Teorí De conjuntos
María Fernanda Villarreal Colls Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre”
Operaciones entre conjuntos Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes: o
Unión o Reunión de conjuntos:
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir, dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B estará formado por todos los elementos de A y con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪∪. Ejemplo 1: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será A∪∪B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendrá lo siguiente:
o Intersección de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, serán excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩∩. Ejemplo 1: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2: Dados dos conjuntos A = {x/x estudiantes que juegan fútbol} y B = {x/x estudiantes que juegan básquet}, la intersección será A∩∩B = {x/x
estudiantes que juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
o Diferencia de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -. Ejemplo 1: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Dados dos conjuntos F = {x/x estudiantes que juegan fútbol} y B = {x/x estudiantes que juegan básquet}, la diferencia de F con B, será F-B = {x/x estudiantes que sólo juegan fútbol}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
o
Diferencia de simétrica de conjuntos:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △. Ejemplo 1: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2: Ejemplo 2:
Dados dos conjuntos F = {x/x estudiantes que juegan fútbol} y B = {x/x estudiantes que juegan básquet}, la diferencia simétrica será F △ B = {x/x estudiantes que sólo juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2:
o
Complemento de un conjunto:
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que está incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento. Ejemplo 1: Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={3,4,5,6,7,8}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={1,2,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Dado el conjunto Universal U = {x/x estudiantes de un colegio} y el conjunto V = {x/x estudiantes que juegan voley}, el conjunto V' estará formado por los siguientes elementos V' = {x/x estudiantes que no juegan voley}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Conjunto de los Números Naturales: Es cualquiera de los números que se usan para contar y ordenar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos. Por ejemplo, para contar los habitantes de un país. El conjunto de los números naturales se representa con el símbolo N, y se escribe N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,..}. Este es un conjunto infinito porque, dado un número natural, siempre es posible encontrar su consecutivo.
Orden en N:
Producto de números naturales:
Los números naturales sirven para contar y ordenar los elementos de un conjunto. Por ejemplo, en una carrera de fórmula 1, no solamente es necesario conocer cuántos carros terminan la carrera; también es importante saber el orden en que llegan a la meta. El orden resulta al comparar dos números naturales y determinar cuál es el menor y cuál es el mayor. Cuando se comparan dos números naturales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones: o a es mayor que b, esta relación se escribe a>b. o a es menor que b, esta relación se escribe a<b. o a es igual que b, esta relación se escribe a=b. Un número natural es mayor que otro, si está colocado a la derecha de él en la recta numérica.
En toda multiplicación de números hay tres elementos: los números que multiplicamos llamados factores y el resultado de la multiplicación llamado producto. Ejemplo: 6 . 4 = 24 En cualquier multiplicación se verifica que: factor desconocido = producto : factor conocido. Ejemplo: 7 · ? = 84 ? = 84 : 7 ? = 12
División de números naturales: En toda división de números hay cuatro elementos: el número que vamos a dividir llamado dividendo, el número entre el que dividimos llamado divisor, el resultado de la división llamado cociente y lo que sobra después de dividir llamado resto.
Suma de números naturales: En toda suma de números hay varios elementos: los números que se van a sumar llamados sumandos y el resultado de la operación llamado suma. Ejemplo: 20 + 56 + 9 = 85
Resta de números naturales: En toda resta de números hay tres elementos: el número del que vamos a restar llamado minuendo, el número que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operación llamado resta o diferencia. Ejemplo: 9 – 6 = 3 En cualquier resta se verifica que: Minuendo = sustraendo + diferencia Sustraendo = minuendo + diferencia Ejemplo: ? – 8 = 47 ? = 47 + 8 ? = 55 37 - ? = 29 ? = 37 – 29 ? = 8
Ejemplo: dividendo 25 7 divisor resto
4 3 cociente
En la división del ejemplo anterior se cumple que 7 · 3 + 4 = 25 y 4 < 7.
