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Matemática Matemática I

Matemática II

Geometria Plana Ângulo ...................................................................56 Polígonos ..............................................................61 Triângulo ................................................................63 Quadriláteros.........................................................67 Circunferência e Círculo ........................................70 Teorema de Thales ...............................................74 Semelhança de Triângulos ....................................75 Relações Métricas no Triângulo Retângulo ...........78 Relações Métricas num Triângulo Qualquer ..........80 Relações Métricas na Circunferência ....................82 Área das Figuras Planas .......................................84

JOSÉ AUGUSTO DE MELO

A reprodução por qualquer meio, inteira ou em parte, venda, exposição à venda, aluguel, aquisição, ocultamento, empréstimo, troca ou manutenção em depósito sem autorização do detentor dos direitos autorais é crime previsto no Código Penal, Artigo 184, parágrafo 1 e 2, com multa e pena de reclusão de 01 a 04 anos.

Aritmética em N .......................................................3 Conjunto dos Números Racionais ...........................8 Conjunto dos Números Reais ................................13 Unidades de Medida .............................................16 Cálculo Algébrico ...................................................18 Matemática Comercial ..........................................23 Função...................................................................32 Função do 1º grau .................................................41 Função do 2º grau .................................................46 Função Modular .....................................................51


Anotações


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ITAPECURSOS

ARITMÉTICA EM N 1- SISTEMA DE NUMERAÇÃO Desde o momento em que o homem necessitou contar quantos elementos uma certa coleção possuía, ele se preocupou em registrar de algum modo essa contagem. Inicialmente usou pedras, cordas, até mesmo pedaços de madeira para fazer esses registros. Com o passar do tempo, percebeu que o uso de símbolos tornava essa tarefa mais fácil. Foram os Hindus os criadores da representação

mais útil de todas. Usando dez símbolos, hoje representados por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e algumas regras, inventaram um modo prático e eficiente de representar os números, que usamos até hoje. Os símbolos 0, 1, 2, ..., 9 são chamados algarismos. Chamamos de sistema de numeração a todo conjunto de símbolos e regras que nos possibilita escrever qualquer número. A quantidade de símbolos usados no sistema determina a base do sistema.

2- SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL Como o nome diz, é o sistema de base 10. Utiliza os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Baseia-se na propriedade a seguir: “Se um algarismo está escrito à esquerda de outro, seu valor é 10 vezes mais que esse outro.”

Desse modo, no número 352, o algarismo 2 vale 2 unidades, pois não está escrito à esquerda de nenhum outro, o algarismo 5 vale 50 unidades e o 3 vale 300 unidades. Como o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa no numeral, dizemos que esse é um sistema posicional.

3- SISTEMAS DE NUMERAÇÃO EM OUTRAS BASES A base de um sistema de numeração não precisa ser necessariamente 10. O fato de usarmos o sistema decimal é uma “fatalidade” anatômica: temos 10 dedos nas mãos. Mas nada impede de usarmos outras bases. Assim, por exemplo, no sistema binário, ou seja, de base 2, usaríamos apenas os algarismos 0 e 1, e a propriedade: ”Se um algarismo está escrito à esquerda de outro,

seu valor é 2 vezes mais que esse outro.” Portanto, no sistema binário, no número (111)2, o primeiro 1 representa 1 unidade, o segundo 1 x 2 ou seja 2 unidades e o terceiro 1 representa 1 x 2 x 2 = 4 unidades, representando portanto no sistema decimal o valor 7. De um modo geral, se b é a base do sistema e pqr representa um número desse sistema, temos: (pqr)b = r + q . b + p . b2

4- MUDANÇA DE BASE 4.1- Passar um número da base 10, para uma base qualquer Regra: Para escrever um número que está no sistema decimal, num outro sistema de base b, efetuamos sucessivas divisões do número dado e dos quocientes obtidos por b, até que se encontre um quociente menor que b. Exemplos: a) Escreva o número 13 na base 2. Solução:

Resp.: 13 = (1101)2

13 1

2 6 0

b) Escreva o número 75 na base 6. Solução:

2 3 1

75 3

2 1

6 12 0

6 2

Resp.: 75 = (203)6

Observe que: - Para formar o número, usamos os restos e o último quociente obtido. - A leitura é feita da direita para a esquerda. Matemática - M1

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4.2- Passar um número do sistema de base b, para o sistema decimal Regra: Basta decompor o número dado em seus valores relativos. Exemplos: a) Passe para a base 10, o número (1011)2. Solução: (1011)2 = 1 + 1 . 2 + 0 . 22 + 1 . 23 = 1 + 2 + 0 + 8 = 11

b) Escreva na base 10 o número (314)5. Solução: (314)5 = 4 + 1 . 5 + 3 . 52 = 4 + 5 + 75 = 84

5- DIVISÃO EUCLIDEANA Sejam a e b números naturais com b ¹ 0. Então, existe um único par de números naturais (q, r) tal que: a) a = b . q + r b) r < b Representamos a divisão por: a r

b q

O número a chama-se dividendo, b é o divisor, q o quociente e r é o resto. Se r = 0, dizemos que a divisão é exata e teremos a = b . q. Nesse caso, diz-se também que a é múltiplo de b, ou a é divisível por b ou ainda b é divisor de a.

6- NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS Definição 1: Um número natural n é primo, se ele tiver apenas dois divisores. Definição 2: Um número natural n é composto, se n ¹ 0 e possuir mais de dois divisores. Observe que de acordo com essa definição, os números 0 e 1 não são primos nem compostos. Os números primos formam a sucessão 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... que o matemático Euclides, que viveu no século III A.C., provou ter infinitos elementos.

7- TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA Todo número composto é igual a um produto de números primos. Quando escrevemos um número composto como um produto de números primos, nós dizemos que o número dado foi decomposto em seus fatores primos ou, ainda, que o número foi fatorado. Exemplo: Decompor em fatores primos os números 72, 540 e 1800. Solução: Regra: Coloque à direita do traço vertical o menor número primo que divide o número dado. Continue procedendo do mesmo modo com os quocientes obtidos, até encontrar o quociente 1. Veja: 72

2

36

2

18

2

9

3

3

3

1

4

Logo: 72 = 23 x 32

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Quando um número termina em zeros, podemos cancelá-los e substituí-los pelo produto quantidade de zeros cortados. Observe: 540

2n x

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5n, onde n é a

2.5

54

2

27

3

9

3

3

3

Resp.: 540 = 22 . 33 . 5

1

1800

22 . 52

18

2

9

3

3

3 Resp.: 1800 = 23 . 32 . 52

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8- COMO ACHAR OS DIVISORES DE UM NÚMERO Regra: a) Decomponha o número em seus fatores primos. b) Coloque à direita e acima do primeiro fator primo o número 1. c) Multiplique os fatores primos obtidos por todos os números à direita e acima deles (valores repetidos não precisam ser colocados). Exemplo.: Ache os divisores do número 72. Solução: 72 36 18 9 3 1

2 2 2 3 3

1 2 4 8 3, 6, 12, 24 9, 18, 36, 72

9- QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO Regra:

Solução: 60 2 b) Acrescente uma unidade aos expoentes. 30 2 15 3 c) Multiplique as somas obtidas em b. 5 5 Exemplo.: Determine quantos divisores tem o número 60. 1 Resp.: 12 divisores. 360 = 22 . 3 . 5. Logo o nº de divisores de 60 é n = (2 + 1) . (1 + 1) . (1 + 1) = 12 a) Decomponha o número dado em fatores primos.

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10- REGRA GERAL DE DIVISIBILIDADE Sejam a e b dois números, decompostos em seus fatores primos. O número a será divisível por b se ele contiver todos os fatores primos de b, com expoentes maiores ou iguais. Exemplo.: a) O número 23 . 32 . 7 é divisível por 3 . 7. b) O número 34 . 52 . 7 é divisível por 32 . 52 c) O número 25 . 32 . 5 não é divisível por 23 . 35. d) O número 32 . 5 . 73 não é divisível por 2 . 3 . 72.

11- MÁXIMO DIVISOR COMUM Definição Se a e b são dois números naturais, tal que um deles pelo menos é diferente de zero, chama-se maior divisor comum de a e b, e representa-se por m.d.c. (a, b), ao maior número que divide simultaneamente a e b. Exemplo.: Se D(n) representa o conjunto dos divisores do número n, teremos: D(8) = {1, 2, 4, 8} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Daí temos que: D(8)

D(12) = {1, 2, 4}, e então m.d.c. (8, 12) = 4.

É importante observar que: a) Se um dos números é divisível pelo outro, o menor deles será o m.d.c. Exemplo: 36 é divisível por 12; então m.d.c. (36, 12) = 12. b) Pode acontecer do m.d.c. (a, b) = 1. Nesse caso dizemos que a e b são primos entre si. Exemplo: m.d.c. (4, 9) = 1, logo 4 e 9 são primos entre si. c) Os divisores comuns a dois números são divisores do seu m.d.c. Exemplo: O m.d.c. (54, 72) = 18. Logo os divisores comuns a 54 e 72, são os divisores de 18 ou seja, 1, 2, 3, 6, 9 e 18.

12- CÁLCULO DO M.D.C. PELA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Regra: a) Fatore os números. b) Forme o produto com os fatores comuns aos números, tomados com o menor expoente. Exemplo: Calcule o m.d.c. (72, 90). Solução: Fatorando os números, teremos: 72 = 23 . 32 90 = 2 . 32 . 5 Logo: m.d.c. (72, 90) = 2 . 32 = 18

13- CÁLCULO DO M.D.C. PELO ALGORITMO DE EUCLIDES Daremos um exemplo. Seu professor explicará como o cálculo é feito. Seja calcular m.d.c. (228, 180). Solução: 228 48

1 180 36

6

3 48 12

1 36 0

3 12

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Resp.: m.d.c. (228, 180) = 12


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14- MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Definição Sejam a e b dois números naturais não nulos. Chama-se mínimo múltiplo comum de a e b e representa-se por m.m.c. (a, b), ao menor dos múltiplos, não nulos, comuns aos números a e b. Exemplo: Se M(n) representa o conjunto dos múltiplos do número natural n, então: M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...} M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 ...} M(4) M(6) = {0, 12, 24, 36,...} Portanto m.m.c. (a, b) = 12 Observe que: a) Se um dos números for divisível pelo outro, o maior deles será o m.m.c. Exemplo: 18 é divisível por 6. Logo m.m.c. (18, 6) = 18 b) Se dois números são primos entre si, o m.m.c. entre eles é igual ao seu produto. Exemplo: 4 e 9 são primos entre si; então m.m.c. (4, 9) = 36 c) m.m.c. (ap, bp) = p. m.m.c. (a, b) d) m.d.c. (a, b) x m.m.c.(a, b) = a.b Exemplo: m.d.c. (4, 6) = 2 e m.m.c. (4, 6) = 12 Observe que m.d.c. (4, 6) x m.m.c. (4, 6) = 4.6 e) Os múltiplos comuns a dois números a e b, são múltiplos do seu m.m.c. Exemplo: Como vimos, m.m.c. (4, 6) = 12. Logo os múltiplos comuns a 4 e 6 são os múltiplos de 12 ou 12, 24, 36, 48, ... (múltiplos positivos)

15- CÁLCULO DO M.M.C. PELA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Regra: a) Fatore os números. b) Forme o produto com os fatores comuns e não comuns aos números, tomados com o maior expoente. Exemplo: Calcule o m.m.c. (12, 15) Solução: Fatorando os números, obtemos: 12 = 22. 3 15 = 3 . 5 Logo, aplicando a regra, achamos: m.m.c. (12, 15) = 22. 3 . 5 = 60

16- CÁLCULO DO M.M.C. PELA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA Veja o exemplo: m.m.c. (9, 12, 15). Solução: 9, 12, 15

2

9,

6,

15

2

9,

3,

15

3

3,

1,

5

3

1,

1,

5

5

1,

1,

1

Resp.: m.m.c. (9, 12, 15) = 22 . 32. 5 = 180 Matemática - M1

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CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 1- O QUE É UMA FRAÇÃO? a Definição: Chama-se fração todo número representado pelo símbolo , onde a e b são números inteiros, b com b ≠ 0. 3 10 5 7 ; ; etc. Exemplos: ; 4 2 5 3 Geralmente, a fração representa partes de um inteiro. Na representação

a , o número a é chamado de b

numerador da fração e b é o denominador. O denominador indica em quantas partes o inteiro foi dividido, e o numerador, quantas dessas partes foram tomadas.

2- O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Seja Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} o conjunto dos números inteiros. Chama-se conjunto dos números racionais, e representa-se por Q, o conjunto definido por: a /a Z e b Z* Q= Observe que N Ì Z Ì Q. b

3- TIPOS DE FRAÇÃO A) Fração própria É aquela cujo numerador é menor que o denominador 3 2 1 Exemplos: , , 5 7 4 B) Fração imprópria É aquela cujo numerador é maior que o denominador. 7 3 4 10 Exemplos: , , , 5 2 3 5 Obs.: Se o numerador é múltiplo do denominador, dizemos que a fração é aparente. Observe que uma fração aparente é, na verdade, um número inteiro. Exemplos:

4- IGUALDADE DE FRAÇÕES Definição: Sejam

a c e duas frações. Então: b d

Exemplo:

pois 3 . 10 = 5 . 6

Como conseqüência dessa definição, pode-se concluir que: Ao multiplicar ou dividir os termos de uma fração por um mesmo número (não nulo), encontra-se uma fração igual à fração dada. Com isso, pode-se simplificar uma fração, ou seja, podemos achar uma fração igual à fração dada, e cujos termos sejam primos entre si. Uma tal fração se diz na forma irredutível, e para obtê-la basta dividir os termos da fração pelo m.d.c. deles. Exemplo:

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5- OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Recordaremos, sucintamente, as principais operações com frações. A) Adição e Subtração Caso os denominadores sejam iguais, conservamos o denominador e somamos ou subtraímos os numeradores. Se os denominadores forem diferentes, nós reduzimos as frações ao menor denominador comum e procedemos como no primeiro caso. Exemplos: a)

b)

B) Multiplicação Na multiplicação de duas ou mais frações, o produto é encontrado multiplicando-se os numeradores e os denominadores. Sempre que possível, devemos utilizar o cancelamento, visto que com isso os cálculos se simplificarão. Exemplos: a)

b)

C) Divisão Para dividir duas frações, nós repetimos a primeira e a multiplicamos pelo inverso da segunda. Exemplos: a)

b)

c)

D) Potenciação Se

a é uma fração e n é um número natural, teremos: b

6- FRAÇÃO DECIMAL Se o denominador de uma fração é uma potência de 10, ela se diz uma fração decimal. Assim, as frações etc... são frações decimais. Uma simples extensão do sistema de numeração decimal nos permite representar uma fração decimal numa outra forma, que chamaremos de número decimal. Desse modo, teremos:

De modo geral, para converter uma fração decimal em número decimal, nós: - escrevemos o numerador da fração. - colocamos a vírgula de modo que o número de casas decimais coincida com a quantidade de zeros do denominador. Matemática - M1

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Já para passarmos um número decimal para fração decimal, nós: - eliminamos a vírgula e escrevemos o número obtido no numerador. - colocamos no denominador uma potência de 10, com tantos zeros quantas forem as casas decimais. Exemplos:

7- OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS A) Adição e Subtração Coloca-se a vírgula debaixo de vírgula e opera-se como se fossem inteiros. Exemplos: 13,72 + 8,493

3,48 - 2,374

Solução:

Solução:

13,72

3,480

+ 8,493

-2,374

22,213

1,106

B) Multiplicação Ignoram-se as vírgulas. Ao produto damos um número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores. Exemplos: 2,3 x 0,04 Solução: 2,3 0,04 0,092 C) Divisão Igualamos as casas decimais do dividendo e do divisor e efetuamos a divisão. Exemplo: 31,05 : 9

9,54 : 1,8

Solução:

Solução:

3105

900

954

180

4050

3,45

540

5,3

4500

0

0

8- SURGEM AS DÍZIMAS PERIÓDICAS Como vimos, toda fração decimal pode ser representada na forma decimal. Frações como

e

não são

decimais, porém são equivalentes a uma fração decimal. Logo, podem também ser representadas como número decimal. Veja: = 0,6

10

= 0,90 Matemática - M1


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Observe que obteremos a mesma representação se fizermos a divisão do numerador pelo denominador. Assim: 30

5

0

0,6

De modo geral, se o denominador da fração, fatorado, só contiver os fatores 2 e 5, a fração será equivalente a uma fração decimal, podendo ser representada como número decimal. Já uma fração como

, por exemplo, jamais será equivalente a

uma fração decimal, pois seu denominador contém outro fator além do 2 ou 5. Logo, se quisermos representar essa fração na forma decimal, teremos que admitir que essa fração representa uma divisão. Obteremos então: 50

6

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Resumindo: - Toda fração decimal ou equivalente a uma fração decimal é representada por um número decimal exato. - Se uma fração não for equivalente a uma fração decimal, sua representação decimal será uma dízima periódica. A fração que “gerou” a dízima periódica será chamada de fração geratriz. Na dízima periódica, a parte que se repete é chamada de período. Assim, em 0,2525... o período é 25. É usual representar essa dízima na forma , onde um traço é colocado sobre o período. Se entre o período e a vírgula não existir nenhum outro algarismo, a dízima é simples. Caso exista entre o período e a vírgula algum outro algarismo, a dízima é composta.

0,8333... Exemplo:

20 20 2 Surgem assim as dízimas periódicas.

0,1616...

dízima simples

3,444...

dízima simples

0,54242... dízima composta

9 - CÁLCULO DA FRAÇÃO GERATRIZ A) A Dízima Periódica é Simples A geratriz tem como numerador o período e como denominador um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período. Exemplo: Calcule a fração geratriz das dízimas: a) 0,121212...

b) 1,333...

Solução: a) b) B) A Dízima Periódica é Composta A geratriz terá para numerador a parte não periódica, seguida do período menos a parte não periódica, e para denominador um número formado de tantos noves quantos são os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica. Exemplo: Ache a fração geratriz das dízimas a) 0,5333... Solução: a)

b) 0,42666... Solução: b) Matemática - M1

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10 - PRINCIPAIS MÉDIAS Chamaremos de média ao valor para o qual devem “tender” os valores de um conjunto numérico. Assim, quando dizemos que o salário médio dos empregados da indústria X é R$ 650,00, isto significa que os salários reais giram em torno desse valor. É importante observar que a média de um conjunto numérico pode sofrer uma influência muito forte de valores ou muito altos ou muito baixos. Por isso, temos vários tipos de médias. Veremos as três mais usadas. A) Média Aritmética Simples Definição: Sejam x1, x2, ... , xn, n números. Chama-se média aritmética simples entre eles ao número m.a.s. = Exemplo: Cinco pessoas, pesando 70 kg, 80 kg, 30 kg, 20 kg e 120 kg estão num elevador. Qual o peso médio dessas pessoas? Solução:

m.a. =

Resp.: 64 kg. B) Média Aritmética Ponderada Suponha que você vai fazer um concurso para ingressar no Banco do Brasil, e que para isso, precise fazer provas de Português, Conhecimentos Gerais e Técnicas Bancárias. Pode acontecer que à prova de Técnicas Bancárias seja dada uma maior relevância. Isso é feito atribuindo-se “pesos” às notas obtidas em cada prova. Desse modo temos a seguinte: Definição: Sejam x1, x2, ..., xn um conjunto de valores aos quais foram atribuídos os pesos p1, p2, ..., pn respectivamente. Então sua média, chamada de média aritmética ponderada é: m.a.p. = Observe que a média aritmética simples é um caso particular da média ponderada (p1 = p2 = ... = pn = 1). C) Média Geométrica Definição: Se x1, x2, ..., xn são números, sua média geométrica é: m.g. = Exemplo:

Ache a m.g. entre 4 e 9.

Solução:

m.g. =

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CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 1 - A NECESSIDADE DE NOVOS NÚMEROS À medida que um conjunto numérico mostrava alguma deficiência, novos conjuntos numéricos iam surgindo. A resolução de equações semelhante a x2 = 2 levou ao aparecimento dos números reais, pois pode-se provar que não existe nenhum número racional cujo quadrado seja 2. A solução de x2 = 2, que representa-se por ou , não é então um número racional, ou seja, não pode ser colocada na forma a/b, com a e b inteiros e b ≠ 0. Um tal número será chamado daqui para frente de número irracional. Os irracionais podem também ser representados na forma decimal. Nesse caso o número terá infinitas casas decimais e não apresentará parte periódica. A união dos números racionais e irracionais forma o conjunto dos números reais, simbolizado por R.

2) VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO DE UM NÚMERO REAL Seja x um número real. Chama-se valor absoluto ou módulo de x ao número representado por |x| e definido por:

Exemplos: a) |5| = 5 b |-3| = -(3) = 3 c) |0| = 0 Se a e b são números reais, temos: a) |-a| = |a| b) |ab| = |a| . |b| c) |a/b| = |a|/|b| para b ≠ 0 d) |a + b| ≤ |a| + |b| (desigualdade triangular)

3) DESIGUALDADES EM R a) Se a > b e c > 0 então a.c > b.c b) Se a > b e c < 0 então a.c < b.c c) Se a > b e c ∈ R então a + c > b + c Propriedades do anulamento Se a.b = 0 então a = 0 ou b = 0

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4) POTENCIAÇÃO EM R Seja a um número real não nulo e n um número natural. Então: a0 = 1 a1 = a

Propriedades a)

d)

b)

Atenção: a) (-3)2 = (-3).(-3) = 9 -32 = -1.32 = -1.9 = 9

e)

b) c)

f)

5) RAÍZES Definição: Seja a um número real e n um inteiro positivo. Chama-se raiz n-ésima de a, se existir, ao número real b, para o qual temos bn = a. Em símbolos

Exemplos: a) b) c)

não existe em

Observe que: - Se a < 0 e n é par, não existe a raiz em - Se a > 0 e n é par o símbolo =3e-

Assim:

representará a raiz positiva e -

= -3.

- Se

14

.

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, a raiz negativa.


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As principais propriedades da radiciação são: a)

se n for par.

d)

b)

e)

c)

f)

Observação: É óbvio que as propriedades anteriores somente são válidas supondo a existência das raízes envolvidas. Podemos agora definir potência de expoente racional. Definição: Se a > 0, m e n são inteiros com n ≠ 0, temos: Exemplos: a) b)

6- RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Racionalizar o denominador de uma expressão é achar uma expressão igual à expressão dada, cujo denominador não tenha radicais. Vamos nos ocupar com a racionalização de três tipos de expressões: 1º Tipo: Expressões da forma

3º Tipo: Expressões da forma

.

ou

Para racionalizar uma expressão dessa forma, multiplicamos os termos da fração por . Exemplo: Racionalize o denominador de

.

