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∀𝑱

∃𝑰

𝑎 −1 lim0 𝑥 𝑥

𝟎

𝑙𝑛 𝑎

1 lim − 𝑐 𝑜 𝑠 𝑥 1 𝑥 0 = 2 2

~

𝑎 lim 0 𝑥

1

𝑥

𝑙𝑛

𝑰

𝑎

∀𝒙

lim

𝑥 0

1+𝑥

𝑥

+∞

/

lim 1 − 𝑐 𝑜 𝑠 𝑥 𝑥 0 =0

≅ 𝛼

𝑫

𝟎

ȁ𝑥

𝑥 lim 𝑥 ∞𝑎 = 0

∃!

𝑙𝑛 1 + 𝑥 lim 𝑥 0 𝑥

1

−∞ 𝛼

lim

𝑥 0

𝒙

lim 1 + 𝑥

𝑥 0

𝑎 𝑟 𝑐 𝑠 𝑒 𝑛=𝑥1

⇒ 𝒇 𝒙 ∈𝑱

<

:

1 𝑥

𝑒

lim 𝑡 𝑔 𝑥 𝑥 0 =1

lim 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 𝑥 0 =1

lim+ 𝑥 𝑙 𝑛 = 0 𝑥 0 > ∈ ℤ 1

𝑥

log 𝑎 1 + 𝑥 lim 𝑥 0 𝑥

=

log 𝑎

=

lim 1 + 𝑥

𝑥 0

1 𝑥

𝑒 1


Indice • SIMBOLI, INSIEMI, INTERVALLI ………………..….………………………..….…… 3 • ARITMETICA • ALGEBRA

………………..….……………………..….……………………..….………………………….………..….……

………………..….……………………..….……………………..….…………………..…………………..…………..……

• GEOMETRIA PIANA

………………..….……………………..….………………………………..….……….…

• GEOMETRIA SOLIDA

………………..….……………………..….……………………………..….…………

• GEOMETRIA ANALITICA • LOGARITMI

8 18 30 33

………………..….……………………..………………..………….……

36

………………..….……………………..….……………………..….……………………………..…………………

47

• GONIOMETRIA

………………..….……………………..….……………………..….………………..….……………..…

• TRIGONOMETRIA • ANALISI LICEO

………………..….……………………..….…………………………………..….………….…

55

………………..….……………………..….……………………..….…………………..….…………..…

59

• ANALISI VERSO L’UNIVERSITA’ • ELEMENTI DI LOGICA • PROGRESSIONI

………………..……………………..…..….……

80

………………..….……………………..….………………………..………...……

86

………………..….……………………..……………………..….……………………..………….……

• CALCOLO COMBINATORIO • PROBABILITA’

48

………………..….…………………………..….……………

………………..….……………………..….……………………..….…………………..….…………...…

• NUMERI COMPLESSI

………………..….……………………..….………………………..….………………

• LE GRANDEZZE FISICHE

………………..….……………………………………..…………………

• ELEMENTI DI STATISTICA

………………..….……………………………..…………….……

87 88 89 93 95 97

2


Alfabeto Greco

v 1.5

minuscole

maiuscole

α β γ δ ε ζ η ϑ ι κ λ µ ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω

Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

come si legge

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alfa beta gamma delta epsilon zeta eta teta iota cappa lambda mu ni csi omicron pi ro sigma tau ipsilon fi chi psi omega

.

3


Simbologia simbolo

significato

simbolo

uguale

minore

circa uguale, approssimato

valore assoluto di

diverso

minore e uguale

maggiore

più infinito

maggiore e uguale

insieme dei numeri reali

insieme dei numeri interi

insieme dei numeri complessi

insieme dei numeri razionali

insieme vuoto

appartiene

tale che

non appartiene

tale che

esiste (almeno un)

incluso strettamente

non esiste

incluso

esiste ed è unico

unione

per ogni

intersezione

intervallo chiuso, cioè contiene gli estremi

intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra

intervallo aperto, cioè esclude gli estremi

intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra

parallelo

lunghezza del segmento AB

perpendicolare

vettore v

identico, coincidente

simmetria centrale di centro C

congruente

equivalente simile

o modulo di

meno infinito

insieme dei numeri naturali

simmetria assiale di asse r

r (O; α )

vero

traslazione di vettore v

rotazione di centro O e angolo α e

falso

implica (se … allora)

o

se e solo se (doppia implicazione)

media aritmetica

prodotto:

somma:

probabilità di A condizionata a B

scarto quadratico medio

v 1.7

significato

probabilità dell’evento A

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.

4


Insiemi definizione

l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto

secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi, “per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o pensiero” esempio

rappresentazione per elencazione gli elementi dell’insieme sono indicati tra parentesi graffe

per caratteristica

grafica (o di Eulero Venn)

si descrivono le caratteristiche degli elementi dell’insieme

si usano delle linee chiuse che contengono gli elementi dell’insieme

4 2

1

3

operazioni tra insiemi unione

l’unione tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo o al secondo insieme presi una sola volta 4

1

2

4

5

3

2 5

4

1

3

3 2

intersezione l’intersezione tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo e al secondo insieme, cioè dagli elementi comuni. Se non ci sono elementi comuni gli insiemi si dicono disgiunti

4 2

1

3

5

differenza

la differenza tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo insieme esclusi quelli del secondo insieme 4 2

1

3

5

insieme complementare l’insieme complementare di un insieme rispetto ad un altro che lo contiene è l’insieme differenza dei due

3

cioè cioè v 1.5

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6

5

1

7

2

4

8

.5


Insiemi prodotto cartesiano tra due insiemi il prodotto cartesiano tra due insiemi è l’insieme delle coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene al primo insieme e il secondo elemento al secondo insieme

il prodotto cartesiano NON è commutativo

insieme delle parti di un insieme

l’insieme delle parti di un insieme è l’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme dato 2 3

13

1

2

1 2 se l’insieme è formato da elementi, l’insieme delle parti Nell’esempio precedente è formato da 3 elementi e quindi

2

3 1

3

è formato da elementi. è formato da elementi

partizione di un insieme

la partizione di un insieme è un insieme formato dai suoi sottoinsiemi (o parti) che verificano le seguenti proprietà:

• nessuna delle parti è vuota • le parti sono a due a due disgiunte, cioè non hanno elementi in comune • l’unione delle parti è uguale all’insieme iniziale i sottoinsiemi

oppure

e

rappresentano due diverse partizioni di A consideriamo l’insieme delle classi della scuola tale insieme costituisce una partizione dell’insieme S perché soddisfa le tre proprietà della definizione

1A

2A

3A

1B

2B

3B

relazioni di De Morgan

I relazione

II relazione

il complemento dell’unione degli insiemi è uguale all’intersezione dei complementi degli insiemi v 1.5

il complemento dell’intersezione degli insiemi è uguale all’unione dei complementi degli insiemi

I complementari sono considerati rispetto ad un terzo insieme (detto Universo) che contiene A e B © 2011 - www.matematika.it

.6


Intervalli: classificazione e rappresentazione definizioni Si definisce intervallo l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi e . Gli estremi e possono essere finiti o infiniti. è detto estremo sinistro o inferiore, è detto estremo destro o superiore dell’intervallo • •

Un intervallo si dice:

• •

limitato se gli estremi sono finiti illimitato se almeno uno degli estremi è infinito

intervalli limitati

intervallo

intervallo chiuso intervallo aperto

intervallo chiuso inferiormente e aperto superiormente intervallo aperto inferiormente e chiuso superiormente intervallo

intervallo chiuso inferiormente e illimitato superiormente intervallo aperto inferiormente e illimitato superiormente intervallo illimitato inferiormente e chiuso superiormente

intervallo illimitato inferiormente e aperto superiormente intervallo illimitato

rappresentazione grafica

a

b

a

b

a

b

a

b

chiuso se gli estremi sono compresi aperto se gli estremi non sono compresi

rappresentazione insiemistica

rappresentazione algebrica

intervalli illimitati

rappresentazione grafica

rappresentazione insiemistica

rappresentazione algebrica

a a b b

osservazione su alcuni testi l’intervallo aperto è indicato con le parentesi tonde per cui si trova equivalentemente:

v 1.7

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.

7


Classificazione dei numeri reali numeri naturali N

numeri interi Z

numeri razionali Q

numeri irrazionali I

un numero si dice razionale se può essere espresso come rapporto di due numeri interi

essi sono formati da numeri naturali, interi, decimali, periodici semplici e periodici misti

un numero si dice razionale se NON può essere espresso come rapporto di due numeri interi

essi sono formati da una parte intera e da una parte decimale con infinite cifre non periodiche

numeri reali R i numeri reali sono formati dall’unione dell’insieme dei numeri razionali Q e l’insieme dei numeri irrazionali I

R

I

Q

Z

-3 -12

N

1 5

0 8 15,35672129654.…

numeri algebrici e numeri trascendenti

• •

esiste un’altra classificazione che divide i numeri reali in: numeri algebrici e numeri trascendenti un numero si dice algebrico se è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti interi un numero si dice trascendente se NON è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti interi Esempi

• •

5

è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione

è un numero trascendente. perché non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti interi pur essendo soluzione dell’equazione polinomiale che non è a coefficienti interi

i numeri razionali Q sono tutti algebrici i numeri irrazionali I possono essere sia algebrici che trascendenti

oltre i numeri reali numeri immaginari

=

v 1.4

numeri complessi © 2011 - www.matematika.it

.8


Numeri primi fino a 10.000 un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 divisibile solo per se stesso e per 1 ---

37 89

2

41

593 659 743 827 911

59

13 61

17 67

19 71

23 73

29 79

31 83

107

109

113

127

131

137

139

149

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

367

503

53

11

103

359 433

47

7

101

157

281

43

5

97

151 223

3

227 439 509 599 661 751 829 919

163 229 373 443 521 601 673 757 839 929

167 233 379 449 523 607 677 761 853 937

173 239 383 457 541 613 683 769 857 941

179 241 389 461 547 617 691 773 859 947

181 251 397 463 557 619 701 787 863 953

191 257 401 467 563 631 709 797 877 967

193 263 409 479 569 641 719 809 881 971

197 269 419 487 571 643 727 811 883 977

199 271 421 491 577 647 733 821 887 983

211 277 431 499 587 653 739 823 907 991

997

1009

1013

1019

1021

1031

1033

1039

1049

1051

1061

1063

1249

1259

1277

1279

1283

1289

1291

1297

1301

1303

1307

1319

1069 1163 1321 1439 1511 1601 1693 1783 1877 1987 2069 2143 2267 2347 2423 2543 2657 2713 2801 2903 3011 3119 3221 3323 3413 3527 3607 3697 3797 3907 4003 4093 4211 4283 4409 4513 4621 4721 4813

v 1.7

1087 1171 1327 1447 1523 1607 1697 1787 1879 1993 2081 2153 2269 2351 2437 2549 2659 2719 2803 2909 3019 3121 3229 3329 3433 3529 3613 3701 3803 3911 4007 4099 4217 4289 4421 4517 4637 4723 4817

1091 1181 1361 1451 1531 1609 1699 1789 1889 1997 2083 2161 2273 2357 2441 2551 2663 2729 2819 2917 3023 3137 3251 3331 3449 3533 3617 3709 3821 3917 4013 4111 4219 4297 4423 4519 4639 4729 4831

1093 1187 1367 1453 1543 1613 1709 1801 1901 1999 2087 2179 2281 2371 2447 2557 2671 2731 2833 2927 3037 3163 3253 3343 3457 3539 3623 3719 3823 3919 4019 4127 4229 4327 4441 4523 4643 4733 4861

1097 1193 1373 1459 1549 1619 1721 1811 1907 2003 2089 2203 2287 2377 2459 2579 2677 2741 2837 2939 3041 3167 3257 3347 3461 3541 3631 3727 3833 3923 4021 4129 4231 4337 4447 4547 4649 4751 4871

1103 1201 1381 1471 1553 1621 1723 1823 1913 2011 2099 2207 2293 2381 2467 2591 2683 2749 2843 2953 3049 3169 3259 3359 3463 3547 3637 3733 3847 3929 4027 4133 4241 4339 4451 4549 4651 4759 4877

1109 1213 1399 1481 1559 1627 1733 1831 1931 2017 2111 2213 2297 2383 2473 2593 2687 2753 2851 2957 3061 3181 3271 3361 3467 3557 3643 3739 3851 3931 4049 4139 4243 4349 4457 4561 4657 4783 4889

1117 1217 1409 1483 1567 1637 1741 1847 1933 2027 2113 2221 2309 2389 2477 2609 2689 2767 2857 2963 3067 3187 3299 3371 3469 3559 3659 3761 3853 3943 4051 4153 4253 4357 4463 4567 4663 4787 4903

Š 2011 - www.matematika.it

1123 1223 1423 1487 1571 1657 1747 1861 1949 2029 2129 2237 2311 2393 2503 2617 2693 2777 2861 2969 3079 3191 3301 3373 3491 3571 3671 3767 3863 3947 4057 4157 4259 4363 4481 4583 4673 4789 4909

1129 1229 1427 1489 1579 1663 1753 1867 1951 2039 2131 2239 2333 2399 2521 2621 2699 2789 2879 2971 3083 3203 3307 3389 3499 3581 3673 3769 3877 3967 4073 4159 4261 4373 4483 4591 4679 4793 4919

1151 1231 1429 1493 1583 1667 1759 1871 1973 2053 2137 2243 2339 2411 2531 2633 2707 2791 2887 2999 3089 3209 3313 3391 3511 3583 3677 3779 3881 3989 4079 4177 4271 4391 4493 4597 4691 4799 4931

1153 1237 1433 1499 1597 1669 1777 1873 1979 2063 2141 2251 2341 2417 2539 2647 2711 2797 2897 3001 3109 3217 3319 3407 3517 3593 3691 3793 3889 4001 4091 4201 4273 4397 4507 4603 4703 4801 4933

.

