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1. Acertijos Matem´ aticos
Por las condiciones del acertijo, debemos tomar el menor valor de x, el cual es 60. Por lo tanto tiene 60 fichas de 5 Bol´ıvares. ES claro que Pedro tambi´en tiene 60 fichas de los otros dos tipos. Sumando tenemos el resultado:
Total = 60 × 5 + 60 × 10 + 60 × 50 = 300 + 600 + 3,000 = 3,900.
33. Picando la torta de cumplea˜ nos.
w
w
w
.M
at
em at
ic
a1
.c
om
Hay 29 pedazos. La soluci´on de este acertijo requiere del m´etodo de inducci´on matem´atica. Otra posibilidad ser´ıa la de hacer gran cantidad de dibujos y despu´es de mucho tiempo de an´alisis llegar a la conclusi´on. Nosotros seguiremos el primer camino. Cuando hacemos un corte recto, dividimos la torta en dos pedazos. Haciendo dos cortes rectos la dividimos en cuatro pedazos. Haciendo tres cortes la podemos dividir en siete pedazos. Al aumentar n´ umero de cortes, el problema se complica considerablemente. En vez de trabajar con trozos de torta y cortes de cuchillo, podemos hacer el trabajo mas limpiamente ( sin ensuciarnos los dedos con la torta) pensando en cada corte como una l´ınea y cada trozo como una regi´on del plano. No debemos preocuparnos por la circunferencia de la torta, pues una vez que dibujemos las l´ıneas y se determinen las regiones, cualquier circunferencia suficientemente grande, podr´a encerrar todas las regiones formadas. Una condici´on a tomar en cuenta es que cada nueva l´ınea que se dibuje, deber´a cortar a TODAS las anteriores. Podemos expresar en una tabla los resultados de hacer este experimento de trazar l´ıneas y contar regiones en la siguiente tabla.
Lineas Regiones
1 2 3 4 2 4 7 11
5 16
¿Qu´e relaci´on existe entre los n´ umeros de la primera fila y los de la segunda? Pues bien, cada n´ umero de la segunda fila es igual a la suma del anterior mas el n´ umero de arriba. As´ı por ejemplo, al trazar cinco l´ıneas se obtienen 11 regiones ( todas las anteriores) mas cinco nuevas, por el efecto de cortar las l´ıneas. Esta afirmaci´on particular es consecuencia de un hecho general de tipo geom´etrico: cada vez que se traza una nueva l´ınea, aparecen tantas nuevas regiones como l´ıneas hay en el plano. Podemos continuar entonces llenando la tabla con esta regla tan sencilla y obtener as´ı la soluci´on.