(1, 2, 3, 4, 5, 6…, 18, 19, 20), sabemos que hay 12 que están en A (a1, a2, a3… , a10, a11 y a12). Luego, afuera de A quedan ocho. Por lo tanto, de los once números que figuran en (*), tiene que haber por lo menos tres que están en A. A los efectos de seguir con la argumentación (y sin que esto modifique nada) supongamos que son (a2 – a1), (a7 – a1) y (a11 – a1). 70 Luego, como estos tres números tienen que estar en A, digamos que (a11 – a1) = a5 71 Esto dice entonces que a11 = a1 + a5 72 y eso es justamente lo que queríamos probar: que teníamos que poder encontrar que la suma de dos de los números de A era un número que estaba en A.
70. Elegí estos tres números pero podría haber sido cualquier otra combinación de la forma (an – a1), en donde el número n es un número cualquiera mayor o igual que 2, y menor o igual que 12. 71. También aquí hice una elección arbitraria: puse que (a11 – a1) = a5, pero puede haber resultado que (a11 – a1) = a3 o (a11 – a1) = a6. Lo que importa es que tiene que haber alguno de los an tal que (a11 – a1) = an. 72. Lo importante de saber que hay por lo menos tres números de la forma (an – a1) que tienen que pertenecer al conjunto A, es que al menos dos de ellos no pueden coincidir con a1 (porque son todos distintos). Si alguno de ellos coincidiera con (a11 – a1) = a1 entonces, resultaría a11 = 2 a1, lo que no me permitiría conseguir lo que quiero, que es probar que la suma de dos números distintos de los que figuran en A resulta ser otro de los números de A.
262