204. Con objeto de regular la pesca en los oceanos, se han establecido comisiones internacionales para implementar los controles. Para entender el efecto de tales controles se han construido modelos matemáticos de poblaciones de peces. Una etapa en este esfuerzo por crear nuevos modelos incluye la predicción del crecimiento de un tipo de pez. El modelo de crecimiento de von Bertalanffy se refleja en la ecuación de Bernouilli
dW = α W 2/3 − β W dt Donde W = W(t) representa el peso de un pez, y α y β son constantes positivas. a) Halle la solución general de la ecuación. b) Calcule W∞ = lím W (t ) , el peso límite del pez. t →∞
c) Utilizando la respuesta al apartado b) y la condición inicial W(0) = 0, escriba la fórmula para W(t) sin constantes arbitrarias. d) Bosqueje un gráfico de W respecto de t. 3
3 βt α − α 3 Sol. a) W (t ) = + Ce ; b) W∞ = ; c ) W (t ) = W∞ 1 − e −βt / 3 β β
(
)
3
2.10.3 Capa límite en oceanografía 205. La ecuación y(4) + λ(yy’’’ – y’y’’) – y’ = 0, donde λ es un parámetro positivo, surge en un problema de “capa límite” no lineal de oceanografía física. Escriba esta ecuación como un sistema de cuatro ecuaciones de primer orden.