Vild med matematik #3 by Alinea

Vild med matematik

Gratis magasin 2021

Rasmus Welling

5 TIPS

”HØJTBEGAVEDE BØRN KAN SAGTENS TRIVES I ALMINDELIGE KLASSER”

TIL KONSOLIDERINGSAKTIVITETER

KLAR TIL AFGANGSPRØVEN Det er ikke nok at være god til matematik

JO RØISLIEN Nordmanden, der gjorde matematik mere populært end X Factor

VELKOMMEN

INDHOLD

2021

" Matematik skal være noget, vi taler om, ligesom vi taler om Game of Thrones og Fortnite.

Sådan siger Jo Røislien, der er statistikprofessor og vel nok Norges mest kendte matematiknørd med rockstjernestatus. Velkommen til et nyt nummer af Vild med matematik, hvor Jo Røislien fortæller om kunsten at formidle matematik og giver sit bud på, hvordan endnu flere elever bliver engageret i faget.

Mød Jo Røislien s. 34

Du kan også møde 14-årige Laura, der er højtbegavet, og matematiklærer Thomas Wilhjelm, der fortæller om, hvordan han underviser højtbegavede elever på Atheneskolen i Søborg. Vi sætter spot på modellering, som alle danskere pludselig har fået et større kendskab til med regeringens Covid-19-kurver. Og vi undersøger, hvad der skal til for, at elevernes læring konsolideres i matematik. Nanna Filt Christensen giver dig konkrete ideer til at lave animationsforløb i GeoGebra, og Morten Bisgaard fortæller om, hvordan du kan forberede dine elever til afgangsprøverne i matematik.

24 Læs om modellering s. 4

Magasinet er til dig, der er vild med matematik og vil gøre dine elever lige så vilde. Det er fyldt med viden og inspiration – lige til at bruge i din undervisning.

4 MODELLERING

Be stil magasinet

Rigtig god fornøjelse!

GR ATIS

Bedste hilsener Alineas matematikredaktion

p å aline a.dk

– du b et aler k un p or t o VILD MED MATEMATIK © ALINEA 2021 alinea.dk ANSVARSHAVENDE REDAKTØR Trine Hornemann REDAKTION Karen Boe Hauggaard Helle Hjorth Mogensen Susanne Nissen Schulian SKRIBENTER Line Felholt Annette Haugaard 2

Michael Kirkeby Anders Klebak Hans Henrik Rasmussen DESIGN Andrea Jepp FOTO Anitta Behrendt Janus Engel/Ritzau Scanpix Kristian Granquist Daniel Hjorth Oda Hveem Hans Christian Jacobsen Martin Stampe

ILLUSTRATION Rasmus Juul TRYK Livonia Print 2021

1. udgave, 1. oplag 2021 ISBN: 9788723553461 Der tages forbehold for trykfejl.

ALINEA STØTTER BØRN OG UNGE

Alinea er Danmarks største forlag inden for læremidler til den danske grundskole. Hvert år udvikler vi flere hundrede både trykte og digitale læremidler sammen med de allerdygtigste skoleforskere og praktikere i Danmark.    Alinea er en del af Egmont, som er Danmarks største mediekoncern. Egmont har fortalt historier i over 100 år, laver film i Oscarklasse og fortæller historier gennem nyheder, bøger og magasiner. Egmont er en dansk fond, som hvert år giver næsten 100 millioner kroner til børn og unge, der har det svært.

Covid-19-kurver, pladsfordelingen i Champions League eller omkostningerne ved hestehold – det er både lærerigt og motiverende for eleverne at opdage, hvor meget de kan bruge matematikken til.

14 AFGANGSPRØVE I MATEMATIK Det er ikke nok at være god til matematik. Du skal også være god til at vise det.

18 MATEMATIK ER NOGET, VI DELER MED HINANDEN Marie, Anne-Christine og Dorte har de seneste to år arbejdet intensivt på matematiksystemet Reflex. De vil sætte dagsordenen i klasselokalerne med undersøgende matematik, refleksion og positiv læringskultur.

24 SÆT MATEMATIKKEN I BEVÆGELSE

34 EINSTEIN + TV-STJERNE = JO RØISLIEN

Lærer Nanna Filt Christensen leger matematik ind ved at bruge animationer i GeoGebra. Få konkrete idéer til at lave animationsforløb i din undervisning.

Hemmeligheden bag Jo Røisliens popularitet er at få matematik til at handle om livet.

26 KONSOLIDERING Lærerne skal arbejde langt mere målrettet med konsolidering, mener Dorthe Geisnæs og Preben Olund Kirkegaard fra Professionshøjskolen UCN. Sammen med læringsvejleder Annette Lilholt giver de deres bedste tips til at komme i gang.

40 HØJTBEGAVEDE BØRN Højtbegavede børn kan sagtens trives i almindelige klasser, siger forfatter og konsulent Rasmus Welling. Mød også 14-årige Laura, der er højtbegavet, og Thomas Wilhjelm, der er matematiklærer på en skole for højtbegavede børn.

50 KNÆK KODEN MED SPROG Dårlig sprogforståelse kan være årsagen til, at nogle elever aldrig bliver gode til matematik.

MODELLERING

" Modellering handler om, hvad man kan bruge matematik til

UDE I VIRKELIGHEDEN Statsministerens Covid-19-kurver, pladsfordelingen i Champions League eller omkostningerne ved hestehold – modellering er den måde, hvorpå matematikken knytter an til virkeligheden, og det er både lærerigt og motiverende for eleverne at opdage, hvor meget de kan bruge matematikken til.

F OTO

K R IST

IAN G

R AN Q

U IST

TEKST HANS HENRIK RASMUSSEN

Hvis der nogensinde har været et aktuelt eksempel til at beskrive modellering, så er det i denne tid, og der går heller ikke længe, inden Niels Jacob Hansen nævner det: ”Modellering er, når man bruger matematikken til at belyse eller forstå et problem ude i den virkelige verden, et såkaldt omverdensproblem. Et godt eksempel er de Covid-19-kurver, som vi ser på statsministerens pressemøder. Her kan man forklare eleverne, at de kurver er afhængige af, at nogle forudsætninger er opfyldt, og at man kan ændre på nogle af parametrene, for derved for eksempel at mindske smittetrykket og presset på landets sygehus osv. På den måde bruger man matematikken til at forstå, hvad man kan gøre for at ændre udviklingen,” forklarer han og tilføjer, at modellering også er afgørende for sådan noget som klimamodeller samt mere simple og jordnære ting som for eksempel opstilling af et budget. Niels Jacob Hansen er tidligere folkeskolelærer og underviser på læreruddannelsen i Absalon, og han har blandt andet ved sin deltagelse i udviklings- og forskningsprojektet KOMPIS, der løb fra 2008 til 2012, haft et skarpt øje for udviklingen inden for undervisningen i modelleringskompetencen. Han kan se, at der i dag er en større forståelse for modellering end for 20 år siden, da det blev lanceret, men han mener, at det stadig kan være en forhindring for mange lærere, som tror, at modellering er sværere, end det er. Desuden er det noget helt andet, end det, de fleste lærere selv blev undervist i, da de gik i skole. Han ser dog en stadig større forståelse for, hvad modellering er, både hos lærere og elever.

Mange korrekte løsninger I KOMPIS-projektet fulgte Niels Jacob Hansen og de andre deltagere fem klasser og deres lærere over en fireårig periode, og de så, hvordan eleverne opdagede, at modellering

MODELLERING

alligevel ikke var så svært. Derudover opdagede eleverne, at modellering var noget, som de kunne have gavn af i deres hverdag, uden for skolen. ”De prøvede for eksempel at modellere prisen for at holde konfirmation med variabler som antal gæster, kuvertpris, prisen på tøjet osv. Nogle af drengene, som var helt vilde med fodbold, fandt ud af, at de kunne bruge modellering til at undersøge, hvordan UEFA tildeler landene pladser i Champions League, og tilsvarende var der nogle piger, som undersøgte, hvad det kostede at holde hest med foder, løbegård, uforudsete udgifter til dyrlæge osv.”, siger Niels Jacob Hansen og fortæller, at den største udfordring, som skulle overvindes, nok var elevernes idé om, hvad matematikundervisningen normalt går ud på. De var således vant til, at der i matematik altid kun er ét rigtigt facit, at det er selve regnearbejdet, det hele handler om, og at man helst så hurtigt som muligt skal i gang med at løse regneopgaver.

”Men i arbejdet med modellering er det nogle andre ting, der er vigtige. Der kan være mange rigtige svar, og man skal lære, at den tid, man bruger på at undersøge og tænke over parametre, inden man går i gang med at regne, er rigtig frugtbar og vigtig. Det er en vigtig fase, hvor eleverne overvejer og diskuterer og laver lister, og finder ud af, hvad der er vigtigt at tage med i modellen, og hvad der kan udelades. Derefter går eleverne i gang med at opstille en matematisk model.”

Der skal være plads til at fejle Niels Jacob Hansen fortæller, at det tyder på, at elever, der arbejder på den måde, også bliver bedre til for eksempel overslagsregning, simpelthen fordi de får en større forståelse for de sammenhænge, der ligger bag tallene. Han opfordrer derfor lærerne til at arbejde fokuseret med modellering, og han anbefaler, at lærerne følger det, han kalder for en ”cirkulær model for modellering” i undervisningen. ”Det er meget væsentligt, at man bruger tid på at finde ud af,

hvilke parametre der spiller ind, inden man laver den egentlige analyse og model. Altså overvejer, hvad vi skal undersøge, og hvad der har betydning for resultatet. Dernæst laver man modellen, og så slutter man af med at vurdere, om modellen passer. Her kan det så være, at man finder ud af, at der er noget, man har overset, og så går man tilbage – så det er en cirkulær model,” siger Niels Jacob Hansen og tilføjer: ”Og så skal lærerne også vide, at det kan gå galt – at eleverne er usikre på, hvad de skal – at modellen kan vise sig ikke at være særligt god, og at de derfor må prøve igen. Men her skal de huske, at overvejelserne har stor værdi. Hvis man laver spalteopgaver hele dagen, ved man, hvad man får, men det bringer ikke eleverne videre til at kunne bruge matematikken i praksis.”

ILLUSTRATION RASMUS JUUL

GODE RÅD TIL AT UNDERVISE I MODELLERING SØRG FOR AT SAMLE OP UNDERVEJS og trække de pointer frem, I er nået frem til. I slutningen af timen er opmærksomheden måske faldende, så det kan være en god idé at starte timen med at tale om, hvad I diskuterede sidste gang, eller at stoppe undervejs og fremhæve overvejelserne.

Niels Jacob Hansen Uddannet folkeskolelærer og har undervist i folkeskolen fra 1979-2008 og fra 2008-20 som lektor på læreruddannelsen på Professionshøjskolen Absalon. En del af udviklings- og forskningsprojektet KOMPIS (2008-12), som havde til formål at understøtte og udvikle en undervisning, hvor eleverne udviklede deres kompetencer i matematik, dansk og naturfag. Medforfatter til bl.a. matematiksystemet KonteXt+ fra 7. klasse og medlem af opgavekommissionen i matematik fra 2007-17. I dag kvalitetssikrer på afgangsprøverne i matematik i Danmark og i Grønland samt tilknyttet Absalon som timelærer, da han er på pension.

LAD ELEVERNE FÅ GOD TID til de forskellige faser i modelleringsprocessen. Hold også dem, der gerne vil i gang med at regne, fast i den indledende fase.

FOTO KRISTIAN GRANQUIST

GIV DIG GOD TID Erfaringen fra KOMPIS-projektet var, at eleverne syntes, det var sjovt, fordi det var vedkommende. Mange ved ikke, hvad de skal bruge matematik til, og her er det vigtigt at forklare, at de kommer til at skulle bruge matematik, næsten ligegyldigt hvad de kommer til at lave i deres liv.

BLÅ BOG

MODELLERING I INDSKOLINGEN

" Det handler om at få eleverne til at sætte matematik på deres hverdag, og det kan sagtens lade sig gøre, selvom eleverne i de små klasser ikke kan arbejde med så avancerede modeller.

" DET ER EN KULTUR, MAN SKAL SKABE I KLASSEN O RTH IE L H J

Kreative løsninger

F OTO

TEKST HANS HENRIK RASMUSSEN

der er interessant. Hun har dog selv oplevet, at det er noget, som de rimelig hurtigt vænner sig til, blandt andet ved at læreren sørger for, at der bliver samlet op på de forskellige overvejelser, så der bliver sat ord på dem.

S DA N

Marie Proschowsky er folkeskolelærer på Søborg Skole, og hun fortæller, at modellering er noget, som allerede begynder i indskolingen. Det handler om at tage noget fra elevernes hverdag og beskrive det med matematik – og om at lytte til hinanden.

Målet med modellering er ifølge matematiklærer Marie Proschowsky at sørge for, at eleverne selv kan finde på kreative løsninger, og at de tør præsentere dem.

