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週 數與式﹑多項式函數 (數學 1) 全真模擬學測區 一 (

) 1.

設x= (1)

(

(每題 5 分,共 30 分)

單選題

) 2.

52

(2)

) 3.

設 (1)

(

) 4.

設 (1)

(

) 5.

60

﹐求 x + x1 的值為何﹖ 68 76 84 ﹒ 3

3

(3)

(4)

(5)

若 x 是整數且 x 滿足 2 ≤ 3x − 2 < 5 ﹐則 x 有幾個﹖ 1 2 4 3 5﹒ (1)

(

7 − 2 12

(2)

f (n)

1

f

(3)

−2

(5)

表示「 17 化為小數後﹐小數點後第 n 位數字」﹐求 4 2 8 5﹒

(2)

( x)

(4)

(3)

(4)

−1

(3)

0

之值為何﹖

(5)

= 432 x 4 + 799 x 3 − 145 x 2 − 87 x − 115 (2)

100 )

f (

(4)

1

(5)

2

﹐求

f

(

−2 )

之值為何﹖

若 f x = 3x + ax + bx + cx + 7 且 a ﹐ b ﹐ c 都是整數﹐則下列哪個選項不可 能是 的因式﹖ 3x + 1 x−7 3x + 7 2x +1 x −1﹒ 4

( )

3

2

f ( x)

(1)

(

) 6.

(2)

(3)

(4)

(5)

設一元三次整係數方程式 x + bx + cx − 30 = 0 有一根為1 + ﹒若此方程式有一 實根﹐則此實根為 14 15 16 17 18 ﹒ 3

(1)

(2)

(3)

(4)

2

i

(5)

1


01 週 二 (

(每題 5 分,共 30 分)

多選題 ) 7.

f ( x) =

11 ⋅

+

(1) f

(

) 8.

若 (1)

(

) 9.

設 (1)

(

) 10.

( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 ) (1 − 2 ) (1 − 3 ) (1 − 4 )

( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 4 ) ( 3 − 1) ( 3 − 2 ) ( 3 − 4 )

=7

(1)

(2) f

( 2)

28 ⋅

+

=6

g⎜ ⎝

6⋅

( x − 1) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( 2 − 1) ( 2 − 3 ) ( 2 − 4 )

( 4 − 1) ( 4 − 2 ) ( 4 − 3 ) ( 3)

= 11

(4) f

﹐試選出下列正確的選項﹕ 4 = 28 5 = 63 ﹒

( )

(5) f

( )

除以 3x − 1 的商式為 g x ﹐餘式為 4 ﹐則下列哪些選項正確﹖ 1 1 1 4 除以 x − 的商式為 g x 3 3 3 除以 x − 13 的餘式為 43 2 除以 3x − 1 的商式為 2g x 除以 3x − 1 的餘式為 8 ﹒ ( )

⎞ ⎟= ⎠

(2) f

( )

( x)

( x)

2f

+

( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3 )

(3) f

f ( x)

(3) f

(5)

7⋅

(4)

f ( x)

( )

( x)

f ( x)

= x3 − 8 x + 1

−3 < x < −2

(2)

﹐試問

y

−1 < x < 0

=

的圖形在下列哪個範圍中與 x 軸相交﹖ 0 < x <1 1< x < 2 2 < x < 3﹒

f ( x) (3)

(4)

(5)

設 a ﹐b ﹐c 為實數﹐且二次函數 f x = ax + bx + c 滿足 且 b − 4ac < 0 ﹐試選出下列正確的選項﹕ 2

( )

f (

−1) = −5

2

(1)

(

) 11.

(2)

b<0

(3)

c>0

(4) f

( 3)

<

f (

4)

若 x 滿足不等式 x − 6x + 11x − 6 ≤ 0 ﹐則 x 可為 −2 1 5 6 10 ﹒ 3

(1)

2

a<0

(2)

(3)

2

(4)

(5)

(5) f

(

−2 ) =

f (

4)

f (

3) = −5


數與式﹑多項式函數 (

) 12.

有一個整係數多項式 f 圖形與 x 軸只交於一點 項正確﹖

( x)

的圖形﹐此 ﹐如圖所示﹐則下列哪些選

= x 3 + bx 2 + cx + d

( 4, 0 )

+ 3) f (4 − 3) < 0

(1) f

(4

(2) f

( x)

有三實根 4 是 d 的因數 若 可因式分解為 x − 4 x + ex + f 則 e − 4 f ≥ 0 若方程式 = 0 有一根 2 + 3 ﹐則必有 2 − 3 之根﹒ =0

(3) (4)

f

( x)

(

f

(5)

三 A.

填充題

)(

2

( x)

)

i

2

i

(每題 5 分,共 40 分)

在坐標平面上有 A − − ﹐ B 兩觀測站﹐同時觀察在 AB 上的一個目標點 P a b ﹐測得 7 PB = 5 AP ﹐求 a + b 之值為 ﹒ (

(

,

3,

5)

( 5, 7 )

)

B.

設 x 在 x − 3 ≤ 2 的範圍內﹐求二次函數 y = x + x + 1 的最大值為

C.

對於任意實數 x ﹐ f

D.

設 x −1 為 f

E.

F.

G.

2

2

( x)

( x)

= ( a − 2 ) x 2 + ax + a

= ax3 + bx 2 − 2 x + 1

恆為正數﹐求 a 的最小整數為

的因式﹐求 2a + b 的值為

坐標平面上有 A a ﹐ B b ﹐若 A 點在正 x 軸上移動﹐ B 點在正 y 軸上移動﹐且 ﹒ AB = 4 ﹐則 ab 的最大值為 設方程式 x − 3 + x + 2 = 13 的解有 a 個﹐且 a 個解的總和為 b ﹐求數對 a b = ﹒ (

, 0)

( 0, )

(

設 x − x + 2 = 0 的二根為 α ﹐β ﹐求 α ﹒ 2

4

,

)

+ 2α 3 − 3α 2 + 4α − 5 β 4 + 2β 3 − 3β 2 + 4β − 5 + = 4α + 1 4β + 1

3


01 週 H.

若 c 是實數﹐且 x + 3 − c x + 3 − 2c x + 2 = 0 恰好只有一實根﹐則 c 的範圍為 ﹒ 3

(

2

)

(

)

經典歷屆試題區

1.

請問滿足絕對值不等式 4 x − 12 ≤ 2 x 的實數所形成的區間﹐其長度為下列哪一個選 項﹖ 1 2 3 4 6 ﹒ ﹒ 【 學測】 答: 1 1 + + 1 等於下列哪一個選項﹖ ﹒ 5 4 答: ﹒ 【 學測】 多項式 4 x + 1 + x + 1 x − 3 + x − 1 等於下列哪一個選項﹖ x x + 1 x x −1 x +1 2x x −1 x +1 ﹒ 2x x −1 2 x −1 x +1 答: ﹒ 【 學測】 1 設 = −1 + 1 ﹐請問下列哪些選項是正確的﹖ 0 2 = 2 有整數解 = + 1 有實數解 = 有不等於零的有理數 解 若 f a = 2 ﹐則 f −a = 2 ﹒ ﹒ 【 學測】 答: 設 a ﹐ b 為正整數﹒若 b = 9a ﹐且 a + 2b > 280 ﹐則 a 的最小可能值為 ﹒ 【 學測】 學生練習計算三次多項式 除以一次多項式 g x 的餘式﹐已知 的三次項係 數為 3 ﹐一次項係數為 2 ﹒甲生在計算時把 的三次項係數錯看成 2 (其他係數沒 看錯)﹐乙生在計算時把 的一次項係數錯看成 −2 (其他係數沒看錯)﹒而甲生 和乙生算出來的餘式剛好一樣﹐試問 g x 可能等於以下哪些一次式﹖ x x −1 x−2 x +1 x+2﹒ 答: ﹒ 【 學測】 (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

103

2.

