚMERO DE PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.

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10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).

Taxas complementares

O número total de possibilidades pode ser calculado como:

Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605

C(m,p)=C(m,m-p) Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66. Relação do triângulo de Pascal C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)

NÚMERO BINOMIAL O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:

Tal metodologia pode ser generalizada.

NÚMERO DE COMBINAÇÕES COM REPETIÇÃO Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.

Exemplo: C(8,2)=28. Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação de combinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. Como Pi=3,1415926535..., então:

Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6. Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças

A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e Estatística.

TEOREMA BINOMIAL

(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø (b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø# (c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ

Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar de C(m,p). Então:

Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:

(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 (a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4 (a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5

Crep(5,6) = C(5+6-1,6) Generalizando isto, podemos mostrar que:

A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.

Crep(m,p) = C(m+p-1,p)

PROPRIEDADES DAS COMBINAÇÕES

Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:

O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha.

P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am3 3 b +...+mmbm P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b

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Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1: P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk

=

ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak1 2 b +[k3+k2]ak-2b3+[k4+k3] ak3 4 b +...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kkk k+1 1]ab +kkb

=

ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak1 2 b +[k3+k2]ak-2b3 +[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk1 +[kk+kk-1]abk+kkbk+1

para provar a propriedade P(k+1). Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que: (a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak1 2 b +...+(k+1)(k+1)bk+1 (a+b)k+1=

Pelas propriedades das combinações, temos:

(a+b).(a+b)k

=

(a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak3 3 b +...+kkbk]

=

a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak3 3 b +...+kkbk] +b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak3 3 b +...+kk bk]

=

ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak2 3 b +...+kkabk +akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak3 4 b +...+kkbk+1

k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1 k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2 k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3 k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4 ... ... ... ... kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1 kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k E assim podemos escrever: ak+1+(k+1)1akb + (k+1)2ak-1b2 + (k+1)3ak-2b3 +(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk1 + (k+1)kabk + kkbk+1

(a+b)k+1=

que é o resultado desejado.

BINÔMIO DE NEWTON ordem “n” e em cada coluna os termos de ordem “p”.

O binômio do tipo ( x + a )n , onde x  IR, a  IR e n  IN , é conhecido como binômio de Newton.

1.

Para o desenvolvimento do binômio de Newton usaremos os números binomiais.

1. 1 1. 2 1

NÚMEROS BINOMIAIS

1331

Dados dois números naturais n e p, tais que p  n, chama-se número binomial n sobre p , indicado por  n  , ao número definido por:

14641 1 5 10 10 5 1

 p  

1 6 15 20 15 6 1

 n  n!    =   p   p!( n  p )! 

                     0 0 1 0

2 0

3 0

4 0

5 0 6 0

1 0

2 1 3 1 4 1 5 1 6 1

2 2 3 2 4 2 5 2

6 2

3 3

4 4 5 4

4 3

5 3

6 3

6 4

5 5

6 5

6 6

Observar que : 1º) Cada linha começa e termina por . 2º) Adicionando dois elementos consecutivos de uma linha obtemos o elemento situado abaixo do segundo elemento somado.

TRIÂNGULO DE PASCAL Os números binomiais podem ser dispostos em linhas e colunas, numa disposição triangular, de modo que em cada linha fiquem os termos de

DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON 67


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Devemos usar a fórmula : ( x + a )n =  n  n 0  n  n 1 1  n  n  2 2 n  x  a   x  a   x  a  ...   x 0  a n 0 1 2       n

Exemplo: (2x + 3)5 =  5  5 5  5    2x 5     2x 4  3     2x 3  32     2x   0 1  2  3 5 5     2 3 3     2x   34     35  4  5

(2x + 3)5 = 1.32x5 + 5.16x4.3 + 10 . 8x3.9 + 10 . 4x2. 27 + 5.2x . 81 + 1 . 243 (2x+3)5 = 32x5 + 240x4 + 720x3 + 1.080x2 + 810x + 243

FÓRMULA DO TERMO GERAL T p+1 =  n x n p a p  p  

Exercício: Calcular o 5º. desenvolvimento de ( 3x + 2 )9 . p+1=5

termo

no

→ p=4

9  (3x)9-4 . 24 → T5 = 9! (3x)5 . 16 = 4 4!.5!  