”Jeg tror, at mange bliver lidt forvirrede over, at det kan være svært at sige præcist, hvad modelleringskompetencen er, da den også indeholder andre af de matematiske kompetencer,” indleder folkeskolelærer på Søborg Skole Marie Proschowsky. Hun har dog fundet en formulering, som forhåbentlig kan hjælpe de forvirrede med at identificere, hvornår modelleringskompetencen er på spil: Hun beskriver den som den proces, eleverne er i ”når de bruger matematik til at beskrive noget fra deres hverdag”. ”Jeg tror, de fleste har nemmere ved at gå til de andre kompetencer, og jeg har det heller ikke sådan, at jeg bevidst går i gang med modelleringskompetencen. Men når jeg ser på min undervisning, kan jeg se, at den er i spil mange steder,” siger hun og fortæller videre, hvordan hun selv implementerer den i undervisningen i indskolingen.

Hvor mange is? Det handler om at få eleverne til at sætte matematik på deres hverdag, forklarer Marie Proschowsky, og det kan sagtens lade sig gøre, 8

selvom eleverne i de små klasser ikke kan arbejde med så avancerede modeller. Hun understreger også, at eleverne i indskolingen ikke arbejder med hele modelleringskompetencen på én gang, men med dele af den, så de bliver forberedt på at kunne arbejde med den i sin helhed i de senere klassetrin. ”Med mine elever i 3. klasse har jeg for eksempel kørt en problemstilling om en ishandler, der har solgt for 38 kroner is, men ikke har skrevet ned, hvor mange is, han har solgt. Så får eleverne at vide, at de forskellige is koster det og det, og så skal de komme med bud på, hvordan man kan finde ud af, hvor mange af hver slags is, ishandleren har solgt. Her er det vigtige så at se på, hvad eleverne har tænkt og overvejet for at komme frem til deres resultat, og vi arbejder her meget med at lytte til hinanden, så de lærer, at naboen kan have ret, selvom hun ikke har det samme facit. Det handler også om at lære kritisk tænkning,” siger Marie Proschowsky. Hun forklarer, at det kan være svært for eleverne, at der pludselig ikke længere kun er én rigtig løsning, og at det ikke så meget er løsningen, men hvordan man når frem til den,

Marie Proschowsky har også andre gode råd til lærere, der gerne vil fokusere mere på modelleringskompetencen: ”Målet er at sørge for, at eleverne selv kan finde på kreative løsninger, og at de tør præsentere dem. Det handler om at gøre det virkelighedsnært, så eleverne kan relatere til det, og så er det meget vigtigt at lære dem hele det undersøgende element, hvor det handler om at prøve sig frem. For det er jo en anden måde at tænke matematik på. I begyndelsen kom de dygtige elever typisk med flere løsninger, mens de mindre dygtige måske kun kom med den mest oplagte. Men efter de første måneder, da vi havde prøvet det nogle gange, gik det meget bedre for de svagere, også fordi de havde lyttet til de andre. For dem, der tvivler på deres evner i matematik, kan det være svært, men når de så hører andre sige det, får de også mod på det. Så det er også en kultur om at lytte til hinanden, man skal skabe i klassen,” siger hun. Marie Proschowsky slutter således med at understrege, at det handler om at tage sig god tid til at lytte til hinanden og om at sætte fokus på opsamlingen, hvor man sætter ord på overvejelserne og derigennem kobler matematikken til hverdagen.

MODELLERING PÅ MELLEMTRINNET

" DET TAGER NOGET TID – MEN DET ER DET VÆRD Rikke Saron Dalsgaard er folkeskolelærer på Nordstrandskolen i Dragør, og hun fortæller, at det er på mellemtrinnet, at eleverne for alvor begynder at kunne arbejde med modelleringskompetencen.

Undervisning i modellering behøver slet ikke at være stort lagt an, mener Rikke Saron Dalsgaard, der er matematiklærer på mellemtrinnet på Nordstrandskolen i Dragør og desuden medforfatter på Alineas matematiksystem KonteXt+. FOTO MARTIN STAMPE

TEKST HANS HENRIK RASMUSSEN

matisk nysgerrige, undersøgende og åbne. ”De svagere elever vil måske kræve lidt mere hjælp til at komme i gang, forklarer hun, men til gengæld giver undervisning i modellering rigtig gode muligheder for differentiering, fordi de stærke elever vil kunne bygge videre på modellerne og finde flere variable og mulige løsninger ud over de mest oplagte.

Ikke et kæmpe spring

R AN Q

U IST

Som råd til lærere, der ønsker at komme i gang med at undervise i modelleringskompetencen, fortæller Rikke Saron Dalsgaard, at det kan være en god idé at dele oplevelser og erfaringer i fagteamet, og så understreger hun igen, at der ikke er tale om et stort og uoverskueligt projekt: ”Jeg tror, at mange er bange for, at det er sådan et kæmpespring fra lukkede opgaver til den her uhåndgribelige form, hvor man ikke ved, hvilken vej børnene går. Men det vigtige er at komme i gang med at tage de små skridt, hvor eleverne træner deres undersøgende virksomhed i forhold til modellens udformning, og det er faktisk ofte noget, der ligger lige for for børnene. Det er jo deres virkelighed, man lægger matematikkens modeller ned over.” IAN G

Rikke Saron Dalsgaard tilføjer, at de endda engang arrangerede, at klassen kom med i et undervisningsforløb hos GoCook, hvor de så bagte pizzaer under åben himmel, samtidig med at de brugte modellering til opskriften og til at udregne, hvor mange stykker pizzaerne skulle inddeles i, for at der var nok til alle. Hun peger dog på, at undervisning i modellering slet ikke behøver at være så stort lagt an. Man kan for eksempel også sætte eleverne til at finde ud af, hvor mange børn der kan være i deres klasseværelse eller i skolegården, eller hvor meget vand de bruger i løbet af en dag. Hun har også haft succes med at sætte eleverne til at undersøge de forskellige variabler, der vil spille ind, hvis de skulle starte et hundelufterfirma. Rikke Saron Dalsgaard understreger her, at selvom det er læreren, der skal sætte rammerne, er det vigtigt, at det er eleverne, som træffer valgene og stiller spørgsmålene: ”Som lærer kan det være svært at lade være med bare at udstikke eleverne opgaven, men derved lukker man den, og det skal man undgå. Derimod skal man sørge for, at det hele tiden er eleverne, som vælger, hvilken vej vi skal gå, og så reflekterer over de valg og opstiller modellen. Endelig vurderer de så, hvor godt den passer, og om den skal justeres. Her skal man acceptere, at det tager noget tid, men det er det værd i sidste ende, fordi eleverne får gjort sig nogle refleksioner undervejs. At det er eleverne selv, der skaber opgaverne, og at de opdager, at der ikke kun er ét rigtigt facit, men at facit afhænger af præmisserne, giver dem større selvstændighed og gør dem mate-

K R IST

Større selvstændighed

" Selvom det er læreren, der skal sætte rammerne, er det vigtigt, at det er eleverne, som træffer valgene og stiller spørgsmålene.

F OTO

FOTO KRISTIAN GRANQUIST

”På mellemtrinnet er eleverne i hvert fald klar over, at nogle simple praktiske problemer og situationer i hverdagen faktisk kan løses og beskrives ved hjælp af matematiske modeller. Den erfaring får de, og den bevidsthed sniger sig mere og mere ind, jo mere de arbejder med det. Det er den forståelse, der kommer, når de tænker: ’Nåååh, det her er også matematik’. ”Sådan fortæller folkeskolelærer på Nordstrandskolen i Dragør Rikke Saron Dalsgaard om at undervise i modelleringskompetencen på mellemtrinnet, og hun dykker hurtigt ned i en række konkrete eksempler fra sin undervisning. ”Jeg bruger ofte en opgave, hvor eleverne skal planlægge en klassefest. De kan her tænke i alt fra regnskab, budget og indkøbsmuligheder til borddækning og menu, og det er virkelig en opgave, de elsker. Når jeg har eleverne til fagdag, sørger jeg altid for, at vi arbejder med modellering, for der har vi god tid til at gå i dybden og for eksempel gå i Netto og se på, hvilke varer vi kunne købe til festen, og hvad de koster og så videre. Jeg har lavet klassefestopgaven i fjerde klasse, hvor der også var nogle, der lavede drinksforslag og så på blandingsforholdet og så brugte modelleringskompetencen til at afstemme både indkøbene og det budget, de havde fået af mig.”

MODELLERING I UDSKOLINGEN

" Jeg vil sige, at den typiske udfordring er, at eleverne og nogle lærere hurtigt vil i gang med selve regnearbejdet. Her skal lærerne sørge for den fornødne tid og ro til den indledende fase.

" DET HANDLER IKKE OM, HVOR KOMPLICERET MATEMATIKKEN ER T Q U IS G R AN TIAN S K R IS

Afgangsprøven, maj 2019

F OTO

Niels Jacob Hansen er tidligere folkeskolelærer og er i dag blandt andet med til at kvalitetssikre folkeskolens afgangsprøver. Han har gennem de seneste 20 år set en større og større forståelse for, hvad modellering er, blandt andet fordi det er kommet med i afgangsprøverne og dermed er blevet endnu mere relevant i udskolingen.

om, hvad modellen skal indeholde. Man kan også være for kritisk i bedømmelsen af elevernes modeller – man skal give plads til, at de ikke nødvendigvis er så matematik-komplicerede,” siger Niels Jacob Hansen og henviser til forskning af Thomas Højgaard, som viser, at elever i gymnasierne typisk vil bruge relativt simpel matematik, når de skal udforme modeller. Simpelthen fordi det er den, de er trygge ved.

TEKST HANS HENRIK RASMUSSEN

Der er stadig udfordringer i at undervise i modelleringskompetencen, også i udskolingen, både fordi det er relativt nyt, og fordi det afviger så markant fra manges opfattelse af, hvad matematikundervisning skal indeholde, siger Niels Jacob Hansen.

udskolingen er det særlig vigtigt, at eleverne er klar over, hvad vi har gang i, når vi arbejder med modelleringskompetencen – altså at det er et problem ude i den virkelige verden, vi er i gang med at løse,” forklarer Niels Jacob Hansen, som er tidligere folkeskolelærer og i dag underviser på læreruddannelsen på Professionshøjskolen Absalon samt er med til at kvalitetssikre folkeskolens afgangsprøver. ”Det kan være et eksempel, læreren finder på, som er relevant for eleverne og kan hjælpe til at lokke dem ind, men man kan også lade eleverne selv komme på banen med det, de gerne vil undersøge.” Niels Jacob Hansen fortæller, at han i dag, ikke mindst i udskolingen, ser en langt større forståelse for modelleringskompetencen, end dengang den blev lanceret for 20 år siden. ”Jeg er sikker på, at det er noget, man arbejder mere og mere med i undervisningen. Der er kommet en forståelse for, hvad det er. I starten

vidste man ikke, hvad begrebet dækkede over, men efterhånden som der er kommet opgaver med i afgangsprøverne, og lærerne har fået viden om kompetencen, tror jeg, at vi er ved at være godt i gang. Det er min fornemmelse, at lærerne ikke længere er så utrygge ved kompetencerne.”

Udfordringer Han fortæller dog, at der stadig er visse udfordringer i at undervise i modelleringskompetencen, også i udskolingen, både fordi det er relativt nyt, og fordi det afviger så markant fra manges opfattelse af, hvad matematikundervisning skal indeholde. ”Jeg vil sige, at den typiske udfordring er, at eleverne og nogle lærere hurtigt vil i gang med selve regnearbejdet. Her skal lærerne sørge for den fornødne tid og ro til den indledende fase. Man kan for eksempel bede eleverne om at diskutere, hvad man skal se på for at lave en model for udviklingen i Covid-19, selvom det kræver mere avanceret matematik, end de kan på de klassetrin. For det vigtige er her at tale

”I KOMPIS-projektet var nogle lærere for kritiske over for de modeller, som nogle elever kom frem til, fordi de syntes, at matematikken i elevernes modeller var for simpel, men hvis de havde de relevante ting med i modellen, havde de jo netop vist, at de beherskede modelleringskompetencen. Så man kan godt være for fokuseret på, hvor kompliceret matematikken er, for det er kun én af kompetencens tre dimensioner. Til gengæld skal man sørge for, at eleverne er kritiske over for deres egne modeller – for eksempel ved at de fremlægger dem for resten af klassen, som så giver kritik,” siger han. Niels Jacob Hansen behøver ikke at gå længere tilbage end til 2019 for at finde et eksempel på, at modelleringskompetencen optræder i folkeskolens afgangsprøve. Der var således her en opgave, hvor eleverne skulle opstille en model for en graf over en families cykeltur ud fra en række data samt komme med forskellige overvejelser om modellen. Og når den indgår i afgangsprøven, bliver modelleringskompetencen også en naturlig del af undervisningen, fortæller Niels Jacob Hansen. ”Det er jo noget, der tilskynder lærerne til at arbejde med det, og som dermed langsomt får det mere og mere ind i undervisningen.”

