Função exponencial e função logarítmica

Função exponencial e função logarítmica A variação de inúmeras grandezas pode ser representada por uma sequência numérica em que o produto de um termo por uma taxa constante é o termo seguinte; por exemplo: crescimento populacional, decaimento radioativo e os montantes acumulados em uma aplicação financeira. Essas variações podem ser estudadas pela função exponencial.

A inversa da função exponencial é a função logarítmica.

A função exponencial

Inequação exponencial

f(x) 5 ax, com a 9 VR 1e a %1 A função exponencial f(x) 5 ax é injetora, isto é, para quaisquer x1 e x2 do domínio de f, temos a equivalência: ax1 5 ax2 [ x1 5 x2 Note que essa função também é sobrejetora, pois para qualquer y, com y 9 V*1, existe x, com x 9 V, tal que y 5 ax.

A função exponencial f(x) 5 ax, com a . 1, é crescente.

Isso significa que, para quaisquer x1 e x2 do domínio de f, temos a equivalência: ax2 . ax1 [ x2 . x1 y ax2

ax1 1 0

x1

x2

x

A função exponencial f(x) 5 ax, com 0 , a , 1, é decrescente. Isso significa que, para quaisquer x1 e x2 do domínio de f, temos a equivalência: ax2 . ax1 [ x2 , x1 y

Inequação exponencial é toda inequação que apresenta a variável no expoente de uma ou mais potências de base positiva e diferente de 1.

As resoluções de uma inequação exponencial baseiam-se nas equivalências: • Para a . 1: ax2 . ax1 [ x2 . x1 • Para 0 , a , 1: ax2 . ax1 [ x2 , x1

Logaritmo Sendo a e b números reais positivos, com b % 1, chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx 5 a. logb 5 a 5 x [ bx 5 a Na sentença logba 5 x: • a é o logaritmando; • b é a base do logaritmo; • x é o logaritmo de a na base b.

Chama-se logaritmo decimal aquele cuja base é 10. Indica-se o logaritmo decimal de um número a simplesmente por log a (a base 10 fica subentendida).

Dado um número real a positivo, chama-se logaritmo natural do número a aquele cuja base é o número de Neper (e).

Indicamos esse logaritmo natural simplesmente por ln a:

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Chama-se função exponencial toda função f: V p VR 1, tal que:

ln a 5 loge a Também chamamos o logaritmo natural de logaritmo neperiano.

ax2

Propriedades dos logaritmos Para quaisquer números reais positivos a, b e c, com b % 1, temos:

ax1 1 x2

x1

P1. logb b 5 1

0

x

P2. logb 15 0 P3. logb ay 5 y 3 logb a

Equação exponencial Equação exponencial é toda equação que apresenta a incógnita no expoente de uma ou mais potências de base positiva e diferente de 1.

A resolução de uma equação exponencial baseia-se na equivalência:

ax1 5 ax2 [ x1 5 x2

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P4. logb bx 5 x P5. blogba 5 a P6. logb ac 5 logb a 1 logb c P7. logb __ ​ ac ​5 logb a 2 logb c log a P8. logb a 5 _____ ​(com k9 VR ​ k 1 e k % 1) logk b

MATEMÁTICA

21.10.10

17:46:40

A função logarítmica

A inversa da função logarítmica

Chama-se função logarítmica toda função f: VR1 p V, tal que:

A inversa da função logarítmica f(x) 5 logb x é a função exponencial f 21(x) 5 bx. � 11 bb . y

f(x) 5 logb x, com b 9 VR 1 e b % 1

f �1 r

A função logarítmica f(x) 5 logb x é injetora, isto é, para quaisquer x1 e x2 do domínio de f, temos a equivalência:

1

f

logb x1 5 logb x2 [ x1 5 x2

x

1

Note que essa função também é sobrejetora, pois para qualquer y, com y 9 V, existe x, com x 9 V*1 tal que y 5 logb x.

A função logarítmica f(x) 5 logb x, com b . 1, é crescente.

Isso significa que, para quaisquer x1 e x2 do domínio de f, temos a equivalência: logb x2 . logb x1 [ x2 . x1

�b 00, b� ,11 f

�1

y r

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

y 1 logb x2 x

1 logb x1

f

0

1

x1

x2

x

A função logarítmica f(x) 5 logb x, com 0 , b , 1, é decrescente. Isso significa que, para quaisquer x1 e x2 do domínio de f, temos a equivalência: logb x2 , logb x1 [ x2 . x1 y 1 0

x1

Note, em cada figura, que os gráficos de f e de f 21 são simétricos em relação à reta r, bissetriz dos quadrantes ímpares.

Equação logarítmica Equação logarítmica é toda equação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo.

A resolução de uma equação logarítmica baseia-se na equivalência: logb x15 logb x2 [ x1 5 x2

x2 x

Inequação logarítmica Inequação logarítmica é toda inequação que apresenta a variável no logaritmando ou na base de um logaritmo.

