MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

a) Por definición, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y 5 9 x 2 . Sabemos que la gráfica de x2 1 y2 5 9 es una circunferencia de radio 3 con centro en el origen. Si despejamos y de la ecuación x2 1 y2 5 9 obtendremos y 5 6 9 x 2 . Se deduce que la gráfica de f es la mitad superior de la circunferencia, como se ilustra en la figura 1.8.

b) Con base en la figura 1.8, vemos que el dominio de f es el intervalo cerrado [ 3, 3], y el rango de f es el intervalo [0, 3].

c) La gráfica sube a medida que x aumenta de 3 a 0, de modo que f es creciente en el intervalo cerrado [ 3, 0]. Por tanto, como se muestra en la gráfica precedente, si x1 , x2 en [ 3, 0], entonces f(x1) . f(x2) (observe que posiblemente x1 5 3 o x2 5 0).

Q(a 1 h, f (a 1 h))

La gráfica cae conforme x se incrementa de 0 a 3, así que f decrece en el intervalo cerrado [0, 3]. En este caso, la tabla indica que si x1 , x2 en [0, 3], entonces f(x1) . f(x2) (observe que posiblemente x1 5 0 o x2 5 3).

Un problema del siguiente tipo es de especial interés en cálculo.

Problema: Encuentre la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q que se muestran en la figura 1.9.

La pendiente mPQ está dada por mPQ y x f a h f a h

La última expresión (con h ± 0) por lo general se denomina cociente de diferencias. Ahora veremos el álgebra involucrada en la simplificación de un cociente de diferencias.

Ejemplo 5

Simplificar un cociente de diferencias

Simplifique el cociente de diferencias

SOLUCIÓN

El siguiente tipo de función es uno de los más elementales en álgebra.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN LINEAL