Solução:

Nesse caso, multiplicamos os termos da fração pelo conjugado do denominador (expressão obtida trocando-se o sinal do 2º termo do denominador). Exemplo: Racionalize Solução:

2º Tipo: Expressões da forma A racionalização nesse caso é feita multiplicandose os termos da fração por . Exemplo: Racionalize Solução:

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UNIDADES DE MEDIDA 1- O QUE É MEDIR? Medir uma grandeza é compará-la com outra da mesma espécie, chamada unidade. Desta comparação, resulta um número que é a medida da grandeza considerada nessa unidade. Exemplo: Suponhamos que um palito de fósforo “coube” exatamente 5 vezes numa caneta. Isso significa que o comprimento da caneta na unidade palito de fósforo é 5. No que se segue, veremos as unidades usadas para medir as principais grandezas do nosso dia-a-dia.

2- MEDIDAS DE COMPRIMENTO Múltiplos hm dam

Km

Unidade m

dm

Sub-múltiplos cm mm

Para passar de uma unidade para outra, usamos o quadro acima, fazendo a vírgula deslocar-se para a direita ou para a esquerda. Por exemplo: para passar de hm para dm, o quadro nos mostra que devemos deslocar a vírgula 3 casas para a direita. Para passar de cm para m, deslocamos a vírgula 2 casas para a esquerda. Exemplos: 2,35 m = 23,5 dm

0,045 Km = 45 m

147 cm = 0,147 dam

13,4 Km = 13400 m

3- MEDIDAS DE SUPERFÍCIE Unidade: é o metro quadrado (m2) Múltiplos

Submúltiplos

quilômetro quadrado: Km2

decímetro quadrado: dm2

hectômetro quadrado: hm2

centímetro quadrado: cm2

decâmetro quadrado: dam2 milímetro quadrado: mm2 Km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

- Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior, desloca-se a vírgula duas casas para a direita. - Para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, desloca-se a vírgula duas casas para a esquerda. Exemplos: 3, 42 Km2 = 342 hm2

2,1 m2 = 21000 cm2

7810 mm2 = 78,1 cm2

5000 m2 = 0,5 hm2.

Medidas Agrárias (medidas de terras) Nome

hectare

are

centiare

ha

a

ca

10000m2

100 m2

1 m2

Símbolo Valor

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4- MEDIDAS DE VOLUME Unidade: metro cúbico: m3. Múltiplos

Submúltiplos

quilômetro cúbico: Km3 hectômetro cúbico: hm3 decâmetro cúbico: dam3

decímetro cúbico: dm3 centímetro cúbico: cm3 milímetro cúbico: mm3

Km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

As transformações são feitas deslocando-se a vírgula de 3 em 3 casas decimais. Exemplos: 1 dm3 = 1000 cm3 2,45 m3 = 2450 dm3 2000 m3 = 2 dam3 1470 cm3 = 1,47 dm3 Medida de Capacidade: Unidade: é o litro: L. Temos que 1 L = 1 dm3. Múltiplos

Submúltiplos

Kilolitro (KL) decilitro (dL) hectolitro (hL) centilitro (cL) decalitro (daL) mililitro (mL) Cada unidade de capacidade é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplo: 1 hL = 10 daL 2 L = 2000 mL 600 mL = 0, 6 L

5- MEDIDAS DE MASSA Unidade: é o quilograma ( Kg ) O quilograma tem como múltiplo a tonelada, que vale 1000 Kg. Os submúltiplos do quilograma usam como base o grama (g) que equivale a um milésimo do quilograma. 1 g = 0,001 Kg ou 1 Kg = 1000 g Os submúltiplos do Kg são: hectograma: 1 hg = 100 g decagrama: 1 dag = 10 g decigrama: 1 dg = 0,1 g centigrama: 1 cg = 0,01 g miligrama: 1 mg = 0,001 g Veja que as transformações entre as unidades vão se reduzir a multiplicações e divisões por potências de 10. Observações: a) Peso bruto: representa o peso da mercadoria mais o recipiente que a contém. Peso líquido: é o peso apenas da mercadoria. Tara: representa o peso do recipiente. b) Unidade de medida de massa de metais preciosos. É o quilate. Vale 2 decigramas. 1 quilate = 2 dg. Matemática - M1

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CÁLCULO ALGÉBRICO 1 - EXPRESSÃO ALGÉBRICA - VALOR NUMÉRICO Uma expressão se diz algébrica ou literal se é formada por números e letras ou somente letras. Assim, são algébricas as expressões:

2x + 3y;

x2 − 3 ; x +1 2y

As letras que aparecem nas expressões chamam-se variáveis e representam, geralmente, um número real, sendo então chamadas de variável real. Se a expressão algébrica não tem variável no denominador, ela se diz inteira. Se tiver variável no denominador, ela se diz fracionária. O valor obtido ao substituirmos as variáveis de uma expressão algébrica por números dados e efetuarmos os cálculos indicados é chamado valor numérico da expressão. Exemplo: Ache o valor numérico da expressão

para x = -3 e y = 5.

Solução: Substituindo x por -3 e y por 5, teremos: V.N =

; V.N =

; V.N =

; V.N =

Chamaremos de domínio de uma expressão algébrica ao conjunto formado pelos números que podem ser colocados no lugar das variáveis da expressão. Assim, o domínio da expressão

é

pois x = -3 a expressão não representa número real. Uma expressão algébrica racional inteira, formada por um único termo, será chamada de monômio e uma adição algébrica de monômios será chamada de polinômio. Exemplos de monômios: a)

b) Obs.: Dois monômios com a mesma parte literal são ditos monômios semelhantes. Exemplo:

e

são semelhantes.

Exemplos de polinômios: é um polinômio de três termos, que chamaremos de trinômio (pois tem 3 termos).

a)

b) 2a + b é um binômio (polinômio de dois termos).

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2 - PRODUTOS NOTÁVEIS Alguns produtos aparecem com muita freqüência e são muito úteis, por isso são chamados de produtos notáveis. Veremos os principais. f) (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 a) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 b) (x - y)2 = x2 - 2xy + y2 g) (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz 2 2 h) (x + y)(x2 - xy + y2) = x3 + y3 c) (x +y)(x - y) = x - y d) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab i) (x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3 e) (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 Exemplos: Efetue, pelos produtos notáveis: a) (3x + 5)2 = (3x)2 + 2 . 3x . 5 + 52 = 9x2 + 30x + 25 b) (a3 - 4)2 = (a3)2 - 2 . a3 . 4 + 42 = a6 - 8a3 + 16 c) (3x + 2)(3x - 2) = (3x)2 - 22 = 9x2 - 4 d) (x + 5)(x - 3) = x2 + (5 - 3)x + 5 . (-3) = x2 + 2x - 15 (2a - 2)(2a - 3) = (2a)2 + (-2 -3) . 2a + (-2) (-3) = 4a2 - 10a + 6 e) (x + 2)3 = x3 + 3x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8 f) (2a - 1)3 = (2a)3 - 3 . (2a)2 . 1 + 3 . 2a . 12 - 13. = 8a3 - 12a2 + 6a - 1 g) (3x + y + 5)2 = (3x)2 + y2 + 52 + 2 . 3x . y + 2 . 3x . 5 + 2 . y . 5 = 9x2 + y2 + 25 + 6xy + 30x + 10y (a - 2b - 1)2 = a2 + (-2b)2 + (-1)2 + 2 . a . (-2b) + 2 . a . (-1) + 2 . (-2b) . (-1) = a2 + 4b2 + 1 - 4ab - 2a + 4b

3 - FATORAÇÃO Fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la na forma de um produto. Para isso é útil você se lembrar da propriedade distributiva e dos produtos notáveis vistos anteriormente, pois vários casos de fatoração são conseqüência desses produtos. A dificuldade mais comum, quando se estuda fatoração, está na identificação do caso a ser aplicado à expressão dada. No entanto, com atenção às características de cada caso e muito treinamento, isso não será problema. Vamos aos casos mais comuns.

3.1 - Fator Comum Característica: um ou mais fatores aparecem em todos os termos. Como fatorar: coloque esses fatores comuns em evidência, usando a propriedade distributiva. Exemplos: Fatore a) ax + bx = x . (a + b) b) 20x3 y - 8x2 + 12xy2 = 4x . (5x2y - 2x + 3y) c) (x + 1) b - (x + 1) c = (x + 1) (b - c)

3.2 - Agrupamento Característica: é usado em expressões com no mínimo 4 termos. Como fatorar: aplique o caso anterior sucessivas vezes. Exemplos: Fatore a) x2 + xy + 2x + 2y = (x2 + xy) + (2x + 2y)

b) a2 + a - ab - b

= (a2 + a) + (-ab - b)

= x . (x + y) + 2 (x + y)

= a(a + 1) - b(a + 1)

= (x + y) (x + 2)

= (a + 1) (a - b) Matemática - M1

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3.3 - Diferença de Quadrados Característica: a expressão dada pode ser reduzida à forma x2 - y2. Como fatorar: use o inverso do produto notável. (x + y)(x - y) = x2 - y2, e então teremos: x2 - y2 = (x + y)(x - y) Exemplos: Fatore a) 16 - x2 = (4 + x)(4 - x) 4

b) (x + 1)2 - y2 = (x + 1 + y)(x + 1 - y)

x

x+1

y

3.4 - Trinômio Quadrado Perfeito Característica: a expressão dada é um trinômio redutível à forma x2 ± 2xy + y2 Como fatorar: lembre-se de que x2 ± 2xy + y2 = (x ± y)2 Importante: para verificar se o trinômio dado é quadrado perfeito, ordene-o. Depois tire a raiz quadrada do 1º e do 3º termo e multiplique esses resultados. Se o dobro desse produto coincidir com o segundo termo, o trinômio é quadrado perfeito. Caso contrário, o trinômio não pode ser fatorado usando esse caso, e sim um outro método que aprenderemos ao estudar as equações do 2º grau. Exemplos: Fatore a) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2 = 2x → 2 . 2x.3y ← 3y

b) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2 = x - 2.x.3 3

3.5 - Trinômio do 2º grau Característica: usa-se quando o trinômio dado não for quadrado perfeito Como fatorar: emprega-se a fórmula ax2 + bx + c = a(x - x’)(x - x”), onde x’ e x” são as raízes do trinômio dado. Exemplo: Fatore: 2x2 + 5x - 3 Solução: Resp.: 2x2 + 5x - 3 = 2(x -

Cálculo das raízes A = 25 + 24 = 49

= (2x - 1)(x + 3)

; x’ =

x=

)(x + 3)

e x” = -3

3.6 - Soma de Cubos Característica: a expressão é redutível à forma a3 + b3. Como fatorar: use a fórmula: a3

+

b3

= (a +

b)(a2 -

ab +

b2)

Exemplos: Fatore a) x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 - 2x + 4) b) 27a3 + 1 = (3a)3 + 13 = (3a + 1)(9a2 - 3a + 1)

3.7 - Diferença de Cubos Característica: a expressão é redutível à forma a3 - b3. Como fatorar: Use a fórmula a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Exemplos: Fatore a) x3 - 1 = x3 - 13 = (x - 1)(x2 + x + 1) b) a6 - 8 = (a2)3 - 23 = (a2 - 2)(a4 + 2a2 + 4)

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4 - FRAÇÕES ALGÉBRICAS Assim denominamos as frações que representam o quociente de dois polinômios, sendo o denominador um polinômio não nulo. No que se segue, as operações só são válidas no domínio da fração algébrica estudada.

4.1 - Simplificação de Frações Algébricas Regra:

- Fatore os termos da fração. - Cancele os fatores comuns ao numerador e denominador.

Exemplos: Simplifique: a)

b)

Solução:

=E

Solução: pois (y + x)(y - x) = y2 - x2

E=

E=

=

E =

E =

4.2 - Adição e Subtração de Frações Algébricas Regra: - Reduzimos as frações ao mesmo denominador - Efetuamos as operações indicadas nos numeradores - Simplificamos, se possível. Atenção: Para reduzir as frações ao mesmo denominador, você deve fatorar esses denominadores e formar o produto com os fatores comuns e não comuns com maior expoente. Solução:

Exemplo: Efetue a)

b) Solução:

=

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4.3 - Multiplicação de Frações Algébricas Regra:

- Fatore os termos das frações envolvidas. - Cancele os fatores comuns aos numeradores e denominadores. - Efetue os produtos entre os numeradores e os denominadores.

Exemplos: Efetue: a) Solução: P=

P= b) Solução: P=

pois (x + 3)(x - 3) = x2 - 9 e x . 5x = 5x2

4.4 - Divisão de Frações Algébricas Regra: Repetimos a primeira fração e a multiplicamos pelo inverso da segunda fração. Exemplo: Efetue:

Solução:

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MATEMÁTICA COMERCIAL 1- RAZÃO Definição Sejam a e b números reais, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b, ao quociente indicado entre eles. Notação: Observações: a) O fato de usarmos a mesma notação das frações para indicar a razão entre a e b, se deve ao fato de ambos os conceitos, do ponto de vista operacional, terem comportamento idêntico. b) A razão geralmente indica uma comparação. Assim, se num grupo de 10 pessoas, 7 são moças, dizemos que as moças estão presentes na razão de 7 para 10. c) Se duas grandezas são homogêneas (de mesma espécie), razão entre elas é a razão entre os números que exprimem suas medidas numa mesma unidade. Se as grandezas não forem homogêneas, a razão entre elas é simplesmente a razão entre suas medidas, em unidades convenientes. d) Algumas razões recebem nome especial. Por exemplo: Porcentagem: é a razão do tipo

. Também se representa pelo símbolo %.

= 20%.

Assim

Escala: razão muito usada em mapas e plantas. Quando se diz que um mapa está na escala isso significa que cada cm no mapa representa, no real, 1.000.000 cm ou 10 km. • Densidade: razão entre a massa e o volume de um corpo. • Velocidade: razão entre a distância percorrida por um corpo e o tempo gasto para isso. e) Propriedade fundamental das razões (para b ≠ 0 e m ≠ 0)

2- PROPORÇÃO Definição: Chama-se proporção à igualdade entre duas razões. Notação:

(b ≠ 0, d ≠ 0)

Observe que uma proporção equivale a uma igualdade de frações, e portanto temos como consequência a Propriedade fundamental das proporções: (b ≠ 0, d ≠ 0)

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,


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As proporções obedecem, ainda, às seguintes propriedades: I)

ou Obs.: essa propriedade também vale para a subtração

II)

III)

1) Calcule x, y e z se

e x + y + z = 84

Solução: 1º modo: Usando as propriedades das proporções, temos:

Como x + y + z = 84, vem: e daí vem x = 35, y = 21 e z = 28 2º modo: Faça

. Daí vem:

x = 5K, y = 3K e z = 4K. Substituindo em x + y + z = 84 5K + 3K + 4K = 84 → 12K = 84 → K = 7. Logo x = 5 . 7: x = 35 y = 3 . 7; y = 21 z = 4 . 7; z = 28

3 - PROPORÇÃO DIRETA E INVERSA Definição: Duas grandezas são diretamente proporcionais se aumentando (ou diminuindo) a primeira, a segunda aumenta (ou diminui) na mesma razão. Definição: Duas grandezas são inversamente proporcionais se aumentando (ou diminuindo) a primeira, a segunda diminui (ou aumenta) na mesma razão. Exemplo 1: Uma equipe de futebol se hospeda num hotel cinco estrelas. Observe a tabela onde se relaciona o número de dias que a equipe ficará hospedada com a despesa do time. Nº de dias Despesa (em dólar)

1

2

3

4

5

6

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Observe que se dobrarmos o número de dias, a despesa dobra, triplicando o número de dias a despesa triplica e assim por diante. Dizemos por isso que as grandezas em questão são diretamente proporcionais.

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Exemplo 2: Um grupo de operários é capaz de construir uma casa em um tempo dado de acordo com a tabela a seguir: Nº de operários

10

20

30

40

Tempo (dias)

12

6

4

3

Observe que dobrando o número de operários, o tempo cai à metade, triplicando o número de operários o tempo cai à terça parte e assim por diante. Por isso dizemos que essas grandezas são inversamente proporcionais: Observações: a) No exemplo 1, a razão entre os valores correspondentes das duas grandezas é constante. =K

K = coeficiente de proporcionalidade

b) No exemplo 2, o produto dos valores correspondentes das duas grandezas é constante: 10 x 12 = 20 x 6 = 30 x 4 = 40 x 3 = K

K = coeficiente de proporcionalidade.

c) De a e b conclui-se que se x e y são variáveis, ou grandezas, temos: Se

= K ou x = Ky implica x e y são diretamente proporcionais.

Se xy = K ou

, x e y são inversamente proporcionais. , x é diretamente proporcional a y, r e s e inversamente proporcional a t.

Assim, se

d) Muito cuidado ao classificar duas grandezas. Não basta, por exemplo, que as duas grandezas aumentem (ou diminuam). Isso deve acontecer na mesma razão. Assim, se você gasta 2h para varrer um quarto circular de 5m de raio, não é verdade que você gastará 4h para varrer outro quarto circular de 10m de raio, pois quando se dobra o raio, a área quadruplica (pois A = pr2).

4- DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS A) Divisão em Partes Diretamente Proporcionais Dividir um número N em partes diretamente proporcionais a outros é achar partes de N, diretamente proporcionais a esses outros números, e cuja soma seja N. Exemplo: Seja dividir o número 220 em partes diretamente proporcionais a 5, 2 e 4. Solução: Sejam x, y, z as partes procuradas. Então: e

x + y + z = 220

Resolvendo, utilizando as propriedades das proporções, encontra-se: x = 100; y = 40 e z = 80

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B) Divisão em Partes Inversamente Proporcionais Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a outros é achar partes de N, diretamente proporcionais aos inversos desses números e cuja soma seja N. Exemplo: Dividir o número 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6. Solução: Sendo x, y e z as partes, teremos

e

x = y + z = 45

Resolvendo pelas propriedades das proporções acha-se: x = 20; y = 15 e z = 10

C) Divisão Proporcional Composta Em alguns casos, pode ser necessário dividir um número em partes diretamente proporcionais a dois ou mais conjuntos de números ou, ainda, diretamente proporcional a um conjunto de números e inversamente proporcional a um outro conjunto. Nesses casos, é só lembrar que: - se x é inversamente proporcional a y, é diretamente proporcional a

.

- se x é diretamente proporcional a y e z, x é diretamente proporcional a y . z. Exempo 1: Dividir o número 98 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e também diretamente proporcionais a 1 e 4. Solução: Sejam x e y as partes procuradas. Temos: x é d.p. a 2 e 1 ® x é d.p. a 2 . 1 = 2 y é d.p. a 3 e 4 ® y é d.p. a 3 . 4 = 12 Logo: e x + y = 9, que resolvido dá: x = 14, e y = 84 Exemplo 2: Dividir o número 410 em partes d.p. a 3, 2 e 5 e i.p. a 4, 2 e 3. Solução: Sejam x, y e z as partes. x é d.p. a 3 e i.p. a 4 ® x é d.p. a y é d.p. a 2 e i.p. a 2 ® y é d.p. a z é d.p. a 5 e i.p. a 3 ® z é d.p. a Portanto: e

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x + y + z = 410

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que resolvido dá x = 90, y = 120 e z = 200


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5- REGRA DE SOCIEDADE Quando usamos a divisão em partes proporcionais, na divisão de lucro (ou prejuízo) de uma sociedade, dizemos ter uma regra de sociedade. Exemplo 1: Dois sócios montaram uma sorveteria. O primeiro entra com R$ 7.500,00 e o segundo com R$ 4.500,00. Ao final de um ano, a firma deu um lucro de R$ 24.000,00. Qual a parte de cada um? Solução: Quem aplicou um capital maior, deve receber uma parte maior do lucro. Logo trata-se de uma divisão em partes diretamente proporcionais, e então: .

.

e x + y = 24.000

que resolvido dá: x = 15.000 e y = 9.000 Exemplo 2: Uma sociedade deu um lucro de R$ 340.000,00. O primeiro sócio entrou com R$ 25.000,00, durante 4 meses e o segundo entrou com R$ 35.000,00 durante 2 meses. Quanto deve receber cada um? Solução: É claro que a divisão deve ser em partes d.p ao capital aplicado e também d.p ao tempo. Logo: e x + y = 340.000 o que dá x = 200.000 e y = 140.000

6 - REGRA DE TRÊS Conceito: A regra de três é uma das aplicações das proporções. Ela vai nos permitir resolver problemas que envolvem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Classifica-se em simples ou composta.

A) Regra de Três Simples É a regra de três que envolve apenas duas grandezas. Caso essas grandezas sejam diretamente proporcionais, a regra de três se diz simples e direta. Se as grandezas envolvidas forem inversamente proporcionais, a regra de três é simples e inversa. A resolução de uma regra de três consiste em calcular, em uma proporção em que três termos são conhecidos, o quarto termo. Veja alguns exemplos. Exemplo 1: Moendo 100 kg de milho, obtemos 84 kg de fubá. Quantos quilos de milho devo moer para obter 21 kg de fubá? Solução: Inicialmente, dê “nomes” às grandezas envolvidas. Em seguida, coloque os valores dados nas respectivas colunas. Verifique então se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Se forem diretamente proporcionais, lembre-se de que a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda grandeza. Depois é só calcular o termo desconhecido. Veja Milho (kg) Fubá (kg) 100 84 x 21 Como as grandezas são d.p, temos: e daí vem x = 25 kg

Resp.: 25 kg

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Exemplo 2: Se 36 operários gastam 25 dias para fazer certo serviço, em quantos dias 30 operários, do mesmo gabarito, poderão fazer o mesmo serviço? Solução: Operários

Dias

36

25

30

x

As grandezas são i.p, pois diminuindo o número de operários aumenta o número de dias para terminar a obra. Logo: (note a inversão na 2ª razão) e daí, x = 30 dias.

B) Regra de Três Composta Assim denominamos a regra de três que envolve mais de duas grandezas. Para resolver uma regra de três composta, nós dispomos os valores dados nas respectivas colunas. Em seguida, classificamos as grandezas conhecidas em relação à grandeza que contém o valor desconhecido. Após isso, igualamos a razão entre os valores da grandeza que contém a variável com o produto das razões das outras grandezas, lembrando que se uma grandeza for i.p, devemos inverter a ordem de seus valores. Veja exemplos: Exemplo 1: Numa fábrica, 10 máquinas trabalhando 20 dias produzem 2.000 peças. Quantas máquinas serão necessárias para produzir 1.680 peças em 6 dias? Solução: Máquinas 10 x

Dias 20 6 i.p

Nº de peças 2.000 1.680 d.p

Classificando as grandezas Dias e Nº de peças em relação à grandeza Máquina, verifica-se que a primeira é inversamente proporcional e a segunda é diretamente proporcional. Portanto: e daí x = 28 máquinas Observação: Ao classificar uma grandeza, considere as demais como constantes. Exemplo 2: Trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, 10 engenheiros executam projetos de 5 pontes. Quantos engenheiros seriam necessários para projetar 8 pontes, trabalhando 8 horas por dia, durante 15 dias? Solução: horas/dia 6 8 i.p

dias 10 15 i.p

nº engenheiros 10 x

Logo:

e daí x = 8

Resp.: 8 engenheiros

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projetos 5 8 d.p


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7- PORCENTAGEM Uma razão especial Como já vimos, a porcentagem é uma razão da forma Assim

= 20%;

, que também pode ser escrita como a%.