As resoluções de uma inequação logarítmica baseiam-se nas equivalências: • Para b . 1: logb x2. logb x1 [ x2 . x1 • Para 0 , b , 1: logb x2 , logb x1 [ x2 . x1

logb x1

logb x2

Função exponencial e Função logarítmica

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51

29.10.10

10:45:10

Função exponencial e função logarítmica

No Vestibular 1. (Unifesp) Sob determinadas condições, o antibiótico

6. (Ufac) Se a e b são números reais e a função f definida por

gentamicina, quando ingerido, é eliminado pelo organismo à razão de metade do volume acumulado a cada hora. Daí, se K é o volume da substância no organismo,

f(x) 5 a 3 2x 1 b, para todo x real, satisfaz f(0) 5 0 e f(1) 5 1, então a imagem de f é o intervalo:

@ #

t __

1 2 pode-se utilizar a função f(t) 5 K 3 ​ __ ​ ​ ​​ ​para estimar a sua 2 eliminação depois de um tempo t, em horas. Neste caso, o tempo mínimo necessário para que uma pessoa conserve no máximo 2 mg desse antibiótico no organismo, tendo ingerido 128 mg numa única dose, é de: a) 12 horas e meia b) 12 horas c) 10 horas e meia

a) ]1, 1`[ b) ]0, 1`[

c) ]2`, 1[ d) [21, 1]

e) ]21, 1`[

7. (UFSCar-SP) Para estimar a área da figura ABDO (colorida no desenho), onde a curva AB é parte da representação gráfica da função f(x) 5 2x, João demarcou o retângulo OCBD e, em seguida, usou um programa de computador que “plota” pontos aleatoriamente no interior desse retângulo. Sabendo-se que dos 1.000 pontos “plotados”, apenas 540 ficaram no interior da figura ABDO, a área estimada dessa figura, em unidades de área, é igual a:

d) 8 horas

y

C

2. (Unioeste-PR) Sendo a função c expressa pela lei

B

c(t) 5 222t 1 2t12 1 32, e sendo t um número real, é correto afirmar que: a) c(t) . 0 se t > 0 A

b) c é uma função crescente. c) c possui uma única raiz real.

0

d) o domínio de c é o conjunto dos números reais positivos. t

e) a função c pode ser escrita como c(t) 5 24 1 2(2 ) 1 32, que pode ser simplificada para c(t) 5 22t 1 2t 1 1 1 16, representando a mesma função.

3. (Insper) Se a . 1, então a equação a x 1 ax 2 2 a 5 0 tem: a) nenhuma solução. b) nenhuma ou apenas uma solução, dependendo do valor de a. c) nenhuma, apenas uma ou apenas duas soluções, dependendo do valor de a. d) apenas uma solução, independente do valor de a. e) apenas duas soluções, independente do valor de a.

4. (Unioeste-PR) Uma colônia A de bactérias cresce segundo t

a função A(t) 5 2 3 (4 ) e uma colônia B cresce segundo a função B(t) 5 32 3 (2t), sendo t o tempo em hora. De acordo com estas funções, imediatamente após o instante t’, o número de bactérias da colônia A é maior que o número de bactérias da colônia B. Pode-se afirmar que: a) t’ é um número ímpar.

x

a) 4,32 b) 4,26

c) 3,92 d) 3,84

e) 3,52

8. (Unioeste-PR) Sejam x, y e z números reais positivos. A 1 expressão 5log x 1 __ ​ ​ log y 22log z é igual a: 3 y ​ x5 1 d​ ll log x5 log y3 y

​ c) log _______ ​ ​

e) log ​ 5x 1 __ ​ ​22 ​ a) ​ ____________ 2 3 log z z2

@

#

y ​ x5 3​dll ​ 2 ​

d) log _____ z

5xy b) log ____ ​ ​ 6z

9. (UFPel-RS) Considerando o sistema de equações log x 1 log y 5 1 ​ ​, o produto xy é: ​ {​ 4 5 128 ​ 2 y 2 1

2 ​ a) 3​dll 2 ​ 2​dll

b) ​ ____ ​ 3

4

9 c) ​ __ ​ 2 2 ​ 3​dll ____ d) ​ ​

2

e) 3 f) I.R.