EKSAMEN

AFGANGSPRØVE I MATEMATIK

Det er ikke nok at være god til matematik. Du skal også være god til at vise det. FOTO JANUS ENGEL/RITZAU SCANPIX

Nyt læremiddel stiller skarpt på, hvordan matematiklærere forbereder deres elever bedst på afgangsprøverne i 9. klasse – ikke kun fagligt, men også formidlingsmæssigt. TEKST MICHAEL KIRKEBY

”Jeg tror, de fleste undervisere har prøvet at lukke øjnene og ønske, at deres elevers lyst til matematik i højere grad voksede smukt og nysgerrigt op indefra. Og i mindre grad blev motiveret af udsigten til prøve, grønne duge og kold karaktergivning.” ”Men når vi åbner øjnene, fordamper idealismen forholdsvis hurtigt. Faktum er, at vi lever i et samfund og en kultur, hvor det har stor betydning at klare sig så godt som muligt til eksamen. Det gælder både på det symbolske plan og mere kontant i forhold til de videre uddannelsesmuligheder. Den virkelighed skal vi selvfølgelig forberede eleverne på.” Sådan siger Morten Bisgaard, der sammen med Mikkel Nørgaard er forfatterne bag det helt nye læremiddel Klar til afgangsprøverne i matematik. Med en baggrund som bl.a. lærer i matematik og fysik gennem de seneste 15 år har Morten Bisgaard mange 14

gange stået over for at skulle føre sine klasser helskindet gennem de afsluttende skriftlige prøver i 9. klasse – eller været censor ved mundtlige prøver. ”Selvfølgelig er der stor forskel på elever, på deres baggrunde og på, hvor godt en klasse fungerer. Men helt grundlæggende er langt de færreste elever ligeglade med at gå op til en prøve, og langt de fleste ønsker at klare sig godt. Sådan har det sikkert altid været. Men i de senere år er vi nok blevet mere bevidste om at klæde eleverne bedst muligt på til den særlige disciplin, det er at få demonstreret, hvad man kan, til en afgangsprøve.” ”Og det er baggrunden for det materiale, vi nu har på trapperne. Målet er at give matematiklærerne viden og inspiration til, hvordan de på bedste vis kan gøre deres elever klar til afgangsprøven. Det er ikke nok at være god til matematik. Du skal også være god til at vise

det. Som alt andet er det en færdighed, der kan trænes og læres.”

Hvad er den største udfordring for eleverne, når de skal til afgangsprøve i matematik? ”Det er helt sikkert den mundtlige kompetenceprøve, hvis eleverne kommer op i den. De obligatoriske skriftlige prøver med og uden hjælpemidler, dvs. det, der tidligere hed problemregning og færdighedsregning, har eleverne typisk øvet sig mere på. Skriftligheden fylder stadig rigtig meget i matematikundervisningen. En forklaring er naturligvis, at eleverne altid skal op til de skriftlige prøver, mens det ikke er tilfældet for den mundtlige prøve. Men måske skyldes det også, at det er nemmere at undervise i den skriftlige matematik, hvor der findes en masse materiale at vælge mellem, og som det er forholdsvist nemt at gå til. Det samme kan man ikke sige om

BLÅ BOG Morten Bisgaard er uddannet lærer i 2006 og underviser primært i fysik og matematik på Dyssegårdsskolen i Gentofte. Sideløbende har han taget en kandidatgrad i pædagogisk sociologi fra Aarhus Universitet. Morten Bisgaard er bl.a. forfatter til Klar til afgangsprøverne i matematik, som han har skrevet sammen med fagkonsulent i Børne- og Undervisningsministeriet Mikkel Nørgaard. FOTO KRISTIAN GRANQUIST

EKSAMEN

mundtligheden, som typisk er en lidt sværere og mere kompleks størrelse at håndtere.”

Hvordan er den mundtlige kompetenceprøve mere kompleks? ”Det er den, blandt andet fordi eleverne skal testes på seks forskellige matematiske kompetenceområder: 1) problembehandling, 2) modellering, 3) ræsonnement og tankegang, 4) hjælpemiddelkompetence, 5) repræsentation- og symbolbehandlingskompetencer, 6) kommunikationskompetence. Disse forskellige kompetencer kan hurtigt indgå i et komplekst samspil med hinanden, samtidig med at der er mere fokus på selve tankegangen end på evnen til at kunne lægge to brøker rigtigt sammen. På den måde er de mundtlige matematikkompetencer mindre håndgribelige sammenlignet med de præmisser, der gælder for den skriftlige matematik.” FOTO JANUS ENGEL/RITZAU SCANPIX

De er mindre håndgribelige for eleverne, men også for lærerne, når de skal træne eleverne i disse kompetencer? ”Absolut, det er klart en større pædagogisk udfordring end at undervise i mere eksakte færdigheder. I stedet handler det om at træne eleverne i at kunne handle hensigtsmæssigt i uforudsete situationer. Ved den mundtlige prøve bliver eleverne præsenteret for nogle problemstillinger og evt. noget bilagsmateriale, som de selv skal finde ud af, hvordan de vil behandle matematisk. Hvis de derfor er mest vant til at få at vide, præcis hvad en opgave går ud på, og hvad der forventes af dem, så kan det hurtigt blive en forvirrende situation, hvor eleven sidder og tænker: ’Hvad i alverden skal jeg gøre ved det?’” ”Vores ambitioner er at gøre det mere tilgængeligt for læreren at undervise i og med de matematiske kompetencer – både skriftlige og mundtlige.”

Kan du komme med et eksempel på det? ”Det er vigtigt at forstå at kompetencearbejdet ikke behøver speciel iscenesættelse. Et nemt greb i det daglige, fx i forhold til problembehandlingskompetencen, er, at læreren ’tænker højt’, mens forskellige åbne opgaver gennemgås. Læreren kan give eleverne forskellige benspænd, når de skal løse en opgave. Det kan være, at den skal indeholde en ligning, at en graf skal indgå, at der skal bruges et digitalt 16

AFGA

værktøj, at opgaven skal kunne løses på to forskellige måder osv. Der er mange muligheder for at udfordre eleverne.”

Hvornår er det bedst at begynde at træne i afgangsprøverne? Kan man begynde for tidligt og måske risikere at skrue for meget op for en præstationskultur? ”Det er op til den enkelte lærer at vurdere. Det kommer både an på det faglige niveau i den enkelte klasse, og hvordan den fungerer socialt. Nogle elsker og bliver meget motiverede af det, mens andre låser fuldstændig. Som lærere skal vi selvfølgelig passe på, at vi ikke gør de sidste par år til et langt udmattelsesløb frem mod målstregen for enden af 9. klasse. På den anden side er det, som nævnt, vores ansvar at klæde vores elever bedst muligt på. Alt andet vil være at gøre dem en bjørnetjeneste. I mange tilfælde kan man begynde stille og roligt i 8. klasse, men det er altid en balancegang.”

KLAR TIL RØVE RNE I MATE MATIK

NGSP

5 GODE RÅD TIL MATEMATIKLÆRERNE

Mikkel Nørgaa Morte rd og n Bisga ard La rsen Alinea

Klar til afgangsprøverne er en vejledning til lærere, der skal have elever op til afgangsprøverne i matematik efter 9. og 10. klasse. Med bogen følger adgang til det digitale forløb Klar til afgangsprøverne på Alineas matematikportal.

LÆS GERNE OP PÅ DE SEKS KOMPETENCEOMRÅDER, som gælder for prøverne. Det er især problembehandlings-, modellerings-, kommunikations- samt ræsonnements- og tankegangskompetencerne, som vægter tungt ved prøverne.

SØRG FOR AT ITALESÆTTE KOMPETENCERNE direkte over for dine elever, så de ved, hvad de konkret er, og kan handle efter dem. Det er vigtigt, at kompetencerne ikke bliver til tågede metabegreber for eleverne.

ØV KOMPETENCERNE igennem med dine elever, afprøv dem – og tro på, at det nok skal virke, selvom det kan være svært umiddelbart at måle effekten!

SØRG FOR AT HOLDE FOKUS på proces og tankegang – ikke kun på facit og output. Mange opgaver har ikke et entydigt facit, og ofte bedømmes proces og tankegang højere.

OG NÅR ALT DET ER SAGT. Det er vigtigt at klæde eleverne på til at gå til prøve. Men husk også, at faget matematik i sidste ende selvfølgelig er større end prøverne, trods alt.

REFLEX

MATEMATIK ER NOGET, VI DELER MED HINANDEN

" Det interessante er ikke resultatet, men hvordan du har tænkt

Marie, Anne-Christine og Dorte har de seneste to år arbejdet intensivt på matematiksystemet Reflex ved siden af deres arbejde som lærere. Et system, som vil sætte dagsordenen i klasselokalerne med fokus på undersøgende matematik, refleksion og sproglighed. Men også med tung vægt på at styrke en positiv læringskultur. Vi har bedt dem uddybe tankerne bag Reflex. TEKST ANDERS KLEBAK

FOTO ANITTA BEHRENDT

Et af de bærende elementer i Reflex er undersøgende matematik. Hvorfor er det overhovedet vigtigt?

Når eleverne skal undersøge, er der ingen givne svar. De lærer selv at finde en vej i et matematisk problem. Det tvinger dem til at tænke matematik på en anden måde, end hvis de sidder med en række udregninger. Samtidig styrker det lyst og motivation, fordi de finder frem til løsninger og oplever, at alle kan byde ind med noget. Det interessante er ikke resultatet, men hvordan du har tænkt, og hvad du kan lære af, hvordan de andre i klassen tænker. Når de selv skal finde vej, kan det give ahaoplevelser og følelsen af fremdrift. Men det kan også virke modsat. De kan gå i stå. Her er læreren yderst vigtig i forhold til at få dem på sporet igen. Derfor har vi lagt vejledende spørgsmål ind i Reflex, som læreren kan bruge til at få eleverne i gang igen.

Mange lærere vil gerne lave undersøgende matematik, men tænker: ”Åh, hvor uoverskueligt.” Hvad er jeres svar til dem? Jeg kan sagtens forstå, hvis man synes, undersøgelser i matematik kan virke lidt uoverskuelige. Især i starten skal man som lærer være åben over for, at det kan give noget uro. Børnene kan blive usikre, når de bliver sat over for noget nyt og ukendt. Men jo mere eleverne

får erfaring med undersøgelser, jo bedre bliver de til det. Det handler om at skabe gode og klare rammer, så det er tydeligt, hvad de skal undersøge. I Reflex er undersøgelserne bygget op, så det hele tiden er overskueligt, hvordan man griber dem an. I elevbogen møder eleverne fx en stor nøgle, hvor udgangspunktet for undersøgelsen er formuleret som et spørgsmål. Men derudover skal læreren turde træde et skridt tilbage og lade eleverne prøve sig frem. Man skal ikke give op, hvis det ikke fungerer med det samme. Jeg har selv kørt langsomt frem i mine klasser, hvor jeg stille og roligt har introduceret dem til at arbejde undersøgende.

Hvordan sikrer man, at eleverne rent faktisk lærer noget ved at undersøge? Opsamlingsfasen er altafgørende. Det er her, der er fokus på at dele erfaringer, refleksioner, og man får sat ord på det, man har arbejdet med. Vi gør meget ud af denne fase i Reflex, og eleverne tegner og skriver ned, hvad de har lært. Det gør de i en stor rygsæk i elevbogen som et billede på, hvad de hver især vil tage med sig gennem kapitlet. Der ligger også et stort element af selvstændighed og kreativitet i undersøgende matematik, som eleverne får trænet, når de kaster sig ud i åbne opgaver og træffer valg undervejs.

BLÅ BOG Anne-Christine Weber er matematiklærer og -vejleder på Bagsværd Skole. Hun har siden uddannelsestiden interesseret sig for at bruge undersøgelser og konkrete materialer i undervisningen og er blandt andet medforfatter på to bøger om konkrete materialer i matematik.

REFLEX

" Eleverne skal blive trygge ved sproget Refleksion over egne løsninger og andres bidrag og forklaringer er indarbejdet overalt i Reflex. For eksempel har vi i hvert kapitel et element, vi kalder ”Gi’ og Ta’”. Det går ud på, at eleverne efter en undersøgelse går rundt til de andre elever og sætter ord på, hvilke løsninger de har, hvordan de er kommet frem til dem, og samtidig hører, hvilke erfaringer deres klassekammerater har gjort. Det er elev-til-elev-samtaler, hvor eleverne er nysgerrige på hinandens bidrag og bruger det matematiske sprog i en samtale med refleksion. Når vi har afprøvet Reflex på skolerne, har vi opdaget, at det styrker elevernes refleksion, at de efterfølgende tegner den bedste løsning, de har hørt fra en anden elev. Det gør de konkret i elevbogens tegnede lup. Et andet eksempel er klassesamtalerne, hvor vi gennemgår den introtegning, som indleder hvert kapitel. Eleverne skal opleve, at matematik er noget, vi skaber og bliver klogere på i fællesskab.

I lægger meget vægt på elevernes sproglige udvikling. Hvorfor er det nødvendigt at arbejde med sproget allerede i de små klasser? Opgaven i indskolingen er at lægge et fundament, og jo mere avanceret matematikken bliver i løbet af skoletiden, jo mere afgørende bliver det, at eleverne

kan udtrykke sig præcist. Det handler om at gøre eleverne trygge ved det matematiske sprog, opbygge deres begrebsforståelse og anvende begreberne i samtaler, så det bliver nemmere at bygge ovenpå senere. I Reflex har vi flere elementer, der støtter op om sproget. Fx har vi skabt små faglige film, der fungerer som eksemplariske definitioner af begreberne. Dem kan eleverne både se i starten og som afslutning på kapitler, men de kan også genbesøge dem, hvis de skal have opfrisket et begreb.