2

(1) 1.01

2

(2) 1.05

(3) 1.1

(4) 1.15

(5) 1.21

101

3.

(

(

(2)

2

)

)

2

2

(

(3)

) (

(

)

)(

)

(

)

(4)

3

(

(1)

2

) (

)

(

(5)

(

)(

)

2

)

100

4.

f ( x)

(2) f

x( x

)( x

( x)

(5)

)

(1) f

(3) f

(

)

(

( x)

x

2

(4) f

( x)

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟> ⎠

x

)

100

5.

2

97

6.

( )

f ( x)

f ( x)

f ( x)

f

( x)

( )

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

95

4


週 指數﹑對數函數 (數學 1) 全真模擬學測區 一 (

) 1.

設 x > 0 ﹐ y > 0 且 log x + log 2

(1)

(

(每題 5 分,共 30 分)

單選題

) 2.

1

若a

(2)

±1

= log 2 16

a>b>c>d (5) c > a > d > b

) 3.

已知

log 3.05

(1) 3.05

(

) 4.

設f (1)

( x)

1 4

=a

(2)

log 3.06

(3)

± 2

3

=b

f (1

2 2

﹐求 x 與 y 的等比中項為何﹖ 3﹒

(5)

2)

(

(3) 3.054

﹐a > 0且 1 4

y =1

﹐d

a>c>b>d

(2)

(2) 3.052

= ax

(4)

﹐b = 14 ﹐c =

(1)

(

2

(3)

2

⎛ =⎜ ⎝ (3)

1 ⎞ ⎟ 3 32 ⎠

﹐試比較 a ﹐b ﹐c ﹐d 的大小﹕

a>c>d >b

(4)

c>a>b>d

﹐若 log c = 53 a + 52 b ﹐則 c 最接近下列哪個選項﹖ ﹒

+ (4)

(4) 3.056

5) f

2 2

(1

− (5)

(5) 3.058

5)

2

= 0.25

﹐求

f

⎛ 1⎞ ⎜− ⎟ ⎝ 2⎠

為何﹖

5


02 週 (

)

5.

設 x = log 3 ﹐求 2 2

(1)

(

)

6.

(

多選題 )

7.

)

9.

(5)

60

3

4

5

6

7

8

9

10

0000

0043

0086

0128

0170

0212

0253

0294

0334

0374

11

0414

0453

0492

0531

0569

0607

0645

0682

0719

0755

12

0792

0828

0864

0899

0934

0969

1004

1038

1072

1106

13

1139

1173

1206

1239

1271

1303

1335

1367

1399

1430

14

1461

1492

1523

1553

1584

1614

1644

1673

1703

1732

15

1761

1790

1818

1847

1875

1903

1931

1959

1987

2014

16

2041

2068

2095

2122

2148

2175

2201

2227

2253

2279

17

2304

2330

2355

2380

2405

2430

2455

2480

2504

2529

18

2553

2577

2601

2625

2648

2672

2695

2718

2742

2765

19

2788

2810

2833

2856

2878

2900

2923

2945

2967

2989

20

3010

3032

3054

3075

3096

3118

3139

3160

3181

3201

100

(2)

150

(3)

200

250

(4)

(5)

300

萬﹒

(每題 5 分,共 30 分) log 7 1

= 0.8451

﹐下列何者正確﹖

= −0.8451

(2) log

= 2.8451

=

7

(5) log 0.7

0.8451

= −1.8451

(3) log17

= 1.8451

設 n 為正整數且 x = 4 + 4 + 4 + 4 ﹐則 x 等於下列哪些選項﹖ 2 4 2 ﹒ 16 16 n

4n

(2)

2 n+4

(3)

n

n +1

n

(4)

n

2

2 n+2

(5)

下列哪些選項不正確﹖ (1)

log10 2 > 0

(5) log

6

30

2

已知

(1)

(

(4)

=

1

(4) log 700

8.

10

1 3

0

7

)

(3)

− x+

N

(1) log

(

20 3

(2)

+8

小明將100 萬元存入銀行﹐年利率 5% ﹐每年複利計息一次﹒經過15 年後﹐本 利和最接近多少錢﹖

(1)

20 27

− x +1

0.5

0.3

<0

(2)

log 5 3 > 1

(3) log

0.5

4

<0

4 n+4

(4) log

0.3

0.5

<1


指數﹑對數函數 (

)

10.

數學漫畫書中有一隻機器兔﹐牠會接受以下兩個指令在數線上有規律地跳 動﹕ 若上一秒往左跳﹐則下一秒往右跳﹔ 下一秒跳的距離(單位長)是 上一秒的兩倍﹒則開始牠在數線上 3 的位置﹐一秒後跳到 −6 這個位置﹐二秒 後跳到12 這個位置﹐…﹐按此規律下去﹐試選出下列正確的選項﹕ 機器兔三秒後跳到數線上 −24 這個位置 機器兔四秒後跳到數線上 48 這個位置 機器兔八秒後跳到數線上 −384 這個位置 機器兔八秒後共跳了1143 個單位長 機器兔八秒後共跳了 2295 個單位長﹒ (1)

(2)

(1) (2)

(3) (4)

(5)

(

)

11.

如圖所示﹐若圖形 Γ 的方程式為 y = 2 ﹐則選出下列正 確的選項﹕ 圖形 Γ 向上平移 3 單位得 Γ 圖形 Γ 的方程式為 y = 2 + 3 圖形 Γ 向左平移1單位得 Γ 圖形 Γ 的方程式為 y = 2 圖形 Γ 的方程式為 y = 2 ﹒ (1)

(

)

12.

x

1

1

(2)

2

(3)

1

(4)

3

(5)

3

2

x

3

x −1

x +1

有一種號稱能讓人體快速吸收的綜合維他命丸﹐假設某人服用此綜合維他命 x 小時後﹐殘留在胃裡的維他命含量有 f x c a (毫克)﹐其中 c ﹐ a 皆 為常數﹒若 0 = 1000 ﹐ 1 = 500 ﹐則下列選項何者正確﹖ ( )

f

(1)

( )

f

=

x

( )

c = 10

1 4 1 (3) a = 2 (2)

a=

某人服用此藥品﹐兩小時後﹐殘留在胃裡的維他命含量有 250 毫克 某人服用此藥品﹐三小時後﹐殘留在胃裡的維他命含量有125 毫克﹒

(4) (5)

7


02 週 三

(每題 5 分,共 40 分)

填充題

的值為

A.

求 log

B.

若 x ﹐ y 為實數且 20

C.

在一報告中顯示﹐有一放射性物質原有 x 克﹐在 2000 年開始衰變﹐半衰期是兩年﹐ 在 2010 年此物質剩下1克﹐試問 x = ﹒

D.

設有一數列 a ﹐若 a

E.

設 a = log 2 ﹐ b = log 3 ﹐若 log

F.

設方程式 2

G.