9


Numeri primi fino a 10.000 4937

4943

4951

4957

4967

4969

4973

4987

4993

4999

5003

5009

5233

5237

5261

5273

5279

5281

5297

5303

5309

5323

5333

5347

5011 5113 5351 5443 5531 5653 5743 5849 5939 6073 6173 6271 6359 6473 6581 6701 6803 6907 6997 7121 7229 7349 7487 7561 7669 7757 7879 8009 8111 8231 8317 8443 8573 8677 8753 8861 8971 9091 9199 9311 9413 9491 9623 9733 9829 9929

5021 5119 5381 5449 5557 5657 5749 5851 5953 6079 6197 6277 6361 6481 6599 6703 6823 6911 7001 7127 7237 7351 7489 7573 7673 7759 7883 8011 8117 8233 8329 8447 8581 8681 8761 8863 8999 9103 9203 9319 9419 9497 9629 9739 9833 9931

5023 5147 5387 5471 5563 5659 5779 5857 5981 6089 6199 6287 6367 6491 6607 6709 6827 6917 7013 7129 7243 7369 7499 7577 7681 7789 7901 8017 8123 8237 8353 8461 8597 8689 8779 8867 9001 9109 9209 9323 9421 9511 9631 9743 9839 9941

5039 5153 5393 5477 5569 5669 5783 5861 5987 6091 6203 6299 6373 6521 6619 6719 6829 6947 7019 7151 7247 7393 7507 7583 7687 7793 7907 8039 8147 8243 8363 8467 8599 8693 8783 8887 9007 9127 9221 9337 9431 9521 9643 9749 9851 9949

5051 5167 5399 5479 5573 5683 5791 5867 6007 6101 6211 6301 6379 6529 6637 6733 6833 6949 7027 7159 7253 7411 7517 7589 7691 7817 7919 8053 8161 8263 8369 8501 8609 8699 8803 8893 9011 9133 9227 9341 9433 9533 9649 9767 9857 9967

5059 5171 5407 5483 5581 5689 5801 5869 6011 6113 6217 6311 6389 6547 6653 6737 6841 6959 7039 7177 7283 7417 7523 7591 7699 7823 7927 8059 8167 8269 8377 8513 8623 8707 8807 8923 9013 9137 9239 9343 9437 9539 9661 9769 9859

10729 10859

v 1.7

10501 10631 10733 10861

10513 10639 10739 10867

10529 10651 10753 10883

10531 10657 10771 10889

6397 6551 6659 6761 6857 6961 7043 7187 7297 7433 7529 7603 7703 7829 7933 8069 8171 8273 8387 8521 8627 8713 8819 8929 9029 9151 9241 9349 9439 9547 9677 9781 9871

6229 6323 6421 6553 6661 6763 6863 6967 7057 7193 7307 7451 7537 7607 7717 7841 7937 8081 8179 8287 8389 8527 8629 8719 8821 8933 9041 9157 9257 9371 9461 9551 9679 9787 9883

6043 6133 6247 6329 6427 6563 6673 6779 6869 6971 7069 7207 7309 7457 7541 7621 7723 7853 7949 8087 8191 8291 8419 8537 8641 8731 8831 8941 9043 9161 9277 9377 9463 9587 9689 9791 9887

5827 5903 6047 6143 6257 6337 6449 6569 6679 6781 6871 6977 7079 7211 7321 7459 7547 7639 7727 7867 7951 8089 8209 8293 8423 8539 8647 8737 8837 8951 9049 9173 9281 9391 9467 9601 9697 9803 9901

5647 5737 5839 5923 6053 6151 6263 6343 6451 6571 6689 6791 6883 6983 7103 7213 7331 7477 7549 7643 7741 7873 7963 8093 8219 8297 8429 8543 8663 8741 8839 8963 9059 9181 9283 9397 9473 9613 9719 9811 9907

5527 5651 5741 5843 5927 6067 6163 6269 6353 6469 6577 6691 6793 6899 6991 7109 7219 7333 7481 7559 7649 7753 7877 7993 8101 8221 8311 8431 8563 8669 8747 8849 8969 9067 9187 9293 9403 9479 9619 9721 9817 9923

10337

10343

10357

10433

10627

6317

6131

5897

5717

5521

10333

10429

10499

6221

6037

5821

5641

10331

10427

10303

6121

5881

5711

5519

10321

10399

10301

6029

5813

5639

10313

10391

10289

5879

5701

5507

5441

10067

10369

10273

5807

5623

5437

5231

10061

10103

10271

5693

5503

5431

5227

5107

10039

10099 10193

5591

5419

5209

5101

10037

10093 10181

5501

5417

5197

5099

10009

10091 10177

5413

5189

5087

10007

10079 10169

5179

5081

9973

10069 10163

5077

10211 10559 10663 10781 10891

10111 10223 10453 10567 10667 10789 10903

10133 10243 10457 10589 10687 10799 10909

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10139 10247 10459 10597 10691 10831 10937

10141 10253 10463 10601 10709 10837 10939

10151 10259 10477 10607 10711 10847 10949

10159 10267 10487 10613 10723 10853 10957

. 10


Tavola Pitagorica 1

2

3

4

3

6

9

12 15 18

2 4

4 8

6

8

5

6

10

11

12

13

14

15

27

30

33

36

39

42

45

16

18

12 16 20 24

28

32

36

7

14 21 28 35 42

9

9

14

10 15 20 25 30

8

8

10 12

5 6

7

12 18 24 30 36 16 24 32 40 48 18 27 36 45 54

10 20 30 40 50 60 11 22 33 44 55 66 12 24 36 48 60 72 13 26 39 52 65 78 14 28 42 56 70 84

21 35 42 49 56 63 70 77 84

24 40 48 56 64 72 80 88

45 54 63 72 81

20 40 50 60 70 80 90

22 44 55 66 77 88

24 48 60 72 84

26 52 65 78 91

28 56 70 84

30 60 75 90

98 105

96 104 112 120

99 108 117 126 135

90 100 110 120 130 140 150 99 110 121 132 143 154 165

96 108 120 132 144 156 168 180

91 104 117 130 143 156 169 182 195 98 112 126 140 154 168 182 196 210

15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 LA TAVOLA PITAGORICA “ I pitagorici che si manifestarono sempre pieni di genio inventivo sottile, per evitare di commettere errori nelle moltiplicazioni, divisioni e misure, si servirono di una figura tracciata in modo particolare, la quale, in onore del loro maestro, chiamavano Tavola Pitagorica (mensa pythagorea) perché, riguardo alle cose ivi rappresentate, le prime discipline erano dovute a quel maestro. Chi venne dopo chiamò tale figura Abaco. Essi pensavano che quando era frutto di una meditazione profonda sarebbe stato più facilmente conosciuto da tutti, ove fosse stato presentato dinnanzi agli occhi in un certo modo; in conseguenza diedero a quella figura il seguente aspetto”. Gino Loria, Storia della matematiche (Boezio pag. 801)

v 1.5

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11


∏ Pigreco le prime 2.000 cifre

3,14159

26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 38095 25720 10654 85863 27886 59361 53381 82796 82303 01952 03530 18529 68995 77362 25994 13891 24972 17752 83479 13151 55748 57242 45415 06959 50829 53311 68617 27855 88907 50983 81754 63746 49393 19255 06040 09277 01671 13900 98488 24012 85836 16035 63707 66010 47101 81942 95559 61989 46767 83744 94482 55379 77472 68471 04047 53464 62080 46684 25906 94912 93313 67702 89891 52104 75216 20569 66024 05803 81501 93511 25338 24300 35587 64024 74964 73263 91419 92726 04269 92279 67823 54781 63600 93417 21641 21992 45863 15030 28618 29745 55706 74983 85054 94588 58692 69956 90927 21079 75093 02955 32116 53449 87202 75596 02364 80665 49911 98818 34797 75356 63698 07426 54252 78625 51818 41757 46728 90977 77279 38000 81647 06001 61452 49192 17321 72147 72350 14144 19735 68548 16136 11573 52552 13347 57418 49468 43852 33239 07394 14333 45477 62416 86251 89835 69485 56209 92192 22184 27255 02542 56887 67179 04946 01653 46680 49886 27232 79178 60857 84383 82796 79766 81454 10095 38837 86360 95068 00642 25125 20511 73929 84896 08412 84886 26945 60424 19652 85022 21066 11863 06744 27862 20391 94945 04712 37137 86960 95636 43719 17287 46776 46575 73962 41389 08658 32645 99581 33904 78027 59009 94657 64078 … … …

è il numero trascendente che rappresenta il valore del rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro. Per determinare il suo valore Archimede usò il metodo dei perimetri, cioè considerò i perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza di raggio che approssimano la lunghezza della stessa circonferenza. All’aumentare del numero dei lati dei poligoni, si ottiene una coppia di classi contigue di numeri che ammette come elemento separatore. v 1.4

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12


e numero di Nepero le prime 2.000 cifre

2,718281 828459 045235 360287 471352 662497 757247 093699 959574 966967 627724 076630 353547 594571 382178 525166 427427 466391 932003 059921 817413 596629 043572 900334 295260 595630 738132 328627 943490 763233 829880 753195 251019 011573 834187 930702 154089 149934 884167 509244 761460 668082 264800 168477 411853 742345 442437 107539 077744 992069 551702 761838 606261 331384 583000 752044 933826 560297 606737 113200 709328 709127 443747 047230 696977 209310 141692 836819 025515 108657 463772 111252 389784 425056 953696 770785 449969 967946 864454 905987 931636 889230 098793 127736 178215 424999 229576 351482 208269 895193 668033 182528 869398 496465 105820 939239 829488 793320 362509 443117 301238 197068 416140 397019 837679 320683 282376 464804 295311 802328 782509 819455 815301 756717 361332 069811 250996 181881 593041 690351 598888 519345 807273 866738 589422 879228 499892 086805 825749 279610 484198 444363 463244 968487 560233 624827 041978 623209 002160 990235 304369 941849 146314 093431 738143 640546 253152 096183 690888 707016 768396 424378 140592 714563 549061 303107 208510 383750 510115 747704 171898 610687 396965 521267 154688 957035 035402 123407 849819 334321 068170 121005 627880 235193 033224 745015 853904 730419 957777 093503 660416 997329 725088 687696 640355 570716 226844 716256 079882 651787 134195 124665 201030 592123 667719 432527 867539 855894 489697 096409 754591 856956 380236 370162 112047 742722 836489 613422 516445 078182 442352 948636 372141 740238 893441 247963 574370 263755 294448 337998 016125 492278 509257 782562 092622 648326 277933 386566 481627 725164 019105 900491 644998 289315 056604 725802 778631 864155 195653 244258 698294 695930 801915 298721 172556 347546 396447 910145 904090 586298 496791 287406 870504 895858 671747 985466 775757 320568 128845 920541 334053 922000 113786 300945 560688 166740 016984 205580 403363 795376 452030 402432 256613 527836 951177 883863 874439 662532 249850 654995 886234 281899 707733 276171 783928 034946 501434 558897 071942 586398 772754 710962 953741 521115 136835 062752 602326 484728 703920 764310 059584 116612 054529 703023 647254 929666 938115 137322 753645 098889 031360 205724 817658 511806 303644 281231 496550 704751 025446 501172 721155 519486 685080 036853 228183 152196 003735 625279 449515 828418 829478 761085 263981 395599 006737 648292 244375 287184 624578 03……...

Il numero e detto numero di Nepero è la base dei logaritmi naturali che generalmente vengono indicati con ln(x). Il numero e come il numero π è un numero trascendente oltre che irrazionale. v 1.4

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.

13


Criteri di divisibilità - Frazioni generatrici - Frazioni con lo zero Criteri di divisibilità divisibilità per 2

un numero è divisibile per 2 quando l’ultima cifra è pari cioè quando termina per: 0, 2, 4, 6, 8

• •

316 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (6) è pari 315 non è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (5) non è pari

divisibilità per 3 •

un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue • cifre è un multiplo di 3

342 è divisibile per 3 perché che è multiplo di 3 89757 è divisibile per 3 perché 8+9+7+5+7=36 ed ancora 3+6=9 che è un multiplo di 3

divisibilità per 5

un numero è divisibile per 5 quando l’ultima cifra è 0 o 5

• •

345 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 5 346 non è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 6

divisibilità per 11

un numero è divisibile per 11 quando la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quelle di posto pari è 0 o un multiplo di 11

• •

3465 è divisibile per 11 perché e e 2798 non è divisibile per 11 perché e e che è diverso da 0 e da un multiplo di 11

Frazioni generatrici

frazione generatrice di un numero decimale • •

al numeratore si scrive il numero dato senza virgola al denominatore si scrive il numero 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali del numero dato

frazione generatrice di un numero periodico semplice

• •

al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo

frazione generatrice di un numero periodico misto

• •

al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo

dalla frazione al numero

per trasformare una frazione in numero basta dividere il numeratore per il denominatore

frazioni con lo zero

è uguale a zero perché il risultato moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

v 1.6

è impossibile perché non esiste nessun numero che moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore © 2011 - www.matematika.it

è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

.

14


Altri criteri di divisibilità divisibilità per 4 un numero è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre

• •

316 è divisibile per 2 perché 16 è multiplo di 4 310 non è divisibile per 4 perché 10 non è multiplo di 4

divisibilità per 7

un numero è divisibile per 7 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è 0 o un multiplo di 7

• •

287 è divisibile per 7 perché

376 non è divisibile per 7 perché

divisibilità per 9 •

un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 9

che è multiplo di 7

che non è multiplo di 7

873 è divisibile per 9 perché multiplo di 9

546 non è divisibile per 9 perché non è multiplo di 9

che è

che

divisibilità per 13 •

un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di 13

845 è divisibile per 13 perché e che è multiplo di 13 1467 non è divisibile per 13 perché 146 +(7 ∙ 4)=146 + 28 =174 e 17 + (4 ∙ 4) = 14 +16 =33 che non è multiplo di 13

divisibilità per 17 un numero è divisibile per 17 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il quintuplo di quest’ultima è 0 o un multiplo di 17

• •

1071 è divisibile per 17 perché e 1467 non è divisibile per 17 perché e diverso da 0 o da un multiplo di 17

che è

divisibilità per 19

un numero è divisibile per 19 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è un multiplo di 19

• •

1216 è divisibile per 19 perché e 1467 non è divisibile per 19 perché e 15+(2∙0)=15 che è diverso da un multiplo di 19

divisibilità per 23 un numero è divisibile per 23 se la somma fra il numero senza la cifra delle unità e il settuplo del numero delle sue unità è 0, 23 o multiplo di 23

• •

345 è divisibile per 23 perché di 23 102 non è divisibile per 23 perché multiplo di 23

è multiplo non è

divisibilità per 25

un numero è divisibile per 25 se finisce con 0, 25, 50, 75 v 1.5

• •

375 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 75 346 non è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 46

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.

