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Note que los puntos de intersección con el eje x de la gráfica de y 5 f(2x) son 0 y 2, que son 1 2 de los puntos de intersección con el eje x de 0 y 4 para y 5 f(x). Esto indica una compresión horizontal por un factor 2.

Los puntos de intersección con el eje x de la gráfica de y 5 f(1 2 x) son 0 y 8, que son dos veces los puntos de intersección en x para y 5 f (x). Esto indica una elongación horizontal por un factor de 1y 1 2 5 2 .

Las gráficas, obtenidas con el uso de una calculadora graficadora con pantalla [ 6, 15] por [ 10, 4], se muestran en la figura 1.19.

Las funciones se describen a veces con más de una expresión, como en los ejemplos siguientes. A estas funciones se les llama funciones definidas por tramos

Trazar la gráfica de una función definida por tramos

Trace la gráfica de la función f si

Soluci N

Si x # 1, entonces f (x) 5 2x 1 5 y la gráfica de f coincide con la recta y 5 2x 1 5 y está representada por la parte de la gráfica a la izquierda de la recta x 5 1 de la figura 1.20. El pequeño punto indica que el punto ( 1, 3) está en la gráfica.

Si u x u , 1 (o bien, lo que es equivalente, 1 , x , 1), usamos x2 para hallar valores de f, y por tanto, esta parte de la gráfica de f coincide con la parábola y 5 x2, como se indica en la figura. Observe que los puntos ( 1, 1) y (1, 1) no están en la gráfica.

Por último, si x $ 1, los valores de f son siempre 2. Así, la gráfica de f para x $ 1 es la semirrecta horizontal de la figura 1.20.

Nota: Cuando usted termine de trazar la gráfica de una función definida por tramos, verifique que pase la prueba de la recta vertical.

EJEMPLO 9

Aplicación usando una función definida por tramos

Trace una gráfica de la cédula X del impuesto federal 2009 que se muestra en la figura 1.21. Represente con x el ingreso gravable y con T el monto del impuesto. (Suponga que el dominio es el conjunto de los números reales no negativos.)

Soluci N

La tabla del impuesto puede representarse mediante una función por tramos como sigue:

Cédula de tasa del impuesto federal 2009 de la cantidad sobre: $8.350 33.950 82.250 171.550 372.950 - - - - - - -

- - - - - - - - 10% $835 + 15% $4.675 + 25% 16.750 + 28% 41.754 + 33% 108.216 + 35%

$0 8.350 33.950 82.250 171.550 372.950

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Note que la asignación para el grupo de 15% de impuestos no es 0,15x, sino 10% de los primeros $8.350 en ingreso gravable más 15% del monto que excede a $8.350; esto es, 0,10(8.350) 1 0,15(x 8.350) 5 835 1 0,15(x 8.350).

Los otros tramos se pueden establecer de un modo semejante. La gráfica de T se ilustra en la figura 1.22; note que la pendiente de cada tramo representa la tasa de impuesto.

Si x es un número real, definimos el símbolo vxb como sigue: vxb 5 n, donde n es el mayor entero tal que n # x Si identificamos R con puntos en una recta de coordenadas, entonces n es el primer entero a la izquierda de (o igual a) x. El símbolo vxb

Para graficar y 5 vxb, grafique Y1 5 int(X) en el modo de punto. En la calculadora TI-83/4 Plus y la TI-86, int está debajo de MATH, NUM.

EJEMPLO 10

La función entero mayor f está definida por f(x) 5 v

Trazar la gráfica de la función de entero máximo

Trace la gráfica de la función de entero mayor.

SOLUCIÓN

Las coordenadas x y y de algunos puntos en la gráfica se pueden listar como sigue:

EJEMPLO 11

Figura 1.23

Siempre que x se encuentre entre enteros sucesivos, la parte correspondiente de la gráfica es un segmento de una recta horizontal. Parte de la gráfica se traza en la figura 1.23. La gráfica continúa indefinidamente a la derecha y a la izquierda.

El ejemplo siguiente contiene valores absolutos.

Trazar la gráfica de una ecuación que contiene un valor absoluto

Trace la gráfica de y 5 u x2 4 u.

Soluci N

La gráfica de y 5 x2 4 se trazó en la figura 1.15 y se vuelve a trazar en la figura 1.24a). En ella observamos lo siguiente: a)

1. Si x # 2 o x $ 2, entonces x2 4 $ 0 y, por tanto, u x2 4 u 5 x2 4.

2. Si 2 , x , 2, entonces x2 4 , 0 y, por tanto, u x2 4 u 5 2(x2 4).

Deducimos de 1) que las gráficas de y 5 u x2 4 u y y 5 x2 4 coinciden para u x u $ 2. Vemos de 2) que si u x u , 2, entonces la gráfica de y 5 u x2 4 u es la reflexión de la gráfica de y 5 x2 4 por el eje x. Esto da el trazo de la figura 1.24b).