= 3% e assim por diante.

Como a razão exprime uma comparação, na porcentagem essa comparação é feita sempre em relação a um grupo de 100. Desse modo, quando dizemos que o salário teve um aumento esse mês de 25%, isso significa que para cada R$ 100,00, tivemos um acréscimo de R$ 25,00.

8- COMPARANDO NÚMEROS ATRAVÉS DA PORCENTAGEM Suponha que o preço de uma mercadoria sofreu um acréscimo de R$ 80,00. Esse aumento é grande ou pequeno? Para responder a essa pergunta, é preciso que saibamos qual o preço da mercadoria para compará-lo com o aumento dado. Isso pode ser feito de uma maneira muito simples. Basta efetuar a divisão entre esses números. Se, além disso, exprimirmos o resultado obtido como uma razão de conseqüente 100, obteremos a porcentagem do aumento, que indica em 100, qual foi o aumento dado. Suponhamos, por exemplo, que o preço original da mercadoria fosse R$ 200,00. Então a porcentagem do aumento seria:

Ou seja, o aumento é de 40%, significando isso que para cada 100 reais no preço, houve um aumento de 40 reais. Esse exemplo mostra que toda porcentagem pode ser colocada na forma de número decimal e vice-versa. Veja alguns exemplos: a) b) c) d)

1) Comprei um objeto por R$ 20,00 e o revendi por R$ 25,00. Qual a minha porcentagem de lucro? Solução: 1º modo: Observe que o meu lucro foi de 5,00. Logo: 20 5

100

e daí,

x

2º modo:

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2) Uma mistura foi feita com 12 litros de água e 8 litros de álcool. Determine a porcentagem de álcool na mistura. Solução: Só usaremos o 2º modo

3) A média de reprovação em concursos públicos é de 82%. Quantas pessoas serão aprovadas num concurso com 6.500 inscritos? Solução: Se 82% são reprovados, então 100 - 82 = 18% são aprovados. 1º modo: 6500

100

x

18

;

2º modo: 18% = 0,18. Logo, 18% de 6500 é 0,18 . 6500 = 1170 4) Meu salário é hoje de R$ 810,00. Se eu tiver um aumento de 32%, qual será meu novo salário? Solução: O salário novo será 100% do salário antigo mais 32% do salário antigo, ou seja 132% do salário antigo. Logo: (lembre-se 132% =

= 1,32).

salário novo = 1,32 . 810,00 = 1,069,20 Resp.: R$ 1.069,20 5) Em um certo país, as taxas de inflação em um trimestre foram: 1º mês = 10%, 2º mês = 15% e 3º mês = 17%. Qual foi a inflação nesse país no trimestre em questão? Solução: Seja x o preço de uma mercadoria qualquer nesse país. Após o primeiro mês, o novo preço dessa mercadoria deveria ser, caso sofresse correção automática da inflação, de 1,10 . x. Após o 2º mês, 1,15 . (1,10 x). E após o 3º mês, 1,17 . 1,15 . (1,10 x) ou seja, 1,48 x. Logo, a inflação é de 48% no trimestre. 6) Uma certa mercadoria custa R$ 350,00. Se eu pagar essa mercadoria à vista, obtenho um desconto de 12%. Por quanto ela me sairá à vista? Solução: Se tenho 12% de desconto, pagarei (100 - 12), 88% do preço. Logo, o preço à vista será 0,88 . 350,00 = 308,00. Resp.: R$ 308,00

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7) Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 4.000,00, se quero ganhar 20% sobre o preço de venda?

ITAPECURSOS

8) Calcule o preço de venda de uma mercadoria que comprei por R$ 8.000,00, tendo perdido 25% do preço de venda. Solução:

Solução: Considerando que o preço de venda é 100%, é fácil ver que o preço da compra equivale então a 80%.

Sendo o preço de venda 100%, o preço de compra representará nesse caso 125%. Então:

Logo:

8000 x

4.000 - 80 x - 100 , o que dá x = 5000

100

x = 6400

Outro modo: preço compra = (1 + 0,25) . preço venda.

Outro modo: preço compra = (1 - 0,20) . preço venda. Logo: preço venda =

125

= 5000

Logo: preço venda =

= 6400

9- JUROS Suponha que você empreste a alguém R$ 1000,00. Ao fazer essa transação, você combina com essa pessoa: a) o prazo após o qual esse valor deverá ser devolvido a você. b) um valor, que você acha justo, essa pessoa deverá pagar-lhe findo o prazo do empréstimo, como uma “remuneração” pelo seu dinheiro que ficou disponível nas mãos dessa pessoa. Esse acréscimo ao capital emprestado é que chamamos de juro. O juro é calculado sempre após um determinado período e combinado no ato da transação. Para simplificar o cálculo, é comum expressá-lo através de uma taxa, a taxa de juros. Assim, por exemplo, numa certa transação podemos combinar uma taxa de 5% ao mês. Isso significa que para cada R$ 100,00, o tomador deve pagar, após o período de um mês, R$ 5,00. O juro é simples se tiver taxa fixa e for calculado sempre sobre a quantia inicial. Por exemplo, se você emprestar R$ 100,00, a 5% ao mês, receberá ao fim do 1º mês R$ 5,00 de juro. Ao fim do 2º mês, mais R$ 5,00 de juro e assim por diante. Normalmente, o que ocorre é o juro ser acrescido ao capital, após o 2º mês a taxa de juro incide sobre esse montante e assim por diante. Nesse caso, temos o juro composto.

10- CÁLCULO DO JURO SIMPLES

11- CÁLCULO DO JURO COMPOSTO M = C . (1 + i)t M ® montante (capital + juros) C ® capital i ® taxa (deve ser expressa na forma decimal) t ® tempo Obs.: i e t devem estar na mesma unidade Obs.: Normalmente alguns problemas de juros compostos podem ser resolvidos usando porcentagem. Matemática - M1

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FUNÇÃO 1 – RELAÇÃO BINÁRIA Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B ao conjunto A x B tal que: A x B = {(x,y) : x ∈ A e y ∈ B} Obs.: Se A ou B for vazio, A x B = ∅

Assim, se A = {1,3,5} e B = {2,4,6} então: A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6)} Um subconjunto qualquer de A x B é chamado de relação binária de A em B. Logo, os subconjuntos de A x B, a seguir, são relações de A em B. R1 = {(1,2), (3,4), (5,2)} R2 = {(3,2), (5,4)} R3 = {(1,2), (3,4), (3,6), (5,2)}

2 – FUNÇÃO: UMA RELAÇÃO ESPECIAL Definição Sejam, A e B dois conjuntos. Uma relação f de A em B é função se para todo x ∈ A, existe um único y ∈ B, tal que (x, y) ∈ f. De acordo com essa definição, das três relações dadas no item anterior, somente R1 é função. R2 não é função, pois o número 1 de A não aparece como abscissa de R2, ou seja, 1 não corresponde com nenhum elemento de B. Já R3,não é função porque 3 aparece duas vezes como abscissa dos pares de R3, ou seja, 3 corresponde mais de uma vez. Uma relação pode também ser representada através de um diagrama. Veja os exemplos: a)

A

B

1.

.4

2.

.5

3.

.6

É função, pois todo x ∈ A tem um único y ∈ B, tal que (x, y) pertence à relação.

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b)

A

B

1.

.4

2.

.5

3.

.6

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Não é função, pois para 2 ∈ A, não existe y ∈ B, tal que (2, y) pertença à relação.

c)

A

B

1.

.4

2.

.5

3.

.6

Não é função, pois para 2 ∈ A, existem dois valores y ∈ B, tal que (2, y) pertence à relação.

3 – NOTAÇÃO PARA AS FUNÇÕES Dada uma função f, se (x, y)

∈ f, diremos que y é a imagem de x pela função, ou y é o valor de f em x, e

indicaremos isso por: y = f(x) Veja um exemplo: Seja A = {-1, 0, 1} e f uma relação de A em A dada por f = {(-1, 0), (0, -1), (1, 1)}. Então: f (-1) = 0, lê-se f de menos um é igual a zero. f (0) = -1 f (1) = 1 Para indicar que uma relação f de A em B é uma função, usamos a notação: f: A → B x → y = f (x) Os conjuntos A e B entre os quais se define uma função podem ser de qualquer natureza. Porém, geralmente A e B serão subconjuntos de R. Quando isso acontece, dizemos que f é uma função real de variável real. Para essas funções é comum dar-se apenas a fórmula que relaciona os elementos ou simplesmente condições às quais a função obedece.

4 – FUNÇÕES DADAS POR FÓRMULAS Exemplo 1: Seja f: R → R definida por f (x) = 2x – 1. Calcule: a) f (3)

c) f (x –1)

b) f ( ½ ) Matemática - M1

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Solução: a) Para calcular f (3) basta substituir, na fórmula de f, a variável x pelo número 3 e efetuar as operações. Assim: f (3) = 2 . 3 – 1

;

f (3) = 6 – 1 = 5

b) f ( ½ ) = Obs.: Se f ( a ) = 0, dizemos que a é raiz da função Logo,

é raiz de f ( x ) = 2x – 1, pois f ( ½ ) = 0

c) f (x – 1) = 2 . (x – 1 ) – 1 ; f ( x – 1 ) = 2x – 2 – 1 f ( x – 1 ) = 2x – 3 Exemplo 2: Seja a função f definida por Calcule f ( 0 ) – 3 f ( 2 ) Solução: Como 0 < 1,

f(0)=2.0+1=1

Como 2 > 1,

f ( 2 ) = 22 – 1 = 3

Logo f ( 0 ) – 3 . f( 2 ) = 1 – 3 . 3 = – 8

5 – DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO Seja f uma função de A em B. Chamaremos de domínio de f ao conjunto dos x ∈ A, para os quais existe y ∈ B com (x,y) ∈ f. Representaremos o Domínio de uma função f por D(f). Por imagem da função f entendemos o conjunto dos y ∈ B para os quais existe x ∈ A, tal que (x,y) ∈ f. Representaremos a imagem da função f por Im(f). No caso da função ser dada por uma fórmula, o domínio de f é o conjunto dos x ∈ R para os quais f(x) é real. Para calcular o domínio de algumas funções, é bom lembrar que: a) Se y =

, então D ≠ 0.

b) Se y =

com n par, então A ≥ 0

c) Se y =

com ímpar, A é real.

6 – GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Pela definição dada, uma função é um conjunto de pares ordenados. Como a cada para ordenado está associado um ponto do plano, a representação dos pares ordenados da função, no plano cartesiano, constitui o gráfico da função. Se for dado o gráfico de uma relação, para verificarmos se a relação é função, usamos o “teste da vertical”. Esse teste consiste em imaginarmos retas verticais traçadas no plano do gráfico. Se pelo menos uma dessas retas cortar o gráfico em mais de um ponto, ele não representa função.

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Assim, por exemplo, para os gráficos a seguir teremos: I)

Não representa função, pois a reta tracejada, indicada na figura, corta o gráfico em dois pontos, o que equivale a dizer que existe um x que corresponde com dois y.

II)

Representa uma função, pois qualquer reta vertical intercepta o gráfico no máximo em um ponto.

1) Determine o domínio e a imagem da função cujo gráfico está representado a seguir:

Solução: Cada ponto do gráfico tem uma abscissa e uma ordenada. O domínio é formado pelas abscissas dos pontos do gráfico e a imagem pelas ordenadas. Basta então imaginarmos as “projeções” do gráfico sobre os eixos dos x, para o domínio, e dos y, para a imagem. Concluiremos que: D = {x ∈ R : – 2 < x ≤ 3} Im = {y ∈ R : – 4 < x ≤ 2}

2) Sejam f e g funções cujos gráficos são dados a seguir

a) para que valores de x, f(x) = g(x)? b) para que valores de x, f(x) > g(x)? c) para que valores de x, f(x) < g(x)?

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Solução: a) Graficamente, f(x) = g(x) nos pontos comuns aos gráficos de f e g, ou seja, nas interseções dos gráficos de f e g. Então a resposta é, x = –1 ou x = 2. b) f(x) > g(x) nos pontos onde o gráfico de f está acima do gráfico de g. Pelos gráficos, a resposta é: x < –1 ou x > 2. c) Para que f(x) < g(x), o gráfico de f deve estar abaixo do gráfico de g. Portanto, -1 < x < 2.

3) Estude o sinal da função f, cujo gráfico é dado a seguir:

Solução: Estudar o sinal de uma função é dizer: – para que valores de x, f(x) = 0, ou seja, quais as raízes da função. – para que valores de x, f(x) > 0 – para que valores de x, f(x) < 0

ora, f(x) = 0 quando o gráfico de f corta o eixo x, ou seja, em x = –1, x = 0, x = 2. Para que f(x) > 0, o gráfico de f deve estar acima do eixo dos x, e isso acontece se: –1 < x < 0 ou x > 2. Finalmente, f(x) < 0 quando o gráfico de f está abaixo do eixo x, ou seja, para x < –1 ou 0 < x < 2. Resumindo: f(x) > 0 se –1 < x < 0 ou x > 2 f(x) = 0 se x = –1 ou x = 0 ou x = 2 f(x) < 0 se x < –1 ou 0 < x < 2

7- FUNÇÃO COMPOSTA Definição: Sejam as funções f: A → B e g : B → C. Chama–se composta de g e f a função gof : A → C tal que (gof) (x) = g(f (x)) Exemplo: Veja o diagrama. De acordo com ele, temos: (gof)(1) = 9 (gof)(2) = 10 (gof)(3) = 11 Observe que para fazermos a composta entre g e f, x deve estar no domínio de f e f(x) deve estar no domínio de g. Além disso, de um modo geral, gof ≠ fog. No nosso exemplo, observe que nem existe fog, pois g(x) ∈ C e C é diferente do domínio de f.

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1) Sejam as funções reais f e g definidas por f(x) = 2x – 3 e g(x) = x2 + 1. Calcule: a) (gof)(1)

c) (gof)(x)

b) f(g(2))

d) f(g(x))

Solução: a)

b) c) símbolo (gof)(x) = g(f(x)) e aqui se pede para substituir, na função g, o x por f(x).

Portanto: g(f(x)) = [f(x)]2 + 1 = (2x – 3)2 + 1 = 4x2 – 12x + 10 d) f(g(x)) = 2g(x) – 3 = 2(x2 + 1) – 3 = 2x2 – 1

2) Se f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + K, ache K para que (fog)(x) = (gof)(x). Solução: f(g(x)) = 2g(x) – 1 = 2(3x + K) – 1 = 6x + 2K – 1 g(f(x)) = 3f(x) + K = 3(2x – 1) + K = 6x – 3 + K Como fog = gof, teremos: 6x + 2K – 1 = 6x – 3 + K e daí, K = –2. 3) Sejam as funções f(x) =

e g(x) = 2x + 3.

a) Determine o domínio de f e o de g. b) Determine o domínio de fog e gof.

Solução: a) D(f) = {x ∈ R: x ≠ 2} D(g) = R b) Domínio de fog. Como já dissemos, o domínio de fog é formado pelos elementos do domínio de g para os quais g(x) está no domínio de f. Logo: x ∈ D(g)

→x∈R

g(x) ∈ D(f) → 2x + 3 ≠ 2 ; x ≠ – ½ Então, D(fog) = {x ∈ R: x ≠ – ½ }

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Domínio de gof x ∈ D(f) → x ≠ 2 f(x) ∈ D(g) → f(x) ∈ R Logo D(gof) = {x ∈ R: x ≠ 2}

4) Se f(x) = 3x – 2 e f(g(x)) = x + 1, determine g(x): Solução: f(g(x)) = x + 1 ;

3g(x) – 2 = x + 1 ;

g(x) =

Resp: g(x) =

8 – FUNÇÃO INVERSA 8.1- INTRODUÇÃO Observe as funções, cujos diagramas estão representados a seguir.

(I)

(II)

(III)

Em todos eles, temos funções de A em B. Se pensarmos nas relações de B em A, ou seja, nas relações inversas que eles determinam, verificamos que: – no caso do diagrama I, a relação inversa não determina uma função, pois o elemento 5 imagens, 2 e 3.

∈ B, tem duas

– para o diagrama II, a relação inversa também não determina uma função, pois o elemento 7 ∈ B, não tem imagem. – já no caso do diagrama III, a relação inversa determina uma função, pois todo elemento de B tem uma única imagem em A. Veremos, a partir de agora, as condições para uma função ser inversa.

8.2- DEFININDO TIPOS DE FUNÇÃO Definição 1: Uma função f é injetora se para todo x1 e x2 do seu domínio, com x1 ≠ x2, tivermos f(x1) ≠ f(x2)

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De acordo com essa definição, uma função injetora faz elementos diferentes do domínio terem imagens diferentes. Se a função for dada pelo seu gráfico, para ver se ela é injetora usa–se o “teste da horizontal” que consiste em traçar retas horizontais no plano do gráfico. Se pelo menos uma reta horizontal cortar o gráfico em mais de um ponto, a função não é injetora. Definição 2: Uma função f: A → B é sobrejetora se Im(f) = B Definição 3: Uma função que é simultaneamente injetora e sobrejetora se diz bijetora. Se você estudar agora os diagramas I, II e III anteriores, verá que a condição para uma função ter inversa é que ela seja uma função bijetora.

8.3- A FUNÇÃO INVERSA Definição: Seja f: A → B uma função bijetora. Chama–se inversa de f e representa–se por f–1 à função f–1: B → A tal que, f(x) = y ↔ f–1 (y) = x Observações: a) D(f) = Im(f–1) e Im(f) = D(f–1) b) O gráfico de f–1 é simétrico ao gráfico de f em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes. No caso da função ser dada por uma fórmula, considerando um domínio onde ela seja bijetora, a inversa é encontrada do seguinte modo: 1º) na fórmula y = f(x), trocamos y por x e x por y. 2º) Calculamos o y. Exemplo: Ache a inversa de y = 2x – 3 Solução: y = 2x – 3

 

x = 2y – 3 ; x + 3 = 2y ; y =

Resp: f–1(x) =

9 – PARIDADE DE UMA FUNÇÃO Definição: Uma função f é par se para todo x de seu domínio temos f(–x) = f(x). Graficamente, isso significa que se a função é par seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Definição: Uma função f é ímpar se para todo x de seu domínio temos f(–x) = –f(x). Isso significa que o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

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10 – FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE Definição: Uma função f é crescente num intervalo I se para todo x1 e x2 de I com x1 < x2 tivermos f(x1) < f(x2).

Definição: Uma função I é decrescente num intervalo I, se para todo x1, x2 de I, com x1 < x2 tivermos f(x1) > f(x2).

11 – MÁXIMO E MÍNIMO Veja o gráfico a seguir:

Fica claro que f(b) é o maior valor que a função assume e f(c) é o menor valor. Diremos que: – b é o ponto de máximo da função e f(b) é o máximo de f. – c é o ponto de mínimo e f(c) é o mínimo da função. Além disso, para um pequeno intervalo contendo a, f(a) é o mínimo, e para um pequeno intervalo contendo d, f(d) é o máximo de f nesse intervalo. Nesses casos, diremos que: – a é ponto de mínimo local, e f(a) é mínimo local. – d é ponto de máximo local e f(d) é máximo local. Resumindo: Definição: Se f(x) ≤ f(x0 ) para todo x do domínio de f, dizemos que x0 é ponto de máximo e f(x0) é o máximo da função. Definição: Se f(x) ≥ f(x0) para todo x do domínio de f, dizemos que x0 é ponto de mínimo e f(x0) é o mínimo da função.

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FUNÇÃO DO 1º GRAU 1- FUNÇÃO CONSTANTE Seja f: R → R a função definida por f(x) = C, onde C é um número real qualquer. Chamaremos a uma tal função de função constante. Observe que para todo x ∈ R, f(x) = C. É fácil ver que o gráfico de uma função constante, f(x) = C, é uma reta horizontal passando pelo ponto (0,C). Exemplos: a) f(x) = 2

b) f(x) = –1

2- FUNÇÃO DO 1º GRAU Sejam a e b números reais, com a ≠ 0. Chamamos de função do 1º grau, ou função afim, à função f: R → R, definida por f(x) = ax + b. Ao número a denominaremos coeficiente angular e ao número b, coeficiente linear. Exemplos: a) f(x) = x Nesse caso, a = 1 e b = 0. Essa função é chamada também de função identidade. b) f(x) = 2x Aqui, a = 2 e b = 0. Se f(x) = ax, com a ≠ 0, dizemos que f é uma função linear. c) f(x) = –x + 3 Agora a = –1 e b = 3. É o caso geral de uma função afim.

3- GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU Quando estudarmos a geometria analítica, provaremos que o gráfico de uma função do 1º grau é uma reta, portanto para obtê-lo podemos escolher dois valores arbitrários para x e calcular o y correspondente. Depois é só colocá-los no plano cartesiano e uni-los por uma reta. Veja: Esboce os gráficos: a)

y = 2x –1 x

y

0

-1

1

1

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b)

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y=-x+2 x

y

0

2

1

1

4- O SIGNIFICADO DOS COEFICIENTES 4.1- O COEFICIENTE LINEAR Seja f(x) = ax + b. Para achar a interseção do gráfico de f com o eixo y, observe que basta calcular f(0). Como f(0) = b, então o coeficiente linear é a ordenada do ponto de interseção entre a reta e o eixo y. Veja:

4.2- O COEFICIENTE ANGULAR Seja f(x) = ax + b, e x1 e x2 dois números, tal que x1 < x2. Temos que f(x2) = ax2 + b e f(x1) = ax1 + b. Logo f(x2) – f(x1) = ax2 – ax1, e daí vem que:

Como x2 – x1 é positivo, temos que: a) Se a > 0, f(x2) – f(x1) > 0 ou f(x2) > f(x1) e então a função é crescente. b) Se a < 0, f(x2) – f(x1) < 0 ou f(x2) < f(x1) e nesse caso f é decrescente.

5- A RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU Como já vimos, raiz de uma função é o valor de x para o qual f(x) = 0. No caso da função afim, para achar a raiz é só resolver a equação ax + b = 0 e encontraremos x = – Graficamente, x = –

é a abscissa do ponto de interseção do gráfico com o eixo x.

6- IMAGEM DA FUNÇÃO AFIM Seja f(x) = ax + b, uma função afim, e K ∈ R. Se fizermos x = f(

então f (

)=a.(

) + b, ou seja,

) = K. Logo, qualquer que seja K ∈ R, existe x tal que f(x) = K e então a imagem de f: R → R, tal que

f(x) = ax + b é R. Em outras palavras, a função afim é sobrejetora em R. Mostre você que f é injetora.