12 (

7 + 48 − 7 − 48 )

n

10

x

= 10

n =

﹐5

=

9 ⋅ 2x − 2

= 10

﹐則 1x + 1y 的值為

﹐則 ∑ log a n +1 n

10

2 x+2

y

7

2

n =1

2

12 =

n

=

ka + b 2a

﹐則整數 k =

之二根為 α ﹐ β ﹐求 αβ =

﹒ ﹒

在沿海地區﹐地震通常會引起海嘯﹐假設地震規模為 x 的強度時﹐海岸與震央距離為 y 公里﹐而產生海嘯的高度為 h 公尺﹐以上三者的關係模式為 3 h = ax − log y + 8 ﹐其中 a 是一個正整數﹒ 2 某次地震規模為 9 的強度﹐距離震央10 公里處的最大浪高為 公尺﹐而這次地震距 離震央1000 公里處的最大浪高為 公尺﹒ 15.5

H.

市面上有一種遮陽傘﹐號稱只要塗上某種化學物質一層就可以有效抵擋住紫外線強度 的 13 ﹐若希望這種遮陽傘可以有效的抵擋住 99% 以上的紫外線強度﹐則至少應該塗 上 層﹒(已知 = ﹐ = ) log 2

8

0.301

log 3

0.4771


指數﹑對數函數

經典歷屆試題區

1.

若正實數 x ﹐ y 滿足 x = ﹐ y = ﹐則 log x + y 最接近下列哪一個選 項的值﹖ ﹒ 答: ﹒ 【 學測】 請問下面哪一個選項是正確的﹖ 3 < 7 5 < 10 2 < 10 = < ﹒ 答: ﹒ 【 學測】 在密閉的實驗室中﹐開始時有某種細菌1千隻﹐並且以每小時增加 8% 的速率繁殖﹒ 如果依此速率持續繁殖﹐則100 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項﹖ 108 2200 千隻﹒ 答: ﹒ 【 學測】 已知在一容器中有 A ﹐B 兩種菌﹐且在任何時刻 A ﹐B 兩種菌的個數乘積為定值10 ﹒ 為了簡單起見﹐科學家用 P = log n 來記錄 A 菌個數的資料﹐其中 n 為 A 菌的個 數﹒試問下列哪些選項是正確的﹖ log

2.8

(2) 5.6

(3) 5.9

10

(1) 2.8

log

10

10 (

5.6

(4) 8.4

2

)

(5) 11.2

101

2.

(1)

(4) log

23

1.5

(5) log 11

2

7

3

(2)

10

5

(3)

100

30

3.5

100

3.

(1) 9

(2)

(4) 3200

(3)

(5) 32000

99

4.

10

( A)

A

(1)

A

1 ≤ PA ≤ 10

當 P = 5 時﹐ B 菌的個數與 A 菌的個數相同 如果上週一測得 P 值為 4 而上週五測得 P 值為 8 ﹐表示上週五 A 菌的個數是上週 一 A 菌個數的兩倍 若今天的 P 值比昨天增加1﹐則今天的 A 菌比昨天多了10 個 假設科學家將 B 菌的個數控制為 5 萬個﹐則此時 < P < ﹒ ﹒ 【 學測】 答: 在養分充足的情況下﹐細菌的數量會以指數函數的方式成長﹐假設細菌 A 的數量每 兩個小時可以成長為兩倍﹐細菌 B 的數量每三個小時可以成長為三倍﹒若養分充足 且一開始兩種細菌的數量相等﹐則大約幾小時後細菌 B 的數量除以細菌 A 的數量最 接近10 ﹖ 24 48 69 96 117 小時﹒ 答: ﹒ 【 學測】 設 a ﹐ b ﹐ c 為正整數﹐若 a log 2 + b log 5 + c log 13 = 3 ﹐則 a + b + c = ﹒ 【 學測】 (2)

A

(3)

(4)

A

A

A

(5)

5

A

5.5

97

5.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

95

6.

520

520

520

93

9


週 第一冊總複習 全真模擬學測區 一 (

)

1.

設a = (1)

(

)

2.

)

3.

7− 5 7+ 5

﹐求 a + a 2

2( 7 + 5 )

(2)

−2

1692

= (3)

142

若 x 是一個整數且滿足 x −1

)( x

(

(1)

(

(每題 5 分,共 35 分)

單選題

1

(2)

2

(3)

3

(4)

4

(5)

5

(4)

2( 7 − 5 )

3

4

4.

5

(2)

(1)

)

5.

5

(4)

(5)

5

b

(2)

a

(3)

c

(4)

b

(5)

若 k = x + 3 + x − 7 ﹐則 k 的最小值為 3 7 10 13 ﹒ 4

(1)

10

(3)

5

設 a ﹐ b ﹐ c 均為異於1的正數且 abc = 1 ﹐求 log b + log a + log c + log a + log c + log b 之值為 1 −1 3 −3 −6 ﹒ a

(

﹐試問 x 有幾個﹖

在數線上﹐有一隻螞蟻在標示為 log 5 的位置﹐設螞蟻每秒走的距離都相等 且方向不變﹐若走 3 秒後﹐落在標示為 log 125 的位置上﹐則 5 秒後應落在 何處﹖ 2 2 log 3 log 9 1﹒ 5 3 (1)

)

2( 7 + 5 )

− 2 ) ( x − 3) ( − x 2 + x − 1) ≥ 0

5

(

(5)

(2)

(3)

(4)

(5)

c


第一冊總複習 (

)

6. 3100 × 210 (1)

(

)

7.

48

是一個多少位數﹖(其中 (2)

49

(3)

50

(4)

51

(1) 5.4

8.

(

)

)

9.

10.

)

11.

12.

−6

)

pH

(2) 5.6

2

(2)

(1)

y = −2 x

(5)

y=x

(3) 5.8

(5) 6.2

(4)

log 2 3

(3)

2log2 3

(4)

2

2

(5)

2−1

2

2

+ 2x

(2)

y=x

2

−x

(3)

y = −x

2

(4)

y = −x

2

+ 2x +1

下列哪些方程式有解﹖ 2 = −x x

(2)

2 =x x

(3)

2 = log 2 x x

下列不等式中﹐哪些沒有實數解﹖ x

(5) (

)

2

(1)

(

= 0.4771

下列哪些函數圖形可以透過平移的方式使其與 y = − x + x 重合﹖

(1)

(

10

−7

(

pH

下列何者是有理數﹖ (1)

(

log 3

(每題 5 分,共 30 分)

多選題 )

52

pH

2.5

(

(5)

= 0.301

如果液體的酸鹼濃度為 x ﹐那麼此液體的 值定義為 − log x ﹔例如純水的酸 鹼濃度為1×10 ﹐所以純水的 值為 − log 1×10 = 7 ﹒有一種液體的酸鹼 濃度為 × ﹐則此液體的 值最接近下列哪個選項﹖ 6 ﹒ −7

log 2

2

+ x +1 > 0

x + 2)

2

>0

(2)

x

2

+ x +1 < 0

設 x 為實數﹐且 x 滿足不等式 (1)

−2.1

(2)

−1.5

(3)

0

( 0.1)

(4) 2.1

(3)

x

2

(4)

3 =x x

2

(5)

− x2 + 2x + 3 > 0

−2 x −1

> 0.01

(5) 2.7

2

x

⎛1⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠

(4)

x

2

x

+ 2x +1 ≤ 0

﹐則 x 可為

11


03 週 (

13.

)

某一種細菌在合適的環境下﹐平均每 6 小時原本的數量就可以分裂成原來的 2 倍﹐如果目前細菌的數量為 1 株﹐經過 小時後﹐細菌的數量會超過 100 株﹐ 但不超過1000 株﹐則 可為 42 48 60 ﹒ t

t

(1) 36

填充題

(2)

設對數方程式 log

B.