Hvorfor skal eleverne lære at tale om matematik? Eleverne møder matematik alle vegne. Også uden for skolen. Når de får lommepenge, optjener point i et computerspil, er med ude at handle og så videre. Jo mere eleverne taler om matematik, jo mere de sætter ord på, desto skarpere bliver de på at forstå matematik og begå sig matematisk – ikke kun i skolen, men også i hverdagen. Der er også bare en glæde ved at gå til matematikken på den her måde. Jeg synes, det har været tydeligt med mine egne elever, at det vækker deres nysgerrighed, når de fx skal gå på opdagelse i en tegning for at lede efter figurer i fællesskab i klassen. Alle bidrager, og de kan blive ved med at gøre nye opdagelser. De kan næsten ikke få fingrene ned igen.

BLÅ BOG Marie Proschowsky er matematiklærer på Søborg Skole og er i gang med uddannelsen som matematikvejleder. Hun har mange års erfaring med matematik i indskolingen og ynder at inddrage it i sin undervisning og er optaget af, hvordan elevernes arbejde med modellering kommer godt fra start i indskolingen.

REFLEX Reflex er Alineas nye matematiksystem til indskolingen, der har fokus på undersøgende matematik og den gode læringskultur. Reflex er udkommet til 0. og 1. klasse februar 2021. Læs mere om Reflex, og få en smagsprøve på alinea.dk. 20

FOTO ANITTA BEHRENDT

Systemet hedder Reflex, hvorfor?

REFLEX

" Eleverne skal dele deres viden, ideer og gode humør med hinanden I vil gerne styrke en positiv læringskultur. Hvad mener I med det? Det handler om at ændre synet på fejl. Det er her, nøglen ligger til at skabe en positiv læringskultur. Der har i matematik tidligere været en nulfejls-kultur og et fokus på kun ét facit. Det er faget på vej væk fra, men det er stadig svært – ikke kun på grund af nulfejls-kulturen, men i særdeleshed også, fordi alle mennesker synes, det er ubehageligt at begå fejl. Vi bliver ramt af negative tanker, når vi begår dem, og samtidig er vi nødt til at fejle for at lære nyt. Vi skal arbejde for en kultur, hvor alle elever har lyst til at bidrage, og hvor alle bidrag bliver taget positivt imod.

Skal matematiklærerne til at lave om på sig selv for at kunne undervise på den måde? Lærerne skal bestemt ikke lave om på sig selv, men det kan være en udfordring at lede et reflekterende læringsrum. Gennem vores egen praksis og ud fra samtaler med andre lærere ved vi, at det kan være meget svært at overskue læringsprocesser for en hel klasse og den enkelte elevs bidrag. Derfor stilladserer vi det undersøgende arbejde, så læreren får hjælp til at strukturere det og danne sig et overblik. Helt konkret får læreren et notatark til undersøgelserne. Her kan potentialerne i det, eleverne siger, let skrives ned, så læreren kan huske det og bruge det i opsamlingen med eleverne. Notatarket har samtidig eksemplariske spørgsmål, som kan bruges både til de elever, der har brug for et fagligt løft, og til dem, der skal udfordres fagligt.

BLÅ BOG Dorte Vestergaard Hansen er lærer og matematikvejleder på Søborg Skole. Hun har deltaget i at udarbejde Gladsaxe Kommunes handleplan for matematik, ser matematik alle vegne og underviser både elever i matematikvanskeligheder og elever med særlige forudsætninger.

FOTO ANITTA BEHRENDT

Hvordan kan et matematiksystem ændre på læringskulturen? Det kan det ikke i sig selv, men det kan understøtte lærerne i at skabe et læringsrum, hvor klassen deler deres matematiske viden, idéer til problemløsning, strategier og forklaringer. Og ikke mindst deres gode humør og villighed til at se potentialet i hinandens bidrag. Når vi laver undersøgende matematik i Reflex, arbejder eleverne sammen i par, og klassen udveksler erfaringer

i fællesskab, når vi samler op. Det er et fast, tilbagevendende element, at eleverne skal tegne et eksempel på en løsning, nogle af de andre elever har valgt. På den måde sætter vi fokus på, at eleverne tænker forskelligt, og at det er værdifuldt.

ANIMATION

GUIDE:

SÆT MATEMATIKKEN I

II BEVÆGELSE E B S E L V E Æ G B SE Lærer Nanna Filt Christensen leger matematik ind ved at bruge animationer i GeoGebra, så elevernes færdigheder og motivation flytter sig i takt med dansende påskeæg på skærmen. TEKST ANNETTE HAUGAARD

1 SJOVT ER IKKE SPILD AF TID ”Nogle synes, at animationer er for pjattede, men vi bruger mange timer på matematik i skolen, så hvorfor ikke gøre det sjovt? Jeg øver også gangestykker i hovedet med mine elever, og animationer skaber gejst til at gide det. De tager arbejdet med animationer meget seriøst, og hvis de fx programmerer, så heksen flyver baglæns, er de ekstra motiverede for at lære, hvordan de retter det til forlæns.”

INSPIRATION TIL ANIMATIONSFORLØB

2 NØRD ET PAR TIMER ”Hvis man kan GeoGebra på grundniveau, er det bare at kaste sig ud i det. Jeg har sat mine kolleger på tværs af alder og køn ind i at bruge animationer på en time, og ellers kræver det måske en aften derhjemme eller et fagteammøde, hvor man nørder med det og ser nogle videoer om, hvordan man gør. Der er gratis hjælp at hente i Facebook-grupper, på YouTube, min hjemmeside eller www.GGBlær.dk.”

SÆT I BEVÆGELSE Eleverne modellerer en bevægelig krop i GeoGebra og gentager bevægelserne med deres egen krop. Sværhedsgraden kan øges ved at lade eleverne tjekke, hvordan kroppen konkret bevæger sig og derefter rette animationen til, så fx arme og ben bevæger sig i cirkelbuer med centre de rette steder, og de overvejer bevægelseshastigheden.

4 3 LÆG LÆREBOGEN VÆK ”Nogle oplever, at der ikke er tid til andet end at gennemgå grundbogen, men det er en misforståelse. Man kan sagtens finde tid til 2-3 animationsforløb i årsplanen, fx op til en højtid eller sommerferien, og det tager ikke længere tid at arbejde med matematik via animationer end på traditionel vis.”

TVIVL ER OKAY ”Man behøver ikke være ekspert i animationer fra begyndelsen. Det er ikke nødvendigt for elevernes udbytte, og jeg oplever stadig, at elevernes idéer overstiger enten GeoGebras muligheder eller min fantasi til, hvordan man skaber en eller anden animation. Det er helt okay at sige ’Det ved jeg ikke, om vi kan få den til, men jeg prøver at undersøge det’.”

SPIL-PROGRAMMERING Eleverne laver små spil med animationer, hvor de fx skal styre et punkt igennem en bane af bevægelige objekter. Med simpel programmering i GeoGebra kan der dukke en game over-besked op, når elevens punkt kommer i berøring med et af objekterne. Opgaven lægger sig op ad den computationelle tankegang, som programmeringssprog kræver.

DYNAMISKE GÆKKEBREVE Eleverne laver gækkebreve med flytningsværktøjerne spejling og drejning og sætter derefter alle figurer i bevægelse med symmetri i gækkebrevet. Optag små film/screencasts af alle elevers gækkebreve, og klip det sammen til en fælles film, som forældrene modtager, og hvor de skal gætte, hvilken animation deres barn har lavet.

Nanna Filt Christensen er IT-vejleder og matematiklærer på Taastrup Realskole og holder desuden foredrag og kurser om GeoGebra og deler inspiration på www.nannafiltchristensen.dk. I 2020 vandt hun Politikens Undervisningspris for virtuel undervisning i sit klasselokale bygget af Lego, hvorfra hun lavede små film til sine 4. klasses-elever i matematik. Hun er desuden forfatter til to forløb på Alineas matematikportal, Animation i GeoGebra til udskolingen og Indbrud i borgen til mellemtrinnet.

FOTO KRISTIAN GRANQUIST

”Se, det er min!” siger en dreng, da en kantet, hvid kanin skifter form på skærmen og bevæger sig glidende rundt for kort efter at blive afløst af et påskeæg med prikker, der hjuler rundt akkurat som øjnene på en efterfølgende gul kylling. Figurerne er hver især lavet af 5. klasse lige før påske og klippet sammen til en lille film, som alle nu ser med stor begejstring. Det er et klassisk eksempel på, hvordan Nanna Filt Christensen arbejder med animationer i GeoGebra. Gennem årene har hun udviklet utallige undervisningsforløb med animation, så elever på alle klassetrin kan lære snart sagt alt i matematik ved at forme figurer og punkter og sætte dem i bevægelse. ”Animation er en spændende måde at komme bredt omkring i både matematik og GeoGebra, og eleverne bruger en masse timer i programmet uden at lægge mærke til det. Animation har mange anvendelsesmuligheder og kan både bruges til at lære nye emner og programtekniske ting og til at repetere på en anderledes og livlig måde. Det får matematik væk fra det facitorienterede og giver plads til stor svardiversitet og differentieret undervisning, så nogle kan lave en enkel figur, mens andre kæler for detaljerne, og det ene er ikke mere rigtigt end det andet. Ofte får de kreative og omhyggelige elever et boost, så der er plads til andre end dem, der altid er hurtigst færdig med gangestykkerne,” siger Nanna Filt Christensen.

KONSOLIDERING

" Lærerne skal arbejde langt mere målrettet med

”Det var et kæmpe rum, som var en kombination af bibliotek og klasseværelse og dagligstue og poesirum og laboratorium, det var det hele, og der var 40 elever, og læreren stod midt i det hele.” Sådan fortæller Dorthe Geisnæs og Preben Olund Kirkegaard, henholdsvis lektor og docent ph.d. ved Professionshøjskolen UCN, om deres besøg i en 7. klasse i Ontario-provinsen i Canada i 2015. Besøget var deres første møde med en undervisning, der havde et målrettet fokus på konsolidering, og på trods af at scenen kunne virke overvældende, så foregik undervisningen til deres overraskelse særdeles roligt og afslappet. ”Eleverne var inddelt i grupper, og de skiftede mellem de forskellige stationer – nogle sad i dagligstuen og hæklede, mens andre

var i laboratoriet og så videre – og vendte så tilbage til læreren indimellem, hvor hun hver gang talte med dem og nærmest tvang dem til at reflektere over, hvad de arbejdede med,” fortæller Preben Olund Kirkegaard, der tilføjer, at selvom eleverne blev undervist i sessioner af to timer, var der ingen problemer med at holde koncentrationen – simpelthen fordi det hele foregik så afslappet som en følge af fokusset på konsolideringssituationerne.

konsolidering

FOTO HANS CHRISTIAN JACOBSEN

Konsolidering gør ikke bare eleverne bedre til at huske, hvad de har lært, og dermed bedre til at bygge nyt ovenpå. Det er også en guldmine for læreren, som får en langt bedre forståelse af, hvad der virker i undervisningen, og hvad der ikke gør. Derfor bør lærerne arbejde langt mere bevidst med konsolidering, mener Dorthe Geisnæs og Preben Olund Kirkegaard fra Professionshøjskolen UCN. TEKST HANS HENRIK RASMUSSEN

KONSOLIDERING

Mere og andet end gentagelse Og her er det nok bedst at skynde sig at forklare, lige præcis hvad konsolidering er. Det er ifølge Dorthe Geisnæs og Preben Olund Kirkegaard nemlig ikke noget, som nødvendigvis står klart for den enkelte lærer ude på skolerne. ”Konsolidering handler om, at læringen sætter sig fast – det gælder om at bygge bro mellem den gamle og den nye læring,” siger Preben Olund Kirkegaard. ”Eleverne skal kunne genkende det, de tidligere har lært, og anvende det i læringen af noget nyt.” Dorthe Geisnæs fortsætter: ”Der er selvfølgelig nogle grundlæggende forudsætninger for, at man kan komme over den bro, og her er gentagelsen som konsolideringsaktivitet en del af det: Man skal kunne læse, man skal kunne den lille tabel osv. Men konsolidering handler ikke bare om træning, men i endnu højere grad om, at læreren sørger for at arbejde med det, der er vigtigst at få til at sidde fast hos eleverne. Derudover handler konsolidering om at aktivere elevernes forforståelse, så de ikke føler, at de står over for noget fuldstændigt nyt og fremmed, men derimod forbinder det til ting, de tidligere har arbejdet med i faget,” siger hun. De to forskere taler således om, at der er tre dele i undervisningen: tilegnelses-, afprøvnings- og konsolideringssituationer. Tilegnelsessituationer er formidling af nyt stof, afprøvningssituationer er, hvor eleverne laver øvelser med eller uden instruktion, og hvor de to første situationer er velkendte for lærerne, tyder meget på, at den tredje del, konsolideringssituationer, er ukendt for de fleste. Det var én af indsigterne, de fik fra et forløb tilbage i 2017, hvor de gennem et halvt år fulgte 28

BLÅ BOG Lektor Dorthe Geisnæs er uddannet folkeskolelærer og har arbejdet ti år i folkeskolen, tog derefter en master i læreprocesser og har de seneste fem år arbejdet i Professionshøjskolen UCN’s efter- og videreuddannelse, act2learn. Ph.d. Preben Olund Kirkegaard er cand. pæd.pæd.docent og forskningsfaglig leder af forskningsprogrammet ’Professionsudvikling og uddannelsesforskning’ ved Professionshøjskolen UCN. Sammen har Dorthe og Preben udgivet bogen Metakognition, selvregulering og konsolidering.

undervisningen på Stolpedalsskolen i Aalborg og gav råd til lærerne om konsolidering og så, hvordan det virkede for eleverne.

