Transforma¸c˜ oes Lineares em R3 319
Se¸c˜ ao 47
Exemplo 47.2 (Proje¸ c˜ ao ortogonal sobre uma reta.) Seja r uma reta que passa pela origem em R3, determinada pelo vetor unit´ ario u = (a, b, c). Tem-se r = {tu; t ∈ R}. A proje¸c˜ao ortogonal P : R3 → R3 sobre r faz corresponder a cada vetor v = (x, y, z) ∈ R3 o vetor Pv, pertencente a r, tal que v − Pv ´e ortogonal a u. Assim, devemos ter Pv = tu, t ∈ R e hu, v − Pvi = 0, ou seja, hu, vi = hu, Pvi. Como u tem comprimento 1, ou seja, hu, ui = 1, a condi¸c˜ao Pv = tu nos d´a imediatamente hu, Pvi = thu, ui = t, logo Pv = tu = hu, Pviu = hu, viu. Sabendo que Pv = hu, viu, vemos que P(v + w) = Pv + Pw e P(αv) = α · Pv, logo P : R3 → R3 ´e linear. Em termos das coordenadas de u = (a, b, c) e v = (x, y, z), temos Pv = (x ′ , y ′ , z ′ ), onde x ′ = a2x + aby + acz,
y ′ = abx + b2y + bcz,
z ′ = acx + bcy + c2z.
Por conseguinte, a matriz de P ´e 2 a ab ac p = ab b2 bc . ac bc c2
Nota-se que as linhas (e as colunas) de p s˜ ao vetores m´ ultiplos de u = (a, b, c), logo se trata de uma matriz de posto 1. Isto corresponde ao fato de que as imagens Pv de todos os vetores v ∈ R3 s˜ ao m´ ultiplos do mesmo vetor u. Exemplo 47.3 (Proje¸ c˜ ao sobre um plano.) Seja Π ⊂ R3 o plano que passa pela origem e ´e perpendicular ao vetor unit´ ario u = (a, b, c). A 3 3 proje¸c˜ao ortogonal Q : R → R sobre Π associa a cada v = (x, y, z) ∈ R3 o p´e Qv da perpendicular baixada de v sobre o plano Π. Assim, o vetor v − Qv ´e perpendicular a Π (logo ´e m´ ultiplo de u) e v − (v − Qv) = Qv ´e perpendicular a u. Segue-se que v − Qv = Pv = proje¸c˜ao ortogonal de v sobre a reta que passa pela origem e cont´em o vetor unit´ ario u. Da´ı, v − Qv = hv, uiu, pelo exemplo anterior. Ent˜ao, para todo v ∈ R3, temos Qv = v − hv, uiu = v − Pv. Portanto Q = I − P e sua matriz ´e 1 − a2 −ab −ac q = I3 − p = −ab 1 − b2 −bc . −ac −bc 1 − c2