設f (x

C.

E.

2 (x

+ 1) + log 2 ( x − 2 ) = 2

= ( 3x 2 − 5 x + a ) ( x3 − 4 x 2 + x + 1)

的餘式為

2

G.

展開式中的所有係數和為 4 ﹐求 f x 除以 ( )

(

)

(

)

)

,

f

( x)

= x 4 − 5x3 + 8 x 2 − x − 5

﹐求

f

(1

+ i) =

目前國際上使用芮氏規模來表示地震強度﹐設 E M (單位爾格)為地震芮氏規模 M 時所釋放出來的能量﹐其中 M 與 E M 的關係如下﹕ E M = + aM ﹒若芮氏 ﹒ 規模 6 所釋放出來的能量是芮氏規模 4 的1000 倍﹐則 a 的值為 (

設f

( x)

)

= 3 x5 − 22 x 4 − 12 x 3 − 33x 2 + ax + 5

已知多項式 x −11 3 −1 ﹐求數對 a b a (

)

99

b

(

12

2

(

F.

﹐求 x =

若 x + ax + b = 0 之二根為 α ﹐ β ﹐且 x − x − 3 = 0 之二根為 α + 1 ﹐ β + 1 ﹐則數對 ab 為 ﹒ (

D.

+ 1)

(5)

(每題 5 分,共 35 分)

A.

( x)

(4) 54

(3)

,

)

98

log

﹐且 97

+ ( x − 11) + ( x − 11) +

=

)

f

( x)

÷ ( x − 1)

+ ( x − 11) + 1

(

)

11.8

的餘式為 −48 ﹐求

f

(8)

=

除以 x − 14 所得的餘數為 (

)


數與式﹑多項式函數

週 答案

【全真模擬學測區】 一﹑單選題﹕ 1. (1) 2. (2) 3. (4) 4. (2) 二﹑多選題﹕ 7. (1)(2)(3)(4)(5) 8. (4)(5) 12. (1)(3)(5) 三﹑填充題﹕ A. 11 B. 31 C.

3

1. (4) 2. (2) 3. (5) 4. (3) 5.

225

3

【經典歷屆試題區】

D.

5. (4) 6. (2) 9. (1)(3)(5) 10. (1)(5) 11. (1)(2)(3)(4) E.

3

F.

8

4.

一 單選題

《測驗程序性知識》

測驗是否能化簡雙重根號與應用立方和的 公式 x = 7 − 2 12 = 4 − 3 = 2 − 3 ﹐ 又 x + 1x = 2 − 3 + 2 −1 3 = 4 ﹐ 2

x +

1

1⎞ ⎛ = ⎜ x + ⎟ − 2 = 14 x x⎠ ⎝ 2

2.

+

3

+)

432

f (

5.

6.

測驗是否能清楚了解循環小數﹐並找出規 則 ﹐ 100 ÷ 6 = 16 4 ﹐則 100 = 8 ﹐ = 故選 (4)﹒ 0.142857

←餘式

)

《測驗概念性知識》

測驗是否能清楚了解牛頓定理的基本原理 設 hx + k 是 的因式且 h k ∈ » ﹐ h k = ﹐ 則 h 是 3 的因數﹐ k 是 7 的因數﹐故選 (4)﹒

f (

)

(

,

,

)

1

《測驗解決問題的能力》

測驗是否能應用虛根成對解題 一元三次整係數方程式 x + bx + cx − 30 = 0 有 一根為 1 + i ﹐則有另一根為 1 − i ﹐ 以此兩根得一個方程式為 x − 2x + 2 = 0 ﹐ 則 x + bx + cx − 30 = x − 2x + 2 x −15 ﹐ 得另一實根為 15 ﹐故選 (2)﹒ 2

2

<

《測驗程序性知識》 7

+799 −145 −87 −115 −2 −864 +130 +30 +114 − 65 − 15 −57 −1

3

測驗是否能化簡絕對值不等式 2 ≤ 3x − 2 < 5 ⇒ 2 3 x 2 5 或 −5 < 3 x − 2 ≤ −2 ⇒ 34 ≤ x < 73 或 −1 < x ≤ 0 ﹐ 又 x 是整數﹐則 x = 2 ﹐ 0 ﹐故選 (2)﹒

1

f ( x)

商式→ 得 −2 = −1 ﹐故選 (2)﹒

《測驗程序性知識》 −

)

f ( x)

1 ⎞⎛ 2 1⎞ ⎛ = ⎜ x + ⎟⎜ x − 1 + 2 ⎟ = 4 × (14 − 1) = 52 x x ⎝ ⎠⎝ ⎠

3.

測驗是否能應用綜合除法求得餘式 −2 可視為 除以 x + 2 的餘式﹐ 利用綜合除法﹐ 432

則 x x1 故選 (1)﹒ 3

−1 < c < 3

《測驗程序性知識》 f (

2

H.

−2

6. (1)(3)(5)

全真模擬學測區

1.

G.

( 2,1)

3

2

(

2

)(

)

二 多選題 7.

《測驗概念性知識》

測驗是否能清楚了解插值多項式的意涵 x = 1 代入 得 1 =7﹐ 同理得 2 = 6 ﹐ 3 = 11 ﹐ 4 = 28 ﹐ 5 = 63 ﹐故選 (1)(2)(3)(4)(5) ﹒ f ( x)

f (

f (

)

f ( ) f (

)

f (

)

)

1


01 週 8.

《測驗解決問題的能力》

測驗是否能利用餘式定理解決數學問題 1 (1) = 3 −1 +4⇒ 4 3 f ( x)

(2)(3)

( x

f ( x)

) g ( x)

f

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟= ⎠

1⎞ ⎛ = ⎜ x − ⎟ ⋅ 3g ( x ) + 4 3⎠ ⎝

則 除以 x − 13 的商式為 3 餘式為 4 f ( x)

g ( x)

f ( x) = (

x − )⋅

g ( x)

測驗是否能利用勘根定理解決問題 −3 = −2 ﹐ −2 = 9 ﹐ −1 = 8 ﹐ 0 = 1 ﹐ 1 = −6 ﹐ 2 = −7 ﹐ 3 = 4 利用勘根定理知 −3 與 −2 之間有根﹐ 0 與 1 之間有根﹐ 2 與 3 之間有根﹐ 即在上述範圍中與 x 軸相交﹐ 故選 (1)(3)(5)﹒ f (

)

f (

)

f ( )

)

f (

f (

)

)

≤1

或 2≤

x

)(

)(

)

《測驗解決問題的能力》

測驗是否能透過對圖形的觀察﹐了解勘根 定理與牛頓定理基本概念 (1) ∵ 4 + 3 > 0 ﹐ 4 − 3 < 0 ﹐ ∴ 4+ 3 4− 3 < 0 (2) ∵此圖形與 x 軸只交於一點﹐ ∴ = 0 僅有一實根 (3) ∵ x − 4 是整係數多項式 f x 的因式﹐ ∴由牛頓定理知 4 為 d 的因數 (4) ∵ x + ex + f 沒有實根﹐∴ e − 4 f < 0 (5) 由虛根成雙可知﹐正確 故選 (1)(3)(5)﹒ f (

)

f (

f (

) f (

)

)

( )

g ( x) +

《測驗概念性知識》 f (

x

(

f ( x)

f ( x)

10.