15


Proporzioni definizione una proporzione è una uguaglianza tra rapporti

medi estremi proprietà

il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:

fondamentale

scambiando fra loro i medi o gli estremi si ottiene ancora una proporzione

del permutare

scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

dell’invertire

sommando all’antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

del comporre

dello scomporre

trovare un medio in una proporzione •

sottraendo all’antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

si moltiplicano gli estremi e si divide per l’altro medio

trovare un estremo in una proporzione •

si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo

proporzione continua

una proporzione si dice continua se i medi sono uguali

x si chiama “medio proporzionale” tra a e b

esempi

proprietà dello scomporre

trovare un medio in una proporzione proporzione continua una proporzione si può risolvere trasformandola in equazione:

• •

si applica la proprietà fondamentale: si risolve l’equazione ottenuta:

approfondimento: questo metodo è utile quando nella proporzione l’incognita è presente più volte, ad esempio: v 1.5

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. 16


Sezione aurea - Percentuale - Pendenza Sezione aurea di un segmento dato un segmento di lunghezza ( ) la sua sezione aurea ( ) è la parte di segmento medio proporzionale tra il segmento stesso e la parte rimanente cioè:

l x

• • •

l-x

per risolvere la proporzione la si trasforma in equazione:

si applica la proprietà fondamentale: si sviluppano i calcoli:

si risolve l’equazione di II grado in :

il numero

è chiamato numero aureo, viene indicato di solito con la lettera esempio

Per calcolare la sezione aurea di un segmento di lunghezza

e vale circa 0,6180339887…

basta applicare la formula dimostrata precedentemente

Calcolo percentuale il valore di n può essere positivo o negativo a seconda che si tratti di un aumento o di uno sconto

esempi •

Calcolare il costo di un capo di abbigliamento dal prezzo di 160 euro scontato del 25% , quindi n = − 25%

Quanto si è ridotto percentualmente un volume se passa da 300 cl a 270 cl?

il segno meno indica che si tratta di una riduzione

Pendenza

Δh Δx

10 % indica che in 100 metri orizzontali (∆x) c’e un dislivello di 10 metri in verticale (∆h)

esempio •

v 1.8

Calcolare la pendenza in percentuale di una strada con dislivello verticale di 25 m su una distanza orizzontale di 120 m cioè ∆h=25 m ∆x=120 m © 2011 - www.matematika.it

. 17


Prodotti notevoli e Scomposizioni prodotti notevoli somma per differenza

quadrato di un binomio cubo di un binomio

quarta potenza di un binomio quinta potenza di un binomio quadrato di un trinomio cubo di un trinomio

particolari prodotti notevoli

scomposizioni raccoglimento totale a fattore comune

raccoglimento parziale a fattore comune differenza di due quadrati somma di cubi

differenza di cubi

somma di due potenze di esponente 5

differenza di due potenze di esponente 5 somma di due potenze di esponente 7

differenza di due potenze di esponente 7 quadrato di binomio =s e • • • •

trovare due numeri m ed n tali che:

e

si sostituisce si effettua un raccoglimento parziale

trinomio notevole con esponente pari trinomio con somma e prodotto caso

trinomio con somma e prodotto caso cubo di binomio

riduzione a differenza di quadrati quadrato di un trinomio cubo di un trinomio puoi scomporre v 1.4

come © 2011 - www.matematika.it

.

18


Radicali definizione si definisce radice n-sima di un numero reale a, con

, quel numero reale b tale che:

cioè

nomenclatura

m è l’esponente del

si chiama radicale

n = è l’indice della radice

radicando

è il radicando

proprietà

non ha significato

radice con indice pari

radice con indice dispari

radice algebrica

non esiste in

---

radice aritmetica

operazioni con i radicali semplificazione

riduzione allo stesso indice prodotto di radicali

e

rapporto di radicali trasporto di fattore dentro il segno di radice ∗ trasporto di fattore fuori il segno di radice ∗ potenza di radicali radice di radice somma algebrica di radicali simili osservazioni

* v 2.3

• •

Si possono portare fattori dentro una radice di indice pari solo se sono positivi, altrimenti se ne modifica il segno Quando si porta un fattore fuori una radice di indice pari esso può assumere segno positivo o segno negativo © 2011 - www.matematika.it

19 .


Radicali razionalizzazione del denominatore di una frazione caso:

una sola radice quadrata al denominatore formula

ricorda che:

caso:

esempio

una sola radice non quadrata al denominatore formula

ricorda che:

caso:

esempi

un polinomio al denominatore con una o più radici quadrate formula

ricorda che il prodotto notevole:

caso:

esempio

si può applicare anche ai seguenti casi 2

un binomio al denominatore con una o due radici cubiche

formula

esempio ricorda i prodotti notevoli:

radicale doppio la formula si applica

formula

solo se è un quadrato perfetto

esempio

ricorda che se v 2.3

non è un quadrato perfetto non è conveniente applicare la formula del radicale doppio © 2011 - www.matematika.it

20 .


Potenze definizione si definisce potenza di base a e di esponente n , il prodotto di tanti fattori uguali alla base quante volte sono le unità dell’esponente: n volte

proprietà

potenze con la stessa base prodotto di potenze con la stessa base

rapporto di potenze con la stessa base potenza di potenza

potenze con lo stesso esponente prodotto di potenze con lo stesso esponente

rapporto di potenze con lo stesso esponente potenza ad esponente negativo frazione ad esponente negativo potenza ad esponente frazionario frazione ad esponente frazionario potenza ad esponente frazionario negativo altri esempi

Fai attenzione alle parentesi ed all’esponente che può essere pari o dispari

frazioni con lo zero

è uguale a zero perché il risultato moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore v 2.0

è impossibile perché non esiste nessun numero che moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore © 2011 - www.matematika.it

è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore

.

21


Equazioni di secondo grado formule risolutive equazione

nome

procedimento

equazione completa

si applica la formula

equazione completa con b pari

si applica la formula ridotta

equazione pura

si isola e si estrae la radice quadrata algebrica

equazione spuria

si raccoglie la x e si applica la legge di annullamento del prodotto

equazione monomia

soluzioni o radici

ha sempre due soluzioni nulle

le soluzioni di una equazione sono anche dette radici dell’equazione

significato del delta

un’equazione di 20 grado ammette sempre due soluzioni che sono distinte, coincidenti o non reali secondo il segno del soluzioni reali e distinte

soluzioni reali e coincidenti

soluzioni non reali

proprietà somma delle soluzioni dell’equazione in funzione dei coefficienti (solo se )

prodotto delle soluzioni dell’equazione in funzione dei coefficienti (solo se )

testo dell’equazione di 20 grado conoscendo la somma e il prodotto delle soluzioni scomposizione del trinomio di secondo grado dove le soluzioni dell’equazioni di secondo grado

e

sono

regola di Cartesio: segno delle soluzioni data l’equazione di 20 grado con •

permanenza variazione v 2.8

• •

:

si osservano i segni dei coefficienti a, b, c

ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva

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. 22


Equazioni parametriche: tabella delle condizioni condizioni sotto forma di enunciato una soluzione è nulla

una soluzione è uguale ad un numero n è assegnata la somma delle soluzioni

è assegnato il prodotto delle soluzioni le soluzioni sono opposte

cosa fare

sotto forma algebrica

soluzione • • • • •

le soluzioni sono reciproche

le soluzioni sono concordi

le soluzioni sono coincidenti

le soluzioni sono reali e distinte

l’equazione è pura

è assegnata la somma dei reciproci delle soluzioni

le soluzioni snoo antireciproche

le soluzioni sono discordi

le soluzioni sono reali

le soluzioni sono non reali

l’equazione è spuria

è assegnata la somma dei quadrati delle soluzioni

è assegnata la somma dei quadrati dei reciproci delle soluzioni è assegnata la somma dei cubi delle soluzioni è assegnata la somma dei cubi dei reciproci delle soluzioni una soluzione è multipla dell’altra • • • • v 1.9

nell’equazione data porre

nell’equazione data porre

porre la somma uguale a n

porre il prodotto uguale a n porre la somma uguale a 0

porre il prodotto uguale a 1

porre il prodotto uguale a -1 porre il prodotto > 0 porre il prodotto < 0 porre il porre il porre il porre il

nell’equazione data porre nell’equazione data porre porre porre

uguale a n

porre

porre

porre

risolvere il sistema

uguale a n

uguale a n

ricorda che

è l’equazione di secondo grado è il discriminante associato all’equazione di secondo grado

è la relazione tra la somma delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado

è la relazione tra il prodotto delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado © 2011 - www.matematika.it

. 23


Equazioni binomie – biquadratiche - trinomie equazioni binomie ha due soluzioni (opposte) solo se il radicando è maggiore o uguale a 0

n = pari

ha una soluzione ed il segno dipende dal segno del radicando

n = dispari

cosa è: un’equazione si dice binomia se è formata da un termine di grado n ed un termine noto come si risolve: si ricava xn e si estrae la radice n-sima distinguendo i casi con n pari ed n dispari esempi caso n pari

• •

nessuna soluzione

esempi caso n dispari

• •

equazioni biquadratiche

cosa è: un’equazione si dice biquadratica se è formata da un termine di 4° grado uno di 2° grado ed un termine noto come si risolve: si sostituisce la con la variabile ottenendo una equazione di 20 grado in che risolta da’ origine a due equazioni binomie. Le soluzioni delle equazioni binomie sono le soluzioni della equazione data esempio di 4 soluzioni: caso

e

positivi

• esempio di 2 soluzioni: caso

negativo e

positivo (o viceversa) nessuna soluzione

• esempio di 0 soluzioni: caso

e

negativi nessuna soluzione

equazioni trinomie

nessuna soluzione

cosa è: un’equazione si dice trinomia se è formata da un termine di grado 2n uno di grado n ed un termine noto come si risolve: si sostituisce la con la nuova variabile ottenendo una equazione di 20 grado in che risolta da’ origine a due equazioni binomie. Le soluzioni delle equazioni binomie sono le soluzioni della equazione data esempio

• nessuna soluzione

v 1.8

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24 .


Disequazioni di Secondo Grado

l’equazione associata ha due soluzioni distinte

l’equazione associata ha due soluzioni coincidenti

x1

x2

valori esterni

l’equazione associata ha due soluzioni coincidenti

l’equazione associata non ammette soluzioni reali

x2

valori interni

x

x

x

x

tutti i numeri tranne

l’equazione associata non ammette soluzioni reali

l’equazione associata ha due soluzioni distinte

x1

x1

x2

x1

valori esterni con estremi compresi

x2

valori interni con estremi compresi

x

x

solo x

x

disequazioni immediate

v 2.1

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. 25


Equazioni irrazionali e in valore assoluto equazioni irrazionali equazioni irrazionali con una sola radice quadrata nessuna soluzione

con un polinomio a secondo membro

con un numero n a secondo membro

con lo zero a secondo membro

equazioni irrazionali con due radici quadrate

si applica lo schema risolutivo per equazioni irrazionali con una sola radice quadrata equazioni irrazionali con radici cubiche

per risolvere una equazione con radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo

*

*

*

equazioni in valore assoluto definizione di valore assoluto il valore assoluto di

è uguale a

se

è maggiore o uguale a zero ed uguale a –

se

è minore di zero

equazione con un solo valore assoluto

con un polinomio a secondo membro

un numero n a secondo membro

equazioni con due o più valori assoluti

A>0 si studia il segno di A e B • •

I

II

III

B>0 a

b

si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico dall’osservazione del grafico l’ equazione si scinde nei seguenti sistemi: I

v 1.8

zero a secondo membro

II

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III

26 .


Disequazioni irrazionali con una sola radice quadrata ed un polinomio a secondo membro

casi particolari con una sola radice quadrata ed un numero positivo n a secondo membro

con una sola radice quadrata ed un numero negativo -n a secondo membro nessuna soluzione

nessuna soluzione

con una sola radice quadrata e lo zero a secondo membro nessuna soluzione

con solo due radici quadrate

con radici cubiche

(o in generale con radici ad indice dispari)

con una sola radice cubica

con due radici cubiche

per risolvere una disequazione con radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo

con radici ad indice diverso

nel caso di disequazioni con radici ad indice diverso, si calcola il mcm degli indici, si portano le radici allo stesso indice (il mcm degli indici), si sviluppano i calcoli e si risolve la disequazione ottenuta applicando uno degli schemi precedenti

v 1.5

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. 27


Disequazioni in valore assoluto definizione di valore assoluto il valore assoluto di

è uguale a

se

è maggiore o uguale a zero ed uguale a –

se

è minore di zero

con un solo valore assoluto ed un polinomio a secondo membro

casi particolari con un solo valore assoluto ed un numero positivo n a secondo membro

con un solo valore assoluto ed un numero negativo -n a secondo membro nessuna soluzione

nessuna soluzione

con un solo valore assoluto e lo zero a secondo membro nessuna soluzione

con due o più valori assoluti A>0 si studia il segno di A e B •

II

III

B>0 a

b

si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico

dall’osservazione del grafico la disequazione si scinde nei seguenti sistemi: I

v 1.9

I

II

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III

. 28


Disequazioni irrazionali e in valore assoluto

sintesi

disequazioni irrazionali con una sola radice quadrata ed un polinomio a secondo membro

con due sole radici quadrate

con una sola radice cubica

con due radici cubiche

per risolvere una disequazione con una o due radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo disequazioni irrazionali immediate con un numero n positivo a secondo membro

disequazioni irrazionali immediate con lo zero a secondo membro

disequazioni in valore assoluto

nessuna soluzione

definizione di valore assoluto il valore assoluto di

è uguale a

se

è maggiore o uguale a zero ed uguale a –

se

è minore di zero

con un solo valore assoluto ed un polinomio a secondo membro

con due o più valori assoluti

A>0 si studia il segno di A e B • • I

I

II

III

B>0 a

b

si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0, dette x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico dall’osservazione del grafico la disequazione si scinde nei seguenti sistemi: II

III

disequazioni in valore assoluto immediate con un numero n positivo a secondo membro

disequazioni in valore assoluto immediate con lo zero a secondo membro

v 3.1

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nessuna soluzione

A=0

29 .


Aree

delle principali figure piane

triangolo

quadrato

rettangolo

b

b

parallelogramma

rombo

cerchio

O

circonferenza

sia:

il semiperimetro, • •

B

settore circolare

O

triangolo equilatero

b

d

D

b

trapezio

quadrato

il lato,

α

segmento circolare ad una base

A

O

B

α

A B

poligoni regolari pentagono

esagono

ottagono

decagono

l’apotema (cioè il segmento che dal centro cade perpendicolarmente ad un lato)

l’apotema di un poligono regolare è il raggio della circonferenza inscritta al poligono:

l’apotema si può calcolare moltiplicando la lunghezza del lato per un numero fisso tabella dei numeri fissi f di alcuni poligoni regolari

poligono

triangolo equilatero quadrato

pentagono v 1.7

numero fisso

poligono

0,289

esagono

0,688

ottagono

0,500

ettagono

numero fisso

poligono

0,866

ennagono

1,207

dodecagono

1,038

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decagono

numero fisso 1,374 1,539 1,866 .

30


Teorema di Pitagora – primo e secondo teorema di Euclide premessa C

c2

c1 h

p1

A

p2

H

i

B

AB = i = ipotenusa AC = c1 = primo cateto BC = c2 = secondo cateto CH = h = altezza relativa all’ipotenusa AH = p1 = proiezione di c1 sull’ipotenusa HB = p2 = proiezione di c2 sull’ipotenusa

teorema di Pitagora enunciato secondo l’equivalenza

Q2

C

Q1

in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti:

c2

c1 A

B

i

enunciato in formula

in ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti :

Q

primo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza

C

Q c1 A

c2

p1

B

R i

in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensione la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:

enunciato secondo la similitudine

in ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:

secondo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza

C h

A

v 1.2

p2

p1

R

Q

p2

B

in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni del cateti sull’ipotenusa:

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enunciato secondo la similitudine

in ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:

.31


Triangoli rettangoli particolari triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°

i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore

C

cM

cm 60°

30°

A

B

i

triangolo rettangolo con angoli di 45° (isoscele) C

c

c

45°

45°

A

i = ipotenusa c = cateto B

i

triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°

i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore

C

cM

cm

18°

72° A

B

i

applicazioni TRIANGOLO EQUILATERO: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°

l

TRIANGOLO ISOSCELE: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°

l

30° 30°

h 60°

h=altezza

l

72°

l=lato

h=altezza

raggio della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo qualsiasi C

= raggio circonferenza inscritta =raggio circonferenza circoscritta = area = semiperimetro

C b

r A

A

R

a c

B v 1.8

h 72°

60°

l

l=lato

18°

l

B

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32 .