Gode erfaringer fra Aalborg I Canada besøgte Dorthe Geisnæs og Preben Olund Kirkegaard også The National Center for Research, Ontario Ministry of Education, hvor de hørte mere om de positive effekter af fokusset på konsolidering, og sidenhen har de som sagt også herhjemme oplevet fordelene. For eksempel fulgte de en klasse i naturfag, hvor læreren havde taget modeller fra lærebogen ud og lamineret dem, så eleverne fik dem i hånden og så skulle bruge dem i stedet for bogen til at tale ud fra. ”Det havde en enorm god effekt. Eleverne sad og skrev ned og talte om det og forklarede det for hinanden, og nogle gange spurgte hun dem, om de kunne forklare noget eller bad dem gentage noget, for på den måde at øge deres forståelse, og nogle gange, når det var nødvendigt, forklarede hun det selv. Det var enormt aktiverende for eleverne,” fortæller Preben Olund Kirkegaard og tilføjer, at læreren havde registreret et kraftigt fald i dumpeprocenten efter på den måde at have opprioriteret konsolideringen. Dorthe Geisnæs efterlyser samme fokus fra andre lærere. ”Mange føler måske allerede, at de arbejder med konsolidering, og det gør de helt sikkert også i nogen grad, men der mangler en bevidsthed om, hvordan man kan gøre det mere målrettet og mere hensigtsmæssigt, så eleverne tager endnu mere med,” siger Dorthe Geisnæs. ”Og der er utroligt mange lavthængende frugter at hente her,” siger Preben Olund Kirkegaard. ”Det kan være noget så simpelt, som at eleverne i slutningen af timen får en lille post-it-seddel, som de skal forklare et centralt begreb på og så give til læreren, eller det kan være, at læreren i slutningen af timen skriver de tre vigtigste ting fra undervisningen op på tavlen, og hele klassen så taler om dem. Sådan en opsummering gavner hele klassen – både de kvikkeste og dem, der har sværere ved det.” ”For nogle år siden var vi ude i en 5. klasse, og her bad man eleverne om at forklare det, de lige havde lært om nogle gange-metoder, til en 4. klasse. Det var der også rigtig meget konsolidering i,” siger Dorthe Geisnæs.

”Her kom eleverne jo til at være i både en modtager- og afsenderposition, og så er de virkelig i gang med at konsolidere, fordi de kommer til at reflektere over deres egen læring,” siger Preben Olund Kirkegaard. Som et andet eksempel på en konsolideringsaktivitet nævner Dorthe Geisnæs, at nogle elever kan få til opgave at lave en quiz, som de andre i klassen så skal svare på – igen er det noget, som får eleverne til at tænke over, hvad de har lært.

3 GODE RÅD

TIL KONSOLIDERINGSAKTIVITETER I UNDERVISNINGEN

Lærerne kan også lære Dorthe Geisnæs og Preben Olund Kirkegaard fremhæver også, at konsolideringsaktiviteterne giver læreren adgang til en meget stor indsigt i, hvordan eleverne tager imod undervisning. Det gør det muligt for læreren at se, hvad der fungerer, og hvad der ikke fungerer. ”Lærerne får simpelthen adgang til en guldmine,” siger Preben Olund Kirkegaard. ”Når eleverne beskæftiger sig med deres egen læring, kan læreren se og høre, hvordan eleverne lærer, hvad de har forstået og ikke forstået, og så er det så vigtigt, at lærerne også retter ind efter den viden. Måske viser det sig, at læreren skal tale mindre, når noget stof er svært forståeligt, eller måske skal det tages i mindre bidder og gentages af eleverne selv. På den måde kan konsolideringsaktiviteterne knytte forbindelse mellem, hvordan eleverne lærer, og hvordan undervisningen er tilrettelagt.” Med hensyn til at udforme undervisningen med et større fokus på konsolidering forklarer Dorthe Geisnæs, at det selvfølgelig er afhængigt af, hvilket klassetrin det drejer sig om. Grundlæggende er der dog tale om samme fremgangsmåde. ”Jo ældre eleverne er, des mere kompleks kan man lave undervisningen. I de mindre klasser fylder repetitionsdelen mere, og det er først på de højere klassetrin, at de begynder at kunne sige noget om, hvordan de bedst lærer og så videre. Så der vil læreren kunne finde på mere udfordrende måder at lave konsolidering på. Men grundtanken er den samme: at finde ud af, hvad eleverne ved i forvejen og koble sig på det. Og så hele tiden samle op. For eksempel ved at begynde timen med at sige: Hvad var det, vi havde om sidste gang? På den måde trækker man hele tiden tråde tilbage til det, de lavede tidligere. Opgaverne kan så blive sværere, jo ældre eleverne er, men de tanker, lærerne skal gøre sig, er ikke anderledes.”

AKTIVÉR FORFORSTÅELSEN

Eleverne ved ofte meget i forvejen, og har man fx om geometriske figurer på mellemtrinnet, kan man fx bede eleverne om at vise nogle geometriske figurer for hinanden ved hjælp af et stykke tov og så tale om, hvad de ved om det, derudfra.

BRUG REVOICING

SØRG FOR OPSAMLING

Læreren kan fx sige: ”Det, du sagde der, det var godt. Kan du lige sige det igen?” Bare det at gentage nogle vigtige ord kan øge forståelsen.

Læreren kan fx slutte timen med i fællesskab med eleverne at skrive de tre vigtigste ting fra timen op på tavlen, eller eleverne kan selv skrive tre pointer ned og diskutere dem med sidemanden.

FOTO HANS CHRISTIAN JACOBSEN

" Der mangler en bevidsthed om, hvordan man kan gøre det mere målrettet og mere hensigtsmæssigt, så eleverne tager endnu mere med.

KONSOLIDERING Annette Lilholt er uddannet folkeskolelærer og matematiklærer, matematikvejleder og læringsvejleder på Skolecenter Jetsmark.

" Arbejdet med elevernes

forforståelse er rigtig godt givet ud

TEKST HANS HENRIK RASMUSSEN

To 9. klasser skal arbejde med rumgeometri. I den ene spørger læreren ud i klassen, hvad eleverne ved om rumfang, fire elever rækker hånden op og svarer, og herefter går læreren i gang. I den anden 9. klasse bruger læreren de første tre lektioner på at aktivere elevernes forforståelse, det vil sige få dem til at genkende det, de allerede ved om rumgeometri, og først derefter begynder læringsaktiviteterne. ”Eleverne startede med at sidde i fem minutter og skrive løs om alt, hvad de vidste om geometriske figurer og rumfang,” fortæller Annette Lilholt. Hun er matematiklærer, matematikvejleder og læringsvejleder på Skolecenter Jetsmark, og hun har netop været ude i de to 9. klasser og set den forskel, som et fokus på konsolideringsaktiviteter kan gøre. ”Forskellen var, at i den ene klasse var det kun fire elever, der bidrog, mens det i den anden var alle elever, der måtte aktivere deres forforståelse,” siger hun og fortsætter: ”I den anden klasse blev eleverne efter

FOTO HANS CHRISTIAN JACOBSEN

I en tid, hvor matematiklærere måske skal kæmpe mere for elevernes opmærksomhed end nogensinde før, er det blot endnu vigtigere at sikre, at læringen sidder fast, og her er konsolideringsaktiviteter et uvurderligt redskab – også til at aflaste læreren. Det mener matematiklærer, matematikvejleder og læringsvejleder Annette Lilholt, som her giver nogle gode råd til, hvordan du kommer i gang med aktiviteterne i din undervisning.

KONSOLIDERING

" Men Annette Lilholt mener ikke, at konsolideringsaktiviteterne skal ses som særligt tidskrævende, tværtimod kan de være med til at gøre undervisningen langt mindre krævende for læreren.

skriveøvelsen sat i grupper, hvor de delte den viden, de havde skrevet ned, med hinanden og lavede en planche om deres samlede forforståelse. De plancher blev hængt op i klasseværelset og udgjorde så klassens forforståelse. Først herefter gik de i gang med opgaverne. Da emnet om rumgeometri var slut, fik grupperne deres plancher tilbage og kunne så med en anden farve skrive til, hvad de nu vidste om emnet.” Ifølge Annette Lilholt blev det snart tydeligt, at de indledende øvelser havde en effekt, for det viste sig, at der i den første 9. klasse, hvor eleverne gik meget hurtigt i gang, snart opstod uklarhed om, hvad rumfang egentlig var, og klassen måtte derfor begynde forfra. ”Så den tid til at arbejde med elevernes forforståelse er rigtig godt givet ud. Det giver en meget bred forforståelse, og det kommer ud til hele klassen, alle elever bidrager – der er ikke mange, der bare sidder og tænker, at ’det er der jo bare nogle af de andre, der svarer på’.”

Det tager ikke længere tid Annette Lilholt arbejder ude i klasserne, hvor hun taler med lærerne og giver gode råd til undervisningen. Hun fortæller, at hun her ofte bliver mødt med indvendingen om, hvordan læreren skal få tid til det hele. Men Annette Lilholt mener ikke, at konsolideringsaktiviteterne skal ses som særligt tidskrævende, tværtimod kan de være med til at gøre undervisningen langt mindre krævende for læreren.

”De indvendinger, jeg oftest hører, er: ’Eleverne kan alligevel ikke huske noget i dag, for de sidder bare med deres telefoner’ og ’Jamen, Annette, hvordan skal jeg dog nå alt det?’ Men hvis det kniber med opmærksomheden, er det jo blot endnu vigtigere at lave de konsolideringsaktiviteter, som sikrer, at læringen sidder fast. Og med hensyn til den anden indvending, så tror jeg, at mange lærere bruger enormt meget energi på at styre klassen. De vil gerne skabe ro, og de vil gerne være sikre på, hvad der sker i undervisningen, mens man i konsolideringsaktiviteterne i langt højere grad inddrager eleverne. Det betyder, at det er mere usikkert, hvad der kommer til at ske i en time, men til gengæld betyder det også, at læreren snarere får en konsulentrolle eller en vejlederrolle. Læreren skal i højere grad lytte til, hvad der sker i grupperne, spørge ind til, hvad de taler om, og på den måde bliver eleverne langt mere aktive, mens læreren

BLÅ BOG Annette Lilholt er uddannet folkeskolelærer og matematiklærer, matematikvejleder og læringsvejleder på Skolecenter Jetsmark.

ikke bare står ved katederet og fylder mere og mere på,” siger hun. Hun nævner også et andet eksempel fra en 8. klasses matematikundervisning. Her skulle eleverne lave prøven uden hjælpemidler, men inden de begyndte, bad læreren dem om at sætte enten a, b eller c ud for hver opgave, alt efter om de mente, de kunne løse den, var i tvivl eller ikke mente, de kunne. ”Bagefter reflekterede de så over, hvorfor de havde kunnet løse nogle opgaver, som de ikke troede, de kunne, eller hvorfor de ikke kunne løse nogle, som de havde troet, de kunne. Den refleksion giver meget mere end bare at løse 50 opgaver. For det får eleverne til at reflektere over, hvad de egentlig ved, og hvad de har brug for at lære,” forklarer Annette Lilholt og tilføjer, at både det og det ovenstående med 9. klasserne også er gode eksempler på, hvordan man som lærer kan begynde på konsolideringsaktiviteterne med nogle relativt simple øvelser, så det ikke bliver for overvældende.

ANNETTES 5 TIPS

TIL KONSOLIDERINGSAKTIVITETER

Opstil mål for din undervisning, og medtænk elevernes forhåndsviden og det nye, de skal lære.

• Lad eventuelt eleverne skrive begreberne på postit-sedler, og sæt dem op på tavlen, og tal om dem, sortér dem osv.

Brug tid på at aktivere elevernes forforståelse – alle elevers.

• L av mindmaps om emnet.

• L ær at lytte til dine elever.

•G iv eleverne fem minutter til at skrive alt, hvad de ved om emnet, ned.

•T ræn din spørgeteknik: Hvordan stiller man de gode spørgsmål, der får eleverne til at reflektere?

•S øg på nettet om emnet.

Frem elevinddragelse – alle elever skal være aktive.

Lad dialogen spille en fremtrædende rolle, lad eleverne sætte ord på deres forståelse, lad dem uddybe og diskutere læringen.

Arbejd med konsolideringsaktiviteter gennem hele forløbet.

styre, hvad de giver feedback på, så det ikke bare handler om, hvad der er godt eller dårligt. Det kan for eksempel være specifik feedback på diagrammerne i en tekst. • Opsummer altid til sidst: Udpeg de vigtigste pointer, strategier, ord og begreber.