= ( 3x − 1) g ( x ) + 4

3 1 2 8﹐ ⇒2 則 2 除以 3x −1 的商式為 2 餘式為 8 故選 (4)(5)﹒

9.

12.

f ( x)

(4)(5)

= ( 3x − 1) g ( x ) + 4

f ( x)

⇒ x −1 x − 2 x − 3 ≤ 0 ≤ 3 ﹐故選 (1)(2)(3)(4) ﹒

x 3 − 6 x 2 + 11x − 6 ≤ 0

f (

2

三 填充題 A.

)

《測驗概念性知識》

測驗是否能清楚了解二次函數的圖形 依題意畫出圖形如下﹐

2

《測驗程序性知識》

測驗是否能利用內分點公式 依題意 AP : BP = 7 : 5 ﹐利用內分點公式 5 × −3 + 7 × 5 20 5 × −5 + 7 × 7 24 a= = ﹐b = = ﹐ 7+5 12 7+5 12 則 a + b = 1220 + 1224 = 1244 = 113 ﹒ (

B.

)

(

)

《測驗程序性知識》

測驗是否能解絕對值不等式﹐並求二次函 數的極值 1 3 −3 ≤ 2 ⇒1≤ x ≤ 5 ﹐ y x x 1 x 2 4 當 x = 5 時﹐ y = x + x + 1 有最大值 31 ﹒ =

x

2

+

⎛ + =⎜ ⎝

2

+

⎞ ⎟ + ⎠

2

由圖可知﹐ a < 0 ﹐ c < 0 ﹐ 3 > 4 ﹐ b −2 = 4 ﹐又對稱軸為 x = − > 0 ﹐ 2a 且 a < 0 ﹐得 b > 0 ﹐故選 (1)(5)﹒ f (

f (

11.

2

)

f (

)

f (

)

《測驗程序性知識》

測驗是否能應用牛頓定理解不等式

)

C.

《測驗程序性知識》

測驗是否能了解二次函數恆正的意義 a−2>0⇒ a > 2  D a 4 a 2 a 0 ⇒ 3a − 8a > 0 ⇒ a > 83 或 a < 0 由 可得 a > 83 ﹐故 a 的最小整數為 3 ﹒ =

2

⋅(

)⋅

<

2


數與式﹑多項式函數 因方程式恰好只有一實根﹐ 則 x + 1 − c x + 1 = 0 有二虛根﹐ 故 D = 1 − c − 4 < 0 ⇒ −1 < c < 3 ﹒

D. 《測驗程序性知識》

測驗是否能利用因式定理解決問題 x = 1 代入 得 a + b − 2 +1 = 0 ﹐ 得 −a + b + 2 + 1 = 0 ﹐ x = −1 代入 解得 a = 2 ﹐ b = −1 ﹐故 2a + b = 3 ﹒

2

f ( x)

f ( x)

E. 《測驗程序性知識》

測驗是否能利用算幾不等式 已知 a + b = AB = 16 ﹐ 由算幾不等式 a +2 b ≥ a b ⇒ ab ≤ 162 = 8 ⇒ −8 ≤ ab ≤ 8 ﹐ 故 ab 的最大值為 8 ﹒ 2

2

2

)

(

)

1.

2.

G.

,

)

( 2,1)

《測驗解決問題的能力》

測驗是否能利用多項式的概念解決問題 x − x + 2 = 0 的二根為 α ﹐ β ⇒ α −α + 2 = 0 ﹐ β − β + 2 = 0 ﹐ 2

2

2

α 4 + 2α 3 − 3α 2 + 4α − 5 4α + 1 2 2 (α − α + 2 )(α + 3α − 2 ) + ( −4α − 1) = 4α + 1 2 0 (α 3α 2 ) ( 4α 1) 1﹐ 4α 1 ⋅

+

+

=

= −

+

同理﹐ β + 2β 4−β3+β1 + 4β − 5 = −1 ﹐ 故原式 = −2 ﹒ 4

H.

3

2

《測驗解決問題的能力》

測驗是否能了解根的意義解決問題

x

3

+ ( 3 − c ) x 2 + ( 3 − 2c ) x + 2

2

4

x − 12 ≤ 2 x

1 1 16 25 25 ×16 + +1 = + + 52 4 2 25 ×16 25 × 16 25 ×16

F. 《測驗解決問題的能力》

(

⇒− x≤

4 x − 12 ≤ 2 x

⇒ ⎧⎨−42x x−≤124≤x −2 x12⇒⇒x x≤≥6 2 ⎩ ⇒2≤ x≤6﹐ 故選 (4)﹒

2 2

測驗是否能解絕對值方程式 x ≥ 3 ⇒ x − 3 + x + 2 = 13 ⇒ x = 7  −2 ≤ x < 3 ⇒ − x + 3 + x + 2 = 13 ⇒ 5 = 13 (不合)  x < −2 ⇒ − x + 3 − x − 2 = 13 ⇒ x = −6 由 可得 x = 7 或 x = −6 ﹐ 則 a = 2 ﹐ b = 1 ﹐故 a b = ﹒

2

經典歷屆試題區

2

2

(

=

441 21 = = 1.05 25 ×16 20

故選 (2)﹒ 3. 令 = 4 +1 + +1 − 3 + −1 為一三次多項式且領導係數為 2 ﹐ 將 x = 0 代入得 0 = 0 ﹐ 將 x = 代入得 1 = 0 ﹐ 將 x = − 代入得 −1 = 0 ﹐ 故選 (5)﹒ f ( x)

(x

2

)

f (

⎛ ⎜ ⎝

)

(x

)

3

)

f (

1

f

) (x

f ( )

1

4. (1)

2

(x

)

1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ − 1⎟⎜ + 1⎟ < 0 ⎟= ⎜ 2⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠

⇒ x −x−2=0 ﹐ 代入 ±1 ﹐ ±2 檢查均不合﹐ f x = 2 沒有整數解 (3) = + 1 ⇒ x − x − x −1 = 0 ﹐ 三次實係數方程式必有實根 (4) f x = x ⇒ x − 2 x = 0 ﹐ 解得 x = 0 ﹐ 2 ﹐ − 2 (5) f a = 2 ⇒ a a − 1 a + 1 = 2 ﹐ 則 f −a = −a −a − 1 −a + 1

(2)

f ( x) = 2

3

( )

f ( x)

x

2

2

3

( )

(

3

)

(

(

)

)(

(

)

)(

)

= −a ( a + 1)( a − 1)

故選 (3)﹒

= −2

= ( x + 2 ) ( x 2 + (1 − c ) x + 1) 3


02 週 5.

b 2 = 9a

⇒b=3

a ∈»

(1) 令 x = 0

⇒ f 0 =b﹐ f 0 =b (2) 令 x = 1 ⇒ f 1 = 4 + a + b ﹐ f 1 = 1+ a + b (3) 令 x = 2 ⇒ f 2 = 20 + 4a + b ﹐ f 2 = 20 + 4a + b (4) 令 x = −1 ⇒ f −1 = −4 + a + b ﹐ f −1 = −1 + a + b (5) 令 x = −2 ⇒ f −2 = −20 + 4a + b ﹐f −2 = −20 + 4a + b 故選 (1)(3)(5)﹒

又 a + 2b > 280 ⇒ a + 6 a > 280 ⇒ a + 6 a − 280 > 0 ⇒ a + 20 a −14 > 0 ⇒ a > 14 ﹐ a < −20 (不合)﹐ a > 14 且 a a ∈ » ﹐則 a 的最小值為 15 ﹐ 得 a = 225 ﹒ 6. 設 f x = 3x + ax + 2 x + b ﹐ 甲生﹕ f x = 2x + ax + 2 x + b ﹐ 乙生﹕ f x = 3x + ax − 2 x + b ﹐ 利用餘式定理﹐ (