Axiomas: Los axiomas son verdades incuestionables universalmente válidas y evidentes, que se utilizan a menudo como principios en la construcción de una teoría o como base para una argumentación.
La axiomática de Zermelo – Fraenkel: La Historia de la Matemática nos ha mostrado que el uso intuitivo del concepto de conjunto lleva a contradicciones. Para evitarlas, los matemáticos usan una serie de axiomas para trabajar con conjuntos. Son los siguientes: o
Axioma de Extensión:
El axioma de extensión dice: "Dados dos conjuntos a y b, diremos que son iguales (a = b) si se verifica que c € a si y sólo si c € b".
Es decir, diremos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.
o
Esquema AxiomĂĄtico de SeparaciĂłn:
El Esquema AxiomĂĄtico de SeparaciĂłn dice que "si a es un conjunto y (P) es una propiedad relativa a conjuntos, entonces existe un conjunto b de manera que c â&#x201A;Ź b si y sĂłlo si c â&#x201A;Ź a y c verifica (P)". Es decir, dado un conjunto y una propiedad relativa a conjuntos, podemos pues obtener el subconjunto de los elementos que verifican esa propiedad.
o
Axioma de la UniĂłn:
El Axioma de la UniĂłn nos dice lo siguiente: dado un conjunto a, existe un conjunto b de manera que si c â&#x201A;Ź a y d â&#x201A;Ź c, entonces d â&#x201A;Ź b.
o
Axioma de las Partes:
El enunciado del axioma de las partes dice: dado un conjunto a, existe un conjunto b de forma que si c a entonces c â&#x201A;Ź b. Ahora usamos el Esquema AxiomĂĄtico de SeparaciĂłn y creamos el conjunto P(a): = {c â&#x201A;Ź b : c a}. Como en las otras ocasiones, este conjunto es independiente del conjunto b.
o
Axioma de FormaciĂłn de Pares:
El Axioma de FormaciĂłn de Pares dice lo siguiente: dados dos conjuntos a y b, existe un conjunto c de forma que a â&#x201A;Ź c y b â&#x201A;Ź c. Ahora, de nuevo gracias al Esquema AxiomĂĄtico de SeparaciĂłn, creamos el conjunto {a y b}:= {d â&#x201A;Ź c : d = a V d = b}. Como de costumbre, este conjunto es Ăşnico, y no depende del conjunto c del enunciado del axioma.
de
El Esquema AxiomĂĄtico de SustituciĂłn dice lo siguiente: sea P una propiedad relativa a pares de conjuntos, de manera que si los pares de conjuntos (c, d) y (c, e) verifican P, entonces d = e. Para todo conjunto a existe un conjunto b de manera que d â&#x201A;Ź b si y solamente si existe un c â&#x201A;Ź a tal que (c, d) verifique P.
o
Axioma del Infinito:
Sea a un conjunto. Se define el sucesor de a como el conjunto a+ : = a U {a}. Se dice que un conjunto a es inductivo si verifica que Ă&#x2DC; â&#x201A;Ź a y para cada b â&#x201A;Ź a tambiĂŠn đ?&#x2018;? + â&#x201A;Ź a. El Axioma del Infinito se enuncia de la siguiente manera: existe algĂşn conjunto inductivo.
o o
Esquema AxiomĂĄtico SustituciĂłn:
Axioma de Regularidad:
El Axioma de Regularidad dice lo siguiente: dado un conjunto a â&#x2030; Ă&#x2DC;, existe un conjunto b â&#x201A;Ź a de manera que si c â&#x201A;Ź b entonces c â&#x201A;Ź a. Dicho de otro modo: todo conjunto no vacĂo tiene un elemento disjunto con ĂŠl, es decir, si a es no vacĂo, existe un conjunto b â&#x201A;Ź a de forma que a â&#x2C6;Š b = Ă&#x2DC;. Un tal elemento b se denomina elemento minimal de a.