Volumi

e superfici

delle principali figure solide

cubo

parallelepipedo rettangolo

prisma retto

piramide retta a base regolare

piramide retta

tronco di piramide

cilindro

cilindro equilatero (h=2r)

cono

tronco di cono

sfera

cono equilatero (a=2r

v 1.6

)

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.

33


Volumi

e superfici

segmento sferico ad 1 base

delle principali figure solide

segmento sferico a 2 basi

spicchio sferico

α

10 teorema di Guldino

20 teorema di Guldino

la superficie generata da una linea (poligono) in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua lunghezza (perimetro)

il volume generato da una superficie in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua superficie

l

r

r

S

solidi platonici o poliedri regolari I solidi platonici sono quei solidi che hanno le facce formate da poligoni regolari e tutte uguali tra loro. Sono solo cinque:

tetraedro

4 triangoli equilateri

esaedro(cubo) 6 quadrati

ottaedro

8 triangoli equilateri

dodecaedro

12 pentagoni regolari

per tutti i poliedri vale la formula di Eulero :

poliedro = solido dello spazio la cui frontiera è l’unione delle facce facce = figure piane che compongono il poliedro spigoli = segmenti di incontro delle facce vertici = punti di incontro degli spigoli

v 1.6

= superficie totale del poliedro = superficie di tutte le basi del poliedro = superficie laterale del poliedro

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icosaedro

20 triangoli equilateri

faccia spigolo

vertice

.

34


Volumi

delle principali figure solide

cubo

parallelepipedo rettangolo

prisma retto

piramide retta

tronco di piramide

cilindro

cono

tronco di cono

sfera

segmento sferico ad 1 base

segmento sferico a 2 basi

spicchio sferico

Îą

solidi platonici o poliedri regolari I solidi platonici sono quei solidi che hanno le facce formate da poligoni regolari e tutte uguali tra loro. Sono solo cinque:

tetraedro

4 triangoli equilateri

esaedro(cubo) 6 quadrati

ottaedro

8 triangoli equilateri

dodecaedro

12 pentagoni regolari

per tutti i poliedri vale la formula di Eulero : v 1.5

facce = figure piane che compongono il poliedro spigoli = segmenti di incontro delle facce vertici = punti di incontro degli spigoli

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icosaedro

20 triangoli equilateri

faccia spigolo

â&#x2014;?

vertice . 35


Geometria analitica in sintesi punti distanza tra due punti punto medio baricentro

tra due punti

di un triangolo di vertici C

area di un triangolo di vertici

B A

retta forma implicita

equazione della retta

forma esplicita

e

forma segmentaria

q

m = coefficiente angolare

● ●

q = intersezione con l’asse delle y

p

1

m

p = intersezione con l’asse delle x

equazione della retta passante per due punti

coefficiente angolare della retta passante per due punti equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare m

//

condizioni di parallelismo tra due rette r ed s

condizioni di perpendicolarità tra due rette r ed s

oppure

s

r

punto di intersezione tra due rette r ed s retta in forma implicita

retta in forma esplicita

● P(x0,y0)

P(x0,y0) d

distanza di un punto da una retta r

r

equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r, s

b2

r

s b1

tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare mr ed ms rette particolari

y

x

v 1.8

y

n

asse x

y

y

y

y

x

asse y

x

parallela asse x

x n

parallela asse y

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x

x

bisettrice I e III q.

bisettrice II e IV q.

36.


Geometria analitica in sintesi parabola F

P

● ● ●

d

parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y

P

d

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta data detta direttrice:

● ●

F

parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x

equazione completa

coordinate del vertice coordinate del fuoco equazione dell’asse

equazione della direttrice

equazione della retta tangente alla parabola nel punto : formula di sdoppiamento area del segmento parabolico parabole particolari

b=0

c=0

b=0 c=0

b=0

b=0 c=0

c=0

significato grafico del coefficiente a e del coefficiente c ●c ●c

a<0

a>0

c●

c

a>0

a<0

se a=0 la parabola degenera in una retta

circonferenza

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro:

r

equazione completa

P

coordinate del centro C

C(α,β)

relazione del raggio r

equazione della circonferenza di centro

e raggio r

equazione della retta tangente alla circonferenza nel punto : formula di sdoppiamento v 1.8

equazione dell’asse radicale di due circonferenze

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37.


Geometria analitica in sintesi circonferenze particolari

se

la circonferenza si riduce al punto

r

R

esterne

origine degli assi cartesiani

posizioni reciproche di due circonferenze

C2

C1

.

secanti

tangenti esterne

ellisse

● ●

tangenti interne

interne

concentriche

P

● ●

F1

F2

L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:

ellisse con i fuochi sull’asse x

F2●

F1

P

ellisse con i fuochi sull’asse y

2a

lunghezza asse maggiore

2b

2c

distanza focale

2c

2b

lunghezza asse minore

equazione canonica

2a

relazione tra i parametri a, b, c coordinate dei fuochi eccentricità

equazione della retta tangente all’ellisse nel punto : formula di sdoppiamento ellisse traslata

l’ellisse si dice traslata se gli assi del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani y

O(α,β) v 1.8

coordinate del centro dell’ellisse

Y

X

x

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equazione dell’ellisse riferita al sistema XOY

38.


Geometria analitica in sintesi iperbole P

L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:

● F1

F2

iperbole con i fuochi sull’asse x

2a

2b

●P

F1 ●

iperbole con i fuochi sull’asse y

lunghezza asse trasverso

2b

distanza focale

2c

lunghezza asse non trasverso

2c

F2

equazione canonica

2a

oppure

relazione tra i parametri a, b, c coordinate dei fuochi

equazione degli asintoti eccentricità

equazione della retta tangente all’iperbole nel punto : formula di sdoppiamento iperbole equilatera: a = b equazione

relazione tra a, c

coordinate dei fuochi equazioni asintoti

iperbole equilatera ruotata di

F2 ●

F1●

F1 ●

k>0

equazione coordinate dei fuochi

F ● 2

k<0

iperbole equilatera ruotata e traslata o funzione omografica equazione

y

coordinate di O’

O’

x

v 1.8

equazioni asintoti

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39.


Geometria analitica in sintesi iperbole traslata

l’iperbole si dice traslata se gli assi del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani y

Y

coordinate del centro dell’iperbole

X

O(α,β)

equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse X riferita al sistema XOY

x

condizione di appartenenza di un punto ad una retta r o ad una conica per stabilire se un dato punto retta r oppure ad una conica :

appartiene ad una

• •

sostituire le coordinate di in r o in se si ottiene un’identità, il punto P appartiene alla retta o alla conica

posizione di una retta rispetto ad una conica ●

γ

● ●

γ

retta secante

γ retta tangente

per stabilire se una retta è secante, tangente o esterna ad una conica • •

retta esterna

bisogna:

ricavare la y dell’equazione della retta e sostituirla nell’equazione della conica si ottiene un’equazione di II grado e se ne calcola il se

ricerca dell’equazione di una retta tangente ad una conica da un punto esterno • • • • •

• •

v 1.8

parallela ad una retta di coefficiente angolare m

si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro : si ricava la y dall’equazione del fascio di rette

si ottiene un’equazione di II grado in x

si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica

si ricava il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione di II grado nell’incognita

si sostituiscono i valori ed nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti

si risolve l’equazione in

ottenendo

ed

si scrive l’equazione del fascio di rette improprio con assegnato: si ricava la y dall’equazione del fascio di rette si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica

si ottiene un’equazione di II grado in x

si ricava il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione nell’incognita si risolve l’equazione in

ottenendo

e

si sostituiscono i valori e nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti

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40.


Geometria analitica: assi e punti sistema di assi cartesiani monometrico ortogonale

• • •

distanza tra due punti

origine degli assi cartesiani

asse delle ascisse : asse delle ordinate

• O(0,0): origine degli assi cartesiani • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto simmetrico di rispetto all’asse • : punto simmetrico di rispetto ad • : punto simmetrico di rispetto all’asse

la distanza tra due punti A e B è uguale alla lunghezza del segmento AB. La distanza AB considerata nel triangolo rettangolo ABC rappresenta l’ipotenusa, applicando il teorema di Pitagora si ha:

punto medio

di due punti il punto medio è un punto del segmento AB equidistante dagli estremi del segmento stesso cioè AM = MB Le sue coordinate sono: inversamente: note le coordinate di un estremo e del

punto medio, le coordinate del secondo estremo sono:

il punto B si dice il simmetrico di A rispetto ad M e viceversa A si dice il simmetrico di B rispetto ad M

baricentro

di un triangolo di vertici

il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle mediane. Le sue coordinate sono:

inversamente: note le coordinate di due vertici del

triangolo e del suo baricentro, le coordinate del terzo vertice sono: v 2.4

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41 .


Geometria analitica: assi e punti area di un triangolo determinante l’area del triangolo di vertici determinante della matrice dei punti A, B, C

+

+

è uguale alla metà del valore assoluto del

+

metodo geometrico C

F

yC

E

per calcolare l’area del triangolo ABC • yB

A

yA

B

D

● xA

si calcola l’area del rettangolo ADEF circoscritto al triangolo ABC

si sottraggono dall’area del rettangolo, le aree dei tre triangoli rettangoli ADB, BEC, CFA formati per costruzione:

xB

xC

formule di geometria piana formula classica:

C ●

a h

b

●B

triangolo rettangolo: formula di Erone:

c A ●

con p il semiperimetro:

allineamento di tre punti B

● ●A

C

per verificare se tre punti A,B,C sono allineati si può: 1. calcolare l’area del triangolo di vertici A,B,C 2. se l’area è uguale a zero i punti sono allineati oppure: 1. calcolare le distanze AB, BC, AC 2. se AB + BC = AC i punti sono allineati

per stabilire se un triangolo è rettangolo basta verificare che le lunghezze dei lati soddisfano il teorema di Pitagora, cioè che: v 2.4

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42 .


Geometria analitica: la retta equazione della retta forma implicita

y

q

r

forma esplicita ●

p

x forma segmentaria

assioma: la retta è costituita da infiniti punti del piano

nell’equazione della retta r

in forma esplicita: • •

in forma segmentaria: •

m è detto coefficiente angolare q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y

p è il punto di intersezione tra la retta e l’asse x q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y

significato geometrico di m e di q

y

q

y

m<0

m>0 ●

r ●

p

1

p

m

m ●

x

q

x

1

r

il coefficiente angolare m è l’ordinata del punto che ha distanza di 1 unità dal punto di intersezione di r con l’asse x

rette particolari

equazione asse x

y

equazione asse y

y

x

y

equazione retta parallela all’asse x

y=n

x

n

●n

x

y

y=x x

x

equazione della bisettrice del I e III quadrante

Le coordinate di un punto si trovano assegnando alla

v 1.3

x

0 1

equazione della bisettrice del II e IV quadrante

y

y=-x x

Per disegnare una retta basta trovare due punti e congiungerli. assegnata la retta

equazione retta parallela all’asse y

x=n

y

un valore a piacere e calcolando la corrispondente .

y

-1 2

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y

2

-1

1

x

.43


Geometria analitica: la retta ricerca dell’equazione di una retta equazione della retta passante per due punti equazione della retta ed il coefficiente angolare m noto un punto equazione del fascio di rette coefficiente angolare della retta passante per due punti

per trovare l’equazione di una retta passante per due punti • calcolare il coefficiente angolare

con la formula precedente

• utilizzare la formula dell’equazione del fascio di rette sostituendo ad m il valore A o di B

si può anche: ed a

le coordinate di

condizione di parallelismo e perpendicolarità tra due rette

r

r

s

s

oppure

due rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali

due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari antireciproci

punto e retta

ricerca del punto

di intersezione di due rette non parallele

s

r

si mettono a sistema le equazioni delle due rette

del sistema rappresentano le le soluzioni coordinate del punto di intersezione

condizione di appartenenza di un punto

per verificare se un punto

r

P0

y0

• •

x0

distanza di un punto r

ad una retta appartiene ad una retta r:

si sostituiscono le coordinate e alla y nell’equazione della retta si sviluppano i calcoli

del punto alla x

se si ottiene una identità, il punto appartiene alla retta

da una retta r formula con l’equazione della retta in forma implicita

P0

formula con l’equazione della retta in forma esplicita v 1.3

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.44


Geometria analitica: la retta distanza tra due rette parallele r ed s s

r

per trovare la distanza di due rette parallele :

• si ricavano le coordinate di un punto qualsiasi

P0

appartenente ad una della due rette

• si applica la formula della distanza del punto trovato dall’altra retta

equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r ed s (non parallele) b2

note le equazioni delle rette r ed s in forma implicita r: ed s:

s

r

b1

qualunque siano gli angoli formati dalle due rette, le bisettrici sono sempre perpendicolari tra loro s

ricorda che la bisettrice di un angolo è definita come l’insieme dei punti equidistanti dai lati. Sfruttando la definizione si può trovare l’equazione delle bisettrici ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottengono le equazioni delle bisettrici.

b

P

r

equazione dell’asse di un segmento AB noti •

P

A

M ● B

:

si calcola il punto medio

si calcola il coefficiente angolare

del segmento AB

del segmento AB

si ricava il coefficiente angolare dell’asse (è perpendicolare ad AB)

nell’equazione del fascio , si sostituisce ad m il valore e alle coordinate quelle del punto medio ottenendo l’equazione dell’asse

ricorda che l’asse di un segmento è definito come il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi. Sfruttando la definizione si può trovare l’equazione dell’asse ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione dell’asse del segmento

A

P

B

allineamento di tre punti A, B, C

per verificare se tre punti A, B, C sono allineati si può: • B

• ●

C

• •

A

• •

v 1.3

ricavare

ed

, e verificare che

trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che B appartiene alla retta calcolare l’area del triangolo di vertici ABC e verificare che è uguale a zero

trovare le equazioni delle rette passanti per A e B e per A e C, e verificare che queste sono uguali

trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che la distanza di B da tale retta è zero

verificare che la somma delle distanze AB e BC è uguale alla distanza AC cioè AB + BC = AC

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.45


Geometria analitica: la retta fasci di rette Un fascio di rette è l’insieme delle rette aventi in comune un punto oppure una direzione tipi di fasci

fascio proprio

fascio improprio

C

è l’insieme delle rette del piano passanti per uno stesso punto detto centro del fascio

è l’insieme delle rette del piano aventi una direzione comune, cioè con lo stesso coefficiente angolare

come si presenta l’equazione di un fascio

l’equazione è quella di una retta (generalmente in forma implicita) nella quale compare, oltre alle incognite ed , anche un’altra lettera ( ) detta parametro Esempio:

classificazione di un fascio di rette

data l’equazione per classificare il tipo di fascio: •

si calcola il coefficiente angolare

esempio per un fascio di rette proprio

se

contiene il parametro

il fascio è proprio

se il parametro si semplifica, il fascio è improprio

esempio per un fascio di rette improprio

rette generatrici di un fascio • • •

le rette generatrici di un fascio sono due e sono quelle che hanno dato origine al fascio nel caso del fascio proprio le rette generatrici sono incidenti nel caso del fascio improprio le rette generatrici sono parallele ricerca delle equazioni delle rette generatrici di un fascio •