)(

3

答案

)

1(

)

2(

)

1(

2

3

2

3

2

)

2(

)

1( )

,

3

( )

1(

2( )

)

2(

1(

)

1(

)

)

2(

)

2(

)

【全真模擬學測區】 一﹑單選題﹕ 1. (4) 2. (3) 3. (3) 4. (5) 5. (1) 6. (3) 二﹑多選題﹕ 7. (1)(4) 8. (3)(4)(5) 9. (2)(5) 10. (1)(2)(5) 11. (1)(2)(3)(5) 三﹑填充題﹕ A. 12 B. 2 C. 32 D. −3 E. 2 F. −2 G. 12.5 H. 12 【經典歷屆試題區】

12. (3)(4)(5)

1. (3) 2. (5) 3. (3) 4. (2)(5) 5. (5) 6. 15

全真模擬學測區

3.

一 單選題 1.

測驗是否能了解對數的運算性質與等比中 項 log x + log y = 1 ⇒ log xy = 1 ⇒ xy = 2 ﹐ x 與 y 的等比中項為 ± 2 ﹐故選 (4) ﹒ 2

2

log

《測驗程序性知識》

測驗是否能利用指數與對數的定義比較大 小 a = log 16 = 4 = 2 ﹐ b = 2 ﹐ c = 2 ﹐ d = 2 ﹐ 則 a > c > d > b ﹐故選 (3)﹒ 2

4

測驗是否能清楚了解對數內插法的意涵

《測驗程序性知識》 2

2.

《測驗概念性知識》

2

−2

3 2

−5 3

⇒c= 4.

3

2

3

5

5

5

c = a+ b= 3 5

⋅ log 3.05 +

2

⋅ log 3.06

5

2

× 3.05 + × 3.06 = 3.054 5

《測驗程序性知識》

﹐故選 (3)﹒

測驗是否能利用指數運算性質化簡

f (1 + 5 ) f (1 − 5 ) = a1+

5

a1−

5

=

a1+

5 +1− 5

=

a2


指數﹑對數函數 ⇒a f

5.

2

⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎜− ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝2⎠

1 2

1

= 22 =

﹐故選 (5)﹒

測驗是否能利用對數的定義及運算性質計 算各式 x log 3 ⇒ 2 = 3 ﹐ 1 1 20 ﹐ 2 8 2 2 8 8 2 2 3 27 27 故選 (1)﹒ 1 − x+ 3

+

−x

=

1

+

−x

1 3

=

+

=

10.

測驗是否能知道複利本利和的意涵並利用 對數表求值估算 ﹐令 a = 本利和 100 萬 × ⇒ a= = = × = ≈ ⇒a= ﹐ 所以本利和 100 萬 × = 萬﹐故選 (3)﹒ 15

log

log1.05 0.318

二 多選題

1.05

15 log1.05

15

log 2.07

0.0212

(2) (3) (4)

1

1

log

11.

0.3

0.3

log 0.3 > log 1 = 0 0.5

0.5

《測驗解決問題的能力》

測驗是否能了解題意並寫出機器的位置數 列並作應用 (1)(2)(3) 依題意機器兔跳的位置為 3 ﹐ −6 ﹐ 12 ﹐ −24 ﹐ 48 ﹐ −96 ﹐…﹐ 可知 a = 3 ﹐ a = −6 ﹐ a = 12 ﹐ a = −6 × −2 ﹐ 得 a = −6 × −2 = 768 (4)(5) 機器兔八秒後共跳了 1

(

)

2

n −1

8−1

(

)

=

9 × ( 28 − 1) 2 −1

測驗能否清楚了解指數圖形平移的概念 ﹐ 往上 (1)(2) 觀察 Γ 上的每個點如 平移 3 單位得 ﹐ 在 Γ 上﹐ 即 Γ 為 y = 2 +3 (3)(4)(5) 觀察 Γ 上的每個點如 ﹐ 往 左平移 1 單位得 − ﹐ 在 Γ 上﹐即 Γ 為 y = 2 故選 (1)(2)(3)(5)﹒ ( 0,1)

( 0, 4 )

1

(1, 5 )

(

= log 7 + 2 = 2.8451

2

( 0,1)

1

log 700 = log ( 7 ×102 ) = log 7 + 2log10

(1, 2 )

x

2

= 1 + 0.8451 = log10 + log 7 = log 70

= 2295

《測驗概念性知識》 1

2

1.8451

log 0.5 < log 0.3 = 1

9 + 18 + 36 +

= log 7 2 = × 0.8451

7

0.5

8

= log 7 −1 = −0.8451

7

0.5

故選 (1)(2)(5)﹒

測驗能否清楚了解對數的運算性質 log

log 4 < log 1 = 0

207

《測驗概念性知識》 (1)

log 5 3 < log 5 5 = 1

n

2.07

2.07

log10 2 > log10 1 = 0

0

15

(1.05 )

=

測驗是否能利用對數的運算性質比較大小

故選 (2)(5)﹒

《測驗解決問題的能力》 15

《測驗程序性知識》 (1) (2) (3) (4) (5)

x

2

− x +1

7.

2

《測驗程序性知識》 =

6.

4

9.

⇒ a = 12 ﹐

1

= 0.25 =

1,1)

( 0, 2 )

(1, 2 )

3

x +1

3

(5)

= log

log 0.7

7 10

= log 7 − log10

= 0.8451 − 1 = −0.1549

故選 (1)(4)﹒

8.

《測驗程序性知識》

測驗是否能利用指數的運算性質化簡 x 4 4 4 4 4 4 4 ﹐ x = 4 = 4 = 16 = 2 ﹐ 故選 (3)(4)(5)﹒ =

2

n

(

+

n +1

n

+

2

)

n

+

2

n+2

n

=

n +1

n

n +1

=

4

n+4

12.

《測驗解決問題的能力》

測驗能否了解題意並解決問題 (1)(2)(3) 0 = 1000 ﹐ 1 = 500 代入 f x c a ﹐ 1000 c a ⇒ c = 1000 ﹐ 1 500 c a 1000a ⇒ a = 2 f (

)

f ( )

( )

=

=

x

0

=

1

=

5


02 週 (4)(5) 由上述可得

f ( x)

⎛1⎞ = 1000 ⋅ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2

⎛1⎞ ⎟ = 250 ⎝2⎠

f (

2 ) = 1000 × ⎜

f (

3) = 1000 × ⎜

x

E.

F.

《測驗程序性知識》

測驗是否能化簡雙重根號與利用對數的定 義

t

G.

= log12 ( ( 4 + 3 ) − ( 4 − 3 ) ) = log12 2 3 = log12 12 =

1 2

C.

+

y

y

H.

《測驗解決問題的能力》

測驗是否能了解半衰期並解決問題 10

D.

