Nel seguente esempio procederemo in modo molto graduale. Supponiamo di voler dimostrare il seguente teorema: 1 + 2 + ... + n = ½ n (n + 1) per ogni n ≥ 1 Si può osservare che una notazione più adeguata utilizza il simbolo sigma maiuscolo per indicare la somma dei numeri interi i da 1 a n, in questo modo:
∑ i = n (n2+ 1) n
i =1
Dal teorema segue banalmente che la proprietà P(n) è 1 + 2 + ... + n = ½ n (n + 1). Siccome il teorema predica P per ogni n ∈ N, dobbiamo utilizzare il principio di induzione matematica per dimostrarne la correttezza. La base induttiva è facilmente dimostrabile, basta verificare se l’equazione è corretta quando n = 1. Se n = 1 allora 1 + 2 + ... + n significa semplicemente 1, cioè:
∑i = 1 1
i =1
avremo quindi: 1 = ½ n (n + 1) = ½ 1 (1 + 1) = ½ 1 (2) = ½ (2) = 1. La base induttiva è assicurata. Ora dobbiamo verificare il passo induttivo. Assumiamo la premessa dell’inferenza e vediamo se da essa possiamo dedurre analiticamente la conclusione. Nel caso specifico, assumiamo 1 + 2 + ... + k = ½ k (k + 1) e vediamo se l’equazione resta soddisfatta quando incrementiamo k di una unità, cioè se, assumendo 1 + 2 + ... + k = ½ k (k + 1), segue necessariamente che 1 + 2 + ... + (k + 1) = ½ (k + 1)(k + 2). In questo processo utilizzeremo il semplice metodo della manipolazione di equazioni. Anzitutto incrementiamo k ottenendo 1 + 2 + ... + (k + 1) questa formula è equivalente a 1 + 2 + ... + k + (k + 1). Se ciò non è evidente, immaginate di sostituire k con 5, ad esempio, e otterrete: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6. Dunque, seguendo lo schema precedente, abbiamo 1 + 2 + ... + (k + 1) = 1 + 2 + ... + k + (k + 1)
Modulo I: Introduzione alla Logica Matematica, Dispense, Versione 7.1 © Luciano Floridi
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