T5 = 

489.888 x5

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PONTOS E RETAS INTRODUÇÃO Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa. Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

MEDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO

algébricas e expressar representações gráficas.

Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos:

Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

algebricamente

A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.

PLANO CARTESIANO A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes ( 1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa. Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, reta, circunferência) e da Álgebra ( relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações

EXEMPLOS 

A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0)

B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( xB < 0 e yB < 0)

Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.

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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos:

Como o

, podemos escrever:

Vejamos alguns exemplos:  Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3, 4), a razão em que o ponto P divide

é:

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

Se calculássemos rp usando as ordenadas dos pontos, obteríamos o mesmo resultado:

RAZÃO DE SECÇÃO Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) de uma mesma reta (A  B  C), o ponto C divide AB numa determinada razão, denominada razão de secção e indicada por:

em que , pois se Observe a representação a seguir:

, então A = B.

70

Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2), temos:


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Assim, para um ponto P qualquer em relação a um segmento orientado temos:

, respectivamente. Portanto, as medianas desse triângulo:

contido em um eixo,

se P é interior a

, então rp > 0

se P é exterior a

, então rp < 0

 

se P = A, então rp =0 se P = B, então não existe rp (PB = 0)

se P é o ponto médio de

, então rp =1 Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo. Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas partes: a que vai do vértice até o baricentro tem o dobro da mediana da que vai do baricentro até o ponto médio do lado.

PONTO MÉDIO Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P, que divide

são

ao meio, temos:

Veja:

Assim:

CÁLCULO DAS COORDENADAS DO BARICENTRO

x  XB XP – XA = XB – XP  2XP = XA + XB  A 2

Sendo A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC) vértices de um triângulo, se N é ponto médio de

(média aritmética de XA e XB) YP –YA =YB –YP  2YP = YA + YB  YP

, temos:

Y  YB = A (média aritmética de YA e YB) 2 Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:

BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são os pontos médios dos lados

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Mas:

e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são proporcionais. c)

Analogamente, determinamos

três pontos numa reta não-paralela aos eixos

. Assim:

CONDIÇÕES DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então:

Pela figura, verificamos que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Então:

Para demonstrar esse teorema podemos considerar três casos: a)

Desenvolvendo, vem:

três pontos alinhados horizontalmente

Como:

Neste caso, as ordenadas são iguais: yA = yB = yC

então

e o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são proporcionais.

.

Observação: A recíproca da afirmação demonstrada

b) três pontos alinhados verticalmente é válida, ou seja, se

,

então os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC, yC) estão alinhados.

EQUAÇÕES DE UMA RETA EQUAÇÃO GERAL Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos. Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

Neste caso, as abscissas são iguais: xA = xB = xC

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A equação geral de r é dada por:

Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos:

Dividindo essa equação por pq

,

temos:

ax + by + c = 0 (equação geral da reta r) Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):  

(equação segmentári a da reta r) Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico:

se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta; se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.

Acompanhe os exemplos:  Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4). Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos: -3 - (-1) + 2 = 0

-3 + 1 + 2 = 0

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

Como a igualdade é verdadeira, então P r. Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos: 1-2+2 0 Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.

São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro t.

EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA

Assim, por exemplo, , são equações paramétricas de uma reta r. Para obter a equação geral dessa reta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações: x=t+2 t = x -2 Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos: y = -(x - 2) + 1 = -x + 3 x + y - 3 = 0 ( equação geral de r)

Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com

:

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EXEMPLOS

EQUAÇÃO REDUZIDA Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy:

Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos:

Fazendo

, vem: y = mx + q

Chamada equação reduzida da reta, em que fornece a inclinação da reta em relação ao eixo Ox. Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não existe a equação na forma reduzida.

COEFICIENTE ANGULAR Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que:

O ângulo é orientado no sentido antihorário e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox até a reta r. Desse modo, temos sempre

DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR

. Assim:  

Vamos considerar três casos:

para 0º  <90º . m > 0 (a tangente é positiva no 1º quadrante) para 90º <  < 180º . m < 0 ( a tangente é negativa no 2º quadrante)

a)

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o ângulo

é conhecido


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Substituindo esses valores em

, temos: b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas: A(xA, yA) e B(xB, yB)

EQUAÇÃO DE UMA RETA R, CONHECIDOS O COEFICIENTE ANGULAR E UM PONTO DE R Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo P(X0, Y0), P r, e Q(x,y) um ponto qualquer de r(Q P), podemos escrever:

Como 1 =  ( ângulos correspondentes) temos que

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da reta r que passa por P(1, 2), sendo m=3. Assim, temos X0=1 e Y0=2. Logo:

. Mas, m = tg

y-y0 = m(x-x0) = y-2 = 3(x - 1) = y-2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0

Então: que é a equação geral de r.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE RETAS Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) é:

Para representar graficamente as retas de equação ax + by + c = 0 ( b 0), isolamos a variável y e atribuímos valores a x, obtendo pares ordenados que são pontos da reta. Assim, é mais conveniente usar a equação na forma reduzida, já que ela apresenta o y isolado.

c)

a equação geral da reta é conhecida Se uma reta passa por dois pontos distintos A(XA, YA) e B(XB, YB), temos:

COORDENADAS DO PONTO DE INTERSECÇÃO DE RETAS A intersecção das retas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a solução do sistema formado pelas equações das duas retas. Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das retas r: 2x +y - 4 =0 e s: x -y +1=0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos:

Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, vem: (YA - YB)x + (XB - XA)y + XAYA - XBYB = 0 Da equação geral da reta, temos:

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Substituindo esse valor em x -y = -1, temos: 1 - y = -1 y=2 Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s.

PERPENDICULARISMO Se r e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se

Graficamente, temos:

. Acompanhe o desenho:

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS

PARALELISMO

Sendo r e s duas retas não-verticais e nãoperpendiculares entre si, pelo teorema do ângulo externo ( =+), temos:

Duas retas, r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais.

CONCORRÊNCIA Dadas as retas r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes:

Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0 e s: 6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes:

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Dependendo da posição das duas retas no plano, o ângulo

pode ser agudo ou obtuso. Logo:

Essa relação nos fornece o ângulo agudo entre r e s, pois será o suplemento de

. O ângulo obtuso .

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Dados um ponto P(x1, y1) e uma reta r:ax + by + c = 0, a distância entre eles (dpr)é dada por: Considerando o sinal positivo, obtemos uma bissetriz; considerando o sinal negativo, obtemos a outra. Vejamos um exemplo: Se r: 3x + 2y - 7 = 0 e s: 2x - 3y + 1 = 0, então suas bissetrizes são:

Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à reta r: x - 2y + 1 = 0. Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2 e c=1. Assim:

BISSETRIZES Dadas as retas concorrentes r: a1x + b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, o que se interceptam em um ponto Q, se P(x, y) é um ponto qualquer de uma das bissetrizes, P Q, então P equidista de r e s:

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NÚMEROS COMPLEXOS A UNIDADE IMAGINÁRIA

RESOLUÇÃO DE ALGUMAS EQUAÇÕES

No século XVI o matemático italiano Girolamo Cardano, com o auxílio de seu compatriota Tartáglia, descobriu uma fórmula para resolver equações cúbicas do tipo x3 + px = q. A fórmula era:

A partir da criação da unidade imaginária i, vamos resolver algumas equações cuja solução era impossível no conjunto universo dos número reais. 1a) Resolver a equação: x2 + 9 = 0 Resolução

De posse dessa fórmula, Rafael Bombelli, matemático italiano e da mesma época de Tartáglia e Cardano, ao resolver a equação:

Como essa é uma equação de segundo grau incompleta, não há necessidade de utilizarmos a fórmula de Bhaskara.

x3 – 15x = 4

x2 + 9 = 0

x2 = – 9

x2 = 9 · (–1)

Como i2 = –1, temos: x2 = 9i2

encontrou: o que mostrava que x não deveria ser um número real,

x = ± 3i

pois 2a) Resolva a equação: x2 – 6x + 13 = 0

No entanto, Bombelli percebeu que o número real x = 4 era raiz da equação, pois 4 3 – 15 · 4 = 4, e isso o intrigou bastante. Continuando suas pesquisas, Bombelli descobriu que:

Resolução = b2 – 4ac = (–6)2 – 4 · 1 · 13 = –16 = 16i2

Assim: x = 3 + 2i ou x = 3 – 2i

Portanto, o valor encontrado com o uso da fórmula passava a ser:

S = {3 + 2i, 3 – 2i }

O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Um valor coerente com as expectativas. A partir desse momento, começou-se a trabalhar com raízes quadradas de números negativos e, mais tarde, já no século XVIII, o matemático suíço Leonhard Euler passou a

Com a criação da unidade imaginária i, surgiu um novo conjunto numérico C, o conjunto dos números complexos, que engloba o conjunto R dos números reais.

representar 1 por i, convenção que utilizamos até os dias atuais.

