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CAPÍTULO 21 FUNCIONES RACIONALES CÓMO HACER LA GRÁFICA DE FUNCIONES RACIONALES MEDIANTE EL USO DE LA CALCULADORA GRÁFICA
Problemas resueltos 21.1
Establezca el dominio de cada función racional R(x).
a) R(x)
3x x 2
b)
R(x)
x3
2x2 x
3x
c)
R(x)
3x2 x3
1 x
SOLUCIÓN
a) Para R(x) 3x兾(x 2), establezca x 2 0 y observe que R(x) no está definida para x 2. El dominio de R(x) es {todos los números reales excepto 2} o dominio ( , 2) 艛 ( 2, 1). b) Para R(x) (x3 2x2 3x)兾x, se puede observar que R(x) no está definida para x 0. Por lo tanto, el dominio de R(x) es {todos los números reales excepto 0} o dominio ( , 0) 艛 (0, ). c) Para R(x) (3x2 1)兾(x3 x), establezca x3 – x 0 y determine que para x 0, x 1 y x 1, R(x) no está definida. El dominio de R(x) es {todos los números reales excepto 1, 0, 1} o el dominio ( , 1) 艛 ( 1, 0) 艛 (0, 1) 艛 (1, ).
21.2
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Las facilidades de una calculadora gráfica permiten la graficación de funciones racionales. Sin embargo, a menos que la calculadora gráfica específicamente dibuje los valores de x de las asíntotas, conecta las diferentes ramas de la función racional. Sólo es necesario determinar las asíntotas verticales y después fijar la escala del eje x de la ventana de graficación con el fin de que se utilicen los valores de las asíntotas verticales. Las asíntotas horizontales deben leerse a partir de la misma gráfica, ya que éstas no se encuentran dibujadas o etiquetadas y solamente aparecen como una característica de la gráfica en la ventana de despliegue de la calculadora. Los agujeros están basados en factores que pueden eliminarse en la función racional. Éstos son difíciles de localizar en la pantalla de una calculadora gráfica. En general, cuando se utiliza una calculadora gráfica para ayudar en la generación de una gráfica en papel, es una buena práctica no depender de la calculadora gráfica para determinar las asíntotas verticales, horizontales u agujeros de una función racional. Determine estos valores por usted mismo y colóquelos en la gráfica que está construyendo. Utilice la pantalla de la calculadora gráfica para indicar la ubicación y la forma de la gráfica y como guía de su bosquejo de la gráfica.
Determine las asíntotas verticales, horizontales y agujeros de cada función racional R(x).
a) R(x)
3x x 2
b)
R(x)
x3
2x2 x
3x
c)
R(x)
3x2 x3
1 x
SOLUCIÓN
a) Los valores que hacen que el denominador sea igual a cero, pero que no así con el numerador dan como resultado asíntotas. En R(x) 3x兾(x 2), x 2 hace que el denominador sea x 2 0, sin embargo, no hace que el numerador sea 3x 0. Por ende, x 2 es una asíntota vertical. Puesto que el grado del numerador 3x es 1 y el grado del denominador x 2 sea 1, R(x) tiene una asíntota horizontal de y 3兾1 3, donde 3 es el coeficiente superior del numerador y 1 es el correspondiente del denominador. Debido a que x 0 es el único valor que hace que el numerador igual a 0 y x 0 no hace el denominador igual a 0, R(x) no tiene agujeros en su gráfica. b) Solamente x 0 hace que el denominador de R(x) (x3 2x2 3x)兾x sea cero. Ya que x 0 también hace el numerador igual a cero, R(x) no tiene asíntotas verticales. Puesto que el grado del numerador de R(x) es 3 y el del denominador 1, el grado del numerador excede al del denominador y, por lo tanto, no existe asíntota horizontal.
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