• • retta all’infinito

retta per k=0

ricerca del centro

dato il fascio di rette, si sviluppano i calcoli si raccoglie a fattor comune il parametro

le due parti così ottenute sono le equazioni delle rette generatrici del fascio

del fascio proprio di rette • •

si mettono a sistema le equazioni delle due rette generatrici o di due generiche rette del fascio

la soluzione del sistema rappresenta le coordinate del centro del fascio

come scrivere l’equazione di un fascio di rette

equazione del fascio di rette date le due rette generatrici r ed s equazione del fascio di rette proprio noto il centro

v 1.3

equazione del fascio di rette improprio noto il coefficiente angolare m

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.46


Logaritmi definizione base argomento logaritmo in base di

il logaritmo di un numero è l’esponente da dare alla base per ottenere l’argomento cioè: esempio:

teoremi principali

perché

teorema del prodotto

teorema del rapporto

teorema della potenza

proprietà derivate dai teoremi principali

potenza ad esponente frazionario invertire la base

invertire l’argomento invertire la base con l’argomento scambiare di base ed argomento cambio di base

trasformare un numero n in logaritmo trasformare un numero n in potenza con il simbolo

casi particolari

si indica il logaritmo in base e dove

è il numero di Nepero

sulle calcolatrici scientifiche sono presenti i tasti log e ln che consentono di calcolare i logaritmi in base 10 e base “e”. Per calcolare un logaritmo in una base diversa è necessario utilizzare la formula del cambio di base

grafici delle funzioni logaritmo ed esponenziale

v 2.7

logaritmo con a > 1

logaritmo con 0 < a < 1

esponenziale con a > 1

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esponenziale con 0 < a < 1

. 47


Angoli: misura e conversioni rappresentazione 90o

180o

0o 360o

0

100c

0c 400c

c

300

conversioni da gradi sessagesimali a radianti

Il grado sessagesimale è la 360a parte dell’angolo giro nelle calcolatrici il sistema di misura è denotato con il simbolo DEG o D

270o

200c

definizione

Es.:

da radianti a gradi sessagesimali

Il radiante è l’angolo il cui arco è uguale al raggio

nelle calcolatrici il sistema di misura è denotato con il simbolo RAD o R

Es.:

un radiante vale circa 57° 17′ 44′′

Il grado centesimale è la 400a parte dell’angolo giro

nelle calcolatrici il sistema di misura è denotato con il simbolo GRAD o G

perché

sostituire a

semplificare

perché

da gradi centesimali a sessagesimali

Es.:

perché

conversione da gradi sessagesimali decimali a gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) data la misura sotto forma di gradi decimali, si separa la parte intera dalla parte decimale si moltiplica la parte decimale per 60

la misura così ottenuta si separa ancora in parte intera e parte decimale, la parte intera rappresenta i primi

la parte decimale si moltiplica ancora per 60, il risultato rappresenta i secondi si ottiene così la conversione richiesta

conversione da gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) di grado a gradi sessagesimali decimali data la misura sotto forma di gradi, primi e secondi, si isolano i secondi e si dividono per 60 il valore ottenuto si somma ai primi

il valore ottenuto si divide ancora per 60 la misura ottenuta si somma ai gradi

si ottiene così la conversione richiesta

v 1.6

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.48


Funzioni goniometriche: definizioni e proprietà seno 90°

P valori

1

α

180°

segno e crescenza nei quadranti

O

360°

H

270°

0° 90° 180° 270°

0

0

coseno

quadrante 1° 2° 3° 4°

valori

α O

180° 270°

P

segno e crescenza nei quadranti

0

90°

segno

+

2° 3°

tangente

crescenza

+

T

valori A

segno e crescenza nei quadranti

180° 270°

quadrante

segno

+

0

90°

B

quadrante 1°

0

α O

0

+

3° 4°

cotangente

crescenza

C P

valori

α O

secante

0° 90° 180° 270°

segno e crescenza nei quadranti

0 0

quadrante 1° 2° 3° 4°

E

P α

v 1.2

crescenza

+ +

P

K

O

segno

segno

crescenza

+ +

cosecante P

α O

S

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.49


Funzioni goniometriche e relazioni fondamentali definizione delle funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica di centro O e raggio 1

seno α

P ● O

K●

α●

α

T P● ●

O

H

coseno α

B

●P

α

α

O

tangente α

secante α ●

α

● A

C ● ●P

P

O

cotangente α

E

● S

cosecante α P ●

α

O

O

le cinque relazioni fondamentali

relazioni che esprimono una funzione goniometrica rispetto alle altre in funzione di …

il segno

in funzione di …

in funzione di …

in funzione di …

o – va preso a seconda del segno della funzione e nel quadrante in cui si trova l’angolo grafici di funzioni goniometriche

seno

v 1.7

coseno

tangente

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cotangente

.

50


Le cinque relazioni fondamentali dimostrazioni

• • •

si considera il triangolo rettangolo POH si applica il teorema di Pitagora: dove:

• •

si considerano i triangoli rettangoli TOA e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) dunque hanno i lati in proporzione:

• •

• • • •

• • • •

• • • • v 1.6

dove: si ottiene:

si considerano i triangoli rettangoli CBO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( 90°− α e l’angolo retto) dunque hanno i lati in proporzione: dove: si ottiene:

si considerano i triangoli rettangoli POS e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) dunque hanno i lati in proporzione: dove: si ottiene:

si considerano i triangoli rettangoli PEO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali (90°− α e l’angolo retto) dunque hanno i lati in proporzione: dove: si ottiene:

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.

51


Tabella dei valori di funzioni goniometriche di angoli ricorrenti gradi

radianti

seno

coseno

tangente

cotangente

0 π

0

1

0

3+ 5 − 5− 5 4

3+ 5 + 5− 5 4

4 − 10 + 2 5 5 −1

4 − 10 + 2 5

6− 2 4

6+ 2 4

2− 3

2+ 3

5 −1 4

10 + 2 5 4

25 − 10 5 5

5+ 2 5

2− 2 2

2+ 2 2

2 −1

2 +1

1 2

3 2

3 3

3

10 − 2 5 4

5 +1 4

5− 2 5

25 + 10 5 5

4

2 2

2 2

1

1

3π 10

5 +1 4

10 − 2 5 4

25 + 10 5 5

5− 2 5

3

3 2

1 2

3

3 3

3π 8

2+ 2 2

2− 2 2

2 +1

2 −1

2π 5

10 + 2 5 4

5 −1 4

5+ 2 5

25 − 10 5 5

5π 12

6+ 2 4

6− 2 4

2+ 3

2− 3

9π 20

3+ 5 + 5− 5 4

3+ 5 − 5− 5 4

4 − 10 + 2 5

4 − 10 + 2 5 5 −1

1

0

0

15° 18°

22°30 30° 36°

45° 54°

60° 67°30 72° 75° 81°

90°

20

π 12

π 10

π 8

π 6

π 5

π

π

π 2

5 −1

5 −1

180°

π

0

−1

0

270°

3π 2

−1

0

0

360°

0

1

0

v 1.6

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52.


Angoli associati angoli supplementari

angoli complementari

secondo quadrante

primo quadrante

angoli che differiscono di un angolo piatto

angoli che differiscono di un angolo retto

terzo quadrante

secondo quadrante

angoli esplementari

angoli la cui somma è 270°

quarto quadrante

terzo quadrante

angoli opposti

angoli che differiscono di 270°

quarto quadrante

quarto quadrante

90°

90°

90°- α

90°+ α 180°- α 180°

α α α

O

α α

O

0° 360°

α α 270°- α

270° v 1.8

α

180°

360°

-α 360°- α

180°+ α

α

α α

270°+ α 270°

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.53


Formule goniometriche addizione e sottrazione

duplicazione

triplicazione

bisezione

parametriche o razionali

(

)

prostaferesi

Werner

v 1.5

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.

54


Teoremi sui triangoli rettangoli relazione tra angolo , cateti e ipotenusa dalla definizione di seno si ha:

B

dalla similitudine dei triangoli rettangoli OHP e OCB si ha: In generale in ogni triangolo rettangolo si ha:

P

α

O

C

H

Analogamente in ogni triangolo rettangolo si ha per il coseno:

esempio B c

a

α O

b

C riepilogo relazioni

altri esempi

e

e

C

γ

e

a

e

b

e

β A

v 1.5

c

B

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e

e

55

.


Teoremi sui triangoli qualsiasi teorema della corda la misura di una corda è uguale al prodotto del diametro 2r per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda:

B β

α

A

oppure

corollario C

per il teorema della corda, detto r il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo, il rapporto tra un lato (inteso come corda) e il seno dell’angolo opposto è uguale a 2r:

γ β

α

B

A

teorema dei seni o di Eulero in ogni triangolo ogni lato è proporzionale al seno dell’angolo opposto:

C b

γ

a

α

β

A

B

c

teorema delle proiezioni in ogni triangolo la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti di quelle degli altri due per il coseno dell’angolo che ogni lato forma con il primo:

C b

γ

a

α

β

A

c

B teorema del coseno o di Carnot in ogni triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, meno il doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell’angolo tra essi compreso.

C b

a

γ

β

α A

c

B

area di un triangolo L’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso diviso due

C b

a

γ

α A v 1.9

β c

B © 2011 - www.matematika.it

56 .


Formule di Trigonometria formule di Briggs C b

dato un triangolo qualsiasi di cui siano note le misure dei lati e il semiperimetro p, i seni delle semiampiezze degli angoli sono espresse dalle seguenti relazioni:

a

γ

α

β

A

c

B

formula di Erone C b

l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione delle lunghezze dei lati a,b,c e del semiperimetro p come:

a

A

B

c

teorema delle tangenti o di Nepero C

a

b α A

β c

B

applicazioni della trigonometria alla geometria analitica significato

y = mx+q

trigonometrico

del

coefficiente

angolare m di una retta di equazione

y=mx+q

α

r α

v 1.6

s

tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare mr ed ms

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.

57


Formule di Trigonometria applicazioni della trigonometria alla geometria C b

a

R

α

A

raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo

γ

O β

c

oppure

B

raggio della circonferenza inscritta in un triangolo

C γ

b

a

r

α A

= area

β

B

c

oppure

= area p = semiperimetro

raggio delle circonferenze ex-inscritte (cioè tangente a un suo lato e ai prolungamenti degli altri due) oppure

ra C

oppure

γ b

a α

oppure

β

A

B

c

mediane di un triangolo

C b

= area p = semiperimetro

a

γ

α

M β

ma

A

B

c

bisettrici di un triangolo

C γ

b

ba

α/2

A

D

a β

B

c

area di un parallelogramma

area di un quadrilatero

D

C

C D

b A

v 1.6

α a

B

A

α

d1

d2 B

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.

58


Elementi di topologia della retta insieme l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto

secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi, “per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o pensiero”

intervallo un intervallo è l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi (finiti o infiniti) oppure

oppure

per approfondimenti sugli intervalli vai alla scheda Intervalli: classificazione e rappresentazione

intorno completo di un punto

l’intorno completo di un punto

è un intervallo che contiene il punto

intorno circolare di un punto l’intorno circolare di un punto

è un intervallo di centro il punto

e può essere aperto o chiuso 5

4

10

e può essere aperto o chiuso

minimo di un insieme

5

3

7

il minimo m di un insieme è l’elemento appartenente all’insieme tale che sia minore o uguale a tutti gli altri elementi dell’insieme dato l’insieme dato l’insieme

massimo di un insieme

2

5

2

5

il massimo M di un insieme è l’elemento appartenente all’insieme tale che sia maggiore o uguale a tutti gli altri elementi dell’insieme dato l’insieme

dato l’insieme

minorante di un insieme

2

5

2

5

il minorante di un insieme è un elemento minore o uguale a tutti gli elementi dell’insieme dato l’insieme

, 1 è un minorante mentre l’intervallo

maggiorante di un insieme

è l’insieme di tutti i minoranti

il maggiorante di un insieme è un elemento maggiore o uguale a tutti gli elementi dell’insieme v 1.6

dato l’insieme

, 5 è un maggiorante mentre l’intervallo

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è l’insieme di tutti i maggioranti

.

59


Elementi di topologia della retta estremo inferiore di un insieme l’estremo inferiore inf I di un insieme I è il massimo dell’insieme dei minoranti di dato l’insieme

infatti l’insieme dei minoranti di è

ed il massimo è proprio 2

estremo superiore di un insieme

l’estremo superiore sup I di un insieme I è il minimo dell’insieme dei maggioranti di dato l’insieme

infatti l’insieme dei maggioranti di è esempio

2 è il minimo

dato l’insieme •

è l’insieme

dei minoranti

ed il minimo è proprio 5

2 è l’estremo inferiore

5 NON è il massimo

che si può anche scrivere

è l’insieme

dei maggioranti

2

5 è l’estremo superiore

punto di accumulazione

insieme dei maggioranti

insieme dei minoranti 5

per un insieme

un punto si dice di accumulazione per un insieme se in ogni intorno del punto cade almeno un elemento dell’insieme distinto dal punto stesso fai attenzione che l’appartenenza o meno del punto all’insieme non è legata all’essere o meno di accumulazione per l’insieme stesso come vedremo meglio nei successivi quattro esempi

esempi

ed è di accumulazione

ed è di accumulazione

e non è di accumulazione

e non è di accumulazione

sia

ed

sia

ed

sia

ed

2

4 appartiene ad I ed è di accumulazione

sia

ed

1 appartiene ad I e non è di accumulazione

6

2

6

1

2

6

1

2

6

2 non appartiene ad I ed è di accumulazione

1 non appartiene ad I e non è di accumulazione

4

un punto che appartiene ad un insieme ma non è di accumulazione per l’insieme stesso si dice punto isolato

v 1.6

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.

60


Funzione: definizione e tipi definizione Siano dati due insiemi, il primo detto Dominio ed il secondo Codominio.

Una funzione è una legge che associa ad ogni elemento del dominio uno ed un solo elemento del codominio. Una funzione si indica con dove codominio e si chiama immagine di .