Assim, por meio de um diagrama EulerVenn, temos:

Assim: 1  i que passamos a denominar unidade imaginária. Normalmente utilizamos a igualdade:

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(2a – b) + 3i = – 2 + (– a + b)i

O surgimento desse novo conjunto numérico foi de grande utilidade para a superação de alguns obstáculos na matemática e, por conseguinte, nas aplicações diretamente ligadas a ela.

Resolução

Definições Resolvendo o sistema, temos:

Chamamos de número complexo na forma algébrica, todo número na forma a + bi, em que a e b são números reais e i é unidade imaginária (i2 = –1). Da mesma forma que, quando nos referimos a um número natural, usamos a letra n para representá-lo, a letra z será usada para representarmos um número complexo. Assim, no número complexo z = a + bi, dizemos que a é a parte real de z, e bi é a parte imaginária de z.

Substituindo a = 1 na equação –a + b = 3, temos: –1 + b = 3 Assim: a = 1 e b = 4

Representamos:

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS

a = Re(z) b = Im(z) Em particular, temos:

ADIÇÃO

1o) Se Im(z) = 0, dizemos que z é um número real.

Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, com a, b, c e d reais, a soma z1 + z2 será um complexo tal que:

EXEMPLO – 5 = – 5 + 0i ; 2o) Se Re(z) = 0 e Im(z) imaginário puro.

2  2  0i 0, dizemos que z é um

EXEMPLO

EXEMPLO 2i = 0 + 2i ;

b=4

Sendo z1 = – 3 + 4i e z2 = 2 – i, calcular z1 + z2

3i  0 3i

Resolução z1 + z2 = (– 3 + 4i) + (2 – i) = (– 3 + 2) + (4 – 1)i

IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS

Assim: z1 + z2 = – 1 + 3i

SUBTRAÇÃO

Dois números complexos, na forma algébrica, são iguais quando suas partes reais e imaginárias forem respectivamente iguais. (As partes imaginárias são iguais, quando os coeficientes forem iguais).

Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, com a, b, c e d reais, a diferença z1 – z2 será um complexo, tal que:

Assim, sendo z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i, com a1, b1, a2 e b2 reais, dizemos:

EXEMPLO Sendo z1 = 5 + 3i e z2 = 3 + 2i, calcular z1 – z2

EXEMPLO

Resolução

Calcular a e b de modo que:

z1 – z2 = (5 + 3i) – (3 + 2i) = (5 – 3) + (3 – 2)i

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Assim: z1 – z2 = 2 + i

3o) z3 = –3i 4o) z4 = 2

MULTIPLICAÇÃO

= 3i =2

Propriedade Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, com a, b, c e d reais, o produto z 1 · z2 será um complexo, tal que:

De fato, distributiva, temos:

usando

a

O produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real.

Demonstração

propriedade

Sendo z = a + bi e = a – bi (a R e b

R) temos:

Como i2 = – 1, temos: Como a e b são reais, z ·

(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci – bd

R.

DIVISÃO

Agrupando a parte real e a parte imaginária, temos:

Dados dois números complexos z1 e z2, com z2 0, efetuar a divisão de z1 por z2 é encontrar um terceiro número complexo z3 tal que z1 = z2 · z3, ou seja:

z1 · z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i

EXEMPLO Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 2 + 4i, calcule z1 · z2 Resolução

EXEMPLO

z1 · z2 = (3 + 2i) · (2 + 4i) z1 · z2 = 3 · 2 + 3 · 4i + 2i · 2 + 2i · 4i z1 · z2 = 6 + 12i + 4i + 8i2 z1 · z2 = 6 + 12i + 4i – 8 z1 · z2 = – 2 + 16i

Efetuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i. Resolução Devemos encontrar um número complexo z3 = a +

Observação – As propriedades da adição, subtração e multiplicação válidas para os números reais continuam válidas para os números complexos.

bi tal que z 3 

z1 . Assim, z2

2  3i = a + bi 1  2i

CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

2 – 3i = (a + bi) · (1 + 2i) 2 – 3i = a + 2ai + bi + 2bi2 2 – 3i = a + 2ai + bi – 2b 2 – 3i = (a – 2b) + (2a + b)i

Chamamos de conjugado do número complexo z = a + bi, com a e b reais, o número complexo = a – bi.