10. (Insper) Quando aumentamos em 60% um número real positivo b, seu logaritmo decimal aumenta em 20%. Considerando log 2 5 0,30, podemos concluir que:

b) t’ é divisível por 3. c) o dobro de t’ é maior que 7.

a) b 5 1 b) b 5 2

d) t’ é maior que 15. e) t’ é múltiplo de 5. @ # #​ . (4)x é: 5. (Udesc) O conjunto solução da inequação​@ ​dlllll 2​ x22 ​ ​

3

x13

c) b 5 4 d) b 5 8

e) b 5 10

11. (UFSCar-SP) Um paciente de um hospital está recebendo

c) S 5 {​ x 9 Vox ,21 ou x . 6 }​

soro por via intravenosa. O equipamento foi regulado para gotejar x gotas a cada 30 segundos. Sabendo-se que esse número x é solução da equação log4 x 5 log2 3, e que cada gota tem volume de 0,3 mL, pode-se afirmar que o volume de soro que este paciente recebe em uma hora é de:

e) S 5 {​ x 9 Vox , 2​dll 6 ​ ou x . d​ ll 6 ​ }​

a) 800 mL b) 750 mL

a) S 5 {​ x 9 Vo21 , x , 6 }​

b) S 5 {​ x 9 Vox ,26 ou x . 1 }​

d) S 5 {​ x 9 Vo26 , x , 1 }​

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D�2

t11

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

e) 6 horas

c) 724 mL d) 500 mL

e) 324 mL

MATEMÁTICA

29.10.10

10:49:22

@ #

y

{

Logo, o conjunto imagem de f é o intervalo ]21, 1`[.

Alternativa e.

Exercício 7

f(x)

A área do retângulo é dada por 2 3 f(2) 5 8. Assim, admitindo-se uma “plotagem” equiprovável, a área estimada será proporcional ao número de pontos 8 3 540

​ 5 4,32 plotados. Logo: A 5 ______ ​ 1.000 Alternativa a. y ​ x53​dll 1 ​ 2 ​ 5log x 1 __ ​ ​ log y 2 2log z 5 log ____ 3 z Alternativa d.

Para x . 0 e y . 0, temos: log2 x 1 log4 y 5 1 log4x2y 5 1 ​

​ ​​ ​​ ] ​ ​ y21 4 5 128 22y22 5 27 ​ ​ 2 ​ 2​dll x 5 ____ ​ ​ 3

​ ​ } ​​ 9 ​ y 5 ​ __ 2 ​ } x 3 y 5 3​dll 2 ​ Alternativa a. log (1,6b) 5 (1,2)log b ] log 1,6 1 log b 5 1,2log b 0,2 } 0,2log b 5 log 16 21 ] log b 5 ___ ​ ​ 0,2 } b 5 10 Alternativa e.

1 1

g(x)

x

Exercício 4

Alternativa e.

Sendo te o instante procurado, devemos ter: 2 3 4 te . 32 3 2 te ] 2 te . 16 } te . 4 Alternativa c.

@​ 3​dlllll #​x13 . (4)x ] ​2​​ 2​@ x22 #​ ​

(x22)(x13) __________

​

​. 22x } x 2 5x 2 6 . 0 ] x ,21 ou x . 6 Alternativa c.

3

2

{

{

Exercício 11

g

2 1 1

{

{

{

Para x . 0, temos:

f(0) 5 0 3 20 1 b 5 0 ​​ ​ ​ ​​ ] ​ a ​ f(1) 5 1​ a 3 211 b 5 1 ​ } a 5 1 e b 5 21 Assim, temos: f(x) 5 2x 2 1 O gráfico da função g(x) 5 2x é: y

log2 x ​5 log2 3 log4 x 5 log2 3 ] ​ _____ log2 4 log x 2 } ​ _____ ​ 5 log2 3 ] log2 x 5 2log2 3 2 } log2 x 5 log2 32 ] log2 x 5 log2 9 }x59 Assim, o volume, em mililitro, que o paciente recebe em 9 3 0,3 3 3.600

​ 5 324 uma hora é: ____________ ​ 30 Alternativa e.

x

Função exponencial e função logarítmica

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x

1 �1

Exercício 8

y

1

Exercício 9

Para a . 1, temos: a x 1 ax 2 2 a 5 0 ] 2ax 2 1 a } a x21 5 2x 2 1 1 Assim, o número de soluções da equação acima é determinado pelo número de intersecções dos gráficos de f(x) 5 a x21 e de g(x) 5 2x 2 1 1.

Logo, representando os dois gráficos num mesmo sistema cartesiano ortogonal, temos:

f

Exercício 6

Fazendo c(t) 5 0, temos: 222t 1 2t 1 2 1 32 5 0 ] 2(2t )2 1 2 3 (2t ) 1 32 5 0 t 22 ! 6 2 ​

​ 5 4 ​

​ ] ​ } 2t 5 _______ 22 2t 5 22​ } t52 Alternativa c.

�1

Exercício 6

O gráfico de f é uma translação vertical do gráfico de g em uma unidade para baixo; isto é:

Exercício 10

Exercício 1 Exercício 2 Exercício 3

@ #

Exercício 5

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Como a massa é diretamente proporcional ao volume, para f(t) = 2 e K = 128, temos: t t 1 __​ ​ 1 __​ ​ f(t) 5 K 3 ​​ ​ __ ​ ​2 ​ ] 2 5 128 3 ​​ ​ __ ​ ​2​ 2 2 } t 5 12 Alternativa b.