è un generico elemento del dominio ed

(o

) appartiene al

tipi di funzione

esistono quattro tipi di funzione: semplice, iniettiva, suriettiva e biunivoca (o biettiva)

D

a ● b ● c ● d ●

C ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

è una funzione semplice né iniettiva né suriettiva

• • •

a ● b ● c ● d ● fig.1

C

a ●

● 1

a ●

b ●

● 2

b ●

c ●

● 3

c ●

d ●

● 4

d ●

D

fig.4

C ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

è una funzione iniettiva non suriettiva

D

è una funzione biunivoca

D

non è

una funzione è una corrispondenza

D

C

a ●

● 1

b ●

● 2

c ●

● 3

d ● fig.2

C ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

è una funzione suriettiva non iniettiva

D

C

a ●

● 1

b ●

● 2

c ●

● 3

fig.3

d ● fig.5

non è

una funzione è una corrispondenza

fig.6

una funzione si dice semplice quando soddisfa solo definizione di funzione (fig.1)

una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio (fig.2)

una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio (fig.3) una funzione si dice biunivoca ( o biettiva) quando è sia iniettiva che suriettiva, cioè quando ad ogni elemento del dominio corrisponde un solo elemento del codominio e viceversa (fig.4)

in tutti gli altri casi la legge non è una funzione e viene detta corrispondenza (fig.5 e fig.6)

restrizione e funzione inversa

Si dice restrizione di un insieme un suo qualunque sottoinsieme proprio. Ad esempio in fig.1 restrizione di

è una

Si chiama funzione inversa della funzione la funzione che fa corrispondere ad ogni elemento del codominio uno ed un solo elemento del dominio, in altre parole va dal codominio al dominio

è invertibile se è biunivoca (fig.4). Una funzione iniettiva si può invertire se si effettua una opportuna Una funzione restrizione del codominio, ad esempio la funzione in fig. 2 si può invertire se si effettua una restrizione sul codominio . all’intervallo Le corrispondenze delle figure 5 e 6 pur non essendo funzioni si possono invertire e le loro inverse sono funzioni

v 2.3

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61 .


Funzione: definizione e tipi funzioni numeriche •

una generica funzione si indica con

è detta variabile indipendente ed appartiene al Dominio è detta variabile dipendente ed appartiene al Codominio

se ed

sono numeri reali allora la funzione si chiama funzione reale di una variabile reale

in tutte le funzioni reali ad ogni coppia di numeri associati corrisponde un punto nel piano cartesiano, l’insieme dei punti genera una curva che prende il nome di grafico della funzione

grafico di una funzione reale

C

D 0● ● 1● ● ● ●

consideriamo la funzione radice cubica

x

0

● 0 ● ● 1 ● ● ●

-1

-8

-2

rappresentazione insiemistica Codominio

8

0

-1 1

1

Codominio

fig.1

coppie di numeri associati

è una funzione biunivoca

• • • • v 2.3

grafico della funzione

tipi di funzione

Codominio

è una funzione iniettiva non suriettiva

fig.2

Codominio

fig.4

Dominio

Dominio

Dominio

è una funzione suriettiva non iniettiva Codominio

una funzione è una corrispondenza

fig.5

fig.3

Dominio

Dominio

non è

Dominio

2

Codominio

è una funzione semplice né iniettiva né suriettiva

Dominio

Codominio

non è

una funzione è una corrispondenza

fig.6

fig.1: è una funzione semplice, non iniettiva perché ad elementi distinti del dominio corrisponde lo stesso valore, non suriettiva perché la parte negativa del codominio (segnata in nero) non corrisponde ad alcun valore fig.2: è una funzione iniettiva ma non suriettiva perché la parte negativa del codominio (segnata in nero) non corrisponde ad alcun valore fig.3: è una funzione suriettiva ma non iniettiva perché ad elementi distinti del dominio corrisponde lo stesso valore fig.4: è una funzione biunivoca perché è sia iniettiva sia suriettiva fig. 5 e fig.6: non sono funzioni perché ad ogni elemento del dominio corrispondono due valori del codominio © 2011 - www.matematika.it

62 .


Grafici di funzioni elementari

v 2.5

potenza con n pari

radice con n pari

potenza con n dispari

radice con n dispari

coseno

arcocoseno

logaritmo con a>1

esponenziale con a>1

tangente

arcotangente

logaritmo con 0<a<1

esponenziale con 0<a<1

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seno

cotangente

arcoseno

arcocotangente 63.


Grafici di funzioni: trasformazioni Noto

grafico di una funzione in alcuni casi è possibile disegnare il grafico di una nuova funzione che dipende da quella nota secondo una semplice relazione assegnata. funzione iniziale

il

Di seguito si riportano i casi più comuni

traslazione verso l’alto di

unità

dilatazione sull’asse y di un fattore

ribaltamento rispetto all’asse x

ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse delle x

traslazione verso sinistra di

unità

contrazione sull’asse x di un fattore

ribaltamento rispetto all’asse y

riflessione rispetto all’asse delle y

traslazione verso il basso di

unità

contrazione sull’asse y di un fattore

ribaltamento rispetto all’asse x e all’asse y

ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse x e successiva riflessione rispetto all’asse delle y

traslazione verso destra di

v 2.2

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unità

dilatazione sull’asse x di un fattore

64 .


Dominio di funzioni funzione

condizione

n pari

• •

v 1.6

α

frazione positiva o irrazionale positivo

α

frazione negativa o irrazionale negativo

le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono definite se sono necessarie più condizioni esse vanno messe a sistema © 2011 - www.matematika.it

.

65


Definizione di limite di una funzione premesse l+ε

Jl

f(x)

l

f(x)

l

xo―δ

Ix0

considerata una funzione •

l―ε

xo x

xo

x xo+δ

sia D il suo dominio sia

si dice che

un punto di accumulazione per D

è il limite per

che tende a

di

e si scrive

se:

definizione insiemistica

definizione algebrica

definizione mista

altri casi: definizioni MISTE

x0

x0

l

l

v 2.2

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.

66


Tutte le definizioni di limite di una funzione: insiemistica, algebrica, mista

Data una funzione

l

: sia D il suo dominio e sia

un punto di accumulazione per D

xo

x0

x0

l

l

v 1.8

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. 67


Algebra e calcolo

di

limiti

algebra dei limiti

il segno davanti a nei risultati va stabilito in base alla regola dei segni

forme indeterminate

calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata •

mettere in evidenza il monomio di grado massimo

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

dividere numeratore e denominatore per il termine di grado massimo

semplificare dove è possibile

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

scomporre numeratore e denominatore

semplificare

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

ricordando che: •

moltiplicare e dividere per

sviluppare i calcoli

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

ricordando che:

regola pratica per risolvere

regola pratica per risolvere :

v 1.3

sia

è il grado del polinomio al numeratore

sia

il grado del polinomio a denominatore

moltiplicare e dividere per

sviluppare i calcoli

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

• •

sostituire solo nel monomio di grado massimo

se

se

se

tenere conto dei segni

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tenendo conto dei segni

.

68


Limiti notevoli

funzioni goniometriche

funzioni esponenziali e logaritmiche

ad ogni limite notevole si possono applicare le seguenti proprietĂ . a titolo di esempio si riportano applicate al primo limite notevole delle funzioni goniometriche

limite iniziale

se ad x si sostituisce n¡x il risultato resta lo stesso

se si inverte il testo il risultato si inverte se si inverte il testo il risultato si inverte

frazioni equivalenti

per il calcolo dei limiti notevoli può essere utile ricordare alcune operazioni possibili con le frazioni

v 2.3

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69 .


Continuità – Monotonia, massimi e minimi– Concavità, flessi definizione di funzione continua in un punto • f(x)

f(x0) = l

• •

• •

xo

data una funzione ed un punto appartenente al dominio D della funzione la funzione si dice continua nel punto se:

cioè se:

diversamente il punto si dice punto di discontinuità per si osservi che in un punto isolato la funzione è continua

classificazione dei punti di discontinuità per classificare un punto

di discontinuità si calcolano separatamente il limite da sinistra ed il limite da destra a seconda dei valori di ed i punti si classificano in tre specie:

si dice di prima specie se:

l2 l1

si dice di seconda specie se:

si dice di terza specie o eliminabile se

l 1= l 2

● ●

xo

xo

xo

con

oppure

si dice salto della funzione

si elimina imponendo

monotonia: crescenza e decrescenza di una funzione

f(x2)

f(x1)

f(x1)

f(x2) ● x2

● x1

si dice crescente in

quando x =

f(x)

f(x)

a

b se:

x2

x1

a

b

si dice decrescente in

se:

massimi e minimi relativi di una funzione

M

f(x0) ● f(x)

se almeno uno dei due limiti è uguale a

con

f(x)

m

f(x0) ● ●

x0

x

x

Ix0

è massimo relativo per la funzione y = f(x) se:

x0

Ix0

è minimo relativo per la funzione y = f(x) se:

concavità e flessi di una funzione

sia

una funzione definita in

e derivabile in f(xt) ●

f(x) ●

, sia

, sia t è la tangente ad

t

P0

F

t P0

in P0

t

f(x) ●

f(xt) ● ●

xt

x0 x

Ix0

è concava verso l’alto in

se:

esiste un intorno di x0 tale che la funzione si trova al di sopra della retta tangente in tutto l’intorno v 2.6

x0

x●t x●

Ix0

è concava verso il basso in

se:

esiste un intorno di x0 tale che la funzione si trova al di sotto della retta tangente in tutto l’intorno © 2011 - www.matematika.it

x0

ha un punto di flesso in

se

la retta tangente attraversa la curva in P0 stesso

70

.


Rapporto incrementale – Derivata definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto

f(x0)

f(x)

f(x0+h) Δy

Δx

xo

data una funzione dominio D della funzione

nel punto

si chiama incremento della variabile x

il rapporto incrementale ha senso per ogni

appartenente al

si chiama rapporto incrementale della funzione il rapporto:

xo+h

ed un punto

si chiama incremento della funzione

tale che

appartiene al dominio D della funzione

definizione di derivata prima di una funzione in un punto •

data una funzione

ed un punto

si definisce derivata prima di

del dominio D della funzione

nel punto

il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di

se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo o del dominio si dice che dominio e per indicare la derivata prima si usano equivalentemente i simboli: ,

in

:

è derivabile nell’intervallo o nel ,

definizione di derivata prima sinistra e destra di una funzione in un punto

si definisce derivata prima sinistra di nel punto il si definisce derivata prima destra di nel punto il limite sinistro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale limite destro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale in : in : di di

significato geometrico di derivata

t f(x0)

la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto . Cioè:

P0

x0 per trovare l’equazione della retta tangente ad una funzione • • • v 1.2

si calcola la derivata prima della funzione nel punto

nell’equazione del fascio di rette

si ottiene così l’equazione della retta tangente:

nel punto

ottenendo

si sostituisce

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: con

ed

con .

71


Derivate derivate delle funzioni elementari dove k è una costante

regole di derivazione Prodotto di una costante k per una funzione somma di due o piĂš funzioni prodotto di due funzioni prodotto di tre funzioni

rapporto di due funzioni

funzione composta funzione elevata ad una funzione v 1.3

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.

72


Punti di massimo e minimo relativi ed assoluti - Punti angolosi e Punti cuspidali ricerca diretta dei punti di massimo e minimo relativo di una funzione •

si calcola la derivata prima di

si pone

se:

è un punto di flesso ascendente

si risolve l’equazione ottenendo le soluzioni

si analizzano singolarmente i punti trovati

se:

è un punto di flesso discendente

minimo relativo

si calcola

se:

minimo relativo

massimo relativo

si calcola

massimo relativo

si calcola

massimi e minimi assoluti di una funzione

f(b)

f(b)

f(x1)

f(x)

f(a) f(x2)

f(a) a

sia

x1

x2

massimo relativo

una funzione continua in

a

b

minimo assoluto

massimo assoluto e sia

un punto di

è un massimo assoluto se è il punto di ordinata maggiore in

è un minimo assoluto se è il punto di ordinata minore in

x

minimo assoluto :

………. e così via

b

massimo assoluto

cioè se:

cioè se:

punti angolosi e punti cuspidali

● x0

x0

si dice punto angoloso se:

si dice punto cuspidale se:

con almeno uno dei due limiti finito

o viceversa

I punti angolosi e i punti cuspidali possono essere punti di massimo o di minimo per la funzione ma non possono essere individuati con i metodi tradizionali per la ricerca dei massimi e dei minimi poiché in essi la funzione è continua ma non derivabile. Per essi va fatta una specifica indagine basata sulla studio della crescenza e decrescenza della funzione a sinistra e a destra del punto angoloso o cuspidale. v 1.3

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.

73


Integrali indefiniti immediati

immediati generalizzati

---

dove k è una costante

in generale dove F è la primitiva di f

regole di integrazione prodotto di una costante k per una funzione

somma di due o piĂš funzioni

v 1.4

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metodo di integrazione per parti

. 74


Studio del grafico di una funzione ricerca del dominio (o campo di esistenza) della funzione

1

n pari

Le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono definite

studio del segno della funzione

2

+ ●

+ +

+

+ ● ―

• • • •

si individuano le regioni di piano dove la funzione è positiva (+) o negativa ( ) all’interno del dominio

si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste

intersezioni con l’asse x o zeri della funzione: •

si pone la funzione uguale a zero, si risolve l’equazione le soluzioni dell’equazione sono gli zeri della funzione

intersezione con l’asse y (solo se il dominio lo consente) :

• •

si sostituisce 0 alla x nella funzione

si svolgono i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto di intersezione con l’asse delle y

gli eventuali punti di intersezione con l’asse x (o zeri della funzione) si possono anche dedurre dall’osservazione del grafico del segno

studio delle eventuali simmetrie e periodicità di una funzione

funzione pari

• • •

si risolve la disequazione

studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani

3

4

si pone la funzione maggiore di zero

si sostituisce x con − x se la funzione è pari

funzione dispari

• • •

si sostituisce x con − x se la funzione è dispari

funzione periodica

• • •

si sostituisce x con se la funzione è periodica

lo studio delle simmetrie si effettua solo se il dominio e il segno sono a loro volta entrambi simmetrici

v 1.8

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75.


Studio del grafico di una funzione asintoti di una funzione

5

asintoto verticale dove si cerca: • nei punti di discontinuità della funzione • nei punti agli estremi del dominio di se sono finiti e non appartenenti al dominio stesso

f(x)

come si cerca:

xo

asintoto orizzontale

dove si cerca: •

f(x)

a

se il dominio lo consente

come si cerca:

n

solo se l’asintoto orizzontale non esiste, si cerca l’asintoto obliquo

asintoto obliquo

dove si cerca:

come si cerca:

f(x)

studio della monotonia di

6

a se il dominio lo consente e se non esiste già l’asintoto orizzontale

e ricerca dei massimi e minimi relativi •

monotonia

cresce

+

7

decresce

-

max

cresce

min

+

verso l’alto

+

si risolve la disequazione

si individuano le regioni di piano dove: è crescente

è decrescente

osservando il grafico della crescenza e decrescenza si individuano i punti di massimo e di minimo. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio

studio della concavità e ricerca dei flessi di una funzione •

concavità

si calcola la derivata prima di

verso il basso

flesso

-

verso l’alto

flesso

+

si calcola la derivata seconda di si risolve la disequazione

si individuano le regioni di piano dove:

è concava verso l’alto

è concava verso il basso

osservando il grafico della concavità si possono individuare i punti di flesso, essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione

Per ottenere una maggiore precisione nel disegno del grafico si possono calcolare le coordinate di alcuni suoi punti attribuendo valori arbitrari (appartenenti al dominio) alla x nel testo della funzione e calcolando le rispettive y v 1.8

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76.