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7- ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU 1ª hipótese: a > 0

2ª hipótese: a < 0

Em qualquer dos casos temos: a) à direita da raiz, a função tem o mesmo sinal de a. b) à esquerda da raiz, a função tem o sinal contrário ao de a. Em resumo:

sinal contrário de a

mesmo sinal de a raiz

Seja discutir o sinal das funções a seguir: b) y = (x + 1)(2 – x)

a) y = 1 – 2x

Solução:

Solução:

Raízes: x + 1 = 0 : x = –1 Cálculo da raiz: 1 – 2x = 0; x = Diagrama do sinal +++

Resp: y > 0 se x < ½

2–x=0:x=2 Diagrama do sinal -1

--––

++

++

x+1

++

++

––

2-x

––

++

––

(x + 1) (2 - x)

-1

y = 0 se x = ½ y < 0 se x > ½

2

2

Obs.: As raízes são colocadas em ordem crescente. Resp: y > 0; se –1 < x < 2 y = 0; se x = –1 ou x =2 y < 0; se x < –1 ou x > 2

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8- INEQUAÇÕES ENVOLVENDO FUNÇÕES DO 1º GRAU Resolva as inequações a seguir: a) (x + 1)4 ≤ 0 Solução: Essa inequação equivale a: (x + 1)4 < 0, que dá S1 = ∅ ou (x + 1)4 = 0, que dá S2 = {–1} Como S = S1 ∪ S2, temos: S = {–1} b) (2x + 1)5 ≥ 0 Solução: Se uma potência tem expoente ímpar, o sinal do resultado coincide com o sinal da base. Logo: (2x + 1)5 ≥ 0 ; 2x + 1 ≥ 0 ; x ≥ –

e então: S = {x ∈ R: x ≥ – }

c) 2x – 1 < –x + 1 < x + 2 Solução:

A inequação dada equivale a: A solução S é achada fazendo–se a interseção das soluções das inequações anteriores. Logo: 2x –1 < –x + 1

→x<

–x + 1 < x + 2

→x>–

Cálculo de S

S = {x

∈ R: –

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<x<

2 } 3

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d) (2x + 1) (3 – x) > 0 Solução:

-1/2

Usamos o quadro de sinais. S = {x

∈ R: –

< x < 3}

3

---

+++

+++

2x + 1

+++

+++

---

3-x

---

+++

---

P

-1/2

3

e) (x + 1)3 . (3 – x)4 ≤ 0 Solução: Ao discutir os sinais das funções, lembre–se de que: – Se o expoente é ímpar, a potência tem o sinal da base, ou seja, se o expoente é ímpar, esqueça–o – Se o expoente é par, o resultado é sempre maior ou igual a zero. Teremos, então: -1 Se {x ∈ R: x ≤ – 1 ou x = 3}

3 3

---

+++

+++

(x + 1)

+++

+++

+++

(3 - x)

---

+++

+++

P

-1

4

3

f) Solução: 2 S = {x

∈ R: x ≤

ou x > 2}

---

+++

+++

2x - 1

---

---

+++

x-2

+++

---

+++

Q

2

Atenção:

No caso das inequações quocientes, não inclua na solução os valores que anulam o denominador.

g) Solução: -1

S = {x

∈ R : –1 ≤ x < 0}

0

++

---

--

--

---

++

2x

--

+++

--

Q

-1

-x - 1

0

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FUNÇÃO DO 2º GRAU 1- DEFINIÇÃO Chamamos de função do 2º grau ou função quadrática à função f : R → R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. Exemplos: a) f(x) = 3x2 – 2x + 5 ; a = 3, b = –2 ; c = 5; b) f(x) = x2 + 3 ; a = 1, b = 0 ; c = 3; c) f(x) = –x2 + 2x ; a = –1, b = 2, c = 0

2- GRÁFICO No momento, o único modo de esboçar o gráfico da função quadrática é através de uma tabela. No entanto, algumas propriedades que veremos nos permitirão esboçar tal gráfico de modo muito mais fácil. No estudo da geometria analítica, provaremos que o gráfico da função quadrática é uma curva denominada parábola, que pode ter as seguintes formas:

No primeiro caso, dizemos que a parábola tem a concavidade para cima. Isso acontece sempre que a > 0. No segundo caso, dizemos que a concavidade da parábola é para baixo, e para isso a < 0.

3- INTERSEÇÃO COM OS EIXOS 3.1- INTERSEÇÃO COM O EIXO Y Como já sabemos, para determinar o ponto de interseção entre o gráfico de y = f(x) e o eixo y, basta calcular f(0). No caso da função quadrática, f(0) = C. Logo, a interseção da parábola com o eixo y é o ponto (0, C).

3.2- INTERSEÇÃO COM O EIXO X A interseção do gráfico de uma função y = f(x) com o eixo x é chamada de raiz da função e é encontrada resolvendo-se a equação f(x) = 0. No caso da função do 2º grau, isso se reduz a resolver a equação ax2 + bx + c = 0, que é uma equação do 2º grau, a qual estudaremos a seguir.

4- EQUAÇÃO DO 2º GRAU É toda equação redutível à forma ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0. Para achar suas raízes, usa-se a fórmula de Báskhara: onde ∆ = b2 – 4ac é chamado de delta ou discriminante.

x=

Observe que se: • ∆ > 0, a equação terá 2 raízes reais distintas.

Demonstra–se ainda que se x1 e x2 são as raízes das equações ax2 + bx + c = 0, então

• ∆ = 0, a equação terá 2 raízes reais iguais. • ∆ < 0, a equação não terá raízes reais. .

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Essas relações são conhecidas como relações de Girard para a equação do 2º grau.


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5- A IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Achar a imagem de f(x) = ax2 + bx + c é procurar para que valores de y existe x tal que ax2 + bx + c = y ou ax2 + bx + c – y = 0 para que essa equação tenha solução ∆ ≥ 0. Logo: b2 – 4 . a . (c – y) ≥ 0

{

b2 – 4ac + 4ay ≥ 0

∆ + 4ay ≥ 0 ou 4ay ≥ – ∆ Temos então duas hipóteses: 1ª hipótese: a > 0 Nesse caso 4a > 0 e então y ≥ – Portanto, para a > 0, os valores de y para os quais existe x tal que ax2 + bx + c = y são aqueles para os quais y≥–

ou seja:

a > 0, Im(f) = {y ∈ R: y ≥ –

}

2ª hipótese: a < 0 Nesse caso, 4a < 0 e então y ≤ –

, logo a < 0, Im(f) = {y ∈ R: y ≤ –

}

Exemplo: Determine a imagem da função f(x) = 2x2 – 3x + 1 Solução:

∆=9–4.2.1=1 –

=–

1 . Logo, como a > 0 8

Im(f) = {y ∈ R: y ≥ – }

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6- VÉRTICE, MÁXIMO E MÍNIMO Analisemos com mais detalhe a situação descrita no item anterior. Para fixar idéias, seja f(x) = ax2 + bx + c, com a > 0. Então, o gráfico de f é uma parábola, com a concavidade para cima, tal que Im(f) = {y ∈ R: y ≥ –

}

Vemos então que a função apresentará um mínimo igual a yv = – Ao ponto de ordenada Yv = –

chamamos de vértice. Para

achar sua abscissa, basta resolver a equação ax2 + bx + c = –

. Resolvendo–a, você achará xv = –

Resumindo, para a > 0: . Im(f) = {y ∈ R: y ≥ –

}

. A função tem um mínimo igual a yv = – . O ponto V (vértice) tem coordenadas iguais a (

.–

)

De modo semelhante teríamos, para a < 0: . Im(f) = {y ∈ R: y ≤ –

}

. A função tem máximo igual a yv = – . As coordenadas do vértice são (–

,–

)

7- O GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Para esboçar o gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, siga o seguinte roteiro: a) Verifique a concavidade da parábola. a > 0 ; concavidade para cima. a < 0 ; concavidade para baixo. b) Ache a interseção com o eixo y: (0, C) c) Calcule as raízes da função. d) Determine o vértice. e) Esboce o gráfico.

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8- ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Vamos deduzir as regras de discussão através do estudo gráfico. É lógico que isso não é uma demonstração, mas é um modo simples de “ver” o estudo de sinal. 1ª hipótese: ∆ > 0 Nesse caso, a função tem duas raízes reais distintas e isso significa que seu gráfico corta o eixo x em dois pontos diferentes. Teremos: a>0

a<0

Observe que em ambos os casos, vale a regra m/a

c/a x1

onde:

m/a x2

• m/a significa que a função toma valores com o mesmo sinal de a. • c/a significa que f assume valores com sinal contrário ao sinal de a. 2ª hipótese: ∆ = 0 Nesse caso, a função tem duas raízes reais e iguais. Então, seu gráfico tangencia o eixo x, e podemos ter os seguintes casos: a>0

a<0

Conclui-se, daí, a regra: m/a

m/a x1 = x2

3ª hipótese: ∆ < 0 Agora temos uma função que não admite raízes reais. Seu gráfico então não tem nenhum ponto em comum com o eixo x. a>0

a<0

Vale a regra: m/a Matemática - M1

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9- INEQUAÇÕES ENVOLVENDO FUNÇÕES QUADRÁTICAS Resolva as inequações a seguir: a) 2x2 – 7x + 3 < 0 Solução: raízes:

e 3 (Calcule–as)

Diagrama de sinal

++

--1/2

++ 3

Queremos que f(x) < 0. Tomamos então x no intervalo em que aparece o sinal de menos, e então: S = {x

∈ R:

< x < 3}

Observação: As raízes não pertencem à solução, pois nos interessa x para os quais f(x) < 0. Elas só seriam incluídas na solução se fosse pedido f(x) ≤ 0, ou seja, se aparecesse na inequação o sinal de igual.

b) –x2 + 4x – 4 < 0 Solução: raiz: 2 Diagrama de sinal

- - -

S = {x ∈ R: x ≠ 2}

- - 2

Observação: • para –x2 + 4x – 4 ≤ 0, temos S = R • para –x2 + 4x – 4 > 0, temos S = ∅ • para –x2 + 4x – 4 ≥ 0, temos S = {2} c) (–x2 – 2x + 3) . (x2 – 4x + 4) ≤ 0 Solução: . raízes de (–x2 – 2x + 3) : –3 e 1 . raízes de (x2 – 4x + 4) : 2 Diagrama de sinais (raízes em ordem crescente) -3 S = {x ∈ R: x ≤ –3 ou x ≥ 1}

Observação: 2

Para (–x – 2x + 2)(x – 4x + 4) < 0, teríamos S = {x ∈ R: x < –3 ou x > 1 e x ≠ 2}

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2 2

--

++

- -

--

-x - 2x + 3

++

++

++

++

x - 4x + 4

--

++

- -

--

P

-3 2

1

1

2

2


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FUNÇÃO MODULAR 1– DEFINIÇÃO Chamamos de função modular à função f: R → R definida por: f(x) = Como já vimos,

≥ 0 para todo x real, logo Im(f) = R . +

2– GRÁFICO De acordo com a definição de função modular, seu gráfico é formado pela parte do gráfico da reta y = x para o qual x ≥ 0 e pela parte do gráfico de y = –x para o qual x < 0.

Para fazer o gráfico de funções que envolvem o conceito de módulos, nós, usando a definição, representamos a função através de várias sentenças. Em seguida, fazemos os gráficos das sentenças encontradas e, finalmente, tomamos a parte do gráfico que nos interessa. Veja alguns exemplos:

a) f(x) = Solução: Façamos o diagrama de sinal para a função y = x – 2, só que no lugar dos sinais + e – colocamos a própria função, quando x – 2 ≥ 0 e o simétrico dela se x – 2 < 0. Teremos: -x + 2 2

Logo: f(x) =

x-2

=

Agora é só fazer o gráfico.

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b) f(x) = Solução: Aqui podemos adotar um procedimento diferente. Faça inicialmente o gráfico de y = x2 – 2x – 3. Depois lembre–se de que ao tomar o módulo, o que se faz é tornar positiva a parte do gráfico que era negativa. Veja:

3– EQUAÇÕES MODULARES Para resolver uma equação modular use as propriedades: a) Se a > 0 ,

= a ↔ f(x) = a ou f(x) = –a

↔ f(x) = g(x) ou f(x) = –g(x)

b)

=

c)

= f(x) ↔ f(x) ≥ 0

d)

= –f(x) ↔ f(x) ≤ 0

Se a equação dada não se enquadrar em nenhuma das propriedades anteriores, use a definição de módulo e transforme a equação dada em outras que lhe sejam equivalentes.

1) Resolva as equações: a)

=1

Solução: = 1 ↔ 5 – 3x = 1

ou

5 – 3x = –1. Logo:

5 –3x = 1

5 – 3x = –1

–3x = –4

–3x = –6

x=

4 3

x=2

S = {2,

}

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b)

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= –5

Solução:

≥ 0, não existe x satisfazendo à equação acima e então

Como S=

c) Solução: Teremos: 3x – 2 = 1 – x

3x –2 = – 1 + x

4x = 3

2x = 1

x=

3 4

x=

S = { ½, ¾ }

d)

= 2x – 3

Solução: De acordo com a propriedade C, temos: = 2x – 3 ↔ 2x – 3 ≥ 0 ou x ≥ . Logo, S = {x ∈ R: x ≥ }

=x–5

e) Solução:

Observe que x – 5 é simétrico de 5 – x e então S = {x

= x – 5 ↔ 5 – x ≤ 0 ; x ≥ 5.

∈ R: x ≥ 5}

f) 2 Solução: Para resolver essa equação, faça

= y. Teremos:

2y2 – 5y – 3 = 0, que resolvida dá y = 3 e y = – Se y = 3, obteremos |x| = 3; x = ± 3 Se y = –

, |x| = –

não admite solução. Portanto:

S = {–3, 3} g) |x + 1| = 3x + 2

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Solução: Para que essa equação admita solução, devemos ter 3x + 2 ≥ 0, ou seja, x ≥ – 2/3 ( I ) Nessas condições, |x+ 1| = 3x + 2 acarreta: x+1=3x+2

ou

x + 1 = -3x - 2

-2x = 1

4x = -3

x=–

x=

Como

não satisfaz à condição ( I ), teremos: S =

h) |x + 1| - |x| = 2x + 1

Solução: Nesse caso, devemos substituir os módulos por expressões eqüivalentes e para isso, usamos a definição dada e o estudo de sinal. Veja como fica o diagrama. -1

0

-x - 1

x+1

x+1

|x + 1|

-x

-x

x

|x|

-1

2x + 1

1

|x + 1| - |x|

-1

0

1ª hipótese: x ≤ –1. A equação dada equivale a: –1 = 2x + 1 ou x = –1 Como esse número pertence à condição dada, obtemos S1 = {–1} 2ª hipótese: –1 ≤ x ≤ 0 Teremos 2x + 1 = 2x + 1, ou seja, obtemos uma identidade. Isso significa que todo x, tal que –1 ≤ x ≤ 0 é solução da equação e S2 = { x ∈ R : –1 ≤ x ≤ 0} 3ª hipótese: x ≥ 0 Obtemos: 1 = 2x + 1 ; x = 0 e então S3 = {0} Finalmente, S = S1 ∪ S2 ∪ S3, logo S = {x ∈ R : –1 ≤ x ≤ 0}

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4- INEQUAÇÕES MODULARES Para resolver inequações modulares, usamos as propriedades: a) Se a > 0 , |x| > a

↔ x > a ou x < –a

b) Se a > 0 , |x| < a

↔ –a < x < a

Caso a inequação dada não se enquadre em nenhuma dessas duas, usamos a definição de módulo e transformamos a inequação em outras equivalentes de 1º ou 2º grau.

1) Resolva as inequações a) |2x – 1| > 5 Solução: |2x – 1| > 5

↔ 2x – 1 > 5 ou 2x – 1 < –5

2x – 1 > 5

2x – 1 < –5

2x > 6

2x < –4

x>3

x < –2

S = {x ∈ R : x < –2 ou x > 3}

b)

<5

Solução: Como |x –1| < 5

= |x – 1| , a inequação fica:

↔ –5 < x – 1 < 5

–5 + 1 < x < 5 + 1 –4 < x < 6 S = {x ∈ R : –4 < x < 6}

c) ||x| – 2| > 1 Solução: ||x| – 2| > 1

↔ |x| – 2 > 1 ou |x| – 2 < –1

1ª hipótese: |x| –2 > 1 ; |x| > 3 ; x > 3 ou x < –3 2ª hipótese: |x| – 2 < –1 ; |x| < 1 ; –1 < x < 1 Logo, S = {x ∈ R : x < –3 ou –1 < x < 1 ou x > 3} Observação: Para os demais casos, use os mesmos artifícios e propriedades que usamos nas equações.

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GEOMETRIA PLANA ÂNGULO 1- O QUE É GEOMETRIA? A palavra “geometria” vem do grego e significa “medida da terra”. Esse significado sugere como surgiu essa parte tão importante da Matemática. Os estudos mostram que por volta de 2000 anos a.C., os habitantes dos vales dos rios Nilo, Tigre e Eufrates já tinham acumulado uma série de propriedades empíricas sobre as figuras geométricas. Ao passarem esse conhecimento para os gregos, estes o formalizaram,

dando à geometria conhecida na época um caráter dedutivo. Deve-se a um grande matemático grego, chamado Euclides, a sistematização de toda a geometria conhecida na sua época, que foi editada numa obra chamada Os Elementos, formada de 13 volumes. A geometria que estudamos hoje não é muito diferente da geometria de Euclides e será chamada de geometria Euclidiana (por satisfazer o postulado de Euclides).

2- COMO ESTUDAREMOS A GEOMETRIA? A geometria estuda as figuras geométricas, suas relações e propriedades. Uma figura geométrica para ficar bem caracterizada deve ser definida. Assim, para definir uma figura (ou um conceito) usamos conceitos previamente estabelecidos. É fácil ver que isso nos leva a considerar alguns conceitos sem definição, e esses serão chamados de conceitos primitivos. Consideraremos como primitivos (sem definição) os

conceitos de ponto, reta, plano. As propriedades de uma figura, para que se acredite nelas, devem ser provadas, e para isso usamse propriedades previamente estabelecidas. Novamente aqui sentimos a necessidade de considerarmos algumas propriedades sem prova. A essas daremos o nome de Postulados ou Axiomas. Às propriedades que carecem de uma prova para serem críveis, chamaremos Teorema.

3- PONTO É o ente básico da geometria. Representa-se por uma marca feita no papel e para lhe dar nome usa-se uma letra maiúscula. O ponto não tem dimensões. Usando o conceito de ponto define-se: - Espaço é o conjunto de todos os pontos. - Figura geométrica é qualquer conjunto não vazio de pontos.

4- RETA Representa-se através do desenho a seguir.

As setas são colocadas para lembrar que a reta não tem princípio nem fim. Aceita-se como postulado que:

Dois pontos distintos determinam uma reta.

Para indicar a reta podemos: a) usar uma letra minúscula reta r ou b) usar dois de seus pontos reta

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ou reta


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Se um conjunto de pontos pertence a uma reta, dizemos que eles são colineares. Os principais subconjuntos da reta são: a) Semi-reta: qualquer uma das partes em que uma reta fica dividida por um de seus pontos. Exemplo: : r

O ponto A, determina na reta r, duas semi-retas : semi-reta de origem A e que passa por B. : semi-reta de origem A e que passa por C. b) Segmento: conjunto formado por dois pontos de uma reta e por todos os pontos entre eles. Exemplo:

: segmento de extremidades A e B. A medida de um segmento

será representada por AB.

Sobre duas retas, dizemos que elas são:

a) Concorrentes: se possuem um único ponto em comum.

b) Coincidentes: se todos os seus pontos coincidem. c) Paralelas: se estão contidas num mesmo plano, e não têm ponto em comum.

r // s: a reta r é paralela à reta s.

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5- PLANO Figura que nos sugere o tampo de uma mesa, desde que a imaginemos estendendo-se em todas as direções. Para denotá-lo, usa-se uma letra grega minúscula.

plano a (alfa) Temos os seguintes postulados: - Três pontos não colineares determinam um plano. - Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, essa reta está contida no plano. - Postulado de Euclides: Dados uma reta e um ponto fora dela, existe uma única reta paralela à reta dada e que passa pelo ponto dado. Dizemos que uma figura é plana se todos os seus pontos pertencem a um mesmo plano.

6- ÂNGULO Definição Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem. Exemplo:

As semi-retas

e

Se os lados

e

são os lados do ângulo. O ponto O é o vértice. Denotamos o ângulo por:

,

ou .

são semi-retas opostas, dizemos que o ângulo é raso.

é ângulo raso.

7- ÂNGULOS CONGRUENTES A congruência entre ângulos é uma relação não definida. Intuitivamente, dizemos que dois ângulos são congruentes se ao transportar um sobre o outro eles coincidem. A relação de congruência, representada pelos símbolos ≅ ou ≡, possui as seguintes propriedades: - reflexiva: todo ângulo é congruente a ele próprio: - simétrica: se

então

- transitiva: se

e

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então

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.


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8- MEDIDA DE UM ÂNGULO Medir um ângulo é compará-lo com um outro ângulo que escolhemos como unidade. A unidade mais usada é o grau, que é o ângulo obtido ao dividir o ângulo raso em 180 ângulos congruentes entre si. Assim, ao dizer que mede 30° (trinta graus), isso significa que o ângulo de 1° “cabe” 30 vezes no ângulo . um ângulo Observe que de acordo com a definição, o ângulo raso mede 180°. Para medir ângulos menores que 1°, usamos os submúltiplos do grau: o minuto e o segundo, que se relacionam do seguinte modo: 1° = 60’

A

1’ = 60’’

C

O

À semi-reta de origem no vértice de um ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes chamamos de bissetriz do ângulo.

B

é bissetriz de

.

9- TIPOS DE ÂNGULOS Alguns ângulos recebem nome especial. Os principais são: - Se duas retas se cortam determinando quatro ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares.

- Ângulo reto: é o ângulo cuja medida é 90º.

r e s são perpendiculares (r

s)

Uma reta perpendicular a um segmento, pelo seu ponto médio, chama-se mediatriz.

r M ponto médio de - Ângulo agudo: é o ângulo cuja medida é menor que 90°.

- Ângulo obtuso: é o ângulo cuja medida é maior que 90°.

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- Ângulos complementares: são dois ângulos cuja soma de suas medidas é 90°. - Ângulos suplementares: são dois ângulos cuja soma de suas medidas é 180°. - Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.): são dois ângulos para os quais os lados de um são semi-retas opostas aos lados do outro. Teorema: Dois ângulos o.p.v. são congruentes. Demonstração: Sejam os ângulos â e

dois ângulos o.p.v.

Observe que:

Portanto: a + c = b + c e daí vem: a = b e então

.

Obs.: a está representando a medida do ângulo â.

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POLÍGONOS 1- LINHA POLIGONAL É a reunião de segmentos consecutivos e não colineares. Veja alguns exemplos:

A) linha poligonal aberta simples

B) linha poligonal aberta entrelaçada

C) linhas poligonais fechadas simples

D) linha poligonal fechada entrelaçada

2- A NOÇÃO DE POLÍGONO Chamamos de polígono a toda linha poligonal fechada e simples. Assim, as linhas poligonais do exemplo C do item anterior são polígonos. O primeiro exemplo é um polígono convexo e o segundo é um polígono não convexo. Observe que no primeiro caso o segmento que une dois pontos quaisquer no interior do polígono está contido no interior desse polígono. Já no segundo caso, existe pelo menos um segmento unindo dois pontos no interior do polígono, que não está integralmente contido no interior do polígono.

convexo

não convexo

Daqui para frente, ao falarmos em polígono, entenda-se que falamos de polígono convexo. Dado um polígono, temos: vértices: são os pontos A, B, C, ... lados: são os segmentos ângulos internos: Â,

,

, ...