o
Axioma de ElecciĂłn:
El Axioma de ElecciĂłn no pertenece a la AxiomĂĄtica de Zermelo-Fraenkel desde un punto de vista estricto. Fue aĂąadido de manera posterior (a la axiomĂĄtica resultante se la suele denominar ZFC). La gran mayorĂa de matemĂĄticos aceptan el Axioma de ElecciĂłn, por lo que al hablar de la AxiomĂĄtica de Zermelo-Fraenkel, se suele entender que se habla de ZFC. El Axioma de ElecciĂłn se enuncia asĂ: dado un conjunto a, existe una aplicaciĂłn f : P(a) \ {Ă&#x2DC;} â&#x2020;&#x2019; a de manera que si b a y b â&#x2030; Ă&#x2DC;, entonces f(b) â&#x201A;Ź b.
La aplicación f se suele denominar función de elección.
Principio de Inducción: La inducción matemática es un método de demostración que se utiliza cuando se trata de establecer la veracidad de una lista infinita de proposiciones. El método es bastante natural para usarse en una variedad de situaciones en la ciencia de la computación. Algunas aplicaciones tienen un sabor muy matemático, tal como verificar que todo entero positivo satisface cierta fórmula. Otra utilización frecuente es la de demostrar que un programa de computación o que un algoritmo con ciclos funciona como se espera.
Conjuntos Inductivos: Intuitivamente se obtienen los enteros positivos, tomando como punto de partida un primero designado por "1" y formando 1 + 1 (llamado "2"), 2 + 1 (llamado "3"), y así sucesivamente. En virtud de que no se puede depender del significado un poco oscuro de "y así sucesivamente" y de que se debe tener una base para proporcionar teoremas relativos a los enteros positivos, se da una definición del conjunto de los enteros positivos, basada en el concepto de conjunto inductivo.
El conjunto de los enteros positivos es un conjunto inductivo.
Ejemplo 2: El conjunto de los números Reales es un conjunto inductivo.
Ejemplo 3: El conjunto S1 = {1, 3, 5, 7, ...} no es un conjunto inductivo, porque no obstante que 1 S1.
S1; (1+1)
El conjunto Z+ es el conjunto de números con la propiedad de que si k es cualquier conjunto inductivo de números, entonces Z+ k. Se dice a veces, que el conjunto de los enteros positivos, es el "más pequeño" conjunto inductivo de números.
Teorema fundamental Inducción Matemática:
de
Sea Sn una función proposicional cuyo conjunto de referencia es Z+. Si Sn satisface las siguientes dos condiciones:
Definición. Un conjunto S de números es un conjunto inductivo sí y sólo sí S tiene las siguientes propiedades:
Ejemplo 1:
Entonces Sn es cierta para todo n Z+ . Demostración Sea k el conjunto de todos los enteros positivos para el cual Sn es cierta. Es decir:
De i. Se observa que 1
k.
De ii. Se observa que k
k
(k + 1)
k.
Por tanto k es un conjunto inductivo y por la definición de k se sabe que k Z+ . De otra parte Z+ k. Por consiguiente Z+= k, es decir Sn es cierta para todo n Z+ .
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados: A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)} Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B: R1 = {(2, 1), (3, 1)} R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
Relación y Función:
R3 = {(2, 4), (3, 5)}
En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es, R1 = {( x , y ) / y = 1}.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función. Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano. Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas ( par ordenado ) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B. Ejemplo 1: Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B. Solución
La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente, R2 = {( x , y ) / x < y } Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo, R3 = {( x , y ) / y = x + 2} Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y . Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.
Álgebra de Circuitos:
Boole
y
Introducción Boole:
álgebra
de
al
Muchos componentes utilizados en sistemas de control, como contactores y relés, presentan dos estados claramente diferenciados (abierto o cerrado, conduce o no conduce). A este tipo de componentes se les denomina componentes todo o nada o también componentes lógicos.