Principali teoremi di Analisi teoremi sui limiti 2 ●

f(x)



1 ● x0 f(x)

f(x2)>0

> 0

f(x1)>0

x2

x0

teorema della permanenza del segno

Se una funzione in un punto x0 è dotata di limite  ≠ 0 allora esiste almeno un intorno I di x0 tale che per tutti i punti di I

(escluso al più x0 ) i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite teorema del confronto detto anche dei “carabinieri”

h(x)

g(x)

f(x)

 x0



Se una funzione in un punto è dotata di limite finito allora esso è unico

Dalla definizione di funzione, basta ricordare che ad ogni valore della x deve corrispondere uno ed un solo valore della y. Quindi, se per assurdo la funzione f(x) avesse nello stesso punto x0 più di un limite, essa non sarebbe più una funzione e ciò contraddice l’ipotesi del teorema



x1

teorema di unicità del limite

Date tre funzioni f(x) , g(x), h(x): 1. se esiste un intorno I del punto x0 in cui g(x) è compresa tra f(x) e h(x) in tutti i punti dell’intorno I escluso al più x0 stesso 2. se f(x) e h(x) tendono in un punto x0 allo stesso limite  finito

allora anche g(x) avrà in x0 limite uguale ad  teoremi sulle funzioni continue

teorema di Weierstrass

M ●

 m

M●

f(x)



a

 k

b ●

f(x)



m●

x1

a

b

f(x)

f(b)

 

f(a)

v 1.4

a

● z1

● z2

b

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora è dotata di massimo e minimo (assoluti)

Osserva che un massimo (minimo) assoluto non deve necessariamente essere un massimo (minimo) relativo, vedi, ad esempio, il punto m sul grafico

teorema dei valori intermedi

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] allora assume tutti i valori compresi tra il suo minimo “m” ed il suo massimo “M”

In altre parole, il teorema afferma che ogni punto (k) dell’intervallo [m, M] è immagine di almeno un punto (x1,…) dell’intervallo [a, b]

teorema degli zeri

Se una funzione f(x):

è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] assume valori di segno opposto in a e b cioè f(a) • f(b) < 0 allora esiste almeno un punto z interno all’intervallo ]a, b[ in cui la funzione si annulla cioè f(z)=0 1. 2.

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77 .


Principali teoremi di Analisi teoremi sul calcolo differenziale la derivabilità implica la continuità

f(x)

Se una funzione è derivabile in un punto x0 allora la funzione è ivi anche continua

Si osservi che il teorema non si può invertire, infatti: nel punto angoloso x0 della figura la funzione è continua ma non derivabile in quanto la derivata sinistra è diversa dalla derivata destra

x0

teorema sulla derivata della funzione inversa

il teorema può essere utilizzato per calcolare la derivata di funzioni inverse. Si voglia ad esempio calcolare la derivata di inversa della funzione

Se una funzione è derivabile in x0 e la sua derivata è diversa da zero, allora anche la funzione inversa x = f-1(x0) è derivabile nel punto corrispondente y0 = f(x0) e si ha:

teorema di Rolle

f(a)=f(b)

a f(b) f(a)

c1

c2

b

 P





B



A

f(x)

f(x)



a



c



b

Se una funzione f(x) è:

continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ assume valori uguali agli estremi dell’intervallo cioè f(a)=f(b) allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo in cui la derivata prima si annulla cioè f ′(c)=0 1. 2. 3.

teorema di Lagrange

Se una funzione f(x) è:

continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che: 1. 2.



teorema di Cauchy

il teorema è detto degli incrementi finiti e si Se f(x) e g(x) sono funzioni: può enunciare anche dicendo: 1. continue nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] se le due funzioni verificano le ipotesi indica2. derivabili nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ te, in un opportuno punto x0 dell’intervallo 3. e inoltre g ‘(x) in ogni punto interno dell’intervallo ]a, b[ ]a, b[ il rapporto tra le rispettive derivate in x0 è uguale al rapporto tra gli incrementi delle allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che: funzioni

teorema di de L’Hopital si osservi che: Se 1. il teorema si estende anche al caso in cui 1. e il imite si presenta nella forma 2. indeterminata 2.

il teorema, quando opportuno, può essere applicato più volte consecutivamente

v 1.4

f(x) e g(x) sono funzioni: derivabili in un intorno I di x0 con derivate continue e g′(x)≠0 in detto intorno 3. il limite del loro rapporto si presenta nella forma

allora

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78 .


Principali teoremi di Analisi f ’(x) > 0

teorema sulla monotonia di una funzione in un intervallo

f ’(x) < 0

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I e se la derivata prima in I è positiva (negativa) allora la funzione f(x) è crescente (decrescente) nell’intervallo I vale anche il teorema inverso cioè

Se la funzione è crescente (decrescente) in un intervallo I allora la derivata prima in tale intervallo sarà positiva (negativa) teorema sui massimi e minimi di una funzione (di Fermat)

M ●

Se una funzione f(x) ammette un massimo (minimo) in x0 allora la derivata prima in x0 è nulla cioè f ′(x0) = 0

F ●

m ●

Il teorema non si può invertire infatti i punti in cui la derivata prima è nulla, cioè f ′(x0)=0, detti punti stazionari , possono essere punti di massimo di minimo o di flesso orizzontale

teorema sulla concavità di una funzione in un intervallo

f ’’(x)<0

f ’’(x)>0

Se una funzione f(x) è derivabile due volte nei punti interni di un intervallo I e se la derivata seconda è positiva (negativa) allora la funzione è concava verso l’alto (il basso) nell’intervallo I vale anche il teorema inverso cioè

Se la funzione è concava verso l’alto (il basso) in un intervallo I allora la derivata seconda sarà positiva (negativa) teorema sui flessi di una funzione

Se una funzione f(x) è dotata di derivata prima e di derivata seconda

F

continua in x0 e se tale punto è un flesso allora la derivata seconda è nulla in x0, cioè f ′′(x0)=0

Il teorema non si può invertire, basti pensare alla funzione y=x4 che nell’origine degli assi cartesiani ha derivata seconda uguale a 0: f ′′(x4)=12x2 che calcolata in 0 risulta nulla. In tale punto però non vi è un flesso, bensì un punto di minimo

x0

teoremi sul calcolo integrale

O

teorema della media

Se una funzione f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo [a, b] tale

f(c) a

c

b

dal teorema deriva la formula che permette di calcolare il valore dell’integrale definito di una funzione f(x) conoscendo una sua primitiva F(x):

che:

teorema fondamentale del calcolo integrale

Se una funzione f(x) è continua in [a, b] allora esiste la derivata prima della funzione integrale in ogni punto x dell’intervallo [a, b] e si ha:

F ′(x) = f(x)

In altre parole il teorema, nell’ ipotesi indicata, afferma che la funzione integrale è una primitiva di f(x)

v 1.4

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79 .


Sviluppo in serie di funzioni elementari sviluppo in serie di Taylor

• • •

f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in

è detto resto di Peano e si legge: o piccolo di

o piccolo è un infinitesimo di ordine superiore a

, cioè:

algebra degli o piccoli: per

se

si ha:

si ha lo sviluppo in serie di Mac Laurin

sviluppo in serie di Mac Laurin di funzioni elementari funzione potenza con funzione radice quadrata funzione esponenziale con base funzione esponenziale con base funzione logaritmo in base funzione seno funzione coseno funzione tangente funzione cotangente funzione secante

funzione cosecante funzione arcoseno funzione arcocoseno funzione arcotangente v 1.8

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funzione arcocotangente

80 .


Serie numeriche definizioni Data la successione

:

si considerino le somme parziali

si dice serie di termine generale

e si indica con

oppure con

carattere della serie

se S è finito

altrimenti

se

Se

converge

se

converge

se

la serie

si dice convergente

la serie

è indeterminata

la serie

si dice divergente

prime proprietà

condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie è che il termine generico sia infinitesimo

assegnate

converge

e

e

e

convergenza del prodotto di una costante per una serie

converge

convergono

convergenza della somma di due serie

serie notevoli simbologia

carattere

divergente

divergente

convergente irregolare

convergente divergente irregolare

convergente

...

divergente

convergente v 1.7

(positivamente o negativamente)

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nome

serie armonica serie armonica generalizzata serie geometrica di ragione serie geometrica di punto iniziale e ragione serie di Mengoli .

81


Serie numeriche Criteri di convergenza criterio del confronto per serie a termini non negativi

Date le successioni •

e

se

sia:

converge

se

converge

diverge

diverge

criterio del confronto mediante i limiti per serie a termini non negativi

Date le successioni • •

e

,

se

sia:

se

e

se

le serie e sono entrambe convergenti oppure divergenti

e

converge

converge

diverge

criterio degli infinitesimi per serie a termini non negativi

Data la successione

sia:

con

converge

se se

diverge

e

se

converge

e

criterio della radice o di Cauchy per serie a termini positivi

Data la successione • •

se

sia: con

può essere utile in caso di serie con esponenziali

diverge

converge

se

,

diverge

diverge

se

non si può dire nulla

criterio del rapporto o di D’Alembert per serie a termini positivi

Data la successione

sia:

• •

con

,

se

converge

se

non si può dire nulla

se

può essere utile in caso di serie con fattoriali

diverge

criterio di Leibnitz per serie con termini a segno alterno decrescente

Data la successione

Data la serie alternante Data la serie v 1.7

sia:

e la serie

• •

se

converge

se

criterio di convergenza assoluta

se

converge

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converge .

82


Grafici - Domini - Derivate di funzioni iperboliche seno iperbolico

settore seno iperbolico

dominio:

dominio:

coseno iperbolico

settore coseno iperbolico

1

1 dominio:

dominio:

tangente iperbolica

settore tangente iperbolica

1

1

-1 -1

dominio:

dominio:

cotangente iperbolica

settore cotangente iperbolica

1 -1

1

-1

dominio:

v 1.3

dominio:

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.83


Definizioni e Sviluppo in serie di funzioni iperboliche definizione delle funzioni iperboliche seno iperbolico

coseno iperbolico

tangente iperbolica

cotangente iperbolica

secante iperbolica

cosecante iperbolica

definizione funzioni iperboliche inverse settore seno iperbolico

settore coseno iperbolico

settore tangente iperbolica

settore cotangente iperbolica

settore secante iperbolica

settore cosecante iperbolica

sviluppo in serie di Mac Laurin per alcune funzioni iperboliche

funzione seno iperbolico funzione coseno iperbolico funzione tangente iperbolica funzione cotangente iperbolica funzione secante iperbolica funzione cosecante iperbolica settore seno iperbolico settore tangente iperbolica v 1.4

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.

84


Coordinate polari

ed

Equazioni di curve notevoli

coordinate polari

y

coordinate cartesiane del punto P

P

coordinate polari del punto P

ρ

distanza di P dall’origine

θ x

passaggio di coordinate da cartesiane a polari

misura dell’angolo orientato in senso antiorario formato da con il semiasse positivo delle x

da polari a cartesiane

equazione cartesiana parametrica e polare di curve notevoli grafico

equazione cartesiana

equazione parametrica

equazione polare

retta

con segmento di estremi Q

con

P x2

x1

con

con

e

parabola con asse parallelo all’asse y

con circonferenza

di centro

e raggio r

con circonferenza

di centro l’origine e raggio r

con ellisse ●

con ellisse traslata di centro ●

con v 2.0

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.

85


Elementi di logica delle proposizioni definizioni Una proposizione (o enunciato) è una affermazione che può essere Vera o Falsa Es.: 1) “Parigi è la capitale della Francia” ; “Roma è la capitale della Francia” sono proposizioni la prima è vera, la seconda è falsa 2) “Il colore giallo non mi piace” ; “ Londra è la città più bella del mondo” non sono proposizioni Una tautologia è una proposizione sempre Vera per qualsiasi valore di verità degli elementi che la compongono “Ora sono le nove o non sono le nove”

Es.:

Una contraddizione è una proposizione sempre Falsa per qualsiasi valore di verità degli elementi che la compongono “Ora sono le nove e non sono le nove”

Es.:

Un paradosso è una proposizione formulata in evidente contraddizione con l'esperienza comune o con i propri principi elementari della logica tale che, se si suppone vera risulta falsa e viceversa Es.: “Questa frase è falsa” infatti se supponiamo che la frase sia Vera allora risulta Falsa. Viceversa se supponiamo che la frase sia Falsa allora risulta Vera

principi

Principio di non contraddizione : una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa

Principio del terzo escluso : se una proposizione è vera allora la sua negazione è falsa e non esiste una terza possibilità

operatori logici e tavole di verità proposizioni V

V

F

F

V F

non

e

o

xor

implicazione

doppia implicazione

F

V

V

F

V

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

V

p∧q =q∧ p p∨q =q∨ p

F

V

F

V

V

F F

proprietà associativa

p ∧ (q ∨ r ) = ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )

proprietà distributiva

p ∨ (q ∧ r ) = ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )

p∧ p = p p∨ p = p

proprietà di idempotenza

p ∧ ( p ∨ q) = q

p ∨ ( p ∧ q) = p

v 1.8

F

proprietà commutativa

p ∨ (q ∨ r ) = ( p ∨ q) ∨ r

p∨q = p∧q

V

proprietà e leggi

p ∧ (q ∧ r ) = ( p ∧ q) ∧ r

p∧q = p∨q

V

1a legge 2a legge

proprietà di assorbimento leggi di De Morgan

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.

86


Progressioni Progressioni Aritmetiche una progressione aritmetica è una successione di numeri reali tali che la differenza tra un elemento ed il precedente è costante:

La differenza tra un elemento ed il suo precedente è detta ragione e si indica con Esempio:

è una progressione aritmetica di primo elemento

e ragione

formule assegnata la progressione aritmetica

calcolo dell’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione calcolo dell’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione calcolo della somma dei primi n elementi

con

Calcola

e ragione noto

Calcola la somma dei primi 5 termini

Progressioni geometriche una progressione geometrica è una successione di numeri reali tali che il rapporto tra un elemento ed il precedente è costante: Il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è detto ragione e si indica con Esempio:

è una progressione geometrica di primo elemento

e ragione

formule assegnata la progressione geometrica

calcolo dell’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione calcolo dell’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione

calcolo della somma dei primi n elementi calcolo del prodotto dei primi n elementi v 1.8

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con

Calcola

e ragione

noto

Calcola la somma dei primi 5 termini : Calcola il prodotto dei primi tre termini:

.

87


Calcolo combinatorio calcolo combinatorio

Permutazioni

• •

con ripetizione di oggetti

Disposizioni

• •

senza ripetizione di oggetti

c

• •

Combinazioni

esempi

Permutazioni

• •

quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola LIBRO? n=5

con ripetizione di oggetti

quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola MAMMA? n=5 r1=3 r2=2

Disposizioni

in quanti modi diversi 5 alunni si possono sedere utilizzando le cifre 1, 2, 3 quanti numeri di 4 cifre su 3 sedie numerate? n=5 k=3 si possono formare? n=3 k=4

Combinazioni

un negoziante vuole esporre 4 paia di scarpe scelte tra 10 modelli diversi. In quanti modi si può effettuare la scelta? n=10 k=4

c

senza ripetizione di oggetti

si vogliono distribuire 7 matite identiche a 4 bambini, in quanti modi diversi si possono distribuire? fai attenzione n=4 e k=7

fattoriale di un numero n Si chiama fattoriale di un numero naturale si può anche scrivere come

esempi

e si indica con oppure come

(si legge n fattoriale) il prodotto:

per convenzione

coefficiente binomiale

Il simbolo si chiama coefficiente binomiale di n su k. Il suo valore è dato da:

proprietà

v 2.2

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88

.