NO VESTIBULAR

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29.10.10

10:49:51

12. (UFPel-RS) A natureza dotou a espécie humana de uma

19. (Uepa) Um produtor do interior do estado do Pará decidiu

sensibilidade auditiva que diminui com o aumento do nível da pressão sonora.

investir no plantio de uma nova variedade de banana, a BRS Conquista, em função das vantagens apresentadas, entre elas, a resistência às doenças como mal-do-panamá, sigatoka amarela e negra. No primeiro ano do plantio, esse produtor plantou x mudas de bananas. Em seu planejamento, o produtor previu que seu plantio dobraria a cada ano. Após quanto tempo o número de mudas passará a ser 20 vezes a quantidade inicial? (log 2 5 0,3)

O nível de pressão sonora (NPS) pode ser definido

@ #

P pela expressão: NPS 5 20log​ ​ __ ​ ​, em que P é o valor P0 da pressão medida e P0 é a pressão de referência, isto é, a menor pressão percebida pelo ouvido humano (P0 5 2 3 1025), medidas em Pascal.

a) 4 anos e 8 meses b) 4 anos e 4 meses c) 4 anos e 3 meses d) 4 anos e 2 meses e) 4 anos e 1 mês

Com base no texto e em seus conhecimentos, é correto afirmar que, considerando log 2 5 0,3, a expressão NPS pode ser escrita como: a) 20 3 log P 1 1,5 b) 20 3 log P 2 1,5 c) 20 3 log P 1 94 d) log P 1 9,4 e) 5 3 log P 1 20 f) I.R.

20. (Unifesp) A relação P(t) 5 P0(1 1 r)t, onde r . 0 é constante,

13. (UFSCar-SP) Em notação científica, um número é escrito na forma p 3 10q, sendo p um número real tal que 1 < p , 10, e q é um número inteiro. Considerando log 2 5 0,3, o número 2255, escrito em notação científica, terá p igual a: 10 ​ a) ​dlll

d) 1,2

3 ​ b) ​dll

e) 1,1

2 ​ c) ​dll

a) T 5 log(1 1 r) 2 b) T 5 logr 2 c) T 5 log2 r d) T 5 log2 (11r) e) T 5 log(1 1 r) (2r)

21. (Unifesp) A tabela representa valores de uma escala logarítmica decimal das populações de grupos A, B, C, ... de pessoas.

14. (Udesc) Resolva a equação:

log4​E 15 1 log2 ​@ 3x224x 13 #​ R​5 2 15. (Unifesp) Uma das raízes da equação 22x 28 3 2x 112 5 0 é

Grupo

População (p)

log10 p

x 5 1. A outra raiz é:

@ #

3 ​ ​ ​ a) 1 1 log10 ​ __ 2 log10 3 ​ b) 11 ​ ______ log10 2

log10 6 d) ​ ______

​ 2

A

5

0,69897

B

35

1,54407

3 ​ ​ ​ e) log10 ​ __ 2

C

1.800

3,25527

D

60.000

4,77815

E

------

5,54407

F

10.009.000

7,00039

@ #

c) log10 3

16. (UFV-MG) Seja x a solução da equação:

8 ​ ​ 1 log2 4x 5 216. Então x é igual a: log2 x 2log2 __ x a) 0,5 c) 0,125 b) 0,25 d) 0,0625 3

17. (Udesc) Devido à degradação microbiana, o valor Y0 de um composto orgânico é reduzido a um valor Y em n anos. Os dois volumes estão relacionados pela fórmula n ​ . Em quantos anos 18 m³ do comlog3 Y 5 log3 Y0 2 ​ ____ 250 posto serão reduzidos a 2 m³?

18. (UFSCar) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h(t) 5 1,5 1 log3(t11), com h(t) em metro e t em ano. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em ano) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de: a) 9 b) 8

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c) 5 d) 4 Suplemento de revisão

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e) 2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

representa a quantidade P que cresce exponencialmente em função do tempo t . 0. P0 é a quantidade inicial e r é a taxa de crescimento num dado período de tempo. Neste caso, o tempo de dobra da quantidade é o período necessário para ela dobrar. O tempo de dobra T pode ser calculado pela fórmula:

Por algum motivo, a população do grupo E está ilegível.

A partir dos valores da tabela, pode-se deduzir que a população do grupo E é: a) 170.000 b) 180.000 c) 250.000 d) 300.000 e) 350.000

22. (Unifor-CE) Em 1987, uma indústria farmacêutica iniciou a fabricação de certo medicamento e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 8% ao ano. Assim sendo, em que ano a produção de tal medicamento quadruplicou a quantidade fabricada em 1987?

