Queste sono le logiche KB, K4 e K5. In queste logiche non è possibile provare una formula importante, cioè ( P → ◊P), che rappresenta un nuovo teorema di soglia. Vediamolo. Il tableau è: 1. 2. 3. 4.
¬ ( P → ◊P) P ¬ ◊P ¬P (resta aperto)
(n) (n) (n) (n)
teorema negato 1, ¬→ 1, ¬→ 3, ¬◊
Tuttavia, se queste logiche si potenziano con la proprietà della serialità, il precedente teorema può essere provato e otteniamo DT, DB, D4, D5. La serialità si definisce così: ∀ω∃υ(ωAυ), cioè ogni mondo possibile vede perlomeno un mondo possibile (possibilmente ma non necessariamente se stesso). Tradotto in regola di derivazione secondo la strategia di Hintikka, abbiamo: ( D)
ϕ (ω) | ◊ϕ (ω)
Con questa nuova regola abbiamo: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
¬ ( P → ◊P) P ¬ ◊P ¬P ◊¬P ¬ P
(n) (n) (n) (n) (n) (n)
teorema negato 1, ¬→ 1, ¬→ 3, ¬◊ 4, D 5, ◊¬
Alternativamente, si può introdurre la serialità nel modo ortodosso, qualificando la nuova proprietà di Serial(A) così: (Serial) ϕ (ω)
ωAυ | ϕ (υ)
dove υ è un nuovo mondo possibile nel tableau.
Modulo I: Introduzione alla Logica Matematica, Dispense, Versione 7.1 © Luciano Floridi
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