FOTO HANS CHRISTIAN JACOBSEN

• Lav summe-øvelser, hvor eleverne summer to og to om det kommende emne og skriver et par begreber ned sammen med et par spørgsmål, de bliver nysgerrige efter at vide mere om.

• Lad elever undervise andre yngre elever – det at skulle undervise i noget er i høj grad med til at fastholde ens egen viden.

• L ad eleverne give hinanden feedback, men sørg for at

FORMIDLING

EINSTEIN + TV-STJERNE

= JO RØISLIEN Han har haft flere tv-seere end X Factor herhjemme. Han skriver autografer på gaden og tager selfies med fans. Man skulle tro, at han var rockstjerne. Det ville han også gerne være som barn, men blev statistikprofessor i stedet for. Hemmeligheden bag Jo Røisliens popularitet er at få matematik til at handle om livet. TEKST LINE FELHOLT FOTOS ODA HVEEM

FORMIDLING

Hvis man skulle lave Jo Røislien om til en måleenhed – og hvorfor egentlig ikke? – så ville en ’Jo’ være lang, skæv og nok også lidt ulogisk. For hvor består fornuften i, at en statistikprofessor er en af Norges mest populære tv-personligheder?  Skal man regne dén ud, bliver det et plusstykke, der involverer over 677.000 seere og en hulens masse autografer. For Jo Røislien er en matematiknørd med rockstjernestatus i Norge. Hans programrække ”Siffer” blev på finaleaftenen set af 40 procent af alle dem, der så tv. Hans programmer om matematik havde flere seere end den seneste danske X Factor-finale. Vel at mærke programmer, der handler om talsystemer, geometri, spilteori og skalering. ”Noget af det smarteste, jeg gjorde, da jeg begyndte at lave tv for 10 år siden, var at samarbejde tæt med folk, som ikke var specielt interesserede i matematik,” siger Jo Røislien. Man skal da heller ikke se mange minutter af hitserien ”Siffer” for at forstå, hvorfor tv-seere i hobetal har lænet sig frem i lænestolen. ”Programmerne blev en enorm øjenåbner for folk. Matematik var pludselig interessant, underholdende og spændende. Bare det at vi smilede, mens vi talte om matematik, var utænkeligt,” fortæller Jo Røislien.

Angst for matematik

med stolthed, at de er dårlige til matematik. Man bliver helt træt af at høre på det. Og det tunge hverdagsjob i dét falder jo hos matematiklærerne ude på skolerne,” siger Jo Røislien. Og så er vi ved det, som Vild med matematik har sat ham i stævne for: formidling af matematik. For hvordan gør man det, så endnu flere elever læner sig frem over skrivebordet? ”Det er blevet bedre. Jeg oplever, at børn og unge har fået en større forståelse for, at tal og matematik siger noget vigtigt om verden. Men vi skal endnu længere. Vi skal integrere matematik i samfundsfag, kultur og teknologi, så elever forstår, at det hele er blandet sammen,” mener Jo Røislien.

AT LEGE

HUSK Det er 10 år siden, at ! G LE R N E M E D RE ”Siffer” blev sendt på inger af ø n er b jn u k e k ik NRK. Efter den kom en d an s k ultiplika Ligesom ik ikke m t a e m g e n t r ma lang række populærvidenn og u hvis bør verber, e , k n æ m T o . om s ellen skabelige serier på Norges t e ks t e r tionstab e iv , r k s t de b ø ger k lov a nationale tv-station. sp æn den aldrig fi e s r e læ b r r e e je v n ell Nordmændene talte om skulle bø merferie n u k e n ig e ll ing. A nsk tim matematik og videnskab på s o p by gn men i da g e in t n a t æ m gør i ser e s , v i of t e en helt ny måde i de år. Men t og analy e e d d e t k a r ik ne og t ak k u å regler vel er de p der er også et ’men’, som r e r e . s e rn i fo k u r af regle matik. V fører helt op til i dag. vendelse n a e v jo s ”Serien gjorde en forskel. Jeg skriver stadig autografer og tager selfies med folk på gaden. Alligevel må jeg med tristhed sige, at vi nu 10 år efter stadig snakker om matematik som noget, man nærmest kan have angst for. Politikere og skuespillere, som er i en magtposition, står stadig frem i interviews og siger 36

3 GODE RÅD TIL FORMIDLERE AF MATEMATIK

HUSK, AT DET IKKE ER FARLIGT AT REGNE FORKERT!

D RO P D E TO STRE GER UNDER S VARET! Jeg har ik ke

s at t o s t r siden jeg e g e r un d e var færdig r svaret, i skolen. M er i sig se atematik lv perfek ken t, e t e g e t kun finde univers, h s rigtigt o v o r der g fo ingen grå rkert, sor zoner. Me t og hvidt n , og m atematik de s p å en ken skal a uperfek t n v v e enr d e n, s o m b e s t å r af i de t st or forskellig e h e e le n u an c e r a bringe ma f gr åt . D e tematikk t a t e n ind i det ikke mind gr å g ø r d r e s m uk e en ller dårlig den st ær e r e. D e t g ø r kere og m ere releva nt .

Jeg er statistiker og forsker i sundhed. Det er matematik, som handler om liv og død – bogstavelig talt. Alligevel regner jeg forkert hele tiden. Men jeg er ikke så bange for at regne forkert. Jeg er bare blevet rigtig god til at finde fejlene og rette op på dem, så det bliver rigtigt til sidst.

FORMIDLING

Corona er verdens bedste case

4 HURTIGE

TIL JO RØISLIEN

Hvad var dit forhold til matematik, da du var barn?

Hvordan går det med matematikfaget i norske skoler?

Hjælper humor på formidlingen af matematik?

Har du et yndlingstal, eller har tal en farve i dit hoved?

”Jeg var ikke god til tal. Jeg var mere fascineret af at forstå strukturer i verden. For eksempel vidste jeg ikke, hvordan man fik venner, så jeg måtte studere, hvad andre mennesker gjorde og sagde. Jeg ledte efter systemer i verden. Men multiplicere og dividere var jeg ikke god til, for det var ikke matematik for mig.”

”Skolen er blevet meget dygtigere til at undervise i matematik. I Norge er der indført en ny læreplan, som hedder ’Fagfornyelsen’. Den siger, at matematikfaget skal bruge mere komplicerede problemstillinger og vise eleverne, at der er flere måder at løse det samme problem på. At matematik kan være kreativt.”

”Det er ikke vigtigt at være morsom. Men al god kommunikation er emotionel. Den del af befolkningen, som er glad for fakta, er i mindretal. De fleste mennesker siger: ”Javel, okay, det er facit”, og så stopper al snak der. Matematik skal være noget, vi taler om, ligesom vi taler om Game of Thrones og Fortnite. Der kommer det til at handle om følelser.”

”Nej. Og det er bevidst, at jeg svarer på den måde. Den type spørgsmål forhindrer, at vi bygger bro mellem dem, der interesserer sig for matematik, og alle dem, der ikke gør. Vi bliver nogle særlinge, som er alt for forskellige.”

Til hverdag arbejder han som professor i medicinsk statistik. Oprindeligt er han uddannet ingeniør og har en doktorgrad i geostatistik med fokus på petroleum og olie. For ham er der ikke langt fra råstoffer til hjertesundhed, fordi det alt sammen handler om at bruge tal til at forstå strukturer i verden. Det er for ham langt mere interessant at bruge matematik på levende ting end døde. Og det vil det formentlig også være for andre. ”Traditionelt bruger man matematik til at lave biler eller planlægge en rejse til Mars. Døde ting. Som ingen mennesker forstår. Kobler man matematik til det levende, bliver det spændende,” mener han og giver et aktuelt eksempel: ”Coronapandemien er en helt utrolig gratis case til at vise vigtigheden af tal og matematik. Der findes masser af grundlæggende matematik i en smitsom sygdom. Den vigtigste ting, hvis du spørger mig, er eksponentiel vækst, som Einstein kaldte ’den stærkeste kraft i universet’. Det er den, politikerne har med at gøre lige nu. At 1 bliver til 2, som bliver til 4, 8, 16, 32. Det er det, der gør, at vi skal vaske hænder. Corona er verdens bedste eksempel på, hvad der sker, når eksponentiel vækst rammer et samfund,” forklarer han og giver et eksempel mere: Når vi taler om kontakttallet, som kan være over eller under 1, så har vi muligheden for at lære elever i skolen, at det ikke altid er 0, som er 0. ”I det her tilfælde er det 1, som er 0. Pludselig er tallene anderledes. Nu kan vi diskutere, hvad tal egentlig er,” foreslår Jo Røislien.

Det abstrakte skal med  Et af de problemer, som matematikfaget har, er, at: ”Det frarøver mennesker at være mennesker”, som Jo Røislien udtrykker det. Matematik er til forskel fra dansk et fag, hvor der kun er rigtige eller forkerte svar. Staver eleven forkert i dansk, skal læreren nok forstå meningen. Regnes der forkert i matematik, får eleven at vide, at det er forkert. Der er ikke noget tolkningsrum i matematik. ”Det gør matematik til et meget nøgent fag. Der er ingen steder at gemme sig, hvis

" Men tænk, hvis vi for eksempel kunne fortælle alle de børn, der går op i klimakrisen, at det ikke er politik, men matematik, der kommer til at redde verden. man ikke får det rigtige resultat. Derfor kan matematik godt opleves som noget, der frarøver eleven at have en personlig opfattelse, som jo ellers er det, der gør os til mennesker. Derfor er det vigtigt at få den abstrakte overbygning på matematik med,” mener Jo Røislien. Når man lærer elever, hvordan de skal regne omkredsen eller diameteren ud på en cirkel, er det ifølge Jo Røislien godt at gå ud i virkeligheden og vise eleverne, at i naturen findes der ingen perfekte runde cirkler. Er et bilhjul eller et æg for eksempel rundt nok? Hvad betyder det for de matematiske formler? ”Der er ingen af de problemer, jeg løser inden for sundhed, som har en perfekt matematisk formel, og som forstår kroppen fuldstændig. Derfor har jeg samtaler i frokoststuen om matematik, som andre har om kunst og filosofi. Dét kunne jeg godt ønske mig, at børn og unge fik at se,” siger Jo Røislien og afslører, at han faktisk ikke selv som barn var interesseret i matematik i skolen. Selvom han tog tid på sine egne toiletbesøg og udregnede transporttiden op (45 min.) kontra ned (5 min.) på sin yndlingsskibakke som barn, så drømte han om at blive musikstjerne. Alligevel endte han som statistikprofessor. ”Tænk på alle de børn, der bare er en lille bitte smule mindre interesserede i matematik, end jeg var. De vælger at blive noget helt andet langt væk fra matematik. Men tænk, hvis vi for eksempel kunne fortælle alle de børn, der går op i klimakrisen, at det ikke er politik, men matematik, der kommer til at redde verden,” siger han.

BLÅ BOG Jo Røislien 48 år. Far til to børn. Professor i medicinsk statistik ved det sundhedsvidenskabelige fakultet på Universitetet i Stavanger. Tilknyttet Stiftelsen Norsk Luftambulanse, som driver luftambulancetjenesterne i Norge og Danmark. Har været foran og bag kameraet på en række tv- og filmproduktioner om matematik og naturvidenskab, herunder udvikler af og vært på infotainment-tv-serien "Siffer" og bioteknologiserien "Kampen om livet", begge vist på NRK og også solgt til andre nordiske tv-stationer, herunder DR. Har også været programleder på Discovery Channel. Skriver desuden bøger og underviser. Oprindeligt uddannet ingeniør.

HØJTBEGAVEDE BØRN

FAR OG FORFATTER:

Højtbegavede børn kan sagtens trives i almindelige klasser

Det kan være svært at være

Rasmus Welling var skolelærer. Så fik han tre højtbegavede børn. Og så blev han forfatter og foredragsholder. Han ønsker nemlig at give lærere mere viden om denne særlige børnegruppe. Her fortæller han, hvordan man hjælper og udfordrer de højtbegavede elever fagligt. TEKST LINE FELHOLT

MØD PÅ DE NÆSTE SIDER: Rasmus Welling Far og forfatter Laura Højtbegavet elev Thomas Wilhjelm Lærer FOTO KRISTIAN GRANQUIST

KLOG

FOTO HANS CHRISTIAN JACOBSEN

Der er i snit én i hver klasse. Det siger statistikkerne. Men de siger også noget mere væsentligt. For når der kun er én: Hvem skal så forstå dem? Og hvem skal de spejle sig i? Højtbegavede børn er ofte misforståede, alene og føler sig forkerte. For når de kigger rundt i klassen, er der sjældent andre som dem selv. Statistisk svært at gøre noget ved. Men didaktisk er der masser at gøre. Det er i hvert fald forfatter og konsulent Rasmus Wellings påstand. Han er selv far til tre højtbegavede drenge og holder foredrag og skriver bøger om undervisning af højtbegavede børn. ”Lærere i dag er superdygtige til at lave differentieret og inkluderende undervisning i forhold til tosprogede eller børn med diagnoser. Men lærere har brug for mere viden om, hvordan højtbegavede børn gebærder sig i trivsel og i mistrivsel. Ofte misforstås barnet,” siger Rasmus Welling og understreger: ”De fleste højtbegavede børn kan sagtens rummes i folkeskolen. Det kræver bare, at læreren drejer på nogle håndtag, som de i forvejen har.”