⇒ x = 32 ﹒

∑ n =1

1 8

= log 2 = −3

6

測驗能否根據題意及利用對數運算性質解 決問題 將 x = 9 ﹐ y = 10 ﹐ h = 代入關係式得 = a− + ﹐求出 a = 1 ﹒ 代入 x = 9 ﹐ y = 1000 ﹐ 得 h= − + = − × + = ﹒ 3

9

log10

3

8

log1000

6 7⎞ × × ⎟ 7 8⎠

+ log 2

8

3

9

7 8

3

8

12.5

2

《測驗解決問題的能力》

測驗能否根據題意列式及進行估算解決問 題 設至少塗上 n 層﹐ 1 ⇒ log 23 log 1001 1 13 1% ⇒ 23 100 ⇒ n log 2 − log3 ≤ −2 ⇒ − n ≤ − ⇒ n ≥ − − ⇒ n ≥ ﹐故最少 12 層﹒ n

⎞ ⎟ ≤ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

n

⎞ ⎟ ≤ ⎠

)

2

1 2 3 + log 2 + log 2 + 2 3 4

⎛1 2 3 = log 2 ⎜ × × × ⎝2 3 4

t−

)

(

測驗是否能看懂 ∑ 及利用對數的運算性 質化簡 log 2 an = log 2

=

《測驗解決問題的能力》

⎛ ⎜ − ⎝

《測驗程序性知識》 7

2

2

y

⎛1⎞2 x ⋅⎜ ⎟ = 1 ⎝ 2⎠

2

t

t

9

1

1 1 x

t

2

⇒ 20 = 10 ﹐ 5 = 10 ⇒ 5 = 10 ﹐ 1 1 100 = 10 ⇒ + = 2 ﹒ x y 20 = 10

2

15.5

測驗是否會運用指數的運算性質 x

t

15.5

《測驗程序性知識》 1

﹐故 k = 2 ﹒

測驗是否能解指數方程式 令 2 = ﹐原式化簡為 2 9 2 ⇒ 4 − 9 + 2 = 0 ⇒ = 14 ﹐ 2 ⇒ x = −2 ﹐ 1 ﹐ 故 αβ = −2 ×1 = −2 ﹒ (

= log12 ( 7 + 2 12 − 7 − 2 12 )

x

2log10 2 + log10 3 2a + b = 2log10 2 2a

《測驗程序性知識》 x

log12 ( 7 + 48 − 7 − 48 )

B.

1 log10 12 2 log10 12 12 = = log10 2 log10 2 =

三 填充題 A.

測驗是否能利用對數的換底公式﹑運算性 質化簡

log 2

3

⎛1⎞ ⎟ = 125 ⎝2⎠

故選 (3)(4)(5)﹒

《測驗程序性知識》

⎛ ⎜ ⎝

n

⎞ ⎟ ≤ ⎠

0.1761

2

11.3...

0.1761

經典歷屆試題區 1.

log10

x = 2.8

log

(x

10

2

⇒ x = 10 ﹐ 2.8

log10

+ y ) = log (10 + 10 5.6

5.6

⇒ y = 10 ﹐

5.6

= log ( 2 ×10

= log 2 + log10 = 0.301 + 5.6 = 5.901 5.6

故選 (3)﹒

)

y = 5.6

5.6

)


第一冊總複習 ⇒ 7 × 0.4771 < 3 × 0.8451 ⇒ < (矛盾) < (2) log5 < log10 ⇒ × ⇒ < (矛盾) (3) log 2 < log10 ⇒ 100 × 0.301 < 30 ⇒ < (矛盾) (4) log 3 = 1.5 ⇒ 2 = 3 ⇒ 2 = 2 = 3 ⇒ 8 = 3 (矛盾) (5) = = = ﹐ 又 log 11 = log 121 ﹐則 < 故選 (5)﹒ 3. 100 小時後的數量為 1× 1 + 8% 千隻﹐ 令 a = 1 + 8% 108 ⇒ log a log 100 100 log108 2

2. (1)

(2) PA = 5 ⇒ nA = 105 ⇒ nB (3) PA = 8 ⇒ nA = 108 ﹐

log37 < log 73

3.3397

10

5

10

2.5353

0.699

6.99

100

又 P′ = 4 ⇒ n 10 ﹐則為 nn 10 倍 (4) 設昨天的 P 值為 1 ( n = 10 )﹐ 則今天的 P′ 值為 2 ( n = 10 = 100 )﹐ 多了 100 −10 = 90 個 (5) 當 n = 50000 ﹐則 n = 10 = 2 ×10 ﹐ 50000

5

30

30

3 2

1.5

2

3

log 2 2

3.5

2

log 2 2

2

log 2

⎞ ⎟ ⎠

=

×(

log

A

A⋅ B

A

t

6.

22

⇒3

t

3

t

=

10 ⋅ 2 2

⇒ log3

t

3

⎛ ⎞ = log ⎜ 10 ⋅ 2 2 ⎟ ⎝ ⎠ t

t

⋅ 0.4771 = 1 +

t

⋅ 0.301

2

t ≈

117

﹐故選 (5)﹒

a log 520 2 + b log 520 5 + c log 520 13 =

log 520 ( 2a ⋅ 5b ⋅13c ) = 3

⇒ 2 5 13 520 2 5 13 2 5 13 ⇒ a = 9 ﹐ b = 3 ﹐ c = 3 ﹐則 a + b + c = 15 ﹒

10

a

A

答案

10

3

10

A

=

t

2000

10

3

⇒ 3 log3 = log10 + 2 log 2 ﹐

B

=

33 t

⇒ a = × ≈ ﹐故選 (3)﹒ 4. 設 n ﹐ n 為 A 菌﹐ B 菌的個數﹐ 則 n n 10 ﹐ (1) 1 ≤ n ≤ 10 ⇒ log1 ≤ log n ≤ log10 ⇒ 0 ≤ P ≤ 10 2.

2

t

x⋅

a = 3.33 = 3 + 0.33 = log1000 + log 2. 1000

5

t

x⋅

= 100 × ( 3 × 0.4771 + 2 × 0.301 − 2 ) = 3.33

2

A

− )

= 100 × ( 3log3 + 2log 2 − 2 )

A

t

100

⎛ ⎜ ⎝

A

t

)

)

=

A

故選 (2)(5)﹒ 5. 設一開始 A ﹐ B 細菌的細菌數都是 x ﹐ 經過 小時後細菌 A 的數量為 x 2 ﹐ 細菌 B 的數量為 x 3 ﹐

3.5

100

(

A

PA = log ( 2 ×105 ) = log 2 + 5 = 5.301

100

(

A

10

128

log 2 11

2

4

=

B

7

3.5

A

4

′ = A

A

5

30.1

105

=

b

c

=

3

=

(

3

3

×

×

)

=

9

×

3

×

3

【全真模擬學測區】 一﹑單選題﹕ 1. (3) 2. (3) 3. (2) 4. (3) 5. (4) 6. (4) 7. (2) 二﹑多選題﹕ 8. (3)(5) 9. (3)(4) 10. (1)(4)(5) 11. (2) 12. (3)(4)(5) F. 29 G. 三﹑填充題﹕ A. 3 B. −30 C. − D. 5 E. (1,

3)

i

1.5

13. (2)(3)(4) ( 2,100 )

7


03 週 全真模擬學測區

令 a = 3 ×2 ⇒ log a = log 3 × 2 = 100log3 + 10log 2 = 則 a 共有 50 + 1 = 51 位﹐故選 ﹒ 100

一 單選題

1.

7.

測驗是否能將根式有理化 7− 5 a= ﹐ a = 77 +− 55 ﹐ 7+ 5 2

7 − 5) + ( 7 + 5)

(

a 2 + a −2 = ( a1 + a

2

−1 2

= 12

− 2 = 122 − 2 = 142

)

《測驗程序性知識》 (

)(

3

) (

3

4

) (

) (

2

)

﹐故選 ﹒ ( 3)

8.

