第 章 排列組合
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9
組合總數 重點整理 相異物的組合總數：自 n 件相異物中，每次至少取一件的組合總數為 2 − 1。 不盡相異物的組合總數： n 件物品中，其中 m 件相同， m 件相同，……， m 件相同，且 n=m +m + + m ，則自其中至少取一件的組合總數為 m + 1 m + 1 m +1 −1 。 n
1. 2.
1
1
2
2
k
(
k
1
)(
)
2
(
k
)
9
小龍欲在 5 位好朋友中，至少邀請一位參加生 日宴會，試問其邀請方法有多少種？ （提示：相異物的組合總數。）
小玲欲從 6 本相異的故事書中，至少取一本來 閱讀，則其閱讀的方法有多少種？
每一本故事書均可分為「取」或「不取」兩種情形 故 6 本書中至少取一本的方法有 2 − 1 = 63 （種）
每一位朋友均可分「邀」或「不邀」兩種情形 故 5 位好友至少邀一位的方法 = （任意邀請）−（均不邀請） = 2 − 1 = 31 （種）
6
5
10
百元鈔1張， 50 元鈔 2 張，10 元鈔 3 張，現每 次至少取一張，則取法有多少種？ （提示：不盡相異物的組合總數。）
設水果攤有相同蘋果 3 個、梨子 4 個、桔子 5 個，現小龍至少買1個，則買法有多少種？
由不盡相異物的組合總數，可得至少買 1 個的方法 有 3 + 1 4 + 1 5 + 1 − 1 = 119 （種）
百元鈔 1 張可分成：不取、取 1 ，有 2 種取法 50 元鈔 2 張可分成：不取、取 1 、取 2 ，有 3 種取 法 10 元鈔 3 張可分成：不取、取 1 、取 2 、取 3 ，有 4 種取法 由乘法原理，至少取一張的取法有 2 × 3 × 4 − 1 = 23 （種）
(
)(
)(
)
二項式定理 重點整理 例題說明：試求 x + y 的展開式 (
1.
(x
)
3
3
+ y) = ( x + y)( x + y)( x + y) = xxx + xxy + xyx + yxx + xyy + yxy + yyx + yyy = x3 + 3x 2 y + 3 xy 2 + y 3
的展開式中，經合併同類項後成為 4 項，其中每項的次數均為 3 次，而且 x 項 的係數可視為 3 個 y 中取 0 個 y 之組合數 C = 1 ； x y 項的係數可視為 3 個 y 中取1個 y 之組合數 C = 3 ； xy 項的係數可視為 3 個 y 中取 2 個 y 之組合數 C = 3 ； y 項的係數可 視為 3 個 y 中取 3 個 y 之組合數 C = 1 ，故得 x + y = C x + C x y + C xy + C y ，由 此可推得 x + y = C x + C x y + + C x y + + C y (x
+ y)
3
3
3 0
3 1
2
3 2
3 3
(
2
)
n
n n 0
n n −1 1
3
(
)
n n−r r
r
3 3 0
3 2 1
n n
n
3
3 2
2
3 3
3
9