HØJTBEGAVEDE BØRN

14-ÅRIGE LAURA ER HØJTBEGAVET

Lærer ikke udholdenhed

’Jeg er dum’ De højtbegavede elever har en række typiske kendetegn. De lærer nyt meget hurtigt. Men andre tegn er endnu vigtigere at holde øje med: Perfektionisme: Eleverne stiller så store krav til sig selv, at de ikke får tingene gjort færdige. Intensitet: Eleverne kan arbejde solen sort, hvis emnet interesserer dem. Omvendt får de intet lavet, hvis det ikke giver mening for dem. Gang i mange ting på én gang: Eleverne kan følge med i flere ting, der foregår i klassen på én gang og bidrager måske derfor til uroen. Udpræget humoristisk sans: Eleverne forstår ironi og abstrakte begreber tidligere end kammeraterne og bliver derfor ikke forstået socialt. ”Lærerne kan misforstå barnet, hvis de ikke forstår kendetegnene. Og barnet kan 42

TYPISKE UDFORDRINGER I MATEMATIK Eleven kan være flere klassetrin foran

FOTO HANS CHRISTIAN JACOBSEN

BLÅ BOG Rasmus Welling Far til tre højtbegavede drenge. Uddannet lærer. Arbejdede 16 år i folkeskolen. Arbejder nu som museumsformidler og er desuden konsulent og forfatter af undervisningsmaterialer. Sammen med sin kone forfatter til bogen Højtbegavede børn i skolen og Højtbegavede børn i familien, udgivet på GeGe Forlag.

også selv tro: ’Jeg er dum’, når det oplever, at det er anderledes, eller ikke kan løse en opgave så hurtigt, som det er vant til,” fortæller Rasmus Welling.

Til gavn for alle elever Hvordan løser man det som lærer? Man er nødt til først at finde den rette kasse til det højtbegavede barn. En overyder skal have få træningsopgaver. Eleven kan allerede det grundlæggende og skal i stedet udsættes for undersøgende matematik: Hvor lang tid tager det at skrive verdens længste primtal? I hvilken butik kan det bedst betale sig at købe ind til risengrød? Så vil eleven tænke: Det afhænger af, hvad jeg skriver med, eller hvor mange personer der skal have risengrød, og hvor der er tilbud. ”Den matematiske undersøgelse er meget mere interessant for dem,” forklarer Rasmus Welling. Er den højtbegavede elev derimod underyder, er der ofte ringe interesse for undervisningen, mistrivsel og måske skolevægring. Så handler det om at fange elevens egne interesser. ”Det skal give mening for dem at fordybe sig fagligt. Spiller de Fortnite, kan man bede dem lave søjlediagrammer over, hvor mange spil de vinder med forskellige figurer. Undervisningen skal ikke forblive i det univers, men det er en måde at skabe interesse for matematik på,” lyder rådet fra Rasmus Welling. Han understreger en sidste pointe: ”Inklusion i skolen handler om at behandle alle ens ved at behandle alle forskelligt. De opgaver, man kan bruge til højtbegavede børn, er ofte til gavn for alle i klassen,” lyder hans erfaring.

Eleven bliver meget hurtigere færdig end de øvrige elever Eleven keder sig under den fælles gennemgang Trænings- og repetitionsopgaver virker demotiverende og meningsløse Kan ikke overskue længere tekstopgaver Kan matematik intuitivt og har ikke nødvendigvis styr på metoden Glemmer mellemregninger eller har ikke styr på orden Indre modstand mod lærerens metoder og regler, der kan virke besværlige, når eleven har udviklet sine egne Kilde: Højtbegavede børn i skolen

" Jeg bad om sværere opgaver i matematik, men fik flere af de samme

FOTO KRISTIAN GRANQUIST

For seks år siden skrev han bogen Højtbegavede børn i skolen sammen med sin kone. Simpelthen fordi den manglede. I dag er den revideret i en ny udgave, for behovet er der stadig. ”Det er stadig en udbredt misforståelse, at højtbegavede børn ’klarer sig nok’. At det er eleven, der er bedst til alt og får topkarakter. Sådan er det langt fra altid. Bare fordi barnet har en stor motor oppe i hovedet, er det ikke sikkert, at barnet har lært at bruge den. Derfor kan det godt være børn med faglige udfordringer,” forklarer Rasmus Welling. Groft sagt kan de højtbegavede børn deles op i dem, som læreren har en masse ’fede faglige oplevelser med’, og dem, der hverken trives socialt eller fagligt. Flertallet trives fint i skolen, men 40 procent mistrives så meget, at de ikke får en videregående uddannelse. Ofte fordi: ”Rigtig mange af de højtbegavede børn har den udfordring, at de er vant til at løse en opgave efter 1-2 forsøg. Så de lærer ikke udholdenhed. Når de kommer længere frem i uddannelsessystemet og møder større udfordringer, kan de ikke længere klare sig med en minimal indsats. Nu skal de knokle for det, og det har de aldrig lært,” forklarer Rasmus Welling. ”Derfor skal de lære det allerede i skolen,” mener han.

Laura lavede regneregler allerede i børnehaven. Hun elskede tal, systemer og matematik. Men i skolen blev det for nemt. Deraf fulgte mistrivsel, fagligt og socialt. I dag går hun på en skole for højtbegavede børn. TEKST LINE FELHOLT

De fleste elever kender ’Bum-leg’. Alle siger et tal på skift, og hver gang en elev i klassen når til et tal i for eksempel 3-tabellen, skal der siges ’bum’ i stedet for 6, 9, 12 og så videre. Men 14-årige Laura har prøvet noget, der var meget sjovere. Hendes lærer bad nemlig klassen om at holde gang i tre tabeller på én gang og i øvrigt også sige bum på primtal. Hun har også prøvet, at læreren skrev fire tal på tavlen, som skulle blive til tallet 2. For at det kunne lade sig gøre, skulle de have gang

HØJTBEGAVEDE BØRN

SKOLER FOR HØJTBEGAVEDE BØRN

FOTOS KRISTIAN GRANQUIST

De fleste højtbegavede børn går i almindelige klasser på kommuneskoler og trives. Der findes dog en række privatskoler i Danmark for højtbegavede børn, der har brug for et andet tilbud. Atheneskolen, som Laura Folmann Hempler går på, er en fri

i noget i anden, tage kvadratroden og også dividere. ’Grublere’ kaldte læreren det. Med et twist. Og dét var sjovt, fortæller Laura med lys i øjnene. Plus, minus og regne vinkler ud ... not so much. Laura Folmann Hempler er 14 år. Og hun elsker matematik. Hun er også god til det. Exceptionelt god. Så god, at hun engang slet ikke syntes, det var sjovt. Så kedeligt faktisk, 44

at hun slet ikke havde det godt i skolen. Så dårligt, at hun måtte til en psykolog. Som til gengæld kunne se, hvad det hele handlede om: Laura, 9 år, 3. klasse, var højtbegavet. ”Jeg kan huske, at jeg bad om sværere opgaver i matematik, men jeg fik flere af de samme. Fordi jeg blev hurtigt færdig, skulle jeg gå rundt og hjælpe de andre. Lidt som en hjælpelærer. Jeg synes, det var kedeligt,” fortæller hun.

grundskole for højtbegavede børn. Skolen optager elever fra 0.-9. klasse. Den blev grundlagt i 2004 og ligger i Gladsaxe Kommune. Andre skoler for højtbegavede børn tæller Bifrost i Roskilde og Mentiqa i Nordjylland. Kun elever med dokumente-

ret høj begavelse optages. Intelligenstest gennemføres eksempelvis via kommunens PPR, skolepsykolog eller hos en autoriseret børnepsykolog. Der findes også et par efterskoler med fokus på højtbegavede børn. Se mere på Giftedchildren.dk.

En måde at gøre det mere spændende for hende selv var at række fingeren op i klassen, så hun kunne give svaret. Men: ”Især i de mindre klasser kunne læreren godt finde på at bede mig om at tage hånden ned. Det gjorde mig sur. Virkelig irriteret. Jeg tænkte: ’Så gider jeg slet ikke prøve mere’.”

Og så var der det sociale. På den nye skole var det svært at få veninder, og Laura var også mere moden end sine jævnaldrende og havde en anden humor. Samtidig var Laura begyndt at gå hos en psykolog på grund af sin mistrivsel. Psykologen tog en test. Den bekræftede, at Laura var højtbegavet.

Stigende mistrivsel

Kom på turbohold

Allerede som toårig kunne Laura alle bogstaver. Så opdagede hun tal, og så sig ikke tilbage. Som fireårig var tal så spændende, at hun så dem overalt og begyndte at lave regneregler. En pædagog i børnehaven spurgte hendes forældre, hvor Laura skulle gå i skole. Pædagogen kendte skolen, som Lauras forældre nævnte, som en skole med fokus på differentieret undervisning. Og desuden: Laura kunne jo altid ”rykke en klasse op”, som han sagde. Det studsede hendes forældre over. I skolen gik det rigtig fint. Men da familien skulle flytte til en anden by, skiftede Laura skole. Her var undervisningen mindre differentieret. Lauras skoletrivsel ændrede sig. ”Niveauet var lavere. Det kunne godt blive lidt langsomt. Det var ikke så fedt,” fortæller hun.

Det blev besluttet, at Laura skulle på Atheneskolen, en skole for højtbegavede børn. Allerede på prøvedagen var hun tændt. ”Det var så fedt. Der var to piger, der tog godt imod mig. Jeg syntes, det faglige niveau var så godt. Der var ting, jeg ikke kunne!”, siger hun og lyser op, da hun genfortæller det. Særligt matematiktimen var en ny verden for hende. Fuld af åbne opgaver, som læreren skrev på tavlen, og brætspil i klassen. For eksempel Stratego med eleverne som brikker. Eller øvelser i geometri, hvor de tegnede med kæmpepassere på meget store stykker papir. Laura indledte en to-ugers prøveperiode, som gik over al forventning. ”Jeg kan huske, at jeg var meget stolt af, at jeg i en af de første matematiktimer løste en opgave, som læreren bagefter fortalte, at ikke engang 9. klasser kunne løse. Så det blev besluttet, at jeg skulle på skolens turbohold i matematik,” fortæller hun.

" Jeg syntes, det faglige niveau var så godt. Der var ting, jeg ikke kunne!

Ti forsøg er bedre end et Laura Folmann Hempler har nu gået i skole med andre højtbegavede børn i fem år. Hun har også oplevet, at ”det var svært”. I 6. klasse blev matematiktimerne slået sammen med 7. klasse, og der blev hun ”lidt presset”, som

HØJTBEGAVEDE BØRN

hun siger. Men det er med lys i øjnene, at hun fortæller, at hun lavede andengradsligninger i 6. klasse. At højtbegavede børn kan have den udfordring, at de går i baglås, når de møder noget, der er svært (fordi alt altid har været nemt), genkender hun ikke selv. ”Nej, jeg synes, det er meget federe at bruge ti forsøg på at løse en opgave end et eller to forsøg. Jeg er ikke typen, der giver så nemt op. Men mange af dem, der starter på min skole, har været skoletrætte, fordi de har kedet sig i skolen. De er holdt op med at følge med og har manglet en del undervisning. Jeg kender endda en pige, der blev testet, fordi de troede, hun havde lav IQ. Men det var bare, fordi hun kedede sig,” fortæller Laura.

Slet ikke nørdede

THOMAS UNDERVISER HØJTBEGAVEDE BØRN

" Der skal differentieres som i alle andre klasser

TEKST LINE FELHOLT

FOTO KRISTIAN GRANQUIST

I dag ser Laura både venner fra sine gamle skoler og fra den nye. Selvom hun godt kan mærke, at vennerne fra den nye skole på en række punkter ligner hende – for eksempel på humoren – så understreger hun samtidig, at de altså ikke allesammen render rundt og ligner eller opfører sig som nørder. Hun er godt klar over, at børn som hende kan have et ry for at være nørder, der spiller strategispil. Men: ”Sådan er det bestemt ikke i min klasse. Vi er slet ikke så nørdede. Det er meget alsidigt. Drengene, der spiller strategispil, er der også, men der er også fyldt med piger, der går op i tøj. Dem er der også plads til,” fortæller hun. Og apropos alsidighed. Det er ikke sådan, at bare fordi man er et højtbegavet barn, så er man god til alt. Laura er for eksempel ”virkelig dårlig til at stave”. Siger hun selv. ”Jeg hader diktater. Analyser i dansk er heller ikke lige mig. Jeg kan rigtig godt lide naturfag, geografi og kemi. Men det er jo også en slags matematik,” siger hun med et skævt smil.

