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CAPÍTULO 22 PROGRESIONES Y SERIES Después de la quinta extracción (n 5) quedan:
l ⫽ arn
1
⫽ 180
3 4
4
⫽ 57 gal
galones de alcohol.
22.38 Se invierten $400 a una tasa de 6% anual. Calcule el capital que se habrá formado al cabo de cinco años si el interés es a) anual, b) semestral y c) trimestral. SOLUCIÓN Sea P capital inicial, i rédito en tanto por ciento, por periodo de tiempo, S capital acumulado
a) Como se cobran los intereses una vez por año, n 5 e i 0.06. S ⫽ P(1 ⫹ i)n ⫽ 400(1 ⫹ 0.06)5 ⫽ 400(1.3382) ⫽ $535.28
b) Como se cobran los intereses dos veces por año, n 2(5) 10 e i 21(0.06) 0.03. S ⫽ P(1 ⫹ i)n ⫽ 400(1 ⫹ 0.03)10 ⫽ 400(1.3439) ⫽ $537.56.
c) Como se cobran los intereses cuatro veces por año, n 4(5) 20 e i 41(0.06) 0.015. S ⫽ P(1 ⫹ i)n ⫽ 400(1 ⫹ 0.015)20 ⫽ 400(1.3469) ⫽ $538.76.
22.39 Encuentre el capital (P) que se debe invertir a 4% de interés compuesto semestral para que al cabo de 3.5 años se transforme en un capital (S) de $500. SOLUCIÓN Como se cobran intereses dos veces por año, n 2(312) 7(periodos) y el rédito, en tanto por ciento
y por periodo es i 12(0.04) 0.02. Por lo tanto S P(1 i)n de donde P S(1 i) n 500(1 0.02) 7 500(0.870 56) $435.28.
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al cabo de n periodos. Al final del primer periodo: interés Pi, nuevo capital P Pi P(1 i). Al final del segundo periodo: interés P(1 i)i, nuevo capital P(1 i) P(1 i)i P(1 i)2. El capital acumulado al cabo de n periodos será, S P(1 i)n.
22.40 Deduzca la fórmula de la media geométrica, G, entre dos números p y q. SOLUCIÓN Como p, G, q están en progresión geométrica, se tiene G兾p q/G, G2 pq y G 兹苶 pq.
Se suele tomar y
G 兹苶 pq si p y q son positivos. G 兹苶 pq si p y q son negativos.
22.41 Encuentre la media geométrica de los pares de números siguientes: G ⫽ 兹苶 4(9) ⫽ 6 兹苶 ( 2)( 8) G
a) 4 y 9. b) ⫺2 y ⫺8. c) 兹苵7 ⫹ 兹苵3 y 兹苵7
兹苵 3.
4
G ⫽ 兹苵 ( 兹苵7 ⫹ 兹苵3)( 兹苵7 兹苵3) ⫽ 兹苵 7 3⫽2
22.42 Demuestre que la media aritmética A de los números positivos p y q es mayor que o igual a su media geométrica G.
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