UEA – Licenciatura em Matemática
Sendo assim, fazendo uso do exercício anterior, concluímos que existem infinitos planos passando pelos pontos A e B.
Retas reversas no cotidiano
1. (Proposição 2) Mostre que um plano fica determinado de modo único, por duas retas concorrentes. 2. (Proposição 3) Mostre que um plano fica determinado de modo único, por duas retas paralelas entre si e distintas.
5. Quadrilátero reverso Definição – Um quadrilátero é chamado reverso se, e somente se, não existe plano contendo seus quatros vértices.
3. Prove que duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas são coplanares. 4. Mostre que, se duas retas são paralelas distintas, todo plano que contém uma delas e um ponto da outra, contém a outra. 5. Classifique em verdadeiro ou falso, justificando sua resposta. a) Três pontos distintos determinam um plano. b) Um ponto e um reta determinam um único plano.
Se α = (A, B, D) e C ∉ α, então ABCD é um quadrilátero reverso.
c) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.
Exemplo 1
d) Três retas distintas, duas a duas concor-
Mostre que todo quadrilátero reverso não pode ser um paralelogramo.
rentes, determinam um ou três planos. e) Três retas distintas, duas a duas concor-
Solução: (Demonstração pelo método indireto)
rentes, determinam um único plano.
Suponha que um quadrilátero reverso ABCD, seja um paralelogramo ⇒ ⇒ ∃α “plano” tal que ⊂ α, ⊂ α, portanto os pontos A, B, C e D estão contidos em α. Isso gera um absurdo em relação à hipótese .
f) Quatro pontos distintos e não-colineares determinam um único plano. 4. Retas reversas ditas reversas se, e somente se, não existe
Logo, o quadrilátero reverso ABCD, não pode ser um paralelogramo.
plano que as contenha.
Exemplo 2
Definição – Diremos que duas retas r e s são
Notação: r e s são reversas ⇔
α; r, s ⊂ α e
As diagonais de um quadrilátero reverso são reversas.
r∩s=∅ 14