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Si la gráfica es simétrica con respecto a un eje, es suficiente determinar la gráfica en la mitad del plano de coordenadas, puesto que podemos trazar el resto de la gráfica al tomar una imagen de espejo, o reflexión, en el eje apropiado.

En particular, una función f se llama par si f ( x) 5 f(x) para toda x en su dominio. En este caso, la ecuación y 5 f(x) no se cambia si x es sustituida por x y, por tanto, por la prueba de simetría la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y.

Una función f se denomina impar si f( x) 5 f(x) para toda x en su dominio. Si aplicamos la prueba de simetría y 5 f(x), vemos que la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen.

Estos datos se resumen en las primeras dos columnas de la tabla 1.3.

x) 5 f (x) para toda x en el dominio.

respecto al origen

Capítulo 1 Funciones y grá cas

EJEMPLO 1

Determinar si una función es par o impar Determine si f es par, impar o ninguna de éstas.

SOLUCIÓN

En cada caso el dominio de f es R. Para determinar si f es par o impar, comenzamos por examinar f( x) donde x es cualquier número real. a)

EJEMPLO 2

Figura 1.14 x)3 1 ( x)2 sustituya x por x en f(x)

5 x3 1 x2 simplifique Como f( x) ± f(x), y f( x) ± f(x) (observe que f(x) 5 x3 x2), la función f no es par ni impar.

En el siguiente ejemplo se considera la función valor absoluto f, definida por f(x) 5 u x u

Trazar la gráfica de la función valor absoluto a) Determine si f es par o impar. b) Trace la gráfica de f c) Encuentre los intervalos en los que f es creciente o decreciente.

Sea f(x) 5 u x u.

Soluci N

a) El dominio de f es R, porque el valor absoluto de x existe para todo número real x. Si x está en R, entonces f( x) 5 u x u 5 u x u 5 f(x). Por tanto, f es una función par porque f( x) 5 f(x).

b) Como f es par, su gráfica es simétrica respecto al eje y. Si x $ 0, entonces u x u 5 x, y por tanto la parte del primer cuadrante de la gráfica coincide con la recta y 5 x. Trazar esta semirrecta y usar simetría da la figura 1.14.

c) Al consultar la gráfica, vemos que f es decreciente en (2`, 0] y es creciente en [0, `).