, ...

ângulos externos: são ângulos formados pelo prolongamento de um lado com o lado adjacente, como a por exemplo.

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perímetro: é a soma dos lados do polígono. Representa-se por 2p. diagonal: segmento que une dois vértices não consecutivos. Exemplos:

,

, etc.

Os polígonos recebem nomes de acordo com o número de lados que possuem. Assim: 3 lados - triângulo

9 lados - eneágono

4 lados - quadrilátero

10 lados - decágono

5 lados - pentágono

11 lados - undecágono

6 lados - hexágono

12 lados - dodecágono

7 lados - heptágono

15 lados - pentadecágono

8 lados - octógono

20 lados - icoságono

Os que não aparecem listados acima são denotados também pelo número de lados que possuem, por exemplo: polígono de treze lados, polígono de trinta lados, etc. Se um polígono tem todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes, dizemos que ele é regular.

3- NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO Teorema: Seja P um polígono com n lados. Então, o número (d) de diagonais desse polígono é:

Demonstração: Observe que de cada vértice partem n - 3 diagonais. , Assim de A, por exemplo, não são diagonais e . Como são n vértices, teremos n . (n - 3) diagonais. No entanto, cada uma dessas diagonais é contada duas vezes (por exemplo ). Logo: e

4- ÂNGULOS DE UM POLÍGONO No capítulo seguinte, provaremos que: Teorema: A soma dos ângulos internos (Si) de um polígono de n lados é: Si = (n - 2) . 180° Teorema: A soma dos ângulos externos (Se) de um polígono é: Se = 360° Caso o polígono seja regular, todos os seus ângulos internos são congruentes, assim como seus ângulos externos. Então: , i = medida de cada ângulo interno , e = medida de cada ângulo externo

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TRIÂNGULO A

1- O QUE É UM TRIÂNGULO? Chamamos de triângulo a todo polígono de 3 lados. Dado um triângulo, temos: vértices: são os pontos A, B e C.

C

B

.

lados: são os segmentos

Um triângulo pode ser classificado de dois modos: Em relação aos ângulos.

A

A

B

C

• Equilátero: os três lados são congruentes.

B

C

• Isósceles: dois lados são congruentes.

No triângulo isósceles, temos que o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado de ângulo do vértice; o lado oposto ao ângulo do vértice chama-se base e os outros dois ângulos do triângulo são os ângulos da base. Assim: Â: ângulo do vértice : ângulos da base : base •Escaleno: não existem lados congruentes. Em relação aos lados, o triângulo pode ser: B

A

C

• Retângulo: um ângulo é reto. No triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os outros dois são chamados de catetos.

• Acutângulo: todos os ângulos são agudos.

• Obtusângulo: um ângulo é obtuso.

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2- AS CEVIANAS DE UM TRIÂNGULO Chamamos de ceviana a qualquer segmento que tem uma extremidade em um dos vértices e a outra em um ponto do lado oposto a esse vértice. As principais cevianas de um triângulo são: • Altura: é o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento.

AH é altura. Obs.: em todo triângulo existem três alturas que se cortam num ponto chamado ortocentro. • Bissetriz interna: é o segmento da bissetriz de um ângulo interno limitado pelo vértice e pela interseção da bissetriz com o lado oposto.

AD é bissetriz do ângulo Â. Obs.: as bissetrizes internas de um triângulo se cortam num ponto chamado incentro. Esse ponto é o centro da circunferência inscrita no triângulo. • Bissetriz Externa: é o segmento da bissetriz de um ângulo externo limitado pelo vértice e pela interseção da bissetriz com o prolongamento do lado oposto.

AD é bissetriz externa. A

• Mediana: segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Se M é ponto médio de BC, AM é mediana. Obs.: As três medianas de um triângulo se cortam num ponto chamado baricentro. B

C M

3- PROPRIEDADES DAS CEVIANAS

1ª) A bissetriz traçada do ângulo do vértice de um triângulo isósceles também é altura e mediana. 2ª) Num triângulo eqüilátero, o ortocentro, o baricentro e o incentro, coincidem. 3ª) A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é metade dessa hipotenusa. 4ª) Se G é baricentro, temos:

A G

B

Essas propriedades serão provadas mais à frente.

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C M


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4- TRIÂNGULOS CONGRUENTES Intuitivamente, dizemos que dois triângulos são congruentes se eles podem coincidir por superposição. Para que isso aconteça, é necessário que os lados do primeiro triângulo sejam congruentes aos lados do segundo triângulo e que os ângulos do primeiro triângulo sejam congruentes aos ângulos do segundo triângulo. Assim, se os triângulos ABC e DEF são congruentes, temos:

Notação: Se quisermos, porém, provar que dois triângulos são congruentes, não precisaremos mostrar todas as seis congruências dadas anteriormente. Existem critérios que garantem a congruência de dois triângulos utilizando apenas três congruências das seis que foram dadas. Esses critérios são chamados de casos de congruência. • Caso L.A.L. Se AB = DE, AC = DF e

• Caso A.L.A. Se , BC = EF e

, então

, então

• Caso L.L.L. Se AB = DE, AC = DF e BC = EF, então

• Caso L.A.A. Se AB = DE,

e

, então

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• Caso do Triângulo Retângulo Se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa, eles são congruentes. C

F

A

D

B

E

Atenção: Não existem os casos de congruência AAA e LLA.

5- DESIGUALDADES NO TRIÂNGULO

A

Seja ABC um triângulo P.1) Ao maior lado opõe-se maior ângulo. B C P.2) Ao maior ângulo opõe-se o maior lado. P.3) Cada lado do triângulo é menor que a soma dos outros dois e maior que a diferença deles.

6- PARALELAS E TRANSVERSAIS Sejam r e s duas retas, concorrentes ou paralelas. Uma reta t, que intercepta r e s é chamada de transversal. t

Em qualquer situação, ficam determinados oito ângulos denominados: alternos internos: (c, e) e (d, f) alternos externos: (a, g) e (b, h) colaterais internos: (c, f) e (d, e) colaterais externos: (a, h) e (b, g) correspondentes: (a, e), (d, h), (b, f) e (c, g)

Se r e s são paralelas, teremos: • dois ângulos alternos internos são congruentes. • dois ângulos alternos externos são congruentes. • dois ângulos colaterais internos são suplementares. • dois ângulos colaterais externos são suplementares. • dois ângulos correspondentes são congruentes.

7- LEI ANGULAR DE THALES A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Demonstração: Seja o triângulo ABC e tracemos por A uma reta r paralela a BC. Então: x = ey= (alternos internos). Além disso, Â + x + y = 180°, pois formam um . ângulo raso. Logo, substituindo x e y, temos:

8- TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes. Demonstração: Observe que: e Logo: e

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e daí e = Matemática - M1


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QUADRILÁTEROS 1- DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO Como já foi visto, chamamos de quadrilátero a todo polígono de quatro lados. Podemos classificar os quadriláteros basicamente em três classes: • Paralelogramos: são os quadriláteros cujos lados opostos são paralelos. • Trapézios: são quadriláteros que têm dois lados paralelos. • Trapezóides: são quadriláteros que não têm lados paralelos.

Paralelogramo

Trapézio

Trapezóide

É fácil perceber que um quadrilátero, qualquer que seja ele, tem duas diagonais e a soma de seus ângulos internos é 360º.

2- ESTUDANDO OS PARALELOGRAMOS Os paralelogramos são quadriláteros com uma série de importantes propriedades, que veremos a seguir: P.1) Em qualquer paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. Demonstração: Seja o paralelogramo ABCD, e tracemos a diagonal AC. Temos que os triângulos ABC e ADC são congruentes (A.L.A.), pois: (alternos internos) AC = AC (comum) (alternos internos) Portanto,

.

De modo semelhante (trace

) prova-se que

.

P.2) Em um paralelogramo, os lados opostos são congruentes. Demonstração: Da congruência dos triângulos

(fig. anterior), deduz-se que AD = BC e AB = CD.

P.3) As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio. Demonstração: Observe que os triângulos AMB e CMD são congruentes (A.L.A.), pois: (alternos internos) AB = CD (lados opostos de um paralelogramo) (alternos internos) Logo: AM = MC BM = MD Matemática - M1

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Como treinamento, sugerimos que você prove os teoremas recíprocos de P.1, P.2 e P.3. R.1) Todo quadrilátero (convexo) que tem ângulos congruentes é um paralelogramo. R.2) Se um quadrilátero tem lados opostos congruentes, ele é um paralelogramo. R.3) Se as diagonais de um quadrilátero cortam-se ao meio, ele é um paralelogramo. No conjunto dos paralelogramos, podemos destacar: • Retângulo: paralelogramo cujos ângulos são congruentes. • Losango: paralelogramo cujos lados são congruentes. • Quadrado: paralelogramo que tem os ângulos congruentes e os lados congruentes. Como o retângulo, o losango e o quadrado são paralelogramos. Eles possuem todas as propriedades anteriores. Além disso, temos: • Retângulo: as diagonais de um retângulo são congruentes. Demonstração: Não é difícil você concluir que cada ângulo interno de um retângulo mede 90º. Além disso, os triângulos ABC e ABD são congruentes (L.A.L.) pois: AB = AB (comum) (ambos são retos) BC = AD (lados opostos de um paralelogramo) Como conseqüência, AC = BD. Obs.: Como M é ponto médio das diagonais (P3), e no caso do retângulo essas diagonais são iguais, temos: AM = BM = MD ou seja (considere o triângulo ABD): a mediana relativa à hipotenusa é metade dessa hipotenusa. • Losango: as diagonais de um losango são perpendiculares e bissetrizes dos ângulos internos. • Quadrado: as diagonais de um quadrado são congruentes, perpendiculares e bissetrizes dos ângulos internos. Tente, você, provar estas duas últimas propriedades. Finalmente, é bom lembrar que vale também o recíproco de todas essas propriedades.

3- FALANDO DOS TRAPÉZIOS Como já dissemos, trapézio é o quadrilátero que tem dois lados paralelos. Esses lados são chamados de bases do trapézio. O segmento da perpendicular traçada de um vértice à base chama-se altura.

: bases h: altura

Um trapézio se diz isósceles, se os lados não paralelos forem congruentes. Se um trapézio é isósceles, temos o seguinte: Teorema: os ângulos da base de um trapézio isósceles são congruentes. Demonstração: Seja o trapézio isósceles (AD = BC) ABCD.

. Desse modo, temos que o quadriTracemos látero BCDE é um paralelogramo pois seus lados opostos são paralelos. Como conseqüência BC = DE = AD e então o triângulo ADE é isósceles e  = Ê. Como (correspondentes) temos que . Além disso: colaterais internos Logo: e como

, vem:

.

Se um trapézio tiver dois ângulos retos, dizemos que ele é um trapézio retângulo.

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4- BASE MÉDIA 4.1- Triângulo Chamamos de base média de um triângulo ao segmento que une os pontos médios de dois lados quaisquer do triângulo. Teorema: Se MN é base média do triângulo ABC, então: MN é paralelo a BC e

.

Demonstração: Tracemos CD // AB e seja D a interseção de CD com MN. Os triângulos AMN e CDN são congruentes (A.L.A.) pois: (alternos internos) CN = AN (N é ponto médio) (o.p.v.) Logo: CD = AM e como AM = MB (M é ponto médio) BCDM é um paralelogramo e, portanto, MN // BC. Além disso, da congruência dos triângulos AMN e CDN, temos MN = ND e como já vimos que BCDN é paralelogramo: MD = BC ou 2MN = BC e daí,

.

4.2- Trapézio Base média de um trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos. Teorema: A base média de um trapézio é paralela às bases, e igual à semi-soma das bases. ou seja; MN // AB e MN // CD.

M

N

Seja MN a base média de um trapézio, e tracemos suas diagonais.

Elas cortam a base média nos pontos E e F. Ao segmento EF chamamos de mediana de Euler. Teorema: Se EF é a mediana de Euler, então

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CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1- DEFININDO CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Definição 1: Circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que equidistam de um ponto O, chamado centro, desse mesmo plano. Definição 2: Círculo é o conjunto de pontos do plano cuja distância a um ponto O, desse mesmo plano, é igual ou menor que o número r > 0, dado. Veja que o círculo é na verdade a própria circunferência com os seus pontos interiores.

Circunferência

Círculo

Em ambos os casos, o ponto O chama-se centro. A medida do segmento cujos extremos são o centro e um ponto sobre a circunferência é o raio. Às vezes, o próprio segmento será chamado de raio.

2- PRINCIPAIS ELEMENTOS

F

CORDA: segmento que une dois pontos da circunferência. Exemplo: AB DIÂMETRO: toda corda que passa pelo centro, como por exemplo CD. Um diâmetro divide a circunferência (ou círculo) em duas partes congruentes, chamadas de semicircunferência (ou semi-círculo).

B

A

E C

FLECHA: segmento cujos extremos são os pontos médios de uma corda e do arco subentendido.

D

B

Exemplo: EF. ARCO: é qualquer uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.

A

Notação: AB: arco menor AB AMB: arco maior AB ÂNGULO CENTRAL: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. Todo ângulo central determina na circunferência um arco (AB). Isso nos permite medir um arco usando unidades angulares. Basta, para isso, definirmos a medida do arco como sendo igual à medida do ângulo central subentendido por ele. Podemos dizer que essa é a medida “angular” do arco. Lembre-se de que um arco também pode ser medido em unidades “lineares” ou métricas. Nesse caso, o que se mede é o comprimento do arco retificado.

Obs.: Uma semi-circunferência subentende um ângulo raso, logo sua medida é 180º.

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M


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SETOR CIRCULAR: região do círculo compreendida entre um arco e dois raios que passam pelos extremos desse arco.

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SEGMENTO CIRCULAR: região determinada no círculo por qualquer uma de suas cordas.

Usando congruência de triângulos, podemos provar as seguintes propriedades: P.1) A reta determinada pelo centro de uma circunferência e pelo ponto médio de uma corda é perpendicular à corda. P.2) Uma reta perpendicular a uma corda que passa pelo centro da circunferência divide essa corda ao meio. P.3) A mediatriz da corda passa pelo centro da circunferência.

3- RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS Seja r uma reta e C uma circunferência no mesmo plano de r.

P P

r r

r Q C dois pontos em comum, secantes.

C um único ponto em comum, tangentes.

C não têm ponto em comum, exteriores.

4- PROPRIEDADES DA RETA TANGENTE T.1) A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência. T.2) A perpendicular ao raio, na sua extremidade, é tangente à circunferência. T.3) Teorema das tangentes Se de um ponto exterior P a uma circunferência traçarmos PA e PB tangentes a ela, então PA = PB e OP é bissetriz de .

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T.4) Teorema de Pitot Em todo quadrilátero circunscrito a uma circunferência, as somas dos lados opostos são iguais. Demonstração: Pelo teorema anterior, temos: AP = AS BP = BQ CR = CQ DR = DS Somando membro a membro, obtemos: ou

AB + CD = AD + BC

5- ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA Vimos que o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência chama-se ângulo central e sua medida coincide, por definição, com a medida do arco que ele subtende. A partir de agora, definiremos alguns ângulos determinados na circunferência e aprenderemos qual a relação entre suas medidas e a medida do arco que eles subtendem. Ângulo Inscrito: é o ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência, e cujos lados são cordas. Teorema: A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que ele subtende. Conseqüências desse teorema 1ª) Ângulos inscritos num mesmo arco são congruentes.

2ª) Um ângulo inscrito na semi-circunferência é reto.

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x


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ÂNGULO DE SEGMENTO: ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados têm como suporte uma tangente e uma secante. Teorema: A medida de um ângulo de segmento é igual à metade da medida do arco que ele determina.

ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO: seu vértice é um ponto interior à circunferência, porém diferente do centro.

ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERNO: o vértice é um ponto exterior à circunferência e os lados são secantes ou tangentes a essa circunferência. Obs.: Se os dois lados forem tangentes, dizemos que o ângulo é circunscrito. Teorema: A medida de um ângulo excêntrico externo é igual à semi-diferença dos arcos determinados na circunferência. M

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TEOREMA DE THALES 1 - INTRODUÇÃO Até o momento, temos estudado as figuras geométricas sob um ponto de vista, digamos, qualitativo, preocupando-nos mais com as formas das figuras do que com suas dimensões. Essa geometria que vimos até agora é chamada geometria não métrica. A partir desse ponto, vamos nos preocupar também em achar as dimensões de uma figura. Chamaremos a essa geometria cujo estudo iniciaremos agora de geometria métrica ou

Arquimediana. Um dos primeiros resultados que teremos nessa geometria é atribuído a Thales de Mileto, mercador grego que viveu de 624 a.C. a 548 a.C. Thales foi considerado “o primeiro dos sete sábios”. Embora não se possa afirmar com certeza que ele demonstrou o teorema que possui seu nome, essa seria, no mínimo, uma justa homenagem a um dos maiores gênios da humanidade.

2 - O TEOREMA DE THALES Chamaremos de feixe de paralelas a um conjunto de três ou mais retas paralelas. A reta que intercepta todas as retas do feixe é chamada de transversal. Teorema de Thales: Um feixe de paralelas determina, sobre duas transversais, segmentos proporcionais.

Assim, se a, b, c são paralelas e s e t são transversais, temos: Importante observar que, usando as propriedades das proporções, conclui-se que a proporção acima pode ser escrita de vários modos. Assim, teremos: ou

e assim por diante.

3 - CONSEQUÊNCIAS DO TEOREMA DE THALES 3.1 - Teorema: Uma paralela a um dos lados de um triângulo determina, sobre os outros dois, segmentos proporcionas Seja DE // BC. Por A, trace r paralela a DE. Forma-

Demonstração:

se um feixe de paralelas e AB e AC passam a ser transversais desse feixe. Logo, pelo teorema de Thales, temos:

3.2 - Teorema da Bissetriz Interna A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina no lado oposto segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Ou seja, se AD é bissetriz,

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3.3 - Teorema da Bissetriz Externa Se AD é bissetriz externa, então


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SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 1- A NOÇÃO DE SEMELHANÇA Ao afirmar que dois triângulos são semelhantes, estamos dizendo que eles têm a mesma “forma” sem ter necessariamente o mesmo tamanho. Assim, ao fazermos a ampliação ou redução de um triângulo, obtemos triângulos semelhantes ao triângulo original.

Observe que, ao tomar dois triângulos congruentes, teremos: a) a cada ângulo do primeiro triângulo corresponde um ângulo congruente no segundo triângulo. b) os lados correspondentes dos dois triângulos são proporcionais. Obs.: Chamaremos de lados correspondentes aos lados opostos a ângulos congruentes. A’

Desse modo, se os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes, teremos: A

e Observações: • O número K é chamado razão de semelhança. • Indicaremos que os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes colocando: ABC ~ A’B’C’.

2- TEOREMA FUNDAMENTAL DE SEMELHANÇA A paralela a um dos lados de um triângulo determina um triângulo semelhante ao primeiro. Em símbolos: Se DE // BC então os triângulos ABC e ADE são semelhantes. Demonstração:

A

A

Observe inicialmente que: Â = Â (ângulo comum) ( ângulos correspondentes)

D

E

(ângulos correspondentes) Além disso, como DE // BC, pelo Teorema de Thales vem: (I) B Trace agora

F

. Novamente, por Thales, teremos: Mas DE = BF (lados opostos de um paralelogramo)

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C


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Logo:

(II)

De I e II, conclui-se: Como provamos que os pares de ângulos são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais, temos que os triângulos são semelhantes. Como consequência desse teorema, deduzimos que para dois triângulos serem semelhantes não é necessário que provemos a igualdade dos ângulos e a proporcionalidade dos lados correspondentes, pois uma dessas condições implica a outra. Mostrando uma dessas condições (igualdade dos ângulos ou proporcionalidade dos lados), a semelhança dos triângulos estará garantida. Além disso, como veremos a seguir, existem condições mínimas que garantem a semelhança.

3 - Critérios de Semelhança Assim denominamos três teoremas que dão condições mínimas para dois triângulos serem semelhantes. C.S.1) Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro triângulo, eles são semelhantes (A:A) C.S.2) Se dois triângulos possuem dois pares de lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos congruentes, eles são semelhantes (L.A.L) C.S.3) Se os lados de um triângulo são proporcionais aos lados do outro, os triângulos são semelhantes (L.L.L) Veja as ilustrações:

A. A

~

L. A. L.

~ Se

e  = Â, ABC ~ A’B’C’

L. L. L.

~ Se

=

, então ABC ~ A’B’C’

Dos critérios anteriores, o que será mais usado é o primeiro. De acordo com tal critério, ao mostrar que dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de um outro triângulo, teremos garantido a semelhança dos dois triângulos. Isso acarreta, então, de acordo com a definição de semelhança de triângulos, a igualdade entre os terceiros ângulos e a proporcionalidade entre os lados correspondentes.

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Ao armar a proporção entre os lados de dois triângulos, tome o cuidado de fazer corresponder lados opostos a ângulos iguais. Veja: Os triângulos ABC e DEC são semelhantes pois: (ângulos retos) (ângulo comum)

Concluimos então que os lados correspondentes são proporcionais. Porém os lados correspondentes são: BC corresponde com CE ( são opostos aos ângulos

) )

AB corresponde com DE (são opostos aos ângulos AC corresponde com CD (são opostos aos ângulos

)

Portanto:

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RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 1- ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO Seja o triângulo retângulo ABC, reto em A.

a

• hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto (BC = a) • catetos: são os outros dois lados do triângulo (b e c) • altura relativa à hipotenusa: altura traçada do vértice do ângulo reto (h) • projeções: são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa (m e n) No que se segue, procuraremos relações entre as medidas desses segmentos. Para isso, usaremos a semelhança de triângulos.

2- TRÊS TRIÂNGULOS SEMELHANTES Teorema: Se AD = h é altura, então os triângulos ABC, ABD e ACD são semelhantes. Solução: Os triângulos ABC e ABD são semelhantes, pois: BÂC = A B (retos) =

(comum)

Também são semelhantes os triângulos ABC e ACD, pois BÂC = A C (retos) =

(comum)

Finalmente, os triângulos ABD e ACD são semelhantes, pois ambos são semelhantes ao triângulo ABC.

3- RELAÇÕES MÉTRICAS BÁSICAS

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Usando as semelhanças provadas no item anterior, obtém-se: 1) b2 = an 2) c2 = am 3) h2 = m.n 4) b . c = a . h 5) a2 = b2 + c2 (teorema de Pitágoras)

4- APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS 4.1– DIAGONAL DE UM QUADRADO Seja ABCD um quadrado de lado x, e diagonal d. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABD, obtemos: d2 = x2 + x2 ; d2 = 2x2 e então d = x

.