São dadas as aproximações: log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48 a) 2002 b) 2003

c) 2004 d) 2005

e) 2006

MATEMÁTICA

21.10.10

17:46:43

Exercício 18

Sendo n, em ano, e substituindo Y0 por 18 e Y por 2, temos: n n ​ ​ ] log3 2 5 log3 18 2 ____ ​ ​ log3 Y 5 log3 Y0 2 ____ 250 250 n } ____ ​ ​ 5 2 250 } n5 500

Exercício 19

Exercício 16

Para x . 0, temos: 8 x5 ​ ​ 1 log2 4x 5 2 16 ] log2 ___ ​ ​ 5 216 log2 x3 2 log2 __ x 2 } x 5 5 2215 } x 5 0,125 Alternativa c.

A função f que representa o número de mudas no tempo t, em ano, é f(t) 5 x 3 2t. Assim, o tempo t para o número de mudas ser 20x é: 20x 5 x 3 2 t ] log 20 5 t log 2 log 2 1 1 } t 5 ​ ________

​ * 4,33 log 2 Alternativa b.

Exercício 20

Exercício 15

22x 2 8 3 2x 112 5 0 Efetuando a mudança de variável 2x 5 t, temos: t 2 2 8t 112 5 0 ] t 5 2 ou t 5 6 } 2x 5 2 ou 2x 5 6 log10 3 ​ } x 5 1 ou x 5 log2 6 5 1 1 log2 3 5 11 ​ ______ log10 2 Alternativa b.

#

P(t) 5 P0 (1 1 r)t ] 2P0 5 P0 (1 1 r)T } T 5 log(1 1 r) 2 Alternativa a.

Exercício 21

Exercício 14

Como 3x ² 2 4x 1 3 . 0 para ux, com x 9 V, temos: log4 [15 1 log2 (3x 2 2 4x 1 3)] 5 2 ] ] 15 1 log2 (3x 2 2 4x 13) 5 16 } 3x 2 2 4x 11 5 0 1 } x 5 1 ou x 5 ​ __ ​ 3

@

Para h(t) 5 3,5, temos: 3,5 5 1,5 1 log3 (t 1 1) ] t 5 8 Alternativa b.

log10 p 5 5,54407 ] p 5 105,54407 } p 5 101,54407 3 104 Pela tabela, log 35 5 1,54407, então: 101,54407 5 35 Assim: p 5 35 3 104 5 350.000 Alternativa e.

Exercício 22

Exercício 12 Exercício 13

Para x 5 2255, temos: x 5 2255 ] log x 5 255 log 2 1 __ } x 5 1076,5 ] x 5 10​ 2 ​3 1076 1 __ Como 10​ 2 ​5 d​ lll 10 ​ e 1 < d​ lll 10 ​ , 10, concluímos que: 10 ​ p 5​dlll Alternativa a.

Exercício 17

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para P0 5 2 3 1025, temos: P ​ ​ ​ ] NPS 5 20 (log P 2 log 2 3 1025) NPS 5 20 log ​ _______ 2 3 1025 } NPS 5 20 log P 1 94 Alternativa c.

A função que indica a quantidade fabricada é dada por Q(n) 5 Q0(110,08)n, em que n indica o período de fabricação, em ano, e Q0 a fabricação inicial. Assim, temos: Q(n) 5 Q0 (1,08)n ] 4Q0 5 Q0 (1,08)n 2log 2 108 } n log ​ ____ ​ ​ ​5 2log 2 ] n 5 _________________ ​

​ 100 2log 2 1 3log 3 2 2 } n 5 15 Alternativa a.

@ #

Função exponencial e função logarítmica

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NO VESTIBULAR

55

29.10.10

10:50:22

23. (Unifor-CE) Em 1995, em uma cooperativa de artesanato, os artefatos manufaturados geraram um lucro de R$ 16.000,00 e, a partir de então, observou-se que o lucro cresceu a uma taxa de 20% ao ano. Nessas condições, o lucro anual dessa cooperativa chegou a R$ 81.000,00 no ano de: a) 2002 c) 2004 e) 2006 b) 2003

29. (Unifor-CE) O gráfico abaixo representa uma função f, de x ​ __ ​

V em V, dada por f(x) 5 a 2, em que a é um número real positivo. y f

d) 2005

2

São dadas as aproximações: log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48

1

24. (Udesc) Determine o conjunto solução do sistema de

{

2y 2 9x2 1 4 5 0 equações: ​ ​ log (y) ​ ​ 2 4 5 x2 ​

0

25. (Unifor-CE) Considere que o número de bactérias de uma cultura, t minutos após o início de uma observação, pode ser calculado pela expressão N(t) 5 900 3 30,01t. Assim sendo, decorrido quanto tempo do início da observação o número de bactérias será com certeza superior a 36.000 unidades?