Para estudiar de forma sistemática el comportamiento de estos elementos, se representan los dos estados por los símbolos 1 y 0 (0 abierto, 1 cerrado). De esta forma podemos utilizar una serie de leyes y propiedades comunes con independencia del componente en sí; da igual que sea una puerta lógica, un relé, un transistor, etc...
1
1
1
NEGACION LOGICA: Denominada también operación "N" (NOT). Esta operación responde a la siguiente tabla: a 0 1
a' 1 0
Atendiendo a este criterio, todos los elementos del tipo todo o nada son representables por una variable lógica, entendiendo como tal aquella que sólo puede tomar los valores 0 y 1. El conjunto de leyes y reglas de operación de variables lógicas se denomina álgebra de Boole, ya que fué George Boole quien desarrolló las bases de la lógica matemática.
Propiedades Boole:
Operaciones lógicas básicas:
PROPIEDAD CONMUTATIVA:
Sea un conjunto formado por sólo dos elementos que designaremos por 0 y 1. Llamaremos variables lógicas a las que toman sólo los valores del conjunto, es decir 0 o 1. En dicho conjunto se definen tres operaciones básicas:
De la suma: a+b = b+a Del producto: a*b = b*a
SUMA LOGICA: Denominada también operación "O" (OR). Esta operación responde a la siguiente tabla: a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
a+b 0 1 1 1
PRODUCTO LOGICO: Denominada también operación "Y" (AND). Esta operación responde a la siguiente tabla: a 0 0 1
b 0 1 0
a*b 0 0 0
del
álgebra
de
Las propiedades del conjunto en el que se han definido las operaciones (+, *, ') son las siguientes:
PROPIEDAD ASOCIATIVA: De la suma: (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c Del producto: (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c
LEYES DE IDEMPOTENCIA: De la suma: a+a = a ; a+a' = 1 Del producto: a*a = a ; a*a' = 0
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: De la suma respecto al producto: a*(b+c) = (a*b) + (a*c) Del producto respecto a la suma: a + (b*c) = (a+b) * (a+c)
LEYES DE DE MORGAN: (a+b+c)' = a'*b'*c' (a*b*c)' = a'+b'+c'
Otras operaciones lógicas: A partir de las operaciones lógicas básicas se pueden realizar otras operaciones booleanas, las cuales son: NAND, cuya tabla correspondiente es: a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
(a*b)' 1 1 1 0
NOR, cuya tabla correspondiente es: a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
(a+b)' 1 0 0 0
XOR, también llamada función OR-EXCLUSIVA. Responde a la tabla: a 0 0 1 1
b 0 1 0 1
a(+)b 0 1 1 0
Puertas lógicas: Todas las funciones lógicas vistas hasta el momento poseen una representación normalizada, la cual se muestra en la figura siguiente:
Toda puerta lógica consta de 1 o más entradas y 1 o 2 salidas (puede darse el caso de proporcionarse la salida y su negada). En todos los símbolos las entradas se encuentran a la izquierda y las salidas a la derecha. Estas puertas las podemos encontrar empaquetadas dentro de distintos circuitos integrados. Por ejemplo, para la familia lógica TTL tenemos las siguientes referencias: 54/74 (LS) 00 Cuádruple puerta NAND de dos entradas 54/74 (LS) 02 Cuádruple puerta NOR de dos entradas 54/74 (LS) 04 Séxtuple puerta NOT 54/74 (LS) 08 Cuádruple puerta AND de dos entradas 54/74 (LS) 10 Triple puerta NAND de tres entradas 54/74 (LS) 11 Triple puerta AND de tres entradas 54/74 (LS) 20 Doble puerta NAND de cuatro entradas 54/74 (LS) 21 Doble puerta AND de cuatro entradas 54/74 (LS) 27 Triple puerta NOR de tres entradas 54/74 (LS) 30 Puerta NAND de ocho entradas 54/74 (LS) 32 Cuádruple puerta OR de dos entradas Las puertas lógicas más frecuentes, baratas, y fáciles de encontrar son las NAND. Debido a esto se suelen implementar circuitos digitales con el mayor número de dichas puertas. Hay que mencionar en este punto que los niveles de tensión que se corresponden con los niveles lógicos 1 y 0 dependen de la familia lógica empleada. De momento basta saber que la familia TTL se alimenta con +5V, por lo que los niveles de tensión se corresponderán con +5V para el 1 lógico y 0V para el 0 lógico (idealmente hablando).