4.2- ALTURA DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO Como o triângulo ABC é equilátero, AD além de altura é mediana. Logo, CD =

, onde x é a medida do lado

do triângulo. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ACD, teremos: e então:

h=

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RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER 1- RELAÇÃO DO LADO OPOSTO A UM ÂNGULO AGUDO Seja ABC um triângulo, e a um lado oposto a um ângulo agudo. Então, o quadrado de a é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. Em símbolos: a2 = b2 + c2 – 2cm Demonstração: No triângulo BCD, temos: a2 = h2 + (c – m)2 ( I ) No triângulo ACD, temos: b2 = h2 + m2 ; h2 = b2 – m2 ( II ) Substituindo ( II ) em ( I ) vem: a2 = b2 – m2 + c2 – 2cm + m2 ou a2 = b2 + c2 – 2cm Observe que essa relação só pode ser usada para lado oposto a um ângulo agudo. Além disso, na parte final dela, pode–se tomar qualquer um dos outros dois lados. Lembre–se, porém, de que a projeção que aparece é a projeção do lado que não está nessa parte da fórmula, sobre o lado que aparece nessa parte da fórmula. Assim, em a2 = b2 + c2 – 2bn, n é a projeção de c sobre b.

2- RELAÇÃO DO LADO OPOSTO A UM ÂNGULO OBTUSO Se a é um lado oposto a um ângulo obtuso de um triângulo, então, o quadrado de a é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, mais duas vezes o produto de um desses lados pela projeção do outro sobre ele. Em símbolos: a2 = b2 + c2 + 2cm Demonstração: No triângulo BCD, temos: a2 = h2 + (c + m)2 ( I ) No triângulo ACD, temos: b2 = h2 + m2 ou h2 = b2 – m2 ( II ) Substituindo ( II ) em ( I ) vem: a2 = b2 – m2 + c2 + 2cm + m2 ou a2 = b2 + c2 + 2cm

3- IDENTIFICANDO UM TRIÂNGULO Sejam a, b, c as medidas dos lados de um triângulo. Se a é o maior lado, teremos:

• Se a2 = b2 + c2, o triângulo é retângulo. • Se a2 > b2 + c2, o triângulo é obtusângulo. • Se a2 < b2 + c2, o triângulo é acutângulo.

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4- LEI DOS SENOS Num triângulo ABC, temos:

Onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

5- LEI DOS COSSENOS Em um triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles. Demonstração: Seja a um lado oposto a um ângulo agudo. Então: a2 = b2 + c2 – 2cm ( I ) No triângulo ACD, temos: e então: m = b cos Aˆ . Logo, substituindo em I vem: a2 = b2 + c2 – 2cbcos Aˆ Prove, você, que se a é oposto a um ângulo obtuso, a relação acima também é válida.

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RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA 1- RELAÇÃO CORDA–CORDA Se AB e CD são cordas, então: PA . PB = PC . PD Demonstração: Os triângulos ADP e BCP são semelhantes, pois: ^ = BPC ^ ( o.p.v.) APD ˆ = Bˆ (inscritos no mesmo arco) D

Logo, os lados correspondentes são proporcionais. ou PA . PB = PC . PD

2- RELAÇÃO SECANTE–SECANTE Se PB e PD são segmentos de secantes, então: PA . PB = PC . PD Demonstração: Trace AD e BC. Os triângulos PAD e PBC são semelhantes, pois: ^ ^ B = D (inscritos no mesmo arco) ^ ^ P = P (comum) Então: ou PA . PB = PC . PD

3- RELAÇÃO SECANTE–TANGENTE Se PB é um segmento de secante e PT um segmento de secante, temos: PT2 = PA x PB

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Demonstração: Trace TA e TB. Os triângulos PAT e PBT são semelhantes, pois: ^ ^ PTA = PBT (ambos medem

)

^ ^ P = P (comum) Então: = ou PT2 = PA . PB

4- RELAÇÃO CORDA–DIÂMETRO Se AB é uma corda e AC é diâmetro, então: AB2 = AC . m, onde m é a projeção de AB sobre AC.

Demonstração: Trace BC. A propriedade dada é então uma conseqüência direta das relações métricas nos triângulos retângulos, pois o triângulo ABC é retângulo por estar inscrito num semi–círculo.

5- POTÊNCIA DE UM PONTO 5.1- POTÊNCIA DE UM PONTO EXTERIOR Se P é um ponto exterior a uma circunferência, então potência de P, que representamos por pot (P) é: pot(P) = PA . PB = PC . PD = … = PT2

Observação: As relações vistas anteriormente nos permitem usar qualquer parte da definição, pois esses valores são iguais.

5.2- POTÊNCIA DE UM PONTO INTERIOR Se P é um ponto no interior da circunferência, então: pot(P) = PA . PB = PC . PD = …

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ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 1- NOÇÃO INFORMAL DE ÁREA Informalmente dizemos que área de um polígono é um número real positivo que diz quantas unidades de área estão contidas no polígono (ou melhor, na sua superfície). A unidade de área é um quadrado cujo lado tem para medida a unidade de comprimento. Admitindo que a área de um retângulo é igual ao produto da base pela altura, deduz-se a área de uma série de outras figuras.

2- ÁREA DO RETÂNGULO h

Como vimos no item anterior, admitiremos que: A = b . h

b

3- ÁREA DO QUADRADO

a

O quadrado é um retângulo onde b = h = a. Logo A = a2 . a

4- ÁREA DO PARALELOGRAMO

a

a

É fácil ver que os triângulos ADE e BCF são congruentes. Logo, o paralelogramo ABCD tem a mesma área do retângulo DEFC, cuja base é também b e altura h. Então: A=b.h

5- ÁREA DO LOSANGO Seja o losango ABCD de diagonal maior D e diagonal menor d. Observe que a área do losango é metade da área do retângulo de base d e altura D. Logo: A=

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6 - ÁREA DO TRIÂNGULO Observe que a área do triângulo de base b e altura h é metade da área do paralelogramo de mesma base e mesma altura. Então: A=

7- ÁREA DO TRAPÉZIO A área do trapézio é igual à soma das áreas dos triângulos ABD e BCD. Logo: A=

8 - ÁREA DO POLÍGONO REGULAR Seja um polígono regular de n lados. Então podemos decompô–lo em triângulos congruentes cuja base é x, lado do polígono, e cuja altura é a, o apótema do polígono. Então: A= Mas n . x é o perímetro (2p) do polígono. Logo: A=

onde p é o semi–perímetro

9- ÁREA DO CÍRCULO Considerando que o círculo é um polígono regular com um número infinitamente grande de lados, teremos que sua área é A = p . a. Mas nesse caso, p é o comprimento da semi–circunferência e vale apótema é o raio. Logo A = πr . r ou

ou π . r e o

A = πr2 .

10- ÁREA DA COROA CIRCULAR É imediato que a área da coroa circular é: A = πR2 – πr2

ou

A = π (R2 – r2)

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11- ÁREA DO SETOR CIRCULAR A) O ÂNGULO CENTRAL É DADO EM RADIANOS Façamos uma regra de três. Se o ângulo central fosse de 2πrad, a área seria πr2 (círculo completo). Se o ângulo for α rad, a área é A. 2π rad – πr2 α rad – A

B) O ÂNGULO É DADO EM GRAUS 360º – πr2 α –A

C) SÃO DADOS r e

l

A um arco de comprimento 2πr corresponde uma figura (todo o círculo) de área πr2. Ao arco de comprimento l, o setor de área A

l

2 πr – πr2

l –A

12- FÓRMULAS PARA A ÁREA DE UM TRIÂNGULO A) FÓRMULA GERAL A=

B) TRIÂNGULO EQUILÁTERO Se o triângulo ABC é equilátero, b = AC = a e h = C) FÓRMULA DE HIERÃO Como vimos, h =

Logo: A =

ou

A=

86

Matemática - M1

. Logo: A =


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ITAPECURSOS

D) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DE DOIS LADOS E DO ÂNGULO COMPREENDIDO A=

^

. No triângulo ACD, sen C =

e daí,

h = b sen C ^ Logo, A =

senC ^

De modo idêntico, prova–se que: A=

sen B

ou

A=

sen Â

^

E) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA Observe que a área procurada é igual à soma das áreas dos triângulos AOC, AOB e BOC. A = ABOC + AAOC + AAOB ou

A = p.r

F) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA Prova–se que nesse caso: A=

Matemática - M1

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ITAPECURSOS

MATEMÁTICA I ARITMÉTICA EM N 1) (UFMG) Considerem-se todas as divisões em que seus termos são inteiros positivos, o divisor é 325 e o quociente é igual ao resto. O número de tais divisões é : a) 124

b) 180

c) 200

d) 320

e) 324

2) (PUC-MG) A base do sistema de numeração em que o número 211 é igual a 79 na base decimal é: a) divisor de 10

b) múltiplo de 3

c) múltiplo de 4

d) menor que 5

e) um número primo

3) (UFES) Quantos fatores primos distintos tem o número N = 1999 2 − 1997 2 − 1998 ? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

4) (UFMG) Sabe-se que o número 213 - 1 é primo. Seja n= 217- 16. No conjunto dos números naturais, o número de divisores de n é: a) 5

b) 8

c) 6

d) 10

5) (UFLA-MG) Sejam os números m = 25.33.62 , n = 2.3.42.52 Assinale a alternativa INCORRETA: a) Se um número inteiro divide 96 então divide m e n. b) O máximo divisor comum entre m e n é 96. c) O mínimo múltiplo comum entre m e n é 27.35.52.

d) m é maior que n. e) O resto da divisão de m por n é zero.

6) (N. Paiva-MG) O quadro a seguir representa o M.D.C entre os números A e B, pelo método das divisões sucessivas. As somas A + B e C + D valem respectivamente: a) 1.680 e 245 b) 1.435 e 490

c) 1.400 e 525 d) 1.200 e 725

A C

3 B D

2 140 35

1 105 0

3 35

7) (PUC-MG) Em uma árvore de Natal, as lâmpadas amarelas piscam a cada 15 segundos, as vermelhas, a cada 12 segundos e as verdes, a cada 10 segundos. Supondo-se que às 23h 47min todas as lâmpadas piscaram ao mesmo tempo, pode-se estimar que às 24h 00min estarão piscando simultaneamente: a) as lâmpadas amarelas, as vermelhas e as verdes b) apenas as lâmpadas amarelas e as vermelhas

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Matemática - M1

c) apenas as lâmpadas amarelas e as verdes d) apenas as lâmpadas vermelhas e as verdes


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ITAPECURSOS

8) (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechados e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. O número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de : a) 150

b) 160

c) 190

d) 200

9) (UNI-BH) Sabe-se que a e b são números naturais não nulos, m.d.c (a, b) = 2 e

, concluímos

que o valor de b é: a) 6

b) 4

c) 3

d) 2

(PUC-MG) As questões 10 e 11 devem ser respondidas de acordo com a situação descrita a seguir. Um carrinho que se move à velocidade constante de 10 m/s, parte do ponto A no instante t = 0 e percorre o caminho poligonal ABCD.

• No ponto B, há uma cancela que, a partir de t = 0, fica alternadamente aberta durante 20 segundos e fechada durante 60 segundos. • No ponto C, há outra cancela que, a partir de t = 0, fica alternadamente aberta durante 60 segundos e fechada durante 20 segundos. • As distâncias estão indicadas na figura, e o carrinho só pode prosseguir em frente quando encontra a cancela aberta. Caso a cancela esteja fechada, permanece parado até que ela abra. 10) O tempo gasto pelo carrinho para ir de A até D, em segundos, é: a) 485

b) 490

c) 500

d) 510

e) 515

11) A velocidade média do carrinho, em m/s, é: a) 7,5

b) 8,6

c) 9,0

d) 9,7

e) 10,0

12) (UFMG) Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de cadernos que cada família ganhou foi: a) 4

b) 6

c) 8

d) 9

13) (CEFET-MG) Se, numa divisão, o quociente é 13, o resto é 5 e a soma do dividendo com o divisor é 215, então o divisor é um número: a) fracionário

b) múltiplo de 11

c) par

d) múltiplo de 3

e) divisível por 13

14) (UNA-MG) Uma área retangular de 11.340 m de comprimento por 4.680 m de largura deve ser dividida em lotes quadrados de maior área possível. A quantidade de lotes que obteremos é: a) 1638

b) 1639

c) 1640

d) 1641

15) (PUC-MG) Três peças de tecido que medem 30 m, 36 m e 42 m, respectivamente, devem ser divididas em pedaços, todos de mesmo comprimento e do maior tamanho possível, sem que haja sobras em cada uma delas. O comprimento de cada pedaço, em metros, é: a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10 Matemática - M1

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ITAPECURSOS

NÚMEROS RACIONAIS 1) (Fund. João Pinheiro-MG) Marcos gasta metade de seu salário com aluguel e alimentação,

com instrução

do restante com condução. Sabe-se que seu gasto com condução é de R$ 50,00. Nesse

e vestuário e

caso, o salário de Marcos é de: a) R$ 2.400,00

b) R$ 2.800,00

c) R$ 3.200,00

d) R$ 3.600,00

e) R$ 4.000,00

2) (PUC-MG) A soma 1,333... + 2,3222... é igual à fração:

3) (UNI-BH) Sendo

, pode-se dizer que y vale:

4) (FAFEOD-MG) Considere as dízimas periódicas a = 0,333... e s = 0,444... . A soma 27a + 512s é igual a: a) 15

b) 16

c) 19

d) 17

5) (UNIMONTES-MG) Em uma turma do concurso vestibular havia 20 rapazes e 30 moças. A nota média, na prova de matemática, dos rapazes foi 7 e a das moças foi 8. A nota média da turma, nessa prova, foi: a) 7,5

b) 7,6

c) 7

d) 7,75

6) (Fund. João Pinheiro-MG) As médias aritmética e geométrica de dois números positivos são, respectivamente, 39 e 36. Então, a diferença entre o maior e o menor desses números, nesta ordem, é: a) 30

b) 32

c) 34

d) 36

e) 38

7) (UFMG) A média das notas na prova de Matemática de uma turma com 30 alunos foi de 70 pontos. Nenhum dos alunos obteve nota inferior a 60 pontos. O número máximo de alunos que podem ter obtido nota igual a 90 pontos é a) 10 b) 23 c) 13 d) 16 8) (PUC-MG) Algumas universidades já estão usando a nota do ENEM ( Exame Nacional do Ensino Médio ), para compor a nota final do vestibulando, aplicando a seguinte fórmula: “A nota final do vestibulando será igual à nota da prova do vestibular, vezes 4, mais a nota do ENEM, vezes 1, sendo o resultado dividido por 5. Mas, se o resultado dessa média for inferior ao da prova do vestibular, fica valendo a nota da prova do vestibular.” Observe atentamente o quadro a seguir:

Candidato

Nota do vestibular em %

Nota do ENEM em %

Nota Final do Vestibular

A B

60 60

70 50

? ?

As notas finais do vestibular dos candidatos A e B são, respectivamente: a) 65 e 55

90

b) 62 e 60

c) 62 e 58

Matemática - M1

d) 70 e 58

e) 65 e 60


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ITAPECURSOS

(PUC-MG) Os dados do texto a seguir devem ser utilizados para responder às questões 9 e 10. A pavimentação de uma estrada será executada por duas empreiteiras, cada uma delas trabalhando a partir de uma das extremidades da rodovia. Uma das empreiteiras deverá pavimentar 3/10 da estrada e a outra, os 91 quilômetros restantes. O leito da estrada deverá ter 10 m de largura e ser coberto por uma camada de asfalto de 6 cm de espessura. 9) A extensão da estrada, em quilômetros, é: a) 100

b) 110

c) 120

d) 130

e) 140

10) O volume de asfalto necessário para cobrir o leito da rodovia, em milhares de metros cúbicos, é: a) 72

b) 78

c) 81

d) 93

e) 112

11) (UFMG) No início de uma partida de futebol, a altura média dos 11 jogadores era 1,72 m. Ainda no primeiro tempo, um desses jogadores, com 1,77 m de altura, foi substituído. Em seu lugar, entrou um outro que media 1,68 m de altura. No segundo tempo, outro jogador do mesmo time, com 1,73 m de altura, foi expulso. Ao terminar a partida, a altura média dos 10 jogadores desse time era: a) 1,69 m

b) 1,70 m

c) 1,71 m

d) 1,72 m

12) (Fund. João Pinheiro-MG) As notas e os respectivos pesos das provas a que se submeteu um candidato a um determinado cargo, num concurso, estão apresentados neste quadro: Sabe-se que a média ponderada obtida por esse candidato foi 68,5. Assim sendo, a nota que ele obteve na prova de Química foi: a) 72

b) 74

c) 76

d) 78

PROVA

NOTA

PESO

Português

65

3

Matemática

62

3

Química

x

2

Física

78

2

e) 80

13) (Fund. João Pinheiro-MG) Durante três meses consecutivos, o consumo médio de água na residência de Lídia foi de 27 m3. Sabe-se que o consumo médio de água dos dois últimos meses desse trimestre, na mesma residência, foi de 23,5 m3. Assim sendo, na residência de Lídia, o consumo de água do primeiro mês foi de a) 28 m3

b) 30 m3

c) 32 m3

d) 34 m3

e) 36 m3

14) (UERJ) Analise o gráfico e a tabela:

De acordo com esses dados, a razão entre o custo do consumo, por km, dos carros a álcool e a gasolina é igual a: a) 4/7

b) 5/7

c) 7/8

d) 7/10

15) (Fund. João Pinheiro - MG) Em uma experiência sobre balística, dispara-se um projétil para dentro de um lago. Esse projétil penetra na água com uma velocidade de 14 km/s, mas perde 1/4 dessa velocidade durante o primeiro minuto e 1/3 da velocidade restante durante o segundo minuto. Assim sendo, ao fim desses dois minutos, a velocidade do projétil deve ser de: a) 7,0 km/s b) 7,2 km/s c) 7,6 km/s d) 8,0 km/s e) 8,2 km/s Matemática - M1

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NÚMEROS REAIS

1) (PUC-MG) Considere os números:

e

6) (CEFET-MG) O valor da expressão

é:

. O valor de a2 + b é: a) 1

b) 4

c) 5

d) 7

e) 9

2) (UNI-BH) Das proposições abaixo, a verdadeira é: a)

b) c) 0,1010010001... ∈ Q d) 517

Q

3) (UNA-MG) O valor de

é:

a) –32/135 d) 32/153

b) –2/15 e) 2/15

c) 2/135

7) (PUC-MG) Na reta real representada a seguir, os números reais a e b foram marcados por meio de dois arcos de círculo com centro em O, um deles com raio AO e outro com raio OB. Sabese que AM = BN = OM = 1 cm, que ON = cm e que AM e BN são perpendiculares à reta real. O valor de a2 + b2 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 8) (CEFET-MG) Ao simplificarmos a expressão , obtemos:

4) (UFJF-MG) Marque a alternativa INCORRETA: a) se x e y são números racionais, então x + y é um número racional. b) se x e y são números irracionais, então x + y é um número irracional. c) se x e y são números racionais, então x.y é um número racional. d) se x é um número racional e y é um número irracional, então x + y é um número irracional.

9) (PUC-MG) Se x é um número positivo, então é igual a:

5) (FAFEOD-MG) Se o número real b é tal que , então é CORRETO afirmar que b2 é igual a:

10) (FUMEC-MG)

é apenas um modo espalhafatoso de escrever o número: a) 4

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Matemática - M1

b) 3

c) 6

d) 5


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UNIDADES DE MEDIDAS 1) (UFLA-MG) Para fazer o assoalho de uma sala são necessárias 63 tábuas de 2,8 m de comprimento por 0,25m de largura. No caso de usar tacos de 21cm de comprimento por 7cm de largura, o número de tacos a ser utilizado será de: a) 840 b) 225 c) 4410 d) 3000 e) 9261 2) (UNA-MG) Nos Estados Unidos utiliza-se o sistema inglês de medidas. Nele, uma unidade de medida de distância é a milha (equivalente a 1,6 km) e uma medida de volume é o galão (equivalente a 4,5 litros). Um carro de fórmula Indy é capaz de andar 2 milhas com um galão de combustível. A distância que esse carro percorre com um litro de combustível é: a) menor que 500 m. c) maior que 1 km e menor que 2 km. b) maior que 500 m e menor que 1 km. d) maior que 2 km. 3) (PUC-MG) Uma torneira mal fechada goteja 2.450 vezes em uma hora. Admitindo que cada gota tenha volume de 0,0003l pode-se afirmar que o volume de água que vaza dessa torneira por hora, em litros, é: a) menor que meio litro. d) maior que um litro e meio e menor que dois litros. b) maior que meio litro e menor que um litro. e) maior que dois litros. c) maior que um litro e menor que um litro e meio. 4) (UFMG) Uma fazenda tem área de 0,4 km2. Suponha que essa fazenda seja um quadrado cujo lado mede x metros. O número x satisfaz a condição: a) 180 < x < 210 b) 210 < x < 250 c) 400 < x < 500 d) 600 < x < 700 5) (FUMEC-MG) Um reservatório com uma capacidade máxima igual a 2.400 litros, continha, apenas, 80% de sua capacidade máxima. Abriu-se então uma torneira que o esvaziou em 2 horas. Qual é, em litros por minuto, a velocidade com que o reservatório esvaziou-se? a) 20 b) 16 c) 18 d) 24 6) (FUMEC-MG) Um campo de futebol society – um retângulo de 60 metros por 40 metros – vai ser coberto com uma grama sintética e cercado por uma tela. Como o preço do metro quadrado da grama assentada é R$ 8,00 e o do metro linear da tela instalada, R$ 10,00, gastar-se-ão, na execução daqueles serviços: a) R$ 21.200,00 b) R$ 43.200,00 c) R$ 20.200,00 d) R$ 30.600,00 7) (M. Campos-MG) A maquete de uma piscina tem a forma de um paralelepípedo retângulo e foi construída numa escala de 1/40. Se as dimensões internas da maquete são 30 cm, 20 cm e 5 cm, então a capacidade em litros da piscina é de: a) 1.920 b) 19.200 c) 192.000 d) 1.920.000 8) (FAFEOD-MG) Na contracapa de um caderno, encontramos as seguintes informações: Folhas Internas: papel apergaminhado de 56 g/m2 Formato: 200 x 300 mm - Número de Folhas: 96 Sabe-se que, para a produção de, aproximadamente, 60 kg desse papel apergaminhado, é necessário derrubar uma árvore adulta. Considerando-se que cerca de 60.000 dessas folhas de caderno são desperdiçadas, por mal uso, em alguns meses de aula em uma escola, é CORRETO afirmar, então, que o número aproximado de árvores adultas que precisariam ser derrubadas por causa desse desperdício, é igual a : a) 5 b) 3 c) 2 d) 6 9) (FCMMG) Em 1957, a lagoa da Pampulha tinha 18.000.000 m3 de água e atualmente tem 11.000.000 m3. Considerando um caminhão-pipa de 7.000 litros de capacidade, o número de vezes que se deveria encher esse caminhão para transportar a quantidade de água necessária para que a lagoa voltasse a ter o mesmo volume do ano de 1957 é: a) 10.000 b) 100.000 c) 1.000.000 d) 10.000.000 10) (PUC-MG) Uma caixa d’água de 1.000 litros tem um furo no fundo por onde escoa água a uma vazão constante. Às doze horas de certo dia, a caixa está cheia e, às dezoito horas da tarde desse mesmo dia, só tinha 850 litros. A caixa ficará pela metade, no dia seguinte pela manhã, às: a) 5 h

b) 6 h

c) 7 h

d) 8 h

e) 9 h Matemática - M1

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CÁLCULO ALGÉBRICO 1) (UNA-MG) Simplificando a expressão