(Use: log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48)

x

1

Considere log 2 = 0,30, é correto afirmar que log f(24) é um número compreendido entre: a) 25 e 22 b) 22 e 0

c) 0 e 2 d) 2 e 5

e) 5 e 10

30. (Insper) Na figura abaixo, está representada, fora de escala, uma parte do gráfico y 5 log3 x.

a) 5 horas e 40 minutos b) 5 horas e 20 minutos

2,5

d) 4 horas e 45 minutos

2

e) 4 horas e 14 minutos

1,5 1

26. (UFPel-RS) A lei que mede o ruído é definida pela expressão

0,5

R 5 120 1 10 log I, em que I é a intensidade sonora, medida em W/m², e R é a medida do ruído, em decibel (dB).

0 �0,5

O quadro abaixo mostra o ruído de algumas fontes de som:

Fonte de som

Ruído

Proximidade de um jato

150 dB

Britadeira

130 dB

Limiar da dor

120 dB

Mosquito

40 dB

Limiar da audição

0 dB

�1

A partir do gráfico, pode-se concluir que a solução da equação 9x 5 15 vale, aproximadamente: a) 2,50 b) 1,65

c) 1,45 d) 1,25

e) 1,10

31. (Udesc) Sabendo que os gráficos das funções f(x) 5 ax 1 b

@

#

1 e g(x) 5 logb x se interceptam no ponto P ​ ​dll 3 ​, ​ __ ​ ​, então o 2 produto a 3 b é igual a: 7​dll 3 ​ 3 ​ 25​dll 3 a) ​ ____

​ c) ​ ______ ​ e) __ ​ ​ 2 2 2

Com base no texto e em seus conhecimentos, é correto afirmar que a intensidade sonora, percebida e suportada sem dor pelo ser humano, varia entre: a) 10212 e 1 W/m² b) 10212 e 10 W/m² c) 1012 e 1 W/m² d) 1023 e 1 W/m² e) 1012 e 10 W/m² f) I.R.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x

d 3 ​ ​ ll b) ​ ___ ​ 2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

y

c) 5 horas e 15 minutos

d 3 ​ ​ ll d) 2​ ___ ​ 2

32. (Unifesp) Com base na figura: y

y � 2 � 3x

C

D

27. (Unifor-CE) No universo ​R 1, 1` E​ o conjunto solução da inequação logx (2 x2 1 4x 1 12) . 2 é:

7 ​ E​ a) ​R 1, ​dll 7 ​ E​ b) ​R 1,1 1​dll 7 ​ , 2 E​ c) ​R 1 1 d​ ll 7 ​ , 6 E​ d) ​R 1 1 d​ ll e) ​R 2, 6 E​

B y � log3 x x

28. (Udesc) Para quais valores reais de x a função logarítmica 2

f(x) 5 log(x 2 5)(x 1 x 2 6) está definida?

56

A

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56

O comprimento da diagonal AC do quadrilátero ABCD, de lados paralelos aos eixos coordenados, é: a) 2​dll 2 ​ 2 ​ b) 4​dll

c) 8 d) 4​dll 5 ​

e) 6​dll 3 ​

MATEMÁTICA

21.10.10

17:46:45

Exercício 29

{

Exercício 30

{

1 y ​5 2 ou d​ ll y ​5 __ ​ ​ ​ ll d 4 } ​ ​ ​ ​ ​dll y ​5 x2 ​

2 ​ e y 5 2 x 5 d​ ll

​ ​ x 5 2​dll 2 ​ e y 5 2 ​​ ​​ 1 1 ] x 5 __ ​ ​ e y 5 __ ​ ​ 4 2

​

​ 1 1 x 5 2​ __ ​ e y 5 __ ​ ​ 2 4 ​

A partir da análise do gráfico, temos: 9x 5 15 ] x 5 log915 1 1 ​ ​ 3 2,5 5 1,25 } x 5 __ ​ ​ log3 (15) 5 __ 2 2 Alternativa d.

1 3 ​, __ ​ ​ ​pertence ao gráfico de g(x), temos: Como o ponto P​ d​ ll 2 1 3 ​ ] b 5 3 ​ __ ​ 5 logb d​ ll 2 1 3 ​ , __ ​ ​ ​em f: Assim, substituindo b 5 3 e P​ d​ ll 2 3 ​ 25​dll 1 3 ​ 1 3 ] a 5 ______ ​ ​

​ __ ​5 a​dll 2 2 d dll ll 3 ​

3 ​ 25​ 25​ 3 3 5 ​ ______

​ Logo: a 3 b 5 ______ ​ ​ 6 2 Alternativa c.

A ordenada do ponto B é o ponto em que a função y 5 2 3 3x intercepta o eixo Oy, ou seja, y 5 2. Assim, sua abscissa x é dada por: log3 x 5 2 ] x 5 9 Portanto, B(9, 2).

A abscissa do ponto D é o ponto em que a função intercepta o eixo Ox, ou seja, x 5 1. Assim, ordenada y é: y 5 2 3 31 ] y 5 6 e, portanto, D(1, 6).