)

9.

4

是否會利用所學過的數學定理解決問題 依內分點公式﹐ 5

故選 ﹒

2 a= 3

5

2

) = − ⎜ log

+ log10

−6 ⎞

⎟ ⎠

= − ( log 5 − log 2 + ( −6 ) ) = 5.602

《測驗概念性知識》

測驗是否清楚了解有理數的定義與基本概念 1 2 = 3 ﹐ 2 = ﹐故選 ﹒ 2 −1

log 2 3

《測驗解決問題的能力》 1 2 =3 5

−6

二 多選題

(3)

3a + 2 ×

( 2)

2

3.

50.72

測驗是否能了解題意並化簡

故選 ﹒

測驗是否能解多項式不等式 原式 ⇒ x −1 x − 2 x − 3 x − x + 1 ≤ 0 ﹐ 又 x − x + 1 恆正﹐所以原不等式與 x − 1 x − 2 x − 3 ≤ 0 有相同的解為 1 ≤ x ≤ 2 或 x = 3 ﹐故選 ﹒ )(

)

《測驗解決問題的能力》 − log ( 2.5 × 10

7 + 5 )( 7 − 5 )

(

(

10

( 4)

−1

2.

100

(

《測驗程序性知識》

a1 + a −1 =

10

( 3 )( 5)

《測驗概念性知識》

測驗是否能清楚了解函數圖形平移的基本 概念 與函數 y = − x + x 的圖形一樣開口朝下﹑大小 相同的函數圖形﹐皆可透過平移使其重合﹐ 故選 ﹒ 2

( 3) ( 4)

1 0.

《測驗解決問題的能力》

測驗能否了解解的意義與圖形的關係 ( 2)

(1 )

( 2)

4.

《測驗程序性知識》

測驗是否能利用對數運算性質化簡 原式 = log b + log c + log a + log c (

a

)

a

(

b

b

+ ( log c a + log c b ) = log a bc + log b ac + log c ab 1 a

1 b

1 c = ( −1) + ( −1) + ( −1) = −3

= log a + log b + log c

5.

《測驗程序性知識》

6.

8

)

《測驗程序性知識》

( 4)

(又 abc = 1 ) (5 )

﹐故選 ﹒ ( 3)

測驗是否能解絕對值不等式 利用 a + b ≥ a + b ⇒ k = x + 3 + x − 7 = x + 3 + −x + 7 ≥ x + 3 + − x + 7 = 10 ﹐故選 ﹒ (

(3 )

)

(4)

測驗是否能利用對數的運算性質估算求值

圖形有交點即表示有解﹐ 由上述圖形可知選項 有解﹒ ( 1 )( 4) ( 5)

1 1.

《測驗程序性知識》

測驗能清楚了解解的意義 x 為任意實數 沒有實數解 −1 < x < 3 x = −1 x 為除了 −2 以外的任意實數 故選 ﹒ (1 )

( 2)

(4 )

(5)

( 2)

( 3)


數列與級數﹑排列組合 以 α ﹐ β 為二根的方程式為 x + x − 3 = 0 ﹐ 故數對 a b = − ﹒

12. 《測驗程序性知識》

2

測驗是否能解指數不等式

( 0.1)

x

2

− 2 x −1

> 0.01 = ( 0.1)

⇒ x − 2x −1 < 2 ⇒ x 故選 (3)(4)(5)﹒ 2

2

(

2

− 2x − 3 < 0

⇒ −1 < x < 3 ﹐

t

E.

F.

f ( x)

(x

)( x

3

)

x

2

f (

﹐ −1 = −30 ﹒ + x + 1)

G.

)

(

測驗是否能應用根與係數的關係 α + 1 + β + 1 = 1 ⇒ α + β = −1 ﹐ α 1 β 1 3 ⇒ αβ = −3 ﹐ )

+

)⋅(

答案

(

)

+

)

測驗是否能了解題意並化簡對數 E = + a ⇒ E 6 = 10 ﹐ E = + a ⇒ E 4 = 10 ﹐ E 6 = 1000 = 10 ⇒ 2a = 3 ⇒ a = ﹒ E 4

log

( 6)

11.8

6

( )

log

( 4)

11.8

4

( )

11.8

+6 a

11.8

2a

+4a

1.5

《測驗程序性知識》

測驗是否能利用餘式定理與綜合除法 利用餘式定理可知﹐ 1 = −48 ⇒ a = 11 ﹐ 得 = 3 − 22 −12 − 33 + 11 + 5 ﹐ 則利用綜合除法可得 8 = 29 ﹒ x

5

x

4

x

3

f (

C. 《測驗程序性知識》 (

《測驗程序性知識》

f ( x)

f ( )=

x

1 + i ) = 5 (1 + i ) − 5 = 5i

f (

f ( )

B. 《測驗程序性知識》 2

2

( )

⇒ x +1 x − 2 = 4 ⇒ x − x − 6 = 0 ⇒ x = 3 ﹐ −2 (不合)﹒

( x

2

= ( x 2 − 2 x + 2 )( x 2 − 3x ) + ( 5 x − 5)

2

測驗是否能應用餘式定理 1 4 ⇒ a = −2 ﹐ 則 = 3 −5 −2 −4 除以 + 1 的餘式為

( i)

( )

log 2 ( x + 1) + log 2 ( x − 2 ) = log 2 ( ( x + 1)( x − 2 ) ) = 2 )

2

− 5 x3 + 8 x 2 − x − 5) ÷ ( x 2 − 2 x + 2 )

6

測驗是否會解對數方程式

f ( x)

4

)

6

A. 《測驗程序性知識》

)(

3)

= x 2 − 3x 5 x − 5 4 3 2 f ( x ) = x − 5x + 8x − x − 5

三 填充題

(

(x

i

(x

t

t

(1,

測驗是否能利用虛根成對定理解決問題 = 1 ± ⇒ −1 = ± ⇒ x − 2x + 2 = 0 ﹐

13. 《測驗解決問題的能力》

36 6

)

D. 《測驗解決問題的能力》 x

測驗能否根據題意列出細菌的生長函數 由題意可知﹐ 小時後細菌的數量為 1× 2 株﹐ (1) = 36 ⇒ 2 = 2 = 64 (株) 同理﹐ (2)細菌的數量為 128 株 (3) 細菌的數量為 256 株 (4) 細菌的數量為 512 株 (5) 細菌的數量為 1024 株 故選 (2)(3)(4)﹒

,

x

2

x

)

《測驗解決問題的能力》

測驗能否利用餘式定理及等比級數的公式 利用餘式定理可知﹐ 1× 3 − 1 3 − 1 3 −1 = 3 + 3 + + 3 +1 = = ﹐ a 3 −1 2 故數對 a b = b

99

(

(

98

,

)

100

)

100

( 2,100 )

= −

【全真模擬學測區】 一﹑單選題﹕ 1. (3) 2. (4) 3. (1) 4. (2) 5. (4) 6. (1) 二﹑多選題﹕ 7. (1)(2) 8. (3)(5) 9. (3)(4)(5) 10. (1)(3)(4) 三﹑填充題﹕ A. 3141 B. 34 C. 9 D. 511 E. 18 F. 336 【經典歷屆試題區】

11. (4)(5) G. 10 H. 285 I. 28

1. (2) 2. (2)(3)(5) 3. (2) 4. (1)(2) 5. (3) 6. 478

9

【週懂】數學學測20週  
【週懂】數學學測20週  
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