Probabilità definizione classica di probabilità

E rappresenta un evento;

è la probabilità che si verifichi l’evento

alcune proprietà

evento impossibile

Due eventi ed si dicono complementari se uno è la negazione dell’altro. Vale la relazione:

evento certo

esempi

Consideriamo il lancio di un dado. Ai seguenti eventi sono associate le seguenti probabilità: esce il numero 2

esce un numero maggiore di 4

esce il numero 7

esce un numero compreso tra 1 e 6

tipi di eventi

eventi incompatibili Due o più eventi si dicono incompatibili quando il verificarsi di uno esclude gli altri

esempio: consideriamo il lancio di un dado con i seguenti eventi esce il numero 2 esce il numero 3 Nel lancio di un solo dado se si verifica non si può verificare quindi i due eventi sono incompatibili

eventi compatibili

Due o più eventi si dicono compatibili quando il verificarsi di uno non esclude il verificarsi degli altri

esempio: consideriamo il lancio di due dadi contemporaneamente ed i seguenti eventi esce il numero 2 su uno dei due dadi esce il numero 3 sull’altro dado I due eventi ed sono compatibili perché l’uno non esclude l’altro

Nell’ambito degli eventi compatibili si distinguono eventi indipendenti ed eventi dipendenti

eventi indipendenti

Due o più eventi si dicono indipendenti quando il verificarsi di uno non modifica la probabilità di verificarsi degli altri

eventi dipendenti

Due o più eventi si dicono dipendenti quando il verificarsi di uno modifica la probabilità di verificarsi degli altri esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52 carte ed i seguenti eventi esce una carta di cuori esce una figura Se la prima carta estratta è rimessa nel mazzo e si procede all’estrazione della seconda carta, i due eventi ed sono indipendenti Se invece la prima carta estratta è lasciata fuori, la seconda estrazione dipenderà dalla prima ed i due eventi ed sono dipendenti

v 1.5

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89.


Probabilità calcolo della probabilità di due o più eventi probabilità totale Si parla di probabilità totale di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichi uno solo degli eventi Per il calcolo bisogna distinguere tra eventi incompatibili ed eventi compatibili

probabilità totale di due o più eventi incompatibili

generalizzando

La probabilità totale di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi incompatibili:

esce il numero 2 esce un numero dispari

probabilità totale di due o più eventi compatibili dove

è la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi

La probabilità totale di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi Più complessa è la probabilità totale di tre eventi compatibili: esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi compatibili:

esce il numero 2 esce un numero pari

probabilità composta Si parla di probabilità composta di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichino tutti gli eventi contemporaneamente. Nel caso di eventi incompatibili la probabilità composta è nulla. Nel caso di eventi compatibili bisogna distinguere tra eventi indipendenti ed eventi dipendenti.

probabilità composta di due o più eventi compatibili indipendenti

generalizzando

La probabilità composta di due o più eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi indipendenti

esce una carta di cuori esce una figura

v 1.5

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90.


Probabilità probabilità composta di due o più eventi compatibili dipendenti dove

è la probabilità che si verifichi l’evento

Tale probabilità è detta probabilità condizionata di

una volta verificatosi l’evento

al verificarsi di

La probabilità di due eventi dipendenti è uguale al prodotto della probabilità che si verifichi probabilità condizionata di al verificarsi di Più complessa è la probabilità composta di tre eventi dipendenti:

per la

esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e non la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi dipendenti:

esce una carta di cuori esce una figura

approfondimento: probabilità subordinata Consideriamo una situazione più complessa: supponiamo di avere tre scatole contenenti palline blù e gialle come indicato in figura e, scelta una scatola a caso, calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina gialla dalla scatola scelta 1a scatola

2a scatola

3a scatola

Consideriamo i seguenti eventi scelta della prima scatola scelta della seconda scatola scelta della terza scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la prima scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la seconda scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la terza scatola di estrarre una pallina gialla da una scatola scelta a caso Calcoliamo la Probabilità

teorema di Bayes Consideriamo l’esempio del riquadro precedente gli stessi eventi con in più i seguenti eventi estrazione della pallina gialla dalla prima scatola estrazione della pallina gialla dalla seconda scatola estrazione della pallina gialla dalla terza scatola Calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina gialla da una precisa scatola

ognuna delle tre formule precedenti rappresenta una applicazione del teorema di Bayes v 1.5

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91.


Probabilità tutte le definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista definizione classica di probabilità (da Fermat a Laplace) La probabilità classica di un evento casuale è uguale al rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili: La definizione classica, detta anche a priori, si utilizza quando: • gli eventi hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile calcolare il numero dei casi favorevoli e dei casi possibili esempio: vedi gli esempi delle pagine precedenti

definizione frequentista di probabilità (di Venn e Von Mises)

La probabilità frequentista di un evento è uguale al rapporto tra il numero di prove riuscite ed il numero di prove effettuate (tutte nelle stesse condizioni): è detta anche frequenza dell’evento E

La definizione frequentista, detta anche a posteriori, si utilizza quando: • gli eventi non hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile effettuare un certo numero di prove sperimentali tutte nelle medesime condizioni

esempio: consideriamo una puntina da disegno e lanciamola verso l’alto. Essa può cadere in due posizioni diverse:

Si effettuano

con la punta rivolta verso l’Alto oppure con la punta rivolta verso il Basso. Si vuole calcolare, ad esempio, la probabilità che cada con la punta verso il Basso. In casi come questo non si può applicare la probabilità classica ma la probabilità frequentista.

lanci, si conta il numero

di volte in cui la puntina si ferma con la punta verso il Basso e si ha:

maggiore è il numero di lanci e più attendibile sarà il valore trovato

alcune proprietà come per la probabilità classica anche la frequenza è un numero compreso tra 0 e 1

non vuol dire che l’evento è impossibile ma solo che non si è mai verificato nelle prove

non vuol dire che l’evento è certo ma solo che si è sempre verificato durante le prove

legge dei grandi numeri Al crescere delle prove effettuate la probabilità frequentista di un evento si avvicina sempre più alla probabilità classica dello stesso evento

Tale legge, detta anche legge empirica del caso, stabilisce una relazione tra la definizione classica di probabilità e quella frequenti sta. Un enunciato equivalente della legge dei grandi numeri è il seguente:

Su un numero molto alto di prove effettuate la frequenza di un evento assume un valore molto vicino alla sua probabilità classica definizione soggettivista di probabilità (di Bruno De Finetti) La probabilità soggettivista di un evento è la misura del grado di fiducia che una persona, in base alle informazioni in suo possesso e alla sua opinione, assegna al verificarsi dell’evento

La definizione soggettivista si utilizza quando non ci sono le condizioni per utilizzare le definizioni precedenti.

vediamo alcuni esempi nei quali si può applicare solo la probabilità soggettivista. Si vuole calcolare la probabilità • che una nuova trasmissione televisiva incontri il favore del pubblico • che una squadra di calcio con una formazione rinnovata vinca una partita • che un nuovo prodotto commerciale incontri il favore dei consumatori v 1.5

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92.


Numeri Complessi numeri immaginari

• •

si chiama unità immaginaria e si indica con la radice quadrata di

un numero immaginario si ottiene dalla radice quadrata di un numero negativo. ad esempio:

:

le potenze di

in generale

si ripetono di 4 in 4 infatti: con r resto della divisione di n per 4. Ad esempio:

perchè

numeri complessi (forma algebrica)

con r = 3

un numero complesso z è la somma di un numero reale e di un numero immaginario: Esempio:

due numeri complessi si dicono coniugati se hanno la stessa parte reale e la parte immaginaria opposta. Esempio:

Somma:

e

sono numeri complessi coniugati

operazioni tra numeri complessi

Dati due numeri complessi

si sommano le parti reali e le parti

e

immaginarie

Prodotto: si effettuano i prodotti tra i due binomi ricordando che

Rapporto: si moltiplica e si divide il rapporto dei due numeri per il complesso

Potenza:

coniugato del denominatore

si effettua la potenza del binomio

Per la potenza : se l’esponente è maggiore di 3 conviene usare la formula di De Moivre (vedi oltre)

esempio

risolvi la seguente equazione di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso:

v 2.3

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. 93


Numeri complessi: approfondimento rappresentazione nel piano complesso (piano di Gauss) di un numero complesso z forma algebrica

forma trigonometrica i

i

z

z

b

ρ

a

R

= parte reale

b

θ

= parte immaginaria

a

R

passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica

• •

= modulo

= anomalia

per il teorema di Pitagora si ottiene:

per le relazioni di trigonometria dei triangoli rettangoli si ha:

per determinare l’angolo è necessario tenere conto dei segni di a e b per individuare il quadrante in cui si trova il punto e di conseguenza l’angolo , vedi esempi seguenti

potenza n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica (formula di De Moivre)

Esempio:

radice n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica con k=0,1,2,…,n-1 Esempio:

con k =0 e k =1 cioè:

k =0

k =1

nel campo complesso la radice n-sima di un numero ha sempre n soluzioni, ciò implica che non si può effettuare la semplificazione tra l’indice della radice e l’esponente del radicando, cioè: altrimenti si perdono soluzioni

forma esponenziale di un numero complesso

La forma esponenziale di un numero complesso z è:

si ottiene applicando alla forma trigonometrica di v 2.2

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la formula di Eulero . 94


Le grandezze fisiche grandezze fondamentali del Sistema Internazionale (SI) nome lunghezza massa

unità di misura

simbolo

Metro

m

Chilogrammo

kg

carica elettrica

Coulomb Kelvin

C

K

intensità luminosa

Candela

cd

intervallo di tempo temperatura

Secondo

intensità di corrente elettrica

Ampere

angolo piano

Radiante

quantità di sostanza angolo solido

area

volume densità

velocità

accelerazione frequenza

velocità angolare forza

pressione

quantità di moto

momento angolare energia lavoro

potenza calore

capacità termica calore specifico calore latente

intensità di campo elettrico

differenza di potenziale elettrico forza elettromotrice capacità elettrica resistenza resistività

intensità di campo magnetico flusso magnetico

induttanza elettrica v 1.6

A

Mole

mol

Steradiante

sr

grandezze derivate nome

s

rad

unità di misura e simbolo

unità SI

metro quadrato

m2

chilogrammo al metro cubo

kg/m3

metro al secondo quadrato

m/s2

metro cubo

metro al secondo

m3

m/s

Hertz

Hz = 1/s

Newton

N = kg⋅m/s2

chilogrammo per metro al secondo

kg⋅m/s

radiante al secondo Pascal

rad/s

Pa = N/m2

chilogrammo per metro al quadrato al secondo

kg⋅m2/s

Joule

J = N⋅m

Joule

J = N⋅m

Watt

W = J/s

Joule al Kelvin

J/K

Joule

J = N⋅m

Joule al Kelvin per chilogrammo

J/(K⋅kg)

Newton al Coulomb

N/C

Joule al chilogrammo

J/kg

Volt

V = J/C

Farad

F = C/V

Volt

V = J/C

Ohm

Ω = V/A

Tesla

T = N/A⋅m

Ohm per metro Weber Henry

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Ω⋅m

Wb = T⋅m2 H = V⋅S/A

.95


Le grandezze fisiche Altre unità di misura Ångstrom (Å) micron (μm)

lunghezza 10-10 m 10-6 m

unità astronomica (UA) anno luce (a.l.) parsec (pc)

caloria (cal)

elettronVolt (eV) atmosfera (atm)

ora (h)

1,50∙1011 m

giorno (d)

9,461∙1015 m 3,09

mese

1016 m

anno (a)

energia 4,186 J

2.600.000 s

31.600.000 s

temperatura

carato (car)

133 Pa Pa

86.400 s

gradi Fahrenheit (°F)

pressione 1,013 Pa 105

3600 s

gradi Celsius (°C)

1,602 ∙10-19 J

mm di mercurio (mmHg) bar (bar)

minuto (min)

intervallo di tempo 60 s

quintale (qt)

pesi 0,0002 kg 100 kg

tonnellata (ton)

1000 kg

Tabelle di conversione

lunghezze 1 pollice (in) = 0,0254 m

pesi 1 grano (grain) = 0,065 g

volumi 1 litro (l) = 1 dm3

1 lega marina = 5556 m

1 tonnellata (ton) = 1000 kg

1 cm3 = 0,000001 m3

1 piede (ft) = 0,3048 m

1 oncia (oz) = 0,032 g

1 miglio (mi) = 1609,3 m

1 carato = 0,2 g

1 litro(l) = 1000 cm3 1 dm3 = 0,001 m3

Nota: l’ettaro (simbolo ha) è l’unità di superficie usata in agrimensura 1 ha = 10.000 m2 il nodo è l’unità di misura di velocità usata in marina 1 nodo = 1,852 km/h

multipli e sottomultipli delle unità di misura

simbolo Y Z E P T G M k h da km hm dam m dm cm mm v 1.6

nome Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Chilo Etto Deca

lunghezze chilometro ettometro decametro metro decimetro centimetro millimetro

fattore 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

simbolo d c m μ n p f a z y

nome deci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto

scale di misura per le grandezze più utilizzate kg hg dag g dg cg mg

pesi chilogrammo ettogrammo decagrammo grammo decigrammo centigrammo milligrammo

tempo --secolo a. anno --mese d giorno h ora min minuto s secondo

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fattore 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24 volumi

--hl dal l dl cl ml

--ettolitro decalitro litro decilitro centilitro millilitro .96


Elementi di statistica nome

definizione

frequenza assoluta

numero di volte in cui il dato si presenta

frequenza percentuale

frequenza relativa

frequenza relativa

frequenza assoluta diviso il numero di dati

media aritmetica

somma di tutti i dati diviso il numero di dati

media geometrica

radice n-sima del prodotto degli n dati

valore che compare più frequentemente nei dati sperimentali

moda

valore del dato a metà nell’insieme numericamente ordinato dei dati

mediana

semidispersione

valore massimo meno valore minimo diviso due

scarto

se il numero di dati è pari si calcola la media aritmetica dei due dati centrali

differenza tra il valore del dato e il valore medio: somma dei quadrati degli scarti diviso il numero di dati

scarto quadratico medio

radice quadrata dello scarto quadratico medio

deviazione standard

errore relativo massimo

semidispersione diviso media aritmetica

errore percentuale

n

formula

esempio

assegnati i seguenti =10 valori sperimentali ordinati in senso crescente, calcoliamo per essi le principali definizioni di statistica

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

v 1.4

misure

34 34 35

assoluta

frequenza

media aritmetica

relativa

percentuale

36

34

2

0,2

20%

37

37

2

0,2

20%

36 36 37

39 40

35 36 39 40

1 3 1 1

0,1 0,3

0,1 0,1

10% 30% 10% 10%

media geometrica moda

mediana

semidispersione

36 36

scarto del dato n. 1

scarto del dato n. 8

scarto del dato n. 10

scarto quadratico medio

deviazione standard

errore relativo massimo errore percentuale

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% . 97


Note • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • . • .

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