Pelo teorema de Pitágoras, temos: 5 ​ (BD)2 5 (9 2 1)2 1 (2 2 6)2 ] BD 5 4​dll Alternativa d.

Exercício 26

2log 2 1 1

​ } 0,01 3 t 3 log 3 . log 40 ] t . 100 3 _________ ​ log 3 } t . 333,333...

Alternativa a.

A medida do ruído suportada sem dor pelo ser humano, segundo a tabela, varia entre 0 dB e 120 dB. Assim, temos: R 5 120 1 10log I ] 0 , 120 1 10log I , 120 } 2120 , 10log I , 0 ] 212 , log I , 0 } 10212 , I , 1 Alternativa a.

Para x . 1, temos: logx(2x 2 1 4x 112) . 2 ] 2x 2 1 4x 112 . x 2 } 1 , x , 1 1​dll 7 ​ Alternativa b.

2 x .0 x , 23 ou x.2

​ 1 x 26 ​ ] ​x . 5 ​ x

​ ​ ​ ​​ ​ ​ ​ 2 5 . 0 x 2 5 % 1 x%6 ​ ​ }x. 5 ex%6

{

E @ # R @ #

@ #

Para t, em minuto, temos: 900 3 30,01t . 36.000 ] 30,01t . 40

Exercício 27

Exercício 25

{

{

2y 29 d​ ll y ​1 4 5 0 2y 2 9x2 14 5 0 ​ log (y)

​​] ​ ​ ​ ​ ​ ​dll y ​5 x 2 2 4 5 x2 ​ ​

Exercício 28

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exercício 24

Para y . 0, temos:

@ #

Exercício 31

@ #

Como o ponto de coordenadas (1, 2) pertence ao gráfico de f, temos: 1 __ 1 ​ ​ 2 5 a2​ 2 ​ ] a 5 __ 4 24 1 2​ ___ ​ 1 ​ ​ ​​ 2 ​ ​5 log​ ___ ​ ​ ​5 21,2 Assim: log [f( 24)] 5 log ​ ​​ __ 4 16 Alternativa b.

Exercício 32

Exercício 23

A função lucro é dada por L(n) 5 C0(110,2)n, em que n indica o período de aplicação, em ano, e C0 o capital inicial, em real. Assim, temos: 3 12 ​ ​ ​5 n log ​ ___ ​ ​ ​ 81.00 5 16.000 (1,2)n ] 4log ​ __ 2 10 log 3 2 log 2

​5 9 } n 5 4 ​ ________________ 2log 2 1 log 3 2 1 Alternativa c.

@

{

Função exponencial e função logarítmica

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#

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NO VESTIBULAR

57

29.10.10

10:50:48

33. (Unifesp) A figura refere-se a um sistema cartesiano

36. (UFBA) A temperatura Y(t) de um corpo – em função do tem-

ortogonal em que os pontos de coordenadas (a, c) e 1 (b, c), com a 5 _______ ​ ​ , pertencem aos gráficos de y 5 10x e log510 y 5 2x, respectivamente.

po t > 0, dado em minutos – varia de acordo com a expressão: Y(t) 5 Ya 1 Bekt, sendo Ya a temperatura do meio em que se encontra o corpo e B e k constantes.

y y � 2x

y � 10x c

Suponha que no instante t 5 0, um corpo, com temperatura de 75 °C, é imerso em água, que é mantida a uma temperatura de 25 °C. Sabendo que, depois de 1 minuto, a temperatura do corpo é de 50 °C, calcule o tempo para que, depois de imerso na água, a temperatura do corpo seja igual a 37,5 °C.

37. (Insper) Considere as funções f(x) 5 bx e g(x) 5 log4 (x), em que b . 0 e b % 1. Sabendo que f(g(x)) 5 4​dll x3 ​ para todo

1

x . 0, pode-se concluir que: a

2 ​ b) b 5 2 ​3d ll

A abscissa b vale:

4 ​ c) b 5 2 ​3d ll

a) 1

d) b 5 2

1 ​ b) ​ ______ log3 2

e) b 5 4

c) 2

38. (Insper) A figura abaixo mostra uma parte do gráfico da

1 ​ d) ​ ______ log5 2

função y 5 log2 (x) 2x.

e) 3

y

34. (UFSCar-SP) A curva a seguir indica a representação gráfica

1

da função f(x) 5 log2 x, sendo D e E dois dos seus pontos. y

0 �1

f(x) � log2 x

D

1

2

3

4

5

6

7

x

8

�2 E

�3

C

�4 0

A

B

x

Se os pontos A e B têm coordenadas respectivamente iguais a (k, 0) e (4, 0), com k real e k . 1, a área do triângulo CDE será igual a 20% da área do trapézio ABDE quando k for igual a:

�5

A partir do gráfico, pode-se concluir que uma das soluções 1 reais da equação x 3 22x 5 __ ​ ​ vale aproximadamente: 8

