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El conjunto de los números complejos ¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
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Los números complejos La radicación de base negativa e índice par no tiene solución en el conjunto de los números reales ___ ____ 4 ____ (3–4 ; 3–25 ; 3–16 ; etc.), ya que no existe ningún número real que elevado a una potencia par dé por resultado un número negativo. Se define entonces un nuevo número, llamado i, cuyo cuadrado es igual a –1. Dicho número es la unidad imaginaria en el conjunto de los números complejos. __ 3a
{
__
i = –1 ⇔ 3–1 = i __ = b ⇔ b2 = a (–i) 2 = 1 . i2 = 1 . (–1) = –1 ⇔ 3–1 = –i
___
__
2
3–4 = ± i . 34 = ± 2i
___
__
i2 = –1
__
i = ±3–1
__
3–3 = ± i . 33 = ± 33 i
Representación gráfica y expresión cartesiana de un complejo
b
z = (a;b)
a
Se define al conjunto de los números complejos ( ) como: = {(x;y) ∈ 2 / x ∈ ∧ y ∈ } A cada número complejo le corresponde un punto del plano.
z = (a;b) ← Expresión cartesiana Componente imaginario. Componente real.
Todos los números de la forma (a;0) son números reales y los de la forma (0;b) son números imaginarios puros. Un número real es un número complejo cuya segunda componente es igual a 0. k = (k;0) El número imaginario de segunda componente igual a 1 es la unidad imaginaria. i = (0;1)
Expresión binómica de un complejo Para multiplicar un número complejo por un escalar, se multiplica cada componente del complejo por el escalar.
z = (a;b) = (a;0) + (0;b) = a . (1;0) + b . (0;1) = a + bi ← Expresión binómica Parte imaginaria [Im(z)] Parte real [Re(z)] z1 = (3;4) = 3 + 4i z2 = (0;3) = 3i
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z3 = (–1;1) = –1 + i z4 = (–2;0) = –2