Funciones lógicas: La aplicación más directa de las puertas lógicas es la combinación entre dos o más de ellas para formar circuitos lógicos que responden a
funciones lógicas. Una función lógica hace que una o más salidas tengan un determinado valor para un valor determinado de las entradas. Supongamos que tenemos dos entradas, A y B, y una salida F. Vamos a hacer que la salida sea 1 lógico cuando A y B tengan el mismo valor, siendo 0 la salida si A y B son diferentes. En primer lugar veamos los valores de A y B que hacen 1 la función: A=1yB=1 A=0yB=0 Es decir, podemos suponer dos funciones de respuesta para cada caso: F1 = A*B (A y B a 1 F2 = A'*B' (A y B a 0 hacen F2 1)
hacen
F1
1)
La suma de estas funciones será la función lógica final que buscamos: F = F1 + F2 = (A*B)+(A'*B') A continuación vamos a ver como en muchos casos es posible simplificar la función lógica final en otra más simple sin alterar el funcionamiento del circuito.
Simplificación de funciones: Supongamos que tenemos un circuito donde "F" es la respuesta (salida) del mismo en función de las señales A, B, y C (entradas): F = A*B*C + A'*B*C + B*C Esta función puede ser simplificable aplicando las propiedades del álgebra de Boole. En primer lugar aplicamos la propiedad distributiva: F = B*C*(A+A') + B*C Ahora aplicamos las leyes de ídem potencia: F = B*C + B*C = B*C
Como hemos podido ver en este ejemplo en muchas ocasiones se puede simplificar la función (y por tanto el circuito) sin que ello afecte al resultado. Más adelante veremos como simplificar funciones empleando otros métodos más sencillos y fiables.
Tabla de verdad: Es una forma de representación de una función en la que se indica el valor 0 o 1 para cada valor que toma ésta por cada una de las posibles combinaciones que las variables de entrada pueden tomar. Anteriormente hemos visto las tablas de respuesta de cada una de las operaciones lógicas; estas tablas son tablas de verdad de sus correspondientes puertas lógicas. La tabla de verdad es la herramienta que debemos emplear para obtener la forma canónica de la función del circuito, para así poder simplificar y conseguir la función más óptima. Veamos un ejemplo de un circuito y la tabla de verdad correspondiente: ABCDF 0 0 00 1 0 0 01 1 001 01 001 1 1 0 1 00 1 0 1 01 1 01 1 01 01 1 1 1 1 0 00 1 1 0 01 1 1 01 01 1 01 1 1 1 1 00 1 1 1 01 1 1 1 1 01 1 111 0
Como podemos ver, si simplificamos la función obtenemos: F = (A*B*C*D)' Es decir, un puerta NAND de 4 entradas.
Familias lógicas: Los circuitos digitales emplean componentes encapsulados, los cuales pueden albergar puertas lógicas o circuitos lógicos más complejos. Estos componentes están estandarizados, para que haya una compatibilidad entre fabricantes, de forma que las características más importantes sean comunes. De forma global los componentes lógicos se engloban dentro de una de las dos familias siguientes: TTL: diseñada para una alta velocidad. CMOS: diseñada para un bajo consumo. Actualmente dentro de estas dos familias se han creado otras, que intentan conseguir lo mejor de ambas: un bajo consumo y una alta velocidad.
“No
creo que haya nada útil que los hombres pueden conocer con exactitud que no se pueda saber mediante la aritmética y el álgebra” ― Nicolás Malebranche