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2 ​ a) b 5 2​dll

x

b

a) 6,2 b) 5,4

3dll

a) ​ 2 ​ 2 ​ b) ​dll 2 ​ c) 23d​ ll 2 ​ d) 2​dll 2 ​ e) 34d​ ll

c) 4,6 d) 3,8 e) 3,0

39. (UFBA) O gráfico representa a função f: V p ]1, 1`[, 35. (Insper) Sejam a, b, K e R números maiores do que 1, sendo

f(x) 5 a 1 b 3 2kx, sendo a, b e k constantes reais.

a% b e K % R. O ponto de encontro dos gráficos das funções f(x) 5 K 3 ax e g(x) 5 R 3 bx tem abscissa igual a:

y

@ #

a) lo​g​__b​ __ ​ K ​ ​ ​ ​ R a

5

__ ​ b ​

d

ll K b) ​a __ ​ ​ ​ R

@ #

3

K

b __​​ ​ ​ ​ R c) ​ __ a

1

K2R d) ​ ______ ​ b2a

�1 0

a3K1b3R

e) ​ ____________ ​ a1b

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x

A partir dessas informações, calcule f21(x).

MATEMÁTICA

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17:46:48

@ #

@ #

Exercício 37

3 __

f(g(x)) 5 bg(x) 5 blog4(x) 5 4d​ ll x3 ​ ] blog4(x) 5 x​ 4 ​ 3 __ log4(x) log ​x​ ​ 5 ​b​ ​ ] log (x) 5 log (x)​ 4 ​ }b 3 __ ​ ​

b

4

b

4

4 __ ​ ​

} log4(x) 5 lo​g​ ​ (x) ] ​b​3 ​5 4 ​b​ ​ 2 ​ } b 5 2​dll Alternativa a.

4 ​ __ ​ 3

Exercício 38

A abscissa do ponto de encontro dos gráficos de f e g é solução da equação: a R ​ ​ ​x 5 __ ​ ​ R 3 bx 5 K 3 ax ] ​ __ b K K __ } x 5 lo​g__​b ​​ ​ ​ ​ ​ ​ R a Alternativa a.

Para x . 0, temos:

Para x > 0, temos: 1 ​ ​ ] log2(x) 2x 5 23 x 3 22x 5 __ 8 Da análise do gráfico, concluímos que 0 , x , 1 ou 5 , x , 6.

Alternativa b.

Exercício 39

Exercício 33 Exercício 34 Exercício 35

A ordenada do ponto E é log2 k, e a ordenada do ponto D é log2 4 5 2. Assim, o triângulo retângulo CDE tem catetos medindo (4 2 k) e (2 2 log2 k), enquanto o trapézio retângulo ABDE tem base maior igual a 2, base menor igual a log2 k e altura (4 2 k). Logo, temos: (2 1 log2 k)(4 2 k) (4 2 k)(2 2 log2 k)

​ 5 0,2 ________________ ​ ​ ] ​ ________________ 2 2 ] 2 2 log2 k 5 0,4 1 0,2log2 k 2 ​ } k 5 2​3d ll Alternativa c.

Exercício 36

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1 Substituindo a 5 ______ ​ ​ em y 5 10x, temos: log 510 1 ______ y 5 10 ​ log5 10 ​ . Assim, a abscissa b é dada pela função 1 ​ ​ y 5 2x, ou seja: 2b 5 5 [ b 5 _____ log52 Alternativa d.

O gráfico de f é assintótico em relação à reta y 5 1; assim, a 5 1.

Por outro lado, da análise gráfica, temos f(0) 5 3 e f(21) 5 5. Substituindo, temos: 3 3 2k30 ​​]​ b ​ 5 1 2 b ​ 5 2 ​ ​ 5 5 1 1 bk3(21) ​ k 5 22​ Assim: y 1 ​ x 2 ​ 5 ​ __ ​ 1 ​ ​ f(x) 5 1 1 2 3 2(22)x ] _____ 2 4 x21 } y 5 ​log​__1​​ ____ ​ ​ ​ ​ ​ 2 4

{

{

@ #

@ #

Substituindo os dados para t 5 0, temos: Y(t) 5 Ya 1 Bekt ] 75 5 25 1 50ek 3 0 } B 5 50 Substituindo os dados para t 5 1, temos: Y(t) 5 Ya 1 Bekt ] 50 5 25 1 50ek 3 1 1 } t 5 In​ __ ​ ​ ​ 2 1 t 3 In​ __ ​ ​ ​ Assim, a função é: Y(t) 5 25 1 50​e​ @ 2 #​.

@ #

Para Y(t) 5 37,5, temos:

@ ​ 21 ​ #

@ #​ ] ​ __1 ​ 5​

1 t 3 In​ __ ​ ​ ​ 2

37,5 5 25 1 50​e​ }t52

4

t

__ ​

Função exponencial e função logarítmica

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