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Il sistema di dimostrazione ad alberi (tableaux) 1. Come funziona 2. Le regole di derivazione 3. Un esempio
Se un sequente Γ|= φ è corretto allora la corrispondente inferenza in LCProp è valida e valido è l’argomento in LN. Un sequente Γ|= φ è corretto se e solo se: C) non è mai il caso che tutte le premesse sono al contempo vere e la conclusione è falsa. Per controllare se la condizione C è soddisfatta si possono utilizzare diversi metodi tra cui le tavole di verità (TV) e i tableaux. Le TV sono un sistema di dimostrazione laborioso e semantico: mostrano direttamente se tutte le ψ in Γsono vere quando la φ è falsa. I tableaux sono un sistema di dimostrazione elegante, economico e puramente sintattico. Vediamo come funzionano. L’idea base dei tableaux è piuttosto semplice: i) una argomentazione in LN è valida ↔ la corrispondente inferenza in LCProp è valida ii) Una inferenza in LCProp è valida ↔ il corrispondente sequente Γ|= φ è corretto iii) Un sequente Γ|= φ è corretto ↔ non esiste alcun mondo possibile (alcuna struttura) in cui tutte le formule in Γ = V e φ = F iv) non esiste alcun mondo possibile (alcuna struttura) in cui tutte le formule in Γ = V e φ = F ↔ ipotizzare Γ|= ¬ φ significa ipotizzare una contraddizione. v) Assumiamo quindi le premesse come date, neghiamo la conclusione: se si genera una contraddizione avremmo un argomento valido, se si genera un mondo possibile avremmo un argomento invalido. In altre parole, se si riesce a dimostrare che Γ|= ¬ φ
Modulo I: Introduzione alla Logica Matematica, Dispense, Versione 7.1 © Luciano Floridi
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