ESPERANC ¸ A CONDICIONAL
1. Espac ¸ os Produto Sejam (Ω1 , F1 , µ1 ) e (Ω2 , F2 , µ2 ) dois espa¸cos de medida. Fa¸camos Ω = Ω1 × Ω2 o produto cartesiano, queremos definir sobre Ω uma σ-´algebra e uma medida que coincida com µ1 e µ1 sobre F1 e F2 respectivamente. Comecemos pela σ-´algebra. Defini¸c˜ ao 1.1. Define-se, F, a σ-´algebra produto de F1 por F2 como sendo a menor σ´algebra de elementos de Ω que cont´em os ”rectˆangulos” do tipo F1 ×F2 , ∀F1 ∈ F1 , F2 ∈ F2 . Ou seja, F = σ(E), E = {F1 × F2 ; F1 ∈ F1 , F2 ∈ F2 }. Escreveremos F = F1 × F2 . Para a medida, µ, que vamos definir sobre (Ω, F), comecemos por defini-la para os elementos de F da forma F1 × F2 , F1 ∈ F1 , F2 ∈ F2 como sendo: µ(F1 × F2 ) = µ1 (F1 ) × µ2 (F2 ). Considere-se agora um elemento F de F. Designemos por Fω2 e Fω1 os subconjuntos de Ω1 e Ω2 , definidos por: Fω2 = {ω1 ∈ Ω1 ; (ω1 , ω2 ) ∈ F }, Fω1 = {ω2 ∈ Ω2 ; (ω1 , ω2 ) ∈ F }. A estes conjuntos chamam-se sec¸c˜oes de F . Exercicio 1. Mostre que se F ∈ F ent˜ao Fω2 ∈ F1 e Fω1 ∈ F2 . Indica¸c˜ao: Fixando ω2 ∈ Ω2 e considerando Sω2 = {F ⊆ Ω; Fω2 ∈ F1 }. (1) Mostre que Sω2 cont´em todos os elementos do tipo, F1 × F2 , F1 ∈ F1 , F2 ∈ F2 . 1