Thomas Wilhjelm er lærer på en skole for højtbegavede børn, hvor han underviser på matematikfagets turbohold. Det kræver masser af åbne og abstrakte opgaver. Men behovet for differentiering og voksenkontakt er mindst lige så stort som på andre skoler. Thomas Wilhjelm har undervist landets bedste små matematikhjerner i 12 år nu. Det er en meget anderledes oplevelse at være lærer for de allerdygtigste elever. Og samtidig er der ting, som er overraskende ens. Differentiering for eksempel. ”Der er mindst lige så stort behov for differentieret undervisning hos os som på andre skoler. IQ-spektret i en almindelig klasse går måske fra 70-130. Vores optagelseskrav er 130. Men det er ikke allround. I en klasse kan der sagtens sidde elever, der i forhold til matematik har en IQ på 100-110, mens andre sprænger skalaen med 160. Så som lærer har jeg fuldstændig de samme udfordringer med differentiering. Det er bare rykket en tand op,” fortæller han indledningsvist. Han nævner også voksenkontakt som et af de behov, der er i hans klasser såvel som på almindelige skoler. For: ”Hvis man tager de nederste to procent og øverste to procent i en helt almindelig klasse, så har begge grupper væsentlig større behov for at have en personlig relation med læreren. Det har den store midtergruppe ikke i så høj grad. De har behov for relationer med deres jævnaldrende. Så ligesom lærere i andre skoler skal være parate til at give meget af sig selv til de kognitivt svageste elever, skal jeg gøre det samme for de kognitivt stærkeste,” fortæller han.

HØJTBEGAVEDE BØRN

1 5 RÅD, NÅR DER ER ET HØJTBEGAVET BARN I KLASSEN

Mit bedste råd til almindelige skoler er at lave ’enrichment clusters’. Samle de højtbegavede børn 1-2 gange om ugen i skoletiden eller som et tilbud efter. Give dem opgaver, hvor de skal have mange bolde i luften, men også så de møder ligesindede børn.

FOTO KRISTIAN GRANQUIST

se nysgerrige spørgsmål.” ”De er meget skeptiske og kritiske over for lærere.” ”De er asynkrone og kan være 1, 2, 3 år bagud modenhedsmæssigt.” ”Der er en stor andel af perfektionister, som kan blokere fuldstændig og gå i stå.” Sådan lyder nogle af de udfordringer, som Thomas Wilhjelm møder som lærer. Udfordringer, som også gælder for den (statistisk set) ene elev med høj begavelse, som de fleste lærere i folkeskolen har i en klasse.

Når det er sagt, så er der mange ting, der er meget anderledes, når man underviser de stærkeste. Blandt andet fordi de faktisk også er det modsatte.

Meget skeptiske elever Atheneskolen er en privat friskole for højtbegavede børn. Det er her Thomas Wilhjelm underviser. Eleverne bliver optaget, hvis det kan dokumenteres, at de har en begavelse ud over det sædvanlige. Det kræver en IQ-test. Det kræver også, at de diagnoser, som børnene i øvrigt måtte have – en del befinder sig i autismespektret – ikke må overskygge deres høje begavelse. Lærernes vej ind på skolen er mere forskelligartet. For Thomas Wilhjelm er den gået gennem et studie i matematik og økonomi over statskundskab og videre i læreruddannelsen. En cocktail af kompetencer, som hjælper ham som lærer for de ekstraordinært begavede. Og også ekstraordinært krævende: ”De skal have lov til at holde lange enetaler.” ”Der skal være tid til, at de kan stille en mas48

De opgaver, Thomas Wilhjem stiller sine elever, er ofte meget åbne eller abstrakte, og eleverne skal ofte selv finde vejen til løsningen. Det er også vigtigt, at de som det første får at vide, hvad de skal bruge en bestemt opgave til ude i den virkelige verden.

Alle bliver set og hørt Thomas Wilhjelms undervisning tager udgangspunkt i Blooms taksonomi og omvendt undervisning, det vil sige ’top down’. Hvert eneste emne tager udgangspunkt i det højeste taksonomiske niveau og dermed i den stærkeste elev i klassen. ”Meget undervisning tager udgangspunkt i den store midtergruppe. Det betyder, at de stærkeste elever ofte glemmes. Det er min opgave at gøre et givent emne nyt og spændende for den dygtigste elev. Herfra breder jeg undervisningen ud efter, hvad de andre kan få ud af det. På den måde sikrer jeg, at de allerstærkeste altid føler sig set og hørt. Det udgangspunkt er også den enkleste måde at sørge for, at alle i klassen bliver set,” fortæller Thomas Wilhjelm. Konkret betyder det, at han til sine timer

2 Sørg også for som lærer at have lidt ekstra med i ærmet til det barn i klassen, der er højtbegavet, så han eller hun ikke kun får ’mere af det samme’.

3 Højtbegavede børn sjusker ofte og laver fejl af kedsomhed. Det skal de fralæres. En måde er at give dem nummer 4, 7 og 10 ud af 10 regnestykker. Hvis de laver dem uden at sjuske, slipper de for de syv resterende opgaver. Laver de fejl, skal de lave tre regnestykker mere. Husk at sikre dig, at fejlen skyldes sjusk og ikke, at de ikke har forstået metoden.

Sørg for at vende opgaver om, så de starter på det højeste niveau i Blooms taksonomi. Eleven er i forvejen dygtig, men har brug for at føle sig endnu bedre, og det kan man gøre ved at vende opgaverne om.

5 Gå mere i dybden med, hvorfor eleven skal lære det, I er i gang med. Hvor kommer det fra? Hvem har opfundet det? Hvorfor kan lige den formel bruges til at regne det her ud? Så eleven ikke bare skal stole på, at formlen virker, men forstår hvorfor.

" Det er min opgave at gøre et givent emne nyt og spændende for den dygtigste elev. altid har forberedt matematikopgaver i 3-4 sværhedsgrader plus et antal ekstraopgaver til dem, der bliver hurtigt færdig. Dertil kommer, at han kun underviser i bestemte emner en eller to uger ad gangen, for så at vende tilbage til det måneder efter. ”Det er en måde at sørge for, at der bliver progression og ikke for meget gentagelse. Ellers går eleverne i stå. De er nødt til at føle, at de bliver præsenteret for nye ting hele tiden. Det er et grundelement. Det går ikke med den grundighed, hvor vi træner det vigtigste igen og igen, som er vigtigt på mange andre skoler,” fortæller Thomas Wilhjelm.

Færre matematiktimer De opgaver, som Thomas Wilhjem stiller sine elever, er ofte meget åbne eller abstrakte. Ofte skal eleverne selv finde vejen til løsningen. De kan blive sendt ud i skolegården med beskeden: Find ud af det. De fleste undervisningsmaterialer laver han selv. Fordi: ”I starten kom en elev i 4. klasse hen til mig og sagde: ”Thomas, mener du virkelig det her?” Han havde fået opgaver fra en 7. klasse-bog, som handlede om, hvad han tjente i løbet af et år på sit fritidsjob. Det er jo ret irrelevant

i 4. klasse. Det støder vi på hele tiden. Derfor giver vi dem opgaver på tavlen i stedet for,” fortæller han. Det er også vigtigt, at eleverne som det første får at vide, hvad de skal bruge en bestemt opgave til ude i den virkelige verden. For eksempel har eleverne fået til opgave at finde frem til, hvordan de bygger en bro i papir, så den holder bedst. Eller hvordan de optimerer uddelingen af nødhjælp til tre katastrofeområder fra to lufthavne – økonomisk eller i forhold til CO 2 -udledning. Valg kan også give anledning til opgaver om valgmandssystemet i USA eller de nøgler, som bestemmer fordelingen af mandater i Folketinget. Det kunne måske lyde, som om faget matematik fylder meget på en skole for børn med høj IQ. Men det er faktisk modsat. På Atheneskolen undervises der kun i matematik fire timer om ugen. ”Der er skåret meget ned for matematik for at gøre plads til andre fag som filosofi, latin, kommunikation og sociale kompetencer, som de også har brug for at lære. For de kan sagtens nå deres pensum i matematik på fire timer om ugen,” siger Thomas Wilhjelm.

SPROGFORSTÅELSE

KNÆK KODEN MED Signe Gottschau Malm

Dårlig sprogforståelse kan være årsagen til, at nogle elever aldrig bliver gode til matematik. For hvis man ikke forstår fagets ord og begreber, når man aldrig frem til at kunne regne.

Hvorfor er det vigtigt at arbejde med sprog i matematik?

Hvordan skruer man op for sproget?

TEKST ANNETTE HAUGAARD FOTO KRISTIAN GRANQUIST

Hvad betyder ordene mere, mindre, over og under i matematikbogen egentlig? Hvordan ser et areal ud? Og må man selv bestemme resultatet, hvis opgaven lyder bestem rumfanget af en kegle? Det er ikke nødvendigvis let at regne ud for børn og unge med svage danskkundskaber, og deres manglende forståelse af helt grundlæggende ord og begreber i matematik kan i sig selv betyde, at de får svært ved at lære faget. Sådan lyder det fra lektorerne Diana Rigtrup og Signe Gottschau Malm fra Københavns Professionshøjskole, der opfordrer til, at det systematiske arbejde med sprog får langt større fylde i timerne, der ellers traditionelt handler mere om tal end om ord. Diana Rigtrup og Signe Gottschau Malm er medforfattere til Alineas undervisningsmateriale Mod på Mat, der udbygger elevernes fagsprog og før-faglige sprog på alle klassetrin. Materialet bygger på resultaterne af Københavns Professionshøjskoles 4-årige forskningsprojekt af samme navn, der er støttet af Egmont Fonden. Materialet udkommer sommer 2021.

Signe

Diana

Hvis elever er sprogudfordrede, kan man som underviser være tilbøjelig til at spare lidt på sproget og måske i stedet illustrere eller vise noget. I virkeligheden er det netop vigtigt at skrue op for sproget og både lade eleverne tale med hinanden om matematikken og også selv forklare mere af det, man måske synes er banalt og tager for givet, at de forstår.

Alle fag bærer på sine egne genrer og diskurser, som man er nødt til at kende og forstå, før man populært sagt kan knække fagets kode. Man lærer helt basalt et fag gennem dets sprog, og matematik rummer sine egne fagudtryk, men trækker også på hverdagssprog, bare i en anden betydning. Grader er for eksempel noget, vi taler om i forhold til temperaturer, men det betyder noget helt andet i geometri. Det kan være forvirrende for nogle børn og unge, og som underviser overser man ofte, at selv små sproglige forskelle ikke nødvendigvis står klart for eleverne.

Diana Rigtrup

Diana

Signe

Vi har et begreb, vi kalder ’nyttige ord’, som er de udtryk, der knytter sig til specifikke opgaver. Dem skal man have på plads, inden selve undervisningen i matematikken kan begynde, for ellers hægter man nogle elever af. Man aktiverer deres forforståelse af ordene og kan for eksempel vise en tegning, hvor de skal udpege alle steder, der har noget med areal at gøre. Så får de ordet sat ind i en kendt kontekst, før man præsenterer dem for den abstrakte betydning. Det er væsentligt ikke blot i indskolingen, men også når eleverne bliver ældre – så er det bare nogle andre ord og begreber, der skal foldes ud.

Det kan være at forklare, hvilke implicitte normer og forventninger der gemmer sig i matematikkens genrer. I problemregning er opgaverne eksempelvis ofte teksttunge, og man skal vide, at her skal man kunne vurdere, hvilken del af teksten der er vigtig, så man ikke bare læser den som en historie. Det kræver, at man giver sig god tid modsat i færdighedsregning, der typisk har et højere tempo. Når man formidler de subtile logikker helt eksplicit, vil langt flere elever kunne få adgang til matematikken.

Hvilket udbytte har I set af matematikundervisning med fokus på sprog?

Signe

Diana

Vores erfaring er, at for mange lærere er det en øjenåbner, at langt flere elever mestrer matematikken, når undervisningen sætter tempoet ned og giver tid til mere sprog og flere dialoger frem for blot at høvle opgaver igennem. Så viser det sig, at flere elever kan fortælle om mulige matematiske strategier og beregningslogikker.

Det bliver meget tydeligt i mødet med elever uden dansk som modersmål. En syrisk dreng sagde for eksempel, at han plejede godt at kunne finde ud af matematik, men nu kunne han ikke længere, fordi han ikke forstod dansk. Det giver jo god mening, men det gavner også danske elever at styrke matematiksproget, og der kan sagtens ligge sproglige udfordringer til grund for, at nogle elever lidt giver op og siger ’Jamen, jeg kan bare ikke finde ud af matematik’. Hvis man stilladserer og pædagogisk formidler matematikkens ord og begreber, så kommer ahaoplevelserne.

Altid gratis forløb til matematik Ligesom en chili ikke bare er en chili, er tal heller ikke bare tal.

I Alineas fagportaler finder du altid gratis forløb, du og dine elever kan bruge direkte i undervisningen.

2. klasse

2. 3. klasse

5. klasse

Murermester Madsen bygger

Talmønstre

Areal af trekanter

→ ca. 16 lektioner

→ ca. 11,5 lektioner

→ ca. 6 lektioner

6. klasse

8. klasse

9. klasse

Regn med bogstaver

Begreb om tal

Matematiske beviser

→ ca. 9 lektioner

→ ca. 10,5 lektioner

→ ca. 5 lektioner

Du logger bare ind med dit UNI-Login, og så har du fuld adgang til alle gratis forløb.

Gratis skoleåret 20/21 Find gratis forløb på Matematikportalen

9 788723 553461

alinea.dk