EXEMPLOS 1o) z1 = 2 – 3i 2o) z2 = –1 – 4i

= 2 + 3i = –1 + 4i

Substituindo em a – 2b = 2, temos:

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POTÊNCIAS DE I Calculemos algumas potências de i com expoente natural:

Assim:

i0 = 1 i1 = i i2 = – 1 i3 = i2 · i = (– 1) · i = – i i4 = i2 · i2 = (– 1) · (– 1) = 1 i5 = i4 · i = 1 · i = i i6 = i4 · i2 = 1 · (– 1) = – 1 i7 = i4 · i3 = 1 · (– i) = – i

Então

REGRA PRÁTICA

Notamos que, a partir de i4 as potências de i vão repetindo os quatro primeiros resultados; assim, de um modo mais geral, com n N, podemos afirmar que:

Dados os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, a, b, c e d reais e z2 0, para efetuarmos a divisão de z1 por z2, basta multiplicarmos o

i4n = (i4)n = 1n = 1 i4n + 1 = i4n · i1 = 1 · i = i i4n + 2 = i4n · i2 = 1 · (–1) = –1 i4n + 3 = i4n · i3 = 1 · (– i) = – i

z numerador e o denominador da fração 1 pelo z2 conjugado do denominador

z  . 2

Esta conclusão sugere-nos o seguinte:

Assim, temos:

Propriedade

Demonstração

Assim: Assim: im = i4q + r = i4q · ir = (i4)q · ir

EXEMPLO

im = 1q · ir

Efetuar a divisão de z1 = 2 – 3i por z2 = 1 + 2i Observação Notamos que r {0, 1, 2, 3}, então, com m N, a potência im é sempre igual a i0 ou i1 ou i2 ou i3, ou seja, 1, i, – 1, – i, respectivamente.

Resolução

EXEMPLOS 1o) Calcular i359 Resolução

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2o) Calcular i130 Resolução

Exercícios Resolvidos 1.

Resolva a equação: x4 – 1 = 0 Resolução x4 – 1 = 0 x2 + 1 = 0

a) k = t = – 2 b) k = t = 2 c) k = –2 e t = 2

(x2 + 1) (x2 – 1) = 0 x2 = – 1

x2 = i2

x=

i

Resolução

ou x2 – 1 = 0

Se (1 – i) é raiz, temos: x2 = 1

x=

1

(1 – i)2 + k(1 – i) + t = 0

S = { + i, + 1, – 1, – i} 2.

d) k = 2 e t = – 2 e) k + t = 1

1 – 2i – 1 + k – ki + t = 0 (k + t) + (–2 – k)i = 0 + 0i

Resolva a equação: x2 – 2x + 10 = 0 Resolução

Logo: = (–2)2 – 4 · 1 · 10 = – 36 5.

x=1

(UCMG-MG) O número complexo z, tal que 5z + = 12 + 16i, é igual a: a) – 2 + 2i d) 2 + 4i b) 2 – 3i e) 3 + i c) 1 + 2i

3i Resolução

S = {1 – 3i, 1 + 3i}

Fazendo z = a + bi e 5z +

3.

Se Z = 4 + 2i e W = 3 – 5i, então, calcular: a) Z + W b) Z – W c) Z · W

= a – bi, temos:

= 12 + 16i

5(a + bi) + a – bi = 12 + 16i 5a + 5bi + a – bi = 12 + 16i

Resolução Z + W = (4 + 2 i ) + (3 – 5 i ) = 4 + 2 i + 3 – 5i=7–3i

Logo: z = 2 + 4i

Z – W = (4 + 2 i) – (3 – 5 i) = 4 + 2 i –3 + 5 i =1+7i

4.

6.

Determine o inverso do número complexo z = 3 – 2i.

Z · W = (4 + 2 i) · (3 – 5 i) = 12 – 20 i + 6 i – 10 i2 =

Resolução

12 – 14 i + 10 = 22 – 14 i

O inverso de z será z–1, tal que z · z–1 = 1, ou seja, z

(FCC-BA) O número complexo 1 – i é raiz da equação x2 + kx + t = 0 (k, t R ) se, e somente se:

Assim:

82

1

1 z


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Representaremos cada número complexo z = a + bi pelo ponto do plano de coordenadas (a, b). Dessa forma, o número complexo z = 2 + 3i, por exemplo, será representado pelo ponto P (2, 3).