5) (PUC-MG) Sabendo-se que

, então

obtemos: é igual a: a) 0

b) 2a a) 3/2

b) 5/2

c) 3

d) 7/2

e) 9/2

6) (PUC-MG) Após simplificar a expressão 2) (UFLA-MG) Para x ≠ 1 e x ≠ -2 a expressão

com x ≠ 1, obtém-se:

é equivalente a:

7) (IH-MG) O valor de a) 56 x2y2

x2z2

4y2

4z2

3) (PUC-MG) A expressão + fatorada apresenta 4 fatores lineares, com os coeficientes de x e y iguais a 1. A soma desses fatores lineares é: a) 2 (x + y) d) 2 (x - y)

b) 2 (x + z) e) 2 (x - z)

a) 2x - 2a d) x - b

(x + y)2 - (x - y)2 = 4xy (a - b) . (a + b) . (a2 + b2) = a4 - b4 (a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b) (x - 1) . (x2 + x + 1) - (x + 1) (x2 - x + 1) = -2 (x + a) . (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

c) 256

d)

8) (PUC-MG) A expressão x2 - 2ax + a2 - b2 é o produto de dois fatores. A soma desses fatores é igual a:

c) 2 (y + z)

4) (UFLA-MG ) Das identidades abaixo, a única FALSA é: a) b) c) d) e)

b) 128

é:

9)

b) 2x - 2b e) x + a

(PUC-MG)

Se

a

b,

c) x - a

a

expressão

, simplificada, é igual a: a) ab

b) a

c) b

d) a – b e) a + b

10) (PUC-MG) Se x2 + y2 e xy = 16, o valor de (x + y)2 é: a) 32

b) 41

c) 49

d) 53

e) 54

MATEMÁTICA COMERCIAL 1) (UFMG) Uma firma é constituída por dois sócios, A e B, cujos capitais investidos são 200 mil e 350 mil reais, respectivamente. Todo lucro ou prejuízo da firma é dividido, entre os dois, proporcionalmente ao capital investido. A firma acusou um prejuízo de 121 mil reais. As parcelas do prejuízo, em mil reais, correspondentes a cada sócio são, respectivamente: a) 20 e 101

b) 40 e 70

c) 44 e 77

d) 79 e 72

e) 100 e 21

2) (FAFI-BH) Em uma empresa, 8 funcionários produzem 2.000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O número de funcionários necessários para que essa empresa produza 6.000 peças em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, é: a) 2

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b) 3 Matemática - M1

c) 4

d) 8

e) 16


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3) (UNA-MG) O cronograma de uma obra prevê sua conclusão em um ano se nela trabalharem 15 operários. Passados 8 meses, apenas a terça parte da obra estava concluída. Para terminar a obra no prazo previsto devemos: a) duplicar o número de operários que estão trabalhando. b) triplicar o número de operários que estão trabalhando. c) quadruplicar o número de operários que estão trabalhando. d) reduzir pela metade o número de operários que estão trabalhando. 4) (PUC-MG) Na reforma da Previdência, estuda-se a implantação da chamada “fórmula 95”. Por essa fórmula, o trabalhador terá direito à aposentadoria quando a soma de sua idade com o tempo de serviço atingir 95 anos. Uma pessoa que começasse a trabalhar com 25 anos, se aposentaria, de acordo com a “fórmula 95”, com a idade de : a) 50 anos

b) 55 anos

c) 60 anos

d) 65 anos

e) 70 anos

5) (Fund. João Pinheiro-MG) Na sua impressão original, um livro contém 210 páginas de 35 linhas cada uma, com 60 tipos por linha. Ao ser reimpresso, em formato menor, o mesmo livro passou a ter 300 páginas de 30 linhas cada. Nesse caso, o número de tipos por linha passou a ser: a) 49 b) 50 c) 51 d) 52

e) 54

6) (FUMEC-MG) Um pai dividiu entre seus três filhos –Ildeu(12 anos), Roberto(15 anos) e Ricardo(18 anos) – a importância de R$ 900,00, em partes diretamente proporcionais às idades. Quanto coube a Roberto? : a) R$ 240,00

b) R$ 300,00

c) R$ 360,00

d) R$ 420,00

7) (UFMG) Uma empresa dispensou 20% de seus empregados e aumentou o salário dos restantes, fazendo que o valor de sua folha de pagamentos diminuísse 10%. O salário médio da empresa- valor da folha de pagamentos dividido pelo número de empregados - teve um aumento percentual de a) 12,5%

b) 10%

c) 17,5%

d) 15%

8) (UNI-BH) A figura mostra um tanque que contém 700 litros de água e 200 litros de óleo. Como a água é mais densa que o óleo, ela fica no fundo, de modo que, abrindo-se a torneira, sairá somente água. Sabendo-se que 1 litro = 1 dm3 , a quantidade , em metros cúbicos, de água que deverá sair para que o óleo corresponda a 25% do total de líquido no recipiente é a) 0,1

b) 0,2

c) 1

óleo água

d) 2

9) (PUC-MG) A Organização Mundial de Saúde considera pobres todos aqueles que recebem menos de US$70 mensais. Por esse critério, 54% dos brasileiros são pobres, 85 milhões de pessoas. Com base nessas informações, a população do Brasil é de, aproximadamente, em milhões de habitantes: a) 148

b) 157

c) 162

d) 165

e) 178

10) (UEMG) Uma pessoa compra um carro no valor de 1.000 dólares e combina pagá-lo em uma única prestação a ser quitada 3 meses após a compra, com juros simples de 8% ao mês. Sabendo-se que a cotação do dólar, na data da compra, foi de 1 dólar = R$1,78 e que a cotação, na data do pagamento foi de 1 dólar = R$1,83, pode-se concluir que o valor do pagamento, em reais, foi de: a) 2.269,20

b) 2.260,20

c) 2.200,00

d) 2.106,80

11) (UNA-MG) UM produto custa R$ 210,00 para pagamento à vista ou é vendido em dois pagamentos iguais sendo uma entrada no ato da compra e o segundo pagamento em 30 dias . Se no financiamento é cobrado juros de 10% a.m. , o valor da prestação , em reais , é de : a) 105,00

b) 110,00

c) 115,50

d) 120,50

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12) (Fund. João Pinheiro-MG) Adelmo possui R$ R$ 3.720,60 e precisa saldar uma dívida de R$ 4.783,64. Para tanto, deve recorrer a um empréstimo que sofre um desconto antecipado de 12%. Assim sendo, o menor valor do empréstimo que possibilitará a Adelmo saldar sua dívida é: a) R$ 1.002,00 b) R$ 1.024,00 c) R$ 1.028,00

d) R$ 1.204,00 e) R$ 1.208,00

13) (UFU-MG) Uma loja de artigos para presentes sempre colocou seus produtos à venda aplicando 50% mais sobre o preço de custo. No entanto, devido à recessão, ela anunciou uma liquidação com 20% de desconto sobre todos os produtos para pagamentos à vista. Nesse caso, o lucro da loja na venda à vista de cada produto será de a) 10%

b) 30%

c) 20%

d) 40%

14) (UFLA-MG) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 20% de desconto sobre o preço de tabela ou pelo cartão de crédito com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo que à vista custa R$ 6.000,00, pelo cartão custará: a) R$ 10.100,00 b) R$ 4.800,00

c) R$ 7.700,00 d) R$ 8.250,00

e) R$ 6.600,00

15) (PUC-MG) Um açougue vende alcatra a R$ 5,00 o quilo e dá um desconto de 10 % no preço da quantidade de alcatra que ultrapassa 3 quilos. Nessas condições, o preço a pagar por 10 quilos de alcatra é: a) R$ 35,00

b) R$ 42,00

c) R$ 45,00

d) R$ 46,50

e) R$ 48,00

16) (UFMG) Em um grupo de pessoas, 32% têm idade entre 30 e 40 anos; 48% estão entre 41 e 50 anos; e os demais 20%, entre 51 e 60 anos. Dos que têm entre 30 e 40 anos, 30% praticam exercícios regularmente. Esse número sobe para 40% na faixa dos que estão entre 41 e 50 anos, mas só 22% daqueles que têm entre 51 e 60 anos praticam exercícios regularmente. Considere, agora, apenas as pessoas desse grupo que têm entre 30 e 50 anos. Nesta faixa etária, as pessoas que fazem exercícios regularmente correspondem a a) 27,2%

b) 33,2%

c) 34%

d) 36%

17) (Itaúna-MG) A composição química da crosta terrestre é mostrada num gráfico de setores circulares, cujos ângulos centrais medem: 180° (oxigênio), 90° (silício), 27° (alumínio) e 63° (outros elementos). O percentual de alumínio nessa composição é: a) 2,5%

b) 7,5%

c) 5,0%

d) 0,75%

18) (FMTM-MG) O ICMS é um imposto chamado “imposto por dentro”, pois seu valor está embutido no valor da mercadoria sobre a qual ele está incidindo. Por exemplo, imagine que se pague por um produto o valor de R$ 100,00. Se a alíquota de imposto para esta mercadoria é de 10%, pode-se entender que o fabricante ficará com R$ 90,00, enquanto que os R$ 10,00 restantes serão repassados para os cofres públicos. Sendo assim, para que se aplique um ICMS de 12%, o valor a ser pago pelo consumidor por um bem de custo igual a R$ 264,00 é a) R$ 31,68

b) R$ 278,00

c) R$ 290,40

d) R$ 295,68

e) R$ 300,00

19) (FCMMG) Um liquidificador foi comprado segundo o seguinte plano de pagamento: uma entrada de R$ 20,60 e mais uma parcela de R$ 20,60 em 30 dias. Se o consumidor pagou efetivamente uma taxa de 3% ao mês, o valor à vista desse liquidificador era de: a) R$ 40,58

b) R$ 40,60

c) R$ 41,20

d) R$ 41,81

20) (PUC-MG) O custo de um imóvel é composto de 40% para a mão de obra, 30% para o terreno, 25% para o material e 5% para a administração. Se houver um aumento de 15% no preço da mão de obra e de 10% no preço do material, o custo do imóvel sofrerá um reajuste de: a) 8,5%

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b) 10,0%

Matemática - M1

c) 12,5%

d) 15,0%

e) 25,0%


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ITAPECURSOS

FUNÇÃO 1) (PUC-MG) Na função O valor de a é: a) 2

b) 4

.

5) (PUC-MG) Os valores de x para os quais é um número real, são tais

c) 5

d) 7

e) 8

que:

2) (UFMG) Observe esta figura:

a) x > -2 b) x < 1 c) –2 ≤ x < 0

d) –2 < x < -1 e) –2 < x ≤ 1

6) (UERJ) Observe o demonstrativo do consumo de energia elétrica:

Nessa figura, estão representados o ponto A, cuja abscissa é 1, e o ponto B, cuja ordenada é 5. Esses dois pontos pertencem ao gráfico da função f(x) = (x + 1)(x3 + ax + b), em que a e b são números reais. Assim sendo, o valor de f(4) é a) 65

b) 115

c) 170

d) 225

3) (UNA-MG) Observe a figura. ago98 set98 out98 nov98 dez98

jan99 fev99

mar99

Considere que o consumo médio, de agosto/98 a dezembro/98, foi igual ao que ocorreu de janeiro/ 99 a abril/99. O consumo no mês de abril de 99, em kwh, foi igual a a) 141

Seja a) 3a

. Então o valor de P é b) 1/2

c) 4

b) 151

c) 161

d) 171

7) (PUC-MG) Um avião decola do aeroporto Tancredo Neves, em Confins, e voa até o aeroporto JFK, em Nova York, tendo que circular diversas vezes o aeroporto JFK, antes de obter permissão para pousar. O gráfico que melhor representa a distância do avião até Confins, em função do tempo, desde o momento da decolagem até o pouso, é:

d)

4) (MACK-SP) Na figura, temos os esboços dos . gráficos das funções f(x) = x2 – a e g(x) = Então g(4) . f(3) vale:

a)

c)

b)

d)

e)

a) 12

b) 16

c) 24

d) 28

e) 36 Matemática - M1

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8) (PUC-MG) Considere f (x) = x - 3 e f [g(x)] = 3x + 4. O valor de g (3) é: a) 6

b) 8

c) 10

d) 13

e) 16

9) (IH-MG) Na figura abaixo estão esboçados os gráficos das funções f(x) e g(x), definidas no intervalo [-4,5]. O conjunto {x ∈ R / f(x) - g(x) ≤ 0} é: a)

10) (UFOP-MG) Se a) 2x3 - 2x

, então f(x) – g(x) é:

b) 2x

c) -2

d) 0

e) 1

11) (FUVEST) A figura ao lado representa o gráfico de uma função da forma -1

para

≤ x ≤ 3.

Pode-se concluir que o valor de b é a) –2

b) –1

c) 0

d) 1

e) 2

12) (FCMMG) Sejam Então, f(g(x)) e g(f(x)) são, respectivamente, iguais a: a) 0 e 0

b) 0 e 1

c) 1 e 0

d) 1 e 1

13) (M. Campos-MG) Sendo f -1(x) a função inversa de a) -1

b) 1

c) 2

é igual a:

d)

14) (UFOP-MG) Se f(x) = 1 - 3x e g(x) = k – x, então a solução da equação (fog) (2) = -12 é: a) -17 b) -7 c) 11/3 d) 22/5 e) 19/3 2 15) (CEFET-MG) Se f (0) = 2 e f (n + 1) = [f (n)] + 2, então f (2) é igual a: a) 22

b) 26

c) 36

d) 38

e) 44

FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 1) (FCMMG) Suponha que a temperatura T do ar exalado através das narinas varie com a temperatura ambiente A, obedecendo à seguinte lei T = b + m.A. Se T = 13 quando A = 5 e T = 17 quando A = 10, então o valor de A para que T = 20,2 é: a) 11

98

b) 12

c) 14

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d) 15


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2) FCMMG) Dentro de um tanque tampado, existem 300 litros de água. Para enchê-lo completamente, abre-se uma torneira; dela jorram 30 litros de água por hora para dentro do tanque. Depois de um certo tempo, o tanque fica completamente cheio e começa, a partir daí, a transbordar. Dos gráficos a seguir, o que melhor representa o volume de água no tanque, em função do tempo, é a)

b)

c)

d)

3) (UNA-MG) Dois ciclistas saem de um mesmo lugar, na mesma direção, com um intervalo de 1 hora. O primeiro partiu às 10 h, a uma velocidade de 20 km/h; o segundo partiu às 11 h, a 25 km/h. Pode-se dizer que se encontravam a uma distância de 5 km um do outro, às a) 13:00 horas

b) 13:50 horas

c) 14:00 horas

d) 14:30 horas

4) (UEMG) O comportamento da temperatura de um forno de uma padaria varia linearmente com o tempo, conforme o gráfico: Após a análise do gráfico, pode-se constatar que todas as informações estão corretas, EXCETO: a) A cada minuto, a temperatura do forno aumenta em 2,5°C. b) O tempo necessário, para que a temperatura do forno chegue a 40°C, é de 8 min. c) A temperatura inicial do forno era de 20°C. d) Depois de 5 minutos ligado, a temperatura do forno é de 30°C. 5) (Ibmec-MG) Na figura, estão representadas as funções, de R em R, definidas por: f(x) = -4x + n e g(x) = ax + b.

6) (UFOP-MG) O conjunto solução da inequação seguinte é:

7) (PUC-MG) Sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 5/2 e que f(1/2) = 0, então, o valor de x para que f(g(x)) = 0 é igual a a) –3/2 b) 2/3 c) –5/2 d) 2 e) –2/5

No

domínio da função há p números inteiros.

O valor de p é: a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

8) (Fund. João Pinheiro-MG) Considere P(x) = x ( x – 6 ) ( x – 18 ), sendo x uma variável real. Nessas condições, P(x) < 0 se, e somente se: a) x < 0 ou 6 < x < 18 b) x < 0 ou x > 18 c) 0 < x < 6 ou x > 18 Matemática - M1

d) 0 < x < 18 e) x < 6

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9) (PUC-MG) A medida da área sombreada na figura é igual a: a) 3/4 b) 7/4 c) 15/8 d) 11/4 e) 21/8 10) (UFOP-MG) Considere a inequação

.

O conjunto solução da inequação dada é:

FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU 1) (Univ. Itaúna-MG) Seja a função f: R → R, definida por y = 2x 2 + bx + c. Sabe-se que x’+ x” = 3 e x’. x”= -4. Então, o valor de f (b - c) é: a) -10

b) -8

c) -12

6) (UFMG) A soma de todas as raízes de

d) -6

2) (PUC-MG) a e b são raízes da equação . É CORRETO afirmar: a) ab > 0 d) ab < 0

7) (IH-MG) O valor de m para que a equação x2 + (15 - m)x + 25 = 0 tenha raízes reais iguais positivas, é:

c) a2b > 0

b) a + b > 0 e) ab = 0

3) (PUC-MG) A seguir, está uma lista de cinco funções reais de variável real:

Assinale o número de funções dessa lista cujo gráfico cartesiano é uma parábola: a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

4) (PUC-MG) O gráfico da função y = x2 + bx + b + 3 tangencia o eixo das abscissas. A soma dos possíveis valores de b é: a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

5) (PUC-MG) Na figura, está o gráfico da função f(x) = 4 - x2. A medida da área do retângulo hachurado é, em unidades de área: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9

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Matemática - M1

a) 5

b) 18

c) 20

d) 25

e) 30

8) (FCMMG) Às 10 horas, a temperatura de um indivíduo era de 40° C. Neste momento, ele tomou um antitérmico e sua temperatura em °C, a partir daí, passou a ser dada por T (t) = 40 – 2,5 t 2 onde t é a medida do tempo em horas. O horário em que sua temperatura baixou para 37,5°C foi: a) 11 horas b) 12 horas c) 13 horas d) 14 horas 9) (UFMG) Considere a equação (x2 - 14x + 38)2 = 112. O número de raízes reais distintas dessa equação é: a) 1

b) 2

c) 3

10) (PUC-MG) A raiz da equação pertence ao intervalo:

d) 4


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11) (Univ. Itaúna-MG) O conjunto solução da desigualdade a) [ -2, 2 ] b) ] -2, 2 [

é:

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17) (PUC-MG) Duas funções, f e g, são dadas por seus gráficos abaixo.

c) ]-∞, -2[ d) ]2,+∞ [

12) (PUC-MG) A soma dos números inteiros que não é:

pertencem ao domínio de a) –2

b) –1

c) 0

d) 1

e) 2

13) (PUC-MG) Se x2 ≥ 9 então:

A solução da inequação

é:

14) (UFMG) Seja M o conjunto dos números naturais tais que 2n2 - 75n + 700 ≤ 0. Assim sendo, é CORRETO afirmar que: a) apenas um dos elementos de M é múltiplo de 4. b) apenas dois dos elementos de M são primos. c) a soma de todos os elementos de M é igual a 79. d) M contém exatamente seis elementos. 15) (UEMG) O maior subconjunto de R para o qual está definida a função

está

representado em:

16) (Fund. João Pinheiro-MG) Certa noite, observouse que a temperatura em Diamantina, dada em graus centígrados, obedeceu à lei T(h) = h2 - 7h + 18, em que h é medido em horas e T(h) é a temperatura correspondente. Durante um determinado intervalo de tempo, essa temperatura manteve-se abaixo de 8°C. Assim sendo, a duração desse intervalo de tempo foi de: a) 2 horas b) 3 horas c) 4 horas d) 5 horas e) 6 horas

18) (N.Paiva-MG) Um carrinho de montanha russa desliza numa trajetória cuja equação é y = x2 - 5x - 6. Suponha que o carrinho parte do ponto A de coordenadas (7,8) e desce até o ponto B de ordenada -6. A maior distância hori-zontal percorrida pelo carrinho em metros é: a) 2

b) 4

c) 6

d) 7

19) (PUC-MG) Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo com lados medindo, respectivamente, 60 m, 80 m e 100 m. A medida da área do maior barracão retangular que se pode construir nesse terreno, na posição indicada na figura, em m2, é: a) 850 b) 900 c) 950 d) 1.100 e) 1.200 20) (PUC-MG) O gráfico representa as funções y = ax2 + bx + c e y = mx + n. Se A (-2,4) e B (1,1) são seus pontos de interseção, o valor da expressão 4a – 2b + c + m + n é: a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 e) 13 Matemática - M1

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FUNÇÃO MODULAR 1) (PUC-MG) Todas as afirmativas abaixo sobre números reais são corretas, EXCETO:

2) (UFJF-MG) O número de soluções negativas da equação | 5 x 6 | = x2 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 3) (PUC-MG) O gráfico que melhor representa a função | x + 1 | - 2 | = 2 é: a) b) c) d)

e)

4) (UFJF-MG) O número de soluções da equação (x - 2)2 + |2 - x| = 2 no conjunto dos números reais é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 5) (CEFET-MG) O número de raízes reais e distintas da equação | x + 1 | - 2 | = 2 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 6) (PUC-MG) Se f(x) = | x | + 1 então f(x - 1) é igual a:

7) (PUC-MG) O conjunto solução da desigualdade 2 < | x - 4 | < 5 é igual a:

8) (UFJF-MG) Na figura, temos os esboços dos gráficos de f (x) = x2 - 4x e g(x) = - |x + a| + b. Então g (5) vale: a) –3

b) –4

c) –2

d) –1

e) –5

9) (CEFET-MG) O conjunto solução da inequação

10) (PUC-MG) O conjunto solução da desigualdade O valor de b - a é: a) 0 b) 1

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c) 2

d) 3

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e) 4

é:


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MATEMÁTICA II ÂNGULOS, POLÍGONOS E TRIÂNGULOS 1) (PUC-MG) Na figura, AB = AC, BD é bissetriz do ângulo B e a medida do ângulo DBC é 33°30’. A medida do ângulo A, em graus, é: a) 46 b) 50 c) 56 d) 62 e) 67 2) (Univ. Itaúna-MG) Observe a figura. No triângulo eqüilátero da figura, DE // AB e AE é bissetriz de A . Então o valor de a, em radianos, é: a) π / 3 b) π / 4 c) π / 6 d) π / 2

a) β = 3α. b) β = 2α. c) β = α/2. d) β = 2α/3. e) β = 3α/2. 4) (N.Paiva-MG) A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos é 8. Se os dois polígonos tiverem o número de lados expresso por dois números inteiros consecutivos, a soma do número de lados dos dois polígonos é: b) 17

5) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, AD = BD, ACB = 60° e DAC é o dobro de ABD. A razão

é isósceles, com AB = AC, e nele está inscrito o triângulo eqüilátero DEF:

Se as medidas, em graus, dos ângulos BDF e DEA são, respectivamente, 50 e 80, então é CORRETO afirmar que a medida, em graus, do ângulo CFE é igual a: a) 45

3) (FAFEOD-MG) Na figura abaixo, os segmentos de reta AB, AC e CD são congruentes, b é um ângulo externo, e a um ângulo interno do triângulo ABD. Assinale a opção que contém a expressão correta de b em termos de a:

a) 9

6) (FAFEOD-MG) Na figura a seguir, o triângulo ABC

é igual a:

c) 19

d) 21

b) 55

c) 65

d) 75

7) (PUC-MG) Dois lados de um triângulo medem, respectivamente, 4 m e 10 m. Os possíveis valores da medida do terceiro lado, em metros, oscilam no intervalo: a) ] 6,10 [ b) ] 4,10 [ c) ] 6,14 [ d) ] 10,14 [ e) ] 4,14 [ 8) (UERJ) Dispondo de canudos de refrigerantes, Tiago deseja construir pirâmides. Para as arestas laterais, usará sempre canudos com 8 cm, 10 cm e 12 cm de comprimento. A base de cada pirâmide será formada por 3 canudos que têm a mesma medida, expressa por um número inteiro, diferente das anteriores. Veja o modelo: A quantidade de pirâmides de bases diferentes que Tiago poderá construir é: a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 9) (UFPE) Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes dos ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB mede 21°30’, qual a medida em graus do ângulo ADB? a) 43 b) 41 c) 40

d) 44 e) 42

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10) (PUC-MG) O ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos de um polígono regular de 20 lados, em graus, é: a) 80

b) 72

c) 20

d) 36

e) 18

11) (UFMG) Observe a figura. Nela, a, 2a, b, 2b e x representam as medidas, em graus, dos ângulos assinalados. O valor de x, em graus, é: a) 100 b) 10 c) 115 d) 120 12) (UFMG) Em relação à figura abaixo, podemos afirmar que o ângulo x mede:

13) (PUC-MG) Observando a figura, é correto dizer que x vale: a) a - 2b + c b) a + b - 2c c) 2a - b - c d) c + a - b e) c - a - b 14) (PUC-MG) O ângulo formado pelas mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular mede 36°. O número de diagonais desse polígono é: a) 35

b) 9

c) 70

d) 45

e) 6

15) (UFMG) Observe a figura. O maior dos segmentos representados é: a) AC b) AB c) BC d) CE

QUADRILÁTEROS 1) (N. Paiva-MG) Considere o quadrilátero a seguir.