Assim,

Resposta: 7.

Determinar m

R para que z 

2  3i seja 2  mi

um imaginário puro. Resolução

Quem pela primeira vez fez essa interpretação geométrica foi Wessel, num artigo publicado em 1798, mas sua obra ficou quase desconhecida; por isso, este plano onde representamos os números complexos é conhecido, até hoje, como plano de Gauss, embora este tenha publicado a mesma idéia cerca de trinta anos depois. No plano de Gauss, os números reais são representados por pontos que pertencem ao eixo Ox e, por isso, esse eixo será chamado de eixo real, enquanto o eixo Oy será chamado de eixo imaginário. O ponto P(a, b), que representa o número complexo z = a + bi, será chamado de afixo ou imagem deste número complexo.

Para que z seja imaginário puro, devemos ter: Re (z) = 0 Assim: =0

4 + 3m = 0

m=–

Resposta: m = 8.

MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Calcular: i14 – 3i9 + 2i26 Resolução

Dado um número complexo z = a + bi, com a e b reais, chamamos de módulo de z e indicamos |z| ou à distância entre a origem O do plano de Gauss e o afixo de z.

i2 – 3 i1 + 2 i2 = –1 – 3i – 2 = – 3 – 3i 9.

Calcular i4n – 2 Resolução

Resposta: – 1

O PLANO DE ARGAND-GAUSS Sendo O (0, 0) e P ( a, b)

Já sabemos que cada número real pode ser associado a um ponto de uma reta e que cada ponto da reta é imagem de um único número real. Para representarmos geometricamente os números complexos (entre os quais se encontram todos os números reais), utilizaremos um plano. Assim sendo, considere um plano no qual se fixou um sistema de coordenadas retangulares.

Assim:

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Assim: |z1 · z2| = |z1 · z2|

Observação A definição de módulo no conjunto dos números complexos é coerente com a definição dada em R, ou seja:

3 a) Demonstração

EXEMPLOS

Observação Existem outras propriedades que são válidas para os números complexos e que serão demonstradas no próximo módulo. 4 a)

Propriedades

5 a)

Sendo z1 = a + bi e z2 = c + di dois números complexos quaisquer, então: a

1)

Importante Todos os números complexos com módulo r têm os seus afixos em uma circunferência de centro na origem e o raio r.

| z1 |  | z1 |

Demonstração

Assim:

2a) |z1 · z2| = |z1 · z2|

ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO Sendo z = a + bi um número complexo não-nulo e P o afixo de z no plano de Gauss de origem O, chamamos argumento do número complexo z a medida do arco com centro em O tomado a partir do semi-eixo real positivo até a semi-reta

84

 OP no sentido anti-horário.


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Assim:

Da trigonometria concluímos que:

em que é o módulo de z. Em particular quando:

EXEMPLOS 1o) Calcular o argumento do número complexo z = 2 – 2i. Resolução

Assim:

= 315º

2o) Calcular o argumento de z = – 1 + Resolução

3o) Calcular o argumento de z = – 4i. Resolução

4o) Calcular o argumento de z = – 2. Resolução

85

.


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Resolução

Assim:

= 180º

Importante 2o) Escreva na forma trigonométrica z = –2i. Todos os números complexos com argumento têm os seus afixos em uma semi-reta de origem O.

Resolução

3o) Escreva na forma trigonométrica z = – 4. Resolução

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO Podemos determinar um número complexo de dois modos: 1o) Conhecendo a = Re (z) e bi = Im (z) e temos: z = a + bi, que é a forma algébrica de z. 2o) Conhecendo temos:

= |z| e o

= argumento de z,

Assim: Então:

que é a forma trigonométrica de z.

EXEMPLOS 1o) Colocar o número complexo z = 1 + i na forma trigonométrica.

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Exercícios Resolvidos 1.

Sendo z1 = 2 + 3i e z2 = 1 – 2i, verificar a veracidade das sentenças abaixo.

Resolução 2. Obter o argumento dos complexos:

Resolução a)

b)

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OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA ADIÇÃO Sejam os números complexos z1 e z2 na forma trigonométrica:

Vamos efetuar a adição de z1 e z2:

O módulo de z1 + z2 será: 3.

Escrever o número trigonométrica.

z=–1–

na forma Simplificando, encontramos:

Resolução

Este último resultado mostra-nos que o módulo de soma é o maior possível quando cos (1 - 2) for máximo, o que se dará para cos (1 - 2) = 1, e neste caso teremos:

ou seja:

Assim, podemos afirmar que

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DA ADIÇÃO Consideremos dois números complexos z 1 e z2, na forma algébrica: z1 = a1 + b 1 i z2 = a 2 + b 2 i Vamos construir as imagens respectivas de z1 e z2 que representamos por M1 e M2.

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Com os pontos O, M1, M2 e M vamos construir o paralelogramo OM1MM2, cuja diagonal é

Agrupando convenientemente, temos:

.

Assim:

Podemos observar que: A partir da figura, podemos concluir que: 1o) o módulo de z1 · z2 é igual ao produto dos módulos de z1 e z2 ; 2o) o argumento de z1 · z2 é igual à soma dos argumentos de z1 e z2.

Como OP1 = a1 e OP2 = a2, temos que:

EXEMPLO Calcular o produto dos números complexos

Analogamente, provamos que:

z = 2 (cos 50° + i sen 50°) e w = 3 (cos 20° + i sen 20°). Dessa forma, concluímos que o ponto M é o afixo do número complexo (a1 + a2) + (b1 + b2) i que é a soma z1 + z2.

Resolução z · w = 2 · 3 · [cos (50° + 20°) + i sen (50° + 20°)] Assim: z · w = 6 · (cos 70° + i sen 70°) Importante – Se tivermos n fatores, será fácil verificarmos que:

Assim, concluímos que: A soma de dois números complexos é representada geometricamente pela diagonal do paralelogramo construído sobre os vetores correspondentes aos dois complexos dados. Escrevemos que:

EXEMPLOS Calcular o produto dos números complexos:

MULTIPLICAÇÃO Consideremos os números complexos não-nulos:

A multiplicação de z1 por z2 ficará:

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POTENCIAÇÃO

Resolução

Sendo z = r (cos + i sen ) e n um número natural não-nulo, temos:

DIVISÃO Consideremos os números complexos não-nulos:

Assim:

A divisão de z1 por z2 ficará:

FÓRMULA DE MOIVRE Podemos observar que: 1o) o módulo de zn é igual ao módulo de z elevado ao expoente n; 2o) o argumento de zn é igual ao argumento de z multiplicado por n.

EXEMPLOS

Logo:

1o) Dado

Resolução

Podemos observar que: 1o) o módulo de

1 3  i, calcular z6. 2 2

z1 é igual ao quociente dos z2

módulos de z1 e z2; 2o) o argumento de

z1 é igual à diferença dos z2

argumentos de z1 e z2.

EXEMPLOS Calcular o quociente dos números complexos z = 6 (cos 70° + i sen 70°) e w = 2 (cos 20° i sen 20°). z6 = 1 · (cos 2 + i sen 2 z6 = 1 · (1 + i · 0) z6 = 1

Resolução

90

)


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Exercícios Resolvidos 1.

Dados os números complexos:

3.

z = 8 (cos 75° + i sen 75°) e w = 2 (cos 15° + i sen 15°), pode-se dizer que: a) zw = 16 z b)  2  2 3i w c)

Determinar o menor valor de n

N*, tal que

n

2  2 i seja real.

Resolução

d) zw = –16i e) nra

z  4 (sen 60º + i cos 60º) w

Resolução

Para que zn seja real, devemos ter: Im (zn) = 0

Resposta: B 2.

Dado z = 2  cos   i sen   , calcular   3 3  Resolução Sabendo que zn = pn · (cos n ·

Assim: sen ( n

1 . z6

Então n + i sen n ·

)

7 )=0 4

7 =k ,k Z 4

Se n é natural, devemos ter que n seja múltiplo de 4. Então o menor valor de n é :

4.

Sendo z = cos + i sen , obtenha as fórmulas de sen (2 ) e cos (2 ) utilizando a fórmula de Moivre. Resolução Sabemos que:

Fazendo n = 2, temos:

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Então:

Igualando as partes reais e imaginárias, obtemos : e

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VETORES RETA ORIENTADA - EIXO

Observações

Uma reta r é orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.

a.

Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero

b.

AB = BA

DIREÇÃO E SENTIDO Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas:

SEGMENTO ORIENTADO Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade.

SEGMENTO NULO Um segmento nulo é aquele extremidade coincide com a origem.

cuja

SEGMENTOS OPOSTOS Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB.

MEDIDA DE UM SEGMENTO ou coincidentes Fixada uma unidade de comprimento, cada segmento orientado pode-se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação aquela unidade. A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por AB . Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo é de 5 unidades de comprimento:

AB = 5 u.c. Observações a. Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção.

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b.

Dois Segmentos orientados sentidos contrários.

opostos

têm

Se indicarmos com v este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

 v = {XY/XY ~ AB}

SEGMENTOS EQUIPOLENTES

onde XY é um segmento qualquer do conjunto.

Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Se os segmentos orientados AB e CD não pertencem à mesma reta. Na segunda figura abaixo, para que AB seja equipolente a CD é necessário que AB//CD e AC/BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo.

O vetor determinado por AB é indicado

por

 AB ou B - A ou v .

Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Conseqüentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.

As características de um vetor v são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.

Observações a. Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. b. A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD.

O módulo de

VETORES IGUAIS

PROPRIEDADES DA EQUIPOLÊNCIA I. II. III. IV.

  v se indica por | v |.

Dois vetores AB ~ CD.

AB ~ AB (reflexiva). Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica). Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva). Dado o segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB ~ CD.

  AB e CD são iguais se, e somente se,

VETOR NULO Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado

VETOR

por

 0.

VETORES OPOSTOS

Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.

Dado um vetor de

=

e se indica por

, o vetor ou por

VETOR UNITÁRIO Um vetor

94

é unitário se |

| = 1.

é o oposto .


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VERSOR Versor de um vetor não nulo

é o vetor

unitário de mesma direção e mesmo sentido de Por exemplo, tomemos um vetor

.

de módulo 3. Dois vetores e quaisquer são são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes de e pertencendo a um plano p que passa por este ponto. Três coplanares.

vetores

poderão

ou

não

ser

Os vetores e da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto, apenas de

tem a mesma direção e o mesmo sentido

. Portanto, este é o versor de

.

VETORES COLINEARES Dois vetores

e

,

e

são coplanares

são colineares se

tiverem a mesma direção. Em outras palavras:

e

são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.

,

e

não são coplanares

SOMA DE VETORES Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por: v + w = (a+c,b+d)

PROPRIEDADES DA SOMA DE VETORES I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de R2: v+w=w+v

VETORES COPLANARES

II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R2: u + (v + w) = (u + v) + w

Se os vetores não nulos , e (não importa o número de vetores) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano , diz-se que eles são coplanares.

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Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R2, que são dados por:

III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R2 tal que para todo vetor u de R2, se tem:

i = (1,0)

O+u=u

j = (0,1)

Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R2, existe um vetor -v em R2 tal que: v + (-v) = O

DIFERENÇA DE VETORES Se v=(a,b) e w=(c,d), diferença entre v e w, por:

definimos

Observação:

a

Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos.

v - w = (a-c,b-d)

PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR

Se c = 0 então u será o vetor nulo. Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do que v. Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v. Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v.

Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como:

PRODUTO ESCALAR

c.v = (ca,cb)

Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:

PROPRIEDADES DO PRODUTO DE ESCALAR POR VETOR     

u.v = a.c + b.d

Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores: 1v=v (k c) v = k (c v) = c (k v) k v = c v implica k = c, se v for não nulo k (v+w) = k v + k w (k + c)v = k v + c v

EXEMPLOS O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é: u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:

MÓDULO DE UM VETOR

u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19 O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar: v.w = w.v v.v = |v| |v| = |v|2 u.(v+w) = u.v + u.w (kv).w = v.(kw) = k(v.w) |kv| = |k| |v| |u.v|  |u| |v| (desigualdade de Schwarz) |u+v|  |u| + |v| (desigualdade triangular)

VETOR UNITÁRIO Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

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ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: u.v = |u| |v| cos(x) onde x é o ângulo formado entre u e v.

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como:

desde que nenhum deles seja nulo.

VETORES ORTOGONAIS Dois vetores u e v são ortogonais se: u.v = 0

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Pré-Calculo