Indique a alternativa CORRETA: a) se b = c então a = d/2 b) b + c = d – a c) a + b + c = 180° d) a + b + c + d = 360°

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2) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, podese usar como exemplo a figura denominada: a) losango b) trapézio

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7) (UFMG) Na figura, ABCD é um paralelogramo e M cm, a medida é o ponto médio de DC. Se AM = de AO, em cm, é:

c) retângulo d) quadrado

3) (UFOP) No losango a seguir, de lado x = 1 cm, a soma das diagonais mede, em cm:

4) (FUMEC-MG) O perímetro de um retângulo é 84 cm. A medida do lado menor está para a do lado maior assim como 2 está para 5. A medida do lado menor é, em centímetros: a) 16

b) 8

c) 12

d) 24

5) (FUMEC-MG) No trapézio, x é, em graus, a medida do ângulo A. A medida do ângulo C é: a) 110° b) 120° c) 130°30’ d) 115° 6) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, X é um ponto da circunferência de centro O e diâmetro AB, e M e N são pontos médios dos segmentos AC e AX, respectivamente.

8) (UFMG) O trapézio ABCD é isósceles, com AB // CD, AD = BC. A diagonal AC é perpendicular ao lado BC. Os ângulos agudos do trapézio são a metade dos ângulos obtusos. A base menor mede 2 cm. A medida de AD, em cm, é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9) (UFJF-MG) Na figura, ABCD é um quadrado e CED é um triângulo eqüilátero. Então o ângulo x, vale: a) 105° b) 110° c) 115° d) 120° e) 125°

10) (UFMG) Sobre figuras planas é CORRETO afirmarse que:

A medida MN em função do diâmetro AB é:

a) um quadrilátero convexo é um retângulo se os lados opostos têm comprimentos iguais, b) um quadrilátero que tem sua diagonais perpendiculares é um quadrado. c) um trapézio que tem dois ângulos consecutivos congruentes é isósceles. d) um triângulo eqüilátero é também isósceles. e) um triângulo retângulo é aquele cujos ângulos são retos.

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CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1) (Fac. Milton Campos-MG) Observe a figura. Nessa figura, o menor arco AB é o dobro do menor arco DE e o ângulo ACB mede 30°. A medida de AÔB é: a) 20° b) 45° c) 15° d) 30°

III. O perímetro do triângulo de vértices B, C e O mede 9 cm. IV. A corda AB mede 3

b) 64°

c) 96°

d) 128°

3) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos ABD e AED medem, respectivamente, 20° e 85°. Assim sendo, o ângulo CBD mede: a) 30° b) 40° c) 25° d) 35° 4) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, DB e DC são tangentes à circunferência circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos BDC e BCA medem 140° e 40°, respectivamente. Se m e n são, respectivamente, as medidas em graus, do maior e do menor ângulo do triângulo ABC, o valor de m - n é: a) 20° b) 40° c) 60° d) 80° e) 100°

cm.

O número de afirmativas VERDADEIRAS é: a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 7) (MACK-SP) Na figura, O é o centro da circunferência e a mede 15°. A medida de b é: a) 95° b) 105° c) 110°

d) 115° e) 120°

8) (UFLA-MG) Um automóvel percorreu uma distância de 125,6 km. Sabendo-se que os pneus têm 0,5 m de diâmetro, o número de voltas dadas por um pneu foi aproximadamente: a) 251.200 b) 125.600 c) 80.000

d) 40.000 e) 12.560

9) (FUMEC-MG) Na figura, AB e BC são, nessa ordem, os lados de um quadrado e de um pentágono regular inscritos. Em vista disso, o ângulo ADC mede: a) 80° b) 70° c) 81° d) 75° 10) (UFJF-MG) Dados dois pontos distintos, A e B, de uma circunferência C e uma reta r que passa por esses pontos, é INCORRETO afirmar que:

5) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, B e D são pontos da circunferência de centro O e diâmetro AC, M é ponto médio da corda AB e o ângulo ADM mede 35°. A medida x do ângulo BAC, em graus, é: a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 37,5

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I. O triângulo de vértices A, B e C é retângulo. II. O triângulo de vértices A, O e B é isósceles.

2) (UNA-MG) Seja r uma reta tangente em A à circunferência de centro O. Se B é outro ponto da circunferência tal que AÔB = 64°, então o menor ângulo formado pelas retas r e AB mede: a) 32°

6) (PUC-MG) Os pontos A, B e C pertencem ao semicírculo de centro O e raio r = 3 cm, conforme a figura abaixo. O ângulo BÂC mede 30°. Com base nessas informações, analise as afirmativas:

Matemática - M1

a) para que uma reta tangente à circunferência C em um dos pontos A ou B seja perpendicular à reta r, é necessário e suficiente que r passe pelo centro de C. b) qualquer reta, exceto a reta r, que passe pelo centro da circunferência C corta o segmento AB ao meio. c) o ponto de tangência de uma reta tangente à circunferência C, que é paralela à reta r, divide o arco AB ao meio. d) se a reta r passa pelo centro da circunferência C, então qualquer triângulo inscrito no círculo delimitado por C, que tem como um de seus lados o segmento AB, é um triângulo retângulo.


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ITAPECURSOS

TEOREMA DE THALES E SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 1) (PUC-MG) Um homem de 1,70 m de altura está de pé, em uma calçada plana, a 2 m de distância de um poste vertical de 3 m de altura com uma luz no topo. O comprimento da sombra do homem, projetada na calçada, é aproximadamente: a) 2,51 m b) 2,52 m c) 2,55 m d) 2,61 m e) 2,65 m

a) 48

b) 52

c) 56

d) 60

e) 64

7) (UFMG) Os triângulos ABE e ACD são retângulos em B e C, respectivamente. Sabendo-se que AB = 3 cm, BC = 2 cm e AE = 4 cm, a medida de AD é, em cm:

2) (UNA-MG) Considere o triângulo isósceles ABC onde AB = 12cm e BC = 5 cm . Tomamos um ponto M no lado AC tal que AM = 3 cm e, por M, traçamos uma paralela ao lado BC, determinando o ponto N em AB . A medida, em cm, do segmento MN é: a) 1,25

6) (Fund. João Pinheiro-MG) Dois segmentos AB e CD cortam-se em um ponto M. Os triângulos AMD e BMC são tais que AM = 16, CM = 36, DM = 9 e os ângulos DAM e CBM têm medidas iguais. Nessas condições, BM é igual a:

b) 7,2

c) 12

d) 20

3) (N.Paiva-MG) A medida do segmento que a bissetriz externa do vértice C determina sobre o prolongamento do maior lado de um triângulo, sabendo-se que os lados são, respectivamente, proporcionais aos números 2, 6 e 10, sendo o perímetro de 72 metros, é:

a) 7 b) 15/4 c) 20/3 d) 12/5 e) 9 8) (UFMG) No triângulo ABC da figura, retângulo em A inscreve-se uma semi-circunferência cujo diâmetro se encontra sobre a hipotenusa BC. Se AB = 3 cm, BC = 5 cm, então o raio da semi-circunferência mede, em cm:

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 4) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, os segmentos AD e BC são paralelos, AD = 8, AB = 3 e BC = 7. Sendo P o ponto de interseção das retas AB e DC, a medida do segmento BP é:

9) (UFMG) No paralelogramo ABCD da figura, AD = 3m e BM = 2m. O segmento CN mede:

a) 21 b) 24 c) 22 d) 23 5) (PUC-MG) A figura abaixo mostra uma peça plana ABC onde BA = 4 m é tangente ao arco de circunferência CA em A, e o raio da circunferência mede 3 m. A distância, em metros, de C ao lado AB é igual a: a) 0,5 b) 0,8 c) 0,9 d) 1,0 e) 1,2

10) (UFMG) No trapézio ABCD, MN é paralelo a AB. Se AB = 36 cm, DC = 12 cm e as alturas dos trapézios ABCD e MNCD são, respectivamente, 15 cm e 10 cm, pode-se afirmar que a medida de MN, em cm, é: a) 16 b) 24 c) 28 d) 36 e) 48 Matemática - M1

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ITAPECURSOS

RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS 1) (PUC-MG) No triângulo retângulo da figura, M é o ponto médio do cateto AB, AC = 4 cm e A medida de CM, em centímetros é:

6) (Fund. João Pinheiro-MG) Observe esta figura. Com os dados registrados na figura, obtém-se para BC o valor: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

2) (FCMMG) Observe a figura:

7) (PUC-MG) A interseção de duas retas perpendiculares, r e s, é um ponto A. Um ponto B, de r, está a 3 m de A e um ponto C, de s, está a 4 m de A. A distância de A à reta BC, em m, é: a) 2,5

Nela AB = BC, AC = 10, AE = 16 e ABC = 120°. A soma do perímetro da semicircunferência CDE com os lados AB e BC é igual a:

b) 2,4

c) 2,3

d) 2,0

e) 1,5

8) (UFOP-MG) A diagonal de um retângulo mede 10 cm. A diferença entre a base e a altura é igual a 2 cm. O perímetro do retângulo mede: a) 50 cm d) 14 cm

b) 44 cm e) 10 cm

c) 28 cm

9) (UFMG) Observe a figura.

3) (UFJF-MG) Se um triângulo de lados iguais a 6 cm, 8 cm e 10 cm está inscrito em uma circunferência, então o centro da circunferência: a) é extremidade de uma das alturas do triângulo. b) é exterior ao triângulo. c) está sobre o lado de medida 6 cm. d) está sobre o lado de medida 8 cm. e) está sobre o lado de medida 10 cm. 4) (UFJF-MG) Dobrando-se sucessivamente um papel em forma de triângulo retângulo isósceles, onde cada cateto mede 256 cm, unindo-se sempre os vértices relativos à hipotenusa, obteremos novos triângulos retângulos cada vez menores. Se dobrarmos 8 vezes consecutivas como descrito acima, e desprezando-se a espessura do papel, cada um dos catetos do triângulo retângulo assim formado medirá: a) 1 cm d) 16 cm

b) 2 cm e) 32 cm

c) 8 cm

5) (UNA-MG) Para subir um muro de 12 m de altura, colocou-se uma escada de 20 m de comprimento de um lado e, do outro lado do muro, colocou-se uma outra escada de modo que elas ficaram perpendiculares no alto do muro. A distância, em m, do pé da segunda escada até o muro é: a) 9

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b) 15

c) 16

Matemática - M1

d) 25

Nessa figura, o trapézio ABCD tem altura bases AB = 4 e DC = 1. A medida do lado BC é:

e

10) (Fund. João Pinheiro-MG) A distância entre cada um de dois pontos, A e B, e um terceiro ponto, C, medem, respectivamente, 7 m e 8 m. O ângulo ACB mede 120°. Assim sendo, a distância entre os pontos A e B mede: a) 10 m d) 13 m

b) 11 m e) 14 m

c) 12 m


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11) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, AB é um diâmetro do círculo de centro O e raio 2 e o ângulo PAB mede 15°. Nesse caso, a distância do ponto P à reta AB é de:

12) (PUC-MG) O ponto A de uma circunferência está a 8 m de um dos extremos de um de seus diâmetros e a 6 m da outra extremidade desse mesmo diâmetro. A medida do raio da circunferência, em metros, é: a) 3

b) 4

c) 5

d) 8

e) 10

13) (PUC-MG) No retângulo ACDE da figura, AB = 6cm e BC = 8cm. Nessas condições, a medida do segmento BE, em centímetros, é: a) 2

b) 11/4

ITAPECURSOS

14) (CEFET-MG) Três círculos de mesmo raio r, devem ser inscritos em um circulo maior de raio R, tocando-se entre si, tangencialmente, como na figura abaixo. O valor de r deve ser:

15) (UFLA-MG) Os lados de um triângulo medem 1 m, 2 m e 3 m. A medida em metros, que adicionada aos três lados, transforma o triângulo em um triângulo retângulo é: a) 1 m

b) 2 m

c) 3 m

d) 4 m

e) 5 m

c) 18/5 d) 19/5 e) 4

RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA 1) (Univ. Itaúna-MG) Observe a figura. Nela, AC = 12 cm; A, E e F são pontos de tangência. O perímetro do triângulo BCD, em metros, é: a) 0,24 b) 2,4 c) 1,2 d) 0,012 2) (FUVEST-SP) O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo a radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. Então a é igual a:

3) (PUC-MG) O enfeite representado na figura é fabricado com um único arame dobrado sucessivamente em semicírculos, de modo que cada uma das extremidades do arame coincida com uma das extremidades do diâmetro AB que mede 6 cm. O comprimento do fio de arame, em cm, é de aproximadamente:

4) (UFOP-MG) De um ponto P exterior a uma circunferência traçam-se uma secante PB de 32 cm que passa pelo seu centro e uma tangente PT cujo comprimento é 24 cm.O comprimento dessa circunferência é: a) 7π cm b) 8π cm c) 10π cm d) 12π cm e) 14π cm 5) (PUC-MG) Na circunferência da figura, de centro O e raio igual a 9 m, sabe-se que a tangente PB = 2PA. A distância do ponto P à circunferência é: a) 12 m b) 24 m c) 6 m d) 3 m e) 5 m

a) 5π b) 6π c) 7π d) 8π e) 9π

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ITAPECURSOS

ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 1) (FUMEC-MG) Na figura, a área do triângulo sombreado é: a)

5) (PUC-MG) Na figura, o raio da circunferência mede r. A função f que expressa a medida da área do triângulo de vértices A, B e C em função de r é:

b) c) d) 2) (UFOP-MG) Uma circunferência se encontra inscrita em um trapézio isósceles de bases 10 cm e 6 cm, conforme a figura abaixo. As áreas da circunferência e do trapézio medem, em cm2, respectivamente: 6) (UEMG) Considere um quadrado ABCD de lado 10 cm e os pontos E e F sobre os lados AB e AD, respectivamente, sendo que AE e AF têm a mesma medida. O valor da medida AE, para que a área hachurada represente 3/4 da área do quadrado, é: 3) (PUC-MG) Um cão de guarda está preso à extremidade de uma corrente de 2,5 m de comprimento. A outra extremidade desliza ao longo de uma barra de 7 m, afixada em um muro. A medida da área protegida pelo animal, em metros quadrados, é mais próxima de:

a) 21

b) 27

c) 32

d) 37

e) 43

4) (PUC-MG) Na figura, o triângulo de vértices A,B e . O C é eqüilátero, e sua área mede segmento MD é perpendicular ao lado AC e o ponto M divide o lado BC em duas partes iguais. Nessas condições, a medida do segmento MD, em metros, é igual a:

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Matemática - M1

7) (Fac. Mlton Campos-MG) Considere a figura: Se AM = MP = PQ = QB e a área do triângulo ABC é 48 cm2, então a área do triângulo CPQ é de: a) 20 cm2 b) 12 cm2 c) 16 cm2 d) 18 cm2 8) (Fund. João Pinheiro-MG) Considere um triângulo ABC inscrito em um semicírculo de diâmetro AB tal que a medida do ângulo CAB seja de 30°. Sabe-se que o raio do semicírculo mede 4 cm. Então, a diferença entre as áreas do semicírculo e do triângulo, nessa ordem, é de:


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9) (FCMMG) Observe a figura.

ITAPECURSOS

12) O comprimento do pelotão, em m, é: a) 12 (a + b) d) 5a + 6b

b) 11a + 12b e) 6a + 6b

c) 12a + 11b

13) A medida da área ocupada pelo pelotão, em metros quadrados, é: a) 72 (a2 + 2ab + b2) b) 72a2 + 126ab + 55b2 c) 60 (a2 + 2ab + b2) d) 66a2 + 127ab + 60b2 e) 55a2 + 126ab + 72b2

Os quadrados AFGC, CHIB e BDEA foram construídos sobre os lados do triângulo retângulo ABC. Se a área do quadrado AFGC é 36 e sen θ = 0,6, a área do retângulo BIJL é: a) 32

b) 48

c) 64

14) (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, ABCD é um quadrado de lado 1, EF = FC = FB e DE = 1/2. A área do triângulo BCF é:

d) 82

10) (Fund. João Pinheiro-MG) Uma praça tem a forma de um triângulo isósceles. Nesse triângulo, o perímetro mede 48 m e a medida da base corresponde a 6/5 da medida dos lados congruentes. A área dessa praça mede, portanto: a) 104 m2 d) 114 m2

b) 108 m2 e) 120 m2

c) 112 m2

11) (PUC-MG) Um dos canteiros de uma praça tem a forma de um setor circular com 4 m de raio e ângulo central de 1,6 radianos. Para cobrir esse canteiro, foram compradas a placas de grama esmeralda; tais placas são quadradas, têm 1 m de lado e são facilmente cortadas, para, com os pedaços, cobrir pequenas áreas. Com base nessas informações, pode-se estimar que o valor de a é mais próximo de: a) 4 b) 6 c) 9 d) 13 e) 15 (PUC-MG) Utilize as informações do texto a seguir para responder às questões 12 e 13. Um pelotão, com 72 soldados do Corpo de Bombeiros, dispostos em 6 colunas e 12 linhas, está perfilado para a saudação matinal à bandeira e para a ordem do dia. Cada um dos soldados ocupa a área de um quadrado de lado a metros e a distância entre dois desses quadrados consecutivos é b metros, tanto na direção da coluna quanto na direção da linha a que pertencem.

15) (UFMG) Observe a figura.

Nessa figura, está representado um canteiro retangular de 6 m de largura por 10 m de comprimento, cercado por um passeio de largura constante. Se a área do passeio é de 36 m2, a medida de sua largura, em metros, é: a) 0,5 b) 2 c) 1 d) 1,5

Matemática - M1

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ITAPECURSOS

MATEMÁTICA I Aritmética em N 1) e 2) b 3) c 11) d 12) b 13) d Números Racionais 1) c 2) d 3) b 11) c 12) b 13) d Números Reais 1) e 2) b 3) a Unidades de Medidas 1) d 2) b 3) b Cálculo Algébrico 1) d 2) e 3) a Matemática Comercial 1) c 2) e 3) c 11) b 12) e 13) c Função 1) e 2) d 3) b 11) e 12) c 13) a Função do Primeiro Grau 1) c 2) a 3) c Função do Segundo Grau 1) c 2) a 3) b 11) b 12) c 13) d Função Modular 1) e 2) b 3) a

4) d 14) a

5) e 15) a

6) a

7) a

8) d

9) a

10) c

4) c 14) d

5) b 15) a

6) a

7) a

8) b

9) d

10) b

4) b

5) a

6) a

7) d

8)b

9) e

10) d

4) d

5) b

6) a

7) c

8) b

9) c

10) d

4) c

5) b

6) b

7) a

8) a

9) a

10) c

4) c 14) d

5) a 15) d

6) b 16) d

7) a 17) b

8) a 18) e

9) b 19) b

10) a 20) a

4) c 14) e

5) b 15) d

6) a

7) c

8) e

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10) b

4) d

5) a

6) b

7) e

8) a

9) e

10) e

4) d 14) a

5) d 15) c

6) d 16) b

7) d 17) a

8) a 18) d

9) c 19) e

10) e 20) a

4) b

5) d

6) c

7) e

8) d

9) a

10) e

MATEMÁTICA II Ângulos, Polígonos e Triângulos 1) a 2) d 3) a 4) c 11) d 12) d 13) e 14) a Quadriláteros 1) d 2) a 3) d 4) c Circunferência e Círculo 1) c 2) a 3) c 4) e Teorema de Tales e Semelhança 1) d 2) a 3) b 4) a Relações Métricas nos Triângulos 1) e 2) c 3) e 4) d 11) b 12) c 13) c 14) c Relações Métricas na Circunferência 1) a 2) b 3) e 4) e Área das Figuras Planas 1) b 2) c 3) b 4) e 11) d 12) c 13) b 14) d

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Matemática - M1

5) b 15) b

6) c

7) c

8) a

9) a

10) e

5) b

6) c

7) c

8) b

9) d

10) d

5) a

6) d

7) b

8) c

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10) b

5) e

6) e

7) c

8) c

9) c

10) c

5) a 15) b

6) e

7) b

8) c

9) a

10) d

6) a

7) b

8) a

9) c

10) b

5) c 5) c 15